Treść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Treść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów"

Transkrypt

1 Treść wykładu Pierścienie wielomianów.

2 Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie wszystkie równe 0 (tzn. istnieje takie n, że f m = 0 dla m > n).

3 Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie wszystkie równe 0 (tzn. istnieje takie n, że f m = 0 dla m > n). W zbiorze wielomianów wprowadzamy działania: f +g = (f 0, f 1, f 2,...)+(g 0, g 1, g 2,...) = (f 0 +g 0, f 1 +g 1, f 2 +g 2,...)

4 Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie wszystkie równe 0 (tzn. istnieje takie n, że f m = 0 dla m > n). W zbiorze wielomianów wprowadzamy działania: f +g = (f 0, f 1, f 2,...)+(g 0, g 1, g 2,...) = (f 0 +g 0, f 1 +g 1, f 2 +g 2,...) fg = (f 0 g 0, f 0 g 1 + f 1 g 0, f 0 g 2 + f 1 g 1 + f 2 g 0,...)

5 Po wprowadzeniu oznaczeń: (0, 0, 0,...) = 0, (1, 0, 0,...) = 1, (0, 1, 0,...) = X

6 Po wprowadzeniu oznaczeń: (0, 0, 0,...) = 0, (1, 0, 0,...) = 1, (0, 1, 0,...) = X widzimy, że (0, 0, 1, 0,...) = X 2, (0, 0, 0, 1, 0,...) = X 3 itd.

7 Po wprowadzeniu oznaczeń: (0, 0, 0,...) = 0, (1, 0, 0,...) = 1, (0, 1, 0,...) = X widzimy, że (0, 0, 1, 0,...) = X 2, (0, 0, 0, 1, 0,...) = X 3 itd. Możemy wobec tego napisać: f = (f 0, f 1, f 2,..., f n ) = f 0 + f 1 X + f 2 X f n X n i wtedy działania na wielomianach można wykonywać normalnie.

8 Po wprowadzeniu oznaczeń: widzimy, że (0, 0, 0,...) = 0, (1, 0, 0,...) = 1, (0, 1, 0,...) = X (0, 0, 1, 0,...) = X 2, (0, 0, 0, 1, 0,...) = X 3 itd. Możemy wobec tego napisać: f = (f 0, f 1, f 2,..., f n ) = f 0 + f 1 X + f 2 X f n X n i wtedy działania na wielomianach można wykonywać normalnie. Przykład. Niech P = Z 6. Znaleźć sumę i iloczyn wielomianów f = 2X 2 + 3X + 2, g = X 4 + 4X 3 + 2X 2 + 5X + 1.

9 Po wprowadzeniu oznaczeń: widzimy, że (0, 0, 0,...) = 0, (1, 0, 0,...) = 1, (0, 1, 0,...) = X (0, 0, 1, 0,...) = X 2, (0, 0, 0, 1, 0,...) = X 3 itd. Możemy wobec tego napisać: f = (f 0, f 1, f 2,..., f n ) = f 0 + f 1 X + f 2 X f n X n i wtedy działania na wielomianach można wykonywać normalnie. Przykład. Niech P = Z 6. Znaleźć sumę i iloczyn wielomianów f = 2X 2 + 3X + 2, g = X 4 + 4X 3 + 2X 2 + 5X + 1. (Odp. f + g = X 4 + 4X 3 + 4X 2 + 2X + 3; fg = 2X 6 + 5X 5 + 3X 2 + X + 2).

10 Zmienna X, która pojawia się w zapisie, pełni rolę czysto formalną ułatwia zapis wielomianu i wykonywanie działań na wielomianach.

11 Zmienna X, która pojawia się w zapisie, pełni rolę czysto formalną ułatwia zapis wielomianu i wykonywanie działań na wielomianach. Jeśli w miejsce X będziemy podstawiać elementy pierścienia P, to po wykonaniu działań otrzymamy element pierścienia P.

12 Zmienna X, która pojawia się w zapisie, pełni rolę czysto formalną ułatwia zapis wielomianu i wykonywanie działań na wielomianach. Jeśli w miejsce X będziemy podstawiać elementy pierścienia P, to po wykonaniu działań otrzymamy element pierścienia P. A więc każdemu wielomianowi o współczynnikach z P można przyporządkować funkcję wielomianową f : P P : P a f 0 + f 1 a f n a n P.

13 Zmienna X, która pojawia się w zapisie, pełni rolę czysto formalną ułatwia zapis wielomianu i wykonywanie działań na wielomianach. Jeśli w miejsce X będziemy podstawiać elementy pierścienia P, to po wykonaniu działań otrzymamy element pierścienia P. A więc każdemu wielomianowi o współczynnikach z P można przyporządkować funkcję wielomianową f : P P : P a f 0 + f 1 a f n a n P. Element f 0 + f 1 a + + f n a n nazywać będziemy wartością wielomianu w punkcie a P.

14 Rozróżnienie między wielomianami a funkcjami wielomianowymi nie jest tylko formalizmem. Często dwa różne wielomiany określają tę samą funkcję.

15 Rozróżnienie między wielomianami a funkcjami wielomianowymi nie jest tylko formalizmem. Często dwa różne wielomiany określają tę samą funkcję. Np. w pierścieniu Z 3 wielomiany 1 + X oraz 1 + X 3 wyznaczają tę samą funkcję: 0 1, 1 2, 2 0.

