7 Twierdzenie Fubiniego
|
|
- Jolanta Milewska
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz x i y. Określmy (E x = { y : (x, y E } oraz (E y = { x : (x, y E }. Zbiór (E x (odpowiednio (E y nazywamy przekrojem zbioru E wyznaczonym przez x (odpowiednio y. Ponieważ (E x = ϕ 1 x (E, gdzie ϕ x :, ϕ x (y = (x, y, więc dla E i, i 1 mamy (7.1 (E 1 \ E 2 x = (E 1 x \ (E 2 x, ( E i = (E i x, i 1 x i 1 ( E i = (E i x. i 1 x i 1 W szczególności zauważmy, że dla E mamy (7.2 (E x = ( \ E x = ( x \ (E x = \ (E x = (E x. Analogiczne własności mamy również dla zbiorów (E y. Niech (, A oraz (, B będą przestrzeniami mierzalnymi. Określimy teraz σ-algebrę na produkcie kartezjańskim wzorem A B = σ({ A B : A A, B B }. Nazywamy ją σ-algebrą produktową na. Lemat 7.1 Niech E A B. Wówczas (E x B dla każdego x oraz (E y A dla każdego y. Dowód. Określmy rodzinę G = { E A B : (E x B dla każdego x }. Ponieważ ( x = dla dowolnego x oraz stosując wzory (7.1 i (7.2 dostajemy, że G jest σ-algebrą. Ponadto G zawiera wszystkie zbiory postaci A B, gdzie A A i B B, bo (A B x = B, gdy x A oraz (A B x =, gdy x A. Zatem G = A B co dowodzi pierwszą część lematu. Dowód drugiej części jest analogiczny.
2 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 11 Niech f : IR. Dla ustalonego x rozważmy funkcję f(x, : IR, y f(x, y. Podobnie dla ustalonego y rozważmy f(, y : IR, x f(x, y. Lemat 7.2 Niech f : IR będzie funkcją A B-mierzalną. Wówczas dla każdego x funkcja f(x, jest B-mierzalna, a dla każdego y, funkcja f(, y jest A- mierzalna. Dowód. Niech A B(IR. Zauważmy, że (7.3 f(x, 1 (A = (f 1 (A x oraz f(, y 1 (A = (f 1 (A y. Reczywiście, pierwsza równość wynika z następujących równoważności: y f(x, 1 (A f(x, y A (x, y f 1 (A y (f 1 (A x. Dowód drugiej jest analogiczny. Teza lematu wynika teraz z (7.3 oraz z Lematu 7.1. Lemat 7.3 Niech (, A, µ oraz (, B, ν będą przestrzeniami z miarami σ-skończonymi. Niech E A B. Wówczas funkcja jest A-mierzalna, a funkcja jest B-mierzalna. x ν ( (E x [, ] y µ ( (E y [, ] Dowód. Załóżmy najpierw, że ν( < i określmy G = { E A B : x ν((e x jest A-mierzalna }. Zauważmy, że klasa G zawiera zbiory postaci A B, gdzie A A i B B. Rzeczywiście, ν((a B x = ν(b I A (x, x, bo (A B x = B, gdy x A oraz (A B x =, gdy x A. Ponadto zbiory postaci A B, gdzie A A i B B tworzą π-układ, co wynika z tożsamości (A 1 B 1 (A 2 B 2 = (A 1 A 2 (B 1 B 2, A 1, A 2, B 1, B 2. Zatem na mocy Twierdzenia 2.2 wystarczy wykazać, że rodzina G jest λ-układem.
