8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ

Transkrypt

1 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 8.1. Wprowadzenie Zadania nieliniowe mają swoje zastosowanie na przykład w rozwiązywaniu cięgien. Przyczyny nieliniowości: 1) geometryczne: wynikające z uwzględnienia konfiguracji początkowej i końcowej Na przykład w sytuacji przedstawionej poniżej: δ P = P l 3 zależy liniowo od obciążenia. Jeśli geometria po odkształceniu zmienia się nieznacznie to 3 EI można zadanie takie utożsamić z układem niezmienionym i postępować zgodnie z zasadą zesztywnienia. W rzeczywistości równowaga układu wystąpi, gdy zapiszemy jej warunki w układzie przemieszczonym (a więc mamy do czynienia z układem nieliniowym). wynikające z uwzględnienia deformacji: δ ij = 1 u i, j u j,i u i, k u j, k (8.1) efekt duzychdeformacji ) fizyczne ze względu na przyjęty materiał.

2 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ W naszych rozważaniach zakładaliśmy materiał liniowy: σ W rzeczywistości mamy do czynienia z materiałem nieliniowym, którym jest stal: ε σ ε ε 0 stal w temp. ok. 300 o C T>0 ε czy też beton: σ mikrorysy odciążenia nie są po tej samej ścieżce makrorysy w wyniku dalszych obciążeń ε odciążenia 3) uwzględnienie tarcia

3 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 3 4) uwzględnienie zmieniających się warunków brzegowych, na przykład: P δ 0 P P δ 0 δ Wszystkie wyżej wymienione czynniki mogą wystąpić jednocześnie, co stanowi przyczynę dużej nieliniowości. 8.. Efekt nieliniowości w obliczeniach numerycznych Analizę przeprowadzimy dla elementów prętowych i cięgnowych) Układ równań nieliniowych algebraicznych Macierz sztywności układu zależy od przemieszczeń, co zapisujemy k d d = p (8.) [ x 1 ][ x 1 ] 1 x 1 x x [ = 4 ] (8.3) Zakładamy obciążenie jednoparametrowe (uproszczenie) K =K o K NL (8.4) gdzie K NL macierz nieliniowa, geometryczna Zmiana energii sprężystej na kroku EA L [ ] P A[ ] (8.5)

4 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 4 U = L A [ o o a d ] dadl=e o L A a dadx E a dadx (8.6) L A gdzie a = du dx 1 dv y dx d v dx (8.7) jest odkształceniem na kroku Po podstawieniu U =E o A [ du L dx 1 dv dx ] dx E [ A du L dx I d v dx 4] A du dx du dx A 4 dv dx d (8.8) 0 d = E d = E 0 (8.9) gdzie = 1 u i, j u j,i u i, k u j, k (8.10) Aproksymacja u=a 0 a 1 x (8.11) v=b 0 b 1 x b x b 3 x 3 (8.1) u= 1 x l u 1 x l u (8.13) 3 x 1 v= l x3 l 3 v 1 3 x l x3 l v 3 x l x x3 l 1 x l x3 l (8.14) U możemy wyrazić jako funkcję przyrostów przemieszczeń

5 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 5 d T =[u 1, v 1, 1,u, v,,] (8.15) Przyrostowa macierz sztywności K I d = f (8.16) Obliczamy początkową macierz sztywności ze wzoru K I =K 0 K P AE K 1 AE 3 K (8.17) następnie wyznaczamy d 1 dla obliczonego d 1 obliczamy d K d =0 d = p (8.18) Dodajemy przemieszczenia zgodnie ze wzorem K d 1 d = p (8.19) d =d 1 d (8.0) i obliczamy macierz sztywności od przemieszczeń d. Następnie obliczamy d K d d = p (8.1) Pełna metoda Newtona tok obliczeń pokazano poniżej Obliczamy przemieszczenia d 1 dla macierzy sztywności K d =0 K d =0 d 1 = p (8.) następnie obliczamy macierz sztywności dla d 1 i obliczamy przemieszczenia d K d 1 d = r 1 (8.3) dodajemy przemieszczenia d 1 d =d (8.4)

