Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice.
|
|
- Bożena Bednarczyk
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice.
2 1 Wahadło matematyczne. Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m zawieszony na długiej, cienkiej i nierozciągliwej nici o pomijalnej masie. Punkt wykonuje wahania wokół najniżej położonego punktu O, zwanego środkiem wahań. Ruch odbywa się po łuku okręgu o promieniu l. Przyjmujemy, że w chwili początkowej wahadło jest odchylone od położenia równowagi o kąt ϕ < π i ma prędkość 2 początkową równą zero. rys.1 Na wahadło działa siła ciężkości Q = mg skierowana pionowo w dół oraz siła napięcia nici N. Wtedy siła wypadkowa F wprawiająca punkt materialny w ruch ma wartość równą (z drugiego prawa dynamiki Newtona) ma = mg sin x. Znak minus wynika z tego, że zwrot F jest w kierunku malejącego wychylenia. Ponieważ a = d2 s, gdzie s jest drogą przebytą przez punkt po łuku PA, tj. s = lx, zatem x = g l sin x (1) z warunkami początkowymi x(0) = ϕ, x (0) = 0. Jest to równanie wahadła matematycznego. Wprowadzając ω(t) = x (t) równanie (1) można zapisać w postaci { x = ω ω = k sin x, (2) gdzie k = g l oraz x(0) = ϕ, ω(0) = 0. Uwaga 1. Ponieważ w (1) nie występuje zmienna niezależna t można przyjąć, że u(x) = x. Wtedy x = du dx = du u i równanie (1) przyjmuje postać dx dt dx du dx u = k sin x, k = g l. Zatem 1 2 u2 = k cos x + c. Z warunku początkowego x(0) = ϕ mamy u(x(0)) = x (0), czyli u(ϕ) = 0, a więc k cos ϕ + c = 0. Stąd c = k cos ϕ. Mamy zatem u = (cos x cos ϕ) (znak minus wynika z tego, że gdy rośnie t maleje kąt x, więc pochodna x (t) = u(x) też maleje). Ostatecznie dx dt = (cos x cos ϕ), dx (cos x cos ϕ) = ale całka po lewj stronie nie wyraża się przez funkcje elementarne - jest całką eliptyczną. W ten sposób nie da się efektywnie wyznaczyć funkcji x(t). dt,
3 Uwaga 2. W przypadku małych drgań (x bliskie 0) równanie (1) można zastąpić równaniem przybliżonym wykorzystując sin x x. Otrzymujemy wtedy równanie opisujące ruch wahadła w postaci x = g l x (3) lub układ zlinearyzowany które bez trudu można rozwiązać. { x = ω ω = kx, (4) Uwaga 3. Rozważmy pola wektorowe układu zlinearyzowanego (4) i układu (2). Układ zlinearyzowany ma jeden punkt krytyczny (0, 0). Wektor kierunków stycznych u = [u 1, u 2 ] ma składowe u 1 = x 2, u 2 = kx 1. Mamy więc Układ (2) ma punkty krytyczne (kπ, 0), k Z. Jego pole ma wektory u o składowych u 1 = x 2, u 2 = k sin x 1. Mamy więc Jeśli np. wahadło wychyli się od położenia równowagi (położenie (π, 0)), to dotrze do punktu ( π, 0) położonego pionowo nad punktem zaczepienia (czyli formalnie tego samego punktu w przestrzeni) i osiągnie położenie równowagi (niestabilnej - dowolnie mały impuls może wytrącić je w lewo lub prawo).
4 2 Drgania mechaniczne. 2.1 Drgania swobodne nietłumione. Odważnik o masie m wisi na sprężynie, której długość bez obciążenia wynosi l. Odważnik lekko odciągnięty do dołu i puszczony wykonuje pewien ruch w górę i dół. Opór powietrza i masę sprężyny pomijamy. rys.2 Przyjmijmy, że początek układu współrzędnych jest w poożeniu równowagi (punkcie, w którym ciężar odważnika jest zrównoważony siłą reakcji sprężyny), oś ox jest skierowana pionowo w dół. Niech λ będzie wydłużeniem sprężyny w danej chwili, λ st - wydłużeniem statycznym sprężyny, tj. odległością od końca sprężyny nierozciągniętej do położenia równowagi. Wtedy λ = λ st + x. Siła F wprawiająca odważnik w ruch jest wypadkową siły napięcia sprężyny i siły ciężkości. Z drugiej strony z prawa Hooke a siła napięcia sprężyny jest proporcjonalna do jej wydłużenia, czyli jest równa cλ, gdzie c jest współczynnikiem sprężystości sprężyny. Mamy więc m d2 x = Q cλ. W położeniu równowagi siła napięcia sprężyny jest zrównoważona siłą ciężkości, więc Q = cλ st. Stąd i z równości λ = λ st + x mamy m d2 x = Q c(λ st + x) = Q Q cx i stąd d 2 x dt + 2 k2 