Matematyka obliczeniowa, II rok Matematyki (2015/2016) Metody numeryczne, III rok Informatyki, (2013/2014)

Transkrypt

1 Matematyka oblczenowa, II rok Matematyk (2015/2016) Metody numeryczne, III rok Informatyk, (2013/2014) 1. Rozwązywane równań nelnowych 2. Arytmetyka zmennopozycyjna 3. Błędy w oblczenach. Uwarunkowane zadana. Numeryczna poprawność stablność algorytmu 4. Rozwązywane układów równań lnowych. 5. Lnowe zadana najmnejszych kwadratów 6. Algebraczne zagadnene własne 7. Interpolacja welomanowa 8. Interpolacja funkcjam sklejanym 9. Interpolacja trygonometryczna. Algorytm FFT 10. Aproksymacja funkcj 11. Numeryczne oblczane całek 12. Wybrane środowska bblotek dla oblczeń numerycznych Zasady zalczana przedmotu Matematyka Oblczenowa Na zalczene przedmotu składają sę: zalczene ćwczeń (w tym laboratorum kolokwum) zdane egzamnu. Na końcową ocenę składają sę punkty, którym prowadzący ćwczena ocenł prace domowe, tj. rozwązana zadań na kartce, punkty za rozwązana zadań z komputerem, punkty z kolokwum, punkty zdobyte na egzamne psemnym. Przed przystąpenem do egzamnu należy zalczyć ćwczena na co najmnej 50% punktów. Propozycje ocen będą złożone po egzamne psemnym na podstawe sumy ważonej zdobytych punktów, w której zadana domowe, zadana komputerowe, kolokwum egzamn psemny mają udzały odpowedno 20%, 10%, 20% 50%, przy czym na ocenę dostateczną na egzamne psemnym też trzeba zdobyć co najmnej 50% punktów. Wynk mędzy 33% 50% punktów z egzamnu daje szansę otrzymana oceny dostatecznej na egzamne ustnym. Poza tym otrzymaną propozycję oceny co najmnej dostatecznej można przyjąć lub próbować zmenć na egzamne ustnym. Zasady zalczana przedmotu Metody Numeryczne Na zalczene przedmotu składają sę: zalczene ćwczeń zdane egzamnu. Połowa ćwczeń ma mejsce w laboratorum, pozostałe ćwczena są w sal przy tablcy. Na końcową ocenę składają sę punkty, którym prowadzący ćwczena ocenł prace domowe, tj. rozwązana zadań na kartce, punkty za rozwązana zadań programstycznych, punkty zdobyte na egzamne psemnym. Po egzamne psemnym będą wystawone propozycje ocen, w których zadana domowe, zadana programstyczne egzamn psemny mają udzały odpowedno 25%, 25% 50%, przy czym z każdego z tych elementów trzeba zdobyć co najmnej 25% punktów, a w sume co najmnej 50%. Otrzymaną propozycję oceny uczestnk zajęć może przyjąć, lub wystawć na ryzyko zmany na egzamne ustnym.

2 Wyjaśnene Różnce mędzy przedmotam Matematyka Oblczenowa (dla kerunku Matematyka) Metody Numeryczne (dla kerunku Informatyka) są konsekwencją nnej wedzy początkowej nnej rol tych przedmotów w dalszych studach; nemnej, 90% materału przedmoty te mają wspólne, dlatego zdecydowałem sę napsać jeden skrypt. Zakładana wedza początkowa jest na obu kerunkach nna główne z uwag na znaczne węższy program ( mnejszą lczbę godzn) Algebry Lnowej na Informatyce program ten ne obejmuje m.n. algebracznego zagadnena własnego, który to brak trzeba (w ramach tego przedmotu) uzupełnć. Program Metod Numerycznych obejmuje teracyjne metody rozwązywana (welkch) układów równań lnowych. Wększość studentów Informatyk w trakce dalszych studów sę z nm ne zetkne, ale nformatycy w pracy zawodowej mogą dostawać zamówena na mplementacje. Z kole studenc Matematyk w trakce dalszych studów będą meć okazje do znaczne dokładnejszego zgłębena tych metod, w ramach przedmotów takch jak Matematyka Oblczenowa II, Oblczena Naukowe Numeryczne Równana Różnczkowe. To dlatego metody teracyjne rozwązywana układów równań lnowych są w wykładze dla nch pomnęte. Program Metod Numerycznych jest zatem neco szerszy, natomast na Matematyce Oblczenowej węcej uwag jest pośwęcone analze metod dowodom stosownych twerdzeń. Treść wykładów z obu przedmotów jest na slajdach (nnych dla każdego przedmotu), dzęk czemu można sę zorentować co kogo obowązuje. Ale wszystkch studentów (z obu kerunków) zachęcam do przestudowana całośc skryptu. Lteratura Kncad D., Cheney W.: Analza numeryczna, WNT, Warszawa, Krzyżanowsk P.: Oblczena nżynerske naukowe, PWN, Warszawa, Jankowska J., Jankowsk M., Dryja M: Przegląd metod algorytmów numerycznych cz. 1 2, WNT, Warszawa, Dahlqust G., Björck Å: Metody numeryczne, PWN, Warszawa, 1983.

3 Egzamn z Metod Numerycznych, III rok Inf. (Ścśle tajne przed godz. 14:30 28 styczna 2012.) Proszę bardzo uważne przeczytać treść zadań. Na ocenę bardzo duży wpływ będze mała czytelność rozwązań poprawność uzasadnena każdej odpowedz. 1. Wykonaj dwe teracje metody Newtona dla układu równań { x 3 +x xy 2y 2 = 4, y 3 y = 6, dla punktu startowego (x 0,y 0 ) = (2, 2). 2. Wartość wyrażena w = a 3 b 3 została oblczona przy użycu następującego algorytmu, zrealzowanego za pomocą arytmetyk zmennopozycyjnej: x1 = a*a+b*b; x2 = a+b; x3 = 0.5*(x1+x2*x2); w = x3*(a-b); Napsz wyrażene, którego wartoścą jest błąd (bezwzględny) otrzymanego wynku, jeśl w żadnym z dzałań ne wystąpł nadmar an nedomar. 3. Wartośc f 1,...,f N pewnej funkcj rzeczywstej f są podane w punktach x 1,...,x N. Funkcja ta ma być przyblżona przez weloman w stopna co najwyżej n < N tak, aby wyrażene N =1 (f w(x )) 2 było jak najmnejsze. Napsz układ równań lnowych, tak że rozwązane powyższego zadana aproksymacj można sprowadzć do lnowego zadana najmnejszych kwadratów dla tego układu. Podaj algorytm rozwązywana tego zadana za pomocą odbć Householdera. Jak jest koszt tego algorytmu w zależnośc od lczb n N? 4. Skonstruuj odpowedną bazę Newtona rozwąż przy użycu algorytmu różnc dzelonych zadane nterpolacyjne Hermte a dla danych przedstawonych w tabelce: x 1 3 f(x ) 4 8 f (x ) f (x ) 8 5. Rozważamy konstrukcję nterpolacyjnej funkcj sklejanej drugego stopna, s(x) = N 3 =0 d N 2 (x), której węzły są lczbam naturalnym, u = dla = 0,...,N, reprezentowanej za pomocą funkcj B-sklejanych N 2. Warunk nterpolacyjne (tj. wartośc funkcj, s k = s(v k )) są zadane w punktach v 0 = 2, v k = k+1 1 dla k = 1,...,N 4 v 2 N 3 = N 2. Wedząc, że N 2 (+x) = N2 0 (x) dla każdego x R oraz {0,...,N 3}, a ponadto N 2 0 (x) = 0 jeśl x 0 lub x 3, oraz N 2 0 (1) = 2 N2 0 (21) = 1, 2 8 N2 0 (1) = N2 0 (2) = 1 2 N2 0 (11) = 3, napsz układ równań, 2 4 którego rozwązane jest wektorem współczynnków d poszukwanej funkcj. 6. Które z podanych na wykładze metod rozwązywana układów równań lnowych mogą być użyte do rozwązana układu równań lnowych: a) Z poprzednego zadana. b) Układu równań normalnych dla regularnego lnowego zadana najmnejszych kwadratów z lczbą newadomych ne przekraczającą 100. c) Układu równań z welką macerzą (n n, gdze n > 10 4 ) symetryczną dodatno określoną, która ma w każdym werszu mnej nż 20 nezerowych współczynnków rozmeszczonych neregularne. W każdym przypadku napsz, z uzasadnenem, która z tych metod wydaje sę najbardzej odpowedna. 7. Podaj najmnejsze n, take że błąd aproksymacj jednostajnej funkcj f(x) = snx w przedzale [ 4π,4π] przez optymalne dobrany weloman stopna n jest mnejszy nż 1. Odpowedź uzasadnj, powołując sę na stosowne twerdzene. 8. Całkę I(f) = 1 1 f(x) dx, chcemy przyblżać kwadraturą o postac Q(f) = A 0 ( f( 1)+f(1) ) +A1 ( f( a)+f(a) ). Doberz lczbę a współczynnk A 0, A 1 tak, aby otrzymać kwadraturę o najwększym rzędze. Podaj oszacowane błędu tej kwadratury, jeśl funkcja f ma w przedzale [ 1,1] cągłą pochodną czwartego rzędu stneje stała M 4, taka że dla każdego x [ 1,1] zachodz nerówność f (4) (x) M 4.

4 Egzamn poprawkowy z Metod Numerycznych, III rok Inf. (Ścśle tajne przed godz. 15:15 1 marca 2012.) Proszę bardzo uważne przeczytać treść zadań. Na ocenę bardzo duży wpływ będze mała czytelność rozwązań poprawność uzasadnena każdej odpowedz. 1. Metodą odbć Householdera rozwąż lnowe zadane najmnejszzych kwadratów dla układu równań Ax = b, gdze A = 1 1, b = Podaj odpowedną bazę Newtona znajdź metodą różnc dzelonych weloman nterpolacyjny dla danych w tabelce: x 0 1 f(x ) 0 0 f (x ) 1 0 f (x ) 6 3. Znajdź lczbę a współczynnk A 0, A 1, take że kwadratura Q(f) = A 0 f( a)+a 1 f(0)+a 0 f(a), przyblżająca całkę I(f) = 1 1 f(x)dx ma maksymalny rząd. Podaj oszacowane błędu tej kwadratury, przy założenu, że funkcja f ma cągłą pochodną rzędu r, który jest rzędem tej kwadratury. 5. Oblcz wskaźnk uwarunkowana macerzy A 1 = w normach 1. Na jaką dokładność wynku rozwązywana układu równań lnowych z tą macerzą można lczyć, jeśl współczynnk wektora prawej strony są znane z błędem ne wększym nż 0.01%? 6. Nech f oznacza funkcję wypukłą klasy C 2, która ma w przedzale [a,b] mejsce zerowe α o krotnośc 2. Jak, mając do dyspozycj podprogram oblczana wartośc funkcj pochodnej, można znaleźć lczbę α która z metod: Newtona, secznych, czy bsekcj, jest do tego odpowedna. Odpowedź uzasadnj. 7. Macerz A jest symetryczna ma wartośc własne w przedzale [1,9] (w szczególnośc lczby 1 9 też są wartoścam własnym tej macerzy). Doberz parametr τ tak, aby zbeżność metody Rchardsona rozwązywana układu równań Ax+b: x k+1 = x k τ(ax k b) była najszybsza. 8. Jak jest koszt rozwązywana metodą elmnacj Gaussa układów równań lnowych z neosoblwą macerzą n n a) trójdagonalną (a j = 0 dla j > 1), b) Hessenberga (a j = 0 dla j > 1), c) blokowo-dagonalną, zbudowaną z bloków k k, gdze n/k jest lczbą naturalną, d) jak wyżej, blokowo-dagonalną, przy czym wszystke blok dagonalne są jednakowe. 4. Znajdź weloman h stopna co najwyżej 1, który jest optymalnym rozwązanem zadana aproksymacj jednostajnej dla funkcj f(x) = snx w przedzale [0,π]. Uzasadnj poprawność rozwązana, powołując sę na odpowedne twerdzene.

5 Egzamn z Metod Numerycznych, III rok Inf. (Ścśle tajne przed godz. 14:30 2 lutego 2013.) Proszę bardzo uważne przeczytać treść zadań. Na ocenę bardzo duży wpływ będze mała czytelność rozwązań poprawność uzasadnena każdej odpowedz. 1. Wykonaj dwe teracje metody Newtona dla układu równań x 3 y 2 = 0, y 3 +yz = 0, z 2 +z = 2 dla punktu startowego (x 0,y 0,z 0 ) = (1,1, 2). 2. Znajdź wyrażena, których wartośc są wskaźnkam uwarunkowana zadana oblczana lczby w = a 4 b 4 ze względu na dane a, b. Dla jakch danych zadane to jest dobrze, a dla jakch źle uwarunkowane? 3. Wartośc f 1,...,f M pewnej funkcj rzeczywstej f są podane w punktach x 1,...,x M. Należy skonstruować taką kubczną funkcję sklejaną N 4 s(x) = d N 3 (x), =0 aby wyrażene M =1 (f s(x )) 2 było jak najmnejsze. a) Napsz układ równań lnowych, tak że powyższe zadane aproksymacj jest równoważne lnowemu zadanu najmnejszych kwadratów dla tego układu równań. Co można powedzeć o macerzy tego układu? b) Podaj warunek, który mus spełnać cąg węzłów użyty do zdefnowana funkcj B-sklejanych, aby zadane było regularne. c) Jakch metod można użyć do rozwązana tego LZNK, przy założenu, że lczby M N są rzędu 10 2? 4. Podaj najmnejsze n, take że błąd aproksymacj jednostajnej funkcj f(x) = snx w przedzale [0,π/2] przez weloman nterpolacyjny z węzłam Czebyszewa jest mnejszy nż W oszacowanu możesz skorzystać z nerównośc π 2 < 10 (dokładnej, jest ). 5. Skonstruuj odpowedną bazę Newtona rozwąż przy użycu algorytmu różnc dzelonych zadane nterpolacyjne Hermte a dla danych przedstawonych w tabelce: x f(x ) f (x ) 0 33 f (x ) 2 6. Które z podanych na wykładze metod rozwązywana układów równań lnowych mogą być użyte do rozwązana układu równań lnowych: a) Układu z macerzą o postac I 2vv T, gdze v jest danym wektorem spełnającym warunek v 2 = 1. b) Układu dualnych równań normalnych dla dualnego lnowego zadana najmnejszych kwadratów z lczbą równań ne przekraczającą 100. c) Układu równań z welką macerzą (n n, gdze n > 10 4 ) nesymetryczną dagonalne domnującą, która ma w każdym werszu mnej nż 20 nezerowych współczynnków rozmeszczonych neregularne. W każdym przypadku napsz, z uzasadnenem, która z tych metod wydaje sę najbardzej odpowedna. 7. Wedząc, że dla każdego n {0,1,2,3,...} 0 x n e x dx = n!, znajdź perwsze cztery welomany ortogonalne Laguerre a, tj. welomany stopna 0, 1, 2, 3, ortogonalne w sense loczynu skalarnego f,g = 0 f(x)g(x)e x dx, za pomocą ortogonalzacj Grama-Schmdta lub formuły trójczłonowej. 8. Korzystając ze wskazówk wynków poprzednego zadana, znajdź węzły współczynnk kwadratury Gaussa-Laguerre a czwartego rzędu.

6 Egzamn z Metod Numerycznych, III rok Inf. (Ścśle tajne przed godz. 14:30 3 lutego 2014.) Proszę uważne przeczytać treść zadań. Bardzo duży wpływ na ocenę będze mała czytelność rozwązań poprawność uzasadnena każdej odpowedz oraz użyce dobrych praktyk przedstawonych na wykładze. 1. Przy założenu, że punkt startowy x 0 2 leży w kul zbeżnośc rozwązana α = 2 dla każdego z równań a) f(x) = 0, gdze f(x) def = x 3 5x 2 +8x 4, b) g(x) = 0, gdze g(x) def = x 3 4x 2 +5x 2, jaka będze szybkość zbeżnośc metody Newtona? Odpowedź uzasadnj. 2. Dane są wektory b 1,b 2,c 1,c 2,v R n, lczba rzeczywsta d, oraz macerz trójdagonalna T o wymarach n n, symetryczna dodatno określona. Wektor v jest jednostkowy, tj. v 2 = 1, określa macerz H = I 2vv T. Podaj algorytm, który kosztem proporcjonalnym do n rozwąże układ równań lnowych H 0 c 1 0 T c 2 c T 1 c T 2 0 x y z = b 1 b 2 d (z newadomym x,y R n, z R) lub stwerdz, że rozwązane ne stneje lub jest nejednoznaczne. 3. Nech A będze macerzą 4 2, taką że H 1 A = 0 2, przy czym H 2 1 = I v 1 v T 1 v v T 1 1, gdze v 1 = Oblcz: a) macerz A, b) macerz trójkątną górną R wymaru 4 2 wektor v 2 wyznaczający odbce Householdera o macerzy H 2 takej, że macerze Q = H 1 H 2 R są czynnkam rozkładu QR macerzy A, c) Rozwązane LZNK dla układu z macerzą A wektorem prawej strony b = [4, 2,1, 3] T. 4. Nech ε > 0. Oblcz wskaźnk uwarunkowana w norme 1 macerzy ε ε ε M ε = Zbadaj, które z wektorów: [1,1, 1] T, [1,1,0] T, [ 1,1,0] T, [0, 1,1] T, [0,0,1] T, są wektoram własnym macerzy A = Znajdź wszystke jej wartośc własne. Czy (prosta) metoda potęgowa rozwązywana zagadnena własnego byłaby dla tej macerzy skuteczna? 6. Należy znaleźć weloman nterpolacyjny Hermte a dla trzech węzłów, za pomocą algorytmu różnc dzelonych. Ktoś utworzył częścowo wypełnł następującą tabelkę różnc dzelonych: ? 2? Odczytaj z tabelk nałożone na weloman warunk nterpolacyjne. Sprawdź, czy oblczone (a ne wpsane!) elementy tabelk zostały oblczone poprawne jeśl ne, to je skoryguj. Wypełnj tabelkę do końca, a następne podaj współczynnk welomanu Hermte a w baze Newtona zwązanej z tym węzłam (z krotnoścam w kolejnośc z tabelk). 7. Funkcję f(x) = snx na odcnku [0,π] przyblżamy nterpolacyjną funkcją sklejaną perwszego stopna, s(x), opartą na N+1 równoodległych węzłach (będących zarówno węzłam nterpolacyjnym, jak węzłam funkcj sklejanej): x k = kπ/n dla k = 0,..., N. Jake N wystarczy, aby błąd aproksymacj jednostajnej funkcj f przez s był mnejszy nż 10 3? 8. Udowodnj, że jeśl kwadratura nterpolacyjna przyblżająca całkę I(f) = a a f(x)ρ(x) dx z parzystą funkcją wagową ρ ma neparzystą lczbę węzłów rozmeszczonych w przedzale [ a,a] symetryczne względem zera, to rząd tej kwadratury jest wększy od lczby węzłów. Podaj (przynajmnej dwa) przykłady takch kwadratur.

7 Kolokwum z Matematyk Oblczenowej, II rok Mat. (Ścśle tajne przed godz. 14:15 24 kwetna 2014.) 4. Współczynnk a 0, a 1 funkcj f(x) = a 0 +a 1 x należy dobrać tak, aby zmnmalzować wyrażene Proszę bardzo uważne przeczytać treść zadań. Bardzo duży wpływ na ocenę będze mała czytelność rozwązań poprawność uzasadnena każdej odpowedz. R = 4 ( ) 2, f(x ) y =1 1. Wykaż, że funkcja ϕ(x) def = 1 x x+100π ma w przedzale [0,2104] dokładne jeden punkt stały że można ten punkt znaleźć za pomocą metody teracj prostej. Jak jest wykładnk zbeżnośc tej metody? dla lczb x 1,...,x 4 y 1,...,y 4 podanych w tabelce: x y Postaw rozwąż przy użycu metody odbć Householdera odpowedne lnowe zadane najmnejszych kwadratów. Znajdź mnmalne R. Sprawdź wynk, podstawając go do utworzonego w tym celu układu równań normalnych. 2. Perwastk trójmanu kwadratowego f(z) = z 2 +az+b ustawamy w wektor [z 1,z 2 ] T C 2. Oblcz wskaźnk uwarunkowana w norme maksmum zadana znajdowana tego wektora ze względu na zaburzena danej a, jeśl a = 2, b = Jeśl stneje macerz trójkątna dolna L, taka że macerz A = jest równa loczynow LL T, to znajdź macerz L metodą Choleskego. W przecwnym raze znajdź metodą elmnacj Gaussa z wyborem elementu głównego czynnk trójkątne L U rozkładu macerzy PA; macerz permutacj P przedstaw w postac cągu par numerów kolejno przestawanych werszy. Korzystając ze znalezonych czynnków rozkładu rozwąż układ równań lnowych Ax = b, gdze b = [12,0,9] T. Sprawdź wynk.

8 Kolokwum z Matematyk Oblczenowej, II rok Mat. (Ścśle tajne przed godz. 12:15 29 kwetna 2015.) Proszę bardzo uważne przeczytać treść zadań. Bardzo duży wpływ na ocenę będze mała czytelność rozwązań poprawność uzasadnena każdej odpowedz. Egzamn z Matematyk Oblczenowej, II rok Mat. (Ścśle tajne przed godz. 9:00 20 czerwca 2014.) Proszę bardzo uważne przeczytać treść zadań. Bardzo duży wpływ na ocenę będze mała czytelność rozwązań poprawność uzasadnena każdej odpowedz. 1. Rozważamy równane 10x sn(x) = 3. Czy metoda teracyjna określona wzorem x n+1 = (sn(x n )+3)/10 zbegne do rozwązana α dla x 0 = 0.33? Jeśl tak, to określ, dla jakch k zachodz na pewno nerówność x k α α (jeśl w oblczenach ne ma błędów zaokrągleń). 2. Wartość w funkcj f(x) = p 1 (x) p 2 (x), takej że p 1 (x) = x 3 +1 p 2 (x) = x 3 +4x 2 +10, może być oblczona takm sposobam: Algorytm 1: Oblczamy w k = p k (x) dla k = 1,2, a następne w = w 1 w 2. Algorytm 2: Oblczamy w k = p k (x) dla k = 1,2, a następne w = (4x 2 +9)/(w 1 +w 2 ). W obu przypadkach do oblczena wartośc welomanów używamy schematu Hornera. Zakładamy, że x jest dodatne jest duże (rzędu ). Który algorytm, realzowany w arytmetyce zmennopozycyjnej, jest lepszy? Odpowedź uzasadnj w klku zdanach. 3. Metodą elmnacj Gaussa z wyborem elementu głównego w kolumne rozwąż układ równań lnowych Ax = b, dla A = 2 1 0, b = 1. Sprawdź wynk Nech v 1 = 1, v 12 2 = 3, v 0 3 = 4, R = Macerz A jest równa loczynow QR = H 1 H 2 H 3 R, w którym czynnk H 1, H 2, H 3 są macerzam odbć symetrycznych w R 4, względem hperpłaszczyzn prostopadłych odpowedno do wektorów v 1, v 2 v 3. Rozwąż lnowe zadane najmnejszych kwadratów dla układu równań lnowych z macerzą A wektorem prawej strony b = [41, 50, 72,96] T. Uzasadnj poprawność użytej metody. Oblcz drugą normę resduum. 1. Macerz układu równań lnowych Ax = b ma następującą postać blokową: B C A =.... B 0 C k B C k C T 1... C T k 1 C T k 0 Blok B o wymarach p p jest pełną macerzą symetryczną, dagonalne domnującą. Macerz złożona z bloków C 1,...,C k R p q (ostatna kolumna w schemace blokowym pokazanym wyżej) ma kolumny lnowo nezależne. a) Wykaż, że układ z taką macerzą dowolnym wektorem b R kp+q ma jednoznaczne rozwązane. b) Podaj algorytm rozwązywana takego układu równań, o możlwe małym koszce. Wskazówka. Wektor prawej strony rozwązane przedstaw w postac blokowej dostosowanej do przedstawonego podzału blokowego macerzy A. 2. Do znalezena pewnej wartośc wektora własnego macerzy A = chcemy użyć odwrotnej metody potęgowej z parametrem a = 2 z wektorem początkowym x 0 = [1,0,0,0] T. Czy metoda będze zbeżna jeśl tak, to jaką parę własną otrzymamy w grancy? Odpowedź uzasadnj.

