- wartość funkcji f dla argumentu x. Zbiór PD f
|
|
- Agata Kuczyńska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Pdstwwe widmści ukcjch W cłści mteriłu będą bwiązwć stępujące zczei R - zbiór liczb rzeczwistch Z - zbiór liczb cłkwitch N - zbiór liczb turlch Niech X i Y będą dwlmi iepustmi zbirmi Deiicj dwzrwi Odwzrwiem zbiru X w zbiór Y ukcj dwzrwując zbiór X w zbiór Y zwm przprządkwie kżdemu elemetwi zbiru X dkłdie jede elemet zbiru Y : X Y,, X, Y - rumet ukcji, X - dziedzi ukcji : X Y, - wrtść D ukcji dl rumetu Zbiór PD Y elemetów Y przprządkwch w dwzrwiu elemetm X zwm przeciwdziedzią zbirem wrtści te dwzrwi Tz PD Y : istieje X tkie, że Zbiór W X Y kreśl w stępując spsób W, : X, zwm wkresem ukcji : X Y Odwzrwie pdzbirów zbiru liczb rzeczwistch R tz d X R i Y R zwm ukcją rzeczwistą zmieej rzeczwistej lub krótk ukcją Fukcje rzeczwiste zmieej rzeczwistej Wkłd będzie pświec ukcją rzeczwistm zmieej rzeczwistej czli ukcją Niech : X Y, X R i Y R będzie ukcją Fukcję zwm różwrtściwą zbirze A X jeżeli dl kżde, A i, t, tz dl kżde, A Gemetrczie zcz t, że dwl prst rówleł d si OX przeci wkres ukcji w c jwżej jedm pukcie Fukcję zwm riczą zbirze A X jeżeli zbiór wrtści tej ukcji dl rumetów z zbiru A jest ricz, tz istieją tkie liczb m, M R, że dl kżde A mm m M Fukcj zbirze A X jest: rsąc dl kżde, A, mlejąc dl kżde, A,, A,, A, iemlejąc dl kżde iersąc dl kżde Fukcj mjąc jedą z pwższch czterech włsści zwm ukcją mticzą zbirze A X W szczeólści ukcje rsące i mlejące zwm ściśle mticzmi zbirze A Fukcje ściśle mticze są różwrtściwe zbirze A Fukcj zbirze A X jest: przstą dl kżde A, A i ieprzstą dl kżde A, A i
2 Wkres ukcji przstej jest smetrcz wzlędem si OY Wkres ukcji ieprzstej jest smetrcz wzlędem pczątku ukłdu współrzędch Fukcj zbirze X jest kresw jeżeli istieje liczb t, że dl kżde X, t X i t X i t t Fukcj kresw m ieskńczeie wiele kresów jeżeli m c jmiej jede Jeżeli t jest kresem t t jest rówież kresem Njmiejsz ddti kres jest kresem pdstwwm i zczm przez t Przkłd ukcji i ich włsści p R :, X D piewż pierwistek kwdrtw jest kreśl tlk dl liczb ddtich i zer Wrtść pierwistk jest też liczbą ddtią dl zer jest zerem i zwsze zjdzie się liczb, tk, że dl dwle, będzie c zcz, że PD, więc :,, Jest t ukcj rówież różwrtściw i rsąc w cłej dziedziie Jest ukcją różwrtściwą i zbiór, c zpisujem :,, Fukcj t z czwistch pwdów ie jest ukcją przstą i ie jest ukcją ieprzstą rz ie psid kresu b cs cs Uw Jeżeli p zwie ukcji ie m wisu t elemet wstępując p zwie trktujem jk rumet tej ukcji Pwższe dw zpis ukcji są prwidłwe Jeżeli mm wątpliwści d jkie miejsc wrżeie jest rumetem ukcji leż użć wisów X D R piewż wrtść csius mż kreślić dl kżdej liczb rzeczwistej Wrtść csius jk wik z deiicji jest z przedziłu wrtść z te przedziłu t PD,`, i mże przjąć kżdą
3 Csius ie jest ukcją różwrtściwą zbirze D R piewż p dl, mm i cs cs Ntmist jest ukcją różwrtściwą zbirze A, Csius jest ukcją riczą zbirze D R ; m, M Csius jest ukcją przstą zbirze D R piewż dl kżde R, R i cs cs Stąd wkres tej ukcji jest smetrcz wzlędem si OY Csius psid kres pstci t k k Z więc cs k cs k Z Są t wszstkie kres stąd kresem pdstwwm będzie kres t Csius jest ukcją mlejącą zbirze A, i rsącą zbirze A, Te sme włsści wstępują w przedziłch przesuwjąc przedził A wrtść k k Z Zjąc wszstkie wrtści csius w przedzile, uzskm wszstkie wrtści csius dl pzstłch rumetów wkrzstując włsść cs k cs k Z Fukcje trmetrcze si, cs, ct są ukcjmi kreswmi kresch t k k Z tmist ukcj =t m kres t k k Z Twrzeie wch ukcji Kżdą ukcję : X Y, X R i Y R mżem rzptrwć jk ukcję : X R lub ukcję : A R, A X Rówież jeżeli : X R i : X R t mżem kreślić ich sumę, ilcz, ilrz, mżeie przez stłą itd Odpwiedi ; ; dl R dl X Im isttm spsbem twrzei ukcji jest złżeie ukcji /superpzcj/ Złżeie ukcji Niech : X Z i : U Y będą ukcjmi tkimi, że Z U Fukcję h : X Y kreślą wzrem h dl X zwm złżeiem ukcji i Fukcję zwm ukcją wewętrzą, ukcję zwm ukcją zewętrzą złżei I spsób zpisu złżei d dl X Przkłd Jeżeli, t : R, :,, Wted,, i dl R Fukcj dwrt Niech : X Y będzie ukcją różwrtściwą i zbiór Y tz PD Y c zpisujem : X Y Fukcję : Y X tką, że dl kżde zwm ukcję dwrtą d ukcji p X i Y
