Zastosowania wyznaczników

Transkrypt

1 Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 17

2 Twierdzenie Niech A M n n (R). Następujace warunki sa równoważne: (i) det A 0 (ii) wiersze macierzy A tworza układ liniowo niezależny (iii) kolumny A tworza układ liniowo niezależny Uwaga 1 Jeśli w 1,..., w m sa wierszami macierzy A M m n (R), zaś v 1,..., v m sa wierszami macierzy B, która powstała z A poprzez elementarne operacje na wierszach, to: (i) lin(w 1,..., w m ) = lin(v 1,..., v m ) (ii) w 1,..., w m sa liniowo niezależne v 1,..., v m sa liniowo niezależne. Uwaga 2 Niezerowe wiersze macierzy w postaci schodkowej tworza układ liniowo niezależny. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 17

3 Przykład Niech A = Sprowadzamy do postaci schodkowej: = B det A = det B = 0. Wiersze macierzy A tworza układ liniowo zależny, np. (1, 2, 1) (2, 5, 3) + (1, 3, 2) = 0 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 17

4 Macierze odwrotne i odwracalne Definicja Macierz M n n (R)nazywamy macierza jednostkowa i oznaczamy I n lub I( tzn. macierz I n ma na przekatnej n jedynek, a poza przekatn a zera). Uwaga. Dla dowolnej macierzy A M n n (R) mamy I n A = AI n = A. Macierz jednostkowa jest więc elementem neutralnym dla mnożenia macierzy. Np. [ ] [ ] = [ ] [ ] = [ ] Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 17

5 Definicja Mówimy, że macierz A M n n (R) jest odwracalna jeśli istnieje taka macierz B M n n (R), że AB = I n. Taka macierz B jest wówczas dokładnie jedna i nazywamy ja macierza odwrotna do A i oznaczamy A 1. Spełnia ona wówczas zarazem równość BA = I n. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 17

6 Przykład A = = I [ 1 2 A = 3 7 [ 1 2 bo 3 7, A 1 = ] [, wówczas A = 3 1 ] [ ] =, bo [ ] ] = I = Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 17

7 Twierdzenie Niech A = (v 1,..., v n ) oraz B = (w 1,..., w n ) będa bazami przestrzeni V. niech M będzie macierza zamiany współrzędnych od A do B (tzn. M = M(id) B A, zaś N macierza zamiany współrzędnych od B do A (tzn N = M(id) A B ). Wówczas N = M 1 Istotnie, MN = M(id) B A M(id)A B = M(id)B B = I ( bo id(w 1 ) = 1 w w w n,..., id(w n ) = w n = 0 w w n w n ) