Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone"

Transkrypt

1 Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy matematycznej. 4.1 Ciągi nieskończone Analogicznie jak ciągi skończone określamy ciągi nieskończone. Definicja ciągu nieskończonego. Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję a : N X nazywamy ciągiem nieskończonym lub ciągiem. Parę uporządkowaną n, an)), gdzie n N, nazywamy n tym wyrazem ciągu, n wskaźnikiem tego wyrazu, an) wartością tego wyrazu. Piszemy zamiast an). Ciąg a : N X zapisujemy również a 1, a 2,...) lub ) n=1 lub ) n N lub krótko ), piszemy również, n = 1, 2,... Jeśli wszystkie wartości ciągu ) n N należą do R to ciąg ten nazywamy liczbowym. Uwaga Ciągi można określiċ za pomocą wzoru, np. = 1 [ ) n ) n ] 1 5, n N. 2 Można ciąg określić indukcyjnie, np. a 1 = 1, a 2 = 1 oraz = dl > 2. Ciąg ten nazywamy ciągiem Fibonacci ego 1 ). Ciągi można określać przez podanie przepisu wyliczania jego wyrazów, np. jest sumą wszystkich liczb pierwszych mniejszych od n, gdzie przyjmujemy a 1 = a 2 = 0. Uwaga Ponieważ ciągi są funkcjami, więc wszystkie pojęcia dotyczące funkcji przenoszą się na ciągi, w szczególności, pojęcie różnowartościowości ciągu i zbioru wartości. Dla ciągów liczbowych mamy określone pojęcia ograniczoności ciągu, ograniczoności z góry i z dołu, kresu górnego i dolnego, najmniejszej i największej wartości, pojęcia sumy, 1 Przyjmując X = R 2, x = 1, 1) oraz f : X N X określone wzorem fx, y, n) = x + y, x) dostajemy ciąg ϕ n =, b n ), n N określony indukcyjnie przez x i f. Wówczas ) jest szukanym ciągiem. 61

2 62 ROZDZIAŁ 4. CIĄGI NIESKOŃCZONE różnicy, iloczynu, ilorazu ciągów, iloczynu ciągu przez liczbę. Mamy również określone pojęcie monotoniczności ciągu w szczególności pojęcia ciągu ściśle rosnącego, rosnącego, malejącego, ściśle malejącego. Łatwo przez indukcję skończoną pokazujemy Własność Niech ) będzie nieskończonym ciągiem liczbowym. a) Ciąg ) jest rosnący wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego n N zachodzi +1. b) Ciąg ) jest ściśle rosnący wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego n N zachodzi < +1. c) Ciąg ) jest malejący wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego n N zachodzi +1. d) Ciąg ) jest ściśle malejący wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego n N zachodzi > +1. Uwaga Będziemy mówić, że prawie wszystkie wyrazy ciągu mają określoną własność, gdy własność tę mają wszystkie wyrazy ciągu z wyjątkiem skończonej ich ilości. Mówimy, że dla dostatecznie dużych liczb naturalnych zachodzi określona własność, gdy istnieje N R, że własność ta zachodzi dla wszystkich liczb naturalnych większych od N. W szczególności: prawie wszystkie wyrazy ciągu mają określoną własność wtedy i tylko wtedy, gdy mają tę własność dla dostatecznie dużych wskaźników. Na przykład ciąg = n ma prawie wszystkie wyrazy większe od 2 i dla dostatecznie dużych wskaźników, jego wartości są większe od 2. Nie można tego samego powiedzieć o ciągu = 1) n n. Ten ostatni ciąg mieskończenie wiele wyrazów dodatnich i nieskończenie wiele wyrazów ujemnych. 4.2 Granica ciągu Definicja granicy ciągu. Niech ) n N będzie ciągiem liczbowym nieskończonym oraz g R. Mówimy, że liczba g jest granicą tego ciągu, gdy dla każdego ε > 0 istnieje N R takie, że dla każdego n N spełniającego warunek n > N zachodzi g < ε. Fakt ten zapisujemy lim = g lub lim = g lub g lub g. Ciąg ) n N nazywamy zbieżnym do g, gdy ma granicę równą g. Ciąg nazywamy zbieżnym, gdy ma granicę, w przeciwnym przypadku ciąg nazywamy rozbieżnym. Uwaga Niech ) n N będzie ciągiem liczbowym, g R. Wówczas lim = g wtedy i tylko wtedy, gdy ε>0 N R n N, n>n g < ε. Ponadto w definicji granicy ciągu można zmieniać dla każdego N R na dla każdego N należącego do zbioru nieograniczonego z góry oraz nierówności ostre <, >

3 4.2. GRANICA CIĄGU 63 odpowiednio nierówności nieostre, z wyjątkiem jednej nierówności ε > 0 i uzyskany warunek będzie równoważny definicji. W szczególności definicja granicy ciągu jest równoważnastępującej: ε>0 N N n N, n N g ε. Uwaga Bezpośrednio z definicji granicy ciągu dostajemy, że jeśli ) n N jest ciągiem liczbowymi oraz a R, to a) lim = a wtedy i tylko wtedy, gdy lim a) = 0. b) lim = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy lim = 0. Własność Niech ) n N, b n ) n N będą nieskończonymi ciągami liczbowymi zbieżnymi odpowiednio do a, b R. Wówczas dla każdego ε > 0 istnieje N N takie, że dla każdego n N, n > N zachodzi a < ε oraz b n b < ε. Dowód. Istotnie, wobec uwagu dla ustalonego ε > 0 istnieją N 1, N 2 N takie, że dl > N 1 mamy a < ε oraz dl > N 2 mamy b n b < ε. Zatem bioręc N = max{n 1, N 2 } dl > N mamy a < ε oraz b n b < ε. To daje tezę. Podamy teraz podstawowe własności ciągów zbieżnych. Własność Niech ) n N, b n ) n N będą ciągami liczbowymi oraz a, b R. a) Jeśli lim = a i lim = b, to a = b. b) Jeśli lim = a, lim b n = b oraz b n dla prawie wszystkich n N, to a b. c) Jeśli = b n dla prawie wszystkich n N, to lim = a wtedy i tylko wtedy, gdy lim b n = a. d) Jeśli istnieje k N takie, ze = b n+k dla prawie wszystkich n N, to lim = a wtedy i tylko wtedy, gdy lim b n = a. Dowód. Ad. a) Wystarczy pokazać, że dla każdego η > 0 mamy a b < η 2 ). Weźmy dowolne η > 0. Niech ε = η/2. Z założenia i własności 4.2.3, istnieje N 1 R takie, że dl N, n > N 1 zachodzi a < ε oraz b < ε, więc mamy a), gdyż a b = a ) b ) a + b < ε + ε = η. Ad. b) Ponieważ dla prawie każdego n N zachodzi b n, więc istnieje N 2 N takie, że dl N, n > N 2 zachodzi b n. Wystarczy pokazać, że dla każdego η > 0 zachodzi a b < η. Weźmy dowolne η > 0. Niech ε = η/2. Wówczas istnieje N 3 R takie, że dl N, n > N 3 zachodzi a < ε 2 Wtedy a b jest ograniczeniem dolnym zbioru R +, więc musi być a b 0. Ponieważ a b 0, więc a b = 0.

