Metody obliczeniowe. wykład nr 2. metody rozwiązywania równań nieliniowych zadanie optymalizacji. Nr: 1

Transkrypt

1 Nr: Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metody oblczenowe wykład nr metody rozwązywana równań nelnowych zadane optymalzacj

2 Nr: Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Postać równana nelnowego Równane nelnowe jednej zmennej o ogólnej postac: rozwązane analtyczne : znalezene takej wartośc dla której

3 Nr: 3 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Postać równana nelnowego Równane nelnowe jednej zmennej o ogólnej postac: rozwązane analtyczne : znalezene takej wartośc dla której rozwązane przyblŝone : skomplkowana postać unkcj unemoŝlwa znalezene rozwązana analtycznego dokładnego etapy: lokalzacja perwastków odosobnonych określene tzw. przedzałów zolacj w których znajdują sę pojedyncze perwastk znajdywane z zadaną dokładnoścą perwastków metodam przyblŝonym teracyjnym przedzał zolacj - -.5

4 Nr: 4 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Równane nelnowe Metody przyblŝone rozwązań metody teracyjne: startują z przyblŝena początkowego polegają na konstrukcj neskończonego cągu rozwązań przyblŝonych, zbeŝnych do szukanego rozwązana,... przerywane w momence osągnęca Ŝądanej dokładnośc < ε

5 Nr: 5 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Równane nelnowe Dana jest unkcja, oraz przedzał [a,b] ,5 - -,5 - -,5-3 -3,5-4 -4,5 unkcja / - ne cągłość unkcj w

6 Nr: 6 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Równane nelnowe Dana jest unkcja, oraz przedzał [a,b] ,5 - -,5 - -,5-3 -3,5-4 -4,5 unkcja / - ne cągłość unkcj w Funkcja jest cągła na przedzale [a,b] spełna warunek a b< posada w przedzale [a,b] tylko jeden perwastek równana

7 Nr: 7 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Równane nelnowe metody rozwązań Metoda bsekcj perwsza teracja b a a a b b

8 Nr: 8 Metoda bsekcj Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr ty krok teracj b a a b b a b a b

9 Nr: 9 w -tym kroku metody: znajdujemy środek przedzału a b Metoda bsekcj jeśl < ε znaleźlśmy perwastek w przecwnym raze gdy ε wyznaczamy nowy przedzał do podzału ; Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr a b/ whle abs > eps end a* < else end b a a b/ [ a, b ] [ a, ] gdy a [, b ] gdy a powtarzamy procedurę podzału < >

10 Nr: Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metoda bsekcj Własnośc metody prosta dea metody metoda jest zawsze zbeŝna kontynuując podzały odpowedno długo otrzymamy ZAWSZE wynk z Ŝądaną dokładnoścą szybkość metody ne zaleŝy od postac unkcj

11 Nr: Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metoda bsekcj Własnośc metody prosta dea metody metoda jest zawsze zbeŝna kontynuując podzały odpowedno długo otrzymamy ZAWSZE wynk z Ŝądaną dokładnoścą szybkość metody ne zaleŝy od postac unkcj wady metoda wolno zbeŝna jedną cyrę dzesętną zyskuje sę średno w 3,3 krokach stosowana często do przyblŝeń początkowych

12 Nr: przez punkty a,a b,b prowadzmy cęcwę o równanu: przyblŝenem perwastka jest punkt przecęca tej cęcwy z osą OX 3 jeśl lub < ε to jest szukanym perwastkem 4 jeśl a < to przyjmujemy b, w przecwnym przypadku a powracamy do punktu Regula als regula - lna, alsus - ałszywy y a Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr b a a a b a y 3 y b Zadane: zapsz kod programu realzujący metodę, pokazujący oszacowane błędu wykonaj oblczena dla przykładu slajd 8

13 Nr: 3 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Regula als załoŝena dodatkowe unkcja jest klasy C [a,b] perwsza druga pochodna mają stały znak metoda ma stały punkt teracj > 3 3 " >, a b

14 Nr: 4 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Regula als przy dodatkowych załoŝenach otrzymujemy jeden z moŝlwych przypadków:

15 Nr: 5 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Regula als Własnośc metody w kolejnych punktach wytyczających cęcwę unkcja ma róŝne znak jest zbeŝna dla unkcj cągłej na [a,b] jeśl jest ogranczona róŝna od zera w otoczenu perwastka jeśl ma stały znak w [a,b] to ten punkt skrajny w którym > jest punktem stałym teracj metoda jest wolno zbeŝna

