RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3"

Transkrypt

1 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 3. Liczby nturlne i rzeczywiste; funkcje elementrne.. Funkcje. Niech X i Y będą zbiormi. Definicj.. Funkcją (inczej: odwzorowniem) z X do Y nzyw się przyporządkownie kżdemu elementowi ze zbioru X jednego i tylko jednego elementu zbioru Y. Niech f będzie funkcją z X do Y. Zpisujemy to jko f : X Y. Zbiór X nzyw się dziedziną, Y przeciwdziedziną funkcji f. Jeżeli x X to jego wrtość, czyli jego obrz w przyporządkowniu f oznczmy f(x). Funkcję f zpisuje się tkże jko f : X x f(x) Y lub krócej jko x f(x). Oczywiście, użyt tutj liter x może być zmienin przez jkąkolwiek inną, n przykłd y f(y), z f(z) itd. oznczją wciąż tę smą funkcję f. Uwg.. W dlszej części tekstu funkcj f będzie czsem oznczn jko f(x) ( tkże f(y), f(z) itd.). Możn to interpretowć jko skrót zpisu x f(x) (wtedy f(y) jest skrótem zpisu y f(y) itd.). Mimo formlnej niepoprwności (kolizj oznczeń funkcji i jej wrtości w punkcie), stosownie tego oznczeni jest wygodne i zwykle nie powoduje nieporozumień. Jest używne w nieml wszystkich klsycznych podręcznikch z rchunku różniczkowego i cłkowego. Wykresem funkcji f nzyw się zbiór {(x, y) X Y : y = f(x)}. Jeżeli A X to f(a) := {f(x) Y : x A} nzyw się obrzem podzbioru A poprzez f. Zbiór f(x) nzyw się tkże obrzem funkcji f. Funkcj f A : A x f(x) Y nzyw się zwężeniem f do A. Złożeniem g f funkcji f : X Y i g : Y Z nzyw się odwzorownie X Z dne wzorem (g f)(x) := g(f(x)). Funkcj f nzyw się różnowrtościową (inczej: jest injekcją) jeżeli dl wszystkich x, x X równość f(x ) = f(x ) implikuje x = x. Jeżeli f jest różnowrtościow to funkcj odwrotn do niej f : f(x) X jest zdefiniownym wzorem f (y) := z, gdzie z X jest tki że f(z) = y. Wtedy, dl wszystkich x X i y f(x), f (f(x)) = x, f(f (y)) = y... Zbiory liczbowe. Zbiór liczb nturlnych (czyli zbiór którego elementmi są liczby 0,,, 3 itd.) oznczmy N. Dl liczby nturlnej n definiuje się liczbę n-silni wzormi 0! :=,! :=, n! := n(n )!, gdy n. Zbiór liczb cłkowitych (oznczny Z) powstje z N przez dołączenie liczb ujemnych, to znczy Z := {...,,, 0,,,...}. Zbiór liczb rzeczywistych oznczmy R; mimo skomplikownej formlnej definicji wystrczjąc jest intuicj z nim związn: liczby rzeczywiste możn trktowć jk punkty osi liczbowej. R wrz z dziłnimi dodwni i mnożeni posid strukturę

2 4 ROMAN SRZEDNICKI cił. Niech n, m N i niech m < n. Sumę liczb i R, gdzie i = m, m +,..., n, n często zpisujemy jko n i=m i, to znczy n i := m + m n + n. i=m Potęgi nturlne liczby rzeczywistej definiujemy jko 0 :=, :=, n := n, gdy n N, n. Dl n N, n orz 0 definiujemy n-ty pierwistek z : n := z, gdy z 0, z n =. W szczególności, pierwistek jest zwsze liczbą nieujemną i Wrtość bezwzględn liczby x R jest zdefiniown jko { x, gdy x 0, x := x, gdy x < 0. n 0 = 0. Liczby rzeczywiste postci p/q, gdzie p Z i q N, q 0, nzywją się liczbmi Rysunek. x wymiernymi; ich zbiór jest oznczny Q. Dl liczb rzeczywistych < b definiuje się przedziły [, b], [, b), (, b] i (, b) jko zbiory tkich x R, że, kolejno, x b, x < b itd. Liczby i b nzywją się końcmi przedziłu, (, b) nzyw się przedziłem otwrtym, [, b] przedziłem domkniętym. Anlogicznie definiuje się przedziły [, ), (, ), (, ] orz (, )..3. Ciągi. Funkcj N Y (dl dowolnego zbioru Y ) nzyw się ciągiem. Wrtość elementu n N w ciągu : N Y zpisujemy zwykle jko n zmist (n); sm ciąg zpisuje się jko { n } n N lbo { n } (lbo, niezbyt poprwnie, n ). Przykłdy ciągów: : N R nzyw się ciągiem rytmetycznym jeżeli istnieje liczb r R tk że n N: n+ = n + r, ntomist b: N R nzyw się ciągiem geometrycznym jeżeli istnieje liczb q R tk że n N: b n+ = qb n. T liczb q nzyw się wtedy ilorzem ciągu {b n }.

3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/ Funkcje o wrtościch rzeczywistych. Niech terz X będzie dowolnym zbiorem i niech f, g : X R będą dowolnymi funkcjmi. Definiujemy dziłni sumy f + g, różnicy f g, iloczynu fg orz ilorzu f/g tych funkcji wzormi: (f ± g)(x) := f(x) ± g(x), (fg)(x) := f(x)g(x), f f(x) (x) := g g(x). Dziedzinmi f±g orz fg jest X, ntomist dziedziną f/g jest zbiór {x X : g(x) 0}. Niech D R będzie zbiorem mjącym tę włsność, że jeżeli x D to również x D i niech f : D R. f nzyw się funkcją przystą jeżeli f(x) = f( x) dl wszystkich x D, funkcją nieprzystą jeżeli f( x) = f(x) dl wszystkich x D. Niech T > 0. Złóżmy terz, że D jest tkim zbiorem że jeżeli x D to tkże x + T D. f : D R nzyw się funkcją okresową o okresie T jeżeli f(x + T ) = f(x) dl wszystkich x D. Niech D R będzie przedziłem. f : D R nzyw się funkcją rosnącą (względnie: silnie rosnącą, mlejącą, silnie mlejącą) jeżeli dl wszystkich x, x D, x < x, f(x ) f(x ) (odpowiednio: f(x ) < f(x ), f(x ) f(x ), f(x ) > f(x )). Funkcj nzyw się monotoniczną jeżeli jest rosnąc lub mlejąc..5. Funkcje elementrne. Niech n N i niech i R dl i = 0,..., n. Ndużywjąc nieco ścisłości, zgodnie z Uwgą. przez n x n + n x n x + 0 będziemy oznczć funkcję w : R x n x n + n x n x + 0 R. (Tkże inne funkcje będą zpisywne w podobny sposób.) Kżd funkcj powyższej postci nzyw się wielominem. Liczb x 0 tk że n x n 0 + n x n x = 0 nzyw się pierwistkiem wielominu w. Wielominem jest więc w szczególności funkcj stł R x R orz funkcj liniow x + b (czyli, w poprwniejszym zpisie, funkcj R x x + b R) orz funkcj potęgow x n dl n N. Ilorz dwóch wielominów nzyw się funkcją wymierną, jej dziedziną jest oczy Rysunek. x wiście zbiór R \ Z, gdzie Z jest zbiorem pierwistków minownik. Przykłdmi funkcji wymiernych są więc x, x 3 + x + x +. x Funkcję potęgową x r możn określić nie tylko dl liczb nturlnych r. Niech x > 0.

4 6 ROMAN SRZEDNICKI Rysunek 3. x Dl p, q N, q 0, definiujemy x p/q := ( q x ) p, x p/q := ( q x) p. W szczególność, x = /x, x n := /(x n ) i x /n := n x. Tę definicje jednozncznie rozszerz się do x r dl dowolnego r R tk by spełniony był nstępujący wrunek: jeżeli < r < b i, b Q to x r nleży do przedziłu otwrtego o końcch x i x b. r w wyrżeniu x r nzyw się wykłdnikiem. Funkcje niewymierne otrzymuje się jko złożeni funkcji wymiernych z funkcjmi potęgowymi o wykłdnikch wymiernych, tkimi funkcjmi są więc n przykłd Rysunek 4. x x, x, 3 + x x. 3 Do funkcji trygonometrycznych zliczne są sin x, cos x, tg x := sin x cos x, ctg x := cos x sin x,

5 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 7 zwne, odpowiednio, sinus, cosinus, tngens i cotngens. Pierwsze dwie z tych funkcji definiuje się nstępująco: jeżeli 0 x < π jest długością łuku n okręgu jednostkowym {(u, w) R : u + w = } od punktu (, 0) w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskzówek zegr do punktu (, b), to cos x := i sin x := b. Aby określić sinus i cosinus dl dowolnych liczb rzeczywistych, rozszerz się jednozncznie powyższą definicje wrunkiem π-okresowości, to znczy sin x = sin(x + π), cos x = cos(x + π) dl x R (Rysunki 5 i 6). Wynik stąd, w szczególności, że Π 3Π Π Π - Π Π 3Π Π Rysunek 5. sin x Π 3Π Π Π - Π Π 3Π Π Rysunek 6. cos x sin x + cos x =. Obrzmi funkcji sinus i cosinus jest przedził [, ]. 4 Π 3Π Π Π - Π Π 3Π Π -4 Rysunek 7. tg x

6 8 ROMAN SRZEDNICKI 4 Π 3Π Π Π Π Π 3Π Π - -4 Rysunek 8. ctg x Funkcje odwrotne do pewnych zwężeń funkcji trygonometrycznych (tkich, by te funkcje są różnowrtościowe) nzywją się funkcjmi cyklometrycznymi. Trdycyjnie przyjmuje się nstępujące dziedziny dl tych funkcji: rc sin x jest funkcją [, ] [ π/, π/] odwrotną do sinus (oczywiście, zwężonego do przedziłu [ π/, π/]); rc cos x jest funkcją [, ] [0, π] odwrotną do cosinus, rc tg x jest funkcją R ( π/, π/) odwrotną do tngens, rc ctg x jest funkcją R (0, π) odwrotną do kotngens. Π Π Π 4 Π Rysunek 9. rc sin x Dl > 0 definiuje się funkcję wykłdniczą R x x R. W szczególności, 0 = i gdy = to funkcj t jest stłą równą. Możn wykzć prwdziwość nstępujących wzorów: () () x y = x+y, (b) x = x b x, x y = x y, ( x ) y = xy, x = x, ( ) x x = b b x.