6 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 6 dla sumarycznych przemieszczeń obliczamy nową macierz sztywności i obliczamy d 3 Kończymy iterację gdy: K d d 3 = r (8.5) r i (8.6) Przyjmujemy kolejne poziomy obciążeń i dążymy do znalezienia odpowiedniego przemieszczenia przez iteracje. Przy każdej iteracji buduje się nową macierz sztywności zależną od odkształceń z poprzedniego kroku. K d 0 d 1 d = r 1 (8.7) Jeżeli iteracja się zbiega, to wielkości niezrównoważonych sił zmniejszają się. K d 0 d 1 d d = r (8.8) W nieliniowych zagadnieniach mechaniki konstrukcji pomiędzy wielkościami typu statycznego i geometrycznego zachodzi relacja proporcjonalności wyrażona przy pomocy współczynnika K charakteryzującego sztywność konstrukcji. W układach o wielu stopniach swobody rolę współczynnika proporcjonalności przejmuje macierz sztywności q=k 1 Q (8.9) Przy braku proporcjonalności pomiędzy Q i q ich wzajemne zależności są nieliniowe. Macierz sztywności zależy od przemieszczeń. Wyznaczana jest przez styczna do krzywej o równaniu zatem jest różna dla poszczególnych punktów Q= f q (8.30) 8.3. Przyczyny nieliniowości Przyczyny nieliniowości mogą wynikać ze struktury materiału (np. materiały niejednorodne jak np. beton), czyli w braku proporcjonalności pomiędzy naprężeniami a odkształcenia. Jest to nieliniowość,

7 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 7 którą nazywamy nieliniowością fizyczną, która może wystąpić również przy odkształceniach liniowo zależnych od przemieszczeń q. Ma to miejsce np. w zagadnieniach dotyczących plastyczności. Innym rodzajem nieliniowości jest ta, która wynika z braku proporcjonalności pomiędzy odkształceniami i przemieszczeniami q, co może mieć miejsce np. przy liniowych zależnościach pomiędzy odkształceniami a naprężeniami. Mamy tu na myśli np. zagadnienia stateczności sprężystej. Jest to nieliniowość geometryczna, związana z dużymi przemieszczeniami, które należy uwzględnić przy budowaniu równań równowagi. Niekiedy mogą występować takie przypadki, że pomimo małych przemieszczeń należy uwzględnić ich wpływ, aby w ogóle możliwe było zapisanie warunków równowagi. Stosowane współcześnie konstrukcje wiotkie, często o dużych rozpiętościach, albo też zbudowane z materiałów pracujących w stanie plastycznym wymagają obliczeń nieliniowych. Nieliniowość może mieć także charakter łączny, czyli jednocześnie mogą występować nieliniowość fizyczna i geometryczna np. w konstrukcjach z materiałów gumowych lub gumopochodnych. Dotyczy to również asfaltów i gruntów, stąd też zagadnienia dotyczące obliczeń gruntów należą do bardzo trudnych. Wymagają odpowiedniego podejścia i przyjęcia skomplikowanych założeń przy matematycznych tworzeniu modelu Rozwiązanie W zagadnieniach nieliniowych wyznaczenie Q przy danych q, lub też odwrotnie wyznaczeniu q przy znanych Q, jest praktycznie niewykonalne przy pomocy metod bezpośrednich. Możliwe jest uzyskanie wyników (rozwiązań) przybliżonych poprzez zastosowanie linearyzacji lub też przez stosowanie specjalnych algorytmów obliczeniowych. Równanie równowagi można zapisać w postaci: K q q=q (8.31) W ogólności macierz sztywności zależy od niewiadomych przemieszczeń q. Otrzymaliśmy zatem układ równań nieliniowych. Rozwiązanie równania jest skomplikowane. Macierz sztywności w zagadnieniach nieliniowych może być osobliwa. W zagadnieniach liniowych taka sytuacja nie mogła się zdarzyć. Analiza takiej sytuacji jest złożona numerycznie. Przyczyna nieliniowości może leżeć w materiale i w braku proporcjonalności między naprężeniami i odkształceniami. Nieliniowość może też mieć inne przyczyny, np.: jednostronne podpory, jednostronne podłoże, konstrukcje prętowo-cięgnowe nawet w zakresie liniowym. Do rozwiązania tych zadań stosujemy techniki numeryczne Sposoby rozwiązywania Metoda przyrostowa