16 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Nr: 6 Metoda Newtona-Raphsona stycznych zakładamy dodatkowo Ŝ dla oszacowana błędu przyjmujemy Ŝ oraz perwsza druga pochodna mają stały znak w [a,b] styczną do wykresu unkcj prowadzmy od końca przedzału w którym > [ ] C a b, [ ] b a C, ' ' ' ' '

17 Nr: 7 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metoda Newtona-Raphsona stycznych Przykład braku zbeŝnośc druga pochodna unkcj zmena znak, cyram,,...,4 oznaczono kolejne przyblŝena perwastka 4 3

18 Nr: 8 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metoda Newtona-Raphsona Własnośc metody metoda jest zbeŝna warunkowo lokalne ekstrema, punkty przegęca JeŜel w pewnym przedzale [a,b], a b mają przecwne znak, jest cągła ne zmena znaku na [a,b], styczne do krzywej y poprowadzone w punktach o odcętych a b przecnają oś OX wewnątrz przedzału [a,b] to równane ma dokładne jeden perwastek w [a,b] metoda Newtona-Raphsona jest zbeŝna do tego perwastka dla dowolnego punktu startowego [a,b] jest stosunkowo szybko zbeŝna jeśl algorytm jest zbeŝny wymaga tylko jednego punktu startowego koneczność oblczana pochodnej unkcj

19 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Nr: 9 Metoda Newtona-Raphsona uogólnene metody wyprowadzene z wzoru Taylora JeŜel perwastkem równana jest ξ, a jest jego przyblŝenem, to L 3! ''! ' 3 3 ξ ξ ξ ξ

20 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Nr: Metoda Newtona-Raphsona uogólnene metody wyprowadzene z wzoru Taylora JeŜel perwastkem równana jest ξ, a jest jego przyblŝenem, to zanedbując wyrazy rzędu wększego nŝ p otrzymujemy równane do wyznaczena kolejnego przyblŝena dla p metoda Newtona-Raphsona stopna I: L 3! ''! ' 3 3 ξ ξ ξ ξ ' '

21 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Nr: Metoda Newtona-Raphsona uogólnene metody wyprowadzene z wzoru Taylora JeŜel perwastkem równana jest ξ, a jest jego przyblŝenem, to zanedbując wyrazy rzędu wększego nŝ p otrzymujemy równane do wyznaczena kolejnego przyblŝena dla p metoda Newtona-Raphsona stopna I: dla p metoda Newtona-Raphsona stopna II: L 3! ''! ' 3 3 ξ ξ ξ ξ ' ' ''! ' '' '' ' ' ± Zadane: zapsz kod programu realzujący metodę Newtona-Raphsona stopna II wykonaj oblczena dla przykładu slajd 8

22 Nr: Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metoda secznych pochodna unkcj jest przyblŝana lorazem róŝncowym w -tym kroku prowadzmy seczną do wykresu unkcj w punktach o odcętych -, a jako kolejne przyblŝene przyjmujemy jej punkt przecęca z osą OX ne jest wymagane aby w punktach wyznaczających kolejną seczną unkcja mała róŝne znak warunek obowązuje dla perwszej stycznej '

23 Nr: 3 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metoda secznych Własnośc metody zbeŝność na ogół szybsza nŝ dla regula als gdy - - jest tego samego rzędu co oszacowane błędu, następne przyblŝene moŝe ne być poprawne gdy początkowe przyblŝena ne leŝą dostateczne blsko perwastka, metoda moŝe ne być zbeŝna jeśl w trakce oblczeń odległośc mędzy kolejnym przyblŝenam zaczynają wzrastać, naleŝy je przerwać zawęzć przedzał zolacj

24 Nr: 4 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metoda secznych Przykład braku zbeŝnośc druga pochodna unkcj zmena znak 4 5 3

25 Nr: 5 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metoda secznych - modykacje metoda Steensena szybcej zbeŝna nŝ metoda secznych wymagająca oblczeń dwóch wartośc unkcj ne korzystająca z pochodnych dana wzorem :, g g Zadane: zapsz kod programu realzujący metodę wykonaj oblczena dla przykładu slajd 8