7 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 9 Π 3Π 4 Π Π Rysunek 0. rc cos x Π Π Rysunek. rc tg x Jeżeli > 0 i to możn udowodnić, że x jest różnowrtościow i jej obrzem Rysunek. x jest przedził (0, ), możn więc zdefiniowć funkcję logrytmiczną (0, ) x log x R jko odwrotną do x, to znczy log x := z wtedy i tylko wtedy gdy z = x.

8 0 ROMAN SRZEDNICKI Wyrżenie log x czyt się logrytm przy podstwie z x. W szczególności, log = 0 i log = orz log x = x i log ( x ) = x. Z powyższych wzorów dl funkcji wykłdniczej możn wyprowdzić nstępujące włsności logrytmów: (3) log (xy) = log x + log y, log x y = log x log y, log (x r ) = r log x. Z osttniego wzoru wynik, że dl, b > 0,, b, Rysunek 3. log x (4) log x = log b log b x, bo log x = log (b log b x ) = log b x log b. Stąd, w szczególności, log b = log b. Nietrudno też wyprowdzić wzór n zminę podstw: jeżeli, b > 0, b to (5) x = b x log b. Uzsdnienie: Z odpowiedniego wzoru w () otrzymuje się: x = ( b log b ) x = b x log b..6. Rysownie wykresów funkcji w progrmie Mthemtic. Wykres funkcji f : D R (gdzie D R) w zbiorze D [, b] otrzymuje się z pomocą komendy Plot[f[x], {x,,b}] (i po jej wypisniu nleży jednocześnie wcisnąć klwisze Shift i Enter ). f[x] ozncz tutj wrtość f w x, czyli f(x). Do jej wpisywni używ się znków trybu tekstowego: spcj lub znk * ozncze mnożenie, / ozncz dzielenie, znk ^ potęgownie. Stąd x 3 + 4x 7 x 9 4 zpisuje się jko (x^3+4 x-7)/(x^9-(+3 x)^(/4)) + 3x

9 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 Nzwy funkcji elementrnych zczynją się do dużych liter; n przykłd wyrżenie sin x nleży zpisć jko Sin[x]. Tk więc wykres sinus w przedzile [ π, π] możn otrzymć pisząc Plot[Sin[u], {u, -Pi, Pi}] Dodtkowe opcje pozwlją uzyskć inny wygląd wykresów, n przykłd Rysunek 5 uzyskuje się komendą Plot[Sin[x], {x, -Pi, Pi}, PlotRnge -> {-.,.}, AspectRtio ->., Ticks -> {Rnge[-Pi, Pi, Pi/], Rnge[-,, ]}]. Grnice ciągów liczbowych.. Grnic i jej włsności. Niech { n } będzie ciągiem. (Rozptrujemy wyłącznie ciągi liczbowe: n R dl n N). Definicj.. g R jest grnicą ciągu { n } (inczej: { n } jest zbieżny do g; zpis: g = lim n n lub g = lim n lub n g) jeżeli ɛ > 0 k N n k : n g < ɛ. Mniej ściśle: g jest grnicą { n } jeżeli wrz ze wzrostem n wyrzy n zbliżją się do g. Uwg.. Do formułowni wrunków dotyczących grnic często używ się zwrotu prwie wszystkie, który znczy wszystkie z wyjątkiem skończonej ilości. Pondto, prwie wszystkie liczby nturlne znczy to smo co dosttecznie duże liczby nturlne i ozncz zbiór {n N: n k} dl pewnego k N. Tk więc fkt, że g jest grnicą ciągu { n } możn wyrzić dl kżdego ɛ > 0 prwie wszystkie wyrzy ciągu { n } spełniją nierówność n g < ɛ lub dl kżdego ɛ > 0 nierówność n g < ɛ jest spełnion dl dosttecznie dużych n. Przykłd.. Ciąg {( /) n } m grnicę równą 0, ciąg {( ) n } nie posid grnicy. Przy obliczniu grnic często korzyst się z nstępujących dwóch twierdzeń: Twierdzenie.. Jeżeli f : D R jest funkcją elementrną (to znczy jedną z funkcji zdefiniownych w podrozdzile.5),, n D dl kżdego n i n to Niech { n } i {b n } będą ciągmi. f( n ) f(). Twierdzenie.. Jeżeli n i b n b to i jeżeli pondto b n 0 i b 0 to n + b n + b, n b n b, n b n b n b n b. Definicj.. jest grnicą ciągu { n } (inczej: { n } jest rozbieżny do nieskończoności; zpis lim n n =, n itd.) jeżeli r R k N n k : n > r. jest grnicą ciągu { n } (zpis n itd.) jeżeli ciąg { n } jest rozbieżny do (to znczy n ).

10 ROMAN SRZEDNICKI Jeżeli n i istnieje b tki że b n b to tkże n + b n. (Możn podć jeszcze kilk podobnych kryteriów zbieżności do i nlogicznych kryteriów dotyczących.) Twierdzenie.3. (I) Jeżeli k > 0 to n k. (II) Jeżeli > to n i log n. (III) Jeżeli n lub n to n 0... Oblicznie grnic ciągów. Z Twierdzeni.3(I) wynik, że jeżeli k N to n k 0. Zdnie.. Obliczyć grnicę ciągu pn p + p n p n + 0 b q n q + b q n q przy złożeniu p 0 i b q b n + b 0 0. Rozwiąznie: I przypdek: p = q, wtedy z Twierdzeni. otrzymuje się p n p + p n p n + 0 b p n p + b p n p b n + b 0 = p + p n n + 0 p n p b p + bp n b n p + b0 n p p b p. II przypdek: p < q, wtedy w nlogiczny sposób otrzymuje się grnicę równą 0. III przypdek: p > q, wtedy grnic jest równ + gdy znk p /b q jest dodtni i gdy znk p /b q jest ujemny. Zdnie.. Obliczyć grnicę ciągu n n + n 3. Rozwiąznie: Trzeb skorzystć ze wzoru b = b +b. n n + n 3 = (n ) (n + n 3) n + n + n 3 = n + n + n + n 3 = n + + n + n 3 n = +. Zdnie.3. Obliczyć grnicę ciągu 3 n 3 n + n. Rozwiąznie: Wykorzystuje się wzór b = 3 b 3 +b+b. 3 n3 n + n = (n 3 n + ) n 3 (n3 n + ) + n 3 n 3 n + + n = 3 + n (n3 n + ) + n 3 n 3 n + + n = n = n (n 3 n + ) n (n 3 n + ) n = 3 ( n + n ) n + n = 3. 3 Zdnie.4. Obliczyć grnice ciągu ( 3)n n+. + 3

11 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 3 Rozwiąznie: Korzystmy z wzoru w (): ( 3) n n+ + 3 n ( 3) 4 4 n + 3 = = ( 3)n n n n = ( ) 3 n n = 0 6 = 0 4 n Twierdzenie.4 (o trzech ciągch). Jeżeli n b n c n dl dosttecznie dużych n i n g, c n g to tkże b n g. Zdnie.5. Obliczyć grnicę ciągu ( )n n + 0. Rozwiąznie: Grnic jest równ 0, co wynik z Twierdzeni o trzech ciągch (Twierdzenie.4): n + 0 ( )n n + 0 n + 0. Twierdzenie.5. (I) Jeżeli > 0 to n. (II) n n. Zdnie.6. Obliczyć grnicę ciągu n 0 n + 9 n Rozwiąznie: Dl n 3, więc 0 n 0 n + 9 n n, 0 n 0 n + 9 n n 3 (bo funkcj n x jest rosnąc) i z Twierdzeń.4 i.5(i) wynik że grnic jest równ 0. Zdnie.7. Obliczyć grnicę ciągu n 5n 4 + n. Rozwiąznie: (bo n n 5 dl kżdego n) więc 5n 4 5n 4 + n 6n 4 n 5 ( n n ) 4 n 5n 4 + n n 6 ( n n ) 4 i z Twierdzeń.4 i.5 wynik że grnicą jest. Zdnie.8. Niech >. Obliczyć grnicę ciągu log n n. Rozwiąznie: Z Twierdzeni.5(II), log n n = log ( n n ) log = 0.

12 4 ROMAN SRZEDNICKI.3. Liczb e. Twierdzenie (.6. (I) Ciąg + n) n jest zbieżny i jego grnicą jest liczb e (II) Jeżeli n 0 i n 0 to ( + n ) n e. Funkcję x e x ozncz się czsem jko exp, więc exp x := e x. Logrytm log e nzyw się logrytmem nturlnym i z tego powodu liczb e nzyw się podstwą logrytmów nturlnych. Zmist log e używ się oznczeni ln, stąd Tk więc dl b = e wzór (5) m postć ln x := log e x. (6) x = e x ln, z wzoru (4) wynik (7) log x = ln x ln. Zdnie.9. Obliczyć grnicę ciągu ( + n) n. Rozwiąznie: Z () i z Twierdzeni.6(II) wynik, że ( ( + n) n ( = + ) n ) e. n Zdnie.0. Obliczyć grnicę ciągu Rozwiąznie: ( n + n + ( + ) n = (n + ) ( ( + ( n + n + n + ) ( )( (n +)+) ) n ( n ) n + n. + ) n ( = + (n = + ) ( ( ) ) (n +)+ = + (n = + ) ) (n +) ( ) ) (n + + ) (n (e ) = e. + ).4. e i wrtości przybliżone w progrmie Mthemtic. Liczbę e zpisuje się jko E. Jej przybliżoną wrtość z dokłdnością do 5 miejsc po przecinku uzyskuje się komendą N[E] (i, oczywiście, nleży wcisnąć Shift i Enter ). Większą dokłdność, n przykłd 50 miejsc po przecinku, uzyskuje się wpisując