x = 0, gdzie k 2 = c m. (5) Jest to równanie drgań własnych odważnika lub równanie oscylatora harmonicznego (por. równanie zlinearyzowane wahadła (3)). Równanie to jest jednorodnym równaniem różniczkowym liniowym rzędu drugiego o stałych współczynnikach. Jego równanie charakterystyczne r 2 + k 2 = 0 ma dwa pierwiastki r = ±ik, zatem rozwiązanie ogólne równania (5) jest postaci lub po przekształceniach x(t) = x(t) = c 1 cos kt + c 2 sin kt ( ) c c 12 + c c12 + c cos kt + c c12 + c sin kt 2 2 gdzie Ostatecznie A = x(t) = A (sin α cos kt + cos α sin kt), c 12 + c 2 2, sin α = c 1 c12 + c 2 2, cos α = c 2 c12 + c 2 2. x(t) = A sin(kt + α). (6)
5 Sens fizyczny rozwiązania: A - amplituda drgań własnych kt + α - faza drgań własnych α - faza początkowa drgań własnych (wartość fazy w chwili t = 0) k = c/m - częstość drgań własnych T = 2π k = 2π m c - okres drgań własnych.1 Ponadto v = dx = Ak cos(kt + α). dt Jeśli uwzględnić warunki początkowe: x(0) = x 0, v(0) = v 0, to x 0 = A sin α, v 0 = Ak cos α. Zatem A = x 02 + v 0 2, α = arctg kx 0. k 2 v 0 Wniosek. Amplituda i faza początkowa zależą od początkowego stanu układu. Częstość i okres nie zależą od początkowego stanu układu. W szczególnym przypadku, jeśli v 0 = 0, to A = x 0, α = π i x = x 2 0 sin(kt + π ), czyli 2 1 Ze wzorów Q = cλ st i Q = mg mamy m c = λst λst g, więc T = 2π g. x(t) = x 0 cos kt. (7)
6 Przykład. Załóżmy, że Q = 2N, l = 40cm, λ st = 4cm, x 0 = 2cm, v 0 = 0. Wtedy c = Q czyli c = 1 λ st 2 c g k = m = czyli k = 1 g λ st 2 A = x 0 czyli A = 2cm α = π 2 ( ) 1 x = 2 cos gt 2 T = 2π k czyli T = 4π g 0.4s 2.2 Drgania tłumione. λ max = λ + A czyli λ max = 6cm Odważnik o masie m wisi na sprężynie, której długość bez obciążenia wynosi l. Odważnik lekko odciągnięty do dołu i puszczony wykonuje pewien ruch w górę i dół. Siła oporu powietrza jest wprost proporcjonalna do prędkości ruchu. Uwzględniając działające siły otrzymujemy równanie m d2 x = cx µdx dt. (8) lub inaczej d 2 x dt + 2ndx 2 dt + k2 x = 0, gdzie k 2 = c m, 2n = µ m. (9) Jest to równanie drgań tłumionych. Równanie to jest jednorodnym równaniem różniczkowym liniowym rzędu drugiego o stałych współczynnikach. Jego równanie charakterystyczne r 2 + 2nr + k 2 = 0 ma dwa pierwiastki r = n ± n 2 k 2. A. n 2 k 2 < 0 (opór ośrodka jest niewielki). Ponieważ r = n ± ik 1, gdzie k 1 = k 2 n 2, zatem równanie ruchu jest postaci lub po przekształceniach x(t) = e nt (c 1 cos k 1 t + c 2 sin k 1 t) (10) x(t) = Ae nt sin(k 1 t + α), (11) v(t) = Ak 1 e nt cos(k 1 t + α) Ane nt sin(k 1 t + α). (12)
7 Z warunków początkowych: x(0) = x 0, v(0) = v 0 mamy x 0 = A sin α, v 0 = Ak 1 cos α An sin α, skąd v 0 x 0 = k 1 ctg α n. Zatem Wniosek. A = 1 k k 12 x 02 + (v 0 + nx 0 ) k 2 1 x 0, α = arctg. 1 v 0 + nx 0 amplituda drgań tłumionych Ae nt dąży do 0 gdy t, okres drgań tłumionych T = 2π k 1 = 2π k 2 n 2 nie zależy od początkowego stanu układu, częstość drgań tłumionych k 1 = k 2 n 2 nie zależy od początkowego stanu układu, ponadto k 1 < k. B. n 2 k 2 > 0 (opór ośrodka jest duży). Ponieważ r = n ± k 2, gdzie k 2 = n 2 k 2 (k 2 < n), zatem równanie ruchu jest postaci i nie ma charakteru oscylacyjnego. x(t) = c 1 e (n+k 2)t + c 2 e (n k 2)t (13) Z warunków początkowych: x 0 = c 1 + c 2, v 0 = (n + k 2 )c 1 (n k 2 )c 2, skąd a zatem x(t) = e nt [( 1 2 x c 1 = x 0(k 2 n) v 0 2, c 2 = x 0(k 2 + n) + v 0 2, ) ( x 0 n + v 0 1 e k2t + k 2 2 x [ = e nt e k2t + e k 2t x 0 2 C. n 2 k 2 = 0 Ponieważ r = n, więc równanie ruchu jest postaci i również nie ma charakteru oscylacyjnego. ) ] x 0 n + v 0 e k 2t k 2 e k2t e k2t ] + x 0n + v 0 k 2 2 = e nt [ x 0 cosh(k 2 t) + x 0n + v 0 k 2 sinh(k 2 t) ] (14) x(t) = e nt (c 1 + c 2 t) (15)