4 64 ROZDZIAŁ 4. CIĄGI NIESKOŃCZONE oraz b n b < ε. W szczególności dl > max{n 2, N 3 } mamy 0 b n oraz a < ε i b n b < ε. Stąd wynika b), gdyż z powyższego mamy a b a b) + b n ) = a ) + b n b) < ε + ε = η. Ad. c) Ze względu na symetrię warunków, wystarczy udowodnić, że ze zbieżności lim = a wynika zbieżność lim b n = a. Podobnie jak w dowodzie punktu b) istnieje N 4 N takie, że dl > N 4 zachodzi = b n. Weźmy dowolne ε > 0. Wówczas istnieje N 5 R, że dl N takich, że n > N 5 zachodzi a < ε. W szczególności dl > max{n 4, N 5 } mamy b n a = a < ε. To, wobec dowolności ε > 0 oznacza, że lim b n = a i daje c). Ad. d) Załóżmy, że lim = a. Weźmy dowolne ε > 0 i niech N 6 R będzie takie, że dl N, n > N 6 zachodzi a < ε. Ponieważ dl > N 6 + k mamy n k > N 6, więc b n a = k a < ε. To daje, że lim b n = a. Załóżmy, że lim b n = a. Weźmy dowolne ε > 0 oraz N 7 R takie, że dl N, n > N 7 mamy b n a < ε. Wówczas dl N, n > N 7 mamy n + k N i n + k > N 7, więc a = b n+k a < ε. To daje, że lim = a i kończy dowód. Zmiana kolejności wyrazów ciągu nie wpływa istnienie granicy, świadczy o tym Własność Niech ) n N będzie ciągiem liczbowymi, niech a R oraz niech f : N N będzie bijekcją. Wówczas lim = a wtedy i tylko wtedy, gdy lim a fn) = a. Dowód. Ponieważ f 1 : N N również jest bijekcją, więc wystarczy udowodnić, że ze zbieżności lim = a wynika zbieżność lim a fn) = a. Załóżmy, że lim = a. Weźmy dowolne ε > 0. Wtedy istnieje N N, że dl N, n > N zachodzi a < ε. Inaczej, dla każdego n N \ F N zachodzi a < ε. Niech A = f 1 F N ). Zbiór A jest skończony i niepusty, więc posiada maksimum patrz twierdzenie 2.6.4). Oznaczmy N 1 = max A. Wtedy dl N, n > N 1 mamy fn) N \ F N, zatem a fn) a < ε. To daje, że lim a fn) = a i kończy dowód. Twierdzenie o trzech ciągach). Niech ) n N, b n ) n N, c n ) n N będą ciągami liczbowymi takimi, że b n c n dla prawie wszystkich n N. Jeśli g R oraz lim = g i lim c n = g, to lim b n = g. Dowód. Z założenia, że b n c n dla prawie wszystkich n N wynika, że istnieje N 1 R, że dl > N 1 zachodzi b n c n. Weźmy dowolne ε > 0. Z definicji granicy ciągu istnieje N 2 R, że dl > N 2 zachodzi g < ε oraz c n g < ε. Zatem dla n > max{n 1, N 2 } mamy ε < g oraz c n g < ε, więc ε < g b n g c n g < ε. To daje b n g < ε. Reasumując lim b n = g.

5 4.2. GRANICA CIĄGU 65 Własność Każdy ciąg liczbowy zbieżny jest ograniczony. Dowód. Niech ) n N będzie ciągiem liczbowym zbieżnym do a R. Wtedy istnieje N N, że dl N, n > N zachodzi a < 1, w szczególności a 1 a+1. Zbiór { : n N, n N} jest skończony i niepusty, więc ma minimum i maksimum. Oznaczmy minimum tego zbioru przez m 1 a maksimum przez M 1. Kładąc m = min{m 1, a 1} oraz M = max{m 1, a + 1} dostajemy, że m jest ograniczeniem dolnym oraz M jest ograniczeniem górnym zbioru wartości ciągu ) n N. Twierdzenie Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny. Dowód. Niech ) n N będzie ciągiem monotonicznym i ograniczonym. Rozważmy przypadek, gdy ciąg ten jest rosnący. W przypadku, gdy ciąg jest malejący, rozumowanie jest analogiczne. Z założenia mamy, że zbiór A = { : n N} jest ograniczony i oczywiście jest niepusty. Zatem istnieje a = sup A R. Pokażemy, że lim = a. Istotnie, weźmy dowolne ε > 0. Ponieważ a ε < a, więc z definicji sup A istnieje a k A, że a k > a ε. Zatem, z monotoniczności ciągu ) n N, dl > k mamy a ε < a k a < a + ε, czyli a < ε. To daje, że lim = a i kończy dowód. Twierdzenie o działaniach na granicach ciągów). Niech ) n N, b n ) n N będą ciągami liczbowymi zbieżnymi oraz niech lim = a, lim b n = b, gdzie a, b R. Wówczas: a) lim + b n ) = a + b. b) lim b n ) = a b. c) Jeśli c R, to lim c ) = ca. d) lim b n ) = ab. e) Jeśli b 0 oraz b n 0 dl N, to lim an b n ) = a. b Dowód. Z założenia, że lim = a, lim b n = b oraz własności 4.2.3, dla każdego η > 0 istnieje Nη) N takie, że 4.1) dl N takich, że n > Nη) zachodzi a < η oraz b n b < η. Ad. a) i b) Weźmy dowolne ε > 0. Z 4.1) dl N, n > N ε 2 ) mamy + b n ) a + b) a + b n b < ε 2 + ε 2 = ε, co daje a). Ponadto b n ) a b) a + b n b < ε + ε = ε, co daje b). 2 2 Ad. c) Jeśli c = 0, to punkt c) jest oczywisty. Załóżmy, że c 0. Weźmy dowolne ε > 0. Z 4.1), dl > N ε ) mamy ca c n ca = c a < c ε = ε. To daje c). c

6 66 ROZDZIAŁ 4. CIĄGI NIESKOŃCZONE Ad. d) Weźmy dowolne ε > 0. Niech, w myśl własności 4.2.7, M > 0 będzie takie, że b n < M dla wszystkich n N. Wtedy, z własności 4.2.4b) dostajemy, że b M. Zwiększając ewentualnie M można założyć, że a < M. Wówczas, z 4.1) dl > N ε ), 2M b n ab = b n ab n ) + ab n ab) a b n + b n b a < ε 2M M + ε 2M M = ε. To daje d). 1 Ad. e) W myśl udowodnionej części d), wystarczy pokazać, że lim b n = 1 b. Ponieważ lim b n = b oraz b > 0, więc z 4.1) dl N, n > N b ) mamy b b 2 n < b, zatem 2 b b n b b n < b 2, czyli b n > b 2. W konsekwencji 4.2) 1 b n < 2 b dla n > N ) b. 2 Weźmy dowolne ε > 0. Wówczas dl N, n > N ε b 2 ) mamy b 2 n b < ε b 2, więc z 2 4.2) dl > max{n ε b 2 ), N b )}, b n b = b n b b n b < ε b b 2 = ε. To daje e) i kończy dowód. Własność Jeśli ) n N jest ciągiem ograniczonym oraz b n ) n N ciągiem zbieżnym do zera, to b n ) n N jest ciągiem zbieżnym do zera. Dowód. Z założenia i uwagi mamy lim b n = 0. Ponieważ ) n N jest ciągiem ograniczonym, więc istnieje M > 0 takie, że < M dl N. Stąd, M b n b n M b n, zarem z twierdzenia o trzech ciągach dostajemy tezę. Własność Niech ) n N będzie ciągiem liczbowym zbieżnym do a R. Wówczas lim = a. Dowód. Weźmy dowolne ε > 0. Wówczas istnieje N R takie, że dl > N zachodzi a < ε. Ponieważ a a, więc dl > N mamy a < ε. To, wobec definicji granicy ciągu, daje tezę. Wniosek Jeśli lim = a, lim b n = b, gdzie a, b R, to lim max{, b n } = max{a, b}, Dowód. Z własnści mamy max{, b n } = + b n 2 + b n 2 więc z własności dostajemy tezę. oraz lim min{, b n } = min{a, b}. min{, b n } = + b n 2 b n, 2

