ŚLĄSKI PRZEGLĄD STATYSTYCZNY

Transkrypt

1 Polskie Towarzystwo Statystycze Oddział we Wrocławiu ŚLĄSKI Silesia Statistical Review Nr 13 (19) Wydawictwo Uiwersytetu Ekoomiczego we Wrocławiu Wrocław 2015

2 RADA NAUKOWA Walety Ostasiewicz, Tadeusz Bedarski, Iva Belko, Luisa Caal, Staisław Heilper, Staislava Hroová, Agiola Pollastri, Jerzy Śleszyński, Reihard Viertl, Halia Woźiak, Michele Zega, Emilia Zimkova KOMITET REDAKCYJNY Zofia Rusak (redaktor aczely) Edyta Mazurek (sekretarz aukowy) Tadusz Borys, Katarzya Ostasiewicz, Grażya Trzpiot RECENZENCI WSPÓŁPRACUJĄCY Z CZASOPISMEM Helea Jasiulewicz, Wojciech Kordecki, Dorota Kuchta, Aa Malia, Zofia Mielecka-Kubień, Dauta Mierzwa, Staisława Ostasiewicz, Barbara Podolec, Katarzya Sawicz, Juliusz Siedlecki, Jerzy Wawrzyek, Jausz Wywiał Iformacje o aborze artykułów i zasadach recezowaia zajdują się a stroie iteretowej Wydawictwa Czasopismo jest ideksowae w astępujących bazach: BazEko CEEOL EBSCO Woly dostęp do wersji elektroiczej: silesiastatreview.ue.wroc.pl Cetrum Otwartej Nauki Dolośląska Biblioteka Cyfrowa

3 Spis treści Od Redakcji 5 Muhammad Shafiq, Reihard Viertl: Geeralized Kapla Meier Estimator for Fuzzy Survival Times 7 Jausz Łyko, Atoi Smoluk: Próba formalej defiicji dobrobytu 15 Teresa Kupczyk, Waldemar Kordecki: Statistical correlatios betwee the Kowledge Ecoomy Idex ad Geder (i)equality Idex 29 Aa Kowalska: Pomoc państwa w zakresie dożywiaia dzieci i młodzieży w Polsce 43 Agieszka Tarowska: Możliwości edukacyje i wychowawcze a obszarach wiejskich województwa dolośląskiego a tle kraju 57 Damia Gąska: Progozowaie bakructwa za pomocą klasyfikatorów rozmytych realizujących ideę maksymalego margiesu 71 Joaa Dębicka, Agieszka Marciiuk: Aaliza porówawcza hipoteczych ret małżeńskich w krajach Uii Europejskiej 89 Staisława Ostasiewicz: Statystycza aaliza ryzykowych sytuacji decyzyjych 111 Tadeusz Gerstekor: Uwagi o wzorze a momety rozkładu prawdopodobieństwa Pólyi 131 Katarzya Ostasiewicz, Walety Ostasiewicz: Reshapig ecoomics to ecompass quality of life issues 137 Edyta Mazurek: Kosekwecje zmia ulgi prorodziej w polskim systemie podatkowym 161 Walety Ostasiewicz: Professor Zdzisław Heryk Hellwig ( ) 177 Walety Ostasiewicz: O trwałym rozwoju 183 Walety Ostasiewicz: Celebratig the 90 th Birthday of Professor Oscar Sheyi 209 Katarzya Ostasiewicz: Problemy z próbami, dyskrymiacją rasową i edukacją: ekoometria i zagadieia społecze w pracy Jamesa J. Heckmaa (agroda imieia Nobla, 2000) 221 Witold Więsław: Pierwsza polska rozprawa z rachuku prawdopodobieństwa 251 Agata Girul: Ważiejsze dae społeczo-gospodarcze o województwach 283

4 ŚLĄSKI 4 Spis treści Summaries Muhammad Shafiq, Reihard Viertl: Uogólioy estymator Kaplaa Meiera dla rozmytego czasu przeżycia 14 Jausz Łyko, Atoi Smoluk: A attempt of the formal defiitio of well-beig 27 Teresa Kupczyk, Waldemar Kordecki: Statystycze związki pomiędzy wskaźikiem gospodarki opartej a wiedzy (Kowledge Ecoomy Idex) a stopiem ie/rówości kobiet i mężczyz (Geder Equality Idex) 42 Aa Kowalska: State aid for childre ad youth i terms of feedig i Polad 55 Agieszka Tarowska: Educatioal ad childcare opportuities i rural areas of Lower Silesia voivodship compared to the whole coutry 69 Damia Gąska: Bakruptcy predictio with Maximum Margi Fuzzy Classifiers 88 Joaa Dębicka, Agieszka Marciiuk: Comparative aalysis of marriage reverse auity cotracts i the coutries of the Europea Uio 110 Staisława Ostasiewicz: Statistical aalysis of risky situatios 130 Tadeusz Gerstekor: Remarks o the formula for the momets of the Pólya probability distributio 135 Katarzya Ostasiewicz, Walety Ostasiewicz: Przystosowaie ekoomii do badań ad jakością życia 158 Edyta Mazurek: Effects of chages i the Pro-family Tax Relief i The Polish Tax System 175 Walety Ostasiewicz: O the sustaiable developmet 208