8 Z warunków początkowych mamy c 1 = x 0, c 2 = x 0 n + v 0 i w konsekwencji 2.3 Drgania wymuszone. x(t) = e nt (x 0 + (x 0 n + v 0 )t). (16) Odważnik o masie m wisi na sprężynie, której długość bez obciążenia wynosi l. Odważnik lekko odciągnięty do dołu i puszczony wykonuje pewien ruch w górę i dół. Na odważnik działa okresowo siła wymuszająca 2 W sin βt, gdzie W, p - stałe. Opór powietrza i masę sprężyny pomijamy. Uwzględniając działające siły otrzymujemy równanie m d2 x = cx + W sin βt. (17) dt2 lub inaczej d 2 x dt + 2 k2 x = q sin βt, gdzie k 2 = c m, q = W m. (18) Jest to równanie drgań wymuszonych (z wymuszeniem harmonicznym). Równanie to jest niejednorodnym równaniem różniczkowym liniowym rzędu drugiego o stałych współczynnikach. Odpowiada mu równanie jednorodne postaci m d2 x + k 2 x = 0 (czyli równanie opisujące drgania swobodne). Rozwiązania równania (18) jest postaci x(t) = x (t) + x(t), gdzie x (t) jest rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego zaś x(t) jest rozwiązaniem szczególnym równania niejednorodnego. A. Załóżmy, że β k. Poszukujemy x w postaci x = M cos βt + N sin βt. Wstawiając ww. funkcję do (18) otrzymujemy i stąd M = 0, N = x(t) = q k 2 β 2 q sin βt. (19) k 2 β2 Funkcja x opisuje drgania wymuszone przez siłę W sin βt. Ruch ciała poddanego drganiom wymuszonym jest ostatecznie postaci x(t) = A sin(kt + α) + 2 Wymuszenie to dowolna siła, tu rozważamy jedynie wymuszenie harmoniczne q sin βt. (20) k 2 β2
9 Jest to kombinacja (superpozycja) drgań wymuszonych x przez zewnętrzną siłe zaburzającą oraz drgań własnych x zależnych jedynie od wewnętrznych parametrów układu tj. masy odważnika i współczynnika sprężystości sprężyny. Przy warunkach początkowych x(0) = x 0, v(0) = v 0 otrzymujemy x 0 = A sin α, v 0 = Ak cos α, skąd i ostatecznie (po przekształceniach) A = x (v k 2 0 qβ ) 2 kx 0, α = arctg k 2 β 2 v 0 x(t) = qβ. k 2 β 2 qβ k 2 β 2 + q k 2 β sin βt + 1 ( v 2 0 qβ ) sin kt + x k k 2 β 2 0 cos kt. (21) B. Załóżmy, że β = k. Poszukujemy x w postaci x = t(m cos βt+n sin βt). Wstawiając ww. funkcję do (18) otrzymujemy M = q, N = 0 i stąd x(t) = q t cos kt. (22) Funkcja x opisuje drgania wymuszone przez siłę W sin βt. Ruch ciała poddanego drganiom wymuszonym jest ostatecznie postaci x(t) = A sin(kt + α) q t cos kt. (23) Z warunków początkowych otrzymujemy x 0 = A sin α, v 0 = q + Ak cos α, skąd A = x ( v k q ) 2, α = arctg kx 0 v 0 + q. i ostatecznie (po przekształceniach) x(t) = q t cos kt + 1 ( v 0 + q ) sin kt + x 0 cos kt. (24) k
10 Wniosek. W przypadku gdy β = k amplituda drgań wymuszonych q t może rosnąć nieograniczenie. Inaczej mówiąc przy małych siłach zaburzających można uzyskać dowolnie duże amplitudy drgań. Zjawisko to nazywa się rezonansem. Pojawia się ono tylko wtedy gdy częstość siły zaburzającej jest równa częstości drgań własnych układu. q W przypadku gdy β k amplituda drgań wymuszonych może być bardzo duża, ale jest zawsze k 2 β 2 ograniczona. Ogólnie występowanie dużych amplitud jest zjawiskiem szkodliwym - może prowadzić do zniszczenia konstrukcji. 3 Drgania w obwodach elektrycznych. Zjawiska fizyczne zachodzące w obwodach elektrycznych opisuje się równaniami różniczkowymi analogicznymi do równań drgań w układach mechanicznych. Weźmy obwód, w którym źródło prądu, kondensator o pojemności C, opornik o oporności R i cewka indukcyjna o indukcyjności L są połączone szeregowo. rys.3 Z drugiego prawa Kirchoffa otrzymujemy związek między napięciami prądu U r = U L + U R + U C. Ze wzorów I = dq dt = C du, U = L di, U = IR, dt dt gdzie I oznacza natężenie prądu a Q - ładunek elektryczny, można otrzymać zależności dla poszczególnych odcinków obwodu U L = L di dt = Q Ld2, U R = IR = R dq dt Stąd i z drugiego prawa Kirchoffa mamy L d2 Q, U C = 1 C Idt = 1 C Q. + RdQ dt + 1 Q = U(t). (25) C Jeśli obwód, w którym źródło prądu, kondensator o pojemności C, opornik o oporności R i cewka indukcyjna o indukcyjności L są połączone równolegle ( rys.4 ), to z pierwszego prawa Kirchoffa otrzymujemy związek I r = I L + I R + I C.