7 4.3. GRANICA CIĄGU POTĘG Granica ciągu potęg Lemat a) Jeśli α R, α > 0, to lim 1/n α = 0. b) lim n n = 1. c) Jeśli a > 0, to lim n a = 1. Dowód. Ad. a) Weźmy dowolne ε > 0. Wówczas z zasady Archimedesa istnieje N N takie, że N 1/ε) 1/α Ponieważ α > 0, więc z twierdzenia 3.5.5d), dl > N mamy ) 1 1 α ) 1 α n 0 = < = 1 α n N N ε. α Stąd dostajemy a). Ad. b) Dl 2 mamy, [ ] n 2 N, gdzie [x] oznacza całość z x. Ponieważ n 1, więc n n 1 0. Zatem dl 2, z nierówności Bernoulliego, mamy n = n n) n 2 n n) [ n 2 ] = 1 + n n 1)) [ n 2 ] 1 + [ ] n 2 n n 1) 1 + n 2 1) n n 1). W konsekwencji dl > 2, 4.3) 1 n n 1 n n 2. W myśl cząści a) i twierdzenia 4.2.9, n 1 lim 2 n 2 = lim n n 1 2 n n Stąd i z twierdzenia o trzech ciągach twierdzenie 4.2.6), wobec 4.3) mamy lim n = 1. Ad. c) Jeśli a > 1, to z wniosku dl > a mamy 1 n a < n n, więc z twierdzenia o trzech ciągach i części b) dostajemy lim n a = 1. Jeśli a = 1, to teza jest oczywista. Jeśli 0 < a < 1, to 1/a > 1, więc z wczaśniejszego przypadku mamy = 0. lim n a = lim 1 n 1/a = 1 1 = 1. To daje c) w tym przypadku i kończy dowód. Wniosek Jeśli a, b R, a > 0 oraz b n ) n N jest ciągiem zbieżnym do b, to lim abn = a b.

8 68 ROZDZIAŁ 4. CIĄGI NIESKOŃCZONE Dowód. Pokażemy najpierw, że 4.4) lim a bn b = 1. Rozważmy przypadek a > 1. Weźmy dowolne ε > 0. Ponieważ, w myś lematu 4.3.1c) mamy lim n a = 1, więc lim 1/ n a = 1, zatem istnieje k N takie, że 4.5) 0 < a 1/k 1 < ε oraz 0 < 1 a 1/k < ε. Z założenia lim b n = b dostajemy, że istnieje N N takie, że dl N, n > N mamy b n b < 1/k. Weźmy dowolne n > N. Jeśli b n b 0, to b n b < 1/k i ponieważ a > 1, więc z 4.5) i twierdzenia 3.5.5c) mamy a bn b 1 = a bn b 1 < a 1/k 1 < ε. Jeśli b n b < 0, to 1/k < b n b. Ponieważ a > 1, więc a 1/k < a bn b, zatem z 4.5), a bn b 1 = 1 a bn b < 1 a 1/k < ε. W konsekwencji a bn b 1 < ε dl > N. To daje 4.4) w przypadku, gdy a > 1. W przypadku a = 1 równość 4.4) jest oczywista. W przypadku 0 < a < 1 mamy 1/a > 1, więc z wcześniejszego przypadku lim abn b = lim Reasumuj ac mamy 4.4). Z 4.4) i twierdzenia 4.2.9d) dostajemy = 1. 1/a) bn b 1 lim abn = lim a b a bn b = a b. To daje tezę i kończy dowód. Twierdzenie Niech a, b R, a, b > 0 oraz a 1. Jeśli b n ) n N jest ciągiem takim, że b n > 0 dl N oraz lim b n = b, to lim log a b n = log a b. Dowód. Rozważmy najpierw przypadek a > 1. Oznaczmy c n = log a b n, n N oraz c = log a b. Przypuśćmy przeciwnie, że c nie jest granicą ciągu c n. Wówczas istnieje ε 0 > 0 takie, że dla każdego N R istnieje n N N, n N > N, że c nn c ε 0. Ponieważ b n = a cn oraz b = a c, więc b nn b = a cn N a c = a c a cn N c 1. Wówczas oraz b nn b a c a ε 0 1) > 0, gdy c nn c ε 0 b nn b a c 1 a ε 0 ) > 0, gdy c nn c ε 0.

9 4.4. GRANICE NIEWŁAŚCIWE CIĄGU 69 W konsekwencji bior ac ε = min{a c a ε 0 1), a c 1 a ε 0 )}, dla każdego N R istnieje n N, n > N, że b n b ε. To jest sprzeczne z założeniem lim b n = b. Otrzymana sprzeczność daje tezę w tym przypadku. Jeśli 0 < a < 1, to 1/a > 1 oraz z własności 3.6.3d) mamy log a b n = log 1/a b n, więc z pierwszej cząści dowodu mamy tezę. Twierdzenie Niech ) n N, b n ) n N będą ciągami liczbowymi zbieżnymi oraz niech lim = a, lim b n = b, gdzie a, b R. a) Jeśli a > 0 oraz > 0 dl N, to lim a bn n = a b. b) Jeśli a = 0, b > 0 oraz > 0 dl N, to lim a bn n = 0. Dowód. Ad. a) Niech d R będzie takie, że d > 0, d 1. Wtedy a bn n = d bn log d an oraz a b = d b log d b, więc teza wynika z twierdzeń 4.3.3, 4.2.9d) i wniosku Ad. b) Ponieważ b n ) jest ciągiem zbieżnym do b > 0, zaś ) jest zbieżny do 0, więc istnieje N R takie, że Stąd mamy b n > b/2 i 0 < < 1 dl > N. 4.6) 0 < a bn n < ) b/2 dl > N. Weźmy dowolne ε > 0. Z lematu 4.3.1a) mamy lim 1/n) b/2 = lim 1/n b/2 = 0, więc istnieje k N takie, że 0 < 1/k) b/2 < ε. Ponieważ lim = 0, więc istnieje N 1 R takie, że < 1/k dl > N 1. Wówczas z 4.6) dl > max{n, N 1 } mamy 0 < a bn n < 1/k) b/2 < ε. To daje tezę. 4.4 Granice niewłaściwe ciągu Definicja granicy niewłaściwej ciągu. Niech ) n N będzie ciągiem liczbowym. Mówimy, że ciąg ) n N ma granicę niewłaściwą + lub dąży do +, gdy dla każdego A R istnieje N R, że dla każdego n > N zachodzi > A. Fakt ten zapisujemy lim = + lub lim = + lub + lub +. Mówimy, że ciąg ) n N ma granicę niewłaściwą lub dąży do, gdy dla każdego A R istnieje N R, że dla każdego n > N zachodzi < A. Fakt ten zapisujemy lim = + lub lim = lub lub. Uwaga Niech ) n N będzie ciągiem liczbowym. Wówczas lim = + wtedy i tylko wtedy, gdy A R N R n N, n>n > A.