16 Rozróżnienie między wielomianami a funkcjami wielomianowymi nie jest tylko formalizmem. Często dwa różne wielomiany określają tę samą funkcję. Np. w pierścieniu Z 3 wielomiany 1 + X oraz 1 + X 3 wyznaczają tę samą funkcję: 0 1, 1 2, 2 0. Przy odpowiednich założeniach o pierścieniu P odpowiedniość: jest wzajemnie jednoznaczna. wielomian funkcja wielomianowa

17 Twierdzenie Zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach z P z działaniami + i oraz wyróżnionymi wielomianami 0 i 1 jest pierścieniem. Oznaczamy go przez P[X ].

18 Stopień wielomianu f, tzn. największą z liczb n, dla których f n 0, będziemy oznaczali przez deg f. Przyjmujemy, że deg 0 =.

19 Stopień wielomianu f, tzn. największą z liczb n, dla których f n 0, będziemy oznaczali przez deg f. Przyjmujemy, że deg 0 =. Łatwo zauważyć, że deg(f + g) max(deg f, deg g),

20 Stopień wielomianu f, tzn. największą z liczb n, dla których f n 0, będziemy oznaczali przez deg f. Przyjmujemy, że deg 0 =. Łatwo zauważyć, że deg(f + g) max(deg f, deg g), deg(fg) deg f + deg g.

21 Stopień wielomianu f, tzn. największą z liczb n, dla których f n 0, będziemy oznaczali przez deg f. Przyjmujemy, że deg 0 =. Łatwo zauważyć, że deg(f + g) max(deg f, deg g), deg(fg) deg f + deg g. Zadanie. Na przykładzie odpowiednio dobranych wielomianów z pierścienia Z 6 [X ] wykazać, że stopień iloczynu wielomianów może być mniejszy od sumy stopni czynników.

22 Stopień wielomianu f, tzn. największą z liczb n, dla których f n 0, będziemy oznaczali przez deg f. Przyjmujemy, że deg 0 =. Łatwo zauważyć, że deg(f + g) max(deg f, deg g), deg(fg) deg f + deg g. Zadanie. Na przykładzie odpowiednio dobranych wielomianów z pierścienia Z 6 [X ] wykazać, że stopień iloczynu wielomianów może być mniejszy od sumy stopni czynników. (Odp. np. (2X 2 )(3X 5 ) = 0).

23 Stopień wielomianu f, tzn. największą z liczb n, dla których f n 0, będziemy oznaczali przez deg f. Przyjmujemy, że deg 0 =. Łatwo zauważyć, że deg(f + g) max(deg f, deg g), deg(fg) deg f + deg g. Zadanie. Na przykładzie odpowiednio dobranych wielomianów z pierścienia Z 6 [X ] wykazać, że stopień iloczynu wielomianów może być mniejszy od sumy stopni czynników. (Odp. np. (2X 2 )(3X 5 ) = 0). Jeżeli najwyższy współczynnik wielomianu f (lub wielomianu g) nie jest dzielnikiem zera, to deg(fg) = deg f + deg g.

24 Twierdzenie Niech P będzie pierścieniem, a f wielomianem z P[X ], którego najwyższy współczynnik nie jest dzielnikiem zera. Wówczas f nie jest dzielnikiem zera w P[X ]. Jeżeli P jest dziedziną całkowitości, to i P[X ] jest dziedziną całkowitości.

25 Twierdzenie Niech P będzie pierścieniem, a f wielomianem z P[X ], którego najwyższy współczynnik nie jest dzielnikiem zera. Wówczas f nie jest dzielnikiem zera w P[X ]. Jeżeli P jest dziedziną całkowitości, to i P[X ] jest dziedziną całkowitości. D o w ó d. Niech fg = 0. Wówczas deg f + deg g =. Ponieważ deg f > 0, więc deg g =, a stąd g = 0.

26 Dzielenie wielomianów Definicja Niech f, g P[X ]. Mówimy, że w P[X ] jest wykonalne dzielenie z resztą wielomianu g przez wielomian f, gdy istnieją takie wielomiany q, r P[X ], że g = fq + r, przy czym deg r < deg f.

27 Dzielenie wielomianów Definicja Niech f, g P[X ]. Mówimy, że w P[X ] jest wykonalne dzielenie z resztą wielomianu g przez wielomian f, gdy istnieją takie wielomiany q, r P[X ], że g = fq + r, przy czym deg r < deg f. Wielomian f nazywamy unormowanym, jeżeli f 0 i jego najwyższy współczynnik jest równy 1.

28 Dzielenie wielomianów Definicja Niech f, g P[X ]. Mówimy, że w P[X ] jest wykonalne dzielenie z resztą wielomianu g przez wielomian f, gdy istnieją takie wielomiany q, r P[X ], że g = fq + r, przy czym deg r < deg f. Wielomian f nazywamy unormowanym, jeżeli f 0 i jego najwyższy współczynnik jest równy 1. Twierdzenie Jeżeli f P[X ] jest wielomianem unormowanym, a g P[X ] dowolnym wielomianem, to w P[X ] jest wykonalne dzielenie z resztą g przez f.

29 Dzielenie wielomianów D o w ó d. Twierdzenie jest prawdziwe gdy deg g < deg f (wtedy q = 0, r = g).

30 Dzielenie wielomianów D o w ó d. Twierdzenie jest prawdziwe gdy deg g < deg f (wtedy q = 0, r = g). Niech m = deg g, m n, n = deg f. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wielomianu g stopnia mniejszego niż m.