3 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład (i Zauważmy, że G, bo ( x = i funkcja x ν( jest (jako funkcja stała A-mierzalna. (ii Niech E, F G oraz E F. Ponieważ wtedy (E x (F x oraz miara ν jest skończona, więc stosując wzory (7.1 dostajemy ν ( (F \ E x = ν ( (F x \ (E x = ν ( (F x ν ( (Ex. Stąd wynika, że funkcja x ν ( (F \E x jest A-mierzalna (jako różnica dwóch funkcji mierzalnych. Zatem F \ E G. (iii Niech E n G oraz E n E n+1 dla n 1. Ponieważ wtedy (E n x (E n+1 x dla n 1. Stosując więc wzory (7.1 i korzystając z ciągłości miary względem ciągów wstępujących, otrzymujemy (( ( ν E i = ν (E n x = lim ν( (E n x. n n 1 x n 1 Ponieważ granica punktowa ciągu funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną, zatem (( x ν E i n 1 jest funkcją A mierzalną, a stąd n 1 E n G. Stosując teraz Twierdzenie 2.2 dostajemy G = A B co kończy dowód w przypadku, gdy ν jest miarą skończoną. Załóżmy teraz, że miara ν jest σ-skończona. Wtedy jak wiadomo istnieją: n B, ν( n <, n n+1 dla n 1 oraz = n 1 n. x Dla każdego n 1 rozważmy miarę ν n : B [, ] daną wzorem ν n (B = ν(b n, B B. Niech E A B. Na mocy poprzedniego przypadku dla każdego n 1 funkcja x ν n ((E x [, ] jest A-mierzalna. Zatem na mocy ciągłości miary względem ciągów wstępujących otrzymujemy ν ( (E x = lim ν( (E x n = lim ν ( n (Ex. n n Stąd funkcja x ν ( (E x jako granica funkcji A-mierzalnych jest A-mierzalna. Dowód pierwszej części lematu zastał zakończony. Stosując analogiczne argumenty można udowodnić, że funkcja y µ ( (E y jest B-mierzalna.
4 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład Twierdzenie 7.4 Niech (, A, µ, (, B, ν będą przestrzeniami z miarami σ-skończonymi. Wówczas istnieje jedyna miara na A B oznaczana symbolem µ ν (nazywana miarą produktową taka, że (7.4 (µ ν(a B = µ(aν(b, A A, B B. Ponadto dla każdego E A B (7.5 (µ ν(e = ν ( (E x dµ(x = µ ( (E y dν(y. Dowód. Wykażemy najpierw istnienie miary na A B spełniajacej warunek (7.4. Określmy m 1 (E = ν ( (E x dµ(x, E A B. Z Lematu 7.3 oraz Wniosku 6.25 wynika, że m 1 jest miarą na A B (zauważmy, że w definicji miary m 1 mogliśmy użyć równoważnie drugiej całki w (7.5. Rozważmy rodzinę zbiorów C = { A B : A A, B B }. Jak już wiemy jest ona π-układem. Ponadto dla A B C mamy m 1 (A B = ν ( (A B x dµ(x (7.6 = ν(bi A (x dµ(x = ν(b dµ(x = µ(aν(b. Ponieważ miary µ i ν są σ-skończone, więc m 1 też jest miarą σ-skończoną (na C. Rzeczywiście, jeśli A n A, µ(a n <, n 1 oraz A n =, to z (7.6 mamy B n A, ν(b n <, n 1 oraz A k B n C, m 1 (A k B n < k, n 1 oraz Jeśli teraz m 2 jest inną miarą na A B taką, że A n 1 B n =, n 1 k 1 n 1 m 1 (A B = m 2 (A B, A B C, A k B n =. to z powyższej równości wynika, że m 2 jest również σ-skończona na C. Twierdzenie 3.7 dostajemy m 1 = m 2 co kończy dowód twierdzenia. Stosując teraz
5 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład Uwaga. Produkt przestrzeni z miarami zupełnymi nie musi być przestrzenią z miarą zupełną. Istotnie rozważmy przestrzeń (IR 2, L(IR L(IR, λ λ. Niech F = {x } [, 1], gdzie x IR. Wtedy F L(IR L(IR oraz (λ λ(f = λ({x }λ([, 1] =. Niech A [, 1] będzie zbiorem niemierzalnym w sensie Lebesgue a. Rozważmy zbiór E = {x } A. Oczywiste jest zawieranie E F. Ponieważ (E x = A, więc na mocy Lematu 7.1 E L(IR L(IR, czyli λ λ nie jest zupełna na L(IR L(IR. Na zakończenie tej uwagi warto zaznaczyć, że miara λ λ jest zupełna na L(IR Całki na produkcie przestrzeni Zaczniemy od podstawowego lematu (nazywanego czasami pierwszym twierdzeniem Fubiniego Lemat 7.5 Niech (, A, µ oraz (, B, ν będą przestrzeniami z miarami σ-skończonymi. Niech f : [, ] będzie funkcją A B-mierzalną. Wówczas funkcja (7.7 x f(x, y dν(y jest A-mierzalna, a funkcja (7.8 y jest B-mierzalna. Ponadto (7.9 f d(µ ν = ( f(x, y dµ(x ( f(x, y dµ(x dν(y = f(x, y dν(y dµ(x. Dowód. Na mocy Lematu 7.2 dla każdego x funkcja f(x, jest B-mierzalna, a dla każdego y funkcja f(, y jest A-mierzalna. Zatem całki (7.7 i (7.7 mają sens. Dowód rozbijemy na parę kroków. Załóżmy najpierw, że f = I E, gdzie E A B. Wtedy f(x, = I (Ex (, f(, y = I (E y(, (bo f(x, y = I E (x, y = I (Ex (y oraz f(x, y dν(y = I (Ex (y dν(y = ν ( (E x, (7.1 f(x, y dµ(x = I (E y(x dµ(x = µ ( (E y.
