TES III. Redakcja naukowa

Transkrypt

1 Zeszyty Naukowe Instytutu Zarządzana Marketngu Akadem m. Jana Długosza w Częstochowe PRAGMATA TES OIKONOMIAS III Redakcja naukowa Marek Kulesza, Walenty Ostasewcz Częstochowa 009

2 Recenzenc Mara Jadamus-Hacura Krystyna Melch-Iwanek Zdzsław Psz Stansław Helpern Redaktorzy naukow Marek Kulesza, Walenty Ostasewcz Redaktor Przemysław Lasota Korekta Darusz Jaworsk Redakcja technczna Potr Gospodarek Projekt okładk Sławomr Sadowsk Copyrght by Akadema m. Jana Długosza w Częstochowe Częstochowa 009 ISBN ISSN Wydawnctwo Akadem m. Jana Długosza w Częstochowe 4 00 Częstochowa, ul. Waszyngtona 4/8 tel. (0-34) , faks (0-34) e-mal: wydawnctwo@ajd.czest.pl

3 Sps treśc Przedmowa... 5 Walenty Ostasewcz Rozkłady ucęte... 7 Paulna Uceklak-Jeż, Marek Kulesza Jakość życa w krajach Un Europejskej w śwetle danych społecznych ekonomcznych... 5 Stansława Ostasewcz Ocena prawdopodobeństwa przeżyca dla danych nepełnych... 9 Paulna Uceklak-Jeż Uwag na temat metod pomaru nerównośc zdrowotnej sprawedlwośc w fnansowanu opek zdrowotnej... 4 Ewa Btner Menedżment w prywatyzowanych przedsęborstwach w Polsce Sylwa Akuła Ceny meszkań we Wrocławu w latach według rodzajów sprzedaży podmotów oferentów Agneszka Wdawska-Stansz, Izabella Sower-Kasprzyk Promocja gmny jako element marketngu terytoralnego Roman Garbec Emerytury górncze w polskm systeme emerytalnym Roman Pluta Uwarunkowana decyzj dotyczących koszyka podstawowych śwadczeń zdrowotnych... 5 Jan Szczepank Czynnk motywacj pozafnansowej pracownków w przedsęborstwach zróżncowanych pod względem welkośc Elżbeta Stańczyk Kaptał ludzk w województwach połudnowych na tle pozostałych województw w latach

4 Wtold Mszczak, Walenty Ostasewcz Meszank rozkładów Agneszka Pls, Marek Szambelan, Wesław Pls, Tomasz Pls Wzerunek współpracownków ubezpeczeń na życe frmy pośrednctwa ubezpeczenowego Fnancal Marketng Group Internatonal S.A Edyta Mazurek, Marek Kośny Assessment of Optmal Bandwdth n Decomposton of Redstrbuton Coeffcent Edyta Mazurek A Note of the Identfcaton of the Bandwth for the Potental Redstrbuton Inde Evaluaton Mauro Mussn, Bancamara Zavanella Choosng the Bandwth for Decomposng the Redstrbutve Effect: Evdence from Mlan Usng AMeRIcA Data Petr Mazouch, Savna Fnard, Jakub Fscher Increasng Level of Educaton n Selected Central European Countres: a Certan Advantage... 75

5 Przedmowa Nnejszy trzec numer prac naukowych przygotowywanych przez Instytut Zarządzana Marketngu zawera oprócz artykułów w języku polskm, dotyczących tradycyjnych zagadneń statystyczno-ekonomcznych, także artykuły zarówno autorów polskch, jak zagrancznych dotyczące zagadneń aktualne szeroko dyskutowanych na forum Un Europejskej. W szczególnośc dotyczy to zagadneń sprawedlwośc społecznej redystrybucyjnej rol państwa dobrobytu. Dzękujemy Recenzentom Pan dr Mar Jadamus-Hacurze, Pan dr Krystyne Melch-Iwanek, Panu prof. Zdzsławow Pszow, Panu prof. Stansławow Helpernow za ch wnklwe życzlwe recenzje, dzęk którym udało sę ne tylko usunąć błędy, ale też w welu przypadkach ulepszyć jakość prezentacj wywodów. Z wdzęcznoścą odnotowujemy ogromne zaangażowane Pan Paulny Uceklak-Jeż, jake wykazywała na każdym etape przygotowywana nnejszego zeszytu do druku.

6

7 ZESZYTY NAUKOWE Instytutu Zarządzana Marketngu Akadem m. Jana Długosza w Częstochowe Sera: Pragmata tes Okonomas 009, z. III Walenty Ostasewcz Rozkłady ucęte. Wstęp Pojęce rozkład ucęty ma dwa różne znaczena. Rozpocznjmy od perwszego z nch. Rozpatrzmy przypadek neco uproszczony, ale mający duże zastosowane w teor ubezpeczeń. Załóżmy, że zmenna losowa X określana jest za pomocą dystrybuanty F X. Zdefnujmy nową ucętą zmenną losową X R. X, jeśl X > a R X 0, w przecwnym raze Rozkład zmennej X R nazywa sę rozkładem ucętym. Dystrybuantę tej zmennej losowej określa sę według wzoru: FX ( y) FX ( a) F ( y). () X R F ( a) W przypadku tym wszystke realzacje zmennej losowej X są obserwowalne. Z punktu wdzena teoretycznego ne ma żadnego problemu z estymacją parametrów obu rozkładów. Druge znaczene pojęca rozkład ucęty dotyczy przypadku, gdy nektóre realzacje ne są obserwowalne właśne one nazywane są realzacjam ucętym. Jeżel symbolem p (,0) oznaczymy funkcję gęstośc zmennej losowej cągłej lub funkcję rozkładu prawdopodobeństwa zmennej losowej skokowej przyjmemy, że obserwacje zmennej losowej X należą do pewnego obszaru T będącego podzborem przestrzen prób, to funkcję gęstośc zmennej losowej T ucętej X określa sę ze wzoru (por. []): w(, T) p(, θ) p T (, θ) () u( T, θ) X

8 8 Walenty Ostasewcz gdze, w (, T ) 0, jeśl jeśl T T u ( T, θ ) E( w( X, T)) W przypadku tego typu rozkładów jednym z głównych problemów jest estymacja parametrów na podstawe brakujących danych. Weźmy na przykład taką welkość losową jak lczba przejazdów bez bletu środkam komunkacj mejskej przypadająca na jedną osobę. Obserwacj w tym przypadku dokonują kontrolerzy. Można ewdencjonować, le osób zostało raz ukaranych, le osób zostało dwa razy ukaranych td., ale ne wemy, le osób ne zostało ukaranych, mmo że jechały bez opłaty. Lczba osób, które jeżdżą bez opłaty, ne jest przeceż rejestrowana. Nżej wymenone są nne przykłady tego typu: Lczba osób na jedno gospodarstwo domowe, które zachorowały na określoną chorobę zakaźną, ne wemy zaś, le osób ne zachorowało. Lczba wypadków przy pracy przypadająca na jednego zatrudnonego, w określonej jednostce czasu. Gdyby lczba pracujących była stała w tym czase, to można by łatwo oblczyć zdarzene zero wypadków. Częstość występowana słów w tekśce określonego autora. Można ustalć, które słowo zostało tylko raz użyte, które dwa razy td., ale ne można ustalć, które słowo ne zostało an razu użyte mmo, ż jest ono znane autorow. Gdyby były znane wszystke słowa dostępne danemu autorow, to łatwo by można określć częstość zdarzena słowo neużywane. Lczba jaj znoszonych przez pewen gatunek owadów. Lczba jednoczesnych odkryć naukowych.. Rozkład dwumanowy Zmenną losową X o rozkładze dwumanowym określa następujący rozkład: p P ) n ( X ) Cn p ( p, 0,,..., n Załóżmy, że zdarzene zero ne jest obserwowalne, mmo ż ono sę realzuje. Ucęty rozkład dwumanowy, bez zdarzena X 0, określa sę następująco: p T P Cn p ( p) ) ( p) n T ( X n,,,..., n