4 Pdstwwe włsści ukcji dwrtej: id X dl X Wkres ukcji i idy dl Y są smetrcze d siebie wzlędem prstej Fukcj jest ukcją dwrtą ukcji spełie pwższe włsści i Przkłd : R R Wted jest ukcją dwrtą ukcji Spełi jest wruek dl R i R piewż i spełie są włsści Ie włsści ukcji wikjącch z deiicji Sum dwóch ukcji mlejącch rsącch zbirze A jest ukcją mlejącą rsącą zbirze A b Ilcz ukcji mlejącej rsącej zbirze A przez liczbę ddtią jest ukcją mlejącej rsącej zbirze A c Ilcz ukcji mlejącej rsącej zbirze A przez liczbę ujemą jest ukcją rsącą mlejącą zbirze A d Fukcj ściśle mticz zbirze A jest ukcją różwrtściwą zirze A Fukcje elemetre t są ukcje które dją się przedstwić z pmcą wzrów Wzr trzmujem stsując p pwższe spsb twrzei /dziłń rtmetczch, złżei/ ukcji z pmcą tzw ukcji pdstwwch elemetrch którch pwiliśm wszstk wiedzieć Dlte leż zpzć się z tmi ukcjmi Fukcje cklmetrcze Fukcj rcsi si dzie,, si :,, si rcsi :,, jest ukcją dwrtą ukcji si którą deiiuje się : dl kżde,,, rcsi si Fukcj rccs cs dzie,, cs :,, cs rccs :,, jest ukcją dwrtą ukcji cs którą deiiuje się : dl kżde,,, rccs cs i
5 Fukcj rct t dzie, R t :, R t rct : R, jest ukcją dwrtą ukcji t którą deiiuje się : dl kżde R,, rct t Fukcj rcct ct dzie, R ct :, R ct rcct : R, jest ukcją dwrtą ukcji ct którą deiiuje się : dl kżde R,, rcct ct Ie ukcje pdstwwe elemetre Fukcj wkłdicz i lrtmicz Jest t ukcj pstci R,, R : R, Dl ukcj t jest ukcją stłą przjmującą zwsze wrtść Dl ukcj t psid ukcję dwrtą któr jest ukcją lrtmiczą l dl R,, l :, R
6 Reuł ptęwi i lrtmwi i : k k 5 6 b b b ;, R k N dl ptęwi l l l l l l l l l b l b i b ;, R, dl lrtmwi l b l l R jk złżeie ukcji z ukcją dwrtą Wkres tch ukcji są stępujące: Dl p Dl ich licze Dl p, 5 Dl ich licze Fukcj wielmiw Jest ukcją pstci w,,, R ; stpień wielmiu Dziedzią ukcji wielmiwej jest R
7 W przpdku wkresem ukcji jest tzw prbl zwróc d ór dl i zwróc d dłu dl b W przpdku wkresem ukcji jest lii prst tzw ukcj liiw jest współczikiem kierukwm tej prstej i t kąt chlei tej prstej d si OX c W przpdku wkresem ukcji jest prst rówleł d si OX Jest ukcją stłą Twierdzeie Kżdą ukcję wielmiwąwielmi mż przedstwić w pstci k k kr l l w p q p q p q dzie,, r r R,,, pierwistki rzeczwiste wielmiu k i N i r pi, qi R, pi qi i j Fukcj wmier Jest ukcją w pstci ilrzu dwóch ukcji wielmiwch w, m są wielmimi w dzie Dziedzią ukcji wmierej jest R prócz miejsc zerwch wielmiu m W szczeólch przpdkch miejsc zerwe mą leżeć d dziedzi Fukcj część cłkwit Jest t ukcj pstci E jwiększ liczb cłkwit miejsz lub rów E : R Z Wkresem tej ukcji są tzw schd w órę krku Ciąi liczbwe Deiicj Ciąiem liczbwm zwm ukcję ze zbiru liczb turlch w zbiór liczb rzeczwistch tz : N R Wrtść ukcji dl rumetu N zczć będziem przez lub,,, tz Przkłd,,5,, lub N Ciąi zczć będziem przez lub krótk Cią jest rsącm mlejącm jeżeli dl kżde N Deiicje ric ciąów Cią jest zbież d ric włściwej R c zpisujem wted i m tlk wted d dl kżde istieje N, że dl kżde N jeżeli t Lub krótk N N Tłumcząc ituicjie mż pwiedzieć, że wrz z wzrstem ideksu są crz bliżej liczb b Cią jest zbież d ric iewłściwej c zpisujem N wrz ciąu j j l j
8 N N c Cią jest zbież d ric iewłściwej c zpisujem Twierdzeie Jeżeli ciąi N N i b b b b b b c c c R 5 ile b b b 6 k b są zbieże d ric włściwch t: k k Z k k k N 8 \ \ Twierdzeie trzech ciąch Jeżeli ciąi c spełiją włsści b b c dl kżde c b t b b Twierdzeie dwóch ciąch Jeżeli ciąi b spełiją włsści b dl kżde t b Twierdzeie dwóch ciąch Jeżeli ciąi b spełiją włsści b dl kżde t b
9 Wżiejsze rice R b b dl Deiicj liczb e Twierdzeie Jeżeli cią liczbw wrzch N jest ciąiem rsącm i riczm z ór dl kżde N dl pewe t m ricę włściwą Cią liczbw wrzch N spełi złżei pwższe twierdzei więc istieje ric włściw którą zcz się smblem e A więc 88,88885 e Uw Dl liczb e wprwdz się ddziel smbl lrtmu pdstwie e tzw lrtm turl e d l l Przkłd Wzczć rice ciąów : : 8 b Z twierdzei trzech ciąch mm = c e e
10 Gric ukcji Sąsiedztwem prmieiu puktu R zwm zbiór D S,,, Otczeiem prmieiu puktu R zwm zbiór D U,, Złóżm, że jest d ukcj : X R, X R rz dziedzi X zwier pewe sąsiedztw puktu tz S, X dl pewe Deiicj Heie Liczb jest ricą ukcji w pukcie R wted i tlk wted dl kżde ciąu dziedzi wrzch leżącch d dwle sąsiedztw puktu zbieże d puktu, cią jest zbież d c zpisujem A więc S, X Deiicj Cuch e Liczb jest ricą ukcji w pukcie R wted i tlk wted dl kżde istieje liczb tk, że jeżeli t c zpisujem MR MR M R M R K R M R K R M R K R M R KR M R A więc Deiicj M Deiicj M Deiicj M Deiicj M Deiicj M K Deiicj M K Deiicj M K Deiicj M K Jeżeli w deiicjch ric riczm się tlk d rumetów z prwej lewej str puktu R t trzmm ricę prwstr lewstrą ukcji c zpisujem,,