6 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład Stąd z Lematu 7.3 wynika, że w tym przypadku funkcje dane wzorami (7.7 i (7.8 są (odpowiednio A i B-mierzalne. Ponadto z Twierdzenia 7.4 i wzorów (7.1 otrzymujemy f d(µ ν = I E d(µ ν = (µ ν(e = ν ( (E x dµ(x = µ ( (E y dν(y = ( f(x, y dν(y dµ(x = ( f(x, y dµ(x dν(y. Z liniowości całek oraz z tego co już udowodniliśmy wynika, że lemat jest prawdziwy dla dowolnej funkcji prostej m f = a i I Ei. i=1 Niech teraz f : [, ] będzie funkcją A B-mierzalną i niech {ϕ n } będzie niemalejącym ciągiem funkcji prostych zbieżnym punktowo do f. Oczywiście dla dowolnego x, {ϕ n (x, } jest niemalejącym ciągiem funkcji prostych zbieżnym punktowo do f(x,, a dla dowolnego y, {ϕ n (, y} jest niemalejącym ciągiem funkcji prostych zbieżnym punktowo do f(, y. Teza lematu wynika teraz z poprzedniego przypadku oraz Twierdzenia Beppo-Levi o zbieżności monotonicznej. Twierdzenie 7.6 (Fubiniego Niech (, A, µ, (, B, ν będą przestrzeniami z miarami σ-skończonymi. Niech f : IR będzie funkcją skończenie µ ν-całkowalną. Wówczas dla µ prawie wszystkich x, funkcja f(x, jest skończenie ν-całkowalna i dla ν-prawie wszystkich y, funkcja f(, y jest skończenie µ-całkowalna. Ponadto funkcja Φ : x IR, dana wzorem { f(x, y dν(y, jeśli funkcja f(x, jest ν skończenie całkowalna, Φ(x =, dla pozostałych x, jest skończenie µ - całkowalna, a funkcja Ψ : x IR, dana wzorem { f(x, y dµ(x, jeśli funkcja f(, y jest µ skończenie całkowalna, Ψ(y =, dla pozostałych y, jest skończenie ν-całkowalna oraz mamy równości f d(µ ν = Φ(x dµ(x = Ψ(y dν(y. Dowód. Połóżmy: f = f + f, f(x, = f + (x, f (x,.
7 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład Na mocy Lematu 7.2 dla dowolnego x funkcje f(x,, f + (x,, f (x, są B-mierzalne. Z lematu 7.5 funkcje x f + (x, y dν(y, x f (x, y dν(y są skończenie µ-całkowalne (bo są nieujemne i f jest µ ν-całkowalna. Na mocy Twierdzenia 6.17 zbiór { } N = x : f + (x, y dν(y = + f (x, y dν(y = + ma µ-miarę zero. Określmy { Φ 1 (x = f + (x, y dν(y, x \ N,, x N, Φ 2 (x = { f (x, y dν(y, x \ N,, x N. Na mocy Lematu 7.5 i Wniosku 6.12 funkcje Φ 1 i Φ 2 są skończenie µ-całkowalne. Stąd, z definicji całki i Lematu 7.5 mamy f d(µ ν = f + d(µ ν f d(µ ν ( ( = f + (x, y dν(y dµ(x f (x, y dν(y dµ(x = Φ 1 (x dµ(x Φ 2 (x dµ(x = Φ(x dµ(x. Analogiczna argumentacja zastosowana do funkcji f(, y kończy dowód twierdzenia. Uwaga. Często tezę twierdzenia Fubiniego zapisuje się w postaci ( ( f d(µ ν = f dµ dν = f dν dµ, mając na uwadze fakt, że całki wewnętrzne w całkach iterowanych nie są poprawnie określone na całej przestrzeni ( i odpowiednio tylko na zbiorach, których dopełnienie ma miarę zero. Przyjmujemy wtedy, że ich wartość na tych zbiorach jest dowolną ustaloną liczbą (np. zero. Twierdzenie Fubiniego mówi, że całkę podwójną względem miary produktowej możemy policzyć za pomocą całek pojedynczych. Metodę tę nazywamy często zamianą na całki iterowane.