9 Rozkłady ucęte 9 Zauważmy, że E( X T n p ) ( p) n oraz Czyl X E n T p ( p) E ( X ) < E( X T ) n. oraz T E( X / n) < E( X / n) Poneważ ucęty rozkład dwumanowy zależy od jednego parametru p, to problem polega na jego estymacj. Trudność problemu polega na tym, że ne mając możlwośc obserwacj częstośc zdarzena X 0, ne znamy też lczby wszystkch obserwacj. Neznaną lczbę obserwacj oznaczmy symbolem N zaś obserwowane częstośc jako f, f,..., f n, spełnające następującą równość: f0 + f fn N. Welkość N jest neznana, poneważ częstość f 0 występowana zdarzena X 0 ne jest znana. Rozpatrzmy przypadek ogólnejszy, gdy neobserwowalnych jest k kolejnych zdarzeń X 0, X,..., X k -. Gdy ucęte jest jedno zdarzene, to mamy k, natomast k oznacza neobserwowalność zdarzeń X 0 oraz X. Wadomo, że ogólną metodą estymacj parametrów jest metoda najwększej warygodnośc. W przypadku normalnego rozkładu dwumanowego zastosowane tej metody jest wyjątkowe łatwe służy ona nemal wzorcowym przykładem w wększośc podręcznków ze statystyk. W przypadku ucętych rozkładów metoda ta jest o wele bardzej skomplkowana.

10 0 Walenty Ostasewcz W przypadku rozkładu dwumanowego, gdy ucętych jest k najmnejszych wartośc, w celu estymacj parametru p metodą najwększej warygodnośc należy rozwązać następujące równane względem newadomej p (por. [, 3]): np Ak k 0 k 0 n! p ( p)!( n )! n! p ( p)!( n )! gdze A k jest to empryczny moment rzędu perwszego oblczany dla danych ucętych. W przypadku gdy ucęta jest tylko wartość zerowa, równane to ma następującą postać: n n f f np ( p) Metoda prostsza rachunkowa jest przedstawona w pracy [, 3]. A manowce estymator pˆ parametru p, gdy ne są obserwowalne k perwsze wartośc, dany jest za pomocą wzoru: gdze n T pˆ ( n ) T T 0 f, k n k n k T ( k ) n T 0. n n T f, T Neznaną welkość N oblcza sę wówczas, rozwązując następujące równane (por. []): N T n! n k k ( 0 0!( )! ) n N p p n Różnce mędzy estymatoram uzyskanym za pomocą obu metod są bardzo małe. Podobną metodę stosuje sę do estymacj parametru λ w ucętym rozkładze Possona. Gdy ucętych jest k perwszych wartośc, to wzór określający estymator parametru λ jest następujący (por. []): f

11 Rozkłady ucęte gdze ˆ T k T λ T ( k ) T 0 T 0 f, T f, T f k k k Neznaną welkość N określa sę, rozwązując następujące równane: T λt 0 λ k Ne λ. ( k )! Badana wykazały, że efektywność tego estymatora jest dość wysoka, przy czym wraz ze wzrostem wartośc parametru λ wzrasta do 00% (por. [3]). 3. Gdze umeszczać ucętą masę prawdopodobeństwa? W celu sprecyzowana pytana postawonego w tytule, rozpatrzmy prosty przykład. Weźmy zmenną losową X B (4, ). Łatwo oblczamy jej rozkład P ( X ) Załóżmy, że dwe perwsze wartośc są ucęte. Obserwujemy węc tylko częstośc f P( X ), f 3 P( X 3), f 4 P( X 4). Aby określć ucęty rozkład dwumanowy, trzeba określć prawdopodobeństwa: p T P( X ), p T P( X 3), p T P( X 4). 3 4 Zauważmy, że ucęta masa prawdopodobeństwa wynos u P( X 0) + P( X ). 5 W danym przypadku u. 6 Masą tą trzeba uzupełnć pozostałe wartośc p, p3 p 4 tak, aby ucęty rozkład był rozkładem, tzn. aby p + p + p. T T T 3 4

12 Walenty Ostasewcz Powstaje węc pytane: które wartośc prawdopodobeństw p, p3 p 4, w jakm stopnu, pownny być zwększone? Tradycyjne, zgodne ze wzorem (), ucętą wartość u rozdzela sę proporcjonalne do welkośc p, p p 3 4. W danym przypadku mamy węc następujący rozkład: p p u p T p3 p u p T p T 4 p4 p4, u 6 Zamast proporcjonalne, moglbyśmy na przykład ucętą masę rozmeścć równomerne: 6 5 p + u p T 4 5 p3 + u p T p T 4 p4 + u W. Mszczak proponuje zaś załamywać rozkład po zawnęcu częśc odcętej na część pozostałą dodać odpowedne masy prawdopodobeństwa, tak jak to nżej pokazano p T p + p p T 3 p3 + p p T 4 p4 Problem wyboru jednego z możlwych warantów, jego uzasadnena, ne był prawdopodobne dotychczas rozpatrywany ,,

13 Rozkłady ucęte 3 Lteratura [] Rao C.R., Statystyka prawda, PWN, Warszawa 994. [] Rder P.R., Truncated Posson dstrbutons, JASA, 48, 953, [3] Rder P.R., Truncated Bnomal and Negatve Bnomal Dstrbutons, JASA, 50, 955, [4] Ostasewcz W., Propedeutyka probablstyk, AE, Wrocław 000. Summary Truncated Dstrbutons The paper hghlghts two basc defntons of truncated dstrbutons. There are dscussed varous type of truncaton of bnomal dstrbuton, as well as are defned some open problems.

14

15 ZESZYTY NAUKOWE Instytutu Zarządzana Marketngu Akadem m. Jana Długosza w Częstochowe Sera: Pragmata tes Okonomas 009, z. III Paulna Uceklak-Jeż Marek Kulesza Jakość życa w krajach Un Europejskej w śwetle danych społecznych ekonomcznych. Wstęp Jakość życa (Qualty of Lfe) jest pojęcem nterdyscyplnarnym jest w obszarze zanteresowań flozof, socjolog, psycholog, ekonom, medycyny, marketngu zarządzana (por. [6]). Badana nad wskaźnkam społecznym zapoczątkowane zostały w latach sześćdzesątych w Stanach Zjednoczonych. Podczas wspólnego projektu badawczego zorganzowanego przez NASA Amercan Academy of Arts and Scence, którego celem była ocena skutków społecznych badań kosmcznych, zauważono, że brakuje odpowednch pojęć metodolog pomaru badań społecznych. Raymond Bauer, dyrektor projektu, zaproponował nazwę deę wskaźnków społecznych. Według jego defncj wskaźnk społeczne były: [...] danym statystycznym, szeregam czasowym lub nnym formam ewdencj, pozwalającym oszacować, jak wele nam jeszcze brakuje do osągnęca naszych wartośc celów. W 969 roku w dokumence Toward Socal Report opracowanym przez US Departament of Health, Educaton and Welfare zdentyfkowano kluczowe wskaźnk społeczne umożlwające ops rzeczywstośc w różnych sferach życa społecznego tj. zdrowa choroby, dochodu ubóstwa, środowska fzycznego, porządku publcznego bezpeczeństwa, moblnośc społecznej, uczena sę, nauk sztuk, udzału w życu społecznym alenacj, które mogą być opsywane przez wskaźnk (por. [4, 6]). Wskaźnk społeczne stały sę węc syntetycznym maram lczbowym charakteryzującym różne przejawy życa społecznego. Zgodne z metodologą opsu badań, wskaźnk społeczne dzelmy na dwe kategore: wskaźnk subektywne, wskaźnk obektywne. Wskaźnkam subektywnym nazywamy wskaźnk społeczne oparte na odczucach osobstych, preferencjach, stosunku do danej rzeczy lub osoby, opnach, sądach lub różnego rodzaju przekonanach. Natomast wskaźnkam