31 Dzielenie wielomianów D o w ó d. Twierdzenie jest prawdziwe gdy deg g < deg f (wtedy q = 0, r = g). Niech m = deg g, m n, n = deg f. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wielomianu g stopnia mniejszego niż m. Niech teraz deg g = m i niech g g m X m n f = h.

32 Dzielenie wielomianów D o w ó d. Twierdzenie jest prawdziwe gdy deg g < deg f (wtedy q = 0, r = g). Niech m = deg g, m n, n = deg f. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wielomianu g stopnia mniejszego niż m. Niech teraz deg g = m i niech g g m X m n f = h. W wielomianie h współczynnik przy X m jest równy 0. Stąd deg h < m.

33 Dzielenie wielomianów D o w ó d. Twierdzenie jest prawdziwe gdy deg g < deg f (wtedy q = 0, r = g). Niech m = deg g, m n, n = deg f. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wielomianu g stopnia mniejszego niż m. Niech teraz deg g = m i niech g g m X m n f = h. W wielomianie h współczynnik przy X m jest równy 0. Stąd deg h < m. Na mocy założenia indukcyjnego istnieją takie q, r P[X ], deg r < n, że h = fq + r.

34 Dzielenie wielomianów D o w ó d. Twierdzenie jest prawdziwe gdy deg g < deg f (wtedy q = 0, r = g). Niech m = deg g, m n, n = deg f. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wielomianu g stopnia mniejszego niż m. Niech teraz deg g = m i niech g g m X m n f = h. W wielomianie h współczynnik przy X m jest równy 0. Stąd deg h < m. Na mocy założenia indukcyjnego istnieją takie q, r P[X ], deg r < n, że h = fq + r. Wobec tego g = g m X m n f + h = g m X m n f + fq + r = (g m X m n + q)f + r, co należało wykazać.

35 Z twierdzenia 3 wynika, że dzielenie dwóch wielomianów jest wykonalne, gdy dzielnik można unormować. Tak więc w pierścieniu wielomianów nad ciałem wykonalne jest dzielenie dowolnych dwu wielomianów; jeśli natomiast pierścień współczynników nie jest ciałem, to dzielenie nie zawsze będzie możliwe.

36 Z twierdzenia 3 wynika, że dzielenie dwóch wielomianów jest wykonalne, gdy dzielnik można unormować. Tak więc w pierścieniu wielomianów nad ciałem wykonalne jest dzielenie dowolnych dwu wielomianów; jeśli natomiast pierścień współczynników nie jest ciałem, to dzielenie nie zawsze będzie możliwe. Przykład. W pierścieniu Z 5 [X ] wykonać dzielenie (X 3 + 2X 2 + 4X + 3) : (3X 2 + 2). Uwaga : 3 jest odwracalne w Z 5 i 3 1 = 2. (Odp.: 2X + 4).

37 Niech P = Z lub P = K[x] (K ciało), i niech a, b będą dowolnymi elementami pierścienia P. Algorytm Euklidesa znajdowania największego wspólnego dzielnika nwd(a, b) polega na wykonywaniu kolejnych dzieleń: a = bq 1 + r 1

38 Niech P = Z lub P = K[x] (K ciało), i niech a, b będą dowolnymi elementami pierścienia P. Algorytm Euklidesa znajdowania największego wspólnego dzielnika nwd(a, b) polega na wykonywaniu kolejnych dzieleń: a = bq 1 + r 1 b = r 1 q 2 + r 2

39 Niech P = Z lub P = K[x] (K ciało), i niech a, b będą dowolnymi elementami pierścienia P. Algorytm Euklidesa znajdowania największego wspólnego dzielnika nwd(a, b) polega na wykonywaniu kolejnych dzieleń: a = bq 1 + r 1 b = r 1 q 2 + r 2 r 1 = r 2 q 3 + r 3

40 Niech P = Z lub P = K[x] (K ciało), i niech a, b będą dowolnymi elementami pierścienia P. Algorytm Euklidesa znajdowania największego wspólnego dzielnika nwd(a, b) polega na wykonywaniu kolejnych dzieleń: a = bq 1 + r 1 b = r 1 q 2 + r 2 r 1 = r 2 q 3 + r

41 Niech P = Z lub P = K[x] (K ciało), i niech a, b będą dowolnymi elementami pierścienia P. Algorytm Euklidesa znajdowania największego wspólnego dzielnika nwd(a, b) polega na wykonywaniu kolejnych dzieleń: a = bq 1 + r 1 b = r 1 q 2 + r 2 r 1 = r 2 q 3 + r r n 2 = r n 1 q n + r n

42 Niech P = Z lub P = K[x] (K ciało), i niech a, b będą dowolnymi elementami pierścienia P. Algorytm Euklidesa znajdowania największego wspólnego dzielnika nwd(a, b) polega na wykonywaniu kolejnych dzieleń: a = bq 1 + r 1 b = r 1 q 2 + r 2 r 1 = r 2 q 3 + r r n 2 = r n 1 q n + r n r n 1 = r n q n+1 dopóki nie uzyskamy reszty 0.

43 Niech P = Z lub P = K[x] (K ciało), i niech a, b będą dowolnymi elementami pierścienia P. Algorytm Euklidesa znajdowania największego wspólnego dzielnika nwd(a, b) polega na wykonywaniu kolejnych dzieleń: a = bq 1 + r 1 b = r 1 q 2 + r 2 r 1 = r 2 q 3 + r r n 2 = r n 1 q n + r n r n 1 = r n q n+1 dopóki nie uzyskamy reszty 0. Ostatnia niezerowa reszta to właśnie nwd(a, b).