26 Nr: 6 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metoda teracj prostej Równane przekształcamy do równana równowaŝnego ϕ perwsze przyblŝene oblczamy ϕ, -rozwązane początkowe kolejne przyblŝena oblczamy k ϕ k- problemy jak znaleźć unkcję ϕ? przy jakch warunkach cąg rozwązań jest zbeŝny? jeśl stneje q take, Ŝe ϕ q < [a,b] to proces teracj prostej jest zbeŝny nezaleŝne od przyblŝena początkowego [a,b]. Przykład ln ϕ-ln k -ln k- przypadek zbeŝny przypadek rozbeŝny

27 Nr: 7 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Rząd metod przyblŝonego oblczana perwastków Metoda jest rzędu p ma wykładnk zbeŝnośc równy p jeŝel stneje stała K taka, Ŝe dla dwu kolejnych przyblŝeń zachodz nerówność - α K - α p Metoda bsekcj regula als Netona secznych Steensena Rząd,6

28 Nr: 8 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Przykład porównane zbeŝnośc metod Szukamy dodatnego perwastka równana otrzymujemy ' 3 '' przedzałem zolacj moŝe być [,] obe pochodne są w tym przedzale dodatne

29 Nr: 9 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Przykład porównane zbeŝnośc metod cd Metoda bsekcj Regula als Metoda secznych Metoda Newtona a -4 a -4 a -4 b 3 b 3 b 3 3-4,5 -,875,574 -,36449,574 -,36449,7693, ,75,7,754 -,4784,754 -,4784,739,83, 5,888 3,65 -,943 3,7788 -,3936 3,7353,9 3,735 -,8 3,835, ,687 -,49 4,734 -,65 4,7399,576 4,7578,478 5,79 -,4 5,7395 -,95

30 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Nr: 3 Układy równań nelnowych Metoda Newtona dla równana nelnowego jest zmenną rzeczywstą ' n n n n n n J J równane nelnowe układ równań nelnowych n n n,...,,...,,...,,...,, n n,...,,...,, n n dla układu równań nelnowych jest wektorem n-wymarowym macerz Jacobego

31 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Nr: Układy równań nelnowych rozwązane w ScLabe wykorzystane unkcj solvepunkt_startowy, unkcja 4 8 cos 4 8 cos y y 4 8 cos y y, 4 8,,,, cos y y Y d c b a X Y d X c bx ax uncton [Y]stX // w denowanej unkcj przyjmujemy X[ ; ], Y[y ;y ] a[,;-,]; b[,;-,]; c[-,;,]; d[-8;-4]; Y a*x b*x^ c*cosx d enduncton // lub nny sposób: uncton [Y]stX Y [X-cosX-8; X-*X-X^-4 ] enduncton // uŝyce unkcj solve początkowym rozwązanem punkt, ysolve[;],st; // znalezone rozwązane: y[.95953; ] ysolve[-3;],st; // znalezone rozwązane: y[ ; ],, y y y y

32 Nr: 3 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metody optymalzacj Metody wyznaczana optymalnych rozwązań rozwązane optymalne to rozwązane najlepsze ze względu na przyjęte kryterum róŝne krytera prowadzą na ogół do odmennych rozwązań kryterum ścśle zwązane z rozwązywanym zadanem postać zadana: wyznaczene mnmum maksmum danej unkcj tzw. unkcj celu, gdze [,,..., n ] jest wektorem uwzględnene warunków ogranczających: równana A b dla,...,m nerównośc C c dla,...,p

33 Nr: 33 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metody optymalzacj przykład Zadane transportowe Dana jest seć m punktów wytwarzających określony produkt wysyłających go do n punktów odborczych. Określono j lość produktu wysłanego z punktu -tego,...,m do j-tego j,...,n a lość produktu wytwarzana przez -ty punkt, b lość zapotrzebowana na produkt przez j-ty punkt, c j koszt transportu jednostk produktu z punktu -tego do P_ a P_ a P_m a m punktu j-tego łączne zapotrzebowane jest równe całośc produkcj, tzn. m NaleŜy znaleźć take wartośc j aby całkowty koszt n a b j j transportu był jak najmnejszy. Szukamy mnmum wyraŝena m n j c j j O_ b O_ b O_n b n przy warunkach a j n j,,..., m; bj j, j,,..., m; j,..., n m j,..., n