13 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 5 N[E,5] 5 ozncz tutj liczbę wszystkich cyfr przybliżeni (chodzi o cyfry znczące; n przykłd 0.00, inczej zpisne jko., m cyfry), więc e Ogólniej, dl uzyskni przybliżeni wyrżeni zwierjącego n cyfr używ się komendy N[,n] Aby rzeczywiście osiągnąć żądną dokłdność, musi być wyrżeniem zwierjącym liczby nturlne, liczby tkie jk e i π orz funkcje zdefiniowne w progrmie Mthemtic (są to, między innymi, wszystkie funkcje elementrne). Ozncz to, że liczby mjące rozwinięcie dziesiętne muszą być zpisne jko ułmki (n przykłd 3 4, nie 0.75). Tk więc N[Pi Sin[E^(3/4)]/8, 30] prowdzi do przybliżeni π 8 sin e3/ , ntomist komend N[Pi Sin[E^(.75)]/8, 30] dje jedynie przybliżenie z sześciom, nie trzydziestom cyfrmi..5. Kpitlizcj odsetków. Lokując pieniądze w bnku zwykle liczymy n uzysknie zysku z odsetków. Bnk powinien podć dwie wielkości chrkteryzujące opłclność lokt: stopę procentową i okres kpitlizcji. Stop procentow r jest wielkością przyrostu lokty rocznej, to znczy lokt P (liczon w ustlonej wlucie) powinn po jednym roku oszczędzni przynieść P ( + r) (oczywiście po przeliczeniu % = 0.0). W rzeczywistości zwykle uzyskuje się nieco więcej, gdyż kpitlizcje przeprowdz się nie co roku, w odstępch czsu schrkteryzownych przez okres kpitlizcji. Tk więc kpitlizcj roczn przynosi P ( + r) t po upływie t lt (dopuszczmy tutj dowolne wrtości t R, t > 0). Gdy bnk m półroczny okres kpitlizcji (czyli dw terminy do dopisywni odsetków w roku), lokt P prowdzi do P ( + r ) po pół roku, któr to z kolei kwot po nstępnym pół roku przynosi P ( + r ). Stąd wynik, że po upływie t lt uzyskuje się P ( + r )t. Jeżeli jest n okresów kpitlizcji w roku (lokt kwrtln to n = 4, lokt miesięczn to n = itd.), lokt P przynosi po t ltch P ( + r n )nt. Gdy liczb okresów kpitlizcji zmierz do nieskończoności, w grnicy dostjemy (8) lim n P ( + r n ) nt = P e rt (uzsdnienie jk w Zdniu.9). Mówimy wtedy o kpitlizcji ciągłej ; prw stron (8) jest więc równ wrtości lokty P po t ltch przy kpitlizcji ciągłej. Zdnie.. Ile dolrów nleży ulokowć w bnku n % przy kpitlizcji ciągłej, by po ltch otrzymć $5000? Rozwiąznie: Niech x ozncz szukną kwotę = xe 0., więc x = 5000e , co ozncz, że trzeb ulokowć $ Zdnie.. Ile lt potrzeb, by inwestycj ulokown n 6% przy kpitlizcji ciągłej podwoił swoją wrtość?

14 6 ROMAN SRZEDNICKI Rozwiąznie: Niech t ozncz szukną liczbę lt i niech P ozncz początkową wrtość inwestycji. Wtedy P = P e 0.06t, więc 0.06t = ln , skąd t.55 lt. Zdnie.3. Obrz zkupiony w roku 995 z mln zł był wrty 3 mln zł w roku 005. W którym roku osiągnie wrtość 0 mln zł, jeżeli jego cen będzie rosł w tkim smym tempie? Rozwiąznie: Niech r ozncz poziomem wzrostu ceny obrzu w ltch , to znczy = 0 6 e 0r. Stąd r = ln 3/ , więc jeżeli t ozncz liczbę lt w której cen wzrośnie od mln do 0 mln to 0 = e 0.t, więc t = ln 0/ /0. 0.9, czyli obrz będzie wrty 0 mln zł w roku Grnice i ciągłość funkcji 3.. Grnic i grnice jednostronne funkcji. Niech f : D R będzie funkcją, D R. Niech będzie liczbą rzeczywistą lub ± i niech x 0 R. Definicj 3.. jest grnicą lewostronną f w x 0 jeżeli dl kżdego ciągu {x n } tkiego, że x n < x 0 i x n x 0, f(x n ). Wyrżenie jest grnicą lewostronną f zpisujemy jko lbo piszemy = lim f(x) x x 0 f(x) gdy x x 0. Dokłdnie tk smo definiuje się grnicę prwostronną f w x 0. Nleży tylko złożyć, że ciąg {x n } zbieżny do x 0 spełni wrunek x n > x 0 ; reszt definicji przenosi się bez zmin. Grnicę prwostronną funkcji zpisujemy jko lim x x + f(x); gdy t grnic 0 jest równ to piszemy tkże f(x) gdy x x + 0. Definicj 3.. jest grnicą f w x 0, co zpisujemy lub = lim x x 0 f(x) f(x) gdy x n x 0, jeżeli jest jednocześnie prwo- i lewostronną grnicą f w x 0. Łtwo stąd wywnioskowć, że jest grnicą f w x 0 wtedy i tylko wtedy gdy dl kżdego ciągu {x n } tkiego, że x n x 0 i x n x 0 ciąg {f(x n )} jest zbieżny do. Przykłd 3.. lim x 0 + rc tg x = π, lim x 0 rc tg x = π lim x 0 rc tg x nie istnieje. (Rysunek 4), więc Podobnie jk grnice w x 0 R definiuje się grnice w ±. Definicj lim x f(x) jest powtórzeniem definicji grnicy lewostronnej (Definicj 3.) z zstąpieniem x 0 przez. Anlogicznie otrzymuje się definicję lim x f(x). Przykłd 3.. lim x rc tg x = π, lim x rc tg x = π (Rysunek ).

15 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 7 3Π 4 Π Π Π 4 Π 3Π 4 Rysunek 4. rc tg x Istnienie grnicy funkcji nzyw się tkże zbieżnością funkcji (gdy grnic jest skończon) lub rozbieżnością do ±. N zbieżność funkcji w x 0 R mją tylko wpływ wrtości funkcji w punktch nleżących do (dowolnie młego) przedziłu otwrtego zwierjącego x 0 ; kżdy tki przedził nzyw się otoczeniem x 0 ; otoczeniem ± nzyw się kżdy przedził otwrty, którego końcem jest ±. Przykłd 3.3. Funkcj sin x (Rysunek 5) nie m ni grnicy lewostronnej, ni prwostronnej gdy x 0 ( więc nie m tkże grnicy w x 0) Rysunek 5. sin x 3.. Ciągłość funkcji. Niech f : D R i niech x 0 D.

16 8 ROMAN SRZEDNICKI Definicj 3.3. f jest funkcją ciągłą w x 0 jeżeli lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 f nzyw się funkcją ciągłą jeżeli jest ciągł w kżdym punkcie x 0 D. Możn łtwo wykzć, że sum, różnic, iloczyn, ilorz orz złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Definicje grnicy i ciągłości pozwlją przeformułowć Twierdzenie.: Twierdzenie 3.. Kżd z funkcji elementrnych zdefiniownych w Podrozdzile.5 jest funkcją ciągłą Oblicznie grnic funkcji. Bezpośrednią konsekwencją definicji ciągłości funkcji jest Twierdzenie 3.. Jeżeli f(x) y 0 gdy x x 0 i g jest funkcją ciągłą w y 0 to lim g(f(x)) = g(y 0 ). x x 0 Innym ogólnym twierdzeniem dotyczącym złożeń funkcji jest Twierdzenie 3.3 (o podstwiniu). Jeżeli g(y) z 0 gdy y y 0, funkcj f jest ciągł i różnowrtościow w otoczeniu x 0, f(x 0 ) = y 0, to lim g(f(x)) = z 0. x x 0 Uzsdnienie: Z ciągłości i różnowrtościowości f wynik, że jeżeli x n x 0 i x n x 0 to f(x n ) y 0 i f(x n ) y 0. Możn łtwo udowodnić podobne twierdzenie dotyczące grnic jednostronnych; trzeb wtedy osobno rozptrywć przypdki silne rosnącej i silnie mlejącej funkcji f w otoczeniu x 0. Przy obliczniu grnic funkcji zwykle korzyst się z twierdzeń będących konsekwencjmi nlogicznych twierdzeń dotyczących grnic ciągów. Twierdzenie 3.4. Jeżeli f i g mją grnice skończone w x 0 to (9) (0) () lim (f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x). x x 0 x x 0 x x 0 lim (f(x)g(x)) = lim f(x) lim g(x). x x 0 x x 0 x x 0 f(x) lim x x 0 g(x) = lim x x 0 f(x) lim x x0 g(x), gdy lim x x 0 g(x) 0. (Powyższe wzory są tkże prwdziwe gdy f lub g m grnicę równą ± i wyrżeni po prwej stronie są sensowne.) Z wzoru (6) otrzymuje się f(x) g(x) = e g(x) ln f(x), więc, jeżeli f(x), > 0 i g(x) b to ln f(x) ln (z Twierdzeni 3., bo ln jest funkcją ciągłą), g(x) ln f(x) b ln (z (0)), e g(x) ln f(x) e b ln (bo e x jest funkcją ciągłą), skąd po ponownym zstosowniu (6) wynik

17 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 9 Twierdzenie 3.5. Jeżeli lim x x0 f(x) =, lim x x0 g(x) = b i > 0 to ( lim f(x) g(x)) = b. x x 0 Podobnie, wzór (7) implikuje log f(x) g(x) = ln g(x) ln f(x), z tej równości, z Twierdzeni 3. orz z wzorów () i (7) wynik Twierdzenie 3.6. Jeżeli lim x x0 f(x) =, lim x x0 g(x) = b i > 0, to lim log f(x) g(x) = log b. x x 0 Konsekwencją Twierdzeni o trzech ciągch (Twierdzenie.4) jest nstępujące Twierdzenie 3.7 (o trzech funkcjch). Jeżeli trzy funkcje f, g, h spełniją dl x x 0 nleżących do pewnego otoczeni x 0 nierówność i lim x x0 f(x) = lim x x0 h(x) = to f(x) g(x) h(x) lim g(x) =. x x 0 Zdnie 3.. Obliczyć grnicę lim x 0 x sin x. Rozwiąznie: x x sin x x, więc z Twierdzeni o trzech funkcjch (Twierdzenie 3.7) grnic jest równ 0. Ogólniejszą wersją Twierdzeni.3 jest Twierdzenie 3.8. (I) Jeżeli k > 0 to x k gdy x. (II) Jeżeli > to x i log x gdy x. (III) Jeżeli f(x) lub f(x) gdy x x 0 to lim x x0 f(x) = 0. Wynik stąd, w szczególności, że () x 0 gdy x ( > ), bo x n implikuje x n, więc xn = xn 0. Zdnie 3.. Obliczyć grnice lim x 0 + /x i lim x 0 /x dl >. Rozwiąznie: Obliczeni przeprowdzimy bezpośrednio z definicji, posługując się ciągiem {x n }. Niech x n 0, x n > 0, skąd x n, więc z Twierdzeni 3.8(II) wynik, że /xn, więc lim /x =. x 0 +

18 0 ROMAN SRZEDNICKI Niech terz x n 0, x n < 0, skąd x n, więc z () /xn 0, co ozncz, że lim x 0 /x = 0. Twierdzenie.6 dotyczące liczby e może być sformułowne jko Twierdzenie 3.9. (I) lim x ( + x) x = lim x (II) lim x 0 ( + x) /x = e. ( + x) x = e. Wżnym wzorem używnym przy liczeniu grnic jest (3) lim x 0 sin x x =. Zdnie 3.3. Obliczyć lim x 0 sin 5x tg 6x. Rozwiąznie: Z definicji tngens (4) sin 5x tg 6x = 5x sin 5x 5x cos 6x. sin 6x 6x Z wzoru (3) orz Twierdzeni 3.3 wynik, że 6x sin 5x lim x 0 5x =, bo funkcj 5x jest różnowrtościow. Z wzoru (4) terz widć, że szukn grnic jest równ 5 6, bo cos jest funkcją ciągłą w 0. Zdnie 3.4. Obliczyć lim x 0 ( + x) / sin x. Rozwiąznie: Z Twierdzeń 3.5 i 3.9 orz z wzoru (3) wynik ) ( + x) sin x = (( + x) x sin x x e = e gdy x Oblicznie grnic w progrmie Mthemtic. Do obliczni grnic lim f(x), x używ się komend, kolejno Lim[f[x], x -> ] Lim[f[x], x ->, Direction -> -] Lim[f[x], x ->, Direction -> ] N przykłd, lim f(x) orz lim f(x) x + x Limit[/t, t -> Infinity] Limit[Exp[/x], x -> 0, Direction -> ] W obu przypdkch wynikiem jest 0.