11 Niektóre rice: si e 5 6 e 8 l 9 l rcsi R e Twierdzei ricch włściwch ukcji Jeżeli ukcje i mją rice włściwe w pukcie R t R 5 ile 6 Uw Twierdzeie jest prwdziwe w puktch w przpdku skńczej liczb skłdwch Twierdzeie rtmetce ric jest prwdziwe rówież w przpdku ric jedstrch w pukcie rz dl ric w i W pukcie 6 zkłdm, że w wrżeich mż bliczć wrtści Twierdzeie ric ukcji złżej Jeżeli ukcje i spełiją wruki dl kżde, S p t p Twierdzeie trzech ukcjch Jeżeli ukcje,, h spełiją wruki, S dl h h, t Twierdzeie t jest rówież prwdziwe d
12 Twierdzei ricch iewłściwch ukcji Stsując twierdzeie ricch włściwch ukcji mżem t twierdzeie rzszerzć dpuszczjąc rice iewłściwe dl ukcji i Wted wiki uzskch dziłń rtmetczch są stępujące: Jeżeli rice ukcje i uzskują stępujące wrtści R, p,, q,,, t p 5 q 6 p q 8 p p 9 q p p p, 5 p p q q 6 W przpdku d uzskm wrżei pstci: 5 6 wrtść ric mże bć róż lub ric mże ie istieć Nleż wted dlej zjdwć ricę Pwższe wrżei są t tk zwe wrżei iezcze Przkłd Obliczć rice ukcji b c więc ie istieje d cs cs cs więc cs i Z twierdzei trzech ukcjch cs Niech ukcj D Ciąłść ukcji : X R będzie kreśl w pewm tczeiu U,, Deiicj ciąłści ukcji w pukcie Fukcją zwm ukcją ciął w pukcie, jeżeli m w tm pukcie ricę rówą swjej wrtści tz
13 Fukcją zwm ukcją ciął lewstrie prwstrie w pukcie, jeżeli m w tm pukcie ricę lewstrą prwstrą rówą swjej wrtści Twierdzeie Sum, różic, ilcz ukcji ciąłch w pukcie jest rówież ukcją ciąłą w tm pukcie Ilrz ukcji ciąłch w pukcie jest rówież ukcją ciąłą w tm pukcie prz złżeiu, że ilrz jest kreśl Twierdzeie Jeżeli ukcj jest ciął w pukcie i ukcj jest ciął w pukcie, t ukcj złż jest ciął w pukcie Deiicj Fukcją zwm ukcją ciął w przedzile, b, jeżeli jest ciął w kżdm pukcie te przedziłu Jeżeli pdt w pukcie ukcj jest ciął prwstrie i w pukcie b jest ciął lewstrie, t jest ciął w przedzile, b Twierdzeie Wszstkie ukcje elemetre pdstwwe zdeiiwe pczątku wkłdu są ciąłe w swich dziedzich prócz ukcji E - jwiększ wrtść cłkwit Fukcj t jest ciął w puktch ie będącch liczbmi cłkwitmi W puktch będącch liczbmi cłkwitmi wstępuje lewstr ciąłść i ie wstępuje prwstr ciąłść Twierdzeie Drbu wrtścich pśredich Jeżeli ukcj jest ciął w przedzile dmkiętm, b rz b, t dl kżde, b istieje pukt, b tkie, że Pdt jeżeli ukcj jest rsąc w tm przedzile t pukt jest wzcz jedzczie Alicze twierdzeie jest prwdziwe w przpdku d b Twierdzeie t zcz, wszstkie liczb z przedziłu, b są wrtścimi ukcji Twierdzeie Drbu miejscch zerwch Jeżeli ukcj jest ciął w przedzile dmkiętm, b rz b, t istieje pukt, b tki, że tz wkres w przedzile, b przeci ś OX Twierdzeie Weierstrss Jeżeli ukcj jest ciął w przedzile dmkiętm, b, t istieją liczb c, d, b tkie, że dl m c i M d mm m M dl kżde, b
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 8. CIĄGI LICZBOWE
Ekoeergetk Mtemtk 1. Wkłd 8. CIĄGI LICZBOWE Defiicj (ciąg liczbow) Ciągiem liczbowm zwm fukcję odwzorowującą zbiór liczb turlch w zbiór liczb rzeczwistch. Wrtość tej fukcji dl liczb turlej zwm -tm wrzem
Bardziej szczegółowonazywamy n -tym wyrazem ciągu ( f n
Rk II Temt 7 SZEREGI FUNKCYJNE SZEREG POTĘGOWY SZEREG TAYLORA Ciąg ukcyjy Szeregi ukcyje Zbieżść jedstj Szereg ptęgwy Prmień zbieżści szeregu ptęgweg Szereg Tylr Ciąg ukcyjy Niech U zcz iepusty pdzbiór
Bardziej szczegółowo3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach.
WYKŁAD 6 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 31 Ciągi liczbowe - ogriczoość, mootoiczość, zbieżość ciągu Liczb e Twierdzeie o trzech ciągch 3A+B1 (Defiicj: ieskończoość) Symbole,,
Bardziej szczegółowoGranica cigu punktów. ), jest zbieny do punktu P 0 = ( x0. n n. ) n. Zadania. Przykłady funkcji dwu zmiennych
Gric cigu puktów Ztem Cig puktów P P ; jest zie do puktu P ; gd P P [ ] Oliczm gric cigu l Poiew l l wic cig l jest zie i jego gric jest pukt π π [ ] Oliczm gric cigu si π π π π Poiew si si wic cig si
Bardziej szczegółowo7. Szeregi funkcyjne
7 Szeregi ukcyje Podstwowe deiicje i twierdzei Niech u,,,, X o wrtościch w przestrzei Y będą ukcjmi określoymi zbiorze X Mówimy, że szereg ukcyjy u jest zbieży puktowo do sumy, jeżeli ciąg sum częściowych
Bardziej szczegółowo1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY
. Określ ootoiczość podch fukcji, iejsce zerowe orz pukt przecięci się jej wkresu z osią OY ) 8 ) 8 c) Określjąc ootoiczość fukcji liiowej = + korzst z stępującej włsości: Jeżeli > to fukcj liiow jest
Bardziej szczegółowoWykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne.