11 który prowadzi do równania różniczkowego C d2 Φ + 1 dφ R dt + 1 Φ = I(t). (26) L Oba równania (25) i (26) są równaniami analogicznymi do równania drgań mechanicznych (konkretnie: drgań wymuszonych tłumionych) postaci d 2 x + 2ndx dt + k2 x = f(t). Jeśli f(t) = q sin pt, to rozwiązaniem tego równania jest funkcja x(t) = Ae kt sin(k 1 t + α) + B sin(pt δ).
MECHANIKA 2. Drgania punktu materialnego. Wykład Nr 8. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 8 Drgania punktu materialnego Prowadzący: dr Krzysztof Polko Wstęp Drgania Okresowe i nieokresowe Swobodne i wymuszone Tłumione i nietłumione Wstęp Drgania okresowe ruch powtarzający
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak. Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska
Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html DRGANIA HARMONICZNE
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html Siły oporu (tarcia)
Bardziej szczegółowoFizyka 11. Janusz Andrzejewski
Fizyka 11 Ruch okresowy Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywa się ruchem okresowym lub drganiami. Drgania tłumione ruch stopniowo zanika, a na skutek tarcia energia mechaniczna
Bardziej szczegółowoRUCH HARMONICZNY. sin. (r.j.o) sin
RUCH DRGAJĄCY Ruch harmoniczny Rodzaje drgań Oscylator harmoniczny Energia oscylatora harmonicznego Wahadło matematyczne i fizyczne Drgania tłumione Drgania wymuszone i zjawisko rezonansu Politechnika
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający
Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Ruch skutkiem działania
Bardziej szczegółowoDRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu
Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających
Bardziej szczegółowoWykład 6 Drgania. Siła harmoniczna
Wykład 6 Drgania Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okresowym (periodycznym). Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można wyrazić za pomocą funkcji sinus albo
Bardziej szczegółowoKinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (B+C) Wykład IV: Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch harmoniczny Ruch po okręgu Klasyfikacja ruchów Ze względu na tor wybrane przypadki szczególne prostoliniowy, odbywajacy
Bardziej szczegółowoLaboratorium Mechaniki Technicznej
Laboratorium Mechaniki Technicznej Ćwiczenie nr 5 Badanie drgań liniowych układu o jednym stopniu swobody Katedra Automatyki, Biomechaniki i Mechatroniki 90-924 Łódź, ul. Stefanowskiego 1/15, budynek A22
Bardziej szczegółowom Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki):
Ruch drgający -. Ruch drgający Ciało jest sprężyste, jeżei odzyskuje pierwotny kształt po ustaniu działania siły, która ten kształt zmieniła. Właściwość sprężystości jest ograniczona, to znaczy, że przy
Bardziej szczegółowoSiła elektromotoryczna
Wykład 5 Siła elektromotoryczna Urządzenie, które wykonuje pracę nad nośnikami ładunku ale różnica potencjałów między jego końcami pozostaje stała, nazywa się źródłem siły elektromotorycznej. Energia zamieniana
Bardziej szczegółowoRuch drgający. Ruch harmoniczny prosty, tłumiony i wymuszony
Ruch drgający Ruch harmoniczny prosty, tłumiony i wymuszony Ruchem drgającym nazywamy ruch ciała zachodzący wokół stałego położenia równowagi. Ruchy drgające dzielimy na ruchy: okresowe, nieokresowe. Ruch
Bardziej szczegółowoFizyka 12. Janusz Andrzejewski
Fizyka 1 Janusz Andrzejewski Przypomnienie: Drgania procesy w których pewna wielkość fizyczna na przemian maleje i rośnie Okresowy ruch drgający (periodyczny) - jeżeli wartości wielkości fizycznych zmieniające
Bardziej szczegółowoWykład 1: Fale wstęp. Drgania Katarzyna Weron. WPPT, Matematyka Stosowana
Wykład 1: Fale wstęp. Drgania Katarzyna Weron WPPT, Matematyka Stosowana Sposoby komunikacji Chcesz się skontaktować z przyjacielem Wysyłasz list? Wykorzystujesz cząstki Telefonujesz? Wykorzystujesz fale
Bardziej szczegółowoRuch drgajacy. Drgania harmoniczne. Drgania harmoniczne... Drgania harmoniczne... Notatki. Notatki. Notatki. Notatki. dr inż.
