Treść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Treść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów"

Transkrypt

1 Treść wykładu Pierścienie wielomianów.

2 Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie wszystkie równe 0 (tzn. istnieje takie n, że f m = 0 dla m > n).

3 Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie wszystkie równe 0 (tzn. istnieje takie n, że f m = 0 dla m > n). W zbiorze wielomianów wprowadzamy działania: f +g = (f 0, f 1, f 2,...)+(g 0, g 1, g 2,...) = (f 0 +g 0, f 1 +g 1, f 2 +g 2,...)

4 Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie wszystkie równe 0 (tzn. istnieje takie n, że f m = 0 dla m > n). W zbiorze wielomianów wprowadzamy działania: f +g = (f 0, f 1, f 2,...)+(g 0, g 1, g 2,...) = (f 0 +g 0, f 1 +g 1, f 2 +g 2,...) fg = (f 0 g 0, f 0 g 1 + f 1 g 0, f 0 g 2 + f 1 g 1 + f 2 g 0,...)

5 Po wprowadzeniu oznaczeń: (0, 0, 0,...) = 0, (1, 0, 0,...) = 1, (0, 1, 0,...) = X

6 Po wprowadzeniu oznaczeń: (0, 0, 0,...) = 0, (1, 0, 0,...) = 1, (0, 1, 0,...) = X widzimy, że (0, 0, 1, 0,...) = X 2, (0, 0, 0, 1, 0,...) = X 3 itd.

7 Po wprowadzeniu oznaczeń: (0, 0, 0,...) = 0, (1, 0, 0,...) = 1, (0, 1, 0,...) = X widzimy, że (0, 0, 1, 0,...) = X 2, (0, 0, 0, 1, 0,...) = X 3 itd. Możemy wobec tego napisać: f = (f 0, f 1, f 2,..., f n ) = f 0 + f 1 X + f 2 X f n X n i wtedy działania na wielomianach można wykonywać normalnie.

8 Po wprowadzeniu oznaczeń: widzimy, że (0, 0, 0,...) = 0, (1, 0, 0,...) = 1, (0, 1, 0,...) = X (0, 0, 1, 0,...) = X 2, (0, 0, 0, 1, 0,...) = X 3 itd. Możemy wobec tego napisać: f = (f 0, f 1, f 2,..., f n ) = f 0 + f 1 X + f 2 X f n X n i wtedy działania na wielomianach można wykonywać normalnie. Przykład. Niech P = Z 6. Znaleźć sumę i iloczyn wielomianów f = 2X 2 + 3X + 2, g = X 4 + 4X 3 + 2X 2 + 5X + 1.

9 Po wprowadzeniu oznaczeń: widzimy, że (0, 0, 0,...) = 0, (1, 0, 0,...) = 1, (0, 1, 0,...) = X (0, 0, 1, 0,...) = X 2, (0, 0, 0, 1, 0,...) = X 3 itd. Możemy wobec tego napisać: f = (f 0, f 1, f 2,..., f n ) = f 0 + f 1 X + f 2 X f n X n i wtedy działania na wielomianach można wykonywać normalnie. Przykład. Niech P = Z 6. Znaleźć sumę i iloczyn wielomianów f = 2X 2 + 3X + 2, g = X 4 + 4X 3 + 2X 2 + 5X + 1. (Odp. f + g = X 4 + 4X 3 + 4X 2 + 2X + 3; fg = 2X 6 + 5X 5 + 3X 2 + X + 2).

10 Zmienna X, która pojawia się w zapisie, pełni rolę czysto formalną ułatwia zapis wielomianu i wykonywanie działań na wielomianach.

11 Zmienna X, która pojawia się w zapisie, pełni rolę czysto formalną ułatwia zapis wielomianu i wykonywanie działań na wielomianach. Jeśli w miejsce X będziemy podstawiać elementy pierścienia P, to po wykonaniu działań otrzymamy element pierścienia P.

12 Zmienna X, która pojawia się w zapisie, pełni rolę czysto formalną ułatwia zapis wielomianu i wykonywanie działań na wielomianach. Jeśli w miejsce X będziemy podstawiać elementy pierścienia P, to po wykonaniu działań otrzymamy element pierścienia P. A więc każdemu wielomianowi o współczynnikach z P można przyporządkować funkcję wielomianową f : P P : P a f 0 + f 1 a f n a n P.

13 Zmienna X, która pojawia się w zapisie, pełni rolę czysto formalną ułatwia zapis wielomianu i wykonywanie działań na wielomianach. Jeśli w miejsce X będziemy podstawiać elementy pierścienia P, to po wykonaniu działań otrzymamy element pierścienia P. A więc każdemu wielomianowi o współczynnikach z P można przyporządkować funkcję wielomianową f : P P : P a f 0 + f 1 a f n a n P. Element f 0 + f 1 a + + f n a n nazywać będziemy wartością wielomianu w punkcie a P.

14 Rozróżnienie między wielomianami a funkcjami wielomianowymi nie jest tylko formalizmem. Często dwa różne wielomiany określają tę samą funkcję.