Wykłd Pojęcie fukcji, ieskończoe ciągi liczbowe, dziedzi fukcji, wykres fukcji, fukcje elemetre, fukcje złożoe, fukcje odwrote.. Fukcje Defiicj.. Mówimy, że w zbiorze liczb X jest określo pew fukcj f,
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe podstawowe definicje i własności
Ciągi liczbowe podstwowe defiicje i włsości DEF *. Ciągiem liczbowym (ieskończoym) zywmy odwzorowie zbioru liczb turlych w zbiór liczb rzeczywistych, tj. :. Przyjęto zpis:,,...,,... Przy czym zywmy -tym
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Mtur z Akdemią Mturlą PWN Kryteri ceii dpwiedzi Autrk: Ktrzy Kzińsk Cpyright y Wydwictw Szkle PWN Sp. z.., Wrszw Bielsk-Bił. Kwiecień Zdie. () 6
Bardziej szczegółowoI. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH
pitgors.d.pl I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: licz turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... licz cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wierą oż przedstwić z poocą ułk dziesiętego
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Całki oznaczone i zastosowania
Zdi z lizy mtemtyczej - sem. II Cłki ozczoe i zstosowi Defiicj. Niech P = x x.. x będzie podziłem odcik [ b] części ( N przy czym x k = x k x k gdzie k δ(p = mx{ x k : k } = x < x
Bardziej szczegółowoRzwiązie ) Trpez jest pisy kle Z włsści czwrkąt piseg kle mmy: AB + CD AD + BC + r+ r+ 8 Pdt w trójkącie EBC: ( r) + Otrzymliśmy ukłd rówń: r+ 8 (r) +
Siedem zdń iterutów Zdie - pzim wymgń: pdstwwy Współczyiki fukcji kwdrtwej f(x) x + bx+ c twrzą w klejści,b, c ciąg gemetryczy Wyzcz wrtść współczyików b i c, jeżeli widm, że sią symetrii wykresu fukcji
Bardziej szczegółowoWykład 7: Pochodna funkcji zastosowania do badania przebiegu zmienności funkcji
Wkłd 7: Pochodn funkcji zstosowni do bdni przebiegu zmienności funkcji dr Mriusz Grządziel semestr zimow, rok kdemicki 2013/2014 Funkcj logistczn Rozwżm funkcję logistczną = f 0 (t) = 1+5e 0,5t f(t) 0
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 7
RÓWNANIA RÓŻNIZKOWE WYKŁAD 7 Deiicj Ukłdem rówń różiczkowch rzędu pierwszego w posci ormlej zwm ukłd rówń o iewidomch > zmie iezleż. Uwg Jeżeli = o zzwczj piszem x zmis orz g zmis jeżeli = o piszem x z
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA FIGUR PŁASKICH
EOMETRI FIUR PŁKICH. ŚRODEK CIĘŻKOŚCI.. ŚRODEK CIĘŻKOŚCI BRYŁY MTERILNE PRZETRZENNE eżel sztwą brłę mterlą pdzelm mślw dużą lczbę młch cząstek w spsób reulr t kżd z ch psd kreślą msę m rz cężr P. Cężr
Bardziej szczegółowon 3 dla n = 1,2,3,... Podać oszacowania
Zestw r : Ciągi liczbowe włsości i gric.. Niech dl =.... Sprwdzić cz jest ciągiem mootoiczm rtmetczm... Sprwdzić cz stępując ciąg jest ciągiem geometrczm. Wpisć pierwszch pięć wrzów ciągu stępie dl ciągu
Bardziej szczegółowo0, co implikuje tezę. W interpretacji geometrycznej: musi istnieć punkt, w którym styczna ( f (c)
RACHUNEK RÓŻNCZKOWY cd Twierdzeie Lagrage a: Jeżeli jest ciągła w [a,b], jest różiczkwala w a,b), t ca,b) : b)-a)= c) b-a) b) Dwód Wystarczy rzpatrzyć ukcję t) t) t a), t[a,b], która b a spełia załżeia
Bardziej szczegółowoEAIiIB- Informatyka - Wykład 1- dr Adam Ćmiel zbiór liczb wymiernych
EAIiIB- Iortyk - Wykłd - dr Ad Ćiel ciel@.gh.edu.pl dr Ad Ćiel (A3-A4 p.3, tel. 3-7, ciel@gh.edu.pl ; http://hoe.gh.edu.pl/~ciel/) Podręcziki Gewert M, Skoczyls Z. Aliz tetycz i. Deiicje twierdzei i wzory,
Bardziej szczegółowodr Michał Konopczyński Ekonomia matematyczna ćwiczenia
dr Mchł Koopczńsk Ekoom mtemtcz ćwcze. Ltertur obowązkow Eml Pek red. Podstw ekoom mtemtczej. Mterł do ćwczeń MD r 5 AE Pozń.. Ltertur uzupełjąc Eml Pek Ekoom mtemtcz AE Pozń. Alph C. Chg Podstw ekoom
Bardziej szczegółowoCiągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone.
Ciągi i szeregi liczbowe W zbiorze liczb X jest określoa pewa fukcja f, jeŝeli kaŝdej liczbie x ze zbioru X jest przporządkowaa dokładie jeda liczba pewego zbioru liczb Y Przporządkowaie to zapisujem w
Bardziej szczegółowo5. CIĄGI. 5.1 Definicja ciągu. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję przyporządkowującą każdej liczbie naturalnej n liczbę rzeczywistej.
5 CIĄGI 5 Defiicj ciągu Ciągiem liczbowym zywmy fukcję przyporządkowującą kżdej liczbie turlej liczbę rzeczywistej Ciąg zpisujemy często wyliczjąc wyrzy,, lub używmy zpisu { } lbo ( ) Ciągi liczbowe moż
Bardziej szczegółowoObrazowo, zbiór jest ograniczony, gdy wszystkie jego elementy s połoone midzy dwoma punktami osi liczbowej.
ZBIORY I FUNKCJE LICZBOWE ZBIORY LICZB { 3 } { ± ± } N ziór licz turlch Z ziór licz cłkowitch p Q : p Z q N ziór licz wmierch q R ziór licz rzeczwistch ZBIORY OGRANICZONE De ziór ogriczo z dołu Ziór A
Bardziej szczegółowoXII.1.2. Rozwiązania urojone.
XII... Rzwiązni urjne. Mtemtc twierdzą, że Krl Friedrich Guss (777-855, strnm, fizk i mtemtk niemiecki) twierdził z żci sweg, że kżde równnie stpni n zwsze m dkłdnie n rzwiązń. Ani mniej, ni więcej. Uprzejmie
Bardziej szczegółowoCałka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale
Cł ozczo. De.1. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De.2 (sum cłow) Niech ucj ędzie ogriczo przedzile
Bardziej szczegółowoI. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,
I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczy turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... liczy cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wymierą moż przedstwić z pomocą ułmk dziesiętego skończoego
Bardziej szczegółowoI. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE. odwzorowań zbioru X w zbiór R [lub C] nazywamy ciągiem funkcyjnym.