16 6 Paulna Uceklak-Jeż, Marek Kulesza obektywnym nazywamy wskaźnk odpowadające rzeczom stosunkowo łatwo obserwowalnym merzalnym. Wskaźnk obektywne ne zależą od odczuć ludz, a dane do oblczena tych wskaźnków pochodzą ze spsów urzędowych rejestrów (por. [7]). Koncepcja jakośc życa w ekonom pojawa sę jako ekonoma dobrobytu (welfare economcs), w której produkt krajowy brutto lub PKB per capta są maram dobrobytu ekonomcznego (economc well-beng), a nawet postępu społecznego. Brytyjsk ekonomsta A.C. Pgou wprowadzł szersze pojęce,,społecznego dobrobytu (socal welfare), którego jednym ze składnków jest dobrobyt ekonomczny (por. [7]). Według psychologów pomar subektywnego dobrostanu (SWB Subjectve Well-Beng) lub szczęśca (happness) można uważać za subektywną marę jakośc życa (por. [7]). Powszechne akceptuje sę, że jakość życa może być analzowana z wykorzystanem trzech metodologcznych teoretycznych podejść: ekonomcznego, społecznego subektywnego, co pocąga za sobą powstane szeregu wskaźnków (ekonomcznych, społecznych subektywnych) (por. [3]). Wskaźnk te mogą być ze sobą łączone według uznana autorów wskaźnka, w celu otrzymana łącznego wskaźnka (summary ndces) służącego jako mara jakośc życa (por. []). W artykule wybralśmy dostępne dla 7 państw Un Europejskej wskaźnk obektywne subektywne z roku 000 roku 005, przedstawlśmy rankng państw według badanych zmennych. Za pomocą współczynnka rang zbadalśmy, czy stneją zależnośc mędzy PKB per capta ocenanych krajów analzowanym wskaźnkam służącym do oceny jakośc życa.. Produkt krajowy brutto wskaźnk przyjmujące za podstawę dochód narodowy Idea jakośc życa ma stotne znaczene w hstor ekonom. A.C. Pgou uważa dochód narodowy za podstawową marę dobrobytu ekonomcznego. W swoch pracach A.C. Pgou rozróżna pojęce dobrobytu ekonomcznego od szerszego pojęca społecznego dobrobytu, którego składnkem jest dobrobyt ekonomczny. Jego pogląd o stnenu jasnej przesłank, że zmany dobrobytu ekonomcznego pocągają za sobą zmany dobrobytu społecznego w tym samym kerunku, jeśl nawet ne w tym samym stopnu jest wcąż aktualny wśród ekonomstów (por. [7]). Podstawowe prace nad pomarem dochodu narodowego wykonał Smon Kuznets, trzec laureat Nagrody Nobla z dzedzny ekonom. Po wdrożenu programu badawczego sponsorowanego przez Natonal Bureau of Economc Research dotyczącego dochodu narodowego, Smon Kuznets odegrał wodącą rolę w opracowanu ofcjalnego sposobu pomaru dochodu narodowego w Stanach Zjednoczonych Ameryk. Ostateczne powstał doskonalony przez lata

17 Jakość życa w krajach Un Europejskej... 7 system rachunków narodowych, zaaprobowany przez nne kraje, a także przez Buro Statystyczne Organzacj Narodów Zjednoczonych. Wkrótce produkt krajowy brutto czy produkt narodowy brutto zaczęto uważać za marę dobrobytu ekonomcznego. Na początku lat 70. Wllam Nordhaus James Tobn zaproponowal nową marę dobrobytu ekonomcznego MEW (Measure of Economc Welfare), powstałą przez dodane do produktu narodowego brutto nowych aspektów. Do aspektów zwększających wskaźnk należą: wartość penężna pracy własnej (nezarobkowych zajęć produkcyjnych) w gospodarstwe domowym, zwanej też konsumpcją naturalną, polegającą medzy nnym na wyperanu usług rynkowych przez samoobsługę w gospodarstwe domowym; wartość penężna czasu wolnego, traktowanego jako alternatywa czasu pośwęconego na pracę. Do aspektów zmnejszających wskaźnk należy: wartość zaneczyszczena środowska naturalnego, wartoścowy efekt rentowy wynkający z użytkowana meszkana lub nagromadzonych dóbr trwałych. Wskaźnkem, który różn sę od MEW (Measure of Economc Welfare) tym, że uwzględna ważoną konsumpcję ndywdualną, spowodowaną nerównoścą dochodów w społeczeństwe, kosztam zman klmatycznych, kosztam strat w kaptale przyrodnczym, w tym stratam spowodowanym efektem ceplarnanym kurczenem sę warstwy ozonowej, jest wskaźnk trwałego dobrobytu ekonomcznego (Inde of Sustanable Economc Welfare). W mernku tym ne uwzględna sę jednak wartośc czasu wolnego (por. [7]). Składowe wag tych mar zależą z reguły od subektywnego podejśca badaczy. Równolegle toczyły sę prace nad rozwojem alternatywnych wskaźnków. M.K. Bennett porównywał różnce w pozomach konsumpcj, wprowadzając 6 wskaźnków opsujących pęć kategor konsumpcj: żywnośc tytonu, usług medycznych santarnych, domowych, edukacj rekreacj, transportowych komunkacyjnych. W 979 roku Davd Morrs zaproponował fzyczny ndeks jakośc życa (physcal QOL nde) (por. [7]), który jest kombnacją produkcj ekonomcznej, oczekwanej długośc życa edukacj. Indeks ten stał sę prekursorem dzsejszego HDI (Human Development Inde) publkowanego coroczne w raportach Organzacj Narodów Zjednoczonych, Unted Natons Human Development Report (por. [7]).

18 8 Paulna Uceklak-Jeż, Marek Kulesza 3. Wskaźnk rozwoju społecznego (Human Development Inde) Wskaźnk rozwoju społecznego HDI (Human Development Inde) jest najlepej znaną marą rozwoju społecznego. Indeks opracowany w UNDP (Unted Natons Development Programme) jest złożonym ndeksem dobrobytu społecznego ekonomcznego. Po raz perwszy oblczono opublkowano go w roku 990. Aspekty wskaźnka HDI (Human Development Inde) podane są na rysunku. Human Development Inde (HDI) Wskaźnk długośc życa Wskaźnk edukacj Wskaźnk stopy życowej Oczekwana długość życa Odsetek osób dorosłych z umejętnoścą czytana psana Odsetek scholaryzacj PKB per capta (PSN US$) Rys.. Aspekty wskaźnka HDI Wskaźnk Human Development Inde (HDI) jest mernkem opartym na: długośc życa, merzonej przecętnym dalszym trwanem życa noworodka e Lfe Epectancy Inde LEI: e 5 LEI () 85 5 gdze: e przecętne dalsze trwane życa noworodka Lfe Epectancy at brth, 5 85 to przyjęte dolna górna wartość progowa tego mernka ( e ). wykształcenu, merzonym za pomocą odsetka osób dorosłych umejących czytać oraz odsetka scholaryzacj na pozome podstawowym, średnm wyższym: gdze EI ALI + EI, () 3 3 ALI ALR 0, (3) 00 0

19 Jakość życa w krajach Un Europejskej... 9 EI ER 0, (4) 00 0 czyl ALR odsetek osób dorosłych umejących czytać, Adult lteracy rate (ages 5 and older); CGER odsetek scholaryzacj na pozome podstawowym, średnm wyższym, Combned gross enrollment rato for prmary, secondary and tertary schools, 0 00 wartośc progowe mernka; stope życowej, merzonej wartoścą PKB na meszkańca, wyrażonej w dolarach USA według parytetu sły nabywczej GDPI log(gdppc) log(00) log(40000) log(00), (5) gdze: GDPpc PKB per capta w dolarach USA według parytetu sły nabywczej GDP per capta at PPP n USD. Wskaźnk HDI zdefnowany jest jako neważona średna arytmetyczna trzech wskaźnków: HDI (LEI + EI + GDPI) (6) 3 Human Development Inde (HDI) merzy osągnęca poszczególnych krajów w zakrese rozwoju dobrobytu ludnośc. Został on zaproponowany przez ONZ dla lepszego zobrazowana osągnęć poszczególnych państw w zakrese poprawy życa obywatel, montorowana realzacj celów przyjętych w Programe Rozwoju Narodów Zjednoczonych (Unted Natons Development Program UNDP) oraz dentyfkacj problemów wymagających nterwencj mędzynarodowych. Źródło: opracowane własne na podstawe [8]. 4. Wskaźnk dobrobytu ludzkego (Human Well-beng Inde) W ksążce pt. The Wellbeng of Natons Robert Prescott opsał metodę oceny dobrobytu, używając skonstruowanego zntegrowanego wskaźnka, który łączy wskaźnk zrównoważonego rozwoju ze wskaźnkam dobrobytu ekonomcznego społecznego. Robert Prescott podzelł różne przejawy życa społecznego podał klka wskaźnków, tj.: ndeks dobrobytu człoweka HWI (Human Well- -beng Inde), ndeks dobrobytu ekosystemu EWI (Ecosystem Well-beng Inde),