34 Nr: 34 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metoda spadku względem współrzędnych Przykład mnmalzujemy unkcję,y.,y punkt startowy. ustalamy krok k,y k 3. sprawdzamy wartośc unkcj w 4 punktach:,y k,,y -k, k,y, -k,y 4. jeŝel w jednym z punktów wartość unkcj,y jest mnejsza nŝ w punkce,y jest połoŝony nŝej to przenosmy sę do nego powtarzamy procedurę w kroku 3. -k,y,y k,y 5. jeśl w punkce 4. ne znalezono takego punktu to zmnejszamy krok np. -krotne powtarzamy punkt 3.,y -k kerunek poszukwań ne zaleŝy od postac unkcj metoda zawodna w przypadku stnena welu mnmów lokalnych unkcj Zadane: zapsz kod programu realzujący metodę, przetestować dla, 4 3

35 Nr: 35 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metody gradentowe - sposoby poszukwana rozwązań Metody gradentowe - kerunek poszukwań wyznaczany w kaŝdym kolejnym kroku nech unkcja [,,..., n ] jest wektorem jest klasy C. Gradentem unkcj nazywamy wektor: L M n gradent określa kerunek najwększego wzrostu unkcj n T 3 Xˆ ˆ X Przykład oblczene gradentu: Xˆ ˆ X, [- -,- -3] T,[,] T

36 Nr: 36 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metody optymalzacj - sposoby poszukwana rozwązań Metody gradentowe Procesy teracyjne kolejne przyblŝene k k h k ξ k k poprzedne przyblŝene wektor n-wymarowy, h k długość kroku lczba rzeczywsta, ξ k wektor n-wymarowy, określający kerunek poszukwań. jeśl unkcja [,,..., n ] ma węcej nŝ jedno mnmum lokalne, otrzymany wynk moŝe zaleŝeć od punktu startowego, wyberając róŝne punkty startowe, porównując kolejne wartośc, moŝemy wybrać najlepsze z otrzymanych rozwązań w sytuacjach gdy stneje wele mnmów lokalnych wykorzystuje sę sposoby dające moŝlwość wyjśca z optmum lokalnego rozszerzene lokalnych poszukwań zatrzymane oblczeń po zadanej lczbe teracj, lub po upływe określonego czasu oblczeń, gdy wartość k lub względna zmana wartośc spadne ponŝej zadanego pozomu, gdy długość gradentu k spadne ponŝej zadanego pozomu.

37 Nr: 37 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metody gradentowe - Metoda gradentu prostego Algorytm oblczeń :. Oblczane w punkce startowym wartość unkcj oraz jej gradentu g g. Wyznaczene kerunku poszukwań ξ-g 3. WzdłuŜ kerunku ξ wykonujemy krok o długośc h oraz określamy współrzędne nowego punktu : h*ξ 4. Oblczene w nowym punkce wartość unkcj oraz gradentu g g, jeŝel krok był pomyślny, tzn. < to powtarzamy od punktu podstawając g gradent w mejsce g 5. JeŜel ne osągnęto mnmum, naleŝy wrócć do poprzednego punktu podstawając : -h*ξ oraz zmnejszamy krok np. -krotne przechodzmy do punktu 3. Zadane: zapsz kod programu realzujący metodę, przyjąć unkcje, g jako znane przetestować dla, -

38 Nr: 38 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metody gradentowe Metoda najszybszego spadku Algorytm oblczeń :. Oblczene w punkce startowym wartośc unkcj oraz jej gradentu g g, przyjmujemy. Wyznaczene kerunku poszukwań ξ-g 3. WzdłuŜ kerunku ξ określamy λ take dla której wartość - ξ λ osąga mnmum. Współrzędne nowego punktu - ξ λ 4. Oblczene w nowym punkce wartość unkcj oraz gradentu g g, jeŝel ne osągnęto mnmum, powrót do punktu. Zadane: zapsz kod programu realzujący metodę przyjąć unkcje, g jako znane przetestować dla, -3 4

39 Nr: 39 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metoda najszybszego spadku - przykład Znajdujemy mnmum unkcj:, Punkt startowy:, [,] T Gradent:, [, ] T Szukamy przyblŝena postac: h - welkość h - mejsce w którym unkcja, na wyznaczonym przez gradent kerunku przyjmuje mnmalną wartość: h mn h -h Znajdujemy welkość h - denujemy pomocnczą unkcję H h, znajdujemy jej mnmum H h -h [,] T -h [,] T [-h,-h] T h -h -h 5 4 H h -h - -8-h H h h/ [,] T / -[,] T [,]

