Konspekty wykładów z ekonometrii

Transkrypt

1 Konspek wkładów z ekonomerii Budowa i werfikaca modelu - reść przkładu W wniku ssemacznch badań popu na warzwa w pewnm mieście, orzmano nasępuące szeregi czasowe: przros (zmian) popu na warzwa (w zł. na osobę): (zmienna ) przros (zmian) dochodu (w sekach zł. na osobę): (zmienna ) przros (zmian) cen warzw (w zł.): (zmienna ) Polecenia:. Oszacu paramer modelu popu na warzwa posaci α + α + α + ε. Zwerfiku model pod względem sascznm: a. Oszacu i zinerpreu miar dopasowania modelu: średni błąd średni błąd procenow modelu współcznnik deerminaci b. Zbada auokorelacę składnika losowego: oblicz współcznnik auokorelaci resz zwerfiku hipoezę o braku auokorelaci c. Zbada akość oszacowań paramerów srukuralnch: oszacu błęd średnie ocen paramerów zwerfiku hipoez o isoności ocen paramerów. Zwerfiku model pod względem merorcznm: oceń sensowność znaków oszacowanch paramerów zinerpreu warości oszacowanch paramerów i oceń ich sensowność 4. porządź prognozę przrosów popu na warzwa dla kolench rzech okresów wiedząc, że: przewidwane zmian dochodów wnoszą, 4 i 5 zł na osobę przewidwane zmian cen warzw wnoszą, i 4 zł

2 Konspek wkładów z ekonomerii Rozwiązanie Model eoreczn przmue nasępuącą posać: α + α + α + ε gdzie: przros popu na warzwa w okresie w okresie przros dochodu na osobę w okresie przros cen warzw w okresie α, α, α paramer srukuralne modelu ε składnik losow Model empirczn można zapisać nasępuąco: α + + α α gdzie: α, α, α oszacowania paramerów srukuralnch α α α α - wekor oszacowań paramerów srukuralnch ad ) Ponieważ model eoreczn es liniow względem paramerów, można dokonać oszacowania wielkości ego paramerów srukuralnch α za pomocą MNK. Esmaor ego wekora dan es T T nasępuącm wzorem: α ( ) Y reści zadania zapiszem w posaci macierzowe. Informace liczbowe (dane empirczne) zaware w

3 Konspek wkładów z ekonomerii Y, Wkorzsuąc powższe dane wkonuem nasępuące obliczenia cząskowe: T,,4,8,8,8,4,58,8,58,7 ) ( T, 49 T Y i orzmuem osaecznie oszacowanie paramerów modelu: ( ) Y α T T,4,8,8,8,4,58,8,58,7 49 Osaecznie mam więc oszacowan model popu na warzwa posaci: + Ad a) W celu dokonania werfikaci sasczne, wkorzsuąc oszacowan w punkcie model, należ obliczć miedz innmi miar dopasowania modelu do danch empircznch. Bazuą one na odchleniach warości empircznch ( ) i eorecznch ( ŷ ) zmienne obaśniane dla przedziału prób. Ab e obliczć, rzeba napierw wznaczć warości eoreczne zmian popu na warzwa według formuł n),..., (dla,, +. Warość eoreczną dla pierwsze obserwaci wliczam nasępuąco:,, + +

4 Konspek wkładów z ekonomerii Te, a akże szereg innch obliczeń związanch z werfikacą modelu, można przeprowadzić w posaci abelarczne por. Tabela. Tabela. Obliczenia robocze do przkładu Numer obserwaci () wraz woln,, ŷ e de e e e e e e de Razem Teraz można obliczć odchlenia warości empircznch i eorecznch w próbie e (błęd modelu, resz) wg formuł: e np. e ŷ (wszskie wniki obliczeń można znaleźć w abeli ). Maąc obliczone wielkości błędów w przedziale prób można przsąpić do obliczenia miar dopasowania modelu do danch empircznch. W pierwsze koleności obliczm sumę kwadraów resz: e Na e podsawie rudno wciągnąć wnioski o akości dopasowania modelu, bo es o miara nieunormowana i nie poddaąca się merorczne inerpreaci. Jes za o podsawą do obliczenia średniego błędu modelu, zwanego akże odchleniem sandardowm resz lub średnim błędem szacunku. 4