20 0 Paulna Uceklak-Jeż, Marek Kulesza ndeks dobrobytu WI (Well-beng Inde) stosunek dobrobytu człoweka do stresu ekosysytemu WSI (Well-beng/Stress Inde) (por. [5]). Wskaźnk te skupają sę na zrównoważonym rozwoju, a główną deą jest to, że ndeks dobrobytu ekonomcznego społecznego mus równeż uwzględnać środowskowe koszty aktywnośc ludzkej. Indeks dobrobytu WI (Well-beng Inde) jest średną arytmetyczną wartośc ndeksu HWI (Human Well-beng Inde) wartośc ndeksu EWI (Ecosystem Well-beng Inde). Wskaźnk HWI (Human Well-beng Inde) zawera pęć aspektów: zdrowe populacja, gospodarstwo domowe bogactwo narodowe, wedza kultura, społeczeństwo (swoboda, rządzene, pokój porządek), równość (gospodarstw domowych płc). Oparte są one na 36 wskaźnkach opsujących warunk społeczno-ekonomczne. Natomast aspektam wskaźnka dobrobytu ekosystemu są: zema (jej różnorodność jakość), woda (śródlądowa morska), powetrze (jakość powetrza lokalnego, globalna atmosfera), gatunk (dzke udomowone) geny, wykorzystane zasobów (energa, materały sektor zasobów). Indeks ten oparty jest na 5 wskaźnkach stanu środowska. W publkacj The Well-beng of Natons zebrane omówone są dane dla 80 krajów. Wskaźnk dobrobytu ludzkego (HWI) Zdrowe populacja Gospodarstwo domowe bogactwo narodowe Wedza kultura Społeczeństwo Równość Rys.. Aspekty wskaźnka dobrobytu ludzkego Źródło: opracowane własne na podstawe [5] Wskaźnk dobrobytu ekosystemu (EWI) Zema Woda Powetrze Gatunk geny Wykorzystane zasobów Rys. 3. Wymary wskaźnka dobrobytu ekosystemu Źródło: opracowane własne na podstawe [5]

21 Jakość życa w krajach Un Europejskej Oczekwana długość życa w szczęścu (Happy Lfe Epectancy) Przykładem połączena obektywnych subektywnych danych w jeden wskaźnk jest oczekwana długość życa w szczęścu (Happy Lfe Epectancy). Jak długo szczęślwe żyją ludze w poszczególnych populacjach, może być określone przy wykorzystanu dwóch źródeł nformacj: przecętnej szczęślwośc szacowanej na podstawe sondaży populacj, oczekwanej długośc życa na podstawe rejestrów cywlnych. Szczęślwość jest merzona na podstawe odpowedz na pytane z sondażu. Na przykład respondent odpowada na pytane: Borąc wszystko pod uwagę, czy jesteś obecne szczęślwy ze swojego całego dotychczasowego życa? Odpowedź jest szacowana na dzesęcopunktowej skal, gdze oznacza że ne jestem szczęślwy, a 0 oznacza jestem szczęślwy. Porównywalne dane o przecętnej szczęślwośc są zebrane w World Database of Happness; w sekcj,,happness n Natons (por. [0]). Oczekwaną długość życa w szczęścu HLY (Happy Lfe Years) oblcza sę, mnożąc oczekwaną długość życa przez szczęślwość wyrażoną na skal od 0 do (por. [0]). 6. Wskaźnk jakośc życa opracowany przez tygodnk The Economst The Economst Intellgence Unt opracował nowy wskaźnk jakośc życa Worldwde Qualty of Lfe Inde oparty na unkatowej metodolog, która łączy rezultaty anketowana subektywnej satysfakcj życowej z obektywnym czynnkam jakośc życa w różnych krajach (por. [0]). Badane jakośc życa wskaźnkem Worldwde Qualty of Lfe Inde zostało przeprowadzone w 005 roku. Wskaźnk Worldwde Qualty of Lfe Inde został polczony dla krajów. Aspekty jakośc życa poddane ocene przedstawone są na rysunku nr 4.

22 Paulna Uceklak-Jeż, Marek Kulesza Worldwde Qualty of Lfe Inde sytuacja materalna stablność poltyczna klmat geografa życe rodznne zdrowe bezpeczeństwo zatrudnene wolność poltyczna równość płc życe wspólnotowe Rys. 4. Aspekty wskaźnka Worldwde Qualty of Lfe Inde Źródło: opracowane własne na podstawe [] Sytuację materalną określa wartość PKB per capta, lczona metodą parytetu sły nabywczej w USD. Dane dotyczące klmatu geograf pochodzą z CIA World Factbook, dla porównana podawana jest szerokość geografczna, występujący klmat (gorącym lub zmny) w badanym kraju. Natomast oczekwana długość życa jest wskaźnkem oceny zdrowa badanej populacj, a stopa bezroboca wyrażona w procentach jest przyjęta do pomaru Worldwde Qualty of Lfe Inde jako wskaźnk bezpeczeństwa zatrudnena. Dane dotyczące wolnośc poltycznej pochodzą z Freedom House, gdze przyjęto skalę od całkowce wolny do 7 bez wolnośc. Natomast równość płc określa proporcja przecętnych zarobków mężczyzn kobet, która była publkowana w raporce UNDP Human Development Report. Wskaźnk osób uczęszczających do koścoła lub wskaźnk członkostwa w zwązkach zawodowych jest przyjęty do pomaru Worldwde Qualty of Lfe Inde jako wskaźnk życa wspólnotowego. Dane dotyczące życe wspólnotowe pochodzą z MOP; World Values Survey. Natomast dane dotyczące życa rodznnego pochodzą z ONZ; Euromontor. Do pomaru Worldwde Qualty of Lfe Inde stablnośc życa rodznnego przyjęto wskaźnk rozwodów na 000 meszkańców, wyrażony w skal od najnższy wskaźnk rozwodów do 5 najwyższy wskaźnk rozwodów. Natomast dane dotyczące stablnośc poltycznej bezpeczeństwa są zebrane opracowane przez Economst Intellgence Unt.