19 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 4. Szeregi liczbowe 4.. Zbieżność szeregu. Niech { n } n N będzie ustlonym ciągiem. Tworzymy nowy ciąg, którego kolejnymi wyrzmi są 0, 0 +, 0 + +,..., { k } to znczy ciąg n=0 n. Gdy k, ciąg ten zmierz do wyrżeni k N lub, nieco dokłdniej, n. To wyrżenie nzyw się szeregiem o wyrzch n. Zpisuje się go czsem jko 0 n lbo nwet n. Szereg może się zczynć nie od wyrzu 0-wego, le od dowolnego wyrzu, n przykłd od wyrzu pierwszego i wtedy jest to } n. Ciąg { k n=0 n k N n=0 nzyw się ciągiem sum częściowych szeregu n=0 n. Definicj 4.. Mówimy, że szereg { n=0 n jest zbieżny, jeżeli ciąg sum częściowych k } n=0 n m grnicę skończoną (to znczy grnicę nie będącą ± ); jeżeli k N g R jest tą grnicą to używmy zpisu n = g. n=0 Gdy ciąg sum częściowych nie m grnicy skończonej to mówimy, że szereg n=0 n jest rozbieżny. Bezpośrednio z definicji wynik że jeżeli r 0 to 0 n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy 0 r n jest zbieżny. Uwg 4.. N zbieżność szeregu nie mją wypływu jego początkowe wyrzy, dokłdniej: dl dowolnej liczby k N i ciągu { n } szereg 0 n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy zbieżny jest szereg k n. Twierdzenie 4.. Jeżeli 0 n jest zbieżny to n 0. Niech { n } będzie ciągiem geometrycznym o ilorzie q, to znczy ciągiem o wyrzch, q, q,..., gdzie := 0. Odpowidjący mu szereg 0 qn nzyw się szeregiem geometrycznym. Twierdzenie 4.. Jeżeli q i 0 to szereg 0 qn jest rozbieżny, jeżeli q < to szereg 0 qn jest zbieżny i q n = q. n=0 W nstępnym twierdzeniu występuje szereg /nα zwny szeregiem hrmonicznym. Twierdzenie 4.3. n= jest zbieżny gdy α > i rozbieżny gdy α. nα

20 ROMAN SRZEDNICKI 4.. Kryteri zbieżności szeregów. Poniższe kryteri o zbieżności są sformułowne dl szeregów postci n=0 n. N podstwie Uwgi 4. te sme kryteri stosują sie tkże dl wszystkich szeregów n=k n, gdzie k jest dowolną liczbą nturlną. Twierdzenie 4.4. Jeżeli 0 n jest zbieżny to 0 n też jest zbieżny. Twierdzenie 4.5 (Kryterium porównwcze). Niech 0 n b n dl dosttecznie dużych n. (I) Jeżeli 0 b n jest zbieżny to 0 n jest tkże zbieżny. (II) Jeżeli 0 n jest rozbieżny to 0 b n też jest rozbieżny. Zdnie 4.. Rozstrzygnąć zbieżność szeregu Rozwiąznie: tg n. n= tg n = n sin n n cos. n Ciąg sin n n niż / dl dosttecznie dużych n. Stąd wynik, że dl tkich n cos n zmierz do n podstwie (3), więc przyjmuje wrtości większe n tg n więc z Twierdzeni 4.3 i Kryterium porównwczego (Twierdzenie 4.5) wynik, że szereg jest rozbieżny. Twierdzenie 4.6 (Kryterium d Almbert). Niech n > 0 dl kżdego n i niech n+ lim g. n n (I) Jeżeli g < to szereg 0 n jest zbieżny. (II) Jeżeli g > to szereg 0 n jest rozbieżny. Zdnie 4.. Rozstrzygnąć zbieżność szeregów: (I) (II) (III) n=0 n=0 n= n k, gdzie k i >, n n, gdzie R, n! n! n n.

21 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 3 Rozwiąznie: (n+) k n+ n k n = n+ (n+)! n n! ( n+ ) k n = n + 0, (n+)! (n+) n+ (n + )! = n! n! n n <, n n ( ) n n (n + ) n+ = = n + ( + n ) n e <, więc z Kryterium d Almbert (Twierdzenie 4.6) wynik, że wszystkie trzy szeregi są zbieżne. Z Twierdzeni 4. i Kryterium d Almbert ntychmist wynik wniosek dotyczący zbieżności do zer: Wniosek 4.. Jeżeli n > 0 i lim n n+ n < to n 0. N przykłd wynik stąd, że n /n! 0, n!/n n 0 itd. Twierdzenie 4.7 (Kryterium Cuchy ego). Niech n 0 dl kżdego n i niech n n g. lim n (I) Jeżeli g < to szereg 0 n jest zbieżny. (II) Jeżeli g > to szereg 0 n jest rozbieżny. Zdnie 4.3. Rozstrzygnąć zbieżność szeregu Rozwiąznie: (3n n + 4n + ) n n=0 ( ) n 3n n + ( ) 3 3n = 4n + 4 <, co ozncz zbieżność n podstwie Kryterium Cuchy ego. 0 ( )n n, gdzie n 0, nzyw się szeregiem przemiennym. Twierdzenie 4.8 (Kryterium Leibnitz). Jeżeli { n } jest ciągiem mlejącym i n 0 to szereg przemienny 0 ( )n n jest zbieżny. Wynik stąd, że szereg ( ) n n= n jest zbieżny Sumy szeregów w progrmie Mthemtic. Niech (n) będzie ciągiem, n N. Do obliczeń sumy skończonej q n=p (n) i sumy szeregu n=p (n) używ się wyrżeń Sum[[n],{n,p,q}] Sum[[n],{n,p,Infinity}] Mthemtic często jest w stnie rozstrzygnąć czy szereg jest rozbieżny i w rzdkich przypdkch podć dokłdną wrtość sumy gdy jest zbieżny. N przykłd, wynikiem Sum[/(n^4),{n,,Infinity}] jest π 4 /90. Przybliżoną wrtość sumy szeregu uzyskuje się komendą NSum[[n],{n,p,Infinity}]

22 4 ROMAN SRZEDNICKI 5. Pochodn funkcji jednej zmiennej 5.. Pochodn i różniczkowlność. Niech f : D R, gdzie D jest podzbiorem otwrtym R, i niech x 0 D. Definicj 5.. Liczb f (x 0 ) := lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 nzyw się pochodną funkcji f w punkcie x 0. f nzyw się funkcją różniczkowlną w x 0 jeżeli istnieje f (x 0 ). Niech E D. f jest funkcją różniczkowlną w E jeżeli jest różniczkowlną w kżdym punkcie z E; wtedy funkcj f : E R nzyw się pochodną f w E. Opercj obliczni pochodnej nzyw się różniczkowniem. Zgodnie z Uwgą., pochodną f funkcji f zpisuje się tkże jko (f(x)). Często używ się oznczeni df/dx, to znczy df dx (x) := f (x). Uwg 5.. Jeżeli f jest różniczkowln w x 0 to prost styczn do wykresu f w punkcie (x 0, f(x 0 )) jest określon wzorem y = f (x)(x x 0 ) + f(x 0 ) (Rysunek 6). Pochodn f (x 0 ) jest więc równ tngensowi kąt nchyleni stycznej do wykresu f w (x 0, f(x 0 )). Rysunek 6. Prost styczn do wykresu funkcji Przykłd 5.. Funkcj x x nie jest różniczkowln w 0 (Rysunek ). Twierdzenie 5.. Jeżeli f jest różniczkowln w x 0 to f jest ciągł w x 0. Niech < b i niech przedził [, b] będzie zwrty w dziedzinie pochodnej f funkcji f. Twierdzenie 5.. Jeżeli f (x) > 0 (względnie 0, < 0, 0) we wszystkich punktch x [, b] to f jest silnie rosnąc (odpowiednio: rosnąc, silnie mlejąc, mlejąc) w [, b].

23 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 5 Wielkość pochodnej f (x 0 ) wyrż stopień wzrostu f w otoczeniu punktu x 0 ; im większ jest wrtość f (x 0 ) tym szybciej rośnie funkcj x f(x) dl x w pobliżu x 0. Wniosek 5.. Jeżeli f (x) = 0 we wszystkich punktch x [, b] to f jest funkcją stłą w [, b]. 5.. Pochodne funkcji elementrnych. Wszystkie funkcje elementrne są różniczkowlne, pochodne niektórych z nich wyrżją się wzormi: (5) (6) (7) (8) (9) c = 0 (c ozncz funkcję stłą), (x α ) = αx α (α R), (sin x) = cos x, (cos x) = sin x, (e x ) = e x. W szczególności, dl α = x = i gdy α = n to ( n x) = n n x n. Pochodne pozostłych funkcji elementrnych będą wyprowdzone przy użyciu twierdzeń z nstępnego podrozdziłu Twierdzeni o obliczniu pochodnych. Twierdzenie 5.3. Jeżeli f i g są funkcjmi różniczkowlnymi i R to (0) () () (3) Wynik stąd, że (f ± g) = f ± g, (f) = f (fg) = f g + fg, ( ) f = f g fg g g. (4) (5) (tg x) = cos x (ctg x) = sin x bo (tg x) = ( ) sin x = cos x + sin x cos x cos, (ctg x) = x ( cos x sin x ) sin x cos x = sin. x

24 6 ROMAN SRZEDNICKI Twierdzenie 5.4 (o pochodnej funkcji złożonej). Jeżeli f i g są różniczkowlne to (6) (g f) (x) = g (f(x))f (x) w kżdym punkcie x z dziedziny g f. Wzór (6) możn tkże zpisć jko (f(g(x))) = g (f(x))f (x). Z Twierdzeni 5.4 i wzoru (9) wynik, że dl > 0 (7) ( x ) = x ln, bo ( x ) = (e x ln ) = e x ln (x ln ) = x ln. Twierdzenie 5.5 (o pochodnej funkcji odwrotnej). Jeżeli f jest funkcją różnowrtościową w pewnym przedzile otwrtym zwierjącym x, jest różniczkowlną w x i f (x) 0 to f jest różniczkowln w y := f(x) i (f ) (y) = f (x). Wynikją stąd nstępujące wzory n pochodne funkcji elementrnych: (8) (9) (30) (3) (3) (log x) = x ln, w szczególności, (ln x) = x, (rc sin x) =, x (rc cos x) =, x (rc tg x) = + x, (rc ctg x) = + x. bo dl y = x, dl y = sin x, dl y = tg x, bo (rc sin y) = (log y) = ( x ) = x ln = y ln, (sin x) = cos x = sin x = y. (rc tg y) = (tg x) = cos x = + y y = sin x cos x = cos x cos = x cos x. Pochodne rc cos i rc ctg oblicz się nlogicznie Oblicznie pochodnych w progrmie Mthemtic. Komend D[f[x],x] służy do obliczni pochodnej funkcji f.