40 Nr: 4 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Inne ulepszone metody gradentowe metoda sprzęŝonych gradentów Kerunk poszukwań tworzone są tak, aby kaŝdy kolejny był sprzęŝony do wszystkch poprzednch. Dwa kerunk ξ oraz ξ j są wzajemne sprzęŝone względem dodatno określonej macerzy A, jeŝel ξ T A ξ j < ξ, ξ j > A < Aξ, ξ j > dla <> j kerunk wzajemne sprzęŝone są lnowo nezaleŝne. tworzene kerunków sprzęŝonych : perwszy krok: mnus gradent : ξ - -A* -b doberamy macerz A wektor b tak by spełnona była powyŝsza równość mnmalzacja wzdłuŝ tego kerunku : z równana ξ T *[A β *ξ b] otrzymujemy wartość β, następne określamy punkt β *ξ -ty krok: nowy kerunek w punkce jest wyznaczany według reguły : ξ - β *ξ - - współczynnk β jest tak doberany aby kerunk ξ, ξ - były sprzęŝone punkt wyznaczamy mnmalzując wzdłuŝ tego kerunku : β T T

41 Nr: 4 Metody bezpośredne Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Przy uŝycu macerzy odwrotnej Wzory Cramera Układ równań z macerzą trójkątną Elmnacja Gaussa Rozkłady trójkątne macerzy Metoda sprzęŝonych gradentów

42 Nr: 4 Metody bezpośredne Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Przy uŝycu macerzy odwrotnej Wzory Cramera Układ równań z macerzą trójkątną Elmnacja Gaussa Rozkłady trójkątne macerzy Metoda sprzęŝonych gradentów

43 Nr: 43 A macerz symetryczna metoda sprzęŝonych gradentów Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Układy równań z macerzam specjalnym Metoda sprzęŝonych gradentów Rozwązane równana A b mnmalzuje wyraŝene T T n A b, R

44 Nr: 44 A macerz symetryczna metoda sprzęŝonych gradentów ustalamy wektor początkowy newadomych oblczamy wektor r b A, przyjmujemy P r dla,,,..., n- oblczamy Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Układy równań z macerzam specjalnym Metoda sprzęŝonych gradentów α podczas oblczeń ne następuje przekształcene macerzy A wygodne dla macerzy rzadkch zadawalającym przyblŝenem jest wektor dla pewnego < n β r P T r r AP α P,,, P r r r α AP β P

45 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Nr: 45 wektor początkowy newadomych [,,, ] T uzyskwane kolejne przyblŝena [ ] [ ] [ ] [ ] T P r P r r AP r r P AP P r β β α α α,,, Układy równań z macerzam specjalnym Metoda sprzęŝonych gradentów - przykład

46 Nr: 46 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metody optymalzacj przy zadanych ogranczenach Przykład: znaleźć mnmum unkcj, Zadane mnmalzacj a ogranczene równoścowe h, b ogranczene nerównoścowe aktywne g, c ogranczene nerównoścowe neaktywne g, z warunkem - -

47 Nr: 47 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Metody optymalzacj - Programowane lnowe Programowane lnowe unkcja celu unkcje ogranczeń są lnowe T T mn{ c } mn{ c } X X { R n : A b,, b R m, m n} X X { R Metoda smple jedna z podstawowych metod rozwązywana zadań programowana lnowego wyznaczene punktów werzchołkowych weloścanu obszaru rozwązań jeŝel jest znany jakkolwek werzchołkowy punkt wartość w tym punkce unkcj celu, to wtedy wszystke werzchołkowe punkty, w których celowa unkcja przyjmuje gorsze wartośc, są odrzucane, w kolejnym kroku teracj przechodzmy do następnego werzchołka, znajdującego sę na jednej krawędz z odnalezonym wcześnej punktem, w którym unkcja celu osąga lepsze wartośc, teracja kończy sę, gdy kolejny przeglądany punkt werzchołkowy jest najlepszy pod względem odpowednch wartośc unkcj celu. n : A b,, b R m, m n}

48 Nr: 48 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Programowane lnowe Zadane optymalnego wyboru asortymentu produkcj W abryce wytwarzanych jest m produktów. KaŜdy produkt wytwarzany jest z n surowców. Określono lość wytworzonych jednostek -tego,...,m produktu, a zysk osągnęty ze sprzedaŝy -tego,...,m produktu, b j lość dzennej dostawy jednostek j-tego j,...,n surowca, c j lość jednostek j-tego j,...,n surowca potrzebna do wytworzena jednostk -tego,...,m produktu NaleŜy znaleźć take wartośc aby osągnęty zysk dzenny był jak najwększy. Szukamy maksmum wyraŝena przy warunkach m c j m b j, a,,..., m; j,..., n

