7 Twierdzenie Fubiniego

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "7 Twierdzenie Fubiniego"

Transkrypt

1 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz x i y. Określmy (E x = { y : (x, y E } oraz (E y = { x : (x, y E }. Zbiór (E x (odpowiednio (E y nazywamy przekrojem zbioru E wyznaczonym przez x (odpowiednio y. Ponieważ (E x = ϕ 1 x (E, gdzie ϕ x :, ϕ x (y = (x, y, więc dla E i, i 1 mamy (7.1 (E 1 \ E 2 x = (E 1 x \ (E 2 x, ( E i = (E i x, i 1 x i 1 ( E i = (E i x. i 1 x i 1 W szczególności zauważmy, że dla E mamy (7.2 (E x = ( \ E x = ( x \ (E x = \ (E x = (E x. Analogiczne własności mamy również dla zbiorów (E y. Niech (, A oraz (, B będą przestrzeniami mierzalnymi. Określimy teraz σ-algebrę na produkcie kartezjańskim wzorem A B = σ({ A B : A A, B B }. Nazywamy ją σ-algebrą produktową na. Lemat 7.1 Niech E A B. Wówczas (E x B dla każdego x oraz (E y A dla każdego y. Dowód. Określmy rodzinę G = { E A B : (E x B dla każdego x }. Ponieważ ( x = dla dowolnego x oraz stosując wzory (7.1 i (7.2 dostajemy, że G jest σ-algebrą. Ponadto G zawiera wszystkie zbiory postaci A B, gdzie A A i B B, bo (A B x = B, gdy x A oraz (A B x =, gdy x A. Zatem G = A B co dowodzi pierwszą część lematu. Dowód drugiej części jest analogiczny.

2 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 11 Niech f : IR. Dla ustalonego x rozważmy funkcję f(x, : IR, y f(x, y. Podobnie dla ustalonego y rozważmy f(, y : IR, x f(x, y. Lemat 7.2 Niech f : IR będzie funkcją A B-mierzalną. Wówczas dla każdego x funkcja f(x, jest B-mierzalna, a dla każdego y, funkcja f(, y jest A- mierzalna. Dowód. Niech A B(IR. Zauważmy, że (7.3 f(x, 1 (A = (f 1 (A x oraz f(, y 1 (A = (f 1 (A y. Reczywiście, pierwsza równość wynika z następujących równoważności: y f(x, 1 (A f(x, y A (x, y f 1 (A y (f 1 (A x. Dowód drugiej jest analogiczny. Teza lematu wynika teraz z (7.3 oraz z Lematu 7.1. Lemat 7.3 Niech (, A, µ oraz (, B, ν będą przestrzeniami z miarami σ-skończonymi. Niech E A B. Wówczas funkcja jest A-mierzalna, a funkcja jest B-mierzalna. x ν ( (E x [, ] y µ ( (E y [, ] Dowód. Załóżmy najpierw, że ν( < i określmy G = { E A B : x ν((e x jest A-mierzalna }. Zauważmy, że klasa G zawiera zbiory postaci A B, gdzie A A i B B. Rzeczywiście, ν((a B x = ν(b I A (x, x, bo (A B x = B, gdy x A oraz (A B x =, gdy x A. Ponadto zbiory postaci A B, gdzie A A i B B tworzą π-układ, co wynika z tożsamości (A 1 B 1 (A 2 B 2 = (A 1 A 2 (B 1 B 2, A 1, A 2, B 1, B 2. Zatem na mocy Twierdzenia 2.2 wystarczy wykazać, że rodzina G jest λ-układem.