9 3. Skonstruuj odpowedną bazę Newtona rozwąż, metodą różnc dzelonych, zadane nterpolacyjne Hermte a dla danych w tabelce: x f(x) f (x) 4 16 f (x) 4 f (x) Funkcję f(x) = sn x w przedzale [0, π] przyblżamy a) welomanem nterpolacyjnym Lagrange a stopna 2n 1 opartym na węzłach Czebyszewa w tym przedzale, b) welomanem nterpolacyjnym Hermte a stopna 2n 1 opartym na dwóch węzłach: 0 π, z których każdy ma krotność n, c) nterpolacyjną funkcją sklejaną stopna 1, której węzły dzelą przedzał [0,π] na 2n 1 podprzedzałów o jednakowej długośc π/(2n 1); węzły te są jednocześne węzłam nterpolacyjnym. Podaj górne oszacowane błędu aproksymacj jednostajnej w każdym z tych przypadków, w zależnośc od n. Możesz w oszacowanach użyć równośc przyblżonej π Rozważamy loczyn skalarny f,g def = 1 0 f(x)g(x)x dx. a) Znajdź perwsze trzy welomany z rodzny welomanów ortogonalnych w sense tego loczynu skalarnego. b) Korzystając z wynku punktu a), skonstruuj kwadraturę Gaussa rzędu 2 przyblżającą całkę I(f) = 1 0 f(x)x dx znajdź oszacowane błędu tej kwadratury dla funkcj f klasy C 2 [0,1]. Egzamn poprawkowy z Matematyk Oblczenowej, II rok Mat. (Ścśle tajne przed godz. 10:00 12 wrześna 2014.) Proszę bardzo uważne przeczytać treść zadań. Bardzo duży wpływ na ocenę będze mała czytelność rozwązań poprawność uzasadnena każdej odpowedz. 1. Dane są wektory v 1, v 2, b 1, b 2 R n, przy czym v 1 v 2 mają normę drugą równą 1 spełnają warunek v T 2 v 1 2/2. Nech H 1 = I 2v 1 v T 1, H 2 = I 2v 2 v T 2 (gdze I oznacza macerz jednostkową n n). a) Podaj algorytm o koszce rzędu n, rozwązujący układ równań lnowych [ ][ ] [ ] H 1 H 2 x 1 b = 1. (*) H 2 H 1 x 2 b 2 b) Udowodnj, że układ równań (*) ma jednoznaczne rozwązane. 2. Nech n > 1. Wykaż (powołując sę na odpowedne twerdzene z wykładu), że dowolny weloman o postac w(x) = a n x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0 można przyblżyć (w sense aproksymacj jednostajnej) w przedzale [0,1] welomanem stopna co najwyżej n 1 z błędem ne przekraczającym 2 1 2n a n ne można lepej. Jak należy wybrać węzły nterpolacyjne, aby weloman nterpolacyjny stopna co najwyżej n 1 przyblżał weloman w w przedzale [0, 1] z takm właśne błędem? 3. Skonstruuj odpowedną bazę Newtona znajdź współczynnk w tej baze welomanu nterpolacyjnego Hermte a stopna co najwyżej 4. Warunk nterpolacyjne są podane w tabelce: x 1 2 f(x) 4 16 f (x) 5 31 f (x) 12

10 4. Ustalona lczba rzeczywsta q > 1 jest użyta do określena neskończonego cągu węzłów (u ) Z : u = q dla każdego. Rozważamy funkcje B-sklejane N n (stopna n) określone dla takego cągu. a) Udowodnj, że N n +1 (qx) = Nn (x) dla każdego Z oraz x R. b) Oblcz wartośc wszystkch funkcj N 3 w punkce x = u 0, jeśl q = 2. c) Nech N > 6 nech s oznacza funkcję sklejaną trzecego stopna z węzłam u = 2 dla = 0,...,N. Przedstaw funkcję s w baze złożonej z funkcj B-sklejanych określonych dla tych węzłów napsz w postac rozwnętej równane (z newadomym współczynnkam funkcj s w tej baze) opsujące warunek nterpolacyjny s(u ) = a dla {3,...,N 3}; lczba a jest dana. Wskazówka. Możesz skorzystać z formuły Mansfelda-de Boora-Coxa: { N 0 1 dla x [u,u +1 ), (x) = 0 w przecwnym raze, 5. Całkę N n (x) = x u N n 1 (x)+ u +n+1 x N n 1 +1 (x) dla n > 0. u +n u u +n+1 u +1 I(f) = 1 1 f(x) dx przyblżamy kwadraturą nterpolacyjną Q a (f) = A 0 f(0)+a 1 f(a), dla pewnego a [ 1,1]. a) Znajdź współczynnk A 0, A 1 tej kwadratury (w zależnośc od węzła a). b) Podaj oszacowane błędu kwadratury Q a dla funkcj podcałkowej f C 2 [ 1,1]. c) Czy można wybrać węzeł a tak, aby otrzymać kwadraturę rzędu wększego nż 2? Odpowedź uzasadnj. Egzamn z Matematyk Oblczenowej, II rok Mat. (Ścśle tajne przed godz. 9:00 22 czerwca 2015.) Proszę bardzo uważne przeczytać treść zadań. Bardzo duży wpływ na ocenę będze mała czytelność rozwązań poprawność uzasadnena każdej odpowedz. 1. Macerz A o wymarach n n jest symetryczna. Opsz, jak można stosować odwrotną metodę potęgową do tej macerzy, mając do dyspozycj tylko procedurę znajdowana rozkładu na czynnk trójkątne metodą Choleskego, procedury rozwązywana układów równań lnowych z macerzam trójkątnym procedurę oblczana loczynu skalarnego. W szczególnośc, jake pary własne macerzy A da sę znaleźć przy użycu odwrotnej metody potęgowej zamplementowanej przy użycu tylko tych procedur? 2. Utwórz odpowedną bazę Newtona znajdź weloman w stopna co najwyżej 4 (tj. współczynnk welomanu w tej baze) spełnający warunk nterpolacyjne Hermte a podane w tabelce: x 1 3 w(x) 3 73 w (x) w (x) 10 Następne, bez przechodzena do bazy potęgowej, oblcz w(1) oraz w (3). 3. Nech f(x) = max{0,2x} dla x [ 1,1]. Znajdź weloman stopna co najwyżej 3, który jest optymalnym przyblżenem funkcj f w sense aproksymacj jednostajnej podaj błąd aproksymacj dla tego welomanu. Uzasadnj, że znalezony weloman jest optymalny, powołując sę na odpowedne twerdzene z wykładu. Wskazówka. Najperw rozwąż zadane aproksymacj dla funkcj g(x) = x, zaczynając od zrobena wykresu. 4. Całkę I(f) = 2 0 f(x)x dx przyblżamy kwadraturą Q(f) = A 0f(0)+A 1 f(c). Doberz węzeł c współczynnk A 0, A 1 tak, aby rząd kwadratury Q, oznaczony lterą r, był jak najwększy. Znajdź ten rząd podaj oszacowane błędu kwadratury dla funkcj f C r [0,2].

11 5. Nech u = dla = 0,...,N, gdze N > 10. Kubczną funkcję sklejaną s z węzłam u przedstawamy w baze B-sklejanej, N 4 s(x) = d N 3 (x). =0 Równane opsujące warunek nterpolacyjny s(u ) = a (gdze {3,...,N 3}) oraz równane opsujące warunek brzegowy lm xցu3 s (x) = 0 napsz w postac jawnej, tj. podając lczby, które są współczynnkam w tych równanach. Wskazówka. Do oblczena współczynnków możesz użyć wzorów { N 0 1 dla x [u (x) =,u +1 ), 0 w przecwnym raze, oraz N n (x) = x u N n 1 (x)+ u +n+1 x N n 1 u +n u u +n+1 u +1 d dx Nn (x) = n N n 1 (x) u +n u +1 (x) n u +n+1 u +1 N n 1 +1 (x). Egzamn poprawkowy z Matematyk Oblczenowej, II rok Mat. (Ścśle tajne przed godz. 10:00 9 wrześna 2015.) Proszę bardzo uważne przeczytać treść zadań. Bardzo duży wpływ na ocenę będze mała czytelność rozwązań poprawność uzasadnena każdej odpowedz. 1. Nech A = , v = nech H = I 2 v T v vvt R 3. a) Oblcz macerz B = H 1 AH b) Korzystając z wynku oblczena w punkce a), znajdź pełne rozwązane algebracznego zagadnena własnego dla macerzy A. c) Co można powedzeć o zbeżnośc (prostej) metody potęgowej rozwązywana algebracznego zagadnena własnego, zastosowanej do macerzy A? 2. Nech 2x+1 dla x < 1, 2 f(x) = 0 dla 1 2 x < 1, 2 2x 1 dla 1 x. 2 Znajdź weloman p stopna co najwyżej 2, który jest najlepszym przyblżenem funkcj f w przedzale [ 1,1] w sense aproksymacj jednostajnej (tj. w norme g = max x [ 1,1] g(x) ). Uzasadnj, że znalezony weloman jest tym, który należało znaleźć, powołując sę na odpowedne twerdzene z wykładu. Wskazówka: Funkcja f jest neparzysta, przedzał [ 1,1] jest symetryczny względem zera.