5 UWAGI O WZORZE NA MOMENTY ROZKŁADU PRAWDOPODOBIEŃSTWA PÓLYI ŚLĄSKI Tadeusz Gerstekor Emerytoway profesor Uiwersytetu Łódzkiego ISSN e-issn DOI: /sps Streszczeie: Rozkład prawdopodobieństwa zmieej losowej może być scharakteryzoway przez podaie pewych liczb zwaych parametrami rozkładu. Do ajczęściej używaych parametrów ależą momety. W pracy skocetrujemy się a rozkładzie Pólyi, bowiem moża z iego łatwo uzyskać jako przypadki szczególe lub odpowiedio graicze waże w statystyce rozkłady, takie jak dwumiaowy, ujemy dwumiaowy lub Poissoa. W 1972 r. G. Mühlbach podał iteresujące wzory a momety rozkładu Pólyi. Autor te ie wikał w oceę efektywości rachukowej podaego wzoru a momety zwykłe. Pokażemy, co ma zaczeie praktycze, że wzór te moża przedstawić w prostszej, wygodej formie. Słowa kluczowe: rozkład Polyi, momet zwykły. 1. Wstęp Zmiea losowa jest zasadiczo wystarczająco dokładie opisaa przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktycze dyktują jedak potrzebę zalezieia charakterystyk liczbowych rozkładu, poieważ są to opisy krótkie i umożliwiają szybkie porówaie rozkładów ze sobą. W statystyce teoretyczej, a także w statystyce użytkowaej w ekoomii zachodzi często potrzeba uchwyceia zasadiczych własości badaej zbiorowości. Abstrahujemy wtedy od wielu szczegółów, a własości, o których podkreśleie am chodzi, charakteryzujemy iejedokrotie też za pomocą jedej lub kilku liczb. Należą do ich w pierwszym rzędzie średia arytmetycza i odchyleie przecięte, a przypadku rozkładu momety. 2. Rozkład G. Pólyi W iiejszej pracy aalizujemy wzór a momety rozkładu G. Pólyi poday w 1972 r. przez G. Mühlbacha. W tym celu przypomimy, że rozkład te wyraża się wzorem

6 ŚLĄSKI 132 Tadeusz Gerstekor P(X = k) =, k 1(1+a)(1+2a) [1+( 1)a] gdzie = 1,2,, k = 01,2,,, a dowola liczba, przy czym dla a < 0 zakładamy p(p+a)) [p+(k 1)a]q(q+a [q+( k 1)a] a mi(p, q), q = 1 p. W celu ułatwieia zapisu tego dość rozciągliwego wzoru, posługujemy się zwykle tzw. wielomiaami czyikowymi stopia r względem x (azywaymi także uogólioą r-tą potęgą liczby x) w sposób astępujący x [0,a] = 1, x [r,a] = x [r-1,a].[x (r 1)a], gdzie r =1,2,, zaś a ozacza dowolą liczbę. Z podaego tu określeia rekurecyjego wyika, że x [r,a] = x(x a)(x 2a) [x-(r-1)a]. W oparciu o powyższe wzory rozkład Pólyi moża zapisać astępująco P(X = k) = p[k, a] k. 1 [, a] q[ k, a]. G. Mühlbach zapisywał te rozkład w ieco iej symbolice co sprowadza się do zapisu q,x (x, a) = k φ k (x,a)φ k(1 x,a), φ (1,a) φ (x, a) = x [k, a]. 3. Wzór a momety G. Mühlbacha Dla zalezieia wzoru a momety zwykłe w rozkładzie Pólyi, G. Mühlbach posłużył się operatorem Q [f; x, a], który przedstawia się astępująco Q [f; x, a] = l Δ l f x,l q,l (x, a), l=0 gdzie Δ l f x,k ozacza różicę rzędu l określoą astępująco Δ 0 f x,k = f(x,k ), Δ l+1 f(x,k )=Δ l f x,k+1 Δ l f(x,k ), l = 0,1,2,,