8 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład Twierdzenie 7.7 (Tonelliego Niech (, A, µ, (, B, ν będą przestrzeniami z miarami σ-skończonymi. Niech f : IR będzie funkcją A B-mierzalną. załóżmy, że jest skończona przynajmniej jedna z całek: ( ( (7.11 f(x, y dµ(x dν(y, f(x, y dν(y dµ(x. Wówczas f jest skończenie µ ν - całkowalna oraz ( f d(µ ν = f dµ dν = ( f dν dµ. Dowód. Załóżmy, że pierwsza z całek iterowanych jest skończona, wtedy z lematu 7.5 ( f(x, y d(µ ν(x, y = f(x, y dµ(x dν(y < + Stąd f jest skończenie µ ν - całkowalna. Z twierdzenia Fubiniego dostajemy tezę. Uwaga. Zauważmy, że z faktu istnienia skończonych całek: ( ( f dµ dν, f dν dµ. nie wynika, że funkcja f jest skończenie µ ν-całkowalna. Istotnie, rozważmy funkcję f : [ 1, 1] [ 1, 1] IR daną wzorem xy f(x, y = (x 2 + y 2, gdy (x, y (,, 2, gdy (x, y = (,. Prosty rachunek daje: 1 1 Z drugiej strony dλ(y 1 1 [ 1,1] [ 1,1] f(x, y dλ(x =, 1 1 f + (x, y d(λ λ(x, y 1 dλ(x f(x, y dλ(y =. 1 D f + (x, y d(λ λ(x, y = π/2 1 f + cos ϕ sin ϕ (x, y dxdy = dϕ dr = +, D r gdzie D = { (x, y IR 2 : x 2 + y 2 1, x, y }. Podobnie możemy pokazać, że f (x, y d(λ λ(x, y = +. [ 1,1] [ 1,1] Podkreślmy jeszcze raz fakt, iż w twierdzeniu Fubiniego istotne jest założenie, że funkcja f jest skończenie µ ν-całkowalna, a w twierdzeniu Tonelliego, że całka iterowana jest skończona dla funkcji f. Jak pokazuje powyższy przykład, założeń tych nie można pominąć.
9 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład Zadania Zad Niech (, A i (, D będą przestrzeniami mierzalnymi. Wykazać, że rodzina zawierająca skończone sumy zbiorów postaci A B, gdzie A A, B D jest algebrą. Zad Niech (, A i (, D będą przestrzeniami mierzalnymi. miarami skończonymi na (, A D spełniającymi warunek Niech µ i ν będą µ(a B = ν(a B, dla A A, B D. Wykazać, że µ = ν. Zad Rozważmy funkcję f : [, 1] [, 1] IR daną wzorem x 2 y 2, gdy (x, y (,, (x f(x, y = 2 +y 2 2, gdy (x, y = (,. Sprawdzić, że: 1 dλ(y 1 f(x, y dλ(x = π 1 4, dλ(x 1 f(x, y dλ(y = π 4. Wyjaśnić, dlaczego przykład ten nie jest sprzeczny z twierdzeniem Fubiniego. Zad Niech funkcja f : IR 2 IR będzie dana wzorem 1, jeśli x, x y < x + 1, f(x, y = 1, jeśli x, x + 1 y < x + 2,, dla pozostałych x, y. Sprawdzić, że dλ(y f(x, y dλ(x λ(x f(x, y dλ(y. R R R R Wyjaśnić, dlaczego przykład ten nie jest sprzeczny z twierdzeniem Fubiniego. Zad Niech = = [, 1]. (, 2, µ, gdzie Rozważmy przestrzenie z miarą (, L(, λ oraz µ = x δ x. jest miarą liczącą. Niech f : IR będzie dane wzorem f(x, y = I (x, y, gdzie = { (x, y IR 2 ; x = y }. Sprawdzić, że f(, y dλ =, f(x, dµ = 1
10 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład dla dowolnych x, y [, 1], a w konsekwencji ( f(x, y dλ(x dµ(y =, ( f(x, y dµ(y dλ(x = 1. Zad Niech (, A, µ będzie przestrzenią z miarą skończoną. Niech f : [, ] będzie funkcją mierzalną. Wykazać, że zbiór E = { (x, y [, ] : x, y < f(x } jest A B(IR - mierzalny. Obliczyć (µ λ(e. Zad Niech (, A, µ będzie przestrzenią z miarą σ - skończoną i niech f, g : [, ] będą funkcjami mierzalnymi takimi, że µ ( { x : f(x > t } µ ( { x : g(x > t } dla dowolnego t >. Wykazać, że f dµ g dµ. Zad Stosując twierdzenie Tonelliego wykazać, że r sin(x x dx = ( r a następnie przechodząc z r do wykazać, że e xy sin(x dλ(x dλ(y, r >, sin(x x dx = π 2.