44 Ten sam algorytm może służyć do przedstawienia nwd(a, b) explicite przez kombinację sa + tb.

45 Ten sam algorytm może służyć do przedstawienia nwd(a, b) explicite przez kombinację sa + tb. Przykład. Wyznaczyć w pierścieniu R[X ] największy wspólny dzielnik d(x ) wielomianów f (X ) = X 5 + X 4 + X 3 + X 2 + X + 1 g(x ) = X 4 + X 3 + 2X 2 + X + 1 i przedstawić go w postaci d(x ) = a(x )f (X ) + b(x )g(x ).

46 Ten sam algorytm może służyć do przedstawienia nwd(a, b) explicite przez kombinację sa + tb. Przykład. Wyznaczyć w pierścieniu R[X ] największy wspólny dzielnik d(x ) wielomianów f (X ) = X 5 + X 4 + X 3 + X 2 + X + 1 g(x ) = X 4 + X 3 + 2X 2 + X + 1 i przedstawić go w postaci d(x ) = a(x )f (X ) + b(x )g(x ). Odp. d(x ) = 2(X 2 + X + 1) d(x ) = (X + 1)f (X ) + ( X 2 X + 1)g(X ).

47 Obliczanie wartości wielomianów Niech f P[X ], f (X ) = a n X n + a n 1 X n a 1 X + a 0. Aby obliczyć wartość f (x) dla jakiegoś x P, można obliczać każdy człon osobno i potem dodać. Wymaga to j mnożeń do obliczenia j tego składnika, czyli n = n(n + 1)/2 mnożeń oraz n dodawań.

48 Obliczanie wartości wielomianów Niech f P[X ], f (X ) = a n X n + a n 1 X n a 1 X + a 0. Aby obliczyć wartość f (x) dla jakiegoś x P, można obliczać każdy człon osobno i potem dodać. Wymaga to j mnożeń do obliczenia j tego składnika, czyli n = n(n + 1)/2 mnożeń oraz n dodawań. Poprawimy efektywność, jeśli będziemy wykorzystywać już obliczone wartości licząc x j+1 = xx j. Wtedy wymaga to 2n 1 mnożeń oraz n dodawań.

49 Obliczanie wartości wielomianów Niech f P[X ], f (X ) = a n X n + a n 1 X n a 1 X + a 0. Aby obliczyć wartość f (x) dla jakiegoś x P, można obliczać każdy człon osobno i potem dodać. Wymaga to j mnożeń do obliczenia j tego składnika, czyli n = n(n + 1)/2 mnożeń oraz n dodawań. Poprawimy efektywność, jeśli będziemy wykorzystywać już obliczone wartości licząc x j+1 = xx j. Wtedy wymaga to 2n 1 mnożeń oraz n dodawań. Jednak najbardziej efektywny sposób znajdziemy pisząc wielomian w postaci zagnieżdżonej: f (x) = ( ((a n x + a n 1 )x + a n 2 ) x + ) x + a 0.

50 Obliczanie wartości wielomianów Niech f P[X ], f (X ) = a n X n + a n 1 X n a 1 X + a 0. Aby obliczyć wartość f (x) dla jakiegoś x P, można obliczać każdy człon osobno i potem dodać. Wymaga to j mnożeń do obliczenia j tego składnika, czyli n = n(n + 1)/2 mnożeń oraz n dodawań. Poprawimy efektywność, jeśli będziemy wykorzystywać już obliczone wartości licząc x j+1 = xx j. Wtedy wymaga to 2n 1 mnożeń oraz n dodawań. Jednak najbardziej efektywny sposób znajdziemy pisząc wielomian w postaci zagnieżdżonej: f (x) = ( ((a n x + a n 1 )x + a n 2 ) x + ) x + a 0. Ten schemat postępowania (schemat Hornera) wymaga tylko n mnożeń oraz n dodawań.

51 Schemat Hornera zapisujemy następująco: a n a n 1 a n 2 a 1 a 0 xb n xb n 1 xb 2 xb 1 x b n = a n b n 1 b n 2 b 1 b 0 = f (x)

52 Liczby pojawiające się po drodze mają interesującą interpretację. Okazuje się bowiem, że f (X ) = (b n X n 1 + b n 1 X n b 2 X + b 1 )(X x) + b 0.

53 Liczby pojawiające się po drodze mają interesującą interpretację. Okazuje się bowiem, że f (X ) = (b n X n 1 + b n 1 X n b 2 X + b 1 )(X x) + b 0. Sprawdzenie. Porównując współczynniki po lewej i prawej stronie otrzymujemy układ równości: b n = a n b n 1 b n a = a n 1... b 2 b 3 a = a 2 b 1 b 2 a = a 1 b 0 b 1 a = a 0,

54 czyli: b n = a n b n 1 = b n a + a n 1... b 2 = b 3 a + a 2 b 1 = b 2 a + a 1 b 0 = b 1 a + a 0.

55 czyli: b n = a n b n 1 = b n a + a n 1... b 2 = b 3 a + a 2 b 1 = b 2 a + a 1 b 0 = b 1 a + a 0. A więc wielomian q = b n X n 1 + b n 1 X n b 2 X + b 1 jest ilorazem z dzielenia f (X ) przez X x.

