2. INNE ROZKŁADY DYSKRETNE

Transkrypt

1 Ie rozkłady dyskrete 9. INNE ROZKŁADY DYSKRETNE.. Rozkład dwumiaowy - kotyuacja Przypomijmy sobie pojęcie rozkładu dwumiaowego prawdopodobieństwa k sukcesów w próbach Beroulli ego: P k k k k = p q m = p = pq σ. (.) Te doświadczeia losowe moża tutaj iterpretować, jak a przykład próby przechodzeia przez jezdię, gdy mamy a uwadze przejście jedego potoku ruchu pojazdów w jedym kieruku, a jedym pasie ruchu. Jest to bardzo populary model przejścia dla pieszych, do którego będziemy wracać iejedokrotie. Tak wydawałoby się prosty przykład zagadieia iżyierii ruchu wywołuje wiele problemów atury modelowej: czy pieszy wybiera cały odstęp czasu, czy tylko lukę akceptowalą? Iy przykład, który moża traktować jak doświadczeia Beroullie go, to jest strzelaie do tarczy a strzelicy, z określoej odległości i broi. sukcesem będzie strzał w dziesiątkę, to zaczy w środek tarczy. Natomiast porażką jest każdy iy wyik strzelaia w ustaloej kokurecji strzeleckiej. Z aszych praktyczych doświadczeń strzeleckich wyika, gdy istotie zwiększymy odległość do tarczy, to rówież zmiejszamy prawdopodobieństwo sukcesu. Podobie moża iterpretować próby uzyskaia połączeia w przeciążoej cetrali telefoiczej, bez możliwości oczekiwaia a połączeie. Tak więc, bardzo wiele różych zagadień iżyierii ruchu moża iterpretować jako ciągi Beroulli ego, opisae przez odpowiedie rozkłady dwumiaowe. Jest to jede z ajprostszych sposobów modelowaia zjawisk losowych. Niestety życie jest bardziej złożoe, iż takie modele. Na zakończeie tej tematyki prześledźmy poiższe przykłady.

2 0 Ie rozkłady dyskrete Przykład. (Plucińscy,990). Eergia pochodząca z jedego źródła ma być z przerwami zużywaa przez robotików ( = ). Zakładamy, że o w daej chwili prawdopodobieństwo p zapotrzebowaia a eergię jest takie samo dla każdego robotika, o roboticy pracują iezależie od siebie, o każdy z robotików korzysta z eergii przez miut w ciągu godziy. X ma rozkład dwumiaowy = p = = 60 P X = 0 = P X = = P X = = P X = = P X = 4 = P X = = Prawdopodobieństwo tego, że liczba robotików, zapotrzebowujących eergię w daym momecie jest ie większa iż, jest rówa sumie prawdopodobieństw: 0.. P X = 0 + P X = + P X = (.).. Rozkład Poissoa Mówimy, że X ma rozkład Poissoa, jeżeli Χ = { 0,,,... } ma astępujący rozkład prawdopodobieństwa e Pk = P( X = k) = k! λ k λ, k = 0,,.... (.)

3 Ie rozkłady dyskrete Przykład. (Plucińscy,990) Przeprowadzoo = 608 iezależych doświadczeń, z których każde trwało. sek i polegało a rejestracji przez liczik liczby dochodzących do iego cząstek w wyiku rozpadu substacji radioaktywej. Dae w poiższej tablicy, gdzie p =. 8 jest to k k (czyli k = 0 średia arytmetycza, obliczaa za pomocą iego iż zwykle wzoru - dla daych pogrupowaych!!!) 0 liczba cząstek k liczba doświadczeń k k Prawdopodobieństwo P k w rozkładzie Poissoa Razem Rozkład Poissoa przy pewych założeiach jest graiczym rozkładem dla rozkładu dwumiaowego, co wyraża poiższe twierdzeie.

