n n X n = σ σ = n n n Ponieważ zmienna losowa standaryzowana ma rozkład normalny N(0, 1), więc
|
|
- Gabriela Sosnowska
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 5.3. Zagadieia estymacji 87 Rozważmy teraz dokładiej zagadieie szacowaia wartości oczekiwaej m zmieej losowej X o rozkładzie ormalym N(m, F), w którym odchyleie stadardowe F jest zae. Niech X, X,..., X ozacza próbkę dla zmieej losowej X oraz iech średia z próbki, tj. będzie estymatorem wartości oczekiwaej m. Zmiea X jest zmieą losową o rozkładzie ormalym Nm,. W twierdzeiu 5. udowodiliśmy bowiem, że E( X ) E( X) m, a poadto mamy czyli DX ( ). X Niech g ozacza ustaloą liczbę dodatią i obliczmy prawdopodobieństwo tego, że różica pomiędzy aszym oszacowaiem i szacowaą wartością m będzie większa od g. Mamy X X+ X + K + X D X D X X X D ( ) ( + + K + ) ( X + X + K + X ) ( D ( X) + D ( X) + K + D ( X )), P( X m ) P X m > ε X m Poieważ zmiea losowa stadaryzowaa ma rozkład ormaly N(0, ), więc P X m ε X m > ε X m P ε ε ε ε Φ Φ ε + ε ε Φ Φ Φ, gdzie Φ( x) ozacza wartość dystrybuaty rozkładu ormalego N(0, ) w pukcie x. Z powyższego wzoru wyika, że prawdopodobieństwo popełieia błędu ustaloej wielkości, którą ozaczyliśmy przez g, jest malejącą fukcją liczebości próbki, tj. wielkości i rosącą fukcją odchyleia stadardowego F. >, ε.
2 88 V. Elemety statystyki matematyczej W aukach eksperymetalych przyjęto błąd metody pomiarowej charakteryzować za pomocą odchyleia stadardowego F i z dwóch ieobciążoych metod pomiarowych za dokładiejszą uważać tę, dla której odchyleie stadardowe F jest miejsze. Przykład 5.3. Za pomocą pewej metody wykoao pomiary przyspieszeia ziemskiego g. Otrzymao astępujące wyiki (w m/s ): 9,806633, 9,80668, 9,806673, 9, i 9, Oszacowaiem stałej g jest średia z tych pomiarów, która jest rówa 9, Zakładając, że błąd pomiaru jest zmieą losową o rozkładzie ormalym N(0, 0,0000), tz. że metoda jest ieobciążoa, a jej dokładość charakteryzuje się odchyleiem stadardowym F 0,0000, obliczymy prawdopodobieństwo, że błąd oszacowaia otrzymay przez uśredieie pięciu wyików pomiarów przekroczy 0,0000 m/s. Ozaczając przez X 5 średią z pomiarów, a przez g szacowaą wartość przyspieszeia ziemskiego, z podaego wzoru mamy (, ) P X5 g > , Φ 0, ( Φ(, 095)) 0, 736. Często stawiamy pytaie: ile ależy wykoać pomiarów, aby oszacowaie iteresującej as wielkości za pomocą średiej z wyików tych pomiarów z prawdopodobieństwem co ajwyżej rówym p miało błąd ie większy iż g. Należy zatem wyzaczyć wartość tak, by ( ) P X m ε p. Na podstawie poprzediego wzoru ozacza to, że wartość powia spełiać waruek Φ ε p. Przykład 5.4. Przy założeiach z poprzediego przykładu obliczmy, ile ależy wykoać pomiarów przyspieszeia ziemskiego metodą, w której odchyleie stadardowe F jest rówe 0,0000 m/s, aby błąd wykoaego oszacowaia z prawdopodobieństwem co ajmiej 0,99 ie przekroczył g 0,0000 m/s. Na podstawie podaego wzoru mamy Φ,,. 0, 0000 Stąd Φ 0 995,. Korzystając z tablic rozkładu N(0, ) rozwiązujemy względem x rówaie Φ( x ) 0, 995 i otrzymujemy x.,576. Poieważ fukcja M jest rosąca, więc
3 5.3. Zagadieia estymacji 89 czyli $ ,, Wiemy, że jeśli zmiea losowa X ma rozkład ormaly N(m, F), to średia X, X,..., X jest zmieą losową o rozkładzie ormalym X z próbki Nm,, a zmiea losowa po- X staci m ma rozkład N(0, ). Jeśli mamy ustaloą liczbę z przedziału (0, ), to moża wyzaczyć taką liczbę t, by P X m t. Poieważ P X m X m t P t t Φ( t ) Φ( t ) Φ( t ) ( Φ( t )) Φ( t ), więc liczbę t otrzymuje się przez rozwiązaie rówaia Φ( t ). Wybierając dostateczie dużą wartość możemy być prawie pewi, że zdarzeie X m t astąpi, czyli, że szacowaa wartość oczekiwaa m zmieej losowej X będzie zajdowała się w przedziale X t X t, +. Przedział te azywa się przedziałem ufości dla parametru m, a liczbę poziomem ufości. W praktyce przyjmuje się zwykle 0,95 lub 0,99. Przykład 5.5. Wyzaczyć przedział ufości dla 0,95 i daych z przykładu 5.3. W przykładzie tym dla próbki o liczebości 5 otrzymaliśmy średią X 5 0, Odchyleie stadardowe metody pomiarowej było rówe F 0,0000. Po podstawieiu do powyższego wzoru otrzymujemy przedział ufości [9,80664; 9,806678] z poziomem ufości 0,95. Dotychczas zakładaliśmy, że odchyleie stadardowe F w odpowiedich rozkładach prawdopodobieństwa jest zae. W praktyce tak ie jest i powstają astępujące pytaia:
4 90 V. Elemety statystyki matematyczej! jak ależy szacować wartość oczekiwaą i jak obliczać dla iej przedział ufości, gdy z powodu braku zajomości parametru F ie moża określić przedziału ufości,! jak oszacować parametr F a podstawie próbki? Niech zmiea losowa X ma pewie rozkład z iezaą wariacją F. Niech zmiee X, X,..., X staowią próbkę dla tej zmieej, a iech ozacza średią z tej próbki. Wyrażeie będziemy azywać wariacją z próbki. X Twierdzeie 5.4. Wariacja z próbki jest ieobciążoym i zgodym estymatorem wariacji zmieej losowej X, o ile ta ostatia istieje. Dowód. Rozważmy zmieą losową U ( X X ). Dla zmieej losowej U mamy U i i Poieważ zmiee X, X,..., X są próbką, więc dla każdej wartości j,,..., mamy Z kolei z iezależości zmieych losowych X, X,..., X wyika, że Otrzymujemy zatem S Xi X ( ) i X X j X m X m ( ) j ( j ) j X m ( ) X m ( j ) j X m + X j m X m X j m ( ) ( ) ( )( ) j k k j j + ( X j m)( Xk m). Stąd EU ( ) E ( X m) + ( ) ( ) E( X j m ) j j ( j ) E( X j m Xk m ) E ( X m)( X m) ( )( ). + j j k k j ( j ) E ( X m). ( j k ) E ( X m)( X m) 0dla j k. EU ( ) +. j
