Wykład 5. Informatyka Stosowana. 6 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28

Transkrypt

1 Wykład 5 Informatyka Stosowana 6 listopada 2017 Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28

2 Definicja (Funkcja odwrotna) Niech f : X Y będzie różnowartościowa na swojej dziedzinie. Funkcja odwrotna do f nazywamy funkcję taka, że: f 1 : Y X f 1 (y) = x y = f (x), dla x X, y Y. Równoważnie dla dowolnych x X, y Y zachodza (f f 1 )(y) = y oraz (f 1 f )(x) = x. Przykład Funkcjami odwrotnymi sa funkcje f (x) = 2x oraz f 1 (x) = 1 2 x dla x R. (f f 1 )(x) = f (f 1 (x)) = f ( 1 2 x) = x = x. (f 1 f )(x) = f 1 (f (x)) = f 1 (2x) = 1 2x = x. 2 Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28

3 Wykresy funkcji odwrotnych sa symetryczne względem prostej y = x. Własność Jeżeli funkcja f jest rosnaca, to f 1 też jest rosnaca. Jeżeli funkcja f jest malejaca, to f 1 też jest malejaca. Własność a) Złożenie 2 funkcji rosnacych jest funkcja rosnac a. b) Złożenie 2 funkcji malejacych jest funkcja rosnac a. c) Złożenie funkcji rosnacej i malejacej jest funkcja malejac a. Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28

4 Przykłady funkcji odwrotnych x k k x (k-nieparzyste) log a x a x sin x arc sin x cos x arc cos x tg x arc tg x ctg x arc ctg x ax+b cx+d ex+f gx+h Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28

5 Schemat wyznaczania funkcji odwrotnej do y = f (x): 1 Badamy różnowartościowość f (x) 2 Zamieniamy miejscami x i y (x y), a następnie ze wzoru x = f (y) wyznaczamy y = g(x). Otrzymana funkcja g jest szukana f 1. W celu sprawdzenia można policzyć f (f 1 (x)) oraz f 1 (f (x)). W obu przypadkach powinno wyjść x. Zadanie 1 Wyznaczyć funkcję odwrotna (o ile istnieje) do funkcji: a) f (x) = 1 2x + 2x; b) f (x) = 5 3 x 2; c) f (x) = 3x 1 2x+1 ; c ) f (x) = 3e5x 1 2e 5x + 1 ; d) f (x) = 3 ln(x 5 1) + 2. Dokonać odpowiednich sprawdzeń. Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28

6 Przeglad funkcji elementarnych Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28

7 a) Funkcja liniowa f (x) = ax + b, a, b R D f = R wykres: prosta do sporzadzenia wykresu wystarcza dwa punkty a - współczynnik kierunkowy a > 0 - f.rosnaca, a < 0 - f.malejaca, a = 0 - f. stała y = b miejsce zerowe (czyli przecięcie wykresu funkcji z osia OX): oczywiście o ile a 0. f (x) = ax + b = 0 x = b a Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28

8 b) Funkcja kwadratowa y = ax 2 + bx + c, a 0, b, c R D f = R wykres : parabola a > 0 - parabola skierowana ramionami do góry a < 0 - parabola skierowana ramionami do dołu Postać kanoniczna y = a(x p) 2 + q, gdzie (p, q)- współrzędne wierzchołka paraboli p = b 2a, q = 4a Zbiór wartości dla a > 0 zbiór wartości to < q, ) dla a < 0 zbiór wartości to (, q > Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28

9 Miejsca zerowe = b 2 4ac > 0 x 1,2 = b ±. Wówczas y = a(x x 1 )(x x 2 ). 2a = 0 x 0 = b 2a. Wówczas y = a(x x 0) 2. < 0 brak pierwiastków. Nierówności kwadratowe Nierówności kwadratowe rozwiazuje się graficznie. zawsze sprowadza się dana nierówność do postaci 1) wykres y = ax 2 + bx + c 2) z wykresu odczytać rozwiazanie ax 2 + bx + c > 0 ( 0, 0, < 0 ) Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28

10 Zadanie Rozwiazać nierówności kwadratowe: a) x 2 2x + 3 < 0 b) x 2 5x + 4 > 0 Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28

11 c) Funkcja wielomianowa W (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, x R. Stopień wielomianu to najwyższa wartość n, dla której a n 0. Wielomian stopnia n może mieć co najwyżej n miejsc zerowych. W (x 0 ) = 0 W (x) dzieli się bez reszty przez (x x 0 ). Jeżeli W (x) jest wielomianem o współczynnikach całkowitych, to możliwe pierwiastki wymierne sa postaci p q, gdzie: p dzielniki wyrazu wolnego, czyli, a 0, q dzielniki wyrazu przy x n, czyli a n. Zadanie Podzielić pisemnie i za pomoca tabliczki Hornera następujace wielomiany: a) (x 2 + 4x + 3) przez (x + 3); b) (x 3 + 2x 2 3) przez (x 1). Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28