4 Ie rozkłady dyskrete Twierdzeie Poissoa Niech zmiee losowe X mają rozkład dwumiaowy określoy wzorem ( k) P X k p k = = q k, k = 0,,,.... (.4) Jeżeli prawdopodobieństwo p p( ) spełioy jest związek = maleje do zera w taki sposób, że dla pewego > 0 p = λ, (.) gdzie λ > 0 jest stałą, to lim P( X k) e = = k! λ k λ. (.6) Rozkład Poissoa ma bardzo duże zaczeie teoretycze, jako ajbardziej losowy rozkład prawdopodobieństwa zmieych dyskretych, azyway rówież rozkładem rzadkich zdarzeń. Jest to rozkład dobrze opisujący zjawiska liczby zgłoszeń do cetrali telefoiczej, czy liczby awarii złożoych systemów techiczych. Natomiast ie jest to właściwy rozkład liczby przybyć pojazdów a jedopasowej i jedokierukowej drodze, poieważ w takim pojedyczym potoku ruchu występuje odstęp bezpieczy przerywający gotowość zgłoszeń pojazdów a dość długi czas. Z praktyczego puktu widzeia, tam gdzie mamy do czyieia z dużą liczbą doświadczeń Beroullie go i małym prawdopodobieństwem sukcesu, to rozkład Poissoa jest wygodym rachukowo przybliżeiem opisu zjawiska, poieważ ma tylko jede parametr λ, będący oczekiwaą liczbą sukcesów. Przykład. (Plucińscy,990) W skład złożoej radioaparatury wchodzi między iymi = 000 elemetów określoego rodzaju. Prawdopodobieństwo uszkodzeia w ciągu roku każdego z tych elemetów jest p = i ie zależy od stau pozostałych elemetów.

5 Ie rozkłady dyskrete Obliczyć prawdopodobieństwo uszkodzeia w ciągu roku: a) dokładie dwóch elemetów, b) ie miej iż dwóch elemetów. Zmiea losowa ma rozkład dwumiaowy, przy czym = 000, p = Przeprowadzeie obliczeń dla rozkładu dwumiaowego dla tak dużej liczby byłoby uciążliwe, a z drugiej stroy spełioe są waruki zbieżości do rozkładu Poissoa, a więc: Przyjmiemy λ = p = =. Z tablicy rozkładu Poissoa odczytujemy: a) P( X = ) = 084., b) P( X ) P( X ) P( X ) = = 0 + = = Wartość oczekiwaa i wariacja w rozkładzie Poissoa są rówe λ. Fakt rówości wartości oczekiwaej i wariacji w rozkładzie Poissoa może być wykorzystyway do sprawdzeia, czy obserwacje statystycze moża opisać rozkładem Poissoa. Średia arytmetycza oraz odchyleie stadardowe są przybliżeiami wartości oczekiwaej i wariacji. Przykład.4. W poszczególych miutach zaobserwowao a skrzyżowaiu astępujące liczby pojazdów skręcających w prawo: 0,, 0,,,, 0, 0,,,,, 0,,,, 0,,, 0, Hipoteza statystycza: czy próbka statystycza potwierdza hipotezę o rozkładzie Poissoa tych liczb? x = xi = = i= m s = ( xi x) = xi x = i= i= = = = 0. 8 σ.

6 4 Ie rozkłady dyskrete A więc próbka ie potwierdza hipotezy o rozkładzie Poissoa. Należy zwrócić uwagę a bardzo specyficzy język statystyki matematyczej, który zazwyczaj a początku trochę wydaje się dziwy. Wydawałoby się, oczywiste stwierdzeia wypowiadamy w trochę dziwym języku statystyki matematyczej. Z drugiej stroy te język pozwala am uświadomić sobie, że w grucie rzeczy ie mamy pewości, gdy wypowiadamy ogólą tezę, a podstawie pewej liczby doświadczeń statystyczych. A więc a przykład: ie mówimy, że liczba pojazdów skręcających w prawo w obserwowaym potoku ruchu ie ma rozkładu Poissoa, tylko, że próbka ie potwierdza hipotezy o rozkładzie Poissoa. Jak już stwierdzoo, trochę dziwi a początku te język, późiej jedak uświadamiamy sobie jego właściwy ses. Chodzi o wielką iepewość, jaka powia charakteryzować tezy statystycze. W miarę przyzwyczajaia się do języka statystyki matematyczej wyrabiamy sobie właściwą postawę podczas badań statystyczych - powia to być postawa maksymalej bezstroości, to zaczy obiektywizmu w stwierdzeiach statystyczych. Bardzo często badający ma swoje hipotezy a temat badaego zjawiska, jedak ie powio to ziekształcać badań statystyczych. Chodzi am o obiektywą prawdę, a ie o potwierdzeie przypuszczeń badacza. Tak więc bezstroy badacz powiie rówie często odrzucać badae hipotezy, jak przyjmować, ie traktując odrzuceia jako osobistej porażki. Jest to, wydawałoby się, bardzo oczywiste stwierdzeie, jedak, jak wiadomo z historii, ie zawsze przestrzegae w ekoomii czy w auce. Zbudujmy histogram częstości l j, określających ile razy w aszych obserwacjach pojawiła się wartość w j dla powyższego przykładu.