Ruch drgajacy dr inż. Ireneusz Owczarek CNMiF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 1 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy Drgania harmoniczne Drgania oscylacje to cykliczna
Bardziej szczegółowoDrgania. O. Harmoniczny
Dobrej fazy! Drgania O. Harmoniczny Położenie równowagi, 5 lipca 218 r. 1 Zadanie Zegar Małgorzata Berajter, update: 217-9-6, id: pl-ciepło-5, diff: 2 Pewien zegar, posiadający wahadło ze srebra, odmierza
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Drgania wymuszone
MECHANIKA II. Drgania wymuszone Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 1 / 30 Układ drgajacy o jednym stopniu swobody
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej
MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 2 7. Układy elektryczne RLC
Podstawy fizyki sezon 2 7. Układy elektryczne RLC Agnieszka Obłąkowska-Mucha AGH, WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Układ RC
Bardziej szczegółowoDrgania w obwodzie LC. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński
Drgania w obwodzie L Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński 016 Drgania w obwodzie L Autorzy: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński Rozpatrzmy obwód złożony z szeregowo połączonych indukcyjności L (cewki)
Bardziej szczegółowoDrgania układu o wielu stopniach swobody
Drgania układu o wielu stopniach swobody Rozpatrzmy układ składający się z n ciał o masach m i (i =,,..., n, połączonych między sobą i z nieruchomym podłożem za pomocą elementów sprężystych o współczynnikach
Bardziej szczegółowoĆwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.
Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny
Bardziej szczegółowoRuch drgający i falowy
Ruch drgający i falowy 1. Ruch harmoniczny 1.1. Pojęcie ruchu harmonicznego Jednym z najbardziej rozpowszechnionych ruchów w mechanice jest ruch ciała drgającego. Przykładem takiego ruchu może być ruch
Bardziej szczegółowoĆ W I C Z E N I E N R M-2
INSYU FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I ECHNOLOGII MAERIAŁÓW POLIECHNIKA CZĘSOCHOWSKA PRACOWNIA MECHANIKI Ć W I C Z E N I E N R M- ZALEŻNOŚĆ OKRESU DRGAŃ WAHADŁA OD AMPLIUDY Ćwiczenie M-: Zależność
Bardziej szczegółowoProsty oscylator harmoniczny
Ruch drgający i falowy Siła harmoniczna, drgania swobodne Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okresowym. Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można zawsze wyrazić
Bardziej szczegółowoRÓWNANIE RÓśNICZKOWE LINIOWE
Analiza stanów nieustalonych metodą klasyczną... 1 /18 ÓWNANIE ÓśNICZKOWE INIOWE Pod względem matematycznym szukana odpowiedź układu liniowego o znanych stałych parametrach k, k, C k w k - tej gałęzi przy
Bardziej szczegółowodr inż. Paweł Szeptyński materiały pomocnicze do przedmiotu MECHANIKA TEORETYCZNA DYNAMIKA - ZADANIA
NAZEWNICTWO LINIOWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH d n u a n d x + a d n 1 u n n 1 d x +... + a d 2 u n 1 2 d x + a d u 2 1 d x + a u = b( x) Powyższe równanie o niewiadomej funkcji
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoTEORIA DRGAŃ Program wykładu 2016
TEORIA DRGAŃ Program wykładu 2016 I. KINEMATYKA RUCHU POSTE POWEGO 1. Ruch jednowymiarowy 1.1. Prędkość (a) Prędkość średnia (b) Prędkość chwilowa (prędkość) 1.2. Przyspieszenie (a) Przyspieszenie średnie
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 8 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Drgania wymuszone
MECHANIKA II. Drgania wymuszone Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Praca, moc, energia. Wykład Nr 11. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 11 Praca, moc, energia Prowadzący: dr Krzysztof Polko PRACA MECHANICZNA SIŁY STAŁEJ Pracą siły stałej na prostoliniowym przemieszczeniu w kierunku działania siły nazywamy iloczyn
Bardziej szczegółowoI. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
I. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO A. RÓŻNICZKOWE RÓWNANIA RUCHU A1. Bryła o masie m przesuwa się po chropowatej równi z prędkością v M. Podać dynamiczne równania ruchu bryły i rozwiązać je tak, aby wyznaczyć
Bardziej szczegółowoα - stałe 1 α, s F ± Ψ taka sama Drgania nieliniowe (anharmoniczne) Harmoniczne: Inna zależność siły od Ψ : - układ nieliniowy,
Drgania nieliniowe (anharmoniczne) Harmoniczne: F s s Inna zależność siły od : - układ nieliniowy, Symetryczna siła zwrotna Niech: F s ( ) s Symetryczna wartość - drgania anharmoniczne α, s F s dla α -
Bardziej szczegółowoBADANIE ELEKTRYCZNEGO OBWODU REZONANSOWEGO RLC
Ćwiczenie 45 BADANE EEKTYZNEGO OBWOD EZONANSOWEGO 45.. Wiadomości ogólne Szeregowy obwód rezonansowy składa się z oporu, indukcyjności i pojemności połączonych szeregowo i dołączonych do źródła napięcia
Bardziej szczegółowo4.2 Analiza fourierowska(f1)
Analiza fourierowska(f1) 179 4. Analiza fourierowska(f1) Celem doświadczenia jest wyznaczenie współczynników szeregu Fouriera dla sygnałów okresowych. Zagadnienia do przygotowania: szereg Fouriera; sygnał
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,
Bardziej szczegółowoSiła sprężystości - przypomnienie
Siła sprężystości - przypomnienie Pomiary siły sprężystości wykonane kilka wykładów wcześniej (z uwzględnieniem kierunku siły). F = kx = 0.13x 0 F x cm mg Prawo Hooke a Ciało m na idealnie gładkiej powierzchni
Bardziej szczegółowoPodstawy Elektrotechniki i Elektroniki. Opracował: Mgr inż. Marek Staude
Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki Opracował: Mgr inż. Marek Staude Część 2 Analiza obwodów w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym Przypomnienie ostatniego wykładu Prąd i napięcie Podstawowe
Bardziej szczegółowoPrawa ruchu: dynamika
Prawa ruchu: dynamika Fizyka I (B+C) Wykład X: Równania ruchu Więzy Rozwiazywanie równań ruchu oscylator harminiczny, wahadło ruch w jednorodnym polu elektrycznym i magnetycznym spektroskop III zasada
Bardziej szczegółowoNatomiast dowolny ruch chaotyczny, np. ruchy Browna, czy wszelkie postacie ruchu postępowego są przykładami ruchu nie będącego ruchem drgającym.
