Mechanika Analityczna

Transkrypt

1 Mechanika Analityczna Wykład 2 - Zasada prac przygotowanych i ogólne równanie dynamiki Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej 29 lutego 2016

2 Plan wykładu 1 Przemieszczenie przygotowane (wirtualne) 2

3 Więzy w ogólnej postaci Φ α wymuszaja istotne ograniczenia, które nakłada się na prędkości i przyspieszenia poszczególnych punktów materialnych: d 2 Φ α dt 2 = n dφ α dt = Φ α r k a k + n n Φ α v k + Φ α r k t ( d n v k dt = 0, (1) ) Φ α + d r k dt ( ) Φα. (2) t Zatem prędkość i przyspieszenie dowolnego punktu powinny spełniać równania (1) i (2)!

4 Przemieszczenie możliwe dr k a przygotowane (wirtualne) δr k Rozważmy nieswobodny punkt K, który znajduje się na powierzchni Π stycznej do powierzchni spełniajacej ogólne równanie więzów Φ α. Niech wektor-promień wodzacy r k (t) opisuje jego położenie w kartezjańskim układzie współrzędnych. Rozważa się dwie wielkości: przemieszczenie możliwe - drk, przemieszczenie wirtualne (przygotowane) - δ r.

5 Przemieszczenie możliwe dr k może być zrealizowane w kierunku możliwej prędkości - zgodnie z więzami nałożonymi na układ tj. d r k = v k dt. Przemieszczenie to może zależeć od sił przyłożonych do punktu, rodzaju i typów więzów oraz warunków (położenia i prędkości) w danej chwili. Przemieszczenie przygotowane δr k jest jednym z możliwych przemieszczeń (infinitezymalnych) zrealizowanych w kierunku nieskończenie małego przyrostu wektora r k zgodnie z nałożonymi więzami w danej (ustalonej) chwili czasu - t. WAŻNE Tylko dla więzów holonomicznych, stacjonarnych przemieszczenia dr k i δrk sa tożsame. Można wykazać, że δ r k = λ v k, λ = const.

6 Warunek, który powinny spełniać przemieszczenia wirtualne n k Φ α δ r k = 0 (3) (α = 1, 2, 3,..., ν) Powyższe równanie (2) definiuje precyzyjnie przemieszczenie przygotowane. Symbol δ reprezentuje tu wariację synchroniczna tj. wariację bez wariacji czasu. Wariacja taka (od wielkości f(t,q)) - jako operator liniowy - jest przemienny z operatorem różniczkowania i całkowania: d df (δf) = δ dt dt = δ f (4) t1 t1 δ f(t, q)dt = δf(t, q)dt (5) t 0 t 0

7 Przykłady Przykład 1 - więzy toczacego się bez poślizgu koła o stałym promieniu R Wyznaczyć i określić typ rówania (równań) więzów toczacej się bez poślizgu kołowej tarczy o stałym promieniu R. Przykład 2 - więzy wahadła eliptycznego Wyznaczyć przemieszczenia przygotowane dla wahadła eliptycznego o zmiennej długości L = 4t wyrażonej w [m].

8 Rozważmy układ n-punktów materialnych, na który działaja siły F 1, F 2, F 3,..., F n. Zastapmy również oddziaływanie więzi siłami reakcji R1, R 2, R 3,..., R n. Zgodnie z II zasada dynamiki Newtona możemy zapisać równanie ruchu k-tego punktu materialnego: m k a k = F k + R k (6) Załóżmy dodatkowo, że na na punkt materialny działa siła bezwładności Bk = m k a k. Wówczas na mocy zasady d Alemberta możemy zapisać równanie kinetostatyki: W k = F k + R k + B k = 0 (7)

9 Zasada prac przygotowanych Jeżeli układ n punktów materialnych jest skrępowany więzami holonomicznymi, skleronomicznymi, dwustronnymi, to warunkiem koniecznym i dostatecznym równowagi układu jest, aby praca sił zewnętrznych W k na przesunięciach przygotowanych δ r k była równa zeru. RÓWNANIE OGÓLNE DYNAMIKI n ( δl = Fk + R k + B ) k δ r k = 0 (8) Dla więzów idealnych n Rk δ r k = 0, gdyż R k δ r k. RÓWNANIE OGÓLNE DYNAMIKI DLA CIAŁA SZTYWNEGO δl = F O δ r 0 + M O δ ϕ 0 = 0 (9)

10 Przykład 3 - belka przegubowa statycznie wyznaczalna Wyznaczyć reakcje podporowe dla belki. Przykład 4 - prasa śrubowa Wyznaczanie nacisku na przedmiot w prasie śrubowej. Przykład 5 - prasa śrubowa Układ dynamiczny - wielokrażek.