3 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład (i Zauważmy, że G, bo ( x = i funkcja x ν( jest (jako funkcja stała A-mierzalna. (ii Niech E, F G oraz E F. Ponieważ wtedy (E x (F x oraz miara ν jest skończona, więc stosując wzory (7.1 dostajemy ν ( (F \ E x = ν ( (F x \ (E x = ν ( (F x ν ( (Ex. Stąd wynika, że funkcja x ν ( (F \E x jest A-mierzalna (jako różnica dwóch funkcji mierzalnych. Zatem F \ E G. (iii Niech E n G oraz E n E n+1 dla n 1. Ponieważ wtedy (E n x (E n+1 x dla n 1. Stosując więc wzory (7.1 i korzystając z ciągłości miary względem ciągów wstępujących, otrzymujemy (( ( ν E i = ν (E n x = lim ν( (E n x. n n 1 x n 1 Ponieważ granica punktowa ciągu funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną, zatem (( x ν E i n 1 jest funkcją A mierzalną, a stąd n 1 E n G. Stosując teraz Twierdzenie 2.2 dostajemy G = A B co kończy dowód w przypadku, gdy ν jest miarą skończoną. Załóżmy teraz, że miara ν jest σ-skończona. Wtedy jak wiadomo istnieją: n B, ν( n <, n n+1 dla n 1 oraz = n 1 n. x Dla każdego n 1 rozważmy miarę ν n : B [, ] daną wzorem ν n (B = ν(b n, B B. Niech E A B. Na mocy poprzedniego przypadku dla każdego n 1 funkcja x ν n ((E x [, ] jest A-mierzalna. Zatem na mocy ciągłości miary względem ciągów wstępujących otrzymujemy ν ( (E x = lim ν( (E x n = lim ν ( n (Ex. n n Stąd funkcja x ν ( (E x jako granica funkcji A-mierzalnych jest A-mierzalna. Dowód pierwszej części lematu zastał zakończony. Stosując analogiczne argumenty można udowodnić, że funkcja y µ ( (E y jest B-mierzalna.

4 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład Twierdzenie 7.4 Niech (, A, µ, (, B, ν będą przestrzeniami z miarami σ-skończonymi. Wówczas istnieje jedyna miara na A B oznaczana symbolem µ ν (nazywana miarą produktową taka, że (7.4 (µ ν(a B = µ(aν(b, A A, B B. Ponadto dla każdego E A B (7.5 (µ ν(e = ν ( (E x dµ(x = µ ( (E y dν(y. Dowód. Wykażemy najpierw istnienie miary na A B spełniajacej warunek (7.4. Określmy m 1 (E = ν ( (E x dµ(x, E A B. Z Lematu 7.3 oraz Wniosku 6.25 wynika, że m 1 jest miarą na A B (zauważmy, że w definicji miary m 1 mogliśmy użyć równoważnie drugiej całki w (7.5. Rozważmy rodzinę zbiorów C = { A B : A A, B B }. Jak już wiemy jest ona π-układem. Ponadto dla A B C mamy m 1 (A B = ν ( (A B x dµ(x (7.6 = ν(bi A (x dµ(x = ν(b dµ(x = µ(aν(b. Ponieważ miary µ i ν są σ-skończone, więc m 1 też jest miarą σ-skończoną (na C. Rzeczywiście, jeśli A n A, µ(a n <, n 1 oraz A n =, to z (7.6 mamy B n A, ν(b n <, n 1 oraz A k B n C, m 1 (A k B n < k, n 1 oraz Jeśli teraz m 2 jest inną miarą na A B taką, że A n 1 B n =, n 1 k 1 n 1 m 1 (A B = m 2 (A B, A B C, A k B n =. to z powyższej równości wynika, że m 2 jest również σ-skończona na C. Twierdzenie 3.7 dostajemy m 1 = m 2 co kończy dowód twierdzenia. Stosując teraz