12 Wykresy wielomianów wykres wielomianu zaczynamy zawsze od prawej strony jeżeli a n > 0 to wykres zaczynamy od góry jeżeli a n < 0 to wykres zaczynamy od dołu jeżeli dany pierwiastek ma parzysta krotność, to wykres się odbije w tym punkcie (nie przejdzie na druga stronę) jeżeli dany pierwiastek ma nieparzysta krotność, to wykres przejdzie na druga stronę w tym punkcie. Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28

13 Nierówności wielomianowe - rozwiazuje się graficznie. wykres wielomianu odczytać z wykresu rozwiazanie nierówności Zadanie 1 Sporzadzić wykresy wielomianów: a) W (x) = 3(x 3) 2 (x + 2)x 3 b) W (x) = 2(x + 2) 3 (x 4) 2 (x + 5) 4 a następnie rozwiazać nierówności W (x) 0, W (x) < 0. Zadanie 2 Rozwiazać nierówności: a) x 4 x 3 + 2x 2 2x > 0 b) x 4 5x < 0. Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28

14 Poniższe slajdy nie zostały omówione w trakcie wykładu, ale należy samodzielnie się z nimi zapoznać (przypomnienieć) Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28

15 d) Funkcja wykładnicza y = a x, x R, a (0, 1) (1, ) a > 1 funkcja rosnaca 0 < a < 1 funkcja malejaca Z różnowartościowości (dla a 1): a x 1 = a x 2 x 1 = x 2. Nierówność wykładnicza { a x 1 < a x x 2 1 < x 2, gdy a > 1 ( bo wtedy funkcja rośnie ) x 1 > x 2, gdy a (0, 1) ( bo wtedy funkcja maleje ) Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28

16 Nierówności wykładnicze: a x > b i a x < b dla b > 0 a x = b x = log a b nierówności dla b > 0 a x > b a x < b 0 < a < 1 funkcja malejaca x < log a b x > log a b a > 1 funkcja rosnaca x > log a b x < log a b Nierówności dla b < 0 mamy a x > b x R, a x < b x Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28

17 Wzory : a m a n = a m+n, a m a n = am n, a m = 1 a m, m x = x 1 m Zadanie Szczególny przypadek : y = e x, gdzie e = 2, Rozwiazać równania: a) 2 2x 3 = 4 x+2 b) 6 x 5 36 x+3 = 3 c) 3 x+2 3 x = 72 d) 8 3x 5 = ( 2 4 )6 5x Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28

18 e) Funkcja logarytmiczna y = log a x, x > 0, a (0, 1) (1, ). log a x = b x = a b. a > 1 funkcja rosnaca 0 < a < 1 funkcja malejaca Z różnowartościowości (bo monotoniczności) mamy: log a x 1 = log a x 2 x 1 = x 2. Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28

19 Nierówności logarytmiczne: log a x 1 < log a x 2 log a x 1 < log a x 2 { x 1 < x 2, gdy a > 1 ( bo wtedy funkcja rośnie ) x 1 > x 2, gdy a (0, 1) ( bo wtedy funkcja maleje log a x = b x = a b nierówności log a x > b i log a x < b log a x > b log a x < b 0 < a < 1 funkcja malejaca 0 < x < a b x > a b a > 1 funkcja rosnaca x > a b 0 < x < a b Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28

20 Wzory log a b + log a c = log a (bc) log a b log a c = log a ( b c ) log a b = log c b log c a log a b m = m log a b Zależność między funkcja wykładnicza i logarytmiczna: log a a x = x a log a x = x Szczególne przypadki: ln x = log e x, log x = log 10 x Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28

21 Zadanie 1 Rozwiazać równania: a) 3 log x = 1 27 b) log(3x + 4) + log(x + 8) = 2 c) log 2 3 x log 3 x = 0 d) log 3 x 2(x 2 + 2x 1) = 2. Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28

22 f) Funkcje trygonometryczne : sin x dziedzina R, wartości [ 1, 1], okres 2π = 360, tzn. sin(x + 2π) = sin x sin x jest funkcja nieparzysta, bo sin( x) = sin x Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28

23 funkcje trygonometryczne : cos x dziedzina R wartości [ 1, 1] okres 2π = 360, tzn. cos(x + 2π) = cos x cos x jest funkcja parzysta, bo cos( x) = cos x Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28

24 funkcje trygonometryczne : tg x dziedzina R \ {(2k + 1) π 2 }, k Z czyli R \ {± π 2, ± 3π 2,...} wartości R okres π = 180, tzn. tg(x + π) = tg x tg x jest funkcja nieparzysta, bo tg( x) = tg x Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28

25 funkcje trygonometryczne : ctg x dziedzina R \ {kπ}, k Z czyli R \ {0, ±π, ±2π,...} wartości R okres π = 180, tzn. ctg(x + π) = ctg x ctg x jest funkcja nieparzysta, bo ctg( x) = ctg x Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28

26 Wartości funkcji trygonometrycznych dla niektórych katów ostrych sin x cos x 30 = π 6 45 = π = π tg x ctg x Znaki funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych: I ćwiartka II ćwiartka III ćwiartka IV ćwiartka sin x + + cos x + + tg x + + ctg x + + Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28

27 Dodatkowe wzory: sin 2 x + cos 2 x = 1 sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos 2 x sin 2 x Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28

28 Dziękuję za uwagę! Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28