VIII. NIELINIOWE ZAGADNIENIA MECHANIKI

Transkrypt

1 Konerla P. Metoa Eleentów Skończonych, teora zastosowana 57 VIII. NIELINIOWE ZAGADNIENIA MECHANIKI. Rozaje nelnowośc a) Nelnowość fzyczna: nelnowe zwązk konstytutywne, plastyczność, lepkoplastyczność, oele znszczena aterału, nelnowe zaganena polowe: przewonctwo cepła, przepływy ceczy, zaganena elektro-echanczne tp. b) Nelnowość geoetryczna nelnowe zwązk geoetryczne, zaganene statecznośc. Powyższe zaganena ożna analzować jako zaganena statyczne lub ynaczne. W zaganenach nelnowych rozwązane oże być nejenoznaczne. Rys. 8.. Nejenoznaczność rozwązań nelnowych 2. Struktura nelnowośc. Macerz styczna Jak objawa sę nelnowość w równanach MES? Z zasay prac przygotowanych (ważne la zaganeń lnowych nelnowych) ay Ω B σ Ω b = 0 Kq = b (8.) la zaganeń lnowych: B ne zależy o q (ε = Bq), σ = D ε, D ne zależy o q, la nelnowośc fzycznej: B ne zależy o q (ε = Bq), σ = D(q) ε, zwązek zwykle w wersj przyrostowej, gze D(ε) = D(Bq) = D(q) zależy o q, la nelnowośc geoetrycznej:

2 Kurs na Stuach Doktoranckch Poltechnk Wrocławskej (wersja: luty 2007) 58 ε = B (q) q, B zależy o q, σ = D ε, D ne zależy o q. Ogólne równane nelnowe MES K(q) q = b. (8.2) Macerz styczna jest acerzą współczynnków płaszczyzny stycznej o powerzchn (śceżk) rozwązana w punkce q. Macerz styczna la nelnowośc fzycznej Wektor błęu resuu: ψ( q) = B σ( q) Ω b (8.3) Ω σ = D ( ε)ε D ( q) B q, (8.4) = ε = Bq, ε = B q, (8.5) ψ( q) = B σ Ω = B Ω Ω D Rys. 8.2 ( q) B Ω q = K ( q) q (8.6) K - acerz styczna Rys.8.3. Śceżka równowag, acerz styczna o śceżk

3 Konerla P. Metoa Eleentów Skończonych, teora zastosowana Obcążene konstrukcj Wyróżnay obcążena stałe zenne. W trakce procesu obcążena konstrukcj zakłaay, że obcążena zenne narastają proporcjonalne o nożnka λ: Stą prawa strona równań MES: b b = R + λ Q (8.7) gze Q jest ustalony jenostkowy obcążene. 4. Metoy rozwązywana nelnowych równań Pozał eto: przyrostowe przyrostowo-teracyjne teracyjne neprzyrostowe asyptotyczne bazujące na etoze perturbacj etoy specjalne stosowane o określonych klas probleów etoy przyblżone (a) Metoy przyrostowe Metoy najbarzej popularne. W kolejnych krokach poruszay sę po śceżce równowag. Na każy kroku wykonujey szereg teracj, tak aby na końcu kroku uzyskać rozwązane poprawne (z okłanoścą o zaanego błęu). Metoy te zelą sę w zależnośc o sposobu zaawana kroku (sterowana): sterowane obcążene sterowane przeeszczene sterowane paraetre styczny o śceżk równowag (b) Metoy teracyjne neprzyrostowe Rozwązana poszukujey la pełnego obcążena, wykonując szereg teracj. Metoa ta jest skuteczna jeyne la ogranczonej klasy zaganeń. Ne ożna jej stosować, jeżel rozwązane zależy o hstor obcążena, np. w zaganenach plastycznośc. (c) Metoy asyptotyczne Są to etoy perturbacyjne ałego paraetru. Stosuje sę je zwykle w etoach analtycznych. W etoach nuerycznych aja zastosowane jeyne w baanach stanów blskch równowaze. () Metoy specjalne Do oelu MES oaje sę oatkowe eleenty: sprężyny, eleenty wskotyczne. Syulują one w trakce procesu teracj efekty nelnowe. (e) Metoy przyblżone Jeną z takch eto jest etoa bazy zreukowanej rozwązana poszukuje sę w przestrzen zreukowanej lczby stopn swoboy. Przyjuje sę nowe globalne stopne swoboy o lczbe n < N.

4 Kurs na Stuach Doktoranckch Poltechnk Wrocławskej (wersja: luty 2007) Metoy przyrostowo-teracyjne przy sterowanu obcążene Pozał eto: c) Metoa Newtona Raphsona (NR) ) Metoy quas newtonowske (QN) e) Metoy kerunków sprzężonych (KS) f) Metoy seczno newtonowske (SN) Są to etoy: preykator korektor 6. Metoa Newtona Raphsona Dla typowych zaań jest etoą najszybcej zbeżną przy spełnenu warunków : właścwe obrany punkt początkowy (startu) acerz styczna ne jest osoblwa w obszarze teracj Rys Przyrosty obcążena la etoy Newtona Przyrosty obcążeń reprezentuje paraetr λ. W punkce -ty spełnone jest równane MES K ( q ) q b = 0. (8.8) Szukay punktu + aby + + ) + K ( q q b = 0. (8.9) Dane na starce:, b Δ λ przyrost obcążena: Δ λ Q nowy wektor prawej strony: + b = b+ Δ λ Q (8.0) W procese teracyjny 2 q = q, q = q +, q 3 = q 2 + 2,, q + = q +, (8.)