23 Jakość życa w krajach Un Europejskej Satysfakcja z życa (Lfe satsfacton) Europejska Fundacja na rzecz Poprawy Warunków Życa Pracy (The European Foundaton for Improvement of Lvng and Workng Condtons), dzałająca w Un Europejskej, została zobowązana do uzyskana obszernych porównywalnych nformacj o tym, jak Europejczycy ocenają swoje warunk życa pracy. Fundacja przeprowadzła sondaż Frst European Qualty of Lfe Survey w 8 krajach (w 7 obecnych krajach członkowskch jednym kraju kandydackm Turcj). Celem reprezentacyjnego anketowego badana była analza wpływu różnych czynnków życowych na europejską jakość życa. W europejskm sondażu jakośc życa EQLS (European Qualty of Lfe Survey) subektywny dobrostan (well-beng) był merzony przy pomocy dwóch wskaźnków. Perwszym wskaźnkem jest satysfakcj z życa, która daje bardzej poznawczą (percepcyjną) ocenę jakośc życa. Drugm wskaźnkem ogólna szczęślwość, która pozwala na bardzej emocjonalną ocenę życa. Dwa pytana w europejskm sondażu jakośc życa badają satysfakcję z życa ogólną szczęślwość. Perwsze z pytań brzm: Borąc wszystko pod uwagę, jak bardzo jesteś obecne usatysfakcjonowany z życa?, a druge pytane: Borąc wszystko pod uwagę, jak bardzo jesteś szczęślwy?. Odpowedz na te dwa pytana merzone są na 0- -punktowej skal, na której znaczy bardzo ne usatysfakcjonowany bardzo neszczęślwy, natomast 0 znaczy bardzo usatysfakcjonowany bardzo szczęślwy (por. []). 8. Rankng państw należących do Un Europejskej, według zmennych Y X Dane, na których oparto rozważana, pochodzą z roku zostały zaczerpnęte z różnych źródeł. Ponżej podano dostępne wskaźnk służące do oceny jakość życa w 000 roku w krajach Un Europejskej: Y Produkt krajowy brutto per capta, 000 X Human Development Inde, X Human Wellbeng Inde, X Happy Lfe Years. 3

24 4 Paulna Uceklak-Jeż, Marek Kulesza Tabela. Rankng państw Un Europejskej w 000 roku według badanych zmennych Lp. Y 000 X X X 3. Luksemburg Szwecja Dana, Fnlanda Dana. Irlanda Belga Dana, Fnlanda Austra 3. Dana Holanda Belga, Austra Szwecja 4. Belga Fnlanda Belga, Austra Fnlanda 5. Austra Dana Szwecja Luksemburg 6. Holanda Francja, Welka Brytana Holanda Holanda 7. Nemcy Francja, Welka Brytana Nemcy, Luksemburg Irlanda 8. Fnlanda Austra Nemcy, Luksemburg Malta 9. Szwecja Luksemburg, Irlanda, Nemcy Irlanda Belga 0. Francja Luksemburg, Irlanda, Nemcy Francja Nemcy. Włochy Luksemburg, Irlanda, Nemcy Włochy Welka Brytana. Welka Brytana Włochy, Hszpana Welka Brytana, Hszpana Włochy 3. Cypr Włochy, Hszpana Welka Brytana, Hszpana Cypr 4. Hszpana Cypr Portugala Hszpana 5. Słowena Grecja Słowena Francja 6. Portugala Portugala Grecja, Malta, Czechy Słowena 7. Malta Słowena Grecja, Malta, Czechy Greece 8. Grecja Malta Grecja, Malta, Czechy Czechy 9. Czechy Czechy Cypr Portugala 0. Węgry Węgry Węgry, Polska Polska. Słowacja Słowacja Węgry, Polska Węgry. Estona Polska Estona, Łotwa Słowacja 3. Polska Estona Estona, Łotwa Estona 4. Ltwa Ltwa Ltwa, Słowacja Ltwa 5. Łotwa Łotwa Ltwa, Słowacja Łotwa 6. Rumuna Bułgara Bułgara Bułgara 7. Bułgara Rumuna Rumuna Rumuna Źródło: opracowane własne [5, 8, 9, 0] W tabel przedstawono rankng państw Un Europejskej w 000 r. według badanych zmennych. Wdzmy, że w 000 roku zgodność mejsc w ran-

25 Jakość życa w krajach Un Europejskej... 5 kngu pomędzy Y X występuje w 6 państwach Un, pomędzy Y X w jedenastu, a pomędzy Y X 3 w czterech. Wskaźnk korelacj, lczone współczynnkem korelacj rang Spearmana, mędzy tym trzema param zmennych są następujące: 0,9; 0,89; 0,88. Oznacza to, że o sle zwązku ne decyduje jednak zgodność mejsc w rankngu, bo najmocnej z Y 000 jest skorelowana zmenna X, a ne X, jak można było sę tego spodzewać. Zwraca uwagę fakt, że mejsca w rankngu od 3 do 7 zajmują (co prawda na różnych pozycjach, ale wyżej tylko Malta według badanych zmennych X 3 ) nowo przyjęte kraje Un Europejskej. Polska, według wartośc wskaźnka PKB per capta, znajdowała sę w 000 roku na 3 pozycj w rankngu 7 krajów Un Europejskej. W ocene jakośc życa wskaźnkem Human Development Inde Polska mała w 000 roku pozycję za Czecham, Węgram, Słowacją lecz przed Estoną, Ltwą, Łotwa, Bułgarą Rumuną. Natomast Polska znalazła sę na pozycj 0, w ocene jakośc życa wskaźnkem Human Wellbeng Inde. Ocena jakośc życa wskaźnkem Happy Lfe Years uplasowała Polskę na 0 pozycj (w rankngu 7 krajów Un). Przeprowadzony oddzelny rankng według zmennych Y X nowych państw Un Europejskej, czyl państw, które wstąpły do Un w 004 roku późnej, umożlwł określene korelacj rang Spearmana mędzy trzema param zmennych (dla państw): 0,99; 0,88; 0,85. Interesująca wydaje sę węc korelacja pomędzy Y 000 X 3 (dla państw), która jest nższa od korelacj pomędzy Y 000 X 3 (dla 7 państw). Ponżej zapsano dostępne wskaźnk służące do oceny jakość życa w 005 roku w krajach Un Europejskej: Y Produkt krajowy brutto per capta, 005 X Human Development Inde, 4 X Worldwde Qualty of lfe nde, 5 X Lfe Satsfacton. 6 Tabela. Rankng państw Un Europejskej w 005 roku według badanych zmennych Lp. Y 005 X 4 X 5 X 6. Luksemburg Irlanda Irlanda Dana. Irlanda Szwecja Luksemburg Fnlanda 3. Dana Holanda Szwecja Austra 4. Austra Francja, Fnlanda Włochy Szwecja

26 6 Paulna Uceklak-Jeż, Marek Kulesza Tabela. Rankng państw... (cd.) Lp. Y 005 X 4 X 5 X 6 5. Welka Brytana Francja, Fnlanda Dana Irlanda, Luksemburg 6. Holanda Hszpana, Dana Hszpana Irlanda, Luksemburg 7. Belga Hszpana, Dana Fnlanda Belga, Holanda, Hszpana 8. Francja Austra Holanda Belga, Holanda, Hszpana 9. Szwecja Welka Brytana, Belga, Holanda, Portugala Belga Hszpana 0. Fnlanda Welka Brytana, Welka Brytana, Austra Belga Malta. Nemcy Luksemburg Grecja Welka Brytana, Malta. Włochy Włochy Cypr Nemcy, Włochy, Cypr 3. Hszpana Nemcy Belga Nemcy, Włochy, Cypr 4. Grecja Grecja Francja Nemcy, Włochy, Cypr 5. Słowena Słowena Nemcy Słowena 6. Cypr Cypr Słowena Francja 7. Portugala Portugala Malta Grecja 8. Malta Czechy Welka. Brytana Czechy 9. Czechy Malta Czechy Polska, Rumuna 0. Węgry Węgry Węgry Polska, Rumuna. Słowacja Polska Słowacja Portugala. Estona Słowacja Polska Estona, Węgry 3. Ltwa Ltwa Bułgara Estona, Węgry 4. Polska Estona Rumuna Słowacja 5. Łotwa Łotwa Ltwa Łotwa 6. Bułgara Bułgara Łotwa Ltwa 7. Rumuna Rumuna Estona Bułgara Źródło: opracowane własne [, 8, ] W tabel przedstawono rankng państw Un Europejskej w 005 roku według badanych zmennych. Wdzmy, że w 005 roku zgodność mejsc w rankngu pomędzy Y 005 X 4 występuje w 0 państwach Un, pomędzy Y 005 X 5 w trzech, a pomędzy Y 005 X 6 w pęcu. Wskaźnk korelacj, lczone