5 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład Uwaga. Produkt przestrzeni z miarami zupełnymi nie musi być przestrzenią z miarą zupełną. Istotnie rozważmy przestrzeń (IR 2, L(IR L(IR, λ λ. Niech F = {x } [, 1], gdzie x IR. Wtedy F L(IR L(IR oraz (λ λ(f = λ({x }λ([, 1] =. Niech A [, 1] będzie zbiorem niemierzalnym w sensie Lebesgue a. Rozważmy zbiór E = {x } A. Oczywiste jest zawieranie E F. Ponieważ (E x = A, więc na mocy Lematu 7.1 E L(IR L(IR, czyli λ λ nie jest zupełna na L(IR L(IR. Na zakończenie tej uwagi warto zaznaczyć, że miara λ λ jest zupełna na L(IR Całki na produkcie przestrzeni Zaczniemy od podstawowego lematu (nazywanego czasami pierwszym twierdzeniem Fubiniego Lemat 7.5 Niech (, A, µ oraz (, B, ν będą przestrzeniami z miarami σ-skończonymi. Niech f : [, ] będzie funkcją A B-mierzalną. Wówczas funkcja (7.7 x f(x, y dν(y jest A-mierzalna, a funkcja (7.8 y jest B-mierzalna. Ponadto (7.9 f d(µ ν = ( f(x, y dµ(x ( f(x, y dµ(x dν(y = f(x, y dν(y dµ(x. Dowód. Na mocy Lematu 7.2 dla każdego x funkcja f(x, jest B-mierzalna, a dla każdego y funkcja f(, y jest A-mierzalna. Zatem całki (7.7 i (7.7 mają sens. Dowód rozbijemy na parę kroków. Załóżmy najpierw, że f = I E, gdzie E A B. Wtedy f(x, = I (Ex (, f(, y = I (E y(, (bo f(x, y = I E (x, y = I (Ex (y oraz f(x, y dν(y = I (Ex (y dν(y = ν ( (E x, (7.1 f(x, y dµ(x = I (E y(x dµ(x = µ ( (E y.

6 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład Stąd z Lematu 7.3 wynika, że w tym przypadku funkcje dane wzorami (7.7 i (7.8 są (odpowiednio A i B-mierzalne. Ponadto z Twierdzenia 7.4 i wzorów (7.1 otrzymujemy f d(µ ν = I E d(µ ν = (µ ν(e = ν ( (E x dµ(x = µ ( (E y dν(y = ( f(x, y dν(y dµ(x = ( f(x, y dµ(x dν(y. Z liniowości całek oraz z tego co już udowodniliśmy wynika, że lemat jest prawdziwy dla dowolnej funkcji prostej m f = a i I Ei. i=1 Niech teraz f : [, ] będzie funkcją A B-mierzalną i niech {ϕ n } będzie niemalejącym ciągiem funkcji prostych zbieżnym punktowo do f. Oczywiście dla dowolnego x, {ϕ n (x, } jest niemalejącym ciągiem funkcji prostych zbieżnym punktowo do f(x,, a dla dowolnego y, {ϕ n (, y} jest niemalejącym ciągiem funkcji prostych zbieżnym punktowo do f(, y. Teza lematu wynika teraz z poprzedniego przypadku oraz Twierdzenia Beppo-Levi o zbieżności monotonicznej. Twierdzenie 7.6 (Fubiniego Niech (, A, µ, (, B, ν będą przestrzeniami z miarami σ-skończonymi. Niech f : IR będzie funkcją skończenie µ ν-całkowalną. Wówczas dla µ prawie wszystkich x, funkcja f(x, jest skończenie ν-całkowalna i dla ν-prawie wszystkich y, funkcja f(, y jest skończenie µ-całkowalna. Ponadto funkcja Φ : x IR, dana wzorem { f(x, y dν(y, jeśli funkcja f(x, jest ν skończenie całkowalna, Φ(x =, dla pozostałych x, jest skończenie µ - całkowalna, a funkcja Ψ : x IR, dana wzorem { f(x, y dµ(x, jeśli funkcja f(, y jest µ skończenie całkowalna, Ψ(y =, dla pozostałych y, jest skończenie ν-całkowalna oraz mamy równości f d(µ ν = Φ(x dµ(x = Ψ(y dν(y. Dowód. Połóżmy: f = f + f, f(x, = f + (x, f (x,.