5 Konerla P. Metoa Eleentów Skończonych, teora zastosowana 6 opók + < ε q+ (8.2) Metoa teracyjna sprowaza sę o rozwązywana równań postac: gze K = α Δλ Q + Ψ (8.3) la preyktora ( = ) α =, 0 la korektora ( > ) Ψ wektor sł nezrównoważena; la = na początku kroku przyrostowego obcążena sły te są równe zeru (startujey ze stanu zrównoważonego). Algoryt postępowana: W punkce ty ane: q, Ψ (8.4) Wyznaczay acerz styczną K ( q ) (8.5) Oblczay K = α Δλ Q + Ψ = K ( α Δλ Q + Ψ ) (8.6) Oblczay q + = q + (8.7) + + = K( q+ ) q+ b Ψ (8.8) Uwaga: Macerz Rys Scheat teracyjny etoy Newtona K trzeba wyznaczać w każy punkce teracj. 7. Moyfkacja etoy Newtona Raphsona A) Przyjuje sę K K

6 Kurs na Stuach Doktoranckch Poltechnk Wrocławskej (wersja: luty 2007) 62 Rys Scheat teracyjny etoy Newtona-Raphsona Uwaga: ylko raz la każego kroku obcążena wyznacza sę acerz styczną oraz raz wyznacza sę K. B) Przyjujey K K q) ( 0 Uwaga: ylko raz w cały procese wyznacza sę acerz styczną. Rys Metoy quas newtonowske Algoryt: start jak la etoy NR, la kolejnych punktów teracyjnych wyznacza sę acerz lokalne seczną na postawe znajoośc K lub s K, q, K s

7 Konerla P. Metoa Eleentów Skończonych, teora zastosowana 63 stą = K s ψ Rys Scheat teracyjny etoy quas newtonowskej Jest wele eto wyznaczana K s. Najprostsza polega na wykorzystanu wzorów geoetrycznych jak la zwykłej secznej (płaszczyzny secznej). Ne zawsze jest to skuteczne. 9. Metoy przyrostowo teracyjne przy sterowanu paraetre śceżk Sterowane paraetre obcążena zawoz jeżel występuje punkt granczny acerz styczna K staje sę osoblwa. Ogólnejszy sposobe jest sterowane paraetre śceżk. Jest to uogólnene przypaków sterowana paraetre obcążena lub przeeszczena. Rozszerzony ukła równań K α Δλ Q Ψ ϕ(, Δλ; Δτ) = 0 = 0 (8.8) Przyrostowe równane MES zostało rozszerzone (uzupełnone) o jeno równane ϕ (...) = 0. Jenocześne Δλ przyrost paraetru obcążena na -ty kroku teracyjny, traktuje sę jako nową newaoą, stą ukła równań a postać K f (, Δλ ) α Q Ψ K f = Δλ 0 2 (, ) Δλ = R. (8.9) Funkcja ϕ( ; Δτ) jest funkcją węzów: la preyktora określa perwsze wcęce zwykle jest to ocnek styczny o śceżk równowag o ługośc określonej paraetre Δτ,

8 Kurs na Stuach Doktoranckch Poltechnk Wrocławskej (wersja: luty 2007) 64 la korektora określa sposób ojśca o śceżk równowag. Natoast Δτ jest paraetre śceżk. W przestrzen q x λ funkcja ϕ wyznacza sposób sterowana procese teracyjny rozwązana nelnowego zaganena. Uwaga: acerz K jest neosoblwa w punktach grancznych, acerz K jest osoblwa w punktach bfurkacj. Rys Scheat sterowana paraetre śceżk Funkcja węzów A) Metoa Rksa Wepnera Równane węzów zapsuje sę w postac: t = α Δ τ, (8.20) gze t jest wektore styczny o śceżk równowag, jest rozszerzony wektore rozwązana w -ty kroku teracyjny, Δ τ jest ustalony paraetre śceżk. Z powyższego równana wynka, że la preyktora przyrost przeeszczena śceżk a ługość równą Δ τ = Δ τ = Δ τ ( Δ q) jest styczny o 2 2 t Δ q + Δλ = Δ τ. (8.2) jest prostopały o wektora stycz- Dla korektorów (α =0 la >) przyrost przeeszczena nego t = 0 oraz la 2,3,... (8.22) =

9 Konerla P. Metoa Eleentów Skończonych, teora zastosowana 65 Długość wektora jest sterowana paraetre Δ τ. Rys Scheat teracyjny etoy Rksa Wepnera B) Zoyfkowana etoa Rksa Wepnera Rys. 8. Dwa perwsze krok jak w etoze orygnalnej. W krokach następnych kolejny przyrost korektora prostopały o secznej Δ q t = 0 gze t = la = 3,4,... (8.23) Δ q C) Metoa Crsfela Preyktor jak la etoy Rksa-Wepnera. Natoast korektory ukłaają sę na powerzchn kulstej o proenu Δ τ

10 Kurs na Stuach Doktoranckch Poltechnk Wrocławskej (wersja: luty 2007) Δ q = Δ τ ( Δ q ) Δ q + Δλ = Δ τ (8.24) Rys Scheat teracyjny etoy Crsfela D) Metoa Batoza Dhatta Przyrosty przeeszczena w -ty kroku przyrostu obcążena na -ty kroku teracyjny ożna przestawć w postac suy: Δ q = Δλ +, (8.25) j= 2 j gze jest rozwązane równana K = Q. Żąay, aby pojeynczy arbtralne wybrany paraetr ne zenł sę węcej nż przyjęta stała Δ τ, co zapsujey gze βδλ + β = Δ τ, (8.26) β - wybrany przyrost przeeszczena węzła β w tej teracj. Wyznaczay przyrost paraetru obcążena w poszczególnych krokach teracyjnych: la la =, >, β = 0 Δ τ = 0 Δλ Δλ Δ τ =, β = β β (8.27)