7 Uwagi o wzorze a momety rozkładu prawdopodobieństwa Pólyi 133 atomiast q,l (x, a) = P(x = l), jak uprzedio podao. W oparciu o poday operator autor uzyskał astępujący wzór a momety gdzie m r = Q [g r ; x, a] = l=0 l g r t,l. q,l (x, a), co moża także zapisać w postaci g r t,l = (t,l ) r, t,l = l, m r = lub w bardziej zaej symbolice l=0, φ l (1,a) l g r(t,l ) φ l(x,a) ŚLĄSKI m r = l=0 Δl g l r (t,l ) x[l, a] 1 [l, a], gdzie przy tej stosowaej otacji x = p. 4. Modyfikacja wzoru Mühlbacha Autor ie wikał w oceę efektywości rachukowej podaego wzoru. Wzór te moża przedstawić w prostszej i wygodiejszej do obliczeń formie przy pomocy liczb Stirliga S l r drugiego rodzaju, które określamy jako współczyiki przy wielomiaach czyikowych w tożsamości przyjmując x r = S r 0 x [0] + S r 1 x [1] + S r 2 x [2] + S r r x [r] = r l=0 S r l x [l], S 0 0 = 1, S 0 r = 0 dla r = 1,2,, S r r = 1 dla r = 1,2,, S k r = 0 dla r < k, oraz korzystając z różic skończoych zera, to jest różicy fukcji y = x k w pukcie x=0 z krokiem 1, tz. Δ0 k = 1 k 0 k, Δ 2 0 k = Δ(1 k 0 k ) = 2 k 2. 1 k + 0 k itd. Zachodzi astępujący wzór rekurecyjy, który jest wykorzystyway przy układaiu tablic różic skończoych zera Δ l 0 k+1 = l(δ l 0 k + Δ l 1 0 k ), l k.

8 ŚLĄSKI 134 Tadeusz Gerstekor Uwzględiając, że [l] = l l! oraz fakt, że różica rzędu l we wzorze a momety jest liczoa w pukcie zero, otrzymujemy zapis tego wzoru w postaci m r = [l] Δ l r x[l, a] l=0 0. l! 1 [l, a] Zachodzi astępujący związek między różicami skończoymi zera a liczbami Stirliga drugiego rodzaju Δ l 0 r l! = S l r, więc wzór a momety moża zapisać ostateczie w postaci m r = l=0. 1 [l, a] [l] S l r x[l, a] Liczby Stirliga są stablicowae, p. przez Kaufmaa [1968], więc pozwala to dość sprawie wyliczyć momet potrzebego rzędu. Na przykład m 1 = l=0, 1 [l] 1 S x[l, a] l = x [l, a] m 2 = x + ( 1). x(x+a) 1+a, m 3 = x + 3( 1) x(x+a) +( 1)( 2)x(x+a)(x+2a), 1+a (1+a)(1+2a) x(x + a) m 4 = x + 7( 1) 1 + a x(x + a)(x + 2a) + 6( 1)( 2) (1 + a)(1 + 2a) + +( 1)( 2)( 3) x(x+a)(x+2a)(x+3a) (1+a)(1+2a)(1+3a). 5. Wzór rekurecyjy a momety W podręcziku z rachuku prawdopodobieństwa Gerstekor i Śródka [1972] poday jest wzór rekurecyjy a momety (wzór , s. 227) wraz z dowodem w schemacie Pólyi losowego pobieraia kul

9 Uwagi o wzorze a momety rozkładu prawdopodobieństwa Pólyi 135 z ury, tz. gdy N liczba kul w urie, b liczba białych kul w urie, c liczba czarych kul w urie, b+c=n, s liczba dodawaych lub wyjmowaych kul z ury daego koloru w zależości od koloru uprzedio wylosowaej i zwrócoej kuli do ury. Wzór te jest postaci m r+1 = 1 r (b r r (b s) s r N+rs i=0 i i + 1 i + 2 )m r i, gdzie r=0,1,2,, liczba przeprowadzoych doświadczeń (losowań). W przypadku s < 0 ależy przyjąć założeie ks b i ( k)s c, k = 0,1,2,. W schemacie Pólyi pytamy o prawdopodobieństwo otrzymaia k kul białych a losowań. Jeśli uwzględimy zaą w tym schemacie zależość: b N = p, c N = q, s N = a, to otrzymamy wygodą formę wzoru dla rozkładu Pólyi m r+1 = 1 r (p r r (p a) a r 1+ra i=0 i i + 1 i + 2 )m r i. Z podaych tu wzorów a momet rozkładu Pólyi uzyskuje się łatwo jako przypadki szczególe wzory a momety rozkładów dwumiaowego (Beroulliego), hipergeometryczego, ujemego dwumiaowego, a w przypadku graiczym także dla rozkładu Poissoa. ŚLĄSKI Literatura Gerstekor T., Śródka T., Kombiatoryka i rachuek prawdopodobieństwa, PWN, Warszawa Kaufma A., Itroductio a la Combiatorique e Vue des Applicatios,Paris, Duod Mühlbach G., Rekursiosformel fur die zetrale Momete der Pólya- ud der Beta- -Verteilug, Metrika 19, 1972, vol. 2 3, s REMARKS ON THE FORMULA FOR THE MOMENTS OF THE PÓLYA PROBABILITY DISTRIBUTION Summary: The probability distributio of a radom variable ca be characterized by some umbers called parameters of the distributio. The most commoly used parameters are the momets. Our attetio is cocetrated o the Pólya distributio because it is easily possible to obtai from it some special cases very importat i the statistics distributios such as biomial, egative biomial ad Poisso (i the limit procedure). I 1972 G. Mühlbach itroduced very iterestig formulae for the momets of the Pólya distributio. The author did ot ivestigate a appreciatio of the umerical efficacy of the formula for the simple momets. We will show that it is possible to demostrate this formula i a simpler form. It has a practical sigificace ad importace. Keywords: the Pólya distributio, momets.