Wstęp Z wszelkiego radzaju drganiami mamy doczyniania w życiu codziennym. Na przykład codziennie korzystamy z prądu. Gdy pobieramy go z sieci miejskiej natężenie prądu zmienia się periodycznie z czasem.
Bardziej szczegółowoWyznaczanie prędkości lotu pocisku na podstawie badania ruchu wahadła balistycznego
Ćwiczenie nr Wyznaczanie prędkości lotu pocisku na podstawie badania ruchu wahadła balistycznego. Wymagania do ćwiczenia 1. ynamika ruchu obrotowego.. rgania harmoniczne Literatura:. Halliday, R. Resnick,
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Procesy wykładniczego wzrostu i spadku (np populacja bakterii, rozpad radioaktywny, wymiana ciepła) można modelować równaniem
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoFizyka Elementarna rozwiązania zadań. Część 20, 21 i 22 Przygotowanie: Grzegorz Brona,
Fizyka Elementarna rozwiązania zadań. Część 0, 1 i Przygotowanie: Grzegorz Brona, 0.1.008 Seria 0 Zadanie 1 Punkt Q porusza się w płaszczyźnie XOY po okręgu o promieniu A ze stałą prędkością kątową ω.
Bardziej szczegółowoPromieniowanie dipolowe
Promieniowanie dipolowe Potencjały opóźnione φ i A dla promieniowanie punktowego dipola elektrycznego wygodnie jest wyrażać przez wektor Hertza Z φ = ϵ 0 Z, spełniający niejednorodne równanie falowe A
Bardziej szczegółowo) I = dq. Obwody RC. I II prawo Kirchhoffa: t = RC (stała czasowa) IR V C. ! E d! l = 0 IR +V C. R dq dt + Q C V 0 = 0. C 1 e dt = V 0.
Obwody RC t = 0, V C = 0 V 0 IR 0 V C C I II prawo Kirchhoffa: " po całym obwodzie zamkniętym E d l = 0 IR +V C V 0 = 0 R dq dt + Q C V 0 = 0 V 0 R t = RC (stała czasowa) Czas, po którym prąd spadnie do
Bardziej szczegółowoEgzamin z fizyki Informatyka Stosowana
Egzamin z fizyki Informatyka Stosowana 1) Dwie kulki odległe od siebie o d=8m wystrzelono w tym samym momencie czasu z prędkościami v 1 =4m/s i v 2 =8m/s, jak pokazano na rysunku. v 1 8 m v 2 α a) kulka
Bardziej szczegółowoWykład Drgania elektromagnetyczne Wstęp Przypomnienie: masa M na sprężynie, bez oporów. Równanie ruchu
Wykład 7 7. Drgania elektromagnetyczne Wstęp Przypomnienie: masa M na sprężynie, bez oporów. Równanie ruchu M d x kx Rozwiązania x = Acost v = dx/ =-Asint a = d x/ = A cost przy warunku = (k/m) 1/. Obwód
Bardziej szczegółowoCzłowiek najlepsza inwestycja FENIKS
Człowiek najlepsza inwestycja FENIKS - długofalowy program odbudowy, popularyzacji i wspomagania fizyki w szkołach w celu rozwijania podstawowych kompetencji naukowo-technicznych, matematycznych i informatycznych
Bardziej szczegółowoBADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO
ĆWICZENIE 36 BADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO Cel ćwiczenia: Wyznaczenie podstawowych parametrów drgań tłumionych: okresu (T), częstotliwości (f), częstotliwości kołowej (ω), współczynnika tłumienia
Bardziej szczegółowoKinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (Mechanika) Wykład II: Pojęcia podstawowe punkt materialny, układ odniesienia, układ współrzędnych tor, prędkość, przyspieszenie Ruch jednostajny, ruch jednostajnie przyspieszony
Bardziej szczegółowoDRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY
DRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY wyklad8 2012/2013, zima 1 Własności sprężyste ciał stałych naprężenie rozciągające naprężenie ścinające naprężenie objętościowe Względne odkształcenie ciała zależy od naprężenia
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Ruch drgajacy. Drgania harmoniczne... Drgania harmoniczne. Oscylator harmoniczny Przykłady zastosowań. dr inż.