I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE 1. Zbieżość puktow i jedostj ciągów fukcyjych Niech X będzie iepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych R (lub zbioru liczb zespoloych C). Defiicj 1.1. Ciąg (f ) N odwzorowń
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Bardziej szczegółowoCałka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. średnica podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P
Cł ozczo. De.. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De. sum cłow Niech ucj ędzie ogriczo przedzile
Bardziej szczegółowoZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ dla I roku kierunku informatyka WSZiB
pro. dr hb. Stisłw Biłs ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I roku kieruku iormtyk WSZiB I. ELEMENTARNE WŁASNOŚCI FUNKCJI. Wyzczyć dziedzię ukcji: 5 7 log[ log 5 6. b c ] d. Wyzczyć przeciwdziedzię ukcji:
Bardziej szczegółowoCałka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale
Cł ozczo. De.1. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De.2 sum cłow Niech ucj ędzie ogriczo przedzile
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).
MATEMATYKA I - Lucj Kowlski {,,,... } CIĄGI LICZBOWE N zbiór liczb turlych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezetowy przez pukty osi liczbowej. Nieskończoy ciąg liczbowy to przyporządkowie liczbom
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zsd idukcji mtemtyczej. Dowody idukcyje. W rozdzile sformułowliśmy dl liczb turlych zsdę miimum. Bezpośredią kosekwecją tej zsdy jest brdzo wże twierdzeie, które umożliwi i ułtwi wiele dowodów twierdzeń
Bardziej szczegółowoRys. 1. Interpolacja funkcji (a) liniowa, (b) kwadratowa, (c) kubiczna.
terpolcj.doc Iterpolcj fukcj. Sformułowe problemu: Rs.. Iterpolcj fukcj low, b kwdrtow, c kubcz. De są rgumet,,,. orz odpowdjące m wrtośc fukcj = f, = f,, = f. Postć fukcj = f jest e z lub z. Poszukw jest
Bardziej szczegółowoZADANIA NA POCZA n(n + 1) = 1 3n(n + 1)(n + 2).
ZADANIA NA POCZA TEK Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: 3 3 4 = 3 Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: 3 3 4 = 4 3 3 Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: 3 3 4
Bardziej szczegółowoDziałania wewnętrzne i zewnętrzne
Autmtyk i Rtyk Alger -Wykłd - dr Adm Ćmiel miel@gedupl Dziłi wewętrze i zewętrze Nie X ędzie ustlym iepustym zirem Def Dwurgumetwym dziłiem wewętrzym w zirze X zywmy fukję Jeśli X i y X t y X zywmy wyikiem
Bardziej szczegółowoCollegium Novum Akademia Maturalna
Collegium Novum Akdemi Mturl wwwcollegium-ovumpl 0- -89-66 Mtemtyk (GP dt: 00008 sobot Collegium Novum Akdemi Mturl Temt 5: CIĄGI Prowdzący: Grzegorz Płg Termi: 0007 godzi 9:00-:0 8 Zdie Które wyrzy ciągu
Bardziej szczegółowoWykład III. Granice funkcji. f : R A R, A przedział. f określona w x. K M x. lim. lim. Granice niewłaściwe:
: R A R, A przedział A, Wykład III Graice ukcji określoa w, S \ Deiicja 3. (deiicja Caucy eo raicy ukcji) : D U,, ( ) : ot Iaczej: Uot D U K M U ot U ot K M Graice iewłaściwe: k K R D M K K R M R D De.
Bardziej szczegółowo1.1 Pochodna funkcji w punkcie
Pochod fukcji w pukcie BLOK I RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY Zkłdmy, że fukcj f jest określo w przedzile, ) orz, że, ), jest liczą, dl której + ), ) Liczę zywmy przyrostem rgumetu w pukcie, tomist różicę
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna ISIM I
Aliz mtemtycz ISIM I Ryszrd Szwrc Spis treści Ciągi liczbowe. Zbieżość ciągów......................... 3. Liczb e.............................. 0 Szeregi liczbowe 3. Łączość i przemieość w sumie ieskończoej.........
Bardziej szczegółowo1. Granica funkcji w punkcie
Graica ukcji w pukcie Deiicja Sąsiedztwem o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r ( a a Deiicja Sąsiedztwem lewostroym o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r Deiicja Sąsiedztwem
Bardziej szczegółowoCiągi i szeregi funkcyjne
Mteriły do ćwiczeń Aliz Mtemtycz II 7/8 Mri Frotczk, Ludwik Kczmrek, Ktrzy Klimczk, Mri Michlsk, Bet Osińsk-Ulrych, Tomsz Rodk, Adm Różycki, Grzegorz Sklski, Stisłw Spodziej Teori pod przed ćwiczeimi pochodzi
Bardziej szczegółowoMATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory
MTHCD - Obliczei itercyje, mcierze i wektory Zmiee zkresowe. Tblicowie fukcji Wzór :, π.. π..8.9...88.99..8....8.98. si().9.88.89.9.9.89.88.9 -.9 -.88 -.89 -.9 - Opis, :,, przeciek, Ctrl+Shift+P, /,, ;średik,
Bardziej szczegółowotakimi, że W każdym przedziale k 1 x k wybieramy punkt k ) i tworzymy sumę gdzie jest długością przedziału, x ). 1 k
RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Cł ozczo Niech ędzie ucją oreśloą i ogriczoą w przedzile . Przedził e dzielimy pumi,,,..., imi, że....,,.,..., W żdym przedzile wyiermy pu, i worzymy sumę gdzie
Bardziej szczegółowoGłówka pracuje - zadania wymagające myślenia... czyli TOP TRENDY nowej matury.
