Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Transkrypt

1 Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie a nazywamy liczbę x spełniającą równanie a x = b. Piszemy wtedy x = log a b. Innymi słowy log a b = x a x = b. Logarytmy przy podstawie 0 nazywamy logarytmami dziesiętnymi i zamiast log 0 x piszemy log x pomijając podstawę. Twierdzenie. własności logarytmów) Dla dowolnych a, b, c R +, a mamy. log a = 0,. log a a b = b,. a log a b = b, 4. log a b c) = log a b + log a c, 5. log a b c = log a b log a c, 6. log a b k = k log a b dla dowolnego k R, 7. log a b = log c b log c a, c. Definicja. Funkcję f : R R + określoną wzorem fx) = a x, gdzie a R + \ {} nazywamy funkcją wykładniczą. Poniższe rysunki przedstawiają wykresy funkcji wykładniczych w przypadku a > oraz dla 0 < a <.

2 Definicja. Funkcję f : R + R określoną wzorem fx) = log a x, gdzie a R + \{} nazywamy funkcją logarytmiczną. Poniższe rysunki przedstawiają wykresy funkcji logarytmicznych dla a > oraz dla 0 < a <. Funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, tzn. jeśli a x = a x, to x = x. Ponadto jeśli a >, to funkcja fx) = a x jest rosnąca, a dla 0 < a < jest malejąca. Podobne własności ma funkcja logarytmiczna, tzn. jeśli log a x = log a x, to x = x. Ponadto jeśli a >, to funkcja fx) = log a x jest rosnąca, a dla 0 < a < jest malejąca. Funkcja fx) = log a x jest funkcją odwrotną do funkcji gx) = a x ; ich wykresy są symetryczne względem prostej y = x. Przykład. Oblicz log 7. Rozwiązanie. Ponieważ 7 = = 7, więc na mocy definicji logarytmu log 7 = 7. Można także skorzystać z własności logarytmów log 7 = log 7 + log = log + log =. Przykład. Oblicz log 4 + log 8. Rozwiązanie. Mamy log 4 + log 8 = 4 log 4 log = log = 9. Przykład. Oblicz log 5 log. Rozwiązanie. Skorzystamy z ostatniej z własności logarytmów wymienionych w twierdzeniu. Mamy log 5 log log = log 5 log log log = log 5 log log = 5.

3 Przykład 4. Rozwiąż równania ) a) 8 7x+5 9 x 4 = 0, b) 4 x+ 5 x+ + 4 = 0, c) + ) x = ) x, d) 7 ) x = 5 5x. Rozwiązanie. a) Sprowadzimy najpierw potęgi do tych samych podstaw Teraz wystarczy porównać wykładniki Ostatecznie x = b) W tym równaniu wspólna podstawą jest 7x+5) = 9 x). 7x + 5) = 9 x). 4 x 0 x + 4 = 0. Podstawmy t = x. Otrzymamy równanie kwadratowe 4t 0t + 4 = 0, które ma dwa pierwiastki t =, t =. Równanie x = ma rozwiązanie x =, z warunku x = dostajemy x =. Zatem dane równanie ma dwa rozwiązania x = i x =. c) Zauważmy, że + ) ) =, czyli = + ). Stąd dane równanie możemy zapisać jako + ) x = + ) x ). Po porównaniu wykładników otrzymamy x = 5. d) W tym równaniu przyjrzymy się wykładnikom. Mamy 7 ) x = 5 x, czyli 7 ) x = 5 ) x. Stąd po pomnożeniu stronami przez 5 x otrzymamy a to oznacza, że x = 0, czyli x =. 5 7) x =,

4 Przykład 5. Rozwiąż równania a) log 5 x ) log 5 x + ) =, b) x log x = 8, c) log x+5 9 =, d) 5 log x log 9 x =. Rozwiązanie. a) Dziedziną danego równania jest zbiór rozwiązań układu nierówności { x > 0 x + > 0, czyli przedział ; ). Korzystając z własności logarytmu otrzymamy równanie log 5 x x + =, czyli log 5 x ) =, więc x = 5. Ostatecznie rozwiązaniem równania jest x = 6 należy do dziedziny równania). b) Dziedzina tego równania jest zbiór R +. Zlogarytmujemy obie strony równania przy podstawie log x log x = log 8. Dalej możemy napisać ) log x log x =. Podstawimy t = log x i rozwiążemy równanie t t = 0. Mamy t = lub t =, a zatem x = lub x = 8. Obie liczby należą do dziedziny równania, więc dane równanie ma dwa rozwiązania x =, x = 8. c) Dziedziną równania jest zbiór tych x, dla których x + 5 > 0 oraz x + 5, czyli suma przedziałów 5, 4) 4, ). Z definicji logarytmu dane równanie możemy zapisać w postaci x + 5) = 9. Rozwiązaniami tego równania kwadratowego są x = i x = 8. Drugie z rozwiązań nie należy do dziedziny. Ostatecznie rozwiązaniem jest x =. d) Dziedzina tego równania jest zbiór R +. Skorzystamy z równości log 9 x = log x log 9 = log x. Dane równanie możemy więc zapisać w postaci 4 log x =, zatem log x =, czyli x = 7.