10 70 ROZDZIAŁ 4. CIĄGI NIESKOŃCZONE Z definicji granicy niewłaściwej ciągu dostajemy, że powyższy warunek jest równoważny następującemu: A>0 N N n N, n>n > A. Ponadto w tej definicji granicy można zmieniać dla każdego N R na dla każdego N należącego do zbioru nieograniczonego z góry oraz nierówności ostre > odpowiednio na nierówności nieostre, i uzyskany warunek będzie równoważny definicji dążenia ciągu do +. Analogicznie mamy lim = wtedy i tylko wtedy, gdy A R N R n N, n>n < A. Z definicji granicy niewłaściwej ciągu dostajemy, że powyższy warunek jest równoważny następującemu: A<0 N N n N, n>n < A. Ponadto w tej definicji granicy można zmieniać dla każdego N R na dla każdego N należącego do zbioru nieograniczonego z dołu oraz nierówności ostre >, < odpowiednio nierówności nieostre,, i uzyskany warunek będzie równoważny definicji dążenia ciągu do. Dowód poniższego odpowiednika własności dla granic niewłaściwych pozostawiamy czytelnikowi. Własność Niech ) n N, b n ) n N będą ciągami liczbowymi oraz a R. a) Jeśli lim = a i lim = +, to a = +. a ) Jeśli lim = a i lim =, to a =. b) Jeśli = b n dla prawie wszystkich n N, to lim = + wtedy i tylko wtedy, gdy lim b n = +. b ) Jeśli = b n dla prawie wszystkich n N, to lim = wtedy i tylko wtedy, gdy lim b n =. c) Jeśli istnieje k N takie, ze = b n+k dla prawie wszystkich n N, to lim = + wtedy i tylko wtedy, gdy lim b n = +. c ) Jeśli istnieje k N takie, ze = b n+k dla prawie wszystkich n N, to lim = wtedy i tylko wtedy, gdy lim b n =. Podobnie jak własność dowodzimy

11 4.4. GRANICE NIEWŁAŚCIWE CIĄGU 71 Własność Niech ) n N będzie ciągiem liczbowymi oraz niech f : N N będzie bijekcją. Wówczas a) b) lim = + wtedy i tylko wtedy, gdy lim a fn) = +. lim = wtedy i tylko wtedy, gdy lim a fn) =. Zachodzi odpowiednik twierdzenia o trzech ciągach twierdzenie 4.2.6). Własność Niech ) n N, b n ) n N będą ciągami liczbowymi takimi, że b n dla prawie wszystkich n N. a) Jeśli lim = +, to lim b n = +. b) Jeśli lim b n =, to lim =. Bezpośrednio z definicji granicy niewłaściwej dostajemy następujące własności granicy niewłaściwej. Własność Niech ) n N, b n ) n N będą ciągami liczbowymi. a) Wówczas lim = + wtedy i tylko wtedy, gdy lim ) =. 1 b) Jeśli > 0 i lim = 0, to lim 1 c) Jeśli < 0 i lim = 0, to lim = +. =. d) Jeśli lim = + i lim b n = +, to lim + b n ) = +. e) Jeśli lim = i lim b n =, to lim + b n ) =. f) Jeśli ciąg ) n N jest ograniczony i lim b n = +, to lim + b n ) = +, lim b n ) =, lim = 0. b n g) Jeśli lim = a, a R, a > 0 i lim b n = +, to lim b n ) = +. Udowodnimy teraz Twierdzenie Niech a R, a > 0, gdzie a 1 oraz niech b n ) n N będzie ciągiem takim, że b n > 0 dl N. a) Jeśli a > 1 i lim b n = +, to lim log a b n = +. b) Jeśli a < 1 i lim b n = +, to lim log a b n =. c) Jeśli a > 1 i lim b n = 0, to lim log a b n =. d) Jeśli a < 1 i lim b n = 0, to lim log a b n = +.

12 72 ROZDZIAŁ 4. CIĄGI NIESKOŃCZONE Dowód. Ad. a) Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje A R takie, że dla każdego N R istnieje n N N, n N > N, że log a b nn A. Stąd i z równości A = log a a A, mamy b nn a A dla każdego N. Z założenia lim b n = +, więc istnieje N R takie, że dla każdego n > N zachodzi b n > a A. W szczególności n N > N, więc b nn a A < b nn, co jest niemożliwe. Otrzymana sprzeczność daje a). Ad. b) Ponieważ 0 < a < 1, więc 1/a > 1, zatem z części a), lim log 1/a b n = +. Z własności 3.6.3d), log a b n = log 1/a b n, więc z własności 4.4.5a) dostajemy b). Ad. c) i d) Z własności 3.6.3b) mamy log a b n = log a 1/b n ), więc z części a) i b) oraz własności 4.4.5a),b) dostajemy tezę. Twierdzenie Niech ) n N, b n ) n N będą ciągami liczbowymi, > 0 dl N. a) Jeśli lim = a, a > 1 oraz lim b n = +, to lim a bn n = +. b) Jeśli lim = a, a < 1 oraz lim b n = +, to lim a bn n = 0. Dowód. Ad. a) Niech b R, 1 < b < a. Weźmy dowolne A R. Wówczas z zasady Archimedesa dla potęgowania, istnieje k R takie, że b k > A. Ponieważ lim = a i lim b n = +, więc istnieje N R, że dl > N zachodzi > b i b n > k. W konsekwencji z twierdzenia 3.5.5c) i d) dl > N mamy a bn n b bn b k > A. To daje a). Ad. b) Ponieważ 0 < a < 1, więc 1/a > 1. Z drugiej strony a bn n myśl części a) i własności 4.4.5f), daje tezę. = 1/1/ ) bn. To, w Uwaga Niech ) n N będzie ciągiem liczbowym i g R. Wówczas z definicji granicy właściwej i niewłaściwej) ciągu dostajemy, że g = lim wtedy i tylko wtedy, gdy A>g N R n>n < A) B<g N R n>n > B). Twierdzenie Stolza). Niech ) n N, b n ) n N będą ciągami liczbowymi. Jeśli lim b n = + i istnieje k N, że ciąg b n ) n=k jest ściśle rosnący, to 1 4.7) lim = lim b, n b n b n 1 jeśli tylko istnieje granica po prawej stronie skończona lub nieskończona). Dowód. Niech g = lim 1 b n b n 1. Rozważmy najpierw przypadek, gdy g R. Weźmy dowolne ε > 0. Wówczas istnieje N, że l ε 2 < 1 < l + ε dl > N. b n b n 1 2

13 4.4. GRANICE NIEWŁAŚCIWE CIĄGU 73 Można założyć, że N > k i wtedy b n b n 1 > 0 dl > N. Wówczas z powyższego, g ε 2 < 1 ) + + a N+1 a N ) b n b n 1 ) + + b N+1 b N ) < g + ε 2 dl > N, a więc dl > N mamy czyli 4.8) g ε 2 < a N b n b N < g + ε 2, a N g b n b < ε N ) Można założy, że b n > 0 dl > N. Łatwo sprawdzamy, że g = a N gb N + 1 b ) an N a N b n b n b n b n b N ) g, a więc g b a N gb N n b n + 1 b N a N b n b n b N g. Dl > N mamy 0 < b N < b n, więc 1 b N bn < 1. Ponieważ lim istnieje N N, że a N gb N b n < ε dl > N. 2 Reasumując z 4.9) i 4.8) dl > N mamy g b < ε n 2 + ε 2 = ε, a N gb N b n = 0, więc co dowodzi 4.7) w rozważanym przypadku. Załóżmy teraz, że g = +. Wówczas istnieje s N, że dl > s mamy 1 > b n b n 1 > 0, a więc ) n=s jest ciągiem ściśle rosnącym i lim = +. Można więc zastosować 4.7) w udowodnionym przypadku do ciągu bn ) n N, lim b n = lim b n b n 1 1 = 0. Stąd, ponieważ dla dostatecznie dużych n mamy bn a > 0, więc lim n bn = +. Rozważmy na koniec przypadek g =. Biorąc ã n = dl N, dostajemy lim ã i z poprzedniego przypadku, lim n bn ã n ã n 1 b n b n 1 = + = +. To daje lim bn = i kończy dowód.