5 5.3. Zagadieia estymacji 9 Taki sam wzór otrzymamy dla zmieych U, U 3,..., U, czyli Stąd czyli estymator jest ieobciążoy. Dowód zgodości estymatora jest trudiejszy, bo zmiee losowe U i ie są iezależe (pomijamy go). # S EU ( i ) dla i,, K,. ES ( ) EU ( i), i i Przykład 5.6. Dla daych z poprzedich przykładów, które dotyczyły przyciągaia ziemskiego ze średią z próbki rówą 9,80666, oszacowaiem wariacji jest S 5 [( 9, , ) + ( 9, , ) 4 + ( 9, , ) + ((, , ) 0 + ( 9, , ) ] 4 0. S W celu kostrukcji przedziału ufości dla wariacji F zmieej losowej X o rozkładzie ormalym N(m, F) ależy zać rozkład estymatora tej wariacji. S Twierdzeie 5.5. Niech zmiea losowa X ma rozkład ormaly N(m, F) i iech X, X,..., X ozacza -elemetową próbkę dla tej zmieej, a S wariację z próbki. Wówczas zmiea losowa V ma rozkład o dystrybuacie F ( v) ( ) S 0 dla v < 0, v x c x exp dx dla v 0, 0 gdzie c! ozacza stałą. Dowód pomijamy. # Defiicja 5.4. Rozkład o dystrybuacie G k ( v) 0 dla v < 0, v k x ck x exp dx dla v 0, 0 tz. rozkład o gęstości prawdopodobieństwa
6 9 V. Elemety statystyki matematyczej 0 dla v < 0, k gk ( v) v cv k exp dla v 0, gdzie c k ozacza stałą azywa się rozkładem chi-kwadrat i jest ozaczay przez P. Rozkład te zależy od parametru k, który azywa się liczbą stopi swobody. Gęstość rozkładu chi-kwadrat dla różych wartości parametru k przedstawioo a poiższym rysuku. Przy rozkładzie chi-kwadrat korzysta się zazwyczaj z tablic. Na ogół tablice te podają wartości v, które są rozwiązaiami rówaia Gk () v α dla różych liczb " oraz k. Na podstawie powyższej defiicji twierdzeie 5.5 moża wypowiedzieć astępująco: przy przyjętych założeiach zmiea losowa V ( ) S ma rozkład chi-kwadrat z! stop- iami swobody. W celu wyzaczeia przedziału ufości dla wariacji ustalmy poziom ufości. Poieważ zamy rozkład zmieej losowej V, więc potrafimy wyzaczyć dwie liczby v i v, by Pv ( ) S v. Ale ierówości są rówoważe ierówościom ( ) S v v, v ( ) S v
7 5.3. Zagadieia estymacji 93 czyli ( ) S ( ) S v v. Zatem przedział ( ) S, ( ) S v v jest przedziałem ufości dla wariacji F a poziomie ufości. Stąd przedziałem ufości dla odchyleia stadardowego F jest S S,. v v Jeżeli w zmieej losowej tego odchyleia, tj. X m zastąpimy odchyleie stadardowe F oszacowaiem i i S ( X X ), to otrzymamy ową zmieą losową X m T, S dla której mamy Twierdzeie 5.6. Niech zmiea losowa X ma rozkład ormaly N(m, F), X, X,..., X ozacza -elemetową próbkę dla tej zmieej, a X i S średią i wariację z tej próbki. Wówczas zmiea losowa T! ma rozkład o dystrybuacie dx H () t c, t x + gdzie c! ozacza pewą stałą. Dowód pomijamy. # Defiicja 5.5. Rozkład z dystrybuatą H () t c t dx + + x
8 94 V. Elemety statystyki matematyczej gdzie c ozacza stałą, azywamy rozkładem t-studeta. Liczba jest parametrem tego rozkładu i azywa się liczbą stopi swobody. Gęstość rozkładu t-studeta jest przedstawioa a poiższym rysuku. Korzystając z defiicji 5.5 twierdzeie 5.6 moża sformułować astępująco: przy przyjętych założeiach zmiea losowa T! ma rozkład t-studeta z! stopiami swobody. Teoria przedziałów ufości dotycząca zmieej losowej T! jest idetycza z teorią przedziałów ufości związaych ze zmieą losową m o rozkładzie ormalym N(0, ). Jedya X różica polega a posługiwaiu się iymi tablicami. W przypadku rozkładu t-studeta posługujemy się tablicami będącymi rozwiązaiami rówaia dla wybraych wartości " oraz. Zadaia H () t α. Błąd wskazaia wysokościomierza w samolocie jest zmieą losową o rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą m 0 i z odchyleiem stadardowym F 5 m.. Jakie jest prawdopodobieństwo, że błąd ocey wysokości będzie większy iż 30 m.? Ile ależy mieć takich wysokościomierzy w samolocie, żeby błąd ocey wysokości za pomocą średiej ich wskazań z prawdopodobieństwem 0,99 ie przekraczał 30 m?. Zbadao czas świeceia się czterech żarówek wylosowaych z partii żarówek wyprodukowaych w pewym zakładzie. Otrzymao astępujące wyiki (w godziach): 40, 300, 50 i 0. Zakładając, że czas świeceia się żarówki jest zmieą losową o rozkładzie ormalym z odchyleiem stadardowym rówym 70 godzi, wyzaczyć jedostroy przedział ufości a poziomie ufości 0, Z dużej partii słupków betoowych wybrao próbkę losową o liczości 50 sztuk. Średia wytrzymałość a ściskaie osiowe obliczoa w tej próbce wyiosła 48,3 kg/cm. Oszacować średią wytrzymałość słupków. Zakładając, że cecha ma rozkład ormaly oszacować wartość oczekiwaą tej zmieej za pomocą przedziału ufości a poziomie 0,99.