8 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 8 Rozpatrujemy zagadnienie nieliniowe opisane zależnością Q= f q (8.3) w zakresie obciążenia (0,Q) Dla danego obciążenia Q będziemy poszukiwać przemieszczenia q. Metoda polega na tym, że obliczenia przeprowadzamy etapowo, zwiększając obciążenie na każdym etapie o pewien przyrost Q i oraz odpowiadający mu przyrost przemieszczeń q i. Jako punkt startu przyjmujemy wartość Q 0 dostatecznie małą, tak aby można było założyć, że w zakresie obciążenia (0,Q) konstrukcja zachowuje się liniowo, czyli macierz sztywności K 0 ma być stała i taka jak w konstrukcji liniowej. Zaletami metody są: możliwość zastosowania do wszelkiego rodzaju nieliniowości (z wyjątkiem przypadków o malejącej sztywności), pełny opis relacji obciążenia - przemieszczenia dla każdego przyrostu Wady: duża chłonność obliczeniowa (odwracanie różnych macierzy dla każdego cyklu) trudność w określeniu wartości przyrostu obciążeń dla uzyskania założonej dokładności brak możliwości oceny poprawności rozwiązania, o ile nie istnieje jakaś baza porównawcza trudności algebraiczne związane z rozwiązywaniem źle uwarunkowanego układu równań w otoczeniu punktów krytycznych Metoda iteracyjna Jest to bardzo popularna metoda ze względu na wielostronność zastosowań i wysoką dokładność obliczeń. Nazywa się ją również metodą Newtona-Raphsona (w skrócie NR). Rozwiązywanie przy pomocy tej metody polega na tym, że w każdym cyklu iteracyjnym operujemy pełnym obciążeniem Q. W poszczególnych cyklach przyjmujemy stałe, przybliżone macierze sztywności, co powoduje niespełnienie warunków równowagi. Po każdym cyklu oblicza się obciążenie niezrównoważone w danej konfiguracji odkształcenia. To obciążenie służy do wyznaczania dodatkowych przemieszczeń, czyli zmian konfiguracji zmierzających do konfiguracji odpowiadającej równowadze. Proces obliczeniowy kończymy po osiągnięciu równowagi z przyjętą dokładnością. Startujemy przy pełnym obciążeniu Q oraz macierzy sztywności K L równej macierzy sztywności traktowanej jako liniowa. Dla tego stanu obciążenia i sztywności obliczamy przemieszczenia.

9 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 9 Zalety tej metody: większa łatwość w programowaniu niż w metodzie przyrostowej, duża efektywność, szczególnie w przypadku kilku wariantów obciążeń, przy nieliniowości fizycznej możliwość uwzględniania zmian własności materiału zależnie od stanu naprężeń. Wady: brak pewności co do zbieżności rozwiązania dokładnego (spełnienie równowagi to tylko jeden z warunków), niemożliwość zastosowania do dynamiki (można operować tylko stałym obciążeniem), brak informacji o stanie obciążenia - przemieszczenia, kiedy stosujemy obciążenie o niepełnych wartościach Pełny algorytm Newtona (Full Newton Iteration) Metoda Newtona, zwana też metodą stycznych, należy do metod iteracyjnych. K d d = p K d d = p (8.33) K d 0 d 1 d = R 1 (8.34) K d 0 d 1 d d = R (8.35) Iterację przeprowadzamy do momentu w którym dokładność jest satysfakcjonująca. Oszacowanie błędu: r (8.36) d i (8.37) d Przyjąć można np. normę euklidesową:

10 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 10 i R i - suma wszystkich niezrównoważonych sił w w węzłach (8.38) Metoda Newtona-Raphsona λ p k=1 3 4 i+1 Δ λ p R i 1 Ri 4 i d i Δ d i+1 d i+1 d W metodzie Newtona-Raphsona szybciej uzyskuje się wiekszą dokładność.