12 3. Chcemy znaleźć funkcję sklejaną s stopna 2, klasy C 1 [a,b], która w węzłach u 0 = a < u 1 < < u N 1 < u N = b przyjmuje zadane wartośc a 0,a 1,...,a N 1,a N. Znajdź (metodą różnc dzelonych) welomany drugego stopna H,0,H,1,H,2, take że H,0 (u ) = 1, H,0 (u +1 ) = 0, H,0(u +1 ) = 0, H,1 (u ) = 0, H,1 (u +1 ) = 1, H,1 (u ) = 0, H,2 (u ) = 0, H,2 (u +1 ) = 0, H,2(u ) = 1. Weloman p, opsujący funkcję s w przedzale [u,u +1 ], można przedstawć w tej baze: p (x) = a H,0 (x)+a +1 H,1 (x)+b H,2 (x). Wyprowadź równane lnowe z newadomym współczynnkam b k 1,b k, którego spełnene zapewna cągłość pochodnej funkcj s w węźle u k. Czy układ takch równań dla k = 1,...,N 1 jest nesprzeczny czy jest określony? Odpowedź uzasadnj. 4. Wedząc, że oraz + + e x2 dx = π, x 2k e x2 dx = (2k 1)!! 2 k π dla k = 1,2,3,... ((2k 1)!! oznacza loczyn wszystkch lczb neparzystych od 1 do 2k 1), znajdź weloman stopna co najwyżej 3, który jest optymalnym przyblżenem funkcj g(x) = x 4 w norme określonej wzorem f = ( + f 2 (x)e x2 dx) 1/2. Wskazówka: Funkcje x 4 oraz e x2 są parzyste. 5. Wedząc to, co w poprzednm zadanu, znajdź węzły współczynnk kwadratury Gaussa-Hermte a czwartego rzędu, przyblżającej całkę I(f) = + f(x)e x2 dx.

13 Rozwązywane równań nelnowych Rozważamy zadane znalezena lczby x, takej że f(x) = 0, przy czym mamy do dyspozycj podprogram oblczający wartość funkcj f dla argumentu x podanego jako parametr. To dla programu. Natomast aby tak program napsać, lub wybrać gotowy do rozwązana konkretnego zadana, zawsze musmy wedzeć coś węcej o funkcj f. Przede wszystkm trzeba wedzeć, czy rozwązane stneje. Czy stneje węcej nż jedno? A może neskończene wele? To oczywśce zależy od funkcj f. Dalej, jeśl rozwązań jest węcej, to czy mamy znaleźć wszystke, klka, czy tylko jedno, obojętne które, albo spełnające jakś dodatkowy warunek? Znajdujemy mejsce zerowe welomanu w k przyjmujemy, że jest to x k+1. Mamy stąd formułę x k+1 = x k f(x k) f (x k ). Interpretacja geometryczna jest taka: wykres funkcj f jest gładką krzywą, przechodzącą przez punkt (x k,f(x k )). Konstruujemy prostą styczną do wykresu w tym punkce przyjmujemy za x k+1 punkt przecęca stycznej z osą x. y x k x k+1 y = f(x) x Aby wybrać algorytm, musmy wedzeć też w jakm zborze ta funkcja jest określona czy jest cągła, przyda sę też wedza np. czy cągła jest jej pochodna rzędu 1, 2 być może dalsze. W nektórych metodach oprócz podprogramu oblczającego f(x) będze też potrzebny podprogram oblczający f (x), a nawet dalsze pochodne. Metoda Newtona Nech A oznacza ogranczony przedzał domknęty, w którym jest określona funkcja rzeczywsta f klasy C 2. Chcemy znaleźć w tym przedzale mejsce zerowe funkcj f (założymy, że stneje jest tylko jedno, w każdym praktycznym zastosowanu to założene oczywśce trzeba sprawdzć). Napszemy wzór Taylora: f(x+h) = f(x) 0! + f (x) 1! h+ f (ξ) h 2. 2! Rozumemy go tak: jeśl lczby x oraz x+h należą do przedzału A, w którym funkcja f jest klasy C 2, to stneje lczba ξ, leżąca pomędzy x oraz x+h, taka że powyższa równość zachodz. Metoda Newtona (często w lteraturze nazywana metodą stycznych lub metodą Newtona-Raphsona, wersja współczesna różn sę od wersj podanych przez nch obu) jest następująca: wyberamy lczbę x 0, która jest przyblżenem mejsca zerowego funkcj f, a następne konstruujemy rekurencyjne elementy cągu x 1,x 2,..., w tak sposób: mając x k, określamy weloman w k (x) = f(x k )+f (x k )(x x k ). Zbadamy, jake warunk wystarczy spełnć, aby cąg (x k ) k N zbegał do rozwązana, które oznaczymy lterą α. Przede wszystkm zauważmy, że w żadnym punkce tego cągu pochodna funkcj f ne może być zerowa. Naturalne jest założene, że w przedzale A pochodna znaku ne zmena, co węcej, zachodz nerówność f (x) K 1 dla pewnej stałej K 1 > 0. Dalej, poneważ f jest klasy C 2 (A), stneje stała M 2, taka że f (x) M 2 dla każdego x A. Oznaczmy ε k = x k α jest to (bezwzględny) błąd aproksymacj rozwązana przez k-ty element cągu. Na podstawe wzoru Taylora pszemy 0 = f(α) = f(x k )+f (x k )(α x k )+ 1 2 f (ξ k )(α x k ) 2. Lczba ξ k leży mędzy α x k. Dzelmy strony przez f (x k ): 0 = f(x k) f (x k ) +α x k + f (ξ k ) 2f (x k ) ε2 k = f(x k) f (x k ) +α x k+1 +x k+1 x k + f (ξ k ) 2f (x k ) ε2 k. Poneważ x k+1 x k = f(x k) f (x k, mamy stąd ) ε k+1 = f (ξ k ) 2f (x k ) ε2 k. (*)

14 Możemy oszacować ε k+1 M 2 2K 1 ε k 2. Aby zachodzła nerówność ε k+1 < ε k, wystarczy, że M 2 2K 1 ε k < 1, czyl ε k < 2K 1 M 2. Jeśl błąd przyblżena rozwązana przez punkt x 0, z którego zaczynamy, spełna tę nerówność, to każdy następny błąd ma mnejszą wartość bezwzględną nż poprzedn, co węcej, cąg błędów zbega do zera. Mamy zatem warunek dostateczny zbeżnośc metody, ale zbadajmy jeszcze szybkość tej zbeżnośc. Dowolną ustaloną lczbę b > 1 przyjmemy za podstawę logarytmu, którego tu użyjemy. Oznaczmy a k = log ε k oraz g(k) = log f (ξ k 1 ) 2f (x k 1 ). Na podstawe równośc (*) możemy napsać równane różncowe a k = 2a k 1 +g(k). Nech G = log M 2 2K 1. Jeśl rozważymy równane uproszczone, ã k = 2ã k 1 +G, dla którego przyjmemy ã 0 = a 0 < G, to dla każdego k mamy a k ã k = (a 0 +G) 2 k G. Cąg (ã k ) k N dąży wykładnczo do, a cąg (a k ) k N dąży do co najmnej tak samo szybko. Takm samym sposobem możemy znaleźć dolne oszacowane błędów, tj. lczb ε k. Nech zatem M 1 oznacza stałą, taką że dla każdego x A zachodz nerówność f (x) M 1. Przypuśćmy, że stneje też stała dodatna K 2, taka że f (x) K 2 dla każdego x A. 1 Mając take stałe, możemy napsać nerówność ε k+1 K 2 2M 1 ε k 2, a następne oznaczyć ^G = log K 2 2M 1 oszacować z dołu cąg (a k ) k N przez cąg (^a k ) k N będący rozwązanem równana różncowego ^a k = 2^a k 1 + ^G. 1 Poneważ funkcja f jest klasy C 2 (A), stnene takej stałej oznacza, że funkcja f jest albo wypukła, albo wklęsła. Jeśl zatem funkcja f spełna wszystke przyjęte założena mamy odpowedn punkt startowy x 0, to zachodzą nerównośc (a 0 + ^G) 2 k ^G a k (a 0 +G) 2 k G. Równoważne, mamy b (a 0+^G) 2 k ^G b a k b (a 0+G) 2 k G. Uporządkowane wyrażeń powązanych powyższym nerównoścam kończy dowód następującego twerdzena: Twerdzene. Jeśl funkcja f jest klasy C 2 w przedzale A, ma w nm mejsce zerowe α stneją stałe K 1 M 2, take że 0 < K 1 f (x) oraz f (x) M 2 dla każdego x A, x 0 A oraz x 0 α < 2K 1 M 2, to metoda Newtona startująca z punktu x 0 wytwarza cąg (x k ) k N zbeżny do α, przy czym x k+1 α M 2 2K 1 x k α 2. Jeśl ponadto stneją stałe M 1 K 2 > 0, take że dla każdego x A f (x) < M 1 oraz 0 < K 2 f (x), to K 2 2M 1 x k α 2 x k+1 α. Wnosek. Jeśl założena twerdzena są spełnone, to stneją dodatne lczby c, d, C, D, take że dla każdego k zachodzą nerównośc c(d x 0 α ) 2k x k α C(D x 0 α ) 2k. Z twerdzena wynka, że jeśl x k jest przyblżenem rozwązana, które ma n cyfr dokładnych, to x k+1 będze meć w przyblżenu 2n cyfr dokładnych. Zatem zbeżność jest bardzo szybka. Znając oszacowane ε 0 G oraz tolerancję błędu, można oszacować lczbę teracj wystarczającą do otrzymana rozwązana z błędem w grancach tej tolerancj. Uwaga. Można udowodnć zbeżność metody Newtona przy słabszych założenach, np. że funkcja f jest tylko klasy C 1, ale jej pochodna spełna warunek Lpschtza. Podstawowe pojęca w numerycznym rozwązywanu równań Równana nelnowe ( ch układy) są rozwązywane za pomocą metod teracyjnych przykładem jest przedstawona wyżej metoda Newtona. Powód jest tak, że rozwązana na ogół ne dają sę wyrazć za pomocą czterech dzałań algebracznych to dotyczy nawet równań drugego stopna (oczywśce, mamy do