Główk prcuje - zdi wymgjące myślei czyli TOP TRENDY owej mtury W tej pordzie 0 trudiejszych zdń Wiele z ich to zdi, których temt zczy się od wykż, udowodij, czyli iezbyt lubiych przez mturzystów Zdie Widomo,
Bardziej szczegółowoZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ
ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A
Bardziej szczegółowoProjekt 3 3. APROKSYMACJA FUNKCJI
Projekt 3 3. APROKSYMACJA FUNKCJI 3. Krter proksmcj. Złóżm że () jest ukcją cągłą w przedzle [ b ]. Zlezee przblże (proksmcj) poleg wzczeu współczków pewego welomu P() któr będze dobrze przblżł w tm przedzle
Bardziej szczegółowoWykład 9. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności
Wkłd 9. Podejowie deczji w wrukch ieewości E L l E E F E F l S 0 0 ; R D D F F D i F() - wrtość zieej losowej - zbiór ciągł f - fukcj gęstości rozkłdu rwdoodobieństw zieej losowej Wówczs: d f E L l d
Bardziej szczegółowoMATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic
MTLB PODSTWY ZNKI SPECJLNE symbol przypisi [ ] tworzeie tblic, rgumety wyjściowe fukcji, łączeie tblic { } ideksy struktur i tblic komórkowych ( ) wisy do określi kolejości dziłń, do ujmowi ideksów tblic,
Bardziej szczegółowoPodstawy wytrzymałości materiałów
Podstw wtrzmłości mteriłów IMiR - MiBM - Dodtek Nr 1 rkterstki geometrcze figur płskic Momet sttcze, środek ciężkości figur i jego wzczie, momet bezwłdości, główe cetrle osie bezwłdości, promieie bezwłdości,
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności.
CIĄGI LICZBOWE Nturlą rzeczą w otczjącym s świecie jest porządkowie różorkich obiektów, czyli ustwiie ich w pewej kolejości. Dl przykłdu tworzymy różego rodzju rkigi, p. rkig jlepszych kierowców rjdowych.
Bardziej szczegółowoWykład 8: Całka oznanczona
Wykłd 8: Cłk ozczo dr Mriusz Grządziel grudi 28 Pole trójkt prboliczego Problem. Chcemy obliczyć pole s figury S ogriczoej prostą y =, prostą = i wykresem fukcji f() = 2. Rozwizie przybliżoe. Dzielimy
Bardziej szczegółowoObrazowo, zbiór jest ograniczony, gdy wszystkie jego elementy są położone między dwoma punktami osi liczbowej.
ZBIORY I FUNKCJE LICZBOWE ZBIORY LICZB { 3 } { ± ± } N ziór licz turlych Z ziór licz cłkowitych p Q : p Z q N ziór licz wymierych q R ziór licz rzeczywistych ZBIORY OGRANICZONE Def ziór ogriczoy z dołu
Bardziej szczegółowoRozszerzenie znaczenia symbolu całki Riemanna
Rozszerzeie zczei smolu cłi Riem Z deiicji cłi Riem widć że isoą rolę odrw uporządowie prosej R prz worzeiu podziłu P. Jeżeli zmieim uporządowie prosej o sum cłowe zmieiją z o zmieiją z różice - -. Przjmiem
Bardziej szczegółowoZadania domowe z Analizy Matematycznej III - czȩść 2 (funkcje wielu zmiennych)
Zadaia domowe z AM III dla grup E7 (semestr zimow 07/08) Czȩść Zadaia domowe z Aaliz Matematczej III - czȩść (fukcje wielu zmiech) Zadaie. Obliczć graice lub wkazać że ie istiej a: (a) () (00) (b) + ()
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13 III etap zawodów (wojewódzki) 12 stycznia 2013 r.
KONKURS MTEMTYCZNY dl ucziów gimzjów w roku szkolym 0/ III etp zwodów (wojewódzki) styczi 0 r. Propozycj puktowi rozwiązń zdń Uwg Łączie uczeń może zdobyć 0 puktów. Luretmi zostją uczesticy etpu wojewódzkiego,
Bardziej szczegółowoZadania i rozwiązania prac domowych z Analizy Matematycznej 1.2 z grupy pana Ryszarda Kopieckiego, semestr letni 2011/2012.
Zdi i rozwiązi prc domowych z Alizy Mtemtyczej. z grupy p Ryszrd Kopieckiego, semestr leti / Ntli Skowsk . seri UWAGA: wykresów oczywiście rysowć ie trzeb. Co więcej, wykres ie jest dowodem żdego stwierdzei.
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.
ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.
Bardziej szczegółowoZadania. I. Podzielność liczb całkowitych
Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.
Bardziej szczegółowoTABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zakres GIMNAZJUM
TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zkres GIMNAZJUM LICZBY Lizy turle: 0,1,,,4, Koleje lizy turle zwsze różią się o 1, zpis, +1, +, gdzie to dowol liz turl ozz trzy koleje lizy turle, Lizy pierwsze:
Bardziej szczegółowoRegresja liniowa. (metoda najmniejszych kwadratów, metoda wyrównawcza, metoda Gaussa)
Regresj low (metod jmejszch kwdrtów, metod wrówwcz, metod Guss) stot metod postult Guss współczk prostej kostrukcj prostej teoretczej trsformcj fukcj elowch przkłd Regresj low czm poleg? Jeśl merzoe dwe
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna
Aliz Mtemtycz Przykłdy: Cłki ozczoe. Oprcowie: dr hb. iż. Agieszk Jurlewicz, prof. PWr Przykłd 9. : Korzystjąc z defiicji cłki ozczoej orz fktu, że fukcj ciągł jest cłkowl, oblicz e x dx przyjmując podził
Bardziej szczegółowo(x 1 y 1 ) (x n y n ) 2. 1<j<m x i y i. x2 y 2 gdy x 1 = y 1 x 2 y 2 + x 1 + y 1 gdy x 1 = y 1. gdy x, y, 0 nie są współliniowe
. Metrka Zadaie.. Pokazać, że metrka jest fukcją ieujemą. Zadaie.2. Odowodić, że poiższe wzor defiiuja metrki. a) (metrka euklidesowa) X = R. d e (, ) := ( ) 2 +... + ( ) 2 b) (metrka taksówkowa) X = R
Bardziej szczegółowoSKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE
Publikcj współfisow ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego SKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE dr iż Ryszrd Krupiński
Bardziej szczegółowoMetoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać
met_szer_potegowyh-.doowyh Metod szeregów potęgowyh dl rówń różizkowyh zwyzjyh liiowyh Rówie różizkowe zwyzje liiowe drugiego rzędu m postć d u d f du d gu h ( Złóżmy, że rozwiązie rówi ( może yć przedstwioe
Bardziej szczegółowoPrzykład 2.5. Figura z dwiema osiami symetrii
Przkłd 5 Figur z dwiem osimi smetrii Polecenie: Wznczć główne centrlne moment bezwłdności orz kierunki główne dl poniższej figur korzstjąc z metod nlitcznej i grficznej (konstrukcj koł Mohr) 5 5 5 5 Dl
Bardziej szczegółowoWykład Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności
Wkłd Podejowie deczji w wrukch ieewości Rozwż rzkłd: M sieć I koli które leż zoderizowć. Istieje J writów oderizcji i kżd z ich o koszcie c ij jeśli i-t koli jest oderizow j-t sosób (i = I j = J). Urobek
Bardziej szczegółowoMATERIAŁY POMOCNICZE DO MATURY Z MATEMATYKI
MATERIAŁY POMOCNICZE DO MATURY Z MATEMATYKI . Ziory. Dziłi ziorch. Ziór, elemet zioru pojęci pierwote. Jeśli x leży do ( jest elemetem ) zioru A, to piszemy x A, jeśli y ie leży do zioru A, piszemy y A.