9 5.4. Weryfikacja hipotez statystyczych Jaki będzie przedział ufości dla daych z poprzediego zadaia, gdy poziom ufości zmiejszymy do 0,95? 5. W celu wyzaczeia błędu stadardowego pewego przyrządu pomiarowego (odchyleia stadardowego tego przyrządu) dokoao pięciu pomiarów pewej wielkości i otrzymao astępujące wyiki: 8,5; 8,0; 8,04; 8,4 i 8,. Oszacować wariację wskazań przyrządu i obliczyć przedział ufości dla odchyleia stadardowego tego przyrządu przy poziomie ufości 0, Celem sprawdzeia dokładości wskazań pewego przyrządu pomiarowego dokoao 0 pomiarów tej samej wielkości fizyczej i otrzymao astępujące wyiki: 9,0; 9,00; 9,0; 8,99; 8,98; 9,00; 9,00; 9,0; 8,99; i 9,00. Oszacować wariację wskazań przyrządu i podać przedział ufości dla jego błędu (odchyleia stadardowego) a poziomie ufości rówym 0,99 zakładając, że wskazaia tego przyrządu mają rozkład ormaly. 7. Za pomocą pięciu iezależych pomiarów szacowao średicę kątową plaety Neptu i otrzymao astępujące wyiki (w sekudach łuku):,3;,5;,,8;,30 i,7. Zakładając, że wyiki pomiarów są błędem losowym o rozkładzie ormalym oszacować średicę kątową Neptua i podać przedział ufości dla tej średicy a poziomie ufości 0,90. Jak zmiei się oszacowaie i przedział ufości, gdy obserwacje uzupełimy owym wyikiem pomiaru rówym,30? 5.4. Weryfikacja hipotez statystyczych Niech będzie daa pewa zmiea losowa X, której rozkład albo pewe jego parametry ie są zae. Odośie tego rozkładu lub tych parametrów formułujemy pewe przypuszczeie. Każde takie przypuszczeie będziemy azywać hipotezą statystyczą i ozaczać przez H. W celu weryfikacji hipotezy H obserwujemy próbkę X, X,..., X i defiiujemy pewą fukcję * a tej próbce. Niech S ozacza zbiór wszystkich wartości tej fukcji. Ustalamy pewą małą liczbę " i kostruujemy taki podzbiór S k zbioru S, aby prawdopodobieństwo zdarzeia polegającego a tym, że * 0 S k, gdy hipoteza H jest prawdziwa, było ie większe od ". Jeżeli w wyiku próby zaobserwujemy taką wartość *, która ależy do zbioru S k, to weryfikowaą hipotezę H odrzucamy jako ieprawdziwą, a w przeciwym przypadku stwierdzamy, że wyik doświadczeia ie przeczy tej hipotezie. Liczbę " azywamy poziomem istotości testu, zbiór S k zbiorem krytyczym testu, a opisae postępowaie testem hipotezy H. Przykład 5.7. Wykoao owy przyrząd do mierzeia wysokości drzew. Wiadomo, że błąd pomiaru tym przyrządem jest zmieą losową o rozkładzie ormalym z odchyleiem stadardowym 0, m. W celu sprawdzeia, czy pomiary przyrządem ie są obarczoe błędem systematyczym (tz. czy błąd pomiaru ma wartość oczekiwaą rówą 0) wykoao pięć pomiarów wzorcowego drzewa o zaej wysokości m i otrzymao astępujące wyiki:,3;,90;,93;,0 i,9. Średia tych wyików jest rówa X 5, 07, a więc błąd oszacowaia wysokości wyosi 0,07 m.