15 Rozróżnienie między wielomianami a funkcjami wielomianowymi nie jest tylko formalizmem. Często dwa różne wielomiany określają tę samą funkcję. Np. w pierścieniu Z 3 wielomiany 1 + X oraz 1 + X 3 wyznaczają tę samą funkcję: 0 1, 1 2, 2 0.

16 Rozróżnienie między wielomianami a funkcjami wielomianowymi nie jest tylko formalizmem. Często dwa różne wielomiany określają tę samą funkcję. Np. w pierścieniu Z 3 wielomiany 1 + X oraz 1 + X 3 wyznaczają tę samą funkcję: 0 1, 1 2, 2 0. Przy odpowiednich założeniach o pierścieniu P odpowiedniość: jest wzajemnie jednoznaczna. wielomian funkcja wielomianowa

17 Twierdzenie Zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach z P z działaniami + i oraz wyróżnionymi wielomianami 0 i 1 jest pierścieniem. Oznaczamy go przez P[X ].

18 Stopień wielomianu f, tzn. największą z liczb n, dla których f n 0, będziemy oznaczali przez deg f. Przyjmujemy, że deg 0 =.

19 Stopień wielomianu f, tzn. największą z liczb n, dla których f n 0, będziemy oznaczali przez deg f. Przyjmujemy, że deg 0 =. Łatwo zauważyć, że deg(f + g) max(deg f, deg g),

20 Stopień wielomianu f, tzn. największą z liczb n, dla których f n 0, będziemy oznaczali przez deg f. Przyjmujemy, że deg 0 =. Łatwo zauważyć, że deg(f + g) max(deg f, deg g), deg(fg) deg f + deg g.

21 Stopień wielomianu f, tzn. największą z liczb n, dla których f n 0, będziemy oznaczali przez deg f. Przyjmujemy, że deg 0 =. Łatwo zauważyć, że deg(f + g) max(deg f, deg g), deg(fg) deg f + deg g. Zadanie. Na przykładzie odpowiednio dobranych wielomianów z pierścienia Z 6 [X ] wykazać, że stopień iloczynu wielomianów może być mniejszy od sumy stopni czynników.

22 Stopień wielomianu f, tzn. największą z liczb n, dla których f n 0, będziemy oznaczali przez deg f. Przyjmujemy, że deg 0 =. Łatwo zauważyć, że deg(f + g) max(deg f, deg g), deg(fg) deg f + deg g. Zadanie. Na przykładzie odpowiednio dobranych wielomianów z pierścienia Z 6 [X ] wykazać, że stopień iloczynu wielomianów może być mniejszy od sumy stopni czynników. (Odp. np. (2X 2 )(3X 5 ) = 0).

23 Stopień wielomianu f, tzn. największą z liczb n, dla których f n 0, będziemy oznaczali przez deg f. Przyjmujemy, że deg 0 =. Łatwo zauważyć, że deg(f + g) max(deg f, deg g), deg(fg) deg f + deg g. Zadanie. Na przykładzie odpowiednio dobranych wielomianów z pierścienia Z 6 [X ] wykazać, że stopień iloczynu wielomianów może być mniejszy od sumy stopni czynników. (Odp. np. (2X 2 )(3X 5 ) = 0). Jeżeli najwyższy współczynnik wielomianu f (lub wielomianu g) nie jest dzielnikiem zera, to deg(fg) = deg f + deg g.

24 Twierdzenie Niech P będzie pierścieniem, a f wielomianem z P[X ], którego najwyższy współczynnik nie jest dzielnikiem zera. Wówczas f nie jest dzielnikiem zera w P[X ]. Jeżeli P jest dziedziną całkowitości, to i P[X ] jest dziedziną całkowitości.

25 Twierdzenie Niech P będzie pierścieniem, a f wielomianem z P[X ], którego najwyższy współczynnik nie jest dzielnikiem zera. Wówczas f nie jest dzielnikiem zera w P[X ]. Jeżeli P jest dziedziną całkowitości, to i P[X ] jest dziedziną całkowitości. D o w ó d. Niech fg = 0. Wówczas deg f + deg g =. Ponieważ deg f > 0, więc deg g =, a stąd g = 0.

26 Dzielenie wielomianów Definicja Niech f, g P[X ]. Mówimy, że w P[X ] jest wykonalne dzielenie z resztą wielomianu g przez wielomian f, gdy istnieją takie wielomiany q, r P[X ], że g = fq + r, przy czym deg r < deg f.

27 Dzielenie wielomianów Definicja Niech f, g P[X ]. Mówimy, że w P[X ] jest wykonalne dzielenie z resztą wielomianu g przez wielomian f, gdy istnieją takie wielomiany q, r P[X ], że g = fq + r, przy czym deg r < deg f. Wielomian f nazywamy unormowanym, jeżeli f 0 i jego najwyższy współczynnik jest równy 1.