14 74 ROZDZIAŁ 4. CIĄGI NIESKOŃCZONE ZADANIA Zadanie Jeśli ciąg ) n N ma granicę skończoną lub nieskończon), to lim Zadanie Niech k N. Wówczas lim 1 k + 2 k + + n k n k+1 = 1 k + 1, a n lim = lim. 4.5 Liczba e, logarytm naturalny 1 k + 2 k + + n k n k+1 n k + 1 = 1 2. W punkcie tym określimy jedną z najważniejszych liczb w analizie. Zacznijmy od lematu. Stosując zasadę indukcji dostajemy natychmiast Lemat Dla każdego x R, x 1 oraz każdego n N zachodzi n k=1 x k = x 1 xn 1 x. Twierdzenie Ciąg e n ) n N określony wzorem 4.10) e n = jest zbieżny. Ponadto 2 < lim e n < 3. stąd n) n, n N. Dowód. Z nierówności Bernoulliego dl N, n > 1 i własności potęgi mamy kolejno 1 1 n 1 1 ) n, więc 1 1 n 2 n ) n 1 1 n, n n) 1 n) 1 n n) 1 n, czyli k= ) n 1 = 1 1 n n 1 n) n) 1 n. Z ostatniej nierówności dostajemy, że ciąg e n ) n N jest rosnący. Pokażemy, że dla każdego n > 1 zachodzi 2 < e n < 3 1. Istotnie, ze wzoru dwumiennego Newtona, dla każdego n N mamy 12 e n = 1 + n) 1 n ) n n 1 = k n = 1 + n nn 1) n k + 1) 1 k k! n 1 + n 1 k k!. k=1 Oczywiście 1 = 1 1. Łatwą indukcją pokazujemy, że dla każdego k N zachodzi 3! k 1 k!, więc z lematu mamy e n 1 + n 1 k! 1 1 n n = k=1 2k ) 1 k = 11 1 k= )n ) 1 1 < k=1 k=1

15 4.5. LICZBA E, LOGARYTM NATURALNY 75 Reasumując e n ) jest ciągiem rosnącym i ograniczonym z góry, zatem z twierdzenia dostajemy zbieżność ciągu e n ). Ponadto dl > 1 zachodzi 2 < e 2 e n < 3 1, więc z 12 własności 4.2.4b) mamy 2 < lim e n < 3. To daje tezę. W świetle twierdzenia poniższa definicja jest poprawna. Definicja liczby e. Liczbę e R określamy wzorem e = lim 1 + n) 1 n. Lemat Dla każdego x R takiego, że x > 1 zachodzi > 0. Ponadto dla x każdego ε > 0 istnieje K N, że 4.11) 1 + x) 1 x e < ε dla każdego x R, takiego, że x > K. Dowód. Pierwsza część tezy jest oczywista. Pokażemy drugą część tezy. Weźmy dowolne ε > 0. Zgodnie z definicją, granica ciągu e n = 1+ 1 n )n jest równa e. W szczególności lim [e n1 + 1 n )2 ] = e oraz lim [e n n ) 1 ] = e. Zatem istnieje N N takie, że dla n > N zachodzi 4.12) e n 1 + n) 1 2 < e + ε oraz e ε < e n ) 1. n + 1 Jeśli x > N + 1, to istnieje n N, n > N takie, że n x < n + 1. Wówczas. Zatem z 4.12) mamy 1 n+1 < 1 x 1 n 4.13) e ε < oraz 4.14) ) 1 e n+1 = ) n < n 1 + n + 1 n + 1 x) 1 ) x x 1 + x) 1 x < 1 + x) 1 x+1 < ) n+2 = e n < e + ε. n n) Z 4.13) i 4.14) dostajemy 4.15) 1 + x) 1 x e < ε dla x > N + 1. Jeśli x < N 2, to x 1 > N + 1 oraz 1 + x) 1 x = x x + 1 ) x = 1 1 x + 1 ) x = 1 + ) 1 x x 1 ) 1. x 1 Zatem ) 1 x x ) 1 x 1)+1 = 1 +. x 1 x) x 1 Stąd, z 4.13) i 4.14) mamy ) 1 x ) e ε < x ) 1 x 1)+1 = 1 + < e + ε. x 1 x) x 1 ) x To daje x e < ε dla x < N 2. W konsekwencji, biorąc K = N + 2, z 4.15) i 4.16) dostajemy 4.11). To kończy dowód.

16 76 ROZDZIAŁ 4. CIĄGI NIESKOŃCZONE Wniosek Niech x R oraz a n ) n N ) będzie ciągiem takim, że 0 dl N. an a) Jeśli lim = +, to lim = e. ) an b) Jeśli lim = +, to lim 1 + x = e x. ) an c) Jeśli lim =, to lim = e. d) Jeśli lim = 0, to lim 1 + ) 1 an = e. Dowód. Weźmy dowolne ε > 0 oraz niech, zgodnie z lematem 4.5.3, K N będzie takie, że zachodzi 4.11). Ad. a) Ponieważ lim = +, więc istniej N N takie, że > K dl > N. Wówczas z 4.11) mamy ) an e < ε. Stąd i z dowolności ε > 0 dostajemy a). Ad. b) Jeśli x = 0, to b) jest oczywiste. Jeśli x 0, to lim x = +, więc z istnieje N N takie, że dl > N mamy an x ) an konsekwencji lim 1 + x x a [ n 1 ) ] an x lim + x x = e x. To daje b). Ad. c) Z założenia mamy lim dla x = 1 mamy lim ) an = lim > K, więc z 4.11) mamy ) an 1 + x x e < ε. W = e oraz z twierdzenia 4.3.4a) mamy lim 1 + x ) an = ) = +, zatem z twierdzenia 4.3.4a) i części b) [ 1 ) ] an = e 1 ) 1 = e. To daje c). 1 Ad. d) Ponieważ 0 i lim = 0, więc lim = +. Zatem istnieje N N takie, że 1 > K dl > N. Stąd i z 4.11) dl > N mamy 1 + ) 1 an e = ) 1 an 1 e < ε. To daje c) i kończy dowód. Definicja logarytmu naturalnego. Niech x R, x > 0. Logarytmem naturalnym z liczby x nazywamy logarytm przy podstawie e z tej liczby i oznaczamy ln x. Logarytmem naturalnym nazywamy funkcję określoną wzorem fx) = ln x, x > 0. Uwaga Z własności oraz mamy, że logarytm naturalny jest funkcją ściśle rosnącą, której zbiór wartości jest równy R. 4.6 Podciągi, granice częściowe Definicja podciągu. Niech ) n N będzie dowolnym ciągiem i niech n k ) k N będzie ściśle rosnącym ciągiem liczb naturalnych. Ciąg k ) k N będący złożeniem ciągów n k ) k N i ) n N nazywamy podciągiem lub ciągiem częściowym ciągu ) n N. Uwaga Jeśli n k ) k N jest ściśle rosnącym ciągiem liczb naturalnych, to n k k dla wszystkich k N. Wynika to bezpośrednio z lematu

17 4.6. PODCIĄGI, GRANICE CZĘŚCIOWE 77 Własność Niech ) n N będzie ciągiem liczbowym, k ) k N jego podciągiem oraz g R. Jeśli lim = g, to lim k = g. k Dowód. Rozważmy przypadek g R. Weźmy dowolne ε > 0 i niech N R będzie takie, że g < ε dl > N. Ponieważ n k k dla k N, więc dla k > N mamy k g < ε. To daje, że lim k = g. k Jeśli g = +, to dla dowolnego A R istnieje N R, że > A dl > N. W szczególności k > A dla k > N. To daje, że lim k = +. Analogicznie rozważamy k przypadek g =. Lemat Niech ) n N będzie ciągiem liczbowym oraz g R. Wóczas następujące warunki są równoważne: a) Istnieje podciąg k ) k N ciągu ) n N taki, że lim k k = g. b) Dla każdego ε > 0 zbiór X ε = {n N : g < ε} jest nieskończony. Dowód. Ad. a) b) Z definicji granicy ciągu mamy, że dla każdego ε > 0 istnieje K N takie, że dla k > K zachodzi k g < ε. W konsekwencji {n k : k > K} X ε, więc X ε jest nieskończony. Ad. b) a) Pokażemy, że istnieje podciąg k ) k N ciągu ) n N taki, że 4.17) k g < 1/k dla k N. Istotnie, z b) mamy, że istnieje n 1 X 1. Ponadto istnieje n 2 > n 1 takie, że n 2 X 1 2 Zakładając, że wybraliśmy już n k X 1 k., wobec b) istnieje n k+1 > n k, że n k+1 X 1. k+1 dla k N Istnieje, więc ściśle rosnący ciąg n k ) k N liczb naturalnych taki, że n k X 1 k 3 ). Wówczas z określenia zbiorów X ε dostajemy, że podciąg k ) k N ciągu ) n N spełnia 4.17). Z 4.17) dostajemy natychmiast a). Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa). Każdy ciąg ograniczony ma podciąg zbieżny. Dowód. Niech ) n N będzie ciągiem ograniczonym. Wówczas istnieje przedział domknięty P = [α, β] taki, że α β dl N. Pokażemy, że istnieje rodzina przedziałów domkniętych P k, k N spełniająca warunki: 1) P 1 P oraz P k+1 P k dla k N, 2) P k = P 2 k dla k N. 3) Dla każdego k N zbiór {n N : P k } jest nieskończony. Istotnie, biorąc przedziały [α, α+β α+β ], [, β], jako P wybieramy ten z nich, który spełnia 3) oczywiście jeden z tych przedziałów spełnia ten warunek). Zakładając, że wybraliśmy 3 dokładniej, ciąg k ) k N można określić indukcyjnie przy pomocy x = n 1 X 1 i funkcji f : N N N określonej wzorem fk, n) = min{m N : a m g < 1 k m > k}.