7 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład Na mocy Lematu 7.2 dla dowolnego x funkcje f(x,, f + (x,, f (x, są B-mierzalne. Z lematu 7.5 funkcje x f + (x, y dν(y, x f (x, y dν(y są skończenie µ-całkowalne (bo są nieujemne i f jest µ ν-całkowalna. Na mocy Twierdzenia 6.17 zbiór { } N = x : f + (x, y dν(y = + f (x, y dν(y = + ma µ-miarę zero. Określmy { Φ 1 (x = f + (x, y dν(y, x \ N,, x N, Φ 2 (x = { f (x, y dν(y, x \ N,, x N. Na mocy Lematu 7.5 i Wniosku 6.12 funkcje Φ 1 i Φ 2 są skończenie µ-całkowalne. Stąd, z definicji całki i Lematu 7.5 mamy f d(µ ν = f + d(µ ν f d(µ ν ( ( = f + (x, y dν(y dµ(x f (x, y dν(y dµ(x = Φ 1 (x dµ(x Φ 2 (x dµ(x = Φ(x dµ(x. Analogiczna argumentacja zastosowana do funkcji f(, y kończy dowód twierdzenia. Uwaga. Często tezę twierdzenia Fubiniego zapisuje się w postaci ( ( f d(µ ν = f dµ dν = f dν dµ, mając na uwadze fakt, że całki wewnętrzne w całkach iterowanych nie są poprawnie określone na całej przestrzeni ( i odpowiednio tylko na zbiorach, których dopełnienie ma miarę zero. Przyjmujemy wtedy, że ich wartość na tych zbiorach jest dowolną ustaloną liczbą (np. zero. Twierdzenie Fubiniego mówi, że całkę podwójną względem miary produktowej możemy policzyć za pomocą całek pojedynczych. Metodę tę nazywamy często zamianą na całki iterowane.

8 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład Twierdzenie 7.7 (Tonelliego Niech (, A, µ, (, B, ν będą przestrzeniami z miarami σ-skończonymi. Niech f : IR będzie funkcją A B-mierzalną. załóżmy, że jest skończona przynajmniej jedna z całek: ( ( (7.11 f(x, y dµ(x dν(y, f(x, y dν(y dµ(x. Wówczas f jest skończenie µ ν - całkowalna oraz ( f d(µ ν = f dµ dν = ( f dν dµ. Dowód. Załóżmy, że pierwsza z całek iterowanych jest skończona, wtedy z lematu 7.5 ( f(x, y d(µ ν(x, y = f(x, y dµ(x dν(y < + Stąd f jest skończenie µ ν - całkowalna. Z twierdzenia Fubiniego dostajemy tezę. Uwaga. Zauważmy, że z faktu istnienia skończonych całek: ( ( f dµ dν, f dν dµ. nie wynika, że funkcja f jest skończenie µ ν-całkowalna. Istotnie, rozważmy funkcję f : [ 1, 1] [ 1, 1] IR daną wzorem xy f(x, y = (x 2 + y 2, gdy (x, y (,, 2, gdy (x, y = (,. Prosty rachunek daje: 1 1 Z drugiej strony dλ(y 1 1 [ 1,1] [ 1,1] f(x, y dλ(x =, 1 1 f + (x, y d(λ λ(x, y 1 dλ(x f(x, y dλ(y =. 1 D f + (x, y d(λ λ(x, y = π/2 1 f + cos ϕ sin ϕ (x, y dxdy = dϕ dr = +, D r gdzie D = { (x, y IR 2 : x 2 + y 2 1, x, y }. Podobnie możemy pokazać, że f (x, y d(λ λ(x, y = +. [ 1,1] [ 1,1] Podkreślmy jeszcze raz fakt, iż w twierdzeniu Fubiniego istotne jest założenie, że funkcja f jest skończenie µ ν-całkowalna, a w twierdzeniu Tonelliego, że całka iterowana jest skończona dla funkcji f. Jak pokazuje powyższy przykład, założeń tych nie można pominąć.