28 Dzielenie wielomianów Definicja Niech f, g P[X ]. Mówimy, że w P[X ] jest wykonalne dzielenie z resztą wielomianu g przez wielomian f, gdy istnieją takie wielomiany q, r P[X ], że g = fq + r, przy czym deg r < deg f. Wielomian f nazywamy unormowanym, jeżeli f 0 i jego najwyższy współczynnik jest równy 1. Twierdzenie Jeżeli f P[X ] jest wielomianem unormowanym, a g P[X ] dowolnym wielomianem, to w P[X ] jest wykonalne dzielenie z resztą g przez f.

29 Dzielenie wielomianów D o w ó d. Twierdzenie jest prawdziwe gdy deg g < deg f (wtedy q = 0, r = g).

30 Dzielenie wielomianów D o w ó d. Twierdzenie jest prawdziwe gdy deg g < deg f (wtedy q = 0, r = g). Niech m = deg g, m n, n = deg f. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wielomianu g stopnia mniejszego niż m.

31 Dzielenie wielomianów D o w ó d. Twierdzenie jest prawdziwe gdy deg g < deg f (wtedy q = 0, r = g). Niech m = deg g, m n, n = deg f. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wielomianu g stopnia mniejszego niż m. Niech teraz deg g = m i niech g g m X m n f = h.

32 Dzielenie wielomianów D o w ó d. Twierdzenie jest prawdziwe gdy deg g < deg f (wtedy q = 0, r = g). Niech m = deg g, m n, n = deg f. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wielomianu g stopnia mniejszego niż m. Niech teraz deg g = m i niech g g m X m n f = h. W wielomianie h współczynnik przy X m jest równy 0. Stąd deg h < m.

33 Dzielenie wielomianów D o w ó d. Twierdzenie jest prawdziwe gdy deg g < deg f (wtedy q = 0, r = g). Niech m = deg g, m n, n = deg f. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wielomianu g stopnia mniejszego niż m. Niech teraz deg g = m i niech g g m X m n f = h. W wielomianie h współczynnik przy X m jest równy 0. Stąd deg h < m. Na mocy założenia indukcyjnego istnieją takie q, r P[X ], deg r < n, że h = fq + r.

34 Dzielenie wielomianów D o w ó d. Twierdzenie jest prawdziwe gdy deg g < deg f (wtedy q = 0, r = g). Niech m = deg g, m n, n = deg f. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wielomianu g stopnia mniejszego niż m. Niech teraz deg g = m i niech g g m X m n f = h. W wielomianie h współczynnik przy X m jest równy 0. Stąd deg h < m. Na mocy założenia indukcyjnego istnieją takie q, r P[X ], deg r < n, że h = fq + r. Wobec tego g = g m X m n f + h = g m X m n f + fq + r = (g m X m n + q)f + r, co należało wykazać.

35 Z twierdzenia 3 wynika, że dzielenie dwóch wielomianów jest wykonalne, gdy dzielnik można unormować. Tak więc w pierścieniu wielomianów nad ciałem wykonalne jest dzielenie dowolnych dwu wielomianów; jeśli natomiast pierścień współczynników nie jest ciałem, to dzielenie nie zawsze będzie możliwe.

36 Z twierdzenia 3 wynika, że dzielenie dwóch wielomianów jest wykonalne, gdy dzielnik można unormować. Tak więc w pierścieniu wielomianów nad ciałem wykonalne jest dzielenie dowolnych dwu wielomianów; jeśli natomiast pierścień współczynników nie jest ciałem, to dzielenie nie zawsze będzie możliwe. Przykład. W pierścieniu Z 5 [X ] wykonać dzielenie (X 3 + 2X 2 + 4X + 3) : (3X 2 + 2). Uwaga : 3 jest odwracalne w Z 5 i 3 1 = 2. (Odp.: 2X + 4).

37 Niech P = Z lub P = K[x] (K ciało), i niech a, b będą dowolnymi elementami pierścienia P. Algorytm Euklidesa znajdowania największego wspólnego dzielnika nwd(a, b) polega na wykonywaniu kolejnych dzieleń: a = bq 1 + r 1

38 Niech P = Z lub P = K[x] (K ciało), i niech a, b będą dowolnymi elementami pierścienia P. Algorytm Euklidesa znajdowania największego wspólnego dzielnika nwd(a, b) polega na wykonywaniu kolejnych dzieleń: a = bq 1 + r 1 b = r 1 q 2 + r 2

39 Niech P = Z lub P = K[x] (K ciało), i niech a, b będą dowolnymi elementami pierścienia P. Algorytm Euklidesa znajdowania największego wspólnego dzielnika nwd(a, b) polega na wykonywaniu kolejnych dzieleń: a = bq 1 + r 1 b = r 1 q 2 + r 2 r 1 = r 2 q 3 + r 3

40 Niech P = Z lub P = K[x] (K ciało), i niech a, b będą dowolnymi elementami pierścienia P. Algorytm Euklidesa znajdowania największego wspólnego dzielnika nwd(a, b) polega na wykonywaniu kolejnych dzieleń: a = bq 1 + r 1 b = r 1 q 2 + r 2 r 1 = r 2 q 3 + r