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna 2 Szeregi liczbowe i funkcyjne
Aliz Mtemtycz 2 Szeregi liczbowe i fukcyje Wydził Mtemtyki wykłdowc T. Dowrowicz 5 kwieti 2017 Wykłdy III i IV SZEREGI LICZBOWE Obrzowo mówiąc, szeregiem, zywmy ciąg, w którym zmist przeików stwimy zki
Bardziej szczegółowoPowtórka dotychczasowego materiału.
Powtórk dotychczsowego mteriłu. Zdi do smodzielego rozwiązi. N ćwiczeich w środę 7.6.7 grupy 4 leży wskzć zdi, które sprwiły jwięcej problemów. 43. W kżdym z zdń 43.-43.5 podj wzór fukcję różiczkowlą f
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIĘTE. Zadanie 1. (1 pkt) Wartość wyrażenia. b dla a 2 3 i b 2 3 jest równa A B. 5 C. 6 D Zadanie 2.
Zachęcam do samodzielej prac z arkuszem diagostczm. Pozaj swoje moce i słabe stro, a astępie popracuj ad słabmi. Żczę przjemego rozwiązwaia zadań. Zadaie. ( pkt) Wartość wrażeia a ZADANIA ZAMKNIĘTE b dla
Bardziej szczegółowoWZORY Z MATEMATYKI. Równość zbiorów: A = B (dla każdego x : x A x B ) Zawieranie się zbiorów, podzbiory: A B ( dla każdego x: x A x B )
. Ziory. Dziłi ziorch. Ziór, elemet zioru pojęci pierwote. Jeśli x leży do ( jest elemetem ) zioru A, to piszemy x A, jeśli y ie leży do zioru A, piszemy y A. Kżdy ziór jest wyzczoy przez swoje elemety.
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zdi Nr czyości Etpy rozwiązi zdi Liczb puktów Uwgi I metod rozwiązi ( PITAGORAS ): Sporządzeie rysuku w ukłdzie współrzędych: p C A y 0
Bardziej szczegółowoSzeregi o wyrazach dowolnych znaków, dwumian Newtona
Poprwi lem 9 czerwc 206 r, godz 20:0 Twierdzeie 5 kryterium Abel Dirichlet Niech be dzie ieros cym ci giem liczb dodtich D Jeśli 0 i ci g sum cze ściowych szeregu b jest ogriczoy, to szereg b jest zbieży
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE N 1,2,3,... zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).
Ciągi i szeregi - Lucj owlski CIĄGI LICZBOWE N,,,... zbiór liczb turlych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezetowy przez pukty osi liczbowej). Nieskończoy ciąg liczbowy to przyporządkowie liczbom
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc
Bardziej szczegółowon n Weźmy f: 3 (x 1, x 2, x 3 ) (y 1, y 2, y 3 ) 3 Jeżeli zdefiniujemy funkcje pomocnicze f j : 3 (x 1, x 2, x 3 ) y j, dla j = 1,2,3, to
"Maemac ą jak Facuzi: cokolwiek im ię powie od azu pzekładają o a wój wła jęzk i wówcza aje ię o czmś zupełie im." Joha Wola Goehe Weźm : Jeżeli zdeiiujem ukcje pomocicze j : j dla j = o = dzie = Czli
Bardziej szczegółowoWYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:
YZNACZNIKI Do opisu pewnh oiektów nie wstrz użć liz. ie n przkłd, że do opisni sił nleż użć wektor. Sił to przeież nie tlko wielkość le i jej punkt przłożeni, zwrot orz kierunek dziłni. Zte jedną lizą
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY
Przykłdowy zestw zdń r z mtemtyki Odpowiedzi i schemt puktowi poziom rozszerzoy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zdi Nr czyości Etpy rozwiązi zdi Liczb puktów Uwgi I metod
Bardziej szczegółowoMOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH
MOMENT BEZWŁNOŚC FGU PŁSKCH Przekrje pprzeczne prętów włów i elek figur płskie crkterzujące się nstępującmi prmetrmi: plem pwierzcni przekrju [mm cm m ] płżeniem śrdk ciężkści przekrju mmentmi sttcznmi
Bardziej szczegółowoa a = 2 S n = 2 = r - constans > 0 - ciąg jest malejący q = b1, dla q 1 S n 1 CIĄGI jest rosnący (niemalejący), jeżeli dla każdego n a n
CIĄGI ciąg jest rosący (iemlejący), jeżeli dl kżdego < ( ) ciąg jest mlejący (ierosący), jeżeli dl kżdego > ( ) ciąg zywmy rytmetyczym, jeżeli dl kżdego r - costs - r > 0 - ciąg rosący - r 0 - ciąg stły
Bardziej szczegółowoCałki oznaczone. wykład z MATEMATYKI
Cłki oznzone wkłd z MATEMATYKI Budownitwo, studi niestjonrne sem. I, rok k. 28/29 Ktedr Mtemtki Wdził Informtki Politehnik Biłostok 1 Podstwowe pojęi 1.1 Podził P przedziłu, Nieh f ędzie funkją ogrnizoną
Bardziej szczegółowoWykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna
1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,
Bardziej szczegółowoProgramowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych
Ekonomia matematczna II Ekonomia matematczna II Prowadząc ćwiczenia Programowanie nieliniowe optmalizacja unkcji wielu zmiennch Modele programowania liniowego często okazują się niewstarczające w modelowaniu
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne Zadanie: obliczyć przybliżenie całki (1) używając wartości funkcji f(x) w punktach równoodległych. Przyjmujemy (2) (3) (4) x n
lkowe_um- łkowe umercze Zde: olczć przlżee cłk ( ) d () użwjąc wrtośc ukcj () w puktc rówoodległc. Przjmujem (), gdze,,, () () tąd / (5) Metod prostokątów d / (6) gdze / / (7) -- :9: /6 lkowe_um- td. td.