A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoWykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,
Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych
Bardziej szczegółowo1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.
Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowoWykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Bardziej szczegółowoRobert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki
Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące
Bardziej szczegółowo8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Bardziej szczegółowoCałki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej
Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład V: Zmienne losowe i ich wartości oczekiwane 25 października 2017 Definicja zmiennej losowej Definicja Zmienne losowa to charakterystyka liczbowa wyniku eksperymentu losowego. Zmienne losowa na przestrzeni
Bardziej szczegółowoRodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoTeoria miary i całki
Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoTeoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowo4 Kilka klas procesów
Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoEgzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań
Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Bardziej szczegółowoRepetytorium z przedmiotu Miara i prawdopodobieństwo dla kierunku Informatyka 2003/2004. Adam Jakubowski
Repetytorium z przedmiotu Miara i prawdopodobieństwo dla kierunku Informatyka 2003/2004 Adam Jakubowski Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Toruń, styczeń 2004 Spis treści
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoWykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej
Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E
Bardziej szczegółowof(t) f(x), D f(x) = lim sup t x oraz D f(x) = lim inf
9. Różniczkowanie. Jeśli f jest funkcją rzeczywistą, to granice D + f(x) = lim sup t x + f(t) f(x), D f(x) = lim sup t x t x f(t) f(x), t x f(t) f(x) f(t) f(x) D + f(x) = lim inf oraz D f(x) = lim inf
Bardziej szczegółowoRepetytorium z przedmiotu MIARA I PRAWDOPODOBIEŃSTWO dla kierunku Informatyka 2001/2002. Adam Jakubowski
Repetytorium z przedmiotu MIARA I PRAWDOPODOBIEŃSTWO dla kierunku Informatyka 2001/2002 Adam Jakubowski Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Toruń, 2002 Spis treści Wstęp 1
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowoTwierdzenie spektralne
Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi
Bardziej szczegółowoFunkcje mierzalne, całka z funkcji nieujemnej, twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki
Funkcje mierzalne, całka z funkcji nieujemnej, twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki Ostatnio poprawiłem 25 stycznia 2015 r. Nadeszła pora na całkowanie. Pierwsza rzecza jest zdefiniowanie
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie metryczne
1 Przestrzenie metryczne Definicja 1.1 (metryka) Niech będzie niepustym zbiorem. Funkcję d: R + nazywamy metryką, jeśli spełnia warunki: 1 o d(x, y) = d(y, x) (symetria) 2 o d(x, y) + d(y, z) d(x, z) (nierówność
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoCałki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych
Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowo1 Elementy analizy funkcjonalnej
M. Beśka, Dodatek 1 1 Elementy analizy funkcjonalnej 1.1 Twierdzenia o reprezentacji Zaczniemy od znanego twierdzenia Riesza Twierdzenie 1.1 (Riesz) Niech będzie zwartą przestrzenią metryczną i załóżmy,
Bardziej szczegółowo1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Bardziej szczegółowo7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne.
