Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja

Transkrypt

1 Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy kwadratowej ci g elementów o równych indeksach wiersza i kolumny: a 11, a 22, a 33, a nn nazywa si gªówn przek tn macierzy Rodzaje macierzy 1 Macierz zerowa - macierz, której wszystkie elementy s równe 0 2 Macierz kwadratowa - macierz, której liczba wierszy jest równa liczbie kolumn 3 Macierz dolnotrójk tna - macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy stoj ce nad gªówn przek tn s równe 0 4 Macierz górnotrójk tna - macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy stoj ce pod gªówn przek tn s równe 0 5 Macierz diagonalna - macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy poza stoj cymi na przek tnej s równe 0 6 Macierz jednostkowa - macierz diagonalna, w której wszystkie elementy przek tnej s równe 1, oznaczamy j I lub I n, np I 3 = Macierz transponowana do A m n - macierz A T n m, w której wszystkie kolumny s kolejnymi wierszami macierzy A 8 Macierz symetryczna - macierz kwadratowa, która jest równa swojej macierzy transponowanej 1

2 3 Dziaªania na macierzach Niech A = [a ij ] i B = [b ij ] b d macierzami wymiaru m n i α R Wtedy sum, ró»nic i iloczyn przez liczb macierzy okre±lamy nast puj co: A ± B = a 11 ± b 11 a 1n ± b 1n a m1 ± b m1 a mn ± b mn αa 11 αa 1n α A = αa m1 αa mn, Iloczyn macierzy A m n i B n k deniuje si nast puj co: w 1 w 2 [ ] k A B = 1 k 2 k k = w m w 1 k 1 w 1 k 2 w 1 k k w = 2 k 1 w 2 k 2 w 2 k k w m k 1 w m k 2 w m, k k gdzie w 1,, w m oznaczaj wektory wierszowe macierzy A, k 1,, k k - wektory kolumnowe macierzy B, a oznacza iloczyn skalarny wektorów Uwaga eby mo»liwe byªo obliczenie iloczynu macierzy A oraz B, liczba kolumn macierzy A musi by równa liczbie wierszy macierzy B Uwaga Mno»enie macierzy nie jest przemienne! Z faktu,»e mo»na obliczy iloczyn A B nie wynika,»e b dzie on równy iloczynowi B A ani nawet,»e iloczyn B A b dzie mo»liwy do obliczenia Niech A b dzie macierz wymiaru n m Przez A ij b dziemy oznacza macierz wymiaru (n 1) (m 1) otrzyman z macierzy A przez skre±lenie i-tego wiersza i j-tej kolumny 2

3 4 Wyznacznik Wyznacznikiem macierzy kwadratowej stopnia n (wymiaru n n) nazywamy liczb det A okre- ±lon nast puj co: 1 det A = a 11 dla n = 1, 2 det A = ( 1) 1+1 a 11 det A 11 +( 1) 1+2 a 12 det A ( 1) 1+n a 1n det A 1n dla n 2, gdzie A ij oznacza macierz stopnia n 1 otrzyman z macierzy A przez skre±lenie i-tego wiersza i j-tej kolumny 41 Metoda Sarrusa Reguªy obliczania wyznaczników stopnia drugiego i trzeciego det a b c d e f g h i 42 Rozwini cie Laplace'a [ a b det c d ] = ad cb = aei + bfg + cdh ceg afh bdi Dopeªnieniem algebraicznym elementu a ij macierzy A nazywamy liczb def D ij =( 1) i+j det A ij Twierdzenie Niech n 2 i niech liczby naturalne i oraz j, gdzie 1 i, j n, b d ustalone wyznacznik macierzy A mo»na liczy wedªug wzorów: Wtedy 1 det A = a i1 D i1 + a i2 D i2 + + a in D in (rozwini cie wzgl dem i-tego wiersza), 2 det A = a 1j D 1j + a 2j D 2j + + a nj D nj (rozwini cie wzgl dem j-tej kolumny) 43 Wªasno±ci wyznaczników 1 Wyznacznik macierzy dolnotrójk tnej lub górnotrójk tnej jest równy iloczynowi elementów stoj - cych na jego gªównej przek tnej det = = 24 2 Wyznacznik macierzy o wierszu (kolumnie) zªo»onym z samych zer jest równy 0 3

4 3 Wyznacznik macierzy zmieni znak na przeciwny, je±li przestawimy mi dzy sob dwa wiersze lub dwie kolumny 4 Wyznacznik macierzy maj cej dwa jednakowe wiersze (kolumny) jest równy 0 5 Je»eli wszystkie elementy pewnego wiersza (kolumny) maj wspólny czynnik, to mo»na go wyª - czy przed wyznacznik, np = Wyznacznik macierzy nie zmieni si, je±li do elementów pewnego wiersza (kolumny) dodamy odpowiadaj ce im elementy innego wiersza (kolumny) pomno»one przez dowoln liczb 7 Wyznacznik macierzy i jej transpozycji s równe 5 Macierz odwrotna Macierz odwrotn do macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy macierz A 1, która speªnia warunek A A 1 = A 1 A = I n Macierz A nazywamy osobliw, gdy det A = 0 W przeciwnym wypadku mówimy,»e macierz A jest nieosobliwa Twierdzenie 1 Macierz A jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliwa 2 Je»eli macierz A jest nieosobliwa, to D 11 D 12 D 1n A 1 = 1 D 21 D 22 D 2n det A D n1 D n2 D nn gdzie D ij oznacza dopeªnienie algebraiczne elementu a ij macierzy A T, 6 Rz d macierzy Niech A b dzie wymiaru m n Minorem stopnia k N macierzy A nazywamy wyznacznik utworzony z elementów tej macierzy stoj cych na przeci ciu dowolnie wybranych k kolumn i k wierszy Rz dem macierzy A nazywamy najwi kszy stopie«jej niezerowego minora i oznaczamy r(a) 4

5 61 Wªasno±ci rz du 1 Rz d macierzy nieosobliwej jest równy jej stopniowi 2 Rz d macierzy nie ulegnie zmianie, gdy: przestawimy dwa wiersze (kolumny), wiersze (kolumny) pomno»ymy przez liczb ró»n od zera, do jednego wiersza (kolumny) dodamy inne wiersze (kolumny) pomno»one przez dowolne liczby 5