41 Niech P = Z lub P = K[x] (K ciało), i niech a, b będą dowolnymi elementami pierścienia P. Algorytm Euklidesa znajdowania największego wspólnego dzielnika nwd(a, b) polega na wykonywaniu kolejnych dzieleń: a = bq 1 + r 1 b = r 1 q 2 + r 2 r 1 = r 2 q 3 + r r n 2 = r n 1 q n + r n

42 Niech P = Z lub P = K[x] (K ciało), i niech a, b będą dowolnymi elementami pierścienia P. Algorytm Euklidesa znajdowania największego wspólnego dzielnika nwd(a, b) polega na wykonywaniu kolejnych dzieleń: a = bq 1 + r 1 b = r 1 q 2 + r 2 r 1 = r 2 q 3 + r r n 2 = r n 1 q n + r n r n 1 = r n q n+1 dopóki nie uzyskamy reszty 0.

43 Niech P = Z lub P = K[x] (K ciało), i niech a, b będą dowolnymi elementami pierścienia P. Algorytm Euklidesa znajdowania największego wspólnego dzielnika nwd(a, b) polega na wykonywaniu kolejnych dzieleń: a = bq 1 + r 1 b = r 1 q 2 + r 2 r 1 = r 2 q 3 + r r n 2 = r n 1 q n + r n r n 1 = r n q n+1 dopóki nie uzyskamy reszty 0. Ostatnia niezerowa reszta to właśnie nwd(a, b).

44 Ten sam algorytm może służyć do przedstawienia nwd(a, b) explicite przez kombinację sa + tb.

45 Ten sam algorytm może służyć do przedstawienia nwd(a, b) explicite przez kombinację sa + tb. Przykład. Wyznaczyć w pierścieniu R[X ] największy wspólny dzielnik d(x ) wielomianów f (X ) = X 5 + X 4 + X 3 + X 2 + X + 1 g(x ) = X 4 + X 3 + 2X 2 + X + 1 i przedstawić go w postaci d(x ) = a(x )f (X ) + b(x )g(x ).

46 Ten sam algorytm może służyć do przedstawienia nwd(a, b) explicite przez kombinację sa + tb. Przykład. Wyznaczyć w pierścieniu R[X ] największy wspólny dzielnik d(x ) wielomianów f (X ) = X 5 + X 4 + X 3 + X 2 + X + 1 g(x ) = X 4 + X 3 + 2X 2 + X + 1 i przedstawić go w postaci d(x ) = a(x )f (X ) + b(x )g(x ). Odp. d(x ) = 2(X 2 + X + 1) d(x ) = (X + 1)f (X ) + ( X 2 X + 1)g(X ).

47 Obliczanie wartości wielomianów Niech f P[X ], f (X ) = a n X n + a n 1 X n a 1 X + a 0. Aby obliczyć wartość f (x) dla jakiegoś x P, można obliczać każdy człon osobno i potem dodać. Wymaga to j mnożeń do obliczenia j tego składnika, czyli n = n(n + 1)/2 mnożeń oraz n dodawań.

48 Obliczanie wartości wielomianów Niech f P[X ], f (X ) = a n X n + a n 1 X n a 1 X + a 0. Aby obliczyć wartość f (x) dla jakiegoś x P, można obliczać każdy człon osobno i potem dodać. Wymaga to j mnożeń do obliczenia j tego składnika, czyli n = n(n + 1)/2 mnożeń oraz n dodawań. Poprawimy efektywność, jeśli będziemy wykorzystywać już obliczone wartości licząc x j+1 = xx j. Wtedy wymaga to 2n 1 mnożeń oraz n dodawań.

49 Obliczanie wartości wielomianów Niech f P[X ], f (X ) = a n X n + a n 1 X n a 1 X + a 0. Aby obliczyć wartość f (x) dla jakiegoś x P, można obliczać każdy człon osobno i potem dodać. Wymaga to j mnożeń do obliczenia j tego składnika, czyli n = n(n + 1)/2 mnożeń oraz n dodawań. Poprawimy efektywność, jeśli będziemy wykorzystywać już obliczone wartości licząc x j+1 = xx j. Wtedy wymaga to 2n 1 mnożeń oraz n dodawań. Jednak najbardziej efektywny sposób znajdziemy pisząc wielomian w postaci zagnieżdżonej: f (x) = ( ((a n x + a n 1 )x + a n 2 ) x + ) x + a 0.