25 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/ Drug i wyższe pochodne. Drug pochodn funkcji f jest zdefiniown wzorem f := (f ). Podobnie definiuje się f. Ogólniej, definiujemy n-tą pochodną wzorem f (n) := (f (n ) ). Tk więc f () = f, f (3) = f itd. Używ się tkże wyrżeni d n f/dx n n oznczenie n-tej pochodnej, to znczy d n f dx n (x) := f (n) (x). Drug pochodn mierzy stopień przyrostu funkcji; im drug pochodn m większą wrtość tym przyrost większy. Ściślejsze, geometryczne sprecyzownie tego spostrzeżeni uzyskuje się z pomocą pojęci wypukłości; zbiór A R nzyw się zbiorem wypukłym jeżeli wrz z punktmi (x 0, y 0 ) i (x, y ) nleżącymi do A tkże cły łączący je odcinek zwier się w A, to znczy {(tx 0 + ( t)x, ty 0 + ( t)y ): t [0, ]} A. Definicj 5.. Funkcj f : D R, gdzie D jest przedziłem, nzyw się funkcją wypukłą, jeżeli zbiór punktów płszczyzny leżących nd wykresem f jest wypukły, to znczy dl wszystkich punktów (x 0, y 0 ) i (x, y ), gdzie x 0, x D, tkich, że f(x 0 ) y 0 i f(x ) y i dl kżdej liczby t [0, ] spełnion jest nierówność f(tx 0 + ( t)x ) ty 0 + ( t)y. f nzyw się funkcją wklęsłą jeżeli f jest wypukł. Przykłdmi funkcji wypukłych są x i x (Rysunki i ), ntomist przykłdmi funkcji wklęsłych są x i log x (Rysunki 4 orz 3). Niech < b i niech [, b] będzie zwrty w dziedzinie drugiej pochodnej f. Twierdzenie 5.6. Jeżeli f (x) 0 (względnie 0) we wszystkich punktch x [, b] to f jest wypukł (odpowiednio, wklęsł) w [, b] i styczn do wykresu f w kżdym punkcie przedziłu [, b] leży pod (odpowiednio, nd) wykresem f [,b]. 6. Zstosowni pochodnych 6.. Loklne ekstrem i pochodne. Niech x 0 wrz z pewnym otoczeniem nleży do dziedziny funkcji f. Definicj 6.. x 0 nzyw się mksimum loklnym funkcji f jeżeli dl pewnego δ > 0 i dl wszystkich punktów x (x 0 δ, x 0 + δ) f(x) f(x 0 ). x 0 jest włściwym mksimum loklnym jeżeli dl pewnego δ > 0 i dl wszystkich x (x 0 δ, x 0 + δ) tkich, że x x 0, f(x) < f(x 0 ). x 0 nzyw się minimum loklnym (względnie włściwym minimum loklnym) f jeżeli jest mksimum loklnym (odpowiednio, włściwym mksimum loklnym) funkcji f. Oczywiście, x 0 jest minimum loklnym jeżeli f(x 0 ) f(x) dl wszystkich x z pewnego otoczeni x 0. Punkt, który jest loklnym minimum lub loklnym mksimum nzyw się ekstremum loklnym.

26 8 ROMAN SRZEDNICKI Uwg 6.. Ekstrem funkcji (bez przymiotnik loklne ; inczej zwne ekstremmi globlnymi) definiuje się w oczywisty sposób: x 0 nzyw się mksimum funkcji f jeżeli f(x 0 ) jest większe lub równe niż f(x) dl wszystkich x z dziedziny f itd. Niech x 0 wrz z pewnym otoczeniem nleży do dziedziny pochodnej f. Twierdzenie 6.. Jeżeli x 0 jest ekstremum loklnym f to f (x 0 ) = 0. Z zchowni pochodnej w pobliżu x 0 możn wydedukowć, czy x 0 jest loklnym ekstremum: Twierdzenie 6.. Jeżeli f (x 0 ) = 0 i dl pewnego δ > 0, (33) (34) f (x) 0, gdy x (x 0 δ, x 0 ), f (x) 0, gdy x (x 0, x 0 + δ) to x 0 jest mksimum loklnym. Podobnie, po odwróceniu znków nierówności (33), (34), wnioskuje się że x 0 jest minimum loklnym. Jeżeli te nierówności są silne to ekstremum jest włściwe. Podobne kryterium możn sformułowć używjąc drugiej pochodnej. Twierdzenie 6.3. Niech x 0 wrz z pewnym otoczeniem nleży do dziedziny f i niech f (x 0 ) = 0. Jeżeli f (x 0 ) > 0 to x 0 jest włściwym minimum loklnym, jeżeli f (x 0 ) < 0 to x 0 jest włściwym mksimum loklnym. N przykłd, x x m w x = włściwe minimum loklne, bo pierwsz pochodn jest równ x i drug pochodn jest funkcją stłą równą. (Oczywiście w tym przykłdzie jest minimum globlnym.) Zdnie 6.. Znleźć wymiry prostokąt o njwiększym polu powierzchni, którego obwód wynosi 4. Rozwiąznie: Niech x i y oznczją szerokość i wysokość prostokąt, wtedy pole powierzchni P wyrż się wzorem P = xy, z wzoru n obwód i złożeń zdni wynik że x + y = 4. Z tej osttniej równości wylicz się y jko funkcję x, to znczy y = x, i podstwi do wzoru n pole P terz jest ono funkcją x, co symbolicznie zpisujemy jko P (x): P (x) = x( x) = x + x. Poniewż x i y mogą przyjmowć tylko wrtości dodtnie (bo tylko wtedy są sensownymi wymirmi prostokąt), dziedziną P (x) jest przedził otwrty (0, ). P (x) = x +, skąd wynik, że P (x) jest rosnąc dl x (0, ) i mlejąc dl x (, ), więc x = jest mksimum. Szukny prostokąt jest więc kwdrtem o wymirch. Zdnie 6.. Znleźć wymiry wlc o njwiększej objętości, dl którego sum wysokości i obwodu podstwy wynosi 6.

27 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 9 Rozwiąznie: Wlec jest schrkteryzowny przez promień podstwy r i wysokość h, jego objętość V wyrż się wzorem V = πr h. Z wzoru n obwód koł i złożeń zdni wynik, że h + πr = 6, więc V jko funkcj r wyrż się wzorem V (r) = πr (6 πr) = 6πr π r 3. V (r) jest określon dl r (0, 3/π), bo wlec jest sensownie zdefiniowny jedynie gdy r > 0 i h > 0. V (r) = πr(6 3πr), skąd wynik, że V (r) jest rosnąc dl r (0, /π), mlejąc dl r (/π, 3/π), więc r = /π jest mksimum; odpowid mu h =. Zdnie 6.3. Lini utobusow przewozi tygodniowo 6000 psżerów płcących 40 zł z przejzd. Szcuje się, że podniesienie opłty o zł odbędzie się kosztem strty 00 psżerów. Znleźć cenę, przy której dochód będzie njwyższy. Rozwiąznie: Niech n ozncz liczbę psżerów, x cenę biletu w złotych. Tygodniowy dochód D jest równy D = nx. Z złożeń zdni wynik, że n = (x 40), więc wyrżenie dochodu jko funkcji zmiennej x prowdzi do wzorów D(x) = x( x ) = 0000x 00x, D (x) = x, skąd wynik, że jeżeli 0 < x < 50 to D(x) jest rosnąc i jeżeli x > 50 to D(x) jest mlejąc, więc x = 50 jest ceną przy której lini utobusow osiągnie njwyższy dochód. 6.. Bdnie przebiegu zmienności funkcji. Twierdzeni 5., 5.6, 6. orz 6.3 dotyczące monotoniczności orz ekstremów loklnych pozwlją ocenić jk w przybliżeniu wygląd wykres dnej funkcji. W tkim przybliżonym opisie użyteczne też będą poniżej zdefiniowne pojęci. Jk poprzednio, f : D R, gdzie D jest otwrtym przedziłem, i x 0 D. Definicj 6.. x 0 nzyw się punktem przegięci jeżeli dl pewnego δ > 0 funkcj f jest wklęsł w przedzile (x 0 δ, x 0 ] i wypukł w [x 0, x 0 + δ) lub n odwrót: wypukł w (x 0 δ, x 0 ) i wklęsł w (x 0, x 0 + δ). Oczywiście Twierdzenie 5.6 pozwl wnioskowć n podstwie znków drugiej pochodnej, czy dny punkt jest punktem przegięci. N przykłd, 0 jest punktem przegięci funkcji sin x (Rysunek 5). Podobnie łtwo zuwżyć, że 0 jest punktem przegięci x 3. Twierdzenie 6.4. Niech x 0 wrz z pewnym otoczeniem nleży do dziedziny f. Jeżeli x 0 jest punktem przegięci to f (x 0 ) = 0. Niech c R. Definicj 6.3. Prost x = c nzyw się symptotą pionową funkcji f jeżeli istnieją grnice prwo- i lewostronn f(x) w c i kżd z nich jest równ lub.