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 7. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Macierzowa Metoda Rozwiązywania Układu Równań Cramera
/9/ WYKŁ. UKŁY RÓWNŃ LINIOWYCH Mcierzow Metod Rozwiązywi Ukłdu Rówń Crmer Ogól postć ukłdu rówń z iewidomymi gdzie : i i... ozczją iewidome; i R k i R i ik... ;... efiicj Ukłdem Crmer zywmy tki ukłd rówń
Bardziej szczegółowoż ź ż Ś Ź Ś Ś ń ń Ś ń Ś Ś ż Ś Ś ż ćś ż ż ż Ł ć ć ć Ść ń Ś ż ż Ś ż ń Ź Ś ż ż ć Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ś ź ż ń Ę ż ć Ś Ś ć ż Ś Ś ż ż ć Ś Ś ć Ś Ś ćś Ś Ś ń ż ń Ś ż ć ć Ć Ś ń Ź ń ć ć ć Ść ń ń Ś Ś ż ĘĄ Ś ż ć ć Ś ć ń ć
Bardziej szczegółowoWykład 12: Sumowanie niezależnych zmiennych losowych i jego związek ze splotem gęstości i transformatami Laplace a i Fouriera. Prawo wielkich liczb.
Rchuek prwdopodobieństw MA064 Wydził Elektroiki, rok kd. 2008/09, sem. leti Wykłdowc: dr hb. A. Jurlewicz Wykłd 2: Sumowie iezleżych zmieych losowych i jego związek ze splotem gęstości i trsformtmi Lplce
Bardziej szczegółowoCiąg arytmetyczny i geometryczny
Ciąg rytmetyczy i geometryczy Zd. : Ciąg ( ) jest opisy wzorem = 5 + ( )(k k ), gdzie k jest prmetrem. ) WykŜ, Ŝe ( ) jest ciągiem rytmetyczym. Dl jkich wrtości prmetru k ciąg te jest mlejący? b) Dl k
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski
Nottki z Anlizy Mtemtycznej 4 Jcek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 7 Cłk Riemnn 1. Cłk nieoznczon Definicj 7.1. Niech f : (, b) R będzie dowolną funkcją. Jeżeli dl pewnej funkcji F : (, b) R spełnion jest równość
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI DRUGIEGO STOPNIA.
Oprownie: Elżiet Mlnowsk FUNKCJA KWADRATOWA. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI DRUGIEGO STOPNIA. Określeni podstwowe: Jeżeli kżdej lizie x z pewnego zioru lizowego X przporządkown jest dokłdnie jedn liz, to mówim,
Bardziej szczegółowolim a n Cigi liczbowe i ich granice
Cigi liczbowe i ich graice Cigiem ieskoczoym azywamy dowol fukcj rzeczywist okrelo a zbiorze liczb aturalych. Dla wygody zapisu, zamiast a() bdziemy pisa a. Elemet a azywamy -tym wyrazem cigu. Cig (a )
Bardziej szczegółowoWymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile Kl. II poziom rozszerzony
Wymgi poszczególe ocey z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile Kl. II poziom rozszerzoy 1. WIELOMIANY podje przykłdy wielomiów, określ ich stopień i podje wrtości ich współczyików zpisuje wielomi
Bardziej szczegółowoGENEZA WYZNACZNIKA. Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Rozwiązania układu metodą eliminacji Gaussa
/ WYKŁD. Wyzzik mierzy: defiij idukyj i permutyj. Włsośi wyzzików, rozwiięie Lple', wzór Srrus. Mierz odwrot i sposoy jej wyzzi. GENEZ WYZNCZNIK Ukłd rówń liiowyh z dwiem iewidomymi, y x y x Rozwiązi ukłdu
Bardziej szczegółowo( ) σ v. Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Analiza płaskiego stanu naprężenia.
Adam Bdnar: Wtrzmałść Materiałów Analiza płaskieg stanu naprężenia 5 ANALIZA PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻENIA 5 Naprężenia na dwlnej płaszczźnie Jak pamiętam płaski stan naprężenia w punkcie cechuje t że wektr
Bardziej szczegółowoFUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam
Bardziej szczegółowoJan Nawrocki. MATEMATYKA cz. 2. Analiza matematyczna I
J Nwrocki MATEMATYKA cz Aliz mtemtycz I Politechik Wrszwsk Politechik Wrszwsk Wydził Smochodów i Mszy Roboczych Kieruek "Edukcj techiczo iformtycz" -54 Wrszw, ul Nrbutt 84, tel () 849 4 7, () 4 8 48 ipbmvrsimrpwedupl/spi/,
Bardziej szczegółowoWykład 2. Funkcja logarytmiczna. Definicja logarytmu: Własności logarytmu: Logarytm naturalny: Funkcje trygonometryczne
Wykłd 2 Funkcj rytmiczn, Deinicj rytmu: Włsności rytmu: 2 u 2 u b c c b 2 2 Lorytm nturlny: Funkcje tryonometryczne Funkcje tryonometryczne kąt ostreo: b c sin cos t ct b c b c b Mir łukow kąt wyrż się
Bardziej szczegółowoMec Me han a ik i a a o gólna Wyp W a yp dko dk w o a w do d w o o w l o ne n g e o g o ukł uk a ł du du sił.
echaika ogóla Wkład r 2 Wpadkowa dowolego układu sił. ówowaga. odzaje sił i obciążeń. odzaje ustrojów prętowch. Wzaczaie reakcji. Wpadkowa układu sił rówoległch rzłożeie układu zerowego (układ sił rówoważącch
Bardziej szczegółowoZbiory wyznaczone przez funkcje zdaniowe
pojęci zbioru i elementu RCHUNEK ZIORÓW zbiór zwier element element nleży do zbioru jest elementem zbioru ( X zbiór wszystkich przedmiotów indywidulnych, których dotyczy dn nuk zbiór pełny (uniwerslny
Bardziej szczegółowoe) Kwadrat dowolnej liczby b) Idź na dwór! całkowitej jest liczbą naturalna. c) Lubisz szpinak? f) 12 jest liczbą pierwszą. d) 3 2 =10.
Zdnie. Cz poniższe wrżeni są zdnimi logicznmi: ) wczorj pdł deszcz. e) Kwdrt dowolnej liczb b) Idź n dwór! cłkowitej jest liczbą nturln. c) Lubisz szpink? f) jest liczbą pierwszą. d) =0. Zdni. Podj zprzeczeni
Bardziej szczegółowo