50 Obliczanie wartości wielomianów Niech f P[X ], f (X ) = a n X n + a n 1 X n a 1 X + a 0. Aby obliczyć wartość f (x) dla jakiegoś x P, można obliczać każdy człon osobno i potem dodać. Wymaga to j mnożeń do obliczenia j tego składnika, czyli n = n(n + 1)/2 mnożeń oraz n dodawań. Poprawimy efektywność, jeśli będziemy wykorzystywać już obliczone wartości licząc x j+1 = xx j. Wtedy wymaga to 2n 1 mnożeń oraz n dodawań. Jednak najbardziej efektywny sposób znajdziemy pisząc wielomian w postaci zagnieżdżonej: f (x) = ( ((a n x + a n 1 )x + a n 2 ) x + ) x + a 0. Ten schemat postępowania (schemat Hornera) wymaga tylko n mnożeń oraz n dodawań.

51 Schemat Hornera zapisujemy następująco: a n a n 1 a n 2 a 1 a 0 xb n xb n 1 xb 2 xb 1 x b n = a n b n 1 b n 2 b 1 b 0 = f (x)

52 Liczby pojawiające się po drodze mają interesującą interpretację. Okazuje się bowiem, że f (X ) = (b n X n 1 + b n 1 X n b 2 X + b 1 )(X x) + b 0.

53 Liczby pojawiające się po drodze mają interesującą interpretację. Okazuje się bowiem, że f (X ) = (b n X n 1 + b n 1 X n b 2 X + b 1 )(X x) + b 0. Sprawdzenie. Porównując współczynniki po lewej i prawej stronie otrzymujemy układ równości: b n = a n b n 1 b n a = a n 1... b 2 b 3 a = a 2 b 1 b 2 a = a 1 b 0 b 1 a = a 0,

54 czyli: b n = a n b n 1 = b n a + a n 1... b 2 = b 3 a + a 2 b 1 = b 2 a + a 1 b 0 = b 1 a + a 0.

55 czyli: b n = a n b n 1 = b n a + a n 1... b 2 = b 3 a + a 2 b 1 = b 2 a + a 1 b 0 = b 1 a + a 0. A więc wielomian q = b n X n 1 + b n 1 X n b 2 X + b 1 jest ilorazem z dzielenia f (X ) przez X x.

56 Niech P będzie pierścieniem, a I jego ideałem. Jeżeli I P, to I jest dzielnikiem normalnym grupy (P, +). Można więc utworzyć grupę ilorazową P/I. Jej elementami są warstwy względem podgrupy I. Warstwę zawierającą element a oznaczamy a + I. W grupie ilorazowej określimy mnożenie wzorem: (a + I )(b + I ) = ab + I. Grupa P/I po wprowadzeniu w niej mnożenia uzyskuje strukturę pierścienia. Pierścień ten nazywamy pierścieniem ilorazowym.

57 Jeżeli ideał jest generowany przez zbiór jednoelementowy, to nazywamy go głównym. Pierścień całkowity, którego każdy ideał jest główny, nazywamy pierścieniem ideałów głównych. Wniosek Ideał główny (a) generowany przez element a P jest zbiorem elementów postaci ab, gdzie b P. Twierdzenie Każdy ideał pierścienia liczb całkowitych Z jest główny.

58 Opis pierścienia ilorazowego wielomianów Rozważmy pierścień K[X ] wielomianów nad ciałem K. Twierdzenie Każdy ideał pierścienia K[X ] jest główny. Zatem każdy ideał P pierścienia K[X ] jest generowany przez pewien wielomian p(x ), tj. składa się ze wszystkich wielomianów podzielnych przez p(x ).

59 Wobec tego elementami pierścienia ilorazowego K[X ]/P są klasy równoważności relacji na K[X ] określonej warunkiem wtedy i tylko wtedy, gdy f (X ) = g(x ) mod (p(x )) f (X ) g(x ) (p(x )) Lemat f (X ) = g(x ) mod (p(x )) wtedy i tylko wtedy, gdy f (X ) i g(x ) dają tę samą resztę przy dzieleniu przez p(x ). Zatem każda warstwa [f (X )] zawiera resztę z dzielenia f (X ) przez p(x ). Z poniższego twierdzenia wynika, że ta reszta jest jednoznacznie określona.

60 Twierdzenie Niech K[X ] będzie ciałem K i niech P oznacza ideał generowany przez wielomian p(x ) stopnia n > 0. Każdy element pierścienia ilorazowego K[X ]/P jest postaci P + a 0 + a 1 X + + a n 1 X n 1, gdzie a 0, a 1,..., a n 1 K, przy czym różnym ciągom a 0, a 1,..., a n 1 odpowiadają różne elementy.

61 Przykład. Napisać tabelki operacji w pierścieniu Z 2 [X ]/(X 2 + X + 1). Możliwe reszty z dzielenia przez X 2 + X + 1 to 0, 1, X, X + 1. Są więc 4 warstwy: Tabelka dodawania: P, P + 1, P + X, P + X P P + 1 P + X P + X + 1 P P P + 1 P + X P + X + 1 P + 1 P + 1 P P + X + 1 P + X P + X P + X P + X + 1 P P + 1 P + X + 1 P + X + 1 P + X P + 1 P

62 Tabelka mnożenia: P P + 1 P + X P + X + 1 P P P P P P + 1 P P + 1 P + X P + X + 1 P + X P P + X P + X + 1 P + 1 P + X + 1 P P + X + 1 P + 1 P + X Przy obliczaniu iloczynów uwzględniamy fakt, że P + X 2 + X + 1 = P (czyli praktycznie X 2 + X + 1 = 0, bądź równoważnie X 2 = X + 1). Elementy pierścienia ilorazowego można oznaczać: [f (X )] lub P + f (X ), ale najpraktyczniej jest oznaczać je po prostu jako a 0 + a 1 X + + a n 1 X n 1, bo taki wielomian określa warstwę jednoznacznie.