7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. Funkcję rzeczywistą µ nieujemną określoną na ciele zbiorów S będziemy nazywali miarą, gdy dla dowolnego ciągu A 0, A 1,... zbiorów rozłącznych należących
Bardziej szczegółowoO pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)
(niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie
Bardziej szczegółowoTeoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej
Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 3. CAŁKA POTRÓJNA
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem 1 Całka potrójna po prostopadłościanie CAŁKA POTRÓJNA 2 Całka potrójna po obszarach normalnych Współrzędne walcowe 4 Współrzędne sferyczne
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowon=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa
Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym
Bardziej szczegółowoDOWODY NIERÓWNOŚCI HÖLDERA I MINKOWSKIEGO (DO UŻYTKU WEWNȨTRZNEGO, I DO SPRAWDZENIA)
DOWODY NIERÓWNOŚCI HÖLDERA I MINKOWSKIEGO (DO UŻYTKU WEWNȨTRZNEGO I DO SPRAWDZENIA) R R Tematem niniejszych notatek jest zbadanie warunków istnienia normy na ewnej rzestrzeni funkcji rzeczywistych określonych
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2, cze ść dziesia ta
Analiza matematyczna 2, cze ść dziesia ta Informacja ogólna dla tych, którzy jeszcze ze mna chca rozmawiać o stopniach: zdecydowana wie kszość twierdzeń w matematyce, w analizie w szczególności, sk lada
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
Bardziej szczegółowo6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek
6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek Mówimy, że funkcja holomorficzna f ma w punkcie a zero krotności k, jeśli f(a) = f (a) = = f (k ) (a) = 0, f (k) (a) 0. Rozwijając f w szereg Taylora w otoczeniu
Bardziej szczegółowoWstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS
Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowozbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy
5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowoRozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,
Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności
RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n
Bardziej szczegółowoLista zagadnień omawianych na wykładzie w dn r. :
Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn. 29.0.208r. : Granica funkcji Definicja sąsiedztwa punktu. Sąsiedztwo 0 R o promieniu r > 0: S 0, r = 0 r, 0 + r\{ 0 } 2. Sąsiedztwo lewostronne 0 R o promieniu
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o
Bardziej szczegółowoWykład 3. Miara zewnętrzna. Definicja 3.1 (miary zewnętrznej) Funkcję µ przyporządkowującą każdemu podzbiorowi
Wykład 3 Miara zewnętrzna Definicja 3.1 (miary zewnętrznej Funkcję przyporządkowującą każdemu podzbiorowi A danej przestrzeni X liczbę (A [0, + ] (a więc określoną na rodzinie wszystkich podzbiorów przestrzeni
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Bardziej szczegółowoZdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013
Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej
Bardziej szczegółowoOśrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,
Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.
Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu
Bardziej szczegółowoKonstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych
Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoRepetytorium z przedmiotu Miara i Prawdopodobieństwo. Adam Jakubowski
Repetytorium z przedmiotu Miara i Prawdopodobieństwo Adam Jakubowski Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Toruń, 1999 Spis treści Wstęp 1 1 Przestrzenie mierzalne i przestrzenie
Bardziej szczegółowoAnaliza Funkcjonalna - Zadania
Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Bardziej szczegółowoUwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:
1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoSZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE
Mając dowolny ciąg można z niego utworzyć nowy ciąg sum częściowych: Ten nowy rodzaj ciągu nazywamy szeregiem liczbowym, a jeśli to mamy do czynienia z nieskończonym szeregiem liczbowym, który oznaczany
Bardziej szczegółowoElementy logiki i teorii mnogości
Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoAnaliza I.2*, lato 2018
Analiza I.2*, lato 218 Marcin Kotowski 14 czerwca 218 Zadanie 1. Niech x (, 1) ma rozwinięcie binarne.x 1 x 2.... Niech dla x, 1: oraz f() = f(1) =. Pokaż, że f: f(x) = lim sup n (a) przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoSzkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego
Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................
Bardziej szczegółowoDwa równania kwadratowe z częścią całkowitą
Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to
Bardziej szczegółowo22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA
CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś
Bardziej szczegółowoSkończone rozszerzenia ciał
Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie
Bardziej szczegółowoWażną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)
Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i
Bardziej szczegółowoZagadnienia stacjonarne
Zagadnienia stacjonarne Karol Hajduk 19 grudnia 2012 Nierówność wariacyjna (u (t), v u(t)) + a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f, v u), v V. Zagadnienie stacjonarne ma postać (u (t) = 0): a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f,
Bardziej szczegółowo