9 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład Zadania Zad Niech (, A i (, D będą przestrzeniami mierzalnymi. Wykazać, że rodzina zawierająca skończone sumy zbiorów postaci A B, gdzie A A, B D jest algebrą. Zad Niech (, A i (, D będą przestrzeniami mierzalnymi. miarami skończonymi na (, A D spełniającymi warunek Niech µ i ν będą µ(a B = ν(a B, dla A A, B D. Wykazać, że µ = ν. Zad Rozważmy funkcję f : [, 1] [, 1] IR daną wzorem x 2 y 2, gdy (x, y (,, (x f(x, y = 2 +y 2 2, gdy (x, y = (,. Sprawdzić, że: 1 dλ(y 1 f(x, y dλ(x = π 1 4, dλ(x 1 f(x, y dλ(y = π 4. Wyjaśnić, dlaczego przykład ten nie jest sprzeczny z twierdzeniem Fubiniego. Zad Niech funkcja f : IR 2 IR będzie dana wzorem 1, jeśli x, x y < x + 1, f(x, y = 1, jeśli x, x + 1 y < x + 2,, dla pozostałych x, y. Sprawdzić, że dλ(y f(x, y dλ(x λ(x f(x, y dλ(y. R R R R Wyjaśnić, dlaczego przykład ten nie jest sprzeczny z twierdzeniem Fubiniego. Zad Niech = = [, 1]. (, 2, µ, gdzie Rozważmy przestrzenie z miarą (, L(, λ oraz µ = x δ x. jest miarą liczącą. Niech f : IR będzie dane wzorem f(x, y = I (x, y, gdzie = { (x, y IR 2 ; x = y }. Sprawdzić, że f(, y dλ =, f(x, dµ = 1

10 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład dla dowolnych x, y [, 1], a w konsekwencji ( f(x, y dλ(x dµ(y =, ( f(x, y dµ(y dλ(x = 1. Zad Niech (, A, µ będzie przestrzenią z miarą skończoną. Niech f : [, ] będzie funkcją mierzalną. Wykazać, że zbiór E = { (x, y [, ] : x, y < f(x } jest A B(IR - mierzalny. Obliczyć (µ λ(e. Zad Niech (, A, µ będzie przestrzenią z miarą σ - skończoną i niech f, g : [, ] będą funkcjami mierzalnymi takimi, że µ ( { x : f(x > t } µ ( { x : g(x > t } dla dowolnego t >. Wykazać, że f dµ g dµ. Zad Stosując twierdzenie Tonelliego wykazać, że r sin(x x dx = ( r a następnie przechodząc z r do wykazać, że e xy sin(x dλ(x dλ(y, r >, sin(x x dx = π 2.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X

Bardziej szczegółowo

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P, Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych

Bardziej szczegółowo

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista. Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp

Bardziej szczegółowo

Zadania do Rozdziału X

Zadania do Rozdziału X Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)

Bardziej szczegółowo

Wykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf

Wykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem

Bardziej szczegółowo

Robert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki

Robert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące

Bardziej szczegółowo

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,

Bardziej szczegółowo

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład V: Zmienne losowe i ich wartości oczekiwane 25 października 2017 Definicja zmiennej losowej Definicja Zmienne losowa to charakterystyka liczbowa wyniku eksperymentu losowego. Zmienne losowa na przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.

Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X. 1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X

Bardziej szczegółowo

Całka podwójna po prostokącie

Całka podwójna po prostokącie Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i

Bardziej szczegółowo

Teoria miary i całki

Teoria miary i całki Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5

Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5 Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Równanie przewodnictwa cieplnego (I) Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca

Bardziej szczegółowo

4 Kilka klas procesów

4 Kilka klas procesów Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5 Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................

Bardziej szczegółowo

G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28

G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie

Bardziej szczegółowo

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna. Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Bardziej szczegółowo

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?

Bardziej szczegółowo

Repetytorium z przedmiotu Miara i prawdopodobieństwo dla kierunku Informatyka 2003/2004. Adam Jakubowski

Repetytorium z przedmiotu Miara i prawdopodobieństwo dla kierunku Informatyka 2003/2004. Adam Jakubowski Repetytorium z przedmiotu Miara i prawdopodobieństwo dla kierunku Informatyka 2003/2004 Adam Jakubowski Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Toruń, styczeń 2004 Spis treści