49 Nr: 49 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Programowane lnowe przykład lczbowy Zadane optymalnego wyboru asortymentu produkcj Nech m, w abryce wytwarzane są produkty, n do wytworzena jednego produktu potrzebne są surowce. do wytworzena produktu I potrzeba 8 jednostek surowca A, oraz jednostk surowca B, do wytworzena produktu II potrzeba 5 jednostek surowca A, oraz 5 jednostek surowca B. Zysk ze sprzedaŝy : szukamy najwększego zysku jednostk produktu I - 9 tysęcy złotych jednostk produktu II -8 tysęcy złotych Welkość dzennej dostawy surowca A 4 jednostek surowca B 5 jednostek Zadane X zbór rozwązań dopuszczalnych, warstwcam unkcj są lne proste 9 8 const. 9 A: B :, ma

50 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Nr: : :, ma 8 9 B A [, lagr, ] lnprop, C, b, c, cs X p T *X -> mnmum 5 4 * * 8]* 9, [ * cs X c b X C X X p X X T [, lagr, ]-lnpro[-9;-8],[8,5;,5],[4;5],[;],[;] // [.5;4], 54.5 Programowane lnowe przykład lczbowy Zadane optymalnego wyboru asortymentu produkcj unkcja lnpro

51 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Nr: 5 Programowane kwadratowe przykład lczbowy unkcja quapro 5 5 : :, mn B A [, lagr, ] quaproq, p, C, b, c, cs X.5*X T *Q*X p T *X -> mnmum [ ] [ ] [ ] [ ] 5 4 * * * * *.5* * * *.5* cs X c b X C X p p q q q q X X [,lagr,]quapro[,;,],[-;-],[8,5;,5],[4;5],[;],[;] // [.3;4.88]; -5.9

52 Nr: 5 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Przykład zastosowana unkcj optm Znajdź najmnejszą wartość unkcj punkt startowy: [,,]:,y,zsnycoszsny-z na obszarze ogranczonym poprzez nerównośc:, y, z,, y, z // zdenowane unkcj ScLaba która będze optymalzowana: // zmenne,, 3 zapsane zostają w postac wektora // - zwraca wartość unkcj // g - zwraca gradent unkcj // nd - parametr wymagany w unkcj optm uncton [,g,nd]st,nd sn*cos*3sn-3 g [;;] g *cos*-3*sn*3 g *cos*cos-3 g3 -*sn*3-cos-3 enduncton // uŝyce optmst, [ b ], start, [ogranczene_dolne,ogranczene_górne] // wart optymalna mnmalna wartość poszukwanej unkcj, // p punkt wektor 3 współrzędnych w którym wartość zostaje oblczona [wart,p]optmst,'b',[;;],[;;],[;;]

53 Nr: 53 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Programowane lnowe - Problem przydzału maszyn Dany zakład produkcyjny mający m maszyn, wytwarzających n wyrobów. Określono j lość j-tego j,...,n produktu wytworzonego na -tej,...,m maszyne w danym okrese czasu; a j czas potrzebny do wyprodukowana jednostk produktu j-tego j,...,n na -tej,...,m maszyne; a dysponowany czas pracy -tej,...,m maszyny b j lość produktu j-tego j,...,n, który pownen być wytworzony; c j koszt wytworzena jednostk produktu j j,...,n na -tej,...,m maszyne; NaleŜy znaleźć take neujemne wartośc j mnmalzujący wskaźnk jakośc najnŝszy koszt wytworzena określonej lczby wyrobów przy warunkach n j m a j j j b a, j,..., m j,..., n m n j c j j

54 Nr: 54 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Programowane lnowe - Zadane załadunku plecakowe Spośród n ładunków waŝących odpowedno a, a,..., a n o wartoścach c,...,c n naleŝy załadować na samochód o dopuszczalnych ładownośc b take, aby łączna ch wartość była jak najwększa. oznaczamy zmenne,...,n : : gdy -ty ładunek jest załadowany : w przecwnym przypadku zadane przyjmuje postać: n a n b {,}, c ma,..., n Zadane: znajdź rozwązane zadana wykorzystując unkcję ScLaba knapsack. Wag ładunków: 4kg, 35kg, 45kg, 55kg, 5kg, 8kg, 5kg, 33kg, 9kg, 3kg, wartość ładunków odpowedno: zł, 9zł, 5 zł, zł, 4zł, 6zł, 7 zł, 8zł, 6zł, 75zł. Ładowność przyczepy 8 kg.