27 Jakość życa w krajach Un Europejskej... 7 współczynnkem korelacj rang Spearmana, mędzy tym trzema param zmennych są następujące: 0,9; 0,8; 0,87. Zwraca uwagę fakt, że ostatne mejsca w rankngu od 5 do 7 zajmują pomędzy Y 005 X 4 pomędzy Y 005 X 5 (co prawda na różnych pozycjach, ale ngdy wyżej) nowo przyjęte kraje Un Europejskej. Natomast w rankngu pomędzy Y 005 X 6 np. Malta znajduje sę na 0 mejscu, a Portugala na mejscu. Polska według wartośc wskaźnka PKB per capta znajdowała sę w 005 roku na 4 pozycj w rankngu 7 krajów Un Europejskej. Wszystke kraje (porównując z Polską), które wstąpły do Un Europejskej w 004 roku, mają wyższą pozycję w rankngu ustalonym według wartośc PKB per capta. Natomast Polska znalazła sę na 9 pozycj, w rankngu 7 krajów Un Europejskej, w ocene jakośc życa wskaźnkem Lfe satsfacton. W ocene jakośc życa wskaźnkem Human Development Inde Polska mała w 005 roku pozycję za Czecham, Maltą Węgram, lecz przed Słowacją, Ltwą, Estoną, Łotwą, Bułgarą Rumuną. Ocena jakośc życa wskaźnkem Worldwde Qualty of Lfe Inde uplasowała Polskę na pozycj (w rankngu 7 krajów Un), nestety tylko przed Bułgarą, Rumuną, Ltwą, Łotwą Estoną. Przeprowadzony oddzelny rankng według zmennych Y X nowych państw Un Europejskej, czyl państw, które wstąpły do Un w 004 roku późnej, umożlwł określene korelacj rang Spearmana mędzy trzema param zmennych ( państw): 0,94; 0,8; 0,69. Należy zauważyć, że pomędzy Y 005 X 6 (dla państw), korelacja jest nższa od korelacj pomędzyy 005 X 6 (dla 7 państw). 9. Podsumowane W artykule omówono dostępne wskaźnk jakośc życa. Wyodrębnono równeż w tych wskaźnkach badane aspekty jakośc życa. Przedstawono rankng państw Un Europejskej w 000 roku 005 roku według badanych wskaźnków. Obserwując zmany w rankngach z perspektywy czasu, można zauważyć jedyne neznaczne zmany pozycj, tylko mędzy sąsadującym w zestawenu państwam. Poza tym ne wdać żadnych charakterystycznych zman w kształtowanu sę mejsc w rankngu, w szczególnośc w grupe nowych państw Un. Lteratura

28 8 Paulna Uceklak-Jeż, Marek Kulesza [] Boarn R., Johansson A., Mra M., Alternatve measures of well-beng. OECD Socal, employment and mgraton workng papers No. 33, 006. [] European Foundaton for the Improvement of Lvng and Workng Condton, Qualty of lfe n Europe, Dubln, 004. [3] Grasso M., Canova L., [n:] Socal Indcators Research, 008, 87: 5. [4] Land K., 999. Socal Indcators [n:] Edgar and Rhonda Montgomery (eds.) Encyplopeda of Socology, New York: Macmllan, pp [5] Prescott-Allen R., The Wellbeng of Natons A Country-by-Country Inde of Qualty of Lfe and the Envronment, Island Press, Washngton, Covelo, London 00. [6] Rapley M., Qualty of Lfe Research, SAGE Publcatons, London, Thousand Oaks, New Delh, 003. [7] Srgy M.J., Mchalos A.C., Ferrss A.L., Easterln R.A., Patrck D., Pavot W., [n:] Socal Indcators Research 006, 76: [8] Unted Natons Development Programme, Human Development Report 006. Oford Unversty Press, New York, Oford 006. [9] Veenhoven R. Socal Indcators Research, 005, 7, pp [0] [] Summary Qualty of Lfe n European Unon n the Lght of Socal and Economc Data The avalable ndees of the qualty of lfe are dscussed n the artcle. The researched aspects of the qualty of lfe have been dstngushed and stressed wthn the appled ndees. The 000 and 005 EU country members rankngs accordng to the ndees n queston have been shown. Due to the lack of data, other ndees have been appled n the rankng for the years n queston. However, followng the changes n the rankng, one may observe regulartes concernng changes of rankng postons only for pars of countres. Apart from that, no dstnctve changes n the development of the rankng postons of the ndvdual new EU country members can be observed.

29 ZESZYTY NAUKOWE Instytutu Zarządzana Marketngu Akadem m. Jana Długosza w Częstochowe Sera: Pragmata tes Okonomas 009, z. III Stansława Ostasewcz Ocena prawdopodobeństwa przeżyca dla danych nepełnych. Wprowadzene W przypadku szacowana parametrów Tablc Trwana Życa (TTŻ) próba losowa ustalana jest poberana w tym samym momence czasu (por. [3]). Próbę stanow grupa noworodków (generacja), która obserwowana jest od momentu urodzena aż do momentu zgonu ostatnej jednostk populacj, czyl około 00 lat. Lczebność populacj sukcesywne zmnejsza sę, co jest powodowane wymeranem populacj. W tym badanu śmerć jest jedynym powodem ubytku jednostk z populacj. Parametry tablc oblczane są na podstawe lczby zgonów lczby dożywających określonego weku. W pracy nnejszej rozpatrywane jest badane (por. [, 5]), w którym ustalony jest okres jego trwana, natomast badane jednostk mogą sę zgłaszać na badane w dowolnym momence jego trwana obserwowane są do czasu śmerc lub zakończena badana, w zależnośc co zdarzy sę wcześnej. Zdarzenem obserwowanym jest czas przeżyca. Powodem zmnejszana sę populacj w tym przypadku jest śmerć, ale równeż może to być wycofane sę jednostk z badana z nnych nż śmerć powodów. Taką jednostkę tracmy z pola wdzena, a nformację o jej przeżycu nazywa sę nformacją utraconą lub cenzurowaną. Można by oczywśce z takch obserwacj zrezygnować, ale byłaby to strata. Traktuje sę je węc jako nepełne wykorzystuje, poneważ nosą z sobą pewne nformacje. W badanach medycznych taka sytuacja zdarza sę bardzo często, na przykład jeśl badany jest czas przeżyca populacj, która poddana była skomplkowanej operacj. W tego rodzaju badanach ocenane jest prawdopodobeństwo przeżyca rocznych przedzałów lub funkcja przeżyca. Nech N oznacza lczbę jednostek, które dożyły do roczncy udzału w badanu, czyl do początku przedzału (, + ), nech p oznacza prawdo-

30 30 Stansława Ostasewcz podobeństwo, że jednostka, która dożyła do momentu, przeżyje rok, to znaczy do końca przedzału (, + ). Grupę osób dożywających momentu można podzelć na dwe rozłączne podgrupy o lczebnoścach odpowedno równych m n. Perwszą grupę tworzą osoby, które przystąpły do badana wcześnej nż + lat przed jego zakończenem, czyl są obserwowane przez cały okres czasu (, + ). Do drugej grupy należą badan, którzy przystąpl do badana mnej nż + lat przed zakończenem badana, ale dłużej nż lat. Dla tych osób data zakończena obserwacj poprzedza ch + roczncę przystąpena do badana. Spośród m osób grupy perwszej, s przeżyje do końca przedzału d umrze, ne dożywając + roczncy. W grupe drugej początkowa lczba badanych wynosła n. Spośród tych badanych, d ' umrze przed końcem przedzału w przeżyje do końca przedzału. Ogólna lczba zgonów ' D w przedzale (, + ) jest równa d + d. W grupe, która obserwowana jest przez cały przedzał, lczba zgonów wynos d w grupe, która wcześnej zrezygnowała z badana, wynos d '. Zarówno lczba zgonów, jak lczba dożywających są to zmenne losowe, które będą wykorzystane do estymacj prawdopodobeństwa przeżyca p prawdopodobeństwa zgonu q. Lczba osób dożywających do końca przedzału, spośród osób obserwowanych przez cały okres (, + ), oznaczona jest jako zmenna losowa S. Zmenna ta ma rozkład dwumanowy B ( m, p ). Prawdopodobeństwo, że s osób z tej grupy dożyje do końca przedzału, jest równe: m s m s m s d ( ) p ( p ) ( ) p ( p P ( S s ) ) s Oznaczmy przez p ( ) prawdopodobeństwo dożyca do momentu wycofana sę osoby z badana, który jest momentem losowym należącym do przedzału (, + ). Grupa osób, które zrezygnowały z badana, lczy n osób. Zmenną losową, oznaczającą lczbę osób dożywających do momentu wycofana sę z badana, oznaczymy W. Zmenna ta ma rozkład B ( n, p ( )). Prawdopodobeństwo, że w osób z tej grupy dożyje do momentu wycofana sę z badana, jest równe: P n ( ) ( W ' w d w ) w p ( ) ( ( )) p ; ' gdze d n w. Grupy jednostek wycofujących sę z badana pozostających pod obserwacją przez cały okres badana są nezależne, tak węc rozkład prawdopodobeństwa s.