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

Wykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej

Wykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E

Bardziej szczegółowo

f(t) f(x), D f(x) = lim sup t x oraz D f(x) = lim inf

f(t) f(x), D f(x) = lim sup t x oraz D f(x) = lim inf 9. Różniczkowanie. Jeśli f jest funkcją rzeczywistą, to granice D + f(x) = lim sup t x + f(t) f(x), D f(x) = lim sup t x t x f(t) f(x), t x f(t) f(x) f(t) f(x) D + f(x) = lim inf oraz D f(x) = lim inf

Bardziej szczegółowo

Repetytorium z przedmiotu MIARA I PRAWDOPODOBIEŃSTWO dla kierunku Informatyka 2001/2002. Adam Jakubowski

Repetytorium z przedmiotu MIARA I PRAWDOPODOBIEŃSTWO dla kierunku Informatyka 2001/2002. Adam Jakubowski Repetytorium z przedmiotu MIARA I PRAWDOPODOBIEŃSTWO dla kierunku Informatyka 2001/2002 Adam Jakubowski Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Toruń, 2002 Spis treści Wstęp 1

Bardziej szczegółowo

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

Funkcje mierzalne, całka z funkcji nieujemnej, twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki

Funkcje mierzalne, całka z funkcji nieujemnej, twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki Funkcje mierzalne, całka z funkcji nieujemnej, twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki Ostatnio poprawiłem 25 stycznia 2015 r. Nadeszła pora na całkowanie. Pierwsza rzecza jest zdefiniowanie

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzenie metryczne

1 Przestrzenie metryczne 1 Przestrzenie metryczne Definicja 1.1 (metryka) Niech będzie niepustym zbiorem. Funkcję d: R + nazywamy metryką, jeśli spełnia warunki: 1 o d(x, y) = d(y, x) (symetria) 2 o d(x, y) + d(y, z) d(x, z) (nierówność

Bardziej szczegółowo

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja) Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),

Bardziej szczegółowo

Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych

Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział

Bardziej szczegółowo

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój. Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej

Bardziej szczegółowo

1 Elementy analizy funkcjonalnej

1 Elementy analizy funkcjonalnej M. Beśka, Dodatek 1 1 Elementy analizy funkcjonalnej 1.1 Twierdzenia o reprezentacji Zaczniemy od znanego twierdzenia Riesza Twierdzenie 1.1 (Riesz) Niech będzie zwartą przestrzenią metryczną i załóżmy,

Bardziej szczegółowo

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,

Bardziej szczegółowo

7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne.

7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. 7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. Funkcję rzeczywistą µ nieujemną określoną na ciele zbiorów S będziemy nazywali miarą, gdy dla dowolnego ciągu A 0, A 1,... zbiorów rozłącznych należących

Bardziej szczegółowo

O pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)

O pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych) (niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie

Bardziej szczegółowo

Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej

Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar

Bardziej szczegółowo

Informacja o przestrzeniach Hilberta

Informacja o przestrzeniach Hilberta Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba

Bardziej szczegółowo

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 3. CAŁKA POTRÓJNA

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 3. CAŁKA POTRÓJNA Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem 1 Całka potrójna po prostopadłościanie CAŁKA POTRÓJNA 2 Całka potrójna po obszarach normalnych Współrzędne walcowe 4 Współrzędne sferyczne

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej

Zasada indukcji matematycznej Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

n=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa

n=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym

Bardziej szczegółowo

DOWODY NIERÓWNOŚCI HÖLDERA I MINKOWSKIEGO (DO UŻYTKU WEWNȨTRZNEGO, I DO SPRAWDZENIA)

DOWODY NIERÓWNOŚCI HÖLDERA I MINKOWSKIEGO (DO UŻYTKU WEWNȨTRZNEGO, I DO SPRAWDZENIA) DOWODY NIERÓWNOŚCI HÖLDERA I MINKOWSKIEGO (DO UŻYTKU WEWNȨTRZNEGO I DO SPRAWDZENIA) R R Tematem niniejszych notatek jest zbadanie warunków istnienia normy na ewnej rzestrzeni funkcji rzeczywistych określonych

Bardziej szczegółowo

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. 3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 2, cze ść dziesia ta