18 78 ROZDZIAŁ 4. CIĄGI NIESKOŃCZONE przedział P k = [α k, β k ], dzielimy go na przedziały [α k, α k+β k ], [ α k+β k, β 2 2 k ] i jako P k+1 wybieramy ten z nich, który spełnia 3). Określiliśmy więc nieskończony ciąg przedziałów, który spełnia 1), 2), 3) 4 ). W myśl 1) i lematu zbiór k N P k jest niepusty. Niech a k N P k. Weźmy dowolne ε > 0 oraz X ε = {n N : a < ε}. Z 2) mamy, że dla k > P zachodzi ε ε > P k, więc P k {x R : x a < ε}, a więc wobec 3) mamy, że zbiór X ε jest nieskończony. Stąd i z lematu 4.6.3b) a) dostajemy, że istnieje podciąg k ) k N ciągu ) n N zbieżny do a. To kończy dowód. Definicja granicy częściowej ciągu. Niech ) n N będzie dowolnym ciągiem liczbowym. Mówimy, że element a R jest granicą częściową ciągu ) n N, gdy istnieje jego podciąg k ) k N taki, że lim k k = a. Lemat Niech ) n N będzie ciągiem liczbowym. a) Jeśli ciąg ) n N nie jest ograniczony z góry, to + jest jego granicą częściową. b) Jeśli ciąg ) n N nie jest ograniczony z dołu, to jest jego granicą częściową. Dowód. Ad. a). Zauważmy, że 4.18) dla każdego k N zbiór X k = {n N : > k} jest nieskończony. Istotnie, przypuśćmy przeciwnie, że dla pewnego k N, X k jest skończony. Jeśli X k =, to k dl N i k jest ograniczeniem górnym zbioru wartości ciągu ) n N, wbrew założeniu. Jeśli X k, to z twierdzenia istnieje x = max{ : n X k } i wtedy x jest ograniczeniem górnym zbioru wartości ciągu ) n N, wbrew założeniu. W każdym przypadku doszliśmy do sprzeczności. Zatem zachodzi 4.18). Pokażemy, że istnieje podciąg k ) k N ciągu ) n N taki, że 4.19) k > k dla k N. Istotnie, niech n 1 X 1. Wtedy 1 > 1. Z 4.18) istnieje n 2 X 2 takie, że n 2 > n 1. Postępując dalej indukcyjnie znajdziemy podciąg spełniający 4.19) 5 ). Z 4.19) i własności 4.4.4a) dostajemy lim k = +, więc + jest granicą częściową ciągu ) n N. k Ad. b) Analogicznie jak w części a) pokazujemy, że dla każdego k N zbiór Y k = {n N : < k} jest nieskończony i dalej, że istnieje podciąg k ) k N ciągu ) n N taki, że k < k dla k N. Zatem lim k = i jest granicą częściową ciągu k ) n N. To kończy dowód. Wniosek Zbiór granic częściowych dowolnego nieskończonego ciągu liczbowego jest niepusty. 4 dokładniej, ciąg przedziałów P n ) n N określamy indukcyjnie przy pomocy x = P oraz funkcji f[a, b], n) = [a, a+b 2 ], gdy zbiór {i N : a i [a, a+b a+b 2 ]} jest nieskończony oraz f[a, b], n) = [ 2, b], gdy zbiór {i N : a i [a, a+b 2 ]} jest skończony. 5 dokładniej ciąg n k ) k N można określić indukcyjnie przy pomocy x = min{n N : > 1} oraz funkcji f : N N N określonej wzorem fm, k) = min{n N : > m n > m}.

19 4.6. PODCIĄGI, GRANICE CZĘŚCIOWE 79 Dowód. Niech ) n N będzie ciągiem liczbowym. Jeśli ciąg ten jest ograniczony, to teza wynika z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa W przeciwnym przypadku teza wynika z lematu Lemat Niech ) n N będzie ciągiem liczbowym oraz A R. a) Jeśli zbiór X = {n N : A} jest nieskończony, to istnieje podciąg k ) k N ciągu ) n N taki, że k A dla k N. b) Jeśli zbiór Y = {n N : A} jest nieskończony, to istnieje podciąg k ) k N ciągu ) n N taki, że k A dla k N. Dowód. Ad. a) Biorąc dowolny n 1 X, z założenia istnieje n 2 = min{n X : n > n 1 }. Mając n k X, znajdziemy n k+1 = min{n X : n > n k }. Zatem z twierdzenia o definiowaniu przez indukcję mamy, że istnieje rosnący ciąg n k ) k N elementów zbioru X. Biorąc k ) k N dostajemy a). Część b) dowodzimy analogicznie. Twierdzenie Niech ) n N będzie ciągiem liczbowym, E R jego zbiorem granic częściowych oraz g R. Wówczas lim = g wtedy i tylko wtedy, gdy E = {g}. Dowód. Jeśli lim = g, to z własności mamy E = {g}. Załóżmy teraz, że E = {g}. Pokażemy, że lim = g. Jeśli g = +, to wobec lematu mamy, że ciąg ) n N jest ograniczony z dołu. Zauważmy, że dla każdego A R zbiór {n N : A} jest skończony. Istotnie, w przeciwnym przypadku, wobec lematu wybralibyśmy podciąg k ) k N ciągu ) n N ograniczony z góry przez A. Wtedy podciąg ten byłby ograniczony i w myśl twierdzenia Bolzano-Weierstrassa istniałby jego podciąg zbieżny do granicy skończonej, a więc istniałby podciąg ciągu ) n N zbieżny do granicy skończonej. To przeczy założeniu, że E = {+ }. W konsekwencji dla każdego A R, prawie wszystkie wyrazy ciągu spełniają warunek > A, co oznacza, że lim = +. Analogicznie jak powyżej rozważamy przypadek g =. Jeśli g R, to wobec lematu 4.6.5, ciąg ) n N jest ograniczony. Zauważmy, że dla każdego ε > 0, zbiór {n N : g ε} jest skończony. Istotnie, w przeciwnym przypadku, wobec lematu i powyższego, istniałby podciąg ograniczony k ) k N ciągu ) n N taki, że k g ε. Zatem z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa, istniałby podciąg tego podciągu zbieżny do granicy różnej od g, co przeczy założeniu E = {g}. Reasumując dla każdego ε > 0, zbiór {n N : g ε} jest skończony, co oznacza, że lim = g i kończy dowód. Z twierdzenia dostajemy natychmiast Wniosek Ciąg liczbowy ) n N nie ma granicy wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją dwa jego podciągi które mają różne granice.