31 Ocena prawdopodobeństwa przeżyca dla danych nepełnych 3 lczby dożywających jest dwuwymarowym rozkładem dwumanowym o nezależnych składowych. Funkcja warogodnośc dla estymacj parametru p ma postać: m s d n ( ) p ( p ( ) L (, p ) ) s w ' w d p ) ( p ( )) () ( Jeżel do oblczena p ( ) przyjmemy konkretną procedurę oblczenową, to otrzymamy funkcję warogodnośc dla estymacj parametru p. Głównym problemem jest wyrażene prawdopodobeństwa dożyca do momentu wycofana sę z badana p ( ) przez prawdopodobeństwo p przeżyca roku.. Metoda aktuaralna W metodze tej (por. [,, 5]) ne wyróżna sę dwóch grup badanych: tych obserwowanych przez cały okres badana tych którzy są obserwowan przez część okresu. Estymator prawdopodobeństwa przeżyca okresu (, + ) ma następującą postać: pˆ N gdze D oznacza ogólną lczbę zgonów w przedzale (, + ), N lczbę dożywających początku przedzału W lczbę dożywających do końca przedzału jednostek, które wycofały sę z badana. Z postac estymatora wynka, że jednostk, które wycofują sę z badana, obserwuje sę tylko przez połowę okresu. Jeżel pˆ potraktujemy jako prawdopodobeństwo sukcesu w N W próbach, to warancja estymatora pˆ określona jest wzorem: V ( pˆ ) N D w W pˆ qˆ 3. Estymator A Przyjmuje sę założene (por. [, ]), że moment śmerc jednostek borących udzał w badanu jest losowy ponadto moment wycofana sę z badana też jest losowy z przedzału (, + ).

32 3 Stansława Ostasewcz Jeżel przyjmemy, że ntensywność zgonów wśród osób wycofujących sę z badana jest taka sama jak osób borących udzał w badanu cały czas ponadto, jest ona stała w całym przedzale, to prawdopodobeństwo p ( ) można wyrazć następująco: p + t ( ) ep( ( ) ) µ τ dτ gdze µ (τ ) jest to ntensywność zgonów osób wycofujących sę z badana. Jeżel µ ( τ ) gdze µ jest ntensywnoścą zgonów osób borących udzał w badanu cały czas ponadto ntensywność zgonów jest stała w całym przedzale, to µ dt stąd t µ ( τ ) dτ µ dτ µ ( t ) t + µ p ( ) ep( ( t ) µ dt ( e ) ( p µ log p Korzystając z powyższej zależnośc mędzy p ( ) p oraz z postac funkcj warogodnośc (por. wzór ), otrzymujemy: ) LA(, p ) s p p ( ) d + w n (log p [( p ) + log p ] d ' Logarytmując powyższą funkcję, a następne różnczkując ją względem przyrównując pochodną do zera, otrzymujemy następujące równane: s p d + w p p n log p ' d ( p ) + [( p ) + log p Rozwązane tego równana jest estymatorem najwększej warogodnośc parametru p. Analtyczne rozwązane tego równana jest bardzo trudne, ale można w sposób prosty znaleźć rozwązane numeryczne. ] p 0 p

33 Ocena prawdopodobeństwa przeżyca dla danych nepełnych Estymator B Kedy osoba wycofuje sę z badana w sposób losowy, wówczas średn czas jej przebywana w przedzale (, + ) wynos połowę długośc tego przedzału (por. []), czyl przedzał (, + ). Prawdopodobeństwo dożyca do momentu wycofana, które oznacza sę p ( ), jest następujące: p ) ep( µ ) ep( µ ) ( Przyjmując p jako prawdopodobeństwo dożyca do wycofana sę z badana p jako prawdopodobeństwo zgonu przed wycofanem sę z badana, rozkład zmennej losowej P W jest następujący: n ( ) w ' d ( W w ) w p ( ) p. Jak wdać, lczba dożywających do połowy przedzału ma rozkład dwumanowy B ( p, n ). Oczekwana lczba dożywających oczekwana lczba zgonów są odpowedno równe: ' E E( D ) n ( p / ) / ( W ) n p Funkcja warogodnośc ma postać: L (, p ) p B ( p ) ( p p ' + ( / ) w d / d s Estymatorem pˆ prawdopodobeństwa przeżyca przedzału (, + ) jest rozwązane następującego równana kwadratowego: ' ( N n ) pˆ + d pˆ / ( s + w ) 0 ( Rozwązane to jest następujące (por. []): ' ' d 4 4( + d + N n )(s + w ) p ˆ. ( N n ) Jest to ocena prawdopodobeństwo zgonu w przedzale (, + ). Asymptotyczna warancja estymatora pˆ dana jest w postac wzoru: )

34 34 Stansława Ostasewcz p q V ˆ ( p ) gdze M M / m + n ( + p ) ˆ 5. Estymator Elvebecka Jeżel rozkład prawdopodobeństwa zgonów jest jednostajny w rozpatrywanym przedzale, oznacza to, że lczba dożywających w każdym punkce przedzału jest funkcją lnową pomędzy punktam +. W przypadku krótkch przedzałów nterpolacja lnowa jest dość dokładna (por. [5, s. 97]). Prawdopodobeństwo przeżyca do środka przedzału jest następujące: p ) q ( + p ( Podstawając do funkcj warogodnośc określonej wzorem () powyższe wyrażene, otrzymuje sę funkcję warogodnośc: s D w L (, p ) p ( p ) ( + p ). E ) Na podstawe funkcj tej wyznaczany jest estymator przeżyca w przedzale (, + ) : pˆ E prawdopodobeństwa pˆ w D ( w D ) 4N + E +. N Asymptotyczna warancja tego estymatora jest równa: V ( pˆ E E E pˆ ˆ ( ( p ) ) ). E ( N + n )[ + pˆ n /( N + n )] s 6. Estymator Droletta W metodze tej (por. []) ne rozpatruje sę obserwacj cenzurowanych. Obserwacje dotyczące przeżyca śmerc rozpatruje sę w momence końcowym przedzału (, + ). Stąd też n 0 m N. Funkcja warogodnośc w tym przypadku ma postać: L (, p ) p ( p ) D s d D pˆ jego warancja wyrażają sę na- Estymator prawdopodobeństwa przeżyca stępująco:

35 Ocena prawdopodobeństwa przeżyca dla danych nepełnych 35 s D p ˆ, m D D D pˆ qˆ V ( pˆ ). m 7. Estymator Kaplana Meera Estymator ten (por. [, 4, 5]) umożlwa dokładnejsze oszacowane funkcj przeżyca nż estymatory poprzedno omówone. Przy jego konstrukcj wykorzystuje sę uporządkowane czasy trwana poszczególnych jednostek borących udzał w badanu. Przez czas trwana jednostk rozume sę długość okresu, który mnął od momentu przystąpena do badana do momentu śmerc lub do momentu wycofana sę z badana. W tym drugm przypadku czas przeżyca nazywa sę czasem cenzurowanym. Załóżmy, że w badanu wzęło udzał l 0 osób że ch obserwowane czasy trwana równe są t, t, t3,... tl (nektóre z tych czasów są cenzurowane). Czasy trwana mogą sę powtarzać, wówczas uporządko- 0 wany cąg czasów przeżyca jest krótszy przyjmjmy, że lczy on w elementów. Uporządkowany cąg czasów przeżyca jest wówczas następujący: t 0... < w < t() < t() < t( ) gdze (k ) t oznacza k-ty co do welkośc ukończony czas przeżyca. Uporządkowane czasy przeżyca wyznaczają grance przedzałów, przy czym zakłada sę, że zgon następuje na początku przedzału czasu trwana (oznacza to przedzały są lewostronne otwarte). Oznacza to, że w perwszym przedzale < t 0, t ( )) ne ma zgonów. Perwszy zgon ma mejsce w momence t (). Nech l oznacza lczbę jednostek, dla których czas przeżyca jest wększy nż t lub równy t. Lczbę tych jednostek, dla których zgon nastąpł w momence () () () t oznacza sę d. Tak węc estymatorem zgonu w przedzale czasu t ε, t ) () ( d, a estymatorem, że osoba ne umrze w tym przedzale, może być statystyka l l d statystyka. W przedzale ( t, t + ε ) ne ma zgonów, a węc prawdopodobeństwo przeżyca jest równe l.