10 96 V. Elemety statystyki matematyczej Czy wyik te upoważia as do stwierdzeia, że przyrząd wykazuje pewie błąd systematyczy, czy też zaobserwowae odchyleie od zaej wartości m moża usprawiedliwić losowymi wahaiami przyrządu? Stawiamy hipotezę: przyrząd ie jest obciążoy błędem systematyczym. Naszymi daymi są:! zmiea losowa X o rozkładzie N(m, 0,), gdzie wartość oczekiwaa m jest iezaa, a hipoteza mówi, że m, czyli H: m,! próbka o liczebości 5,! fukcja *, za którą przyjmujemy X. Wyzaczamy graicę, od której począwszy będziemy uważali obserwację X za sprzeczą z hipotezą, że rozpatrywaa zmiea losowa ma rozkład N(, 0,). Jako graicę weźmiemy taką liczbę 8, aby prawdopodobieństwo tego, że zaobserwujemy różicę X m większą iż 8 było małe, p. " 0,05 (jest to przyjęty poziom istotości testu). Zbiorem krytyczym jest zbiór przy czym w aszym przypadku δ X 5. Mamy ( λ) Zmiea losowa U X m ma rozkład ormaly N(0, ). Z tablic wyza czamy liczbę tak, by u α Ω k { δ: δ > λ}, P X m P X > m λ >. P( U > uα ) α 005,. W tym celu wykoujemy kolejo astępujące przekształceia: P( U > uα) P( U uα) P( uα U uα) ( Φ( uα) Φ( uα) ) Φ( uα). Stąd wyika, że Φ( u α ) 005,, a więc Φ( u α ) 0975, i z tablic odczytujemy, że uα u005, 96,. Mamy zatem P X m > 96, 005, λ czyli skąd wyika, że i poieważ F 0, oraz 5, 96,, λ 96, więc mamy 8. 0,088. Zatem jeśli X 5 > 0, 088, to ależy uzać, że przy- rząd wykazuje błąd systematyczy. Poieważ dla 5 mamy X 5, 07, więc X 5 0, 07, co ie pozwala a dyskwalifikację przyrządu jako obarczoe- go błędem systematyczym (zaobserwoway wyik ie jest elemetem zbioru krytyczego). Brak zatem podstaw do zakwestioowaia hipotezy.
11 5.4. Weryfikacja hipotez statystyczych 97 Powstają dwa problemy:! skoro wartość " jest prawdopodobieństwem popełieia błędu, to dlaczego ie wybrao miejszej liczby ",! jak ależy kostruować zbiór krytyczy w ogólości? Odpowiedź daje tzw. fukcja mocy testu (zwaa też krótko mocą testu). Niech hipoteza dotyczy pewego parametru h (w przykładzie parametrem tym była wartość oczekiwaa m). Ozaczmy przez * 0 S k h zdarzeie polegające a tym, że odrzucimy weryfikowaą hipotezę, gdy iteresujący as parametr ma wartość h (w podaym przykładzie: gdy wartość oczekiwaa wskazań testowaego przyrządu pomiarowego jest rówa m.). Defiicja 5.6. Prawdopodobieństwo zdarzeia * 0 S k h rozpatrywae jako fukcja parametru h ozaczamy i azywamy mocą testu. M( ϑ) P( δ Ωk ϑ) Liczbę " oraz zbiór krytyczy testu wybiera się tak, żeby moc testu spełiała pewe rozsąde wymagaia. Co to zaczy wyjaśimy a przykładzie. Przykład 5.8. W poprzedim przykładzie przyjęliśmy za zbiór krytyczy zbiór Ω k { X5: X5 > 0, 088 m}. Zatem fukcją mocy tego testu jest ( ) Mm ( ) P X >, m, czyli prawdopodobieństwo zdarzeia X 5 > 0, 088, gdy rozkład zmieej losowej jest ormaly N(m, 0,). Wyzaczając to prawdopodobieństwo otrzymamy, 9 m, 088 m Mm ( ) Φ 5 + Φ 5. 0, 0, Wykres tej fukcji jest przedstawioy a poiższym rysuku.
12 98 V. Elemety statystyki matematyczej Z wykresu widać, że jeśli m, czyli gdy weryfikowaa hipoteza jest prawdziwa, prawdopodobieństwo jej odrzuceia jest ajmiejsze i rośie wraz ze wzrostem obciążeia przyrządu (gdy m > lub m < ). W praktyce ajczęściej są stosowae testy wymieioe poiżej.. Jedostroy test hipotezy o wartości oczekiwaej w rozkładzie ormalym przy zaej wariacji, czyli H: m m 0 przy hipotezach alteratywych K: m > m 0 (lub K: m < m 0 ). Daymi w tym teście są: " poziom istotości testu, F odchyleie stadardowe (otrzymae ze zaej wariacji), liczebość próbki. Hipotezę dyskwalifikuje się, gdy X > λ, gdzie wartość 8 jest ustaloa z waruku Moc testu określa wzór. Dwustroy test hipotezy o wartości oczekiwaej w rozkładzie ormalym przy zaej wariacji, czyli H: m m 0 przy hipotezach alteratywych K: m m 0. Daymi są te same wielkości, co poprzedio. Hipotezę odrzucamy, gdy X m0 > λ, gdzie wartość 8 wyzacza się z waruku Moc testu jest daa wzorem Φ λ m0 α. m Mm ( ) Φ λ. Φ λ α. m m m m Mm ( ) 0 λ 0 + λ Φ + Φ. 3. Jedostroy test hipotezy o wartości oczekiwaej w rozkładzie ormalym przy iezaej wariacji, czyli H: m m 0 przy hipotezach alteratywych K: m > m 0 (lub K: m < m 0 ). Daymi w tym teście są: " poziom istotości testu, liczebość próbki.