63 Jeżeli P = (p(x )) oraz deg p(x ) = n, to elementami pierścienia ilorazowego są wszystkie wielomiany stopnia mniejszego od n. Ilość tych wielomianów zależy od ciała K. Przykład. Niech p(x ) = X Wtedy pierścień ilorazowy składa się z wielomianów postaci a 1 X + a 0, gdzie a 0, a 1 K. Zatem 1 jeśli K = R, to jest nieskończenie wiele takich wielomianów; 2 jeśli K = Z 2, to są 4 takie wielomiany; 3 jeśli K = Z 3, to jest 9 takich wielomianów; 4 jeśli K = Z 5, to jest 25 takich wielomianów; Mnożenie warstw (czyli wielomianów) wykonujemy w tym pierścieniu modulo X 2 + 1, co praktycznie oznacza, że X 2 zastępujemy przez 1.

64 Zatem 1 jeśli K = R, to (a + bx )(c + dx ) = ac + (ad + bc)x + bdx 2 = (ac bd) + (ad + bc)x ; 2 jeśli K = Z 2, to np. (X + 1) 2 = X = 0; 3 jeśli K = Z 3, to np. (X + 2) 2 = X 2 + X + 1 = 2X ; 4 jeśli K = Z 5, to np. (X + 2) 2 = X 2 + 4X + 4 = 1 + 4X + 4 = 4X. Należy pamiętać, że elementami pierścienia ilorazowego są warstwy względem ideału (p(x )), czyli zbiory wielomianów. Warstwa zawiera tylko jeden wielomian stopnia mniejszego niż deg p(x ), i ten wielomian jest jej reprezentantem.

Maciej Grzesiak. Wielomiany

Maciej Grzesiak. Wielomiany Maciej Grzesiak Wielomiany 1 Pojęcia podstawowe Wielomian definiuje się w szkole średniej jako funkcję postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + + a n x n Dogodniejsza z punktu widzenia algebry jest następująca

Bardziej szczegółowo

0.1 Pierścienie wielomianów

0.1 Pierścienie wielomianów 0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn

Bardziej szczegółowo

Pierścień wielomianów jednej zmiennej

Pierścień wielomianów jednej zmiennej Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

Wielomiany i rozszerzenia ciał

Wielomiany i rozszerzenia ciał Wielomiany i rozszerzenia ciał Maciej Grzesiak 1 Pierścień wielomianów 1.1 Pojęcia podstawowe Z wielomianami spotykamy się już w pierwszych latach nauki w szkole średniej. Jest to bowiem najprostsza pojęciowo

Bardziej szczegółowo

1 Określenie pierścienia

1 Określenie pierścienia 1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

1. Określenie pierścienia

1. Określenie pierścienia 1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy

Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),

Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), Algorytm Euklidesa ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), (d) NWD(120, 168, 280), (e) NWD(30, 42, 70, 105), (f) NWW[120, 195], (g)

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMY MATEMATYCZNE Ćwiczenie 1 Na podstawie schematu blokowego pewnego algorytmu (rys 1), napisz listę kroków tego algorytmu:

ALGORYTMY MATEMATYCZNE Ćwiczenie 1 Na podstawie schematu blokowego pewnego algorytmu (rys 1), napisz listę kroków tego algorytmu: ALGORYTMY MATEMATYCZNE Ćwiczenie 1 Na podstawie schematu blokowego pewnego algorytmu (rys 1), napisz listę kroków tego algorytmu: Rys1 Ćwiczenie 2 Podaj jaki ciąg znaków zostanie wypisany po wykonaniu

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie 1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu

Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Algebra 1 Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niech X będzie niepustym zbiorem. Działaniem w zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie (funkcję) działające

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Teoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,

Teoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska, Teoria liczb Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Wstęp Teoria liczb jest dziedziną matematyki,

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska

Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich

Bardziej szczegółowo

Algebra I. Grzegorz Bobiński. wykład z ćwiczeniami dla studentów II roku matematyki. Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu

Algebra I. Grzegorz Bobiński. wykład z ćwiczeniami dla studentów II roku matematyki. Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu Algebra I wykład z ćwiczeniami dla studentów II roku matematyki Grzegorz Bobiński Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu Toruń 2005 Spis treści Rozdział I. Pierścienie 3 1.1. Działania w zbiorach

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak

Bardziej szczegółowo

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) 1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1

Wielomiany. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1 Definicja Definicja Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 gdzie