56 Niech P będzie pierścieniem, a I jego ideałem. Jeżeli I P, to I jest dzielnikiem normalnym grupy (P, +). Można więc utworzyć grupę ilorazową P/I. Jej elementami są warstwy względem podgrupy I. Warstwę zawierającą element a oznaczamy a + I. W grupie ilorazowej określimy mnożenie wzorem: (a + I )(b + I ) = ab + I. Grupa P/I po wprowadzeniu w niej mnożenia uzyskuje strukturę pierścienia. Pierścień ten nazywamy pierścieniem ilorazowym.

57 Jeżeli ideał jest generowany przez zbiór jednoelementowy, to nazywamy go głównym. Pierścień całkowity, którego każdy ideał jest główny, nazywamy pierścieniem ideałów głównych. Wniosek Ideał główny (a) generowany przez element a P jest zbiorem elementów postaci ab, gdzie b P. Twierdzenie Każdy ideał pierścienia liczb całkowitych Z jest główny.

58 Opis pierścienia ilorazowego wielomianów Rozważmy pierścień K[X ] wielomianów nad ciałem K. Twierdzenie Każdy ideał pierścienia K[X ] jest główny. Zatem każdy ideał P pierścienia K[X ] jest generowany przez pewien wielomian p(x ), tj. składa się ze wszystkich wielomianów podzielnych przez p(x ).

59 Wobec tego elementami pierścienia ilorazowego K[X ]/P są klasy równoważności relacji na K[X ] określonej warunkiem wtedy i tylko wtedy, gdy f (X ) = g(x ) mod (p(x )) f (X ) g(x ) (p(x )) Lemat f (X ) = g(x ) mod (p(x )) wtedy i tylko wtedy, gdy f (X ) i g(x ) dają tę samą resztę przy dzieleniu przez p(x ). Zatem każda warstwa [f (X )] zawiera resztę z dzielenia f (X ) przez p(x ). Z poniższego twierdzenia wynika, że ta reszta jest jednoznacznie określona.

60 Twierdzenie Niech K[X ] będzie ciałem K i niech P oznacza ideał generowany przez wielomian p(x ) stopnia n > 0. Każdy element pierścienia ilorazowego K[X ]/P jest postaci P + a 0 + a 1 X + + a n 1 X n 1, gdzie a 0, a 1,..., a n 1 K, przy czym różnym ciągom a 0, a 1,..., a n 1 odpowiadają różne elementy.

61 Przykład. Napisać tabelki operacji w pierścieniu Z 2 [X ]/(X 2 + X + 1). Możliwe reszty z dzielenia przez X 2 + X + 1 to 0, 1, X, X + 1. Są więc 4 warstwy: Tabelka dodawania: P, P + 1, P + X, P + X P P + 1 P + X P + X + 1 P P P + 1 P + X P + X + 1 P + 1 P + 1 P P + X + 1 P + X P + X P + X P + X + 1 P P + 1 P + X + 1 P + X + 1 P + X P + 1 P

62 Tabelka mnożenia: P P + 1 P + X P + X + 1 P P P P P P + 1 P P + 1 P + X P + X + 1 P + X P P + X P + X + 1 P + 1 P + X + 1 P P + X + 1 P + 1 P + X Przy obliczaniu iloczynów uwzględniamy fakt, że P + X 2 + X + 1 = P (czyli praktycznie X 2 + X + 1 = 0, bądź równoważnie X 2 = X + 1). Elementy pierścienia ilorazowego można oznaczać: [f (X )] lub P + f (X ), ale najpraktyczniej jest oznaczać je po prostu jako a 0 + a 1 X + + a n 1 X n 1, bo taki wielomian określa warstwę jednoznacznie.

63 Jeżeli P = (p(x )) oraz deg p(x ) = n, to elementami pierścienia ilorazowego są wszystkie wielomiany stopnia mniejszego od n. Ilość tych wielomianów zależy od ciała K. Przykład. Niech p(x ) = X Wtedy pierścień ilorazowy składa się z wielomianów postaci a 1 X + a 0, gdzie a 0, a 1 K. Zatem 1 jeśli K = R, to jest nieskończenie wiele takich wielomianów; 2 jeśli K = Z 2, to są 4 takie wielomiany; 3 jeśli K = Z 3, to jest 9 takich wielomianów; 4 jeśli K = Z 5, to jest 25 takich wielomianów; Mnożenie warstw (czyli wielomianów) wykonujemy w tym pierścieniu modulo X 2 + 1, co praktycznie oznacza, że X 2 zastępujemy przez 1.

64 Zatem 1 jeśli K = R, to (a + bx )(c + dx ) = ac + (ad + bc)x + bdx 2 = (ac bd) + (ad + bc)x ; 2 jeśli K = Z 2, to np. (X + 1) 2 = X = 0; 3 jeśli K = Z 3, to np. (X + 2) 2 = X 2 + X + 1 = 2X ; 4 jeśli K = Z 5, to np. (X + 2) 2 = X 2 + 4X + 4 = 1 + 4X + 4 = 4X. Należy pamiętać, że elementami pierścienia ilorazowego są warstwy względem ideału (p(x )), czyli zbiory wielomianów. Warstwa zawiera tylko jeden wielomian stopnia mniejszego niż deg p(x ), i ten wielomian jest jej reprezentantem.