55 Nr: 55 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Programowane lnowe - Zadane rozkroju Zadane polega na mnmalzacj odpadów powstających podczas np. rozkroju arkusza na częśc. arkusz o szerokośc w ma być pocęty na wstęg o szerokoścach odpowedno b,b,...,b m. Mamy wyróŝnonych n sposobów. Zadane moŝna sormułować wyznaczene krotnośc kaŝdego ze sposobów rozkroju, tak by zmeścć sę w tolerancj zapotrzebowań zmnmalzować łączny odpad: gdze z j n, n s j c mn, y j,..., n j,..., m w,..., n z j mnmalne, y j maksymalne zapotrzebowane na wstęg o szerokoścach b j c odpad powstający w -tym sposobe rozkroju s j całkowta lczba wstęg o szerokośc b j wycętych z arkusza w -tym sposobe rozkroju c m j s j b j

56 Nr: 56 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr MS Ecel rozwązywane równań nelnowych narzędze: Szukaj wynku. wps początkowej wartośc do komórk C37. wps ormuły która ma przyjąć określoną wartość do komórk C38 3. wps do okna Szukaj wynku określonej wartośc którą ma przyjąć ormuła wpsana do komórk C38

57 Nr: 57 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Zadane transportowe przykład rozwązana w MS Ecel samochody dostarczają cement na 3 budowy budowa A, budowa B, budowa C zapotrzebowane cementu: budowa A 8 t budowa B 6 t budowa C 4 t Ładowność samochodów: samochód t samochód 3 t Ile kursów na poszczególne budowy musałby wykonać kaŝdy z pojazdów, wedząc Ŝe koszt jednego kursu wynos zł, czas dojazdu mnut, tak aby czas w którym zostane dostarczony beton był jak najkrótszy koszt transportu ne przekroczyłby 7 zł. Oznaczena: j lość kursów -tego pojazdu, 3, na j-tą budowę j,, koszt czas ma{ j,; 3 j,,3 / 6, / 6} mn

58 Nr: 58 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Zadane transportowe przykład rozwązana w MS Ecel samochody dostarczają cement na 3 budowy budowa A, budowa B, budowa C zapotrzebowane cementu: budowa A 8 t budowa B 6 t budowa C 4 t Ładowność samochodów: samochód t samochód 3 t Ile kursów na poszczególne budowy musałby wykonać kaŝdy z pojazdów, wedząc Ŝe koszt jednego kursu wynos zł, czas dojazdu mnut, tak aby czas w którym zostane dostarczony beton był jak najkrótszy koszt transportu ne przekroczyłby 7 zł. Oznaczena: j lość kursów -tego pojazdu, 3, na j-tą budowę j,, koszt czas ma{ j,; 3 j,,3 / 6, / 6} mn

59 Nr: 59 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Zadane transportowe przykład rozwązana w MS Ecel samochody dostarczają cement na 3 budowy budowa A, budowa B, budowa C zapotrzebowane cementu: budowa A 8 t budowa B 6 t budowa C 4 t Ładowność samochodów: samochód t samochód 3 t Ile kursów na poszczególne budowy musałby wykonać kaŝdy z pojazdów, wedząc Ŝe koszt jednego kursu wynos zł, czas dojazdu mnut, tak aby czas w którym zostane dostarczony beton był jak najkrótszy koszt transportu ne przekroczyłby 7 zł. Oznaczena: j lość kursów -tego pojazdu, 3, na j-tą budowę j,, koszt czas ma{ j,; 3 j,,3 / 6, / 6} mn

60 Nr: 6 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Zadane transportowe przykład rozwązana w MS Ecel samochody dostarczają cement na 3 budowy budowa A, budowa B, budowa C zapotrzebowane cementu: budowa A 8 t budowa B 6 t budowa C 4 t Ładowność samochodów: samochód t samochód 3 t Ile kursów na poszczególne budowy musałby wykonać kaŝdy z pojazdów, wedząc Ŝe koszt jednego kursu wynos zł, czas dojazdu mnut, tak aby czas w którym zostane dostarczony beton był jak najkrótszy koszt transportu ne przekroczyłby 7 zł. Oznaczena: j lość kursów -tego pojazdu, 3, na j-tą budowę j,, koszt czas ma{ j,; 3 j,,3 / 6, / 6} mn