15 dyspozycj perwastek kwadratowy, ale jego też oblcza sę teracyjne, za pomocą odpowednego mkroprogramu procesora). Aby meć ogólne spojrzene na metody teracyjne, wprowadzmy klka pojęć. Funkcja teracyjna jest to funkcja, która elementow x k, będącemu przyblżenem rozwązana, przyporządkowuje kolejne przyblżene, x k+1. W metodze Newtona funkcja teracyjna jest określona wzorem ϕ N (x) = x f(x) f (x). Jest jasne, że funkcja teracyjna pownna być tak skonstruowana, aby rozwązane α było jej punktem stałym, tj. aby było ϕ(α) = α. Istneje neskończene wele możlwośc przerobena równana f(x) = 0 na równoważne równane x = ϕ(x). W najprostszym przypadku możemy wząć ϕ(x) = x τf(x), z jakmś parametrem rzeczywstym τ. Oczywśce, ne zawsze otrzymana w ten sposób funkcja ϕ prowadz do otrzymana cągu zbeżnego. Aby zbeżność mała mejsce, trzeba, by w otoczenu rozwązana α funkcja ϕ była odwzorowanem zwężającym (może meć np. pochodną o wartośc bezwzględnej mnejszej od 1). Funkcje teracyjne dla pewnych metod są bardzej skomplkowane. Po perwsze, argumentem funkcj teracyjnej oprócz ostatnego przyblżena może być także jedno lub węcej poprzednch (czasam take metody nazywa sę metodam z pamęcą). Na przykład w metodze secznych, o której będze mowa dalej, potrzebne są dwa ostatne przyblżena, które ne mogą być jednakowe. Funkcja teracyjna ma w tym przypadku postać ϕ S (x,y) = x f(x) f(x) f(y), gdze f[x,y] =, f[x,y] x y zatem w kolejnych teracjach oblczamy x k+1 = ϕ S (x k,x k 1 ). Wreszce, funkcja teracyjna może w jawny sposób zależeć od numeru teracj, k w tym przypadku mówmy o metodze nestacjonarnej. Kula zbeżnośc rozwązana α jest to najwększa kula B o środku α (w przypadku równań z jedną newadomą jest to przedzał symetryczny względem α), taka że jeśl wyberzemy dowolny punkt startowy x 0 wewnątrz tej kul, to cąg (x k ) k N zbega do α. Znalezene kul zbeżnośc jest na ogół bardzo trudne, węc tego ne robmy, ale na podstawe własnośc funkcj f defncj metody możemy szacować jej promeń r. Na przykład, dla metody Newtona znaleźlśmy oszacowane r 2K 1 M 2. Jest oczywste, że jeśl równane ma klka rozwązań, to każde z nch ma własną kulę zbeżnośc wszystke te kule są rozłączne. Kule zbeżnośc pewnych rozwązań mogą być zborem pustym może sę zdarzyć, że dana metoda ne jest w stane takch rozwązań znaleźć. Warto natomast zwrócć uwagę, że jeśl punkt startowy ne należy do kul zbeżnośc żadnego rozwązana, to metoda może znaleźć rozwązane, jeśl otrzymany po pewnej lczbe teracj punkt wpadł do kul zbeżnośc. Tylko, że ne należy lczyć na tak przypadek. Twerdzenem o ogromnym znaczenu praktycznym, a zwłaszcza w metodach numerycznych, jest twerdzene Banacha o punkce stałym: jeśl zbór X z metryką ρ jest zupełną przestrzeną metryczną, a funkcja ϕ: X X jest przekształcenem zwężającym (tj. stneje stała L < 1, taka że a,b X ρ(ϕ(a),ϕ(b)) Lρ(a,b)), to funkcja ϕ ma jeden punkt stały w zborze X. Wykazane, że metoda dzała, tj. wytwarza cąg zbeżny do rozwązana, często sprowadza sę do znalezena (wykazana stnena lub oszacowana promena) kul X, zawartej w kul zbeżnośc, w której funkcja teracyjna ϕ jest przekształcenem zwężającym. Wykładnk zbeżnośc metody opsuje asymptotyczną szybkość zbeżnośc cągu (x k ) k N do rozwązana. Przeprowadzony rachunek dla metody Newtona dowódł, że jeśl funkcja f spełna uczynone założena, to wykładnk zbeżnośc jest równy 2. Formalna defncja jest taka: wykładnk zbeżnośc metody jest to najwększa lczba p, taka że stneją stałe K C < +, take że dla każdego k K zachodz nerówność ε k+1 C ε k p, czyl log ε k+1 logc+plog ε k. Wykładnk zbeżnośc pownen być wększy lub równy 1, przy czym jeśl p = 1, to oczywśce mus być C < 1. Przykładem metody o wykładnku zbeżnośc 1 jest metoda bsekcj: w każdej teracj otrzymujemy przyblżene rozwązana z oszacowanem błędu mnejszym o połowę. Równeż metoda Newtona ma wykładnk zbeżnośc 1, jeśl ne jest spełnone założene, że pochodna funkcj f w otoczenu rozwązana jest nezerowa. Jeśl p > 1, to dla ustalonego K stneją stałe c, d, r s, take że dla każdego k > K log ε k c+(log ε K +d)p k K, czyl ε k r(s ε K ) pk K. Ostatne przedstawane tu pojęce podstawowe to maksymalna granczna dokładność. Analza metody Newtona była przeprowadzona przy założenu, że ne ma błędów w oblczenach, tj. zarówno wartośc funkcj f pochodnej w x k są oblczane dokładne, jak w końcowych dzałanach oblczena wartośc funkcj teracyjnej ne ma błędów. Oblczena wykonujemy jednak z błędam zaokrągleń,