Maciej Grzesiak. Wielomiany

Maciej Grzesiak. Wielomiany Maciej Grzesiak Wielomiany 1 Pojęcia podstawowe Wielomian definiuje się w szkole średniej jako funkcję postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + + a n x n Dogodniejsza z punktu widzenia algebry jest następująca

Bardziej szczegółowo

0.1 Pierścienie wielomianów

0.1 Pierścienie wielomianów 0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn

Bardziej szczegółowo

Pierścień wielomianów jednej zmiennej

Pierścień wielomianów jednej zmiennej Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

Wielomiany i rozszerzenia ciał

Wielomiany i rozszerzenia ciał Wielomiany i rozszerzenia ciał Maciej Grzesiak 1 Pierścień wielomianów 1.1 Pojęcia podstawowe Z wielomianami spotykamy się już w pierwszych latach nauki w szkole średniej. Jest to bowiem najprostsza pojęciowo

Bardziej szczegółowo

1 Określenie pierścienia

1 Określenie pierścienia 1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

1. Określenie pierścienia

1. Określenie pierścienia 1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy

Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),

Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), Algorytm Euklidesa ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), (d) NWD(120, 168, 280), (e) NWD(30, 42, 70, 105), (f) NWW[120, 195], (g)

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMY MATEMATYCZNE Ćwiczenie 1 Na podstawie schematu blokowego pewnego algorytmu (rys 1), napisz listę kroków tego algorytmu:

ALGORYTMY MATEMATYCZNE Ćwiczenie 1 Na podstawie schematu blokowego pewnego algorytmu (rys 1), napisz listę kroków tego algorytmu: ALGORYTMY MATEMATYCZNE Ćwiczenie 1 Na podstawie schematu blokowego pewnego algorytmu (rys 1), napisz listę kroków tego algorytmu: Rys1 Ćwiczenie 2 Podaj jaki ciąg znaków zostanie wypisany po wykonaniu

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie 1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z

Bardziej szczegółowo

i=0 a ib k i, k {0,..., n+m}. Przypuśćmy, że wielomian

i=0 a ib k i, k {0,..., n+m}. Przypuśćmy, że wielomian 9. Wykład 9: Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Kryteria rozkładalności wielomianów. 9.1. Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Uwaga 9.1. Niech (R, +, ) będzie pierścieniem

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu

Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Algebra 1 Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niech X będzie niepustym zbiorem. Działaniem w zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie (funkcję) działające

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Teoria. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Teoria. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych. Definicja. Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i struktury danych. Wykład 4

Algorytmy i struktury danych. Wykład 4 Wykład 4 Różne algorytmy - obliczenia 1. Obliczanie wartości wielomianu 2. Szybkie potęgowanie 3. Algorytm Euklidesa, liczby pierwsze, faktoryzacja liczby naturalnej 2017-11-24 Algorytmy i struktury danych

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) 1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Teoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,

Teoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska, Teoria liczb Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Wstęp Teoria liczb jest dziedziną matematyki,

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska

Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich

Bardziej szczegółowo

Algebra I. Grzegorz Bobiński. wykład z ćwiczeniami dla studentów II roku matematyki. Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu

Algebra I. Grzegorz Bobiński. wykład z ćwiczeniami dla studentów II roku matematyki. Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu Algebra I wykład z ćwiczeniami dla studentów II roku matematyki Grzegorz Bobiński Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu Toruń 2005 Spis treści Rozdział I. Pierścienie 3 1.1. Działania w zbiorach

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1

Wielomiany. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1 Definicja Definicja Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 gdzie

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 7, 13.11.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Ułamki pierścienia całkowitego Cel: Wprowadzenie pojęcia funkcji

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią. wykład I

Algebra liniowa z geometrią. wykład I Algebra liniowa z geometrią wykład I 1 Oznaczenia N zbiór liczb naturalnych, tutaj zaczynających się od 1 Z zbiór liczb całkowitych Q zbiór liczb wymiernych R zbiór liczb rzeczywistych C zbiór liczb zespolonych

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 4: Podzielność liczb całkowitych Gniewomir Sarbicki Dzielenie całkowitoliczbowe Twierdzenie: Dla każdej pary liczb całkowitych (a, b) istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych

Bardziej szczegółowo

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,

Bardziej szczegółowo

2 Kongruencje 5. 4 Grupy 9. 5 Grupy permutacji Homomorfizmy grup Pierścienie 16

2 Kongruencje 5. 4 Grupy 9. 5 Grupy permutacji Homomorfizmy grup Pierścienie 16 DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni 2018 1 Spis treści 1 Podzielność w Z, algorytm Euklidesa 2 2 Kongruencje 5 3 Twierdzenia: Fermata, Eulera i Wilsona 7 4 Grupy 9 5 Grupy permutacji 12 6 Homomorfizmy

Bardziej szczegółowo

Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy

Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy Rozdział 15 Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy 15.1 Algorytm dzielenia Definicja 15.1 Niech dany będzie niezerowy wielomian f K[x] (K jest ciałem) f = a 0 x m + a 1 x m 1 +... + a m, gdzie

Bardziej szczegółowo

Kongruencje i ich zastosowania

Kongruencje i ich zastosowania Kongruencje i ich zastosowania Andrzej Sładek sladek@ux2.math.us.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach Poznamy nowe fakty matematyczne, które pozwolą nam w łatwy sposób rozwiązać

Bardziej szczegółowo

Algorytm Euklidesa. Największy wspólny dzielnik dla danych dwóch liczb całkowitych to największa liczba naturalna dzieląca każdą z nich bez reszty.