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią. wykład I

Algebra liniowa z geometrią. wykład I Algebra liniowa z geometrią wykład I 1 Oznaczenia N zbiór liczb naturalnych, tutaj zaczynających się od 1 Z zbiór liczb całkowitych Q zbiór liczb wymiernych R zbiór liczb rzeczywistych C zbiór liczb zespolonych

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 4: Podzielność liczb całkowitych Gniewomir Sarbicki Dzielenie całkowitoliczbowe Twierdzenie: Dla każdej pary liczb całkowitych (a, b) istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych

Bardziej szczegółowo

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,

Bardziej szczegółowo

Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy

Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy Rozdział 15 Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy 15.1 Algorytm dzielenia Definicja 15.1 Niech dany będzie niezerowy wielomian f K[x] (K jest ciałem) f = a 0 x m + a 1 x m 1 +... + a m, gdzie

Bardziej szczegółowo

Wielomiany podstawowe wiadomości

Wielomiany podstawowe wiadomości Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i

Bardziej szczegółowo

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie

Bardziej szczegółowo

Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań

Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Strona 1 z 25 Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Andrzej Sładek, Instytut Matematyki UŚl sladek@ux2.math.us.edu.pl Spotkanie w LO im. Powstańców Śl w Bieruniu Starym 27 października 2005 Strona

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone i

1. Liczby zespolone i Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich

Bardziej szczegółowo

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny) Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne

Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne Definicja 1. Działaniem dwuargumentowym w niepustym zbiorze A nazywamy każdą funkcję : A A A, tzn. taką funkcję, że zachodzi a,b A (a, b) ((a,

Bardziej szczegółowo

Grupy, pierścienie i ciała

Grupy, pierścienie i ciała Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

Paweł Gładki. Algebra. pgladki/

Paweł Gładki. Algebra.  pgladki/ Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,

Bardziej szczegółowo

ciałem F i oznaczamy [L : F ].

ciałem F i oznaczamy [L : F ]. 11. Wykład 11: Baza i stopień rozszerzenia. Elementy algebraiczne i przestępne. Rozszerzenia algebraiczne i skończone. 11.1. Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga 11.1. Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

Samodzielnie wykonaj następujące operacje: 13 / 2 = 30 / 5 = 73 / 15 = 15 / 23 = 13 % 2 = 30 % 5 = 73 % 15 = 15 % 23 =

Samodzielnie wykonaj następujące operacje: 13 / 2 = 30 / 5 = 73 / 15 = 15 / 23 = 13 % 2 = 30 % 5 = 73 % 15 = 15 % 23 = Systemy liczbowe Dla każdej liczby naturalnej x Î N oraz liczby naturalnej p >= 2 istnieją jednoznacznie wyznaczone: liczba n Î N oraz ciąg cyfr c 0, c 1,..., c n-1 (gdzie ck Î {0, 1,..., p - 1}) taki,

Bardziej szczegółowo

Teoria liczb. Zajmuje się własnościami liczb, wszystkim całkowitych

Teoria liczb. Zajmuje się własnościami liczb, wszystkim całkowitych Teoria liczb Zajmuje się własnościami liczb, przede wszystkim całkowitych Niepraktyczna? - kryptografia Dzielenie liczb całkowitych z resztą Niech b>0, wtedy dla każdej liczby całkowitej a istnieją jednoznacznie

Bardziej szczegółowo

Wybrane zagadnienia teorii liczb

Wybrane zagadnienia teorii liczb Wybrane zagadnienia teorii liczb Podzielność liczb NWW, NWD, Algorytm Euklidesa Arytmetyka modularna Potęgowanie modularne Małe twierdzenie Fermata Liczby pierwsze Kryptosystem RSA Podzielność liczb Relacja

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

Zegar ten przedstawia reszty z dzielenia przez 6. Obrazuje on jak kolejne liczby można przyporządkować do odpowiednich pokazanych na zegarze grup.

Zegar ten przedstawia reszty z dzielenia przez 6. Obrazuje on jak kolejne liczby można przyporządkować do odpowiednich pokazanych na zegarze grup. Rozgrzewka (Ci, którzy znają pojęcie kongruencji niech przejdą do zadania 3 bc i 4, jeśli i te zadania są za proste to proponuje zadanie 5): Zad.1 a) Marek wyjechał pociągiem do Warszawy o godzinie 21

Bardziej szczegółowo

Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata

Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata Michał Krzemiński 29 listopad 2006 Naukowe Koło Matematyki Politechnika Gdańska 1 1 Krzywe algebraiczne Definicja 1.1 Krzywą algebraiczną C nad ciałem K nazywamy

Bardziej szczegółowo

Uwaga: Funkcja zamień(a[j],a[j+s]) zamienia miejscami wartości A[j] oraz A[j+s].