13 5.4. Weryfikacja hipotez statystyczych 99 X Hipotezę odrzucamy, gdy m 0 > gdzie ozacza wariację z próbki, a war- S λ, S tość 8 wyzacza się z waruku Fukcja H ( x) jest dystrybuatą rozkładu t-studeta z! stopiami swobody. W celu wyzaczeia mocy testu trzeba rozważyć pewie owy rozkład, bo gdy m m 0, to zmiea X losowa m 0 ie ma rozkładu t-studeta (pomijamy to zagadieie). S 4. Dwustroy test hipotezy o wartości oczekiwaej w rozkładzie ormalym przy iezaej wariacji, czyli H: m m 0 przy hipotezach alteratywych K: m m 0. Daymi są te same wielkości, co poprzedio. X m0 Hipotezę odrzucamy, gdy > λ, gdzie S ozacza wariację z próbki, a war- S tość 8 wyzacza się z waruku H ( λ) α. α H ( λ). Odośie mocy testu obowiązuje poprzedia uwaga. 5. Jedostroy test hipotezy o parametrze p zmieej losowej X dwupuktowej (o rozkładzie zero-jedykowym), tj. zmieej dla której P(X ) p, P(X 0)! p. Hipoteza ma postać H: p p 0 przy hipotezach alteratywych K: p > p 0 (lub K: p < p 0 ). Hipotezę weryfikuje się a podstawie próbki X, X,..., X. Suma S tych zmieych ma rozkład Beroulliego, tj. PS k k p k p k ( ) ( ), przy czym dla dużej liczebości próbki (dużych wartości ) i małych wartości p stosuje się przybliżeie za pomocą rozkładu Poissoa, tz. ( p) PS ( k) exp( p). k! W praktyce przybliżeie to stosuje się, gdy p # 0, oraz p(! p) # 9. Gdy p(! p) > 9, to zwykle rozkład dwumiaowy przybliża się za pomocą rozkładu ormalego (możliwość taka wyika z cetralego twierdzeia graiczego zob. astępy rozdział): k Pa < S p p( p) < b Φ() b Φ(). a
14 00 V. Elemety statystyki matematyczej Weryfikowaą hipotezę H odrzuca się, gdy S > 8, gdzie wartość 8 jest ajmiejszą liczbą ustaloą z zależości PS ( > λ, gdy p p0 ) α. Zauważmy, że rówość w powyższej ierówość może ie być spełioa dla żadej wartości 8, gdyż zmiea losowa S przyjmuje tylko ieujeme wartości całkowite. Moc testu określa astępujący wzór: M( p) P( S > λ p), przy czym za rozkład w ostatich dwóch wzorach przyjmuje się (w zależości od okoliczości) jede z wymieioych rozkładów, tz. Beroulliego, Poissoa lub ormaly.
1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o
1. Wioskowaie statystycze. W statystyce idetyfikujemy: Cecha-Zmiea losowa Rozkład cechy-rozkład populacji Poadto miaem statystyki określa się także fukcje zmieych losowych o tym samym rozkładzie. Rozkłady
Bardziej szczegółowoLista 6. Estymacja punktowa
Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoZadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.
Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,
Bardziej szczegółowoX i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Bardziej szczegółowoStatystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Statystyka i Opracowaie Daych W7. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Estymacja parametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego parametru jest estymator obliczoy a podstawie
Bardziej szczegółowo16 Przedziały ufności
16 Przedziały ufości zapis wyiku pomiaru: sugeruje, że rozkład błędów jest symetryczy; θ ± u(θ) iterpretacja statystycza przedziału [θ u(θ), θ + u(θ)] zależy od rozkładu błędów: P (Θ [θ u(θ), θ + u(θ)])
Bardziej szczegółowoEstymacja: Punktowa (ocena, błędy szacunku) Przedziałowa (przedział ufności)
IV. Estymacja parametrów Estymacja: Puktowa (ocea, błędy szacuku Przedziałowa (przedział ufości Załóżmy, że rozkład zmieej losowej X w populacji geeralej jest opisay dystrybuatą F(x;α, gdzie α jest iezaym
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,
Zadaie iech X, X,, X 6 będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), a Y, Y,, Y6 iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), gdzie, są iezaymi
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
TATYTYKA MATEMATYCZNA ROZKŁADY PODTAWOWYCH TATYTYK zmiea losowa odpowiedik badaej cechy, (,,..., ) próba losowa (zmiea losowa wymiarowa, i iezależe zmiee losowe o takim samym rozkładzie jak (taką próbę
Bardziej szczegółowoθx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym,
Zadaie 1. Niech X 1,..., X 8 będzie próbą z rozkładu ormalego z wartością oczekiwaą θ i wariacją 1. Niezay parametr θ jest z kolei zmieą losową o rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją 1.
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa
Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych
Bardziej szczegółowoCharakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15
Testowaie hipotez ZałoŜeia będące przedmiotem weryfikacji azywamy hipotezami statystyczymi. KaŜde przypuszczeie ma swoją alteratywę. Jeśli postawimy hipotezę, Ŝe średica pia jedoroczych drzew owej odmiay
Bardziej szczegółowoLista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
Lista 5 Zadaia a zastosowaie ierówosci Markowa i Czebyszewa. Zadaie 1. Niech zmiea losowa X ma rozkład jedostajy a odciku [0, 1]. Korzystając z ierówości Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo, że
Bardziej szczegółowoModa (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej).
Cetrale miary położeia Średia; Moda (domiata) Mediaa Kwatyle (kwartyle, decyle, cetyle) Moda (Mo, D) wartość cechy występującej ajczęściej (ajlicziej). Mediaa (Me, M) dzieli uporządkoway szereg liczbowy
Bardziej szczegółowoPRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Niech θ - nieznany parametr rozkładu cechy X. Niech α będzie liczbą z przedziału (0, 1).
TATYTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 3 RZEDZIAŁY UFNOŚCI Niech θ - iezay parametr rozkład cechy. Niech będzie liczbą z przedział 0,. Jeśli istieją statystyki, U i U ; U U ; których rozkład zależy od θ oraz U θ
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uiwersytet Ekoomiczy w Katowicach 2015/16 ROND, Fiase i Rachukowość, rok 2 Rachuek prawdopodobieństwa Rzucamy 10 razy moetą, dla której prawdopodobieństwo wyrzuceia orła w pojedyczym
Bardziej szczegółowoTwierdzenia graniczne:
Twierdzeia graicze: Tw. ierówośd Markowa Jeżeli P(X > 0) = 1 oraz EX 0: P X k 1 k EX. Tw. ierówośd Czebyszewa Jeżeli EX = m i 0 < σ = D X 0: P( X m tσ) 1 t. 1. Z partii towaru o wadliwości
Bardziej szczegółowoParametryczne Testy Istotności
Parametrycze Testy Istotości Wzory Parametrycze testy istotości schemat postępowaia pukt po pukcie Formułujemy hipotezę główą H odośie jakiegoś parametru w populacji geeralej Hipoteza H ma ajczęściej postać
Bardziej szczegółowo3. Tworzenie próby, błąd przypadkowy (próbkowania) 5. Błąd standardowy średniej arytmetycznej
PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 2. Zmiee losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby daych, estymacja parametrów 4. Testowaie hipotez 5. Testy parametrycze 6. Testy
Bardziej szczegółowoZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 8. ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE 1 Zbieżość ciągu zmieych losowych z prawdopodobieństwem 1 (prawie apewo) Ciąg zmieych losowych (X ) jest
Bardziej szczegółowoKURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1
KURS STATYSTYKA Lekcja 3 Parametrycze testy istotości ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Stroa Część : TEST Zazacz poprawą odpowiedź (tylko jeda jest prawdziwa). Pytaie Statystykę moża rozumieć jako: a) próbkę
Bardziej szczegółowoEstymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoWokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 2 ESTYMACJA STATYSTYCZNA
Ćwiczeie ETYMACJA TATYTYCZNA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej
Bardziej szczegółowoKorelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12
Wykład Korelacja i regresja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Wykład 8. Badaie statystycze ze względu
Bardziej szczegółowoANALIZA DANYCH DYSKRETNYCH
ZJAZD ESTYMACJA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oa oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej estymatorem,
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona
Ćwiczeie r 4 Porówaie doświadczalego rozkładu liczby zliczeń w zadaym przedziale czasu z rozkładem Poissoa Studeta obowiązuje zajomość: Podstawowych zagadień z rachuku prawdopodobieństwa, Zajomość rozkładów
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów populacji
Estymacja parametrów populacji Estymacja parametrów populacji Estymacja polega a szacowaiu wartości parametrów rozkładu lub postaci samego rozkładu zmieej losowej, a podstawie próby statystyczej. Estymacje
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I ANALIZA DANYCH
TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr inż Krzysztof Bryś
1 STATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr iż Krzysztof Bryś Pojȩcia wstȩpe populacja - ca ly zbiór badaych przedmiotów lub wartości. próba - skończoy podzbiór populacji podlegaj acy badaiu.
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie. Wykoujemy rzuty symetryczą kością do gry do chwili uzyskaia drugiej szóstki. Niech Y ozacza zmieą losową rówą liczbie rzutów w których uzyskaliśmy ie wyiki iż szóstka a zmieą losową rówą liczbie
Bardziej szczegółowo1 Przedziały ufności. ). Obliczamy. gdzie S pochodzi z rozkładu B(n, 1 2. P(2 S n 2) = 1 P(S 2) P(S n 2) = 1 2( 2 n +n2 n +2 n ) = 1 (n 2 +n+2)2 n.
Przedziały ufości W tym rozdziale będziemy zajmować się przede wszystkim zadaiami związaymi z przedziałami ufości Będą as rówież iteresować statystki pozycyje oraz estymatory ajwiększej wiarygodości (Eg
Bardziej szczegółowoSTATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II
STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II 1. Pla laboratorium II rozkłady prawdopodobieństwa Rozkłady prawdopodobieństwa dwupuktowy, dwumiaowy, jedostajy, ormaly. Związki pomiędzy rozkładami prawdopodobieństw.
Bardziej szczegółowoWykład 5 Przedziały ufności. Przedział ufności, gdy znane jest σ. Opis słowny / 2
Wykład 5 Przedziały ufości Zwykle ie zamy parametrów populacji, p. Chcemy określić a ile dokładie y estymuje Kostruujemy przedział o środku y, i taki, że mamy 95% pewości, że zawiera o Nazywamy go 95%
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 1. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD Zdarzeia losowe i prawdopodobieństwo Zmiea losowa i jej rozkłady Metody statystycze metody opisu metody wioskowaia statystyczego sytetyczy liczbowy opis właściwości zbioru daych ocea charakterystyk
Bardziej szczegółowoĆwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA
Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz
Bardziej szczegółowoZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4
Agata Boratyńska Statystyka aktuariala... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4 1. Wygeeruj szkody dla polis z kolejych lat wg rozkładu P (N = 1) = 0, 1 P (N = 0) = 0, 9, gdzie N jest liczbą szkód z jedej polisy.
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematycza dla leśików Wydział Leśy Kieruek leśictwo Studia Stacjoare I Stopia Rok akademicki 0/0 Wykład 5 Testy statystycze Ogóle zasady testowaia hipotez statystyczych, rodzaje hipotez, rodzaje
Bardziej szczegółowo0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK
0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.
Bardziej szczegółowoZSTA LMO Zadania na ćwiczenia
ZSTA LMO Zadaia a ćwiczeia Efektywość estymatorów ieobciążoych Zadaie 1. Zakładamy, że badaa cecha X populacji ma rozkład Poissoa πλ, gdzie λ > 0 jest parametrem. Poadto, iech X = X 1, X,..., X będzie
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa:
Estymacja przedziałowa: Zamiast szukad ajlepszego estymatora, tak jak w estymacji puktowej będziemy poszukiwad przedziału, do którego będzie ależał szukay parametr z odpowiedio dużym prawdopodobieostwem.