Algorytm Euklidesa. Największy wspólny dzielnik dla danych dwóch liczb całkowitych to największa liczba naturalna dzieląca każdą z nich bez reszty. Algorytm Euklidesa Algorytm ten, jak wskazuje jego nazwa, został zaprezentowany przez greckiego matematyka - Euklidesa, żyjącego w w latach około 300r. p.n.e., w jego podstawowym dziele pt. Elementy. Algorytm

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era

Bardziej szczegółowo

Wielomiany podstawowe wiadomości

Wielomiany podstawowe wiadomości Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i

Bardziej szczegółowo

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone i

1. Liczby zespolone i Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich

Bardziej szczegółowo

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka

Bardziej szczegółowo

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny) Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne

Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne Definicja 1. Działaniem dwuargumentowym w niepustym zbiorze A nazywamy każdą funkcję : A A A, tzn. taką funkcję, że zachodzi a,b A (a, b) ((a,

Bardziej szczegółowo

Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań

Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Strona 1 z 25 Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Andrzej Sładek, Instytut Matematyki UŚl sladek@ux2.math.us.edu.pl Spotkanie w LO im. Powstańców Śl w Bieruniu Starym 27 października 2005 Strona

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

CO TO SĄ BAZY GRÖBNERA?

CO TO SĄ BAZY GRÖBNERA? CO TO SĄ BAZY GRÖBNERA? Wykład habilitacyjny, Toruń UMK, 5 czerwca 1995 roku Andrzej Nowicki W. Gröbner, 1899-1980, Austria. B. Buchberger, Austria. H. Hironaka, Japonia (medal Fieldsa). Bazy, o których

Bardziej szczegółowo

Grupy, pierścienie i ciała

Grupy, pierścienie i ciała Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.

Bardziej szczegółowo

Paweł Gładki. Algebra. pgladki/

Paweł Gładki. Algebra.  pgladki/ Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,

Bardziej szczegółowo

ciałem F i oznaczamy [L : F ].

ciałem F i oznaczamy [L : F ]. 11. Wykład 11: Baza i stopień rozszerzenia. Elementy algebraiczne i przestępne. Rozszerzenia algebraiczne i skończone. 11.1. Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga 11.1. Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem

Bardziej szczegółowo

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadania do samodzielnego rozwiązania I. Podzielność liczb całkowitych 1. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nową

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

Kongruencje. Sławomir Cynk. 24 września Nowy Sącz. Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego

Kongruencje. Sławomir Cynk. 24 września Nowy Sącz. Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego 24 września 2008 Nowy Sącz Przykłady W. Sierpiński, 250 zadań z elementarnej teorii liczb, Biblioteczka Matematyczna 17. Zadanie 3. Pokazać, że jeżeli 7

Bardziej szczegółowo

Samodzielnie wykonaj następujące operacje: 13 / 2 = 30 / 5 = 73 / 15 = 15 / 23 = 13 % 2 = 30 % 5 = 73 % 15 = 15 % 23 =

Samodzielnie wykonaj następujące operacje: 13 / 2 = 30 / 5 = 73 / 15 = 15 / 23 = 13 % 2 = 30 % 5 = 73 % 15 = 15 % 23 = Systemy liczbowe Dla każdej liczby naturalnej x Î N oraz liczby naturalnej p >= 2 istnieją jednoznacznie wyznaczone: liczba n Î N oraz ciąg cyfr c 0, c 1,..., c n-1 (gdzie ck Î {0, 1,..., p - 1}) taki,

Bardziej szczegółowo

Teoria liczb. Zajmuje się własnościami liczb, wszystkim całkowitych

Teoria liczb. Zajmuje się własnościami liczb, wszystkim całkowitych Teoria liczb Zajmuje się własnościami liczb, przede wszystkim całkowitych Niepraktyczna? - kryptografia Dzielenie liczb całkowitych z resztą Niech b>0, wtedy dla każdej liczby całkowitej a istnieją jednoznacznie

Bardziej szczegółowo

Zegar ten przedstawia reszty z dzielenia przez 6. Obrazuje on jak kolejne liczby można przyporządkować do odpowiednich pokazanych na zegarze grup.

Zegar ten przedstawia reszty z dzielenia przez 6. Obrazuje on jak kolejne liczby można przyporządkować do odpowiednich pokazanych na zegarze grup. Rozgrzewka (Ci, którzy znają pojęcie kongruencji niech przejdą do zadania 3 bc i 4, jeśli i te zadania są za proste to proponuje zadanie 5): Zad.1 a) Marek wyjechał pociągiem do Warszawy o godzinie 21

Bardziej szczegółowo

Wybrane zagadnienia teorii liczb

Wybrane zagadnienia teorii liczb Wybrane zagadnienia teorii liczb Podzielność liczb NWW, NWD, Algorytm Euklidesa Arytmetyka modularna Potęgowanie modularne Małe twierdzenie Fermata Liczby pierwsze Kryptosystem RSA Podzielność liczb Relacja

Bardziej szczegółowo

Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata

Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata Michał Krzemiński 29 listopad 2006 Naukowe Koło Matematyki Politechnika Gdańska 1 1 Krzywe algebraiczne Definicja 1.1 Krzywą algebraiczną C nad ciałem K nazywamy

Bardziej szczegółowo

Uwaga: Funkcja zamień(a[j],a[j+s]) zamienia miejscami wartości A[j] oraz A[j+s].