5 Konspek wkładów z ekonomerii Średni błąd modelu e n k,857,9,9 zł. W powższm wzorze n oznacza liczbę obserwaci, na podsawie kórch dokonano oszacowania paramerów modelu (liczebność prób), kóra wnosi w naszm przkładzie. Wielkość k oznacza liczbę szacowanch w modelu paramerów, czli w naszm przkładzie będzie o. Waro zauważć, że różnica n-k określana es ako liczba sopni swobod oraz, że niekóre program kompuerowe wliczaą średni błąd modelu w odmienn sposób,.: e n, co nie zmienia inerpreaci e wielkości. Inerpreaca: obliczona warość średniego błędu modelu oznacza, że przewidwania zmian popu na warzwa (. zmienne obaśniane przez model) sporządzane dla przedziału prób na podsawie oszacowanego modelu różnią się średnio od warości empircznch e zmienne o,9 zł. Średni błąd procenow modelu V e e % %,9% Y Inerpreaca: przewidwania zmian popu na warzwa sporządzane na podsawie oszacowanego modelu dla przedziału prób różnią się średnio od warości empircznch o,9% średnie warości zmian popu na warzwa. Współcznnik deerminaci R ( ) n n,7(7),7 5

6 Konspek wkładów z ekonomerii Inerpreaca: zmian dochodów i cen (model) w 7% obaśniaą wahania zmian popu na warzwa (zmienne obaśniane). Ad b) Przczn wsępowania auokorelaci składnika losowego: pominięcie isone zmienne obaśniaące, dłuższe niż okres działanie cznników przpadkowch, przęcie niewłaściwch opóźnień zmiennch obaśniaącch, przęcie niewłaściwe posaci funkcne. Współcznnik auokorelaci resz cov(, ) ρ D ( ) n n e e e, 5 Tes Durbina Wasona awiam hipoezę zerową mówiącą o braku auokorelaci składników losowch w modelu, podczas gd hipoeza alernawna swierdza, że wsępue auokorelaca uemna (ze względu na współcznnik auokorelaci obliczonego na podsawie prób). H H : ρ : ρ < Zwerfikuem hipoezę zerową za pomocą esu Durbina Wasona na poziomie isoności,5. prawdzianem w m eście es saska DW: DW n ( e e ) 7,8 Warości krczne dl i du odczuem z ablic rozkładu DW, kóre fragmen pokazue abela, a na ich podsawie obliczam warości dl' 4 dl oraz du' 4 du, orzmuąc: dl,97; du,4 du',59 dl',. Zauważm, że na poziomie isoności,5 warość sprawdzianu z prób wnosząca,8 znalazła się pomiędz warościami du i dl. du ' < DW < dl'

7 Konspek wkładów z ekonomerii czli w obszarze niekonkluzwności. Oznacza o, że na podsawie ego esu nie można podąć deczi o wsępowaniu bądź braku auokorelaci w rozważanm modelu. Tabela. Warości krczne saski Durbina-Wasona ( α, 5 ) (k liczba szacowanch paramerów, n liczba obserwaci) n k k dl du dl du,, ,7,,47,9 8,7,,5,78 9,8,,,7,88,,7,4,9,,7,,97,,8,58,,4,8,5 4,4,5,9,55 5,8,,95,54 Źródło: Ad c) Średnie błęd ocen paramerów Średnie błęd ocen paramerów wznacza się według wzoru: e c α gdzie [ ] ( ) c i T macierz ( ), co oznacza, że wielkości c o kolene elemen główne przekąne T. Średni błąd dla oszacowania parameru α wnosi więc: α c e,9,,94 a dla pozosałch paramerów odpowiednio α, 597 i, 597 α Tes isoności ocen paramerów Tes przeprowadzam oddzielnie dla każdego z paramerów według nasępuącego schemau: awiam hipoezę zerową mówiącą o m, że paramer α es równ (hipoeza o nieisoności parameru) wobec hipoez alernawne, że paramer α es różn od (paramer es ison pod względem sascznm). Uwaga! hipoeza alernawna może bć sformułowana również w posaci < α lub α > 7