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)
Bardziej szczegółowo1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. (n m n m 1 ) h (n m n m 1 ) + (n m n m+1 ) 2 +1), gdy n jest parzyste
Statystyka opisowa Miary statystycze: 1. miary położeia a) średia z próby x = 1 x = 1 x = 1 x i - szereg wyliczający x i i - szereg rozdzielczy puktowy x i i - szereg rozdzielczy przedziałowy, gdzie x
Bardziej szczegółowoStatystyka. Katarzyna Chudy Laskowska
Statystyka Katarzya Chudy Laskowska http://kc.sd.prz.edu.pl/ WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Celem aalizy statystyczej ie jest zwykle tylko opisaie (prezetacja) posiadaych daych, czyli tzw. próby statystyczej.
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoEstymatory nieobciążone o minimalnej wariancji
Estymatory ieobciążoe o miimalej wariacji Model statystyczy (X, {P θ, θ Θ}); g : Θ R 1 Zadaie: oszacować iezaą wartość g(θ) Wybrać takie δ(x 1, X 2,, X ) by ( θ Θ) ieobciążoość E θ δ(x 1, X 2,, X ) = g(θ)
Bardziej szczegółowoZMIENNA LOSOWA I JEJ PARAMETRY -powtórzenie
WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE ZMIENNA LOSOWA I JEJ PARAMETRY -powtórzeie,, S P przestrzeń probabilistycza (matematyczy model zjawiska losowego), zbiór wszystkich zdarzeń elemetarych, S zbiór zdarzeń, (podzbiory
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą
Bardziej szczegółowoMetrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3
L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadaie 3. Cecha X populacji ma rozkład N m,. Z populacji tej pobrao próbę 7 elemetową i otrzymao wyiki x7 = 9, 3, s7 =, 5 a Na poziomie
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA
PODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA FILIP RACIBORSKI FILIP.RACIBORSKI@WUM.EDU.PL ZAKŁAD PROFILAKTYKI ZAGROŻEŃ ŚRODOWISKOWYCH I ALERGOLOGII WUM ZADANIE 1 Z populacji wyborców pobrao próbkę 1000 osób i okazało
Bardziej szczegółowosą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X
Prawdoodobieństwo i statystyka 5..008 r. Zadaie. Załóżmy że 3 są iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie Poissoa z wartością oczekiwaą λ rówą 0. Obliczyć v = var( 3 + + + 3 = 9). (A) v = 0 (B)
Bardziej szczegółowoTESTY LOSOWOŚCI. Badanie losowości próby - test serii.
TESTY LOSOWOŚCI Badaie losowości próby - test serii. W wielu zagadieiach wioskowaia statystyczego istotym założeiem jest losowość próby. Prostym testem do weryfikacji tej własości jest test serii. 1 Dla
Bardziej szczegółowoPodstawowe oznaczenia i wzory stosowane na wykładzie i laboratorium Część I: estymacja
Podstawowe ozaczeia i wzory stosowae a wykładzie i laboratorium Część I: estymacja 1 Ozaczeia Zmiee losowe (cechy) ozaczamy a wykładzie dużymi literami z końca alfabetu. Próby proste odpowiadającymi im
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa - przedziały ufności
Estymacja przedziałowa - przedziały ufości Próbę -elemetową charakteryzujemy jej parametrami (p. x, s, s ). Służą oe do ocey wartości iezaych parametrów populacji (m, σ, σ). Nazywamy je estymatorami puktowymi
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoModele probabilistyczne zjawisk losowych
Statystyka-matematycza-II Wykład Modele probabilistycze zjawisk losowych Pojęcia podstawowe: Zdarzeia elemetare: ajprostsze zdarzeie mogące być wyróżioe dla daego doświadczeia losowego. Ω - zbiór zdarzeń
Bardziej szczegółowoz przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 7 8.04.06 dr iż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr leti 05/06 Cetrale twierdzeie graicze - przypomieie Sploty Pobieraie próby, estymatory
Bardziej szczegółowo3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Bardziej szczegółowoStatystyka w rozumieniu tego wykładu to zbiór metod służących pozyskiwaniu, prezentacji, analizie danych.
Statystyka w rozumieiu tego wykładu to zbiór metod służących pozyskiwaiu, prezetacji, aalizie daych. Celem geeralym stosowaia tych metod, jest otrzymywaie, a podstawie daych, użyteczych uogólioych iformacji
Bardziej szczegółowoZmienna losowa N ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami (, q) = 7,
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.008 r. Zadaie. r, Zmiea losowa N ma rozkład ujemy dwumiaowy z parametrami (, q), tz.: Pr( N k) (.5 + k) (.5) k! Γ Γ * Niech k ozacza taką liczbę aturalą, że: * k if{
Bardziej szczegółowo(X i X) 2. n 1. X m S
Wykład 8. Przedziały ufości i testowaie hipotez A gdy ie zamy wariacji σ 2? Załóżmy, że X ma rozkład ormaly, ale ie zamy wartości ai m ai σ 2. Jak wtedy szacować wartość średią m? Przypomijmy, że Wtedy
Bardziej szczegółowoI. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka Wnioskowanie statystyczne. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Rachek rawdoodobieństwa i statystyka Wioskowaie statystycze. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, ok407 ada@agh.ed.l Estymacja arametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego arametr jest estymator
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowooznaczają łączne wartości szkód odpowiednio dla k-tego kontraktu w t-tym roku. O składnikach naszych zmiennych zakładamy, że:
Zadaie. Niech zmiee losowe: X t,k = μ + α k + β t + ε t,k, k =,2,, K oraz t =,2,, T, ozaczają łącze wartości szkód odpowiedio dla k-tego kotraktu w t-tym roku. O składikach aszych zmieych zakładamy, że:
Bardziej szczegółowoKADD Metoda najmniejszych kwadratów
Metoda ajmiejszych kwadratów Pomiary bezpośredie o rówej dokładości o różej dokładości średia ważoa Pomiary pośredie Zapis macierzowy Dopasowaie prostej Dopasowaie wielomiau dowolego stopia Dopasowaie
Bardziej szczegółowoWykład 11 ( ). Przedziały ufności dla średniej
Wykład 11 (14.05.07). Przedziały ufości dla średiej Przykład Cea metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybraych mieszkań w mieście A: 3,75; 3,89; 5,09; 3,77; 3,53; 2,82; 3,16; 2,79; 4,34; 3,61;
Bardziej szczegółowoO pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii
O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 2: RENTY. PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE. TRWANIE ŻYCIA 1. Rety Retą azywamy pewie ciąg płatości. Na razie będziemy je rozpatrywać bez żadego związku z czasem życiem człowieka.