Analiza matematyczna 2, cze ść dziesia ta Analiza matematyczna 2, cze ść dziesia ta Informacja ogólna dla tych, którzy jeszcze ze mna chca rozmawiać o stopniach: zdecydowana wie kszość twierdzeń w matematyce, w analizie w szczególności, sk lada

Bardziej szczegółowo

Informacja o przestrzeniach Sobolewa

Informacja o przestrzeniach Sobolewa Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji f : R R

Ciągłość funkcji f : R R Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +

Bardziej szczegółowo

6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek

6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek 6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek Mówimy, że funkcja holomorficzna f ma w punkcie a zero krotności k, jeśli f(a) = f (a) = = f (k ) (a) = 0, f (k) (a) 0. Rozwijając f w szereg Taylora w otoczeniu

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.

Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną

Bardziej szczegółowo

zbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy

zbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy 5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Rozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,

Rozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2, Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać

Bardziej szczegółowo

Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności

Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n

Bardziej szczegółowo

Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn r. :

Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn r. : Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn. 29.0.208r. : Granica funkcji Definicja sąsiedztwa punktu. Sąsiedztwo 0 R o promieniu r > 0: S 0, r = 0 r, 0 + r\{ 0 } 2. Sąsiedztwo lewostronne 0 R o promieniu

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o

Bardziej szczegółowo

Wykład 3. Miara zewnętrzna. Definicja 3.1 (miary zewnętrznej) Funkcję µ przyporządkowującą każdemu podzbiorowi

Wykład 3. Miara zewnętrzna. Definicja 3.1 (miary zewnętrznej) Funkcję µ przyporządkowującą każdemu podzbiorowi Wykład 3 Miara zewnętrzna Definicja 3.1 (miary zewnętrznej Funkcję przyporządkowującą każdemu podzbiorowi A danej przestrzeni X liczbę (A [0, + ] (a więc określoną na rodzinie wszystkich podzbiorów przestrzeni

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy

Bardziej szczegółowo

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013 Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej

Bardziej szczegółowo

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.

Bardziej szczegółowo

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1. Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

Repetytorium z przedmiotu Miara i Prawdopodobieństwo. Adam Jakubowski

Repetytorium z przedmiotu Miara i Prawdopodobieństwo. Adam Jakubowski Repetytorium z przedmiotu Miara i Prawdopodobieństwo Adam Jakubowski Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Toruń, 1999 Spis treści Wstęp 1 1 Przestrzenie mierzalne i przestrzenie

Bardziej szczegółowo

Analiza Funkcjonalna - Zadania

Analiza Funkcjonalna - Zadania Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.

Bardziej szczegółowo

Jednowymiarowa zmienna losowa

Jednowymiarowa zmienna losowa 1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Uwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:

Uwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne: 1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu

Bardziej szczegółowo

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe

Bardziej szczegółowo

SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE

SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE Mając dowolny ciąg można z niego utworzyć nowy ciąg sum częściowych: Ten nowy rodzaj ciągu nazywamy szeregiem liczbowym, a jeśli to mamy do czynienia z nieskończonym szeregiem liczbowym, który oznaczany

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki i teorii mnogości

Elementy logiki i teorii mnogości Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

Analiza I.2*, lato 2018

Analiza I.2*, lato 2018 Analiza I.2*, lato 218 Marcin Kotowski 14 czerwca 218 Zadanie 1. Niech x (, 1) ma rozwinięcie binarne.x 1 x 2.... Niech dla x, 1: oraz f() = f(1) =. Pokaż, że f: f(x) = lim sup n (a) przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego

Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................

Bardziej szczegółowo

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to

Bardziej szczegółowo

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś

Bardziej szczegółowo

Skończone rozszerzenia ciał

Skończone rozszerzenia ciał Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie

Bardziej szczegółowo

Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)

Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y) Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia stacjonarne

Zagadnienia stacjonarne Zagadnienia stacjonarne Karol Hajduk 19 grudnia 2012 Nierówność wariacyjna (u (t), v u(t)) + a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f, v u), v V. Zagadnienie stacjonarne ma postać (u (t) = 0): a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f,

Bardziej szczegółowo