16 które ogranczają możlwą do uzyskana dokładność rozwązana. Wartość funkcj f jest oblczana z pewnym błędem, dalsze dzałana w oblczanu funkcj teracyjnej też są nedokładne. Za rozwązane metoda może zatem przyjąć dowolny punkt przedzału, w którym błąd oblczonej wartośc funkcj f jest wększy lub równy 100%. Jeśl pochodna funkcj jest blska 0, to ten przedzał może być dług. Metoda secznych Wadą metody Newtona jest koneczność oblczana pochodnej funkcj f. Metoda secznych jest modyfkacją metody Newtona, w której pochodna została zastąpona przez różncę dzeloną (albo loraz różncowy, jak kto wol), czyl pewne przyblżene pochodnej. Mając dwa różne przyblżena rozwązana, x k x k 1, prowadzmy prostą przez punkty (x k,f(x k )) (x k 1,f(x k 1 )). Prosta ta przecna (secze) wykres funkcj f w tych punktach, w tym sense jest jego seczną. y x k x k+1 x k 1 y = f(x) Skonstruowana seczna jest wykresem welomanu perwszego stopna. Punkt x k+1 jest mejscem zerowym tego welomanu. W metodze secznych należy podać dwa początkowe przyblżena rozwązana, x 0 x 1, a następne w każdej teracj oblczać x k+1 = x k f(x k) f[x k,x k 1 ], gdze f[x k,x k 1 ] = f(x k) f(x k 1 ) x k x k 1. Aby dokonać analzy metody secznych, użyjemy pewnego uogólnena wzoru Taylora: f(z) = f(x)+f[x,y](z x)+ f (ξ) (z x)(z y). 2! x Wzór ten jest szczególnym przypadkem wzoru opsującego resztę nterpolacyjną Hermte a, który podam (z dowodem) na jednym z dalszych wykładów. Podany wyżej wzór rozumemy w ten sposób, że jeśl lczby x, y, z leżą w przedzale A, w którym funkcja f jest klasy C 2, to stneje ξ A, take że podana wyżej równość zachodz (lczba ξ leży mędzy najmnejszą najwększą spośród tych trzech lczb). Jak poprzedno, α oznacza poszukwane rozwązane, zaś ε k = x k α. Lczymy 0 = f(α) = f(x k )+f[x k,x k 1 ](α x k )+ f (ξ k ) (α x k )(α x k 1 ) 2 dzelmy stronam przez f[x k,x k 1 ]: 0 = f(x k) f[x k,x k 1 ] +α x k+1 +x k+1 x k + f (ξ k ) 2f[x k,x k 1 ] (α x k)(α x k 1 ), skąd, po skrócenu podkreślonych składnków, otrzymujemy 0 = α x k+1 + f (ξ k ) 2f[x k,x k 1 ] (α x k)(α x k 1 ), a po uporządkowanu uwzględnenu faktu, że stneje lczba η k położona mędzy x k x k 1, taka że f[x k,x k 1 ] = f (η k ), mamy stąd równość ε k+1 = f (ξ k ) 2f (η k ) ε kε k 1. (**) Jeśl, jak poprzedno, możemy oszacować f (x) K 1 > 0 f (x) M 2 dla każdego x A, to mamy ε k+1 M 2 2K 1 ε k ε k 1. Jeśl oba błędy, ε k ε k 1, mają wartośc bezwzględne mnejsze nż 2K 1 M 2, to wartośc bezwzględne kolejnych błędów będą coraz mnejsze w ten sposób mamy oszacowany promeń kul zbeżnośc. Zbadajmy jeszcze rząd zbeżnośc. W tym celu oznaczmy a k = log ε k oraz g(k) = log f (ξ k 1 ) f (η k 1 G = log M 2 ) 2K 1. Na podstawe (**) możemy napsać równane różncowe drugego rzędu, a k = a k 1 +a k 2 +g(k), jego uproszczoną wersję ã k = ã k 1 +ã k 2 +G. Dla ustalonych wyrazów początkowych, ã 0 = a 0 ã 1 = a 1, stneją lczby c, d, e (mnejsza o dokładne wzory, ale zachęcam do ch znalezena dla wprawy), take że ã k = cλ k 1 +dλ k 2 +e, gdze λ 1 = 1 5 2, λ 2 = 1+ 5, 2

17 jeśl lczby a 0 a 1 są dostateczne małe, to d < 0. Składnk dλ k 2 domnuje wtedy cąg (ã k ) k N zbega wykładnczo do, zachodz też nerówność a k ã k dla każdego k. Polecam jako ćwczene dokończene dowodu twerdzena Twerdzene. Jeśl funkcja f jest klasy C 2 w przedzale A, ma w nm mejsce zerowe α stneją stałe K 1 M 2, take że 0 < K 1 f (x) oraz f (x) M 2 dla każdego x A, x 0,x 1 A, x 0 x 1 oraz x 0 α, x 1 α < 2K 1 M 2, to metoda secznych startująca z punktów x 0,x 1 wytwarza cąg (x k ) k N zbeżny do α, a ponadto stneje H > 0 take że dla każdego k zachodz nerówność x k+1 α H x k α λ 2. Jeśl ponadto stneją stałe K 2 M 1, take że f (x) M 1 oraz 0 < K 2 f (x) dla każdego x A, to stneje h > 0, take że h x k α λ 2 x k+1 α Wnosek. Jeśl założena twerdzena są spełnone, to stneją stałe dodatne r, s, R, S, take że r(s x 0 α ) λk 2 xk α R(S x 0 α ) λk 2 Tak węc dla dostateczne dużych k, jeśl przyblżene x k rozwązana α ma n cyfr dokładnych, to przyblżene x k+1 będze ch mało około λ 2 n. Wykładnk zbeżnośc metody secznych, λ , jest ułamkem. Metoda secznych ma mnejszy wykładnk zbeżnośc nż metoda Newtona, ale jedna jej teracja jest tańsza odpada oblczane pochodnej. Okazuje sę, że jeśl zadamy tolerancję ε dopuszczalnego błędu, to metoda secznych może znaleźć dostateczne dokładne rozwązane szybcej (w wększej lczbe teracj, z których każda zajmuje mnej czasu). Z tego punktu wdzena, jeśl koszt oblczana różncy dzelonej uznamy za nestotny, to metoda Newtona jest bardzej opłacalna, gdy log2 koszt oblczana pochodnej ne przewyższa ok. logλ kosztu oblczana wartośc funkcj f. Metoda Newtona dla układu równań Rozważamy teraz zadane znalezena wspólnego mejsca zerowego n rzeczywstych funkcj skalarnych, których argumentam jest n zmennych rzeczywstych. Możemy zatem napsać układ w postac rozwnętej: f 1 (x 1,...,x n ) = 0,. f n (x 1,...,x n ) = 0, lub zwnętej f(x) = 0. Zakładamy, że funkcja f jest określona w pewnym obszarze A przestrzen R n ma wartośc w R n. Nech h = [h 1,...,h n ] T. Dla funkcj skalarnej f klasy C 2 (A), możemy napsać wzór Taylora: f (x+h) = 1 0! f (x)+ 1 1! Df x (h)+ 1 2! D2 f ξ (h,h). Rozumemy go tak: jeśl obszar A zawera odcnek o końcach x x+h, to stneje punkt ξ na tym odcnku, tak że powyższa równość zachodz (przykład na rysunku). A z z = f(x,y) Symbol Df x oznacza różnczkę funkcj f w punkce x, czyl przekształcene lnowe, które dowolnemu wektorow h przyporządkowuje lczbę Df x (h) = f x 1 x h f x n x h n. Wartoścą tego przekształcena jest zatem loczyn skalarny gradentu funkcj f w punkce x wektora h. Symbol D 2 f ξ oznacza różnczkę drugego rzędu, tj. przekształcene dwulnowe, którego wartoścą dla pary wektorów (g, h) jest lczba D 2 f ξ (g,h) = n n j=1 k=1 2 f x j x k ξ g j h k. x y

18 1.11 z 1.12 Drobny kłopot (o którym ne należy zapomnać) jest tak, że punkt ξ dla każdego może być nny, dlatego ne można tak prosto zapsać odpowednego wzoru dla funkcj wektorowej f. Nemnej, ze wzoru Taylora wynka, że jeśl obszar A zawera odcnek x,x+h, to dla wektorowej funkcj f klasy C 2 (A) zachodz równość f(x+h) = f(x)+df x (h)+r, (* * *) przy czym Df x jest różnczką przekształcena f w punkce x, a ponadto stneje macerz B (zależna od x h) o wymarach n n współczynnkach wektorowych b jl = [ 2 f 1 ] ξ1 x j x l,..., 2 f n T ξn x j x l R n, taka że reszta we wzorze (**) jest równa * n n r = h T Bh = b jl h j h l, ( ** **) j=1 spełna oszacowane l=1 y f 2 (x) = 0 x k f 1 (x) = 0 α x x z z = f 1 (x) x k α z = f 2 (x) y r M 2 2 h 2 dla pewnej stałej M 2 (stała ta jest określona przez pochodne drugego rzędu funkcj f w obszarze A przez używaną normę). y f 1 (x) = 0 z = f 1 (x) Metoda Newtona polega na tym, że mając przyblżene x k rozwązana α, konstruujemy przekształcene afnczne R n R n, określone przez perwsze dwa składnk po prawej strone wzoru (* * *), a następne przyjmujemy za x k+1 mejsce zerowe tego przekształcena. Czyl x k x k y x k+1 = x k (Df xk ) 1( f(x k ) ). Aby oblczyć x k+1, należy oblczyć wektor f k = f(x k ) oraz macerz pochodnych cząstkowych perwszego rzędu f 1 xk f x xk x n J k =.., x x z f n x 1 xk... f n x n xk która reprezentuje różnczkę funkcj f w punkce x k, a następne rozwązać układ równań lnowych y z = f 2 (x) J k δ = f k oblczyć x k+1 = x k +δ. Oczywśce, aby to oblczene było wykonalne, macerz J k mus być neosoblwa. Ilustrację jednego kroku metody dla pewnego układu dwóch równań z dwema newadomym mamy na rysunkach. Każda z dwóch funkcj skalarnych, f 1 f 2, jest przyblżana przez weloman perwszego stopna, który w punkce x k ma tę samą wartość pochodne cząstkowe, co ta funkcja. Punkt x k+1 jest przecęcem zborów mejsc zerowych tych welomanów. f 2 (x) = 0 x k x x x k y