20 80 ROZDZIAŁ 4. CIĄGI NIESKOŃCZONE Wniosek Niech x R. a) Jeśli x < 1, to lim x n = 0. b) Jeśli x = 1, to lim x n = 1. c) Jeśli x > 1, to lim x n = +. d) Jeśli x 1, to granica ciągu x n ) n N nie istnieje. Dowód. Część a) i c) wynikatychmiast z twierdzenia Część b) jest oczywista. Jeśli x 1, to podciągi x 2n ) n N oraz x 2n 1 ) n N ciągu x n ) n N mają różne granice. Mianowicie lim x 2n = 1 i lim x 2n 1 = 1, gdy x = 1 oraz lim x 2n = + i lim x2n 1 =, gdy x < 1. To wraz z wnioskiem daje d). ZADANIA Zadanie Niech ) n N będzie ciągiem liczbowym. Jeśli ciągi a 2n ) n N, a 3n ) n N, a 2n+1 ) n N mają granice, to ciąg ) n N ma granicę. Zadanie Niech ) n N będzie ciągiem liczbowym. Wówczas następujące warunki są równoważne: a) Istnieje granica ciągu ) n N. b) Każdy podciąg ciągu ) n N ma granicę. Zadanie Niech ) n N będzie ciągiem liczbowym oraz g R. Wówczas następujące warunki są równoważne: a) lim = g. b) Dla każdego podciągu k ) k N zachodzi lim k k = g. c) Dla każdego podciągu k ) k N posiadającego granicę zachodzi lim k k = g. Zadanie Niech ϕ : N Q będzie bijekcją patrz twierdzenie ). Wówczas zbiór granic częściowych ciągu ϕ jest równy R. 4.7 Ciągi Cauchy ego Definicja ciągu Cauchy ego. Ciąg liczbowy ) n N nazywamy ciągiem Cauchy ego, gdy dla każdego ε > 0 istnieje N R takie, że dla każdych k, n N takich, że k, n > N zachodzi a k < ε. Uwaga Niech ) n N będzie ciągiem liczbowym. Ciąg ten jest ciągiem Cauchyego wtedy i tylko wtedy, gdy ε>0 N R k,n N, k,n>n a k < ε. Z definicji granicy ciągu dostajemy, że powyższy warunek jest równoważny następującemu: ε>0 N N k,n N, k,n N a k ε.

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1. Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu

Bardziej szczegółowo

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi. Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. 1. Ciągi

Analiza matematyczna. 1. Ciągi Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n

Bardziej szczegółowo

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 1 Jacek M. Jędrzejewski Wstęp W naszym konspekcie będziemy stosowali następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych dodatnich, N 0 zbiór liczb naturalnych (z zerem),

Bardziej szczegółowo

Teoria miary i całki

Teoria miary i całki Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a

Bardziej szczegółowo

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)

Bardziej szczegółowo

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

Ciągi. Pojęcie granicy ciągu.

Ciągi. Pojęcie granicy ciągu. Rozdział 2 Ciągi. Pojęcie granicy ciągu. Definicja 2.. Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych. Będziemy rozważać ciągi o wyrazach rzeczywistych, czyli zgodnie z powyższą definicją

Bardziej szczegółowo

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu E-learning - matematyka - poziom rozszerzony Funkcja wykładnicza Materiały merytoryczne do kursu Definicję i własności funkcji wykładniczej poprzedzimy definicją potęgi o wykładniku rzeczywistym. Poprawna

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2005/06, semestr 1. Tadeusz Rzeżuchowski

ANALIZA MATEMATYCZNA 2005/06, semestr 1. Tadeusz Rzeżuchowski ANALIZA MATEMATYCZNA 2005/06, semestr 1. Tadeusz Rzeżuchowski 1 Spis treści 1 Zbiory liczbowe 5 1.1 Krótka informacja o zbiorach liczb naturalnych, całkowitych i wymiernych 5 1.1.1 Liczby naturalne.........................

Bardziej szczegółowo

4. Granica i ciągłość funkcji

4. Granica i ciągłość funkcji 4. Granica i ciągłość funkcji W niniejszym rozdziale wprowadzamy pojęcie granicy funkcji, definiujemy funkcje ciągłe i omawiamy ich podstawowe własności. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale

Bardziej szczegółowo

Wykład z Analizy Matematycznej 1 i 2

Wykład z Analizy Matematycznej 1 i 2 Wykład z Analizy Matematycznej 1 i 2 Stanisław Spodzieja Łódź 2004/2005 http://www.math.uni.lodz.pl/ kfairr/analiza/ Wstęp Książka ta jest nieznacznie zmodyfikowaną wersją wykładu z analizy matematycznej

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

Wstęp do topologii Ćwiczenia

Wstęp do topologii Ćwiczenia Wstęp do topologii Ćwiczenia Spis treści Przestrzeń metryczna, metryka 2 Kule w przestrzeni metrycznej 2 3 Zbieżność w przestrzeniach metrycznych 4 4 Domknięcie, wnętrze i brzeg 6 5 Zbiory gęste, brzegowe

Bardziej szczegółowo

Zapisujemy to symbolicznie jako równość:. Mówimy też, że ciąg posiada granicę niewłaściwą (równą nieskończoności).

Zapisujemy to symbolicznie jako równość:. Mówimy też, że ciąg posiada granicę niewłaściwą (równą nieskończoności). Ciągi rozbieżne do Def. Mówimy, że ciąg jest rozbieżny do, jeśli Zapisujemy to symbolicznie jako równość:. Mówimy też, że ciąg posiada granicę niewłaściwą (równą nieskończoności). Można obrazowo powiedzieć,

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje i ich granice

1 Funkcje i ich granice Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Rykaczewski. Szeregi

Krzysztof Rykaczewski. Szeregi Krzysztof Rykaczewski Spis treści 1 Definicja szeregu 2 Zbieżność szeregu 3 Kryteria zbieżności szeregów 4 Iloczyn Cauchy ego szeregów 5 Bibliografia 1 / 13 Definicja szeregu Niech dany będzie ciąg (a

Bardziej szczegółowo

(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α

(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α FUNKCJE BORELOWSKIE Rodzinę F podzbiorów zbioru X (tzn. F X) będziemy nazywali ciałem gdy spełnione są warunki: (1) Jeśli zbiór Y F, to dopełnienie X \ Y też należy do rodziny F. (2) Jeśli S F jest skończoną

Bardziej szczegółowo

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista. Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN, ANALIZA 1A, , ROZWIĄZANIA

EGZAMIN, ANALIZA 1A, , ROZWIĄZANIA Zadanie 1. Podać kresy następujących zbiorów. Przy każdym z kresów napisać, czy kres należy do zbioru (TAK = należy, NIE = nie należy). infa = 0 NIE A = infb = 1 TAK { 1 i + 2 j +1 + 3 } k +2 : i,j,k N

Bardziej szczegółowo

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji. Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.. Ciągi Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze N lub jego podzbiorze. Z tego względu ciągi dziey na

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych.

Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Definicja (otoczenie punktu) Otoczeniem punktu x 0 R, o promieniu nazywamy zbiór x R taki, że: inaczej x x 0 x x 0, x 0 Definicja (ciągłość w punkcie)

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d

Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d C. Bagiński Materiały dydaktyczne 1 Matematyka Dyskretna /008 rozwiązania 1. W każdym z następujących przypadków podać jawny wzór na s n i udowodnić indukcyjnie jego poprawność: (a) s 0 3, s 1 6, oraz

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne.