28 30 ROMAN SRZEDNICKI Niech terz, b R. Definicj 6.4. Prost y = x + b nzyw się symptotą pochyłą funkcji f w jeżeli lim (f(x) x b) = 0. x Asymptotę pochyłą w definiuje się nlogicznie, zstępując w powyższym sformułowniu przez. Twierdzenie 6.5. Jeżeli f(x) lim =, lim (f(x) x) = b x x x to y = x + b jest symptotą f w. Anlogiczne twierdzenie formułuje się dl symptoty w. Wyznczenie przebiegu zmienności funkcji f możn przeprowdzić w nstępujących etpch:. Wyznczyć dziedzinę f; sprwdzić, czy f jest przyst, nieprzyst i okresow.. Znleźć punkty nieciągłości, przedziły ciągłości i różniczkowlności; jeżeli (, b) jest przedziłem ciągłości to obliczyć grnice lim x + f(x) i lim x b f(x). 3. Znleźć zbiór miejsc zerowych {x: f(x) = 0} i przedziły, w których f m stły znk. 4. Znleźć ekstrem loklne i przedziły monotoniczności f. 5. Znleźć punkty przegięci orz przedziły wypukłości i wklęsłości f. 6. Znleźć symptoty pionowe i pochyłe. Zdnie 6.4. Wyznczyć przebieg zmienności funkcji f, gdzie f(x) = x + x. Rozwiąznie:. Dziedziną funkcji f jest (, 0) (0, ), funkcj f jest nieprzyst.. W kżdym punkcie dziedziny f jest różniczkowln ( więc tkże ciągł). lim f(x) =, x 0 + lim f(x) =, x z nieprzystości wynik, że lewostronn grnic w 0 orz grnic w są równe. 3. f nie m miejsc zerowych, f(x) > 0 dl x > 0 i f(x) < 0 dl x < f (x) = x, f (x) = x więc x = jest minimum loklnym i x = jest 3 mksimum loklnym. 5. f jest wypukł w (0, ) i wklęsł w (, 0); f nie m punktów przegięci. 6. Prost x = 0 jest symptotą pionową, x + x lim x x =, lim x (x + x ) x = 0 (i nlogicznie w ), więc prost y = x jest symptotą pochyłą w i. Wykres f(x) jest przedstwiony n Rysunku Reguł de l Hospitl. Niech będzie liczbą rzeczywistą lub ± i niech f orz g będą funkcjmi.

29 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/ Rysunek 7. x + x Definicj 6.5. Ilorz f g nzyw się symbolem nieoznczonym typu 0 0 w jeżeli g(x) 0 dl x i lim f(x) = lim g(x) = 0. x x Podobnie, f g nzyw się symbolem nieoznczonym typu w jeżeli lim f(x) = lim g(x) =. x x Anlogiczne definicje symboli 0 0 i możn podć w przypdku grnic jednostronnych x + i x ; wszystkie podne poniżej fkty dotyczące tych symboli są również wtedy prwdziwe. Twierdzenie 6.6 (Reguł de l Hospitl). Jeżeli f g f(x) lim x g(x) = lim f (x) x g (x) przy złożeniu, że istnieje grnic po prwej stronie równni. jest typu 0 0 lub w to W wielu przypdkch Reguł de l Hospitl jest njprostszą metodą obliczni grnicy. N przykłd, wzór 3, który bez uzsdnieni pojwił się w Podrozdzile 3.3, terz może być szybko dowiedziony: Przykłd 6.. Jeżeli α > 0 to sin x lim x 0 x = lim cos x =. x 0 ln x (35) lim x x α = 0. Jest to konsekwencj Reguły de l Hospitl i Twierdzeni 3.8(I): ln x lim x x α = lim x x = 0. αxα

30 3 ROMAN SRZEDNICKI Zdnie 6.5. Obliczyć grnicę lim, gdzie α > 0. x ex Rozwiąznie: N podstwie Reguły de l Hospitl: x α ( lim x e x = x ) ( α lim = lim x e x/α x x α α ex/α ) α = α α lim x e x = 0. Inne sposoby zstosowni Reguły de l Hospitl są podne w nstępujących dwóch uwgch. Niech f i g będą funkcjmi i nie będzie liczbą rzeczywistą lub ±. Uwg 6.. (I) Jeżeli f(x) 0 i g(x) gdy x to iloczyn fg nzyw się symbolem nieoznczonym typu 0 w i oblicznie jego grnicy sprowdz się do obliczni grnicy symbolu 0 0 po przeksztłceniu f(x)g(x) = f(x) /g(x) lub, gdy f(x) > 0, do symbolu f(x)g(x) = po przeksztłceniu g(x) /f(x). (II) Jeżeli f(x) i g(x) gdy x to różnic f g nzyw się symbolem nieoznczonym typu w i oblicznie jej grnicy sprowdz się do obliczni grnicy symbolu typu 0 0 po przeksztłceniu f(x) g(x) = /f(x) /g(x) /f(x) =. /g(x) /(f(x)g(x)) Zdnie 6.6. Obliczyć grnice lim sin x ln x. x 0+ Rozwiąznie: Z Uwgi 6.(I) i Reguły de l Hospitl, lim sin x ln x = lim x 0 + x 0 + x cos x/( sin x) = lim sin x x 0 + x sin x cos x = 0 ( Zdnie 6.7. Obliczyć grnicę lim x 0 x ). sin x Rozwiąznie: Z Uwgi 6.(II) po dwukrotnym zstosowniu Reguły de l Hospitl, ( lim x 0 x ) sin x x = lim sin x x 0 x sin x = lim cos x x 0 sin x + x cos x = lim x 0 sin x cos x x sin x = 0 = 0. Uwg 6.3. Grnicę f(x) g(x) gdy x, gdzie f(x) > 0, oblicz się po przeksztłceniu f(x) g(x) g(x) ln f(x) = e i wtedy wykłdnik g(x) ln f(x) jest symbolem nieoznczonym typu 0 w gdy: (I) g(x) i f(x) (wtedy f g nzyw się symbolem nieoznczonym typu w ), (II) g(x) 0 i f(x) (wtedy f g nzyw się symbolem nieoznczonym typu 0 w ), (III) g(x) 0 i f(x) 0 (wtedy f g nzyw się symbolem nieoznczonym typu 0 0 w ).

31 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 33 Przykłd 6.. x /x jest symbolem typu 0 w ; (36) lim x x/x = bo z (35) dl α =. x /x = e ln x ln x x, lim x x = 0 W szczególności, (36) implikuje Twierdzenie.5(II). ( ) /x sin x Zdnie 6.8. Obliczyć grnicę lim. x 0 x Rozwiąznie: Wyrżenie, którego grnicę liczymy jest symbolem typu, ( ) /x sin x = e sin x x ln x, x Dwukrotne zstosownie Reguły de l Hospitl prowdzi do ln sin x x lim x 0 x = lim x 0 więc szukn grnic wynosi e 0 =. x x cos x sin x x cos x sin x sin x x = lim = x 0 x sin x cos x x sin x cos x lim = lim x 0 sin x + x cos x x 0 sin x sin x x + cos x = 0 + = 0, Wzór (35) z Przykłdu 6. będzie wykorzystny w rozwiązniu nstępnego zdni, które dotyczy bdni funkcji z Podrozdziłu 6.. Zdnie 6.9. Wyznczyć przebieg zmienności funkcji f, gdzie f(x) = ln x x. Rozwiąznie:. Dziedziną funkcji f jest (0, ).. W kżdym punkcie dziedziny f jest różniczkowln ( więc tkże ciągł). Oczywiście lim f(x) =, x 0 + bo ln x i /x gdy x zmierz do zer od prwej strony. N podstwie (35) dl α =, lim f(x) = 0. x 3. x = jest miejscem zerowym f, f(x) < 0 gdy x (0, ) i f(x) > 0 gdy x (, ). 4. f (x) = ln x x, f 3+ ln x (x) = x, f jest silnie rosnąc w przedzile (0, e) i silnie 3 mlejąc w przedzile (e, ) więc x = e jest mksimum. 5. f jest wklęsł w (0, e 3/ ), wypukł w (e 3/, ) i x = e 3/ jest punktem przegięci. 6. Prost x = 0 jest symptotą pionową. Z wzoru (35) dl α = i orz Twierdzeni 6.5 wynik, że y = 0 jest symptotą pochyłą w. Wykres f(x) jest przedstwiony n Rysunku 8. Możn terz rozwiązć nstępujące zdnie n zstosownie kryteriów zbieżności szeregów z Podrozdziłu 4.: Zdnie 6.0. Rozstrzygnąć zbieżność szeregu ( ) n ln n n. n=

32 34 ROMAN SRZEDNICKI e e exp 3 e Rysunek 8. ln x x Rozwiąznie: Z wzoru (35) wynik, że ln n lim n n = 0. Dl n 3 ciąg ln n n jest mlejący n podstwie punktu 4. w rozwiązniu Zdni 6.9, więc z kryterium Leibnitz (Twierdzenie 4.8) wynik, że szereg jest zbieżny. 7. Cłk nieoznczon 7.. Cłkownie jko opercj odwrotn do różniczkowni. Niech f będzie funkcją D R, gdzie D R jest przedziłem otwrtym (lub rozłączną sumą przedziłów otwrtych). Definicj 7.. Funkcję F : D R nzyw się cłką nieoznczoną z f (lbo inczej: funkcją pierwotną do f) jeżeli F = f. Cłkę nieoznczoną z f zpisuje się jko f(x) dx lbo f dx lbo czyli wzór definiujący cłkę nieoznczonej przyjmuje postć ( f(x) dx) = f(x). Uwg 7.. Cłk nieoznczon z f jest wyznczon z dokłdnością do funkcji stłej, to znczy jeżeli F i G są tkimi funkcjmi że F = f i G = f to istnieje C R tkie, że G = F + C. (37) Wynik stąd, że jeżeli F jest różniczkowln to F (x) dx = F (x) + C, f, gdzie C jest dowolną stłą. Bezpośrednio z definicji orz z (5) (9) i (4) (3) wynikją nstępujące wzory n cłki nieoznczone, w których, jk powyżej, C jest stłą:

33 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 35 (38) 0 dx = C, (39) x α dx = α + xα+ + C, gdy α, (40) dx = ln x + C, x (4) (4) (43) (44) (45) (46) (47) sin x dx = cos x + C, cos x dx = sin x + C, cos dx = tg x + C, x sin dx = ctg x + C, x x dx = ln x + C, gdy > 0,, dx = rc sin x + C, x dx = rc tg x + C. + x Jedynie wzór (40) wymg krótkiego uzsdnieni: jeżeli x > 0 to z (8) wynik, że jeżeli ntomist x < 0 to (ln x ) = (ln x) = x, (ln x ) = (ln( x)) = x ( x) = x, więc (40) jest spełniony dl wszystkich x z dziedziny funkcji x. Z wzoru (39) wynik w szczególności, że dx = x + C, n n n x dx = x n+ + C. n + Funkcj f dl której istnieje cłk nieoznczon nzyw się funkcją cłkowlną, wyzncznie jej cłki nieoznczonej nzyw się cłkowniem. Twierdzenie 7.. Jeżeli f jest ciągł to jest cłkowln. Wszystkie funkcje elementrne są ztem cłkowlne (z Twierdzeni 3.). Nie znczy to wcle, że dl kżdej funkcji elementrnej możn podć wzór n funkcję będącą jej cłką nieoznczoną; znne są przykłdy funkcji elementrnych których cłki nie d się przedstwić w postci kombincji funkcji elementrnych. Przykłdmi tkich cłek są sin x x dx, ln x dx, e x dx. Przy wyprowdzniu wzorów n cłki nieoznczone możn się posługiwć nstępującym twierdzeniem będącym bezpośrednią konsekwencją wzorów (0) i () w Twierdzeniu 5.3:

34 36 ROMAN SRZEDNICKI Twierdzenie 7.. Jeżeli f i g są cłkowlne to (48) (f(x) ± g(x)) dx = f(x) dx ± g(x) dx i jeżeli R to (49) f(x) dx = f(x) dx. Uwg 7.. Począwszy od tego miejsc stł C będzie pomijn we wzorch n cłki nieoznczone. 7.. Cłkownie przez części. Z wzorów (), (37) orz (48) możn łtwo wyprowdzić Twierdzenie 7.3 (Wzór n cłkownie przez części). Jeżeli f i g mją ciągłe pochodne to (50) f (x)g(x) dx = f(x)g(x) f(x)g (x) dx. Uzsdnienie: Wzór n cłkownie przez części otrzymuje się przez obłożenie wzoru () (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g(x) przez cłkę nieoznczoną i zstosownie wzoru n cłkę sumy (48): f(x)g(x) = (f(x)g(x)) dx = f (x)g(x) dx + f(x)g (x) dx. Przykłd 7.. Korzystjąc z wzoru n cłkownie przez części możn wyprowdzić wzór ln x dx = x ln x x, bo ln x dx = Zdnie 7.. Obliczyć x ln x dx = x ln x xe x dx. x(ln x) dx = x ln x dx. Rozwiąznie: xe x dx = x(e x ) dx = xe x e x dx = xe x e x. Zdnie 7.. Obliczyć cos x ln(sin x) dx. Rozwiąznie: cos x ln(sin x) dx = sin x ln(sin x) (sin x) ln(sin x) dx = sin x(ln(sin x)) dx = sin x ln(sin x) sin x cos x sin x dx = sin x ln(sin x) sin x.

35 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 37 Zdnie 7.3. Obliczyć e x cos x dx. Rozwiąznie: Dwukrotne zstosownie wzoru n cłkownie przez części dje e x cos x dx = e x cos x e x ( sin x) dx = e x cos x + e x sin x e x cos x dx, więc e x cos x dx = e x cos x + e x sin x, czyli e x cos x dx = (ex cos x + e x sin x) Cłkownie przez podstwienie. Z Twierdzeni 5.4 wynik Twierdzenie 7.4 (Wzór n cłkownie przez podstwienie). Niech g : (α, β) R będzie funkcją ciągłą. Jeżeli f : (, b) (α, β) jest funkcją różniczkowlną mjącą ciągłą pochodną to (5) g(y) dy = g(f(x))f (x) dx, gdzie y = f(x). Uzsdnienie: Wzór n cłkownie przez podstwienie jest konsekwencją wzoru n pochodną złożeni (6). Niech G(y) := g(y) dy. Wtedy (G(f(x)) = G (f(x))f (x) = g(f(x))f (x), więc po obłożeniu cłką nieoznczoną otrzymuje się (5) g(y) dy = G(y) = G(f(x)) = (G(f(x)) dx = g(f(x))f (x) dx. Uwg 7.3. Wzór n cłkownie przez podstwienie możn zpmiętć nstępująco. Podstwimy y = f(x). Po zróżniczkowniu obu stron otrzymuje się wzór dy dx = f (x), który formlnie (bez wnikni w sensowność) zpisuje się jko dy = f (x) dx. Zmin y n f(x) i dy n f (x) dx w g(y) dy prowdzi do (5). Prktyczne stosownie wzoru n cłkownie przez podstwinie poleg n znlezieniu tkich funkcji f i g by cłk, którą chcemy obliczyć mił postć prwej strony wzoru (5). Nstępnie obliczmy g(y) dy i jko wynik dostjemy funkcję G(y) zmiennej y. N koniec podstwimy w niej f(x) w miejsce y, to znczy, kolejność obliczeń jest nstępując: g(f(x))f (x) dx = g(y) dy = G(y) = G(f(x)). Przykłd 7.. Z wzoru n cłkownie przez podstwienie wynik, że

36 38 ROMAN SRZEDNICKI tg x dx = ln cos x, ctg x dx = ln sin x, bo podstwijąc y = cos x otrzymuje się co formlnie zpisuje się jko więc tg x dx = dy dx = (cos x) = sin x, dx = dy sin x, sin x sin x cos x dx = dy dy y sin x = = ln y = ln cos x. y Według tego smego schemtu, z podstwieniem y = sin x, oblicz się cłkę kotngens. Bezpośrednio z wzoru n cłkownie przez podstwienie wynik ogólny wzór Wniosek 7.. f m pochodną ciągłą i α jest liczbą rzeczywistą to { f(x) α+ f(x) α f (x) dx = α+ gdy α, ln f(x) gdy α =. Uzsdnienie: Podstwienie y = f(x) dje dy = f (x) dx, więc f(x) α f (x) dx = y α dy, i wzór wynik z (39) i (40). dx Zdnie 7.4. Obliczyć, gdzie, b R, 0. x + b Rozwiąznie: Podstwimy y = x + b, wtedy dy dx =, więc dx = dy, skąd otrzymujemy dx x + b = y dy = dy y = ln y = ln x + b. Zdnie 7.5. Obliczyć x dx ( + x 3 ). Rozwiąznie: Podstwimy y = + x 3, wtedy dy dx = 3x i skąd 3 dy = x dx, x dx ( + x 3 ) = dy 3 y = ( ) 3 y = 3( + x 3 ). Przykłd 7.3. Wzory n cłkownie przez części i cłkownie przez podstwienie są potrzebne przy obliczenich cłek

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna 1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim

Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim Anliz mtemtyczn v..6 egzmin mgr inf niestcj Oznczeni: f, g, h : J R funkcje rzeczywiste określone n J R J przedził, b),, b], [, b), [, b], półprost, b),, b],, ), [, ) lub prost R α, β [min{α, β}, m{α,

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Wymagania kl. 2. Uczeń: Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej

Bardziej szczegółowo

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona VI. Rchunek cłkowy. Cłk nieoznczon Niech F : I R i f : I R będą funkcjmi określonymi n pewnym przedzile I R. Definicj. Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I, gdy F (x) = f(x) dl x

Bardziej szczegółowo

( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami)

( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami) List / Grnic i ciągłość funkcji ( z przykłdowymi rozwiąznimi) Korzystjąc z definicji grnicy (ciągowej) funkcji uzsdnić podne równości: sin ) ( + ) ; b) ; c) + 5 Obliczyć grnice funkcji przy orz : + ) f

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6, Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie

Bardziej szczegółowo

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2) Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co

Bardziej szczegółowo

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt

Bardziej szczegółowo

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności. Wrtość bezwzględn Proste równni i nierówności Dl liczb rzeczywistych możemy zdefiniowć opercję zwną wrtością bezwzględną lub modułem liczby Definicj 7,, Sens powyższej definicji jest nstępujący Jeżeli

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012 mgr Jolnt Chlebd mgr Mri Mślnk mgr Leszek Mślnk mgr inż. Rent itl mgr inż. Henryk Stępniowski Zespół Szkół ondgimnzjlnych Młopolsk Szkoł Gościnności w Myślenicch WYMAGANIA I RYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć

Bardziej szczegółowo

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b,

PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b, WYKŁAD 0 PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH (powtórzenie) 1. Funkcje liniowe Funkcją liniową nzywmy funkcję postci y=f()=+b, gdzie, b są dnymi liczbmi zwnymi odpowiednio: - współczynnik kierunkowy, b - wyrz

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1

FUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1 FUNKCJA KWADRATOWA Moduł - dził -temt Funkcj kwdrtow - powtórzenie Lp Lp z.p. z.r. 1 1 Równni kwdrtowe 2 Postć iloczynow funkcji kwdrtowej 3 Równni sprowdzlne do równń kwdrtowych Nierówności kwdrtowe 5

Bardziej szczegółowo

CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU

CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU Rozwżmy funkcję ciągłą x f(x) o wrtościch nieujemnych określoną n przedzile [, b]. Ustlmy [będzie to problem sttystyczny polegjący n dokłdnym sprecyzowniu informcji o

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY I TECHNIKUM Egzmin poprwkowy n ocenę dopuszczjącą będzie obejmowł zdni zgodne z poniższymi wymgnimi n ocenę dopuszczjącą. Egzmin poprwkowy n wyższą ocenę

Bardziej szczegółowo

Całki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju

Całki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju Rozdził 3 Cłki niewłściwe 3. Wprowdzenie Omwine w poprzednim rozdzile cłki oznczone są cłkmi funkcji ciągłych n przedzile domkniętym, więc funkcji ogrniczonych n przedzile skończonym. Wiele zgdnień prktycznych

Bardziej szczegółowo

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne:

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Wykłd Litertur: M. Lssk, Mtemtyk dl studiów technicznych. M. Gewert, Z. Skoczyls, Anliz mtemtyczn M. Gewert, Z. Skoczyls, Anliz mtemtyczn W. Krysicki, L.Włodrski, Anliz mtemtyczn w zdnich cz. i cz.. Pomocnicze

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski Nottki z Anlizy Mtemtycznej 4 Jcek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 7 Cłk Riemnn 1. Cłk nieoznczon Definicj 7.1. Niech f : (, b) R będzie dowolną funkcją. Jeżeli dl pewnej funkcji F : (, b) R spełnion jest równość

Bardziej szczegółowo

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna (część II)

Analiza Matematyczna (część II) Anliz Mtemtyczn (część II) Krzysztof Trts Witold Bołt n podstwie wykłdów dr. Piotr Brtłomiejczyk 25 kwietni 24 roku 1 Rchunek cłkowy jednej zmiennej. 1.1 Cłk nieoznczon. Definicj 1.1.1 (funkcj pierwotn)

Bardziej szczegółowo

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą 50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej

Bardziej szczegółowo

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać: WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne Modelownie i obliczeni techniczne Metody numeryczne w modelowniu: Różniczkownie i cłkownie numeryczne Pochodn unkcji Pochodn unkcji w punkcie jest deiniown jko grnic ilorzu różnicowego (jeżeli istnieje):