Uwaga: Funkcja zamień(a[j],a[j+s]) zamienia miejscami wartości A[j] oraz A[j+s]. Zadanie 1. Wiązka zadań Od szczegółu do ogółu Rozważmy następujący algorytm: Dane: Algorytm 1: k liczba naturalna, A[1...2 k ] tablica liczb całkowitych. n 1 dla i=1,2,,k wykonuj n 2n s 1 dopóki s

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY. Poziom podstawowy

WIELOMIANY. Poziom podstawowy WIELOMIANY Poziom podstawowy Zadanie (5 pkt) Liczba 7 jest miejscem zerowym W(x) Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian P ( x) = x + 54, jeśli wiadomo, że w wyniku dzielenia wielomianu

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń)

KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń) KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: ZAKRES PODSTAWOWY: 1) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x), y = c f(x), y =

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu

Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2018/2019 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 3 13 Pierścienie Euklidesa

Bardziej szczegółowo

Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa

Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa Sformułowanie zadania interpolacji Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5 Interpolacja wielomianowa Niech D R i niech F bȩdzie pewnym zbiorem funkcji f : D R. Niech x 0, x 1,..., x n bȩdzie ustalonym zbiorem

Bardziej szczegółowo

Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia dzienne Wykład 6

Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia dzienne Wykład 6 Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia dzienne Wykład 6 1 Kody cykliczne: dekodowanie Definicja 1 (Syndrom) Niech K będzie kodem cyklicznym z wielomianem generuja- cym g(x). Resztę z dzielenia słowa

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIEŃ WIELOMIANÓW

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIEŃ WIELOMIANÓW ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 PIERŚCIEŃ WIELOMIANÓW Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 6, 6.11.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Plan 2/10 1 Co to są wielomiany i jak się je mnoży? 2 Co to jest stopień

Bardziej szczegółowo

3. Wykład Układy równań liniowych.

3. Wykład Układy równań liniowych. 31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera

Twierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera Kongruencje wykład 6 ... Euler, 1760, Sankt Petersburg Dla każdego a m zachodzi kongruencja a φ(m) 1 (mod m). Przypomnijmy: φ(m) to liczba reszt modulo m względnie pierwszych z m; φ(m) = m(1 1/p 1 )...

Bardziej szczegółowo

Równania wielomianowe

Równania wielomianowe Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego 20 marca 2009 Kraków Równanie z jedną niewiadomą Wielomian jednej zmiennej to wyrażenie postaci P(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

1 Całki funkcji wymiernych

1 Całki funkcji wymiernych Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu

Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2016/2017 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 2 13 Ciało ułamków

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,

Bardziej szczegółowo

12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze.

12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze. 12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze. Rozszerzenia rozdzielcze i pojedyncze. Rozszerzenia normalne. 12.1.

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

Algorytmy w teorii liczb

Algorytmy w teorii liczb Łukasz Kowalik, ASD 2004: Algorytmy w teorii liczb 1 Algorytmy w teorii liczb Teoria liczb jest działem matemtyki dotyczącym własności liczb naturalnych. Rozważa się zagadnienia związane z liczbami pierwszymi,

Bardziej szczegółowo

Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych

Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych Andrzej Nowicki 24 maja 2015, wersja kk-17 Niech m < n będą danymi liczbami naturalnymi. Interesować nas będzie równanie ( ) y 2 + (y + 1) 2 + + (y + m 1) 2 =

Bardziej szczegółowo

"W każdej wiedzy jest tyle prawdy, ile jest w niej matematyki." Immanuel Kant

W każdej wiedzy jest tyle prawdy, ile jest w niej matematyki. Immanuel Kant "W każdej wiedzy jest tyle prawdy, ile jest w niej matematyki." Immanuel Kant Def. Jeżeli A R, to kresem górnym zbioru A nazywamy liczbę supa taką, że 1. x A: supa x, 2. y: (y < supa x A: y < x supa) Def.

Bardziej szczegółowo

3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności

3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności 3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3a. Wstęp: w Krakowie) Elementarne równania

Bardziej szczegółowo

Dr Maciej Grzesiak, Instytut Matematyki

Dr Maciej Grzesiak, Instytut Matematyki liczbowe Dr Maciej Grzesiak, Instytut Matematyki liczbowe Dr Maciej Grzesiak, pok.724 E e-mail: maciej.grzesiak@put.poznan.pl http://www.maciej.grzesiak.pracownik.put.poznan.pl podręcznik: i algebra liniowa

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY. ZADANIE 1 (5 PKT) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu.

WIELOMIANY. ZADANIE 1 (5 PKT) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu. IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUMA PUNKTÓW: 125 ZADANIE 1 (5 PKT) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu. ZADANIE 2 (5 PKT)

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia.

ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia. ARYTMETYKA BINARNA ROZWINIĘCIE DWÓJKOWE Jednym z najlepiej znanych sposobów kodowania informacji zawartej w liczbach jest kodowanie w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, w którym dla przedstawienia liczb

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,

Bardziej szczegółowo

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi. Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:

Bardziej szczegółowo

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach Algebra liniowa z geometrią /4 Działania na zbiorach Zadanie Czy działanie : R R R określone wzorem (x x ) (y y ) := (x y x y x y + x y ) jest przemienne? Zadanie W dowolnym zbiorze X określamy działanie

Bardziej szczegółowo