8 Konspek wkładów z ekonomerii H : α H : α Hipoezę zerową zwerfikuem na poziomie isoności,5 prz dwusronnm obszarze odrzucenia (co wnika z posaci hipoez alernawne). prawdzianem w m eście es saska posaci: α α, α kóra ma rozkład -udena o n k 7 sopniach swobod. Warość krczna odczana z ablic rozkładu -udena dla 7 sopni swobod wnosi,5.,5 Obliczam warość sprawdzianu w próbie dla parameru α : α,94 α α,7 Dla pozosałch paramerów warości sprawdzianu wnoszą odpowiednio α, 47,47. α Porównuąc warość sprawdzianu dla parameru α z warością krczną zauważam, że α <,5 bo,7 <,5 wierdzam więc, że na poziomie isoności,5 nie ma podsaw do odrzucenia hipoez zerowe mówiące o m, że paramer α w badanm modelu es nieison pod względem sascznm (wraz woln nie es ison). W przpadku paramerów α i αmiędz warościami sprawdzianów a warością krczną zachodzą nasępuące relace: > α,5 oraz, 5 α > bo,47 >, 5 Zarówno w przpadku parameru α ak i α swierdzam więc, że na poziomie isoności,5 odrzucam hipoez zerowe i przmuem hipoez alernawne, mówiące o m, że 8

9 Konspek wkładów z ekonomerii paramer α i α w badanm modelu są isone pod względem sascznm, a o oznacza, że zmienne z nimi związane,. zmian dochodów i zmian cen są isone. Ad ) Ocena znaków paramerów prz zmiennch obaśniaącch: dodani znak prz dochodach oznacza, że wzros dochodu powodue wzros popu na warzwa; reakca popu na zmianę dochodów odzwierciedlona w modelu es więc zgodna z eorią ekonomii; uemn znak prz cenie oznacza, że wzros cen powodue spadek popu na warzwa; reakca popu na zmianę cen odzwierciedlona w modelu es więc zgodna z eorią ekonomii. Inerpreaca paramerów modelu. Oszacowan model ma posać liniową, a więc paramer soące prz poszczególnch zmiennch inerpreue się ako zmian krańcowe. wzros dochodów na osobę o zł. powodue wzros popu na warzwa o zł. na osobęł wzros cen warzw o zł. powodue spadek popu na warzwa o zł. na osobę. Wraz woln inerpreue się ako warość zmienne obaśniane prz założeniu, że wszskie zmienne są równe. Nie w każdm modelu przęcie akiego założenia ma sens. Ponieważ zmienne obaśniaące naszego modelu zdefiniowane są ako zmian dochodów i zmian cen, można powiedzieć, że eśli dochod i cen nie zmieniaą (. eśli ich zmian wnoszą ) o pop na warzwa rośnie (z okresu na okres) o zł. na osobę. Ad 4) Założenia prognozowania na podsawie modelu ekonomercznego. znana i sabilna posać rozkładu składnika losowego (srukur sochasczne modelu); znana i sabilna posać analiczna modelu i ego paramerów; znane warości zmiennch obaśniaącch w okresie prognozowanm (z planów, z eksrapolaci rendów, z innch modeli). porządzenie prognoz polega na użciu przewidwanch na kolene okres warości zmiennch obaśniaącch i wliczeniu warości zmienne obaśniane zgodnie z formułą modelu,. +,,. Na przkład, warość prognoz dla okresu obliczam nasępuąco: + 7 9

10 Konspek wkładów z ekonomerii Na podsawie modelu przewiduem, że przros popu na warzwa w badane populaci będzie wnosić 7 zł na osobę. Wniki obliczeń dla wszskich okresów prognozowanch okresów przedsawia poniższa abela: Numer okresu Tabela. Obliczenia robocze do przkładu Warości zmiennch obaśniaącch Dochód ( ) Cena ( ) Prognoza popu ( ŷ )