36 36 Stansława Ostasewcz Prawdopodobeństwo przeżyca obu przedzałów łączne, czyl ( t ( ) ε, t( ) + ε ), jest to loczyn prawdopodobeństw przeżyca przedzałów l d ( t ε, t > ( t, t + ε ), czyl wynos. l Jeśl ε 0, to l d l jest estymatorem prawdopodobeństwa przeżyca w przedzale ( t ( ), t( + ) >. Estymatorem funkcj przeżyca w całym badanym okrese jest loczynem wartośc funkcj przeżyca w poszczególnych przedzałach ( t ( ), t( + ) > określony jest następująco: KM l k dk Sˆ. k lk Gdze l k oznacza łączną lczbę osób dla których czas przeżyca przekracza t (k ) lub jest równy t (k ), d k jest lczbą zmarłych w momence t (k ). Warancja estymatora Kaplana Meera określona jest wzorem: V ( Sˆ KM KM ( Sˆ ) ) l k k d k ( l d Sposób konstrukcj estymatora Kaplana Meera przedstawony zostane na przykładze czasów zanku choroby (wyrażonych w tygodnach) u 8 jednostek chorych na chorobę nowotworową (por. []). Uporządkowane czasy trwana są następujące: 0,3,8, 9, 3, 30, 36, 38, 54, 56 k k ), 59, 75, 93, 97,04,07,07,07. Lczby z gwazdkam oznaczają obserwacje cenzurowane. Zaobserwowane czasy trwana podzelmy na przedzały tak, że zaobserwowane wartośc ukończonego czasu trwana wyznaczają grance tych przedzałów zgony występują na początku przedzału. Przedzały te są następujące: < 0,0), < 0,9), < 9,30), < 30,36), < 36,59), < 59,75), < 75,93), < 93,97), < 97,07).

37 Ocena prawdopodobeństwa przeżyca dla danych nepełnych 37 Wartość estymatora funkcj przeżyca w perwszym przedzale < t 0, t ( )) jest następująca: ˆ l d 8 0 S KM. l 8 Oznacza to, że prawdopodobeństwo przeżyca w tym przedzale jest równe. Warancja estymatora jest natomast równa: V ( Sˆ d 0 ) l ( l ) 8(8 0) KM Prawdopodobeństwo przeżyca przedzału < 0,9) oblcza sę podobne. Jest to lczba oblczona następująco: l d l Prawdopodobeństwo przeżyca obu przedzałów (jeżel jednostk przeżywają poszczególne przedzały nezależne), czyl wartość funkcj przeżyca poza moment czasu 0, jest loczynem prawdopodobeństw przeżyca obu tych przedzałów. Czyl: Warancja estymatora ˆ l d l d 8 8 S KM l l KM Sˆ jest następująca: ˆ 7 d d 7 V ( S KM ) + (0 + 0,89 0,0037 0,009 8 l( l d) l ( l d ) 8 8(8 ) Funkcja przeżyca jest funkcją schodkową przyjmującą take same wartośc w całym przedzale. Wartość ta jest równa wartośc funkcj w momence w którym nastąpł zgon. Obecne polczone zostaną wartośc estymatorów w punktach 9, 30, 36, 59, 75, 93, Wartośc estymatorów oznaczone będą S ˆ 3, Sˆ ˆ ˆ 4, Sˆ ˆ 5, S6, S7, S8 S ˆ S ˆ l d l d l d l d l l l3 l d l d l d 0 0, l l l3 l4 0,837

38 38 Stansława Ostasewcz 0, ˆ ˆ S l d l l d l l d l l d l l d l l d l S 0, ˆ ˆ 6 7 S S 0, ˆ ˆ 7 8 S S 0, ˆ ˆ 8 9 S S 0, ˆ ˆ 9 0 S S Teraz polczone zostaną warancje estymatorów 3 Ŝ. ˆ 4 S + + ) ( ) ( ) ( 0,885 ) ˆ ( d l l d d l l d d l l d S V 0,0064 ) 5(5 ) 8(8 0 0, ) ( ) ( ) ( ) ( 0,837 ) ˆ ( d l l d d l l d d l l d d l l d S V 0, ) 3(3 ) 5(5 ) 8(8 0 0, Warancje pozostałych estymatorów podane zostaną bez oblczeń. 0,0943 ) ˆ ( 0,005 ) ˆ ( 0,008 ) ˆ ( 0,099 ) ˆ ( 0,07 ) ˆ ( 0,0 ) ˆ ( S V S V S V S V S V S V

39 Ocena prawdopodobeństwa przeżyca dla danych nepełnych Estymator C Nech t j oznacza moment zgonu (por. []) w przedzale (, + ) j-tej osoby j,, 3,..., D. Poneważ zgon może meć mejsce w dowolnym punkce przedzału, moment zgonu jest zmenną losową cągłą o funkcj gęstośc określonej wzorem: f µ t jµ µ t j t j ( t j, ) e e p µ ln p gdyż µ e p µ ln p, 0 t. j Moment wycofana sę z badana z przedzału (, + ) -tej jednostk (który oznaczamy τ ) spośród w jednostek jest równeż zmenną losową cągłą przyjmującą wartośc z przedzału mędzy zero jeden. Funkcja gęstośc tej zmennej losowej jest następująca: τ g( τ, ) e e 0 τ µ µ τ p τ,,..., w Zakłada sę, że ntensywność zgonów jest taka sama jak ntensywność wycofywana sę z badana obserwowanych jednostek. Prawdopodobeństwo tego, że każda jednostka z grupy s przeżyje przedzał (, + ), jest równe p. Funkcja warogodnośc dla wejścowej grupy N jednostek jest następująca: gdze w D j s τ t j T L (, p ) p p ( p log p ) p (log p ) C D T s + w D τ + t. Estymator prawdopodobeństwa przeżyca p otrzymany na podstawe powyższej funkcj warogodnośc jest następujący: j j gdze pˆ e D T e µˆ

40 40 Stansława Ostasewcz D µˆ. T µˆ jest to estymator ntensywnośc zgonów. Warancja estymatora prawdopodobeństwa przeżyca w przedzale (, + ) jest równa: D Var ( pˆ ) ˆ p ( ). T Inne własnośc podane są w publkacj []. Lteratura [] Balck A., Analza przeżyca tablce wymeralnośc, Polske Wydawnctwo Ekonomczne, Warszawa 006. [] Chang C.L., The lfe table and ts aplcatons, Robert E. Kreger Publshng Company Malabar, Florda 984. [3] Holzer J., Demografa, PWE, Warszawa 999. [4] Klenbaum D.G., Survval analyss, Sprnger-Verlag, New York 996. [5] Metody oceny porządkowana ryzyka w ubezpeczenach życowych, red. S. Ostasewcz, Wydawnctwo Akadem Ekonomcznek, Wrocław 000. Summary Estmaton of the Probablty of Survval for Incomplete Data The am of ths paper s to analyse the basc methods of estmaton of probablty of survval n the case of follow-up study, when some ndvduals left the cohort before the end of study.