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoModel ciągły wyceny opcji Blacka Scholesa - Mertona. Wzór Blacka - Scholesa na wycenę opcji europejskiej.
Model ciągły wycey opcji Blacka Scholesa - Mertoa Wzór Blacka - Scholesa a wyceę opcji europejskiej. Model Blacka Scholesa- Mertoa Przełomowe prace z zakresu wycey opcji: Fischer Black, Myro Scholes The
Bardziej szczegółowo40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40.
Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje
Bardziej szczegółowoZDARZENIE ELEMENTARNE to możliwy wynik doświadczenia losowego. Wszystkie takie możliwe wyniki tworzą zbiór zdarzeń elementarnych.
STATYSTYKA to auka, której przedmiotem zaiteresowaia są metody pozyskiwaia i prezetacji, a przede wszystkim aalizy daych opisujących zjawiska masowe. Metody statystycze oparte są a rachuku prawdopodobieństwa.
Bardziej szczegółowoPodstawowe rozkłady zmiennych losowych typu dyskretnego
Podstawowe rozkłady zmieych losowych typu dyskretego. Zmiea losowa X ma rozkład jedopuktowy, skocetroway w pukcie x 0 (ozaczay przez δ(x 0 )), jeżeli P (X = x 0 ) =. EX = x 0, V arx = 0. e itx0.. Zmiea
Bardziej szczegółowoAnaliza wyników symulacji i rzeczywistego pomiaru zmian napięcia ładowanego kondensatora
Aaliza wyików symulacji i rzeczywistego pomiaru zmia apięcia ładowaego kodesatora Adrzej Skowroński Symulacja umożliwia am przeprowadzeie wirtualego eksperymetu. Nie kostruując jeszcze fizyczego urządzeia
Bardziej szczegółowoStatystyka i rachunek prawdopodobieństwa
Statystyka i rachuek prawdopodobieństwa Filip A. Wudarski 22 maja 2013 1 Wstęp Defiicja 1. Statystyka matematycza opisuje i aalizuje zjawiska masowe przy użyciu metod rachuku prawdopodobieństwa. Defiicja
Bardziej szczegółowoObserwacje odstające mają duży wpływ na średnią średnia nie jest odporna.
Wykład 8. Przedziały ufości dla średiej Średia a mediaa Mediaa dzieli powierzchię histogramu a połowy. Jest odpora ie mają a ią wpływu obserwacje odstające. Obserwacje odstające mają duży wpływ a średią
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA OPOLSKA
POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia
Bardziej szczegółowoEstymacja punktowa i przedziałowa
Estymacja puktowa i przedziałowa Marta Zalewska Zakład Profilaktyki Zagrożeń Środowiskowych i Alergologii Populacja Próba losowa (próbka) Parametry rozkładu Estymatory (statystyki) Własości estymatorów
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowaie daych Podstawy wioskowaia statystyczego. Prawo wielkich liczb. Cetrale twierdzeie graicze. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Jeśli S
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.
Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 7 7.04.07 dr iż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr leti 06/07 Cetrale twierdzeie graicze - przypomieie Sploty Pobieraie próby, estymatory
Bardziej szczegółowo0.1 Statystyczne Podstawy Modelu Regresji
0.1 Statystycze Podstawy Modelu Regresji iech daa będzie przestrzeń probabilistycza (Ω, F, P ). Fukcję X : Ω R, określoą a przestrzei zdarzeń elemetarych Ω, o wartościach rzeczywistych, takich że x R {ω
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. () Statystyka opisowa 24 maja / 8
Część I Statystyka opisowa () Statystyka opisowa 24 maja 2010 1 / 8 Niech x 1, x 2,..., x będą wyikami pomiarów, p. temperatury, ciśieia, poziomu rzeki, wielkości ploów itp. Przykład 1: wyiki pomiarów
Bardziej szczegółowoMiary położenia (tendencji centralnej) to tzw. miary przeciętne charakteryzujące średni lub typowy poziom wartości cechy.
MIARY POŁOŻENIA I ROZPROSZENIA WYNIKÓW SERII POMIAROWYCH Miary położeia (tedecji cetralej) to tzw. miary przecięte charakteryzujące średi lub typowy poziom wartości cechy. Średia arytmetycza: X i 1 X i,
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!
Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,
Bardziej szczegółowoP = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +
Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych (w zakresie materiału przedstawionego na wykładzie organizacyjnym)
Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych (w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym) Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli
Bardziej szczegółowo