Plan wykładu Ruch drgajacy 1 Przykłady zastosowań dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 01/13 Drgania wymuszone 3 Drgania zachodzace w tym samym kierunku
Bardziej szczegółowoDrgania wymuszone - wahadło Pohla
Zagadnienia powiązane Częstość kołowa, częstotliwość charakterystyczna, częstotliwość rezonansowa, wahadło skrętne, drgania skrętne, moment siły, moment powrotny, drgania tłumione/nietłumione, drgania
Bardziej szczegółowoVII. Drgania układów nieliniowych
VII. Drgania układów nieliniowych 1. Drgania anharmoniczne spowodowane symetryczna siła zwrotna 1.1 Różniczkowe równanie ruchu Rozważamy teraz drgania swobodne masy m przytwierdzonej do sprężyny o współczynniku
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoa, F Włodzimierz Wolczyński sin wychylenie cos cos prędkość sin sin przyspieszenie sin sin siła współczynnik sprężystości energia potencjalna
Włodzimierz Wolczyński 3 RUCH DRGAJĄCY. CZĘŚĆ 1 wychylenie sin prędkość cos cos przyspieszenie sin sin siła współczynnik sprężystości sin sin 4 3 1 - x. v ; a ; F v -1,5T,5 T,75 T T 8t x -3-4 a, F energia
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoNazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego
Nazwisko i imię: Zespół: Data: Cel ćwiczenia: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego wyznaczenie momentów bezwładności brył sztywnych Literatura
Bardziej szczegółowoLASERY I ICH ZASTOSOWANIE
LASERY I ICH ZASTOSOWANIE Laboratorium Instrukcja do ćwiczenia nr 3 Temat: Efekt magnetooptyczny 5.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z metodą modulowania zmiany polaryzacji światła oraz
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM Z FIZYKI
Projekt Plan rozwoju Politechniki Częstochowskiej współfinansowany ze środków UNII EUROPEJSKIEJ w ramach EUROPEJSKIEGO FUNDUSZU SPOŁECZNEGO Numer Projektu: POKL.4.1.1--59/8 INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁINśYNIERII
Bardziej szczegółowoRówna Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym
Mechanika ogólna Wykład nr 14 Elementy kinematyki i dynamiki 1 Kinematyka Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Zasady pracy i energii. Wykład Nr 12. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 12 Zasady pracy i energii Prowadzący: dr Krzysztof Polko WEKTOR POLA SIŁ Wektor pola sił możemy zapisać w postaci: (1) Prawa strona jest gradientem funkcji Φ, czyli (2) POTENCJAŁ
Bardziej szczegółowoPracownia fizyczna i elektroniczna. Wykład lutego Krzysztof Korona
Pracownia fizyczna i elektroniczna Wykład. Obwody prądu stałego i zmiennego 4 lutego 4 Krzysztof Korona Plan wykładu Wstęp. Prąd stały. Podstawowe pojęcia. Prawa Kirchhoffa. Prawo Ohma ().4 Przykłady prostych
Bardziej szczegółowoPOMIARY WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH
POMIARY WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH Dr inż. Eligiusz PAWŁOWSKI Politechnika Lubelska Wydział Elektrotechniki i Informatyki Prezentacja do wykładu dla EMNS Semestr zimowy studia niestacjonarne Wykład nr
Bardziej szczegółowoprzy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0
MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,
Bardziej szczegółowoDrgania - zadanka. (b) wyznacz maksymalne położenie, prędkość i przyspieszenie ciała,
Zadania do przeliczenia na lekcji. Drgania - zadanka 1. Ciało o masie m = 0.5kg zawieszono na nieważkiej nitce o długości l = 1m a następne wychylono o 2cm z położenia równowagi (g = 10 m s 2), (a) oblicz
Bardziej szczegółowoMechanika Analityczna
Mechanika Analityczna Wykład 2 - Zasada prac przygotowanych i ogólne równanie dynamiki Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej 29 lutego 2016 Plan wykładu
Bardziej szczegółowo13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.
Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu
Bardziej szczegółowoTadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii
Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Zasady pracy i energii. Wykład Nr 12. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 12 Zasady pracy i energii Prowadzący: dr Krzysztof Polko WEKTOR POLA SIŁ Wektor pola sił możemy zapisać w postaci: (1) Prawa strona jest gradientem funkcji Φ, czyli (2) POTENCJAŁ
Bardziej szczegółowoFizyka 2 Wróbel Wojciech
Fizyka w poprzednim odcinku 1 Prawo Faradaya Fizyka B Bd S Strumień magnetyczny Jednostka: Wb (Weber) = T m d SEM B Siła elektromotoryczna Praca, przypadająca na jednostkę ładunku, wykonana w celu wytworzenia
Bardziej szczegółowoPrawa ruchu: dynamika
Prawa ruchu: dynamika Fizyka I (B+C) Wykład X: Dynamika ruchu po okręgu siła dośrodkowa Prawa ruchu w układzie nieinercjalnym siły bezwładności Prawa ruchu w układzie obracajacym się siła odśrodkowa siła
Bardziej szczegółowoFizyka 1- Mechanika. Wykład 4 26.X Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów
Fizyka 1- Mechanika Wykład 4 6.X.017 Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów szef@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~szef/ III zasada dynamiki Zasada akcji i reakcji Każdemu działaniu
Bardziej szczegółowolim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a
Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona
Bardziej szczegółowo3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach
3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach 3.1 Drgania układu o jednym stopniu swobody Rozpatrzmy elementarny układ drgający, nazywany też oscylatorem harmonicznym, składający się ze sprężyny
Bardziej szczegółowodrgania h armoniczne harmoniczne
ver-8..7 drgania harmoniczne drgania Fourier: częsość podsawowa + składowe harmoniczne () An cos( nω + ϕ n ) N n Fig (...) analiza Fouriera małe drgania E p E E k E p ( ) jeden sopień swobody: -A A E p
Bardziej szczegółowoSposoby modelowania układów dynamicznych. Pytania
Sposoby modelowania układów dynamicznych Co to jest model dynamiczny? PAScz4 Modelowanie, analiza i synteza układów automatyki samochodowej równania różniczkowe, różnicowe, równania równowagi sił, momentów,
Bardziej szczegółowoZadanie 18. Współczynnik sprężystości (4 pkt) Masz do dyspozycji statyw, sprężynę, linijkę oraz ciężarek o znanej masie z uchwytem.
Przykładowy zestaw zadań z fizyki i astronomii Poziom podstawowy 11 Zadanie 18. Współczynnik sprężystości (4 pkt) Masz do dyspozycji statyw, sprężynę, linijkę oraz ciężarek o znanej masie z uchwytem. 18.1
Bardziej szczegółowover b drgania harmoniczne
ver-28.10.11 b drgania harmoniczne drgania Fourier: częsość podsawowa + składowe harmoniczne N = n=1 A n cos nω n Fig (...) analiza Fouriera małe drgania E p E E k jeden sopień swobody: E p -A E p A 0
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ
ĆWICZENIE 12 WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ Cel ćwiczenia: Wyznaczanie modułu sztywności drutu metodą sprężystych drgań obrotowych. Zagadnienia: sprężystość, naprężenie ścinające, prawo
Bardziej szczegółowoO 2 O 1. Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego
msg M 7-1 - Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Zagadnienia: prawa dynamiki Newtona, moment sił, moment bezwładności, dynamiczne równania ruchu wahadła fizycznego,
Bardziej szczegółowo3.DRGANIA SWOBODNE MODELU O JEDNYM STOPNIU SWOBODY(JSS)
3.DRGANIA SWOBODNE MODELU O JEDNYM STOPNIU SWOBODY(JSS) 3.1. DRGANIA TRANSLACYJNE I SKRĘTNE WYMUSZME SIŁOWO I KINEMATYCZNIE W poprzednim punkcie o modelowaniu doszliśmy do przekonania, że wielokrotnie
Bardziej szczegółowoDRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY
DRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY wyklad 8 017/018, zima 1 Własności sprężyste ciał stałych Przedmiot: Fizyka naprężenie rozciągające naprężenie ścinające naprężenie objętościowe Względne odkształcenie ciała
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Bardziej szczegółowoBryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka
Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Moment bezwładności Prawa ruchu Energia ruchu obrotowego Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Przypomnienie Równowaga bryły
Bardziej szczegółowoPOMIARY WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH
POMIARY WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH Dr inż. Eligiusz PAWŁOWSKI Politechnika Lubelska Wydział Elektrotechniki i Informatyki Prezentacja do wykładu dla EMST Semestr letni Wykład nr 3 Prawo autorskie Niniejsze
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki wykład 7
Podstawy fizyki wykład 7 Dr Piotr Sitarek Katedra Fizyki Doświadczalnej, W11, PWr Drgania Drgania i fale Drgania harmoniczne Siła sprężysta Energia drgań Składanie drgań Drgania tłumione i wymuszone Fale
Bardziej szczegółowoWAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.
ĆWICZENIE 3. WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. 1. Oscylator harmoniczny. Wprowadzenie Oscylatorem harmonicznym nazywamy punt materialny, na tóry,działa siła sierowana do pewnego centrum,
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe opisujące ruch fotela z pilotem:
. Katapultowanie pilota z samolotu Równania różniczkowe opisujące ruch fotela z pilotem: gdzie D - siłą ciągu, Cd współczynnik aerodynamiczny ciągu, m - masa pilota i fotela, g przys. ziemskie, ρ - gęstość
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)
Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego
MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl
Bardziej szczegółowoWykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Meody Lagrange a i Hamilona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informayki Sosowanej Akademia Górniczo-Hunicza Wykład 7 M. Przybycień (WFiIS AGH) Meody Lagrange a i Hamilona... Wykład 7 1 /
Bardziej szczegółowoSZKIC ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ W ARKUSZU II
SZKIC ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ W ARKUSZU II Nr zadania PUNKTOWANE ELEMENTY ODPOWIEDZI.1 Za czynność Podanie nazwy przemiany (AB przemiana izochoryczna) Podanie nazwy przemiany (BC
Bardziej szczegółowo