5 Przykład 6. Rozwiąż nierówności a) 0, 5x < 0, 00, b) 4 x+ 5 x >, c) log 7 log x + ) > 0, d) log x x 4x). Rozwiązanie. a) Sprowadzimy obie strony nierówności do tej samej podstawy 0, 5x < 0, ). Teraz możemy porównać wykładniki pamiętając, że funkcja wykładnicza przy podstawie mniejszej od jest malejąca. Otrzymamy 5x >, czyli x >. b) W nierówności x+ ) 5 x > podstawmy t = x. Rozwiązaniami nierówności kwadratowej t 5t + > 0 są t, ), ). Nierówność x < daje nam x <, a z warunku x > otrzymujemy x >. Zatem ostatecznie x, ), ). c) Dziedziną nierówności jest zbiór rozwiązań nierówności x + > 0. Mamy log 7 log x + ) > log 7. Po opuszczeniu zewnętrznego logarytmu otrzymamy log x + ) >. Dalej dostaniemy log x + ) > log i znów możemy opuścić logarytmy pamiętając, że tym razem podstawa jest mniejsza od i znak nierówności zmieni się na przeciwny x + <. Stąd x < 0. Po uwzględnieniu dziedziny otrzymamy, że zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział, 0 ). d) Wyznaczymy najpierw dziedzinę tej nierówności. Musi być x 4 x > 0, czyli xx )x + ) > 0, a więc x, 0), ). Ponadto podstawa logarytmu x musi spełniać warunki x > 0, x. Zatem dziedziną jest suma przedziałów, ), ). W nierówności log x x 4 x) log x x znak po opuszczeniu logarytmów zależy od x. Rozważymy dwa przypadki. 0 < x <. Mamy x 4 x x, czyli x 5 4x 0. Stąd 5 5 xx )x + ) 0, zatem x [ 5, 0] [ 5, ). Po uwzględnieniu warunku 0 < x < i dziedziny nierówności, z rozważanego przypadku otrzymamy pusty zbiór rozwiązań. x >. Rozwiążemy nierówność x 4x x. Postępując jak poprzednio otrzymamy x, 5 ] [0, 5 ]. Ponieważ x >, z tego przypadku otrzymamy x, 5 ]. Rozwiązaniem danej nierówności jest suma rozwiązań z poszczególnych przypadków, czyli przedział, 5 ].

6 Zadanie. Oblicz a) log 4 6; b) log 0, 00 + log 5 5; c) 9 log 5 ; d) log 5 log 5 7 log 7 9; e) 6 log log +. Zadanie. Narysuj wykres funkcji a) fx) = x, b) fx) = x, c) fx) = x, d) fx) = x. Zadanie. Narysuj wykres funkcji a) fx) = log x, b) fx) = log x ), c) fx) = log 4x, d) fx) = log x +, e) fx) = log x. Zadanie 4. Czym się różni wykres funkcji y = log x 4 od wykresu funkcji y = 4 log x? Zadanie 5. Rozwiąż równania a) x+ + 9 x+ = 80, b) 0, 5) x ) x+ = 4 ) x, c) 4 4 x+ = 0 4 x+ 6, d) 5) x 4 5 =, 5 5 x 5, e) 4 x + 9 x = 6 x, f) 4 x+ + 5 x = 5 x+ 4 x, g) x + x +... = x+ 8. Zadanie 6. Rozwiąż równania a) log x 5 + log x = log 0, b) logx + 6) = logx ) log 5, c) logx + ) = log log x, d) log 9 x ) = x,

7 e) loglog x) loglog x ) =, f) x + log5 x+ ) x log 5 log = 0, g) log x + 6 x log x =, h) log cos x 9 x ) = 0, x i) log + x = log4x 5). Zadanie 7. Rozwiąż nierówności a) 0, 5 x x+, b) 5 x+ x > 5, c) 9 x 8 x + 9 0, d) x + x+ x < 0, e) 5 5) x +x 5, f) log 8 log x, g) log x ) log x + ) <, h) log x 8 <, i) log x+4 x >, j) log x + 4 log x + 8 log x +... < log x. Zadanie 8. Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi nierówność log + log logn + ) n + > log + log log n. n Zadanie 9. Dla jakiej wartości x liczby log, log x ), log x + ) są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego? Zadanie 0. Wyznacz dziedzinę i najmniejszą wartość funkcji fx) = log 8x x ). ODPOWIEDZI:. a) 4, b) 4, c) 5, d), e) a) x =, b) x = 5, c) x = lub x = 58, d) x = 64, e) x = 0, f) x =, g) x = lub x =. 6. a) x = 6, b) x = 6 lub x = 4, c) x =, d) x = 0 lub x =, e) brak rozwiązań, f) x = lub x =, g) x = lub x =, h) brak rozwiązań, i) x = a) x [, ], b) x, ) 0, ), c) x [, ], d) x < 0, e) x [, ] [0, ], f) x 0, 9], g) x 5 4, ), h) x 0, ), ), i) x > 0, j) x 0, ). 9. x = log Dziedziną funkcji jest przedział 0, 8), a najmniejsza wartość funkcji to 8.