61 Nr: 6 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Zadane transportowe przykład rozwązana w MS Ecel samochody dostarczają cement na 3 budowy budowa A, budowa B, budowa C zapotrzebowane cementu: budowa A 8 t budowa B 6 t budowa C 4 t Ładowność samochodów: samochód t samochód 3 t Ile kursów na poszczególne budowy musałby wykonać kaŝdy z pojazdów, wedząc Ŝe koszt jednego kursu wynos zł, czas dojazdu mnut, tak aby czas w którym zostane dostarczony beton był jak najkrótszy koszt transportu ne przekroczyłby 7 zł. Oznaczena: j lość kursów -tego pojazdu, na j-tą budowę j,, koszt czas ma{ j 3,,; j,,3 / 6, / 6} mn Zadane: rozwąŝ wykorzystując dodatek SOLVER w MS Ecel, zadane opsane na slajdze nr 49

62 Nr: 6 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Programowane lnowe - Zadane komwojaŝera KomwojaŜer startując z masta nr ma odwedzć n- mast wrócć do punktu startu. NaleŜy ustalć, w jakej kolejnośc ma on odwedzć te masta, aby przebyta droga była jak najkrótsza. odległość masta od masta j c j nech j jeśl komwojaŝer przejeŝdŝa z masta do masta j, j w przecwnym przypadku Zadane ormułujemy: 3 j n j n n j c {,}, z z n j j, j j j, n mn j j,..., n,..., n,..., n; j,..., n n,, j,..., n j. komwojaŝer do kaŝdego masta tylko raz,. wyjeŝdŝa z kaŝdego masta tylko raz, 3. droga komwojaŝera składa sę z jednego cyklu

63 Nr: 63 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Zadane optymalzacj rozwązane wyznaczone w oparcu o teorę graów zbór werzchołków, które mogą być połączone krawędzam, w tak sposób, Ŝe kaŝda krawędź kończy sę zaczyna w którymś z werzchołków Problem mostów Króleweckch Euler XVIII w

64 Nr: 64 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Zadane komwojaŝera rozwązane wyznaczone w oparcu o teorę graów // g zmenna zdenowany gra cr salesmang

65 Nr: 65 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Zadane komwojaŝera rozwązane wyznaczone w oparcu o teorę graów // g zmenna zdenowany gra cr salesmang

66 Nr: 66 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Równane nelnowe, zadane optymalzacj unkcje ScLaba solve unkcja rozwązująca układ równań nelnowych lnpro narzędze rozwązywana zadań programowana lnowego quapro narzędze rozwązywana zadań programowana kwadratowego optm unkcja rozwązująca nelnowe zadana optymalzacj

67 Nr: 67 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Podsumowane Metody rozwązywana równań nelnowych. Zadane optymalzacj Rozwązywane równań nelnowych Postać równana nelnowego Iteracyjne metody rozwązań dee poszczególnych metod, sposób wyznaczana kolejnych przyblŝeń, własnośc Metoda bsekcj Regula als Metoda Newtona-Raphsona stycznych Metoda secznych jej modykacje Porównane metod rozwązana pojęce rzędu metody Układy równań nelnowych sposoby rozwązana Metody optymalzacj postać zadana sposoby poszukwana rozwązań Metoda spadku względem współrzędnych Metody gradentowe własnośc, sposoby wyznaczana kerunków poszukwań Metoda gradentu prostego Metoda najszybszego spadku metoda Newtona metoda sprzęŝonych gradentów

68 Nr: 68 Metody oblczenowe - Budownctwo semestr - wykład nr Podsumowane cd. Metody rozwązywana równań nelnowych. Zadane optymalzacj Zadane programowana lnowego sposób rozwązywana metodą smple Przykłady standardowych zadań programowana lnowego Zadane transportowe Zadane optymalnego wyboru asortymentu produkcj Problem przydzału maszyn Zadane załadunku Zadane rozkroju Zadane komwojaŝera MoŜlwośc rozwązana zadań optymalzacj przy uŝycu arkusza kalkulacyjnego MS Ecel programu ScLab