7 Ie rozkłady dyskrete l j 0 w j Rys.. Histogram częstości. Tab.. Histogram a tablica obliczeń statystyczych w j l j w l w l j j j j Histogram jest graficzym przedstawieiem szeregu rozdzielczego, a więc dla każdej wartości w j częstości występowaia l j. Pozwala to wprowadzić pewą uporządkowaą formę obliczeń statystyczych, azywaą tablicą obliczeń statystyczych, aby łatwo kotrolować przebieg obliczeń. W obszerych obliczeiach statystyczych kotrola poprawości obliczeń jest ajważiejszym problemem praktyczym. w l = x, w l = x. (.) j j i j j j= 0 i= j= 0 i= i

8 6 Ie rozkłady dyskrete W tablicy obliczeń statystyczych przeprowadza się obliczeia według wzorów (.), które, jak widać w (.), są rówoważe obliczeiom średiej i odchyleia kwadratowego, zdefiiowaym w poprzedim rozdziale. Iymi słowy, tablica obliczeń statystyczych pozwala a uporządkowaie tych obliczeń, co ułatwia kotrolę procesu przetwarzaia daych. W masowych obliczeiach statystyczych powio się zawsze szczególie uważie kotrolować proces przetwarzaia daych statystyczych. Tablica obliczeń statystyczych jest taką formą kotroli. Hipotezy statystycze, jakie formułuje się w praktyce, mogą dotyczyć dwóch sytuacji: kiedy zamy z wcześiejszych badań rozkład prawdopodobieństwa i chcemy określić parametry tego rozkładu, mówimy wtedy o hipotezach parametryczych. Drugi przypadek dotyczy sytuacji zupełie iezaych procesów losowych, które wymagają określeia rozkładu prawdopodobieństwa, mówimy wtedy o hipotezie rozkładu prawdopodobieństwa. Na przykład, bardzo często stawiaa jest hipoteza o rozkładzie Poissoa liczby pojazdów w miucie obserwowaego potoku ruchu i otrzymyway jest egatywy rezultat takiego badaia. Natomiast pozytywym wyikiem kończy się a ogół podobe badaie, dotyczące liczby zgłoszeń do cetrali telefoiczej w godziie szczytowej. Postawmy więc taką hipotezę dla zbadaia zaym am dotychczas sposobem: czy astępujący rozkład liczby zgłoszeń podczas kolejych miut do cetrali telefoiczej może być rozkładem Poissoa?

9 Ie rozkłady dyskrete Problemy rozdziału. Dlaczego rozkład dwumiaowy jest zastępoway rozkładem Poissoa?. Dlaczego rozkład Poissoa azyway jest rozkładem rzadkich zdarzeń?. Czy zapotrzebowaie a eergię ma rozkład dwumiaowy? 4. Czy uszkodzeia złożoego systemu mają rozkład dwumiaowy?. Czy rozkład Poissoa jest właściwy do opisu potoku ruchu trasportowego? 6. Czy rozkład Poissoa jest właściwy do opisu potoku ruchu telefoiczego?. Czy rozkład Poissoa jest właściwy do opisu potoku pieszych? 8. Czy rozkład Poissoa jest właściwy dla strumieia wejściowego stacji bezyowej? 9. Tablica obliczeń statystyczych a wartość średia. 0. Tablica obliczeń statystyczych a odchyleie kwadratowe.. Po co stawiamy hipotezy statystycze?. Czy język statystyki matematyczej pozwala am uzyskać obiektywą prawdę?