Uwaga: Funkcja zamień(a[j],a[j+s]) zamienia miejscami wartości A[j] oraz A[j+s]. Zadanie 1. Wiązka zadań Od szczegółu do ogółu Rozważmy następujący algorytm: Dane: Algorytm 1: k liczba naturalna, A[1...2 k ] tablica liczb całkowitych. n 1 dla i=1,2,,k wykonuj n 2n s 1 dopóki s

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

1 Całki funkcji wymiernych

1 Całki funkcji wymiernych Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...

Bardziej szczegółowo

Równania wielomianowe

Równania wielomianowe Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego 20 marca 2009 Kraków Równanie z jedną niewiadomą Wielomian jednej zmiennej to wyrażenie postaci P(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera

Twierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera Kongruencje wykład 6 ... Euler, 1760, Sankt Petersburg Dla każdego a m zachodzi kongruencja a φ(m) 1 (mod m). Przypomnijmy: φ(m) to liczba reszt modulo m względnie pierwszych z m; φ(m) = m(1 1/p 1 )...

Bardziej szczegółowo

Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia dzienne Wykład 6

Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia dzienne Wykład 6 Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia dzienne Wykład 6 1 Kody cykliczne: dekodowanie Definicja 1 (Syndrom) Niech K będzie kodem cyklicznym z wielomianem generuja- cym g(x). Resztę z dzielenia słowa

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIEŃ WIELOMIANÓW

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIEŃ WIELOMIANÓW ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 PIERŚCIEŃ WIELOMIANÓW Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 6, 6.11.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Plan 2/10 1 Co to są wielomiany i jak się je mnoży? 2 Co to jest stopień

Bardziej szczegółowo

3. Wykład Układy równań liniowych.

3. Wykład Układy równań liniowych. 31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi. Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

Algorytmy w teorii liczb

Algorytmy w teorii liczb Łukasz Kowalik, ASD 2004: Algorytmy w teorii liczb 1 Algorytmy w teorii liczb Teoria liczb jest działem matemtyki dotyczącym własności liczb naturalnych. Rozważa się zagadnienia związane z liczbami pierwszymi,

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY. ZADANIE 1 (5 PKT) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu.

WIELOMIANY. ZADANIE 1 (5 PKT) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu. IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUMA PUNKTÓW: 125 ZADANIE 1 (5 PKT) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu. ZADANIE 2 (5 PKT)

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

Kombinacje liniowe wektorów.

Kombinacje liniowe wektorów. Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu

Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2012/2013 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 3 13 Ciało ułamków

Bardziej szczegółowo

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. 3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X

Bardziej szczegółowo

Skończone rozszerzenia ciał

Skończone rozszerzenia ciał Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie

Bardziej szczegółowo

Kongruencje pierwsze kroki

Kongruencje pierwsze kroki Kongruencje wykład 1 Definicja Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą, natomiast a i b dowolnymi liczbami całkowitymi. Liczby a i b nazywamy przystającymi (kongruentnymi) modulo n i piszemy a b (mod

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia.

ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia. ARYTMETYKA BINARNA ROZWINIĘCIE DWÓJKOWE Jednym z najlepiej znanych sposobów kodowania informacji zawartej w liczbach jest kodowanie w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, w którym dla przedstawienia liczb

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY SUPER TRUDNE

WIELOMIANY SUPER TRUDNE IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2015/16

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2015/16 Na ćwiczeniach 6.0.205 omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie.. Sformułować uogólnione cechy podzielności

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne w przykładach

Metody numeryczne w przykładach Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach

Bardziej szczegółowo

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 15.1.010r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011 Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla

Bardziej szczegółowo

KONGRUENCJE. 1. a a (mod m) a b (mod m) b a (mod m) a b (mod m) b c (mod m) a c (mod m) Zatem relacja kongruencji jest relacją równoważności.

KONGRUENCJE. 1. a a (mod m) a b (mod m) b a (mod m) a b (mod m) b c (mod m) a c (mod m) Zatem relacja kongruencji jest relacją równoważności. KONGRUENCJE Dla a, b, m Z mówimy, że liczba a przystaje do liczby b modulo m a b (mod m) m (a b) (a b (mod m) można też zapisać jako: a = km + b, k Z). Liczbę m nazywamy modułem kongruencji. Własności:

Bardziej szczegółowo

13. Cia la. Rozszerzenia cia l.

13. Cia la. Rozszerzenia cia l. 59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.

Bardziej szczegółowo

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.

Bardziej szczegółowo

MADE IN CHINA czyli SYSTEM RESZTOWY

MADE IN CHINA czyli SYSTEM RESZTOWY MADE IN CHINA czyli SYSTEM RESZTOWY System ten oznaczmy skrótem RNS (residue number system czyli po prostu resztowy system liczbowy). Wartość liczby w tym systemie reprezentuje wektor (zbiór) reszt z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie. 1. Dane są liczby naturalne m, n. Wówczas

Bardziej szczegółowo

7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :

7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady : WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na

Bardziej szczegółowo

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia 1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia kwadratów i sześcianów przez małe liczby, cechy podzielności przez 2, 4, 8, 5, 25, 125, 3, 9. 26 września 2009 r. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie

Bardziej szczegółowo