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 78. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 a) 4 2+log 27 = (2 2 ) log 27 4 = 28 2 = 784 29 listopada 2008

Bardziej szczegółowo

granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N

granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N 14. Określenie ciągu i szeregu funkcyjnego, zbieżność punktowa i jednostajna. Własności zbieżności jednostajnej. Kryterium zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego. 1 Definicja Ciąg funkcyjny Niech

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk

Szeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk Analiza Matematyczna Szeregi liczbowe Alexander Denisjuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk

Bardziej szczegółowo

Algebry skończonego typu i formy kwadratowe

Algebry skończonego typu i formy kwadratowe Algebry skończonego typu i formy kwadratowe na podstawie referatu Justyny Kosakowskiej 26 kwietnia oraz 10 i 17 maja 2001 Referat został opracowany w oparciu o prace Klausa Bongartza Criterion for finite

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo

zaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób:

zaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób: 1. Zagadnienia teoretyczne. 1.1. Przedział domknięty Przykład 1. Pisząc mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od -4 do 7, razem z -4 i 7. Jeśli napiszemy, będziemy mówić o zbiorze wszystkich liczb

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości

Bardziej szczegółowo

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?

Bardziej szczegółowo

Wykład 3. Miara zewnętrzna. Definicja 3.1 (miary zewnętrznej) Funkcję µ przyporządkowującą każdemu podzbiorowi

Wykład 3. Miara zewnętrzna. Definicja 3.1 (miary zewnętrznej) Funkcję µ przyporządkowującą każdemu podzbiorowi Wykład 3 Miara zewnętrzna Definicja 3.1 (miary zewnętrznej Funkcję przyporządkowującą każdemu podzbiorowi A danej przestrzeni X liczbę (A [0, + ] (a więc określoną na rodzinie wszystkich podzbiorów przestrzeni

Bardziej szczegółowo

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Granice ciągów. Materiały merytoryczne do kursu

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Granice ciągów. Materiały merytoryczne do kursu E-learning - matematyka - poziom rozszerzony Granice ciągów Materiały merytoryczne do kursu N początku następnego: Przyjmiemy następujące oznaczenia: N - zbiór liczb naturalnych, N = {1, 2,..., }, Z -

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to

Bardziej szczegółowo

f(t) f(x), D f(x) = lim sup t x oraz D f(x) = lim inf

f(t) f(x), D f(x) = lim sup t x oraz D f(x) = lim inf 9. Różniczkowanie. Jeśli f jest funkcją rzeczywistą, to granice D + f(x) = lim sup t x + f(t) f(x), D f(x) = lim sup t x t x f(t) f(x), t x f(t) f(x) f(t) f(x) D + f(x) = lim inf oraz D f(x) = lim inf

Bardziej szczegółowo

Ekstrema globalne funkcji

Ekstrema globalne funkcji SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością

Bardziej szczegółowo

Weronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x))

Weronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x)) Weronika Siwek, Metryki i topologie 1 Definicja 1. Załóżmy, że X, ρ: X X [0, ). Funkcja ρ spełnia następujące warunki: 1. x,y X (ρ(x, y) = 0 x = y) 2. 3. (ρ(x, y) = ρ(y, x)) x,y X (ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z,

Bardziej szczegółowo

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę

Bardziej szczegółowo

1 Określenie pierścienia

1 Określenie pierścienia 1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Skończone rozszerzenia ciał

Skończone rozszerzenia ciał Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie

Bardziej szczegółowo

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje uniwersalne

1 Funkcje uniwersalne 1 1 Funkcje uniwersalne 1.1 Konstrukcja funkcji uniweralnej Niech P będzie najmniejszym zbiorem liczb spełniającym warunki 1) 0, 2, 0, 0, 2, 1, 0, 2, 2 P, 2) 0, n, 3, k P dla wszystkich n > 0 oraz k takich,

Bardziej szczegółowo

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,

Bardziej szczegółowo

Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych

Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10 System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki

Bardziej szczegółowo

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU. w języku polskim Analiza Matematyczna 1 w języku angielskim Mathematical Analysis 1 USYTUOWANIE PRZEDMIOTU W SYSTEMIE STUDIÓW

KARTA PRZEDMIOTU. w języku polskim Analiza Matematyczna 1 w języku angielskim Mathematical Analysis 1 USYTUOWANIE PRZEDMIOTU W SYSTEMIE STUDIÓW Kod przedmiotu Nazwa przedmiotu KARTA PRZEDMIOTU AM1_M w języku polskim Analiza Matematyczna 1 w języku angielskim Mathematical Analysis 1 USYTUOWANIE PRZEDMIOTU W SYSTEMIE STUDIÓW Kierunek studiów Forma

Bardziej szczegółowo

Filtry i nety w przestrzeniach topologicznych

Filtry i nety w przestrzeniach topologicznych Filtry i nety w przestrzeniach topologicznych Magdalena Ziębowicz Streszczenie W referacie zostaną przedstawione i scharakteryzowane pojęcia związane z filtrami i ultrafiltrami, ciągami uogólnionymi oraz

Bardziej szczegółowo

11. Pochodna funkcji

11. Pochodna funkcji 11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym.

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I

Analiza Matematyczna I Analiza Matematyczna I Informatyka, WPPT, Politechnika Wrocławska Wprowadzenie (2 godziny ćwiczeń) Pokaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzą nierówności:. a b = a b, 2. a + b a + b, 3.

Bardziej szczegółowo

Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga

Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga RAP 412 21.01.2009 Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Łukasz Waszak 1 Wstęp Na ostatnim wykładzie przedstawiliśmy twierdzenie o zbieżności

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE

SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE Mając dowolny ciąg można z niego utworzyć nowy ciąg sum częściowych: Ten nowy rodzaj ciągu nazywamy szeregiem liczbowym, a jeśli to mamy do czynienia z nieskończonym szeregiem liczbowym, który oznaczany

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. 1. Relacje

Matematyka dyskretna. 1. Relacje Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji-pojęcie pochodnej

Granice funkcji-pojęcie pochodnej Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego

Bardziej szczegółowo

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego: Podstawowe definicje Iloraz różnicowy funkcji Def. Niech funkcja będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt. Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu nazywamy funkcję Pochodna

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego

Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego Autor: Kamil Jaworski 11 marca 2012 Spis treści 1 Wstęp 2 1.1 Podstawowe pojęcia........................

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Jagielloński Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyki. Wykłady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV.

Uniwersytet Jagielloński Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyki. Wykłady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV. Uniwersytet Jagielloński Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyki Wykłady z Analizy Matematycznej I, II, III, IV Marek Jarnicki (Wersja z 13 czerwca 2015 Spis treści Część I. Analiza Matematyczna

Bardziej szczegółowo

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Ciągi liczbowe. Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny. Materiały merytoryczne do kursu

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Ciągi liczbowe. Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny. Materiały merytoryczne do kursu E-learning - matematyka - poziom rozszerzony Ciągi liczbowe Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny Materiały merytoryczne do kursu Ciągi arytmetyczne i ciągi geometryczne stanowią istotne klasy ciągów zarówno

Bardziej szczegółowo

= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i

= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i 15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe

Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje:

Bardziej szczegółowo

Ciąg monotoniczny. Autorzy: Katarzyna Korbel

Ciąg monotoniczny. Autorzy: Katarzyna Korbel Ciąg monotoniczny Autorzy: Katarzyna Korbel 07 Ciąg monotoniczny Autor: Katarzyna Korbel Ciągi, tak jak funkcje, mogą mieć różne własności, których znajomość może przyczynić się do dalszej analizy ich

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Liczba godzin. Uczeń: wykres ciągu. K P 1 wyraz ciągu. wyznacza kolejne wyrazy ciągu, gdy danych jest kilka jego. początkowych wyrazów K P

Liczba godzin. Uczeń: wykres ciągu. K P 1 wyraz ciągu. wyznacza kolejne wyrazy ciągu, gdy danych jest kilka jego. początkowych wyrazów K P MATeMAtyka 3 Plan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony Oznaczenia: wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; wymagania wykraczające - dopuszczający;

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii mnogości. Część II. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.

Elementy teorii mnogości. Część II. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Elementy teorii mnogości. II 1 Elementy teorii mnogości Część II Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Elementy teorii mnogości.

Bardziej szczegółowo