Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych

Transkrypt

1 Na podstawie książki J. Rusinka, Równania różniczkowe i różnicowe w zarządzaniu, Oficna Wdawnicza WSM, Warszawa maja 2012

2 Definicja Stabilność Niech = F (x, ) będzie równaniem różniczkowm. Rozwiązanie = (x) układu nazwam stabilnm w sensie Lapunowa prz x x 0 wted i tlko wted, gd dla każdego ε > 0 istnieje taka δ > 0, że dla każdego rozwiązania = (x) tego układu spełnion jest warunek (x 0 ) (x 0 ) < δ x x 0 (x) (x) < ε.

3 Definicja Stabilność Rozwiązanie = (x) nazwam asmptotcznie stabilnm wted i tlko wted, gd jest stabilne w sensie Lapunowa i dla każdego rozwiązania = (x) spełnion jest warunek lim (x) x (x) = 0.

4 Przkład Stabilność Rozważm równanie różniczkowe = a. Rozwiązaniami równania spełniającmi warunek początkow odpowiednio 0 = (x 0 ), 0 = (x 0 ) są funkcje Zauważm, że (x) (x) = (x) = 0 e a(x x 0), (x) = 0 e a(x x 0). 0 e a(x x 0) 0 e a(x x 0) = 0 0 e a(x x 0).

5 Przkład cd Stabilność Jeśli a 0, to dla x x 0 mam (x) (x) 0 0, a więc spełnion jest warunek Lapunowa (z δ = ε). Ponadto, dla a < 0, mam lim (x) (x) = lim 0 x x 0 e a(x x 0) == 0 0 lim x ea(x x 0) = 0. Jeśli a > 0, to żadne rozwiązanie nie jest stabilne w sensie Lapunowa.

6 Przeanalizujem obecnie układ jednorodn [ dwóch ] równań różniczkowch a11 a = A, gdzie A = 12. Rozwiązanie a układu jest postaci [ ] [ ] 11 (x) 12 (x) (x) = C 1 1 (x) + C 2 2 (x) = C 1 + C 21 (x) 2, 22 (x) [ ] [ ] 11 (x) 12 (x) gdzie wektor, są liniowo niezależne dla każdego 21 (x) 22 (x) x R. Zatem mam 1 (x) = C 1 11 (x) + C 2 12 (x), 2 (x) = C 1 21 (x) + C 2 22 (x). Krzwą w przestrzeni R 2 o przedstawieniu parametrcznm ( 1 (x), 2 (x)), gdzie x R nazwam orbitą. Rugując z rozwiązań zmienną niezależną x otrzmujem równanie orbit postaci H( 1, 2 ) = 0.

7 Analiza jakościowa układu dwóch równań o stałch współcznnikach. Zbadam zachowanie się punktu ( 1 (x), 2 (x)) leżącego na orbicie H( 1, 2 ) = 0, gd x +.

8 [ ] a11 a Załóżm, że macierz A = 12 jest nieosobliwa (obie a 21 a 22 wartości własne są różne od zera). Wielomian charakterstczn macierz A ma postać [ ] a11 λ a det 12 = λ 2 (a a 21 a 22 λ 11 + a 22 ) λ + a 11 a 22 a 12 a 21 = = λ 2 traλ + det A oraz = tr 2 A 4 det A.

9 Rozważam następujące przpadki. I. Oba pierwiastki są rzeczwiste, czli > 0.

10 I a) Oba pierwiastki są ujemne. Orbit są pokazane na rsunku 1.3. Położenie równowagi jest stabilne i asmptotcznie stabilne. Punkt równowagi jest nazwan w tm przpadku stabilnm węzłem.

11 I b) Oba pierwiastki są dodatnie. Orbit przedstawione są na rsunku 1.4. Położenie równowagi jest niestabilne. Punkt równowagi nazwa się niestabilnm węzłem. 2 1

12 I c) Jeden pierwiastek jest dodatni, a drugi jest ujemn. Punkt równowagi nazwa się siodłem. 2 1

13 Na jednej z prostch rozwiązanie prz x oddala się od punktu równowagi, na drugiej się przbliża. Na innch orbitach rozwiązanie przbliżają się do punktu (0, 0), ale potem się od niego oddala. Położenie równowagi nie jest stabilne.

14 II. < 0. Wielomian charakterstczn ma dwa pierwiastki zespolone sprzężone λ 1 = α + iβ, λ 2 = α iβ.

15 II a) tra = a 11 + a 22 < 0. Jedna z orbit przedstawiona jest na rsunku 1.6. Punkt na orbitach prz x zbiegają do punktu (0, 0). Położenie równowagi jest stabilne i asmptotcznie stabilne. Punkt równowagi nazwa się ogniskiem stabilnm. 2 1

16 II b) tra = a 11 + a 22 > 0. Jedna z orbit przedstawiona jest na rsunku 1.7. Punkt na orbitach prz x oddalają się od punktu (0, 0). Położenie równowagi jest niestabilne. Punkt równowagi nazwa się ogniskiem niestabilnm. 2 1

17 II c) tra = a 11 + a 22 = 0. Orbit przedstawione są na rsunku 1.8. Położenie równowagi jest stabilne, ale nie jest asmptotcznie stabilne. 2 1

18 III. = 0. Możliwe są czter przpadki.

19 III a) Macierz A ma jeden pierwiastek podwójn λ < 0 i dwa liniowo niezależne wektor własne. Układ równań można sprowadzić do dwóch niezależnch równań. Orbit przedstawione są na rsunku 1.9. Położenie równowagi jest asmptotcznie stabilne. Punkt równowagi nazwa się węzłem gwiaździstm stabilnm. 2 1

20 III b) Macierz A ma jeden pierwiastek podwójn λ > 0 i dwa liniowo niezależne wektor własne. Układ równań można sprowadzić do dwóch niezależnch równań. Orbit przedstawione są na rsunku Położenie równowagi jest niestabilne. Punkt równowagi nazwa się węzłem gwiaździstm niestabilnm. 2 1

21 III c) Macierz A ma jeden pierwiastek podwójn λ < 0 i jeden wektor własn. Układu nie można sprowadzić do dwóch niezależnch równań. Orbit przedstawione są na rsunku Położenie równowagi jest asmptotcznie stabilne. Punkt równowagi nazwam stabilnm węzłem zdegenerowanm. 2 1

22 III d) Macierz A ma jeden pierwiastek podwójn λ > 0 i jeden wektor własn. Układu równań nie można sprowadzić do dwóch niezależnch równań. Orbit przedstawione są na rsunku Położenie równowagi jest niestabilne. Punkt równowagi nazwam niestabilnm węzłem zdegenerowanm. 2 1