19 z y f 2 (x) = 0 x k f 1 (x) = 0 α xk+1 x x Przyjmemy założene, że stneje taka stała K 1, że dla każdego punktu x w rozpatrywanym obszarze A różnczka przekształcena f spełna warunek (Df x ) 1 K 1 1. Zatem, dla x k A jest J 1 k K 1 1. Na podstawe wzorów (* * *) (**), mamy ** x k α x k+1 0 = f(α) = f(x k )+J k (α x k )+(α x k ) T B k (α x k ), Dalej postępujemy dentyczne, jak w przypadku skalarnym. Oznaczamy ε k = x k α. Strony równośc mnożymy 2 przez J 1 k, oraz odejmujemy dodajemy x k+1 skracamy: 0 = J 1 k f(x ( ) ( ) k)+α x k+1 +x k+1 x k +J 1 k ε T k B k ε k = α xk+1 +J 1 ε T k B k ε k. Stąd welkość błędu kolejnego przyblżena rozwązana, ( ) ε k+1 = J 1 k ε T k B k ε k, możemy oszacować tak: ε k+1 M 2 2K 1 ε k 2. Jeśl funkcja f spełna przyjęte założena, to wykładnk zbeżnośc metody Newtona jest ne mnejszy nż 2 (a jeśl stneje stała K 2 > 0, taka że 2 We wzorach ponżej wyrażene ε T k B kε k jest w nawase, poneważ tak zapsane mnożene macerzy ne jest łączne ne mnożymy J 1 k εt k, bo to ne ma sensu. Ten sam wynk moglbyśmy otrzymać, mnożąc (z lewej strony) wektorowe współczynnk (zobacz wzór (**)) macerzy B ** k przez J 1 k, a następne otrzymany loczyn z lewej prawej strony odpowedno przez εt k ε k. k y r K 2 2 h 2, zobacz (**), to jest równy 2) końcowy rachunek ** (z rozwązywanem równana różncowego) jest dentyczny jak dla równana z jedną newadomą. Polecam jako ćwczene sformułowane odpowednego twerdzena (analogcznego do twerdzena dla równana z jedną newadomą), ze szczególnym uwzględnenem wszystkch nezbędnych założeń. Modyfkacje Metoda Newtona dla układu równań może być dość kosztowna: oprócz wartośc funkcj f, składającej sę z n lczb, trzeba oblczyć macerz J k, tj. w ogólnośc n 2 lczb, a następne rozwązać układ równań lnowych, co może wymagać wykonana Θ(n 3 ) dzałań zmennopozycyjnych. Ze wzrostem lczby równań newadomych koszty te mogą stać sę zaporowe. Dla bardzo dużych n często macerz J k jest rzadka, tj. ma znaczne mnej nż n 2 współczynnków nezerowych. W takm przypadku należy po perwsze oblczać tylko współczynnk nezerowe (ch rozmeszczene w macerzy należy wyznaczyć zawczasu), a ponadto użyć metody rozwązywana układu równań lnowych dostosowanej do macerzy rzadkej. Często stosuje sę rozmate modyfkacje metody Newtona. Po perwsze, zamast oblczać współczynnk macerzy J k na podstawe dokładnych wzorów, które mogą być znaczne bardzej skomplkowane (czyl droższe) nż wzory opsujące funkcje f, można oblczać różnce dzelone; w tym celu trzeba oblczyć wartośc funkcj f w n+1 punktach. Jeśl punkty x k n,...,x k są w położenu ogólnym, tj. wektory x j x k dla j = k n,...,k 1 są lnowo nezależne, to można oblczyć przyblżene J k macerzy J k na podstawe wartośc funkcj f w tych punktach. W ten sposób powstaje welowymarowa metoda secznych. Różnczka przekształcena afncznego f: R n R n, które w punktach x k n,...,x k przyjmuje wartośc f k n,...,f k, jest taka sama w każdym punkce przestrzen spełna warunek D f(x x k ) = f(x) f k, z którego wynka równość J k X = F, gdze J k oznacza macerz pochodnych przekształcena f, zaś X = [x k n x k,...,x k 1 x k ], F = [f k n f k,...,f k 1 f k ].

20 Jeśl węc macerze X F są neosoblwe, to mamy J = FX 1 oraz J 1 = XF 1. W k+perwszym kroku metody secznych rozwązujemy układ równań Fβ = f k, po czym oblczamy δ = Xβ x k+1 = x k +δ. Koszt tego oblczena w ogólnym przypadku jest rzędu n 3 operacj. Wadą welowymarowej metody secznych jest bardzo mały wykładnk zbeżnośc (blsk 1) dla dużych n. Kolejna modyfkacja polega na wykorzystanu macerzy J k w klku kolejnych teracjach. To równeż obnża wykładnk zbeżnośc, ale dodatkowe teracje z tą samą macerzą są bardzo tane: ne trzeba oblczać pochodnych można skorzystać z gotowych czynnków (np. trójkątnych) rozkładu macerzy. Koszt rzędu n 3 w rozwązywanu układów równań lnowych jest zwązany z rozkładanem macerzy na te czynnk, mając je, można rozwązać układ kosztem Θ(n 2 ) dzałań. Po perwsze, można dać lmt lczby teracj, np. określony przez parametr procedury. W welu typowych zastosowanach, jeśl metoda Newtona ne znalazła rozwązana (z granczną dokładnoścą) po sedmu 3 teracjach, to już ne znajdze (bo funkcja ne spełna warunków konecznych dzałana metody, zaczęlśmy od złego przyblżena startowego, lub w ogóle ne ma rozwązana). Druge kryterum stopu jest resdualne. Resduum równana w punkce x k jest to lczba f(x k ) (lub wektor f(x k )). Jeśl resduum ma dostateczne małą wartość bezwzględną (lub normę, dla układu równań), na przykład porównywalną z oszacowanem błędu, z jakm oblczamy wartośc funkcj f, to przerywamy oblczena. Wreszce jest kryterum przyrostowe. Oblczena przerywamy, gdy wartość bezwzględna (lub norma) przyrostu δ = x k+1 x k jest mnejsza nż pewna welkość progowa. Dla welu metod długość przyrostu w danym kroku jest górnym oszacowanem błędu rozwazana przyblżonego x k (ale to zależy także od funkcj f). Istneją modyfkacje metody Newtona, mające na celu powększene kul zbeżnośc poszukwanych rozwązań. Dla ne dość dobrego punktu x k często zdarza sę, że przyrost δ, otrzymany przez rozwązane układu równań J k δ = f k jest za duży. Wtedy można przyjąć x k+1 = x k +βδ, dla odpowedno wybranego parametru β (0,1). Metoda skutecznejsza, choć bardzej kosztowna, polega na wyznaczenu przyrostu przez rozwązane układu równań (J k +λi)δ = f k, z odpowedno wybranym parametrem λ. Metoda ta może być też skuteczna w pewnych przypadkach, gdy macerz J k jest osoblwa. Parametr λ doberamy tak, aby otrzymać jak najmnejsze resduum układu, tj. aby zmnmalzować normę wektora f k+1. Po pewnej lczbe teracj możemy otrzymać przyblżene rozwązana należące do kul zbeżnośc metody Newtona od tej chwl przyjmować λ = 0. Krytera stopu Ważnym elementem oblczeń jest podjęce decyzj o ch przerwanu. Na przykład wykonywane kolejnych teracj po osągnęcu maksymalnej grancznej dokładnośc jest stratą czasu. Dlatego w pętl, realzującej teracje, mus sę pojawć jedna lub węcej nstrukcj przerywających oblczena po spełnenu pewnego warunku. 3 Proszę ne sugerować sę, że zawsze tak lmt jest dobry!