Bardziej szczegółowo

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10 Zdnie. Zkłd ubezpieczeń n życie plnuje zbudownie portfel ubezpieczeniowego przy nstępujących złożenich: ozwiąznie. Przez P k będę oznczł wrtość portfel n koniec k-tego roku. Szukm P 0 tkie by spełnił:

Bardziej szczegółowo

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu. ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A

Bardziej szczegółowo

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki Złącznik nr 3 do PSO z mtemtyki Wymgni n poszczególne oceny szkolne z mtemtyki n poziomie podstwowym Chrkterystyk wymgń n poszczególne oceny: Wymgni n ocenę dopuszczjącą dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy Wymgni n poszczególne oceny z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile 1. SUMY ALGEBRAICZNE Kl. II poziom podstwowy Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy KOMPENDIUM MATURZYSTY Mtemtyk poziom podstwowy Publikcj dystrybuown bezpłtnie Dostępn n stronie: Kompendium do pobrni n stronie: SPIS TREŚCI. Potęgi i pierwistki... W tym:. Wykorzystnie wzorów;. Przeksztłcnie

Bardziej szczegółowo

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Stnisłw Jworski Ktedr Ekonometrii i Sttystyki Zkłd Sttystyki Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Cłk

Bardziej szczegółowo

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II TAK 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Wspomgnie oliczeń z pomocą progrmu MthCd Definicj zmiennych e f g h 8 Przykłd dowolnego wyrŝeni Ay zdefinowc znienną e wyierz z klwitury kolejno: e: e f

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 12.03.2012 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LIX Egzmin dl Akturiuszy z 12 mrc 2012 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU oprcowny n podstwie: Wewnątrzszkolnego Systemu Ocenini w II Liceum Ogólnoksztłcącym im. M. Konopnickiej

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KLASY I K i rozszerzonym WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH

MATEMATYKA KLASY I K i rozszerzonym WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH MATEMATYKA KLASY I K i rozszerzonym WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH oprcowne n podstwie przedmiotowego systemu ocenini NOWEJ ERY

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 15.0.010 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LII Egzmin dl Akturiuszy z 15 mrc 010 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoy egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstwowy FUNKCJA KWADRATOWA Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: 2 rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym.

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny KLASA II

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny KLASA II 1.Sumy lgebriczne Mtemtyk wykz umiejętności wymgnych n poszczególne oceny KLASA II N ocenę dop: 1. Rozpoznwnie jednominów i sum lgebricznych 2. Oblicznie wrtości liczbowych wyrżeń lgebricznych 3. Redukownie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą

Wymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIC. Rok szkolny 013/014 Poziom podstwowy FUNKCJE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje przyporządkowni będące funkcjmi określ funkcję różnymi

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z matematyki

Plan wynikowy z matematyki ln wynikowy z mtemtyki Dl kls 1-3 liceum ogólnoksztłcącego i 1-4 technikum sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym i rozszerzonym Oznczeni: wymgni konieczne, wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie: Do czego służą wektory?

Wprowadzenie: Do czego służą wektory? Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow.03.2014 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LXVI Egzmin dl Akturiuszy z mrc 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 0 minut 1 Mtemtyk

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Pochodna funkcji zastosowania do badania przebiegu zmienności funkcji

Wykład 7: Pochodna funkcji zastosowania do badania przebiegu zmienności funkcji Wkłd 7: Pochodn funkcji zstosowni do bdni przebiegu zmienności funkcji dr Mriusz Grządziel semestr zimow, rok kdemicki 2013/2014 Funkcj logistczn Rozwżm funkcję logistczną = f 0 (t) = 1+5e 0,5t f(t) 0

Bardziej szczegółowo

Klasa druga: II TK1, II TK2 Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Funkcja kwadratowa

Klasa druga: II TK1, II TK2 Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Funkcja kwadratowa Kls drug: II TK1, II TK2 Poziom podstwowy 3 godz. 30 tyg.= 0 nr progrmu DKOS-5002-7/07 I. Funkcj kwdrtow Moduł - dził - L.p. temt Wykres 1 f()= 2 2 Zkres treści Pojęcie Rysownie wykresów Związek współczynnik

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki w klsie II poziom rozszerzony N ocenę dopuszczjącą, uczeń: rysuje wykres funkcji f ( x) x i podje jej włsności; sprwdz lgebricznie, czy dny punkt nleży

Bardziej szczegółowo

1 Rachunek zdań 3. 2 Funkcje liczbowe 6

1 Rachunek zdań 3. 2 Funkcje liczbowe 6 Spis treści 1 Rchunek zdń 3 2 Funkcje liczbowe 6 3 Ciągi liczbowe 9 3.1 Grnic włściw ciągu 10 3.2 Grnic niewłściw ciągu 11 3.3 Grnice pewnych ciągów 12 4 Grnice funkcji 13 4.1 Podstwowe definicje 13 4.2

Bardziej szczegółowo

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać: WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość

Bardziej szczegółowo

SZTUCZNA INTELIGENCJA

SZTUCZNA INTELIGENCJA SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 9. ZBIORY ROZMYTE Częstochow 204 Dr hb. inż. Grzegorz Dudek Wydził Elektryczny Politechnik Częstochowsk ZBIORY ROZMYTE Klsyczne pojęcie zbioru związne jest z logiką dwuwrtościową

Bardziej szczegółowo

III. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej.

III. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej. III. Rchunek cłkowy funkcji jednej zmiennej. 1. Cłki nieoznczone. Niech f : I R, I R - przedził n prostej. Definicj 1.1. (funkcji pierwotnej) Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I,

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie

Bardziej szczegółowo

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysłw Smorwińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kliszu Wymgni edukcyjne niezbędne do uzyskni poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klsyfikcyjnych z obowiązkowych zjęć

Bardziej szczegółowo

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań MATURA z WSiP Mtemtyk Poziom podstwowy Zsdy ocenini zdń Copyright by Wydwnictw Szkolne i Pedgogiczne sp. z o.o., Wrszw Krtotek testu Numer zdni 6 7 8 9 6 7 8 9 Uczeń: Sprwdzn umiejętność (z numerem stndrdu)

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres podstawowy

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres podstawowy Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych kls drug zkres podstwowy Wymgni konieczne (K) dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny być opnowne przez

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II LO 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka Stron Wstęp Zbiór Mój przedmiot mtemtyk jest zestwem scenriuszy przeznczonych dl uczniów szczególnie zinteresownych mtemtyką. Scenriusze mogą być wykorzystywne przez nuczycieli zrówno n typowych zjęcich

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

Algebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna

Algebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna lger Bool i podstwy systemów liczowych. Ćwiczeni z Teorii Ukłdów Logicznych, dr inż. Ernest Jmro. System dwójkowy reprezentcj inrn Ukłdy logiczne operują tylko n dwóch stnch ozncznymi jko zero (stn npięci

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21

Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie

Bardziej szczegółowo

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2. 2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f

Bardziej szczegółowo

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas Cłki oznczone Definicj, włsności i oblicznie cłek oznczonych. Wrtość średni funkcji. Funkcj górnej grnicy cłkowni. Zstosowni cłek oznczonych. Cłki niewłściwe. Młgorzt Wyrws Ktedr Mtemtyki Wydził Informtyki

Bardziej szczegółowo

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji. Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.. Ciągi Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze N lub jego podzbiorze. Z tego względu ciągi dziey na

Bardziej szczegółowo

LISTA02: Projektowanie układów drugiego rzędu Przygotowanie: 1. Jakie własności ma równanie 2-ego rzędu & x &+ bx&

LISTA02: Projektowanie układów drugiego rzędu Przygotowanie: 1. Jakie własności ma równanie 2-ego rzędu & x &+ bx& LISTA: Projektownie ukłdów drugiego rzędu Przygotownie: 1. Jkie włsności m równnie -ego rzędu & &+ b + c u jeśli: ) c>; b) c; c) c< Określ położenie biegunów, stbilność, oscylcje Zdni 1: Wyzncz bieguny.

Bardziej szczegółowo

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas Cłki oznczone Definicj, włsności i oblicznie cłek oznczonych. Wrtość średni funkcji. Funkcj górnej grnicy cłkowni. Zstosowni cłek oznczonych. Cłki niewłściwe. Młgorzt Wyrws Ktedr Mtemtyki Wydził Informtyki

Bardziej szczegółowo

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW Zgdnieni.

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie drugiej Zakres podstawowy

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie drugiej Zakres podstawowy Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk 2 Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki w klsie drugiej Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące,

Bardziej szczegółowo

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości.

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości. Zmienne Po nieco intuicyjnych początkch, zjmiemy się obiektmi, n których opier się progrmownie są to zmienne. Zmienne Progrmy operują n zmiennych. Ndwnie im wrtości odbyw się poprzez instrukcję podstwieni.

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 2 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 2 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 2 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy bz dnych" 1 Pojęcie krotki - definicj Definicj. Niech dny będzie skończony zbiór U := { A 1, A 2,..., A n }, którego

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA Mteriły do wykłdu MATEMATYKA DYSKRETNA dl studiów zocznych cz. Progrm wykłdu: KOMBINATORYKA:. Notcj i podstwowe pojęci. Zlicznie funkcji. Permutcje. Podziory zioru. Podziory k-elementowe. Ziory z powtórzenimi

Bardziej szczegółowo

O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych

O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Spis tresci 1 Spis tresci 1 W wielu zgdnienich prktycznych brdzo wżne jest znjdownie optymlnego (czyli njlepszego z jkiegoś punktu widzeni) rozwiązni dnego problemu. Dl przykłdu, gdybyśmy chcieli podróżowć

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania

Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Definicja pochodnej Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu f (x x 0 jeśli istnieje

Bardziej szczegółowo

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Matematyka stosowana i metody numeryczne Ew Pbisek Adm Wostko Piotr Pluciński Mtemtyk stosown i metody numeryczne Konspekt z wykłdu 0 Cłkownie numeryczne Wzory cłkowni numerycznego pozwlją n obliczenie przybliżonej wrtości cłki: I(f) = f(x) dx

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach

Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach Wyk ld 1 Podstwowe widomości o mcierzch Oznczeni: N {1 2 3 } - zbiór liczb nturlnych N 0 {0 1 2 } R - ci lo liczb rzeczywistych n i 1 + 2 + + n i1 1 Określenie mcierzy Niech m i n bed dowolnymi liczbmi

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1)

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1) Mciej Grzesik Instytut Mtemtyki Politechniki Poznńskiej Cłki oznczone. Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj f ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podziey n n podprzedziłów punktmi = x < x

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy klasa 2. Zakres podstawowy

Plan wynikowy klasa 2. Zakres podstawowy Pln wynikowy kls Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące. SUMY ALGEBRAICZNE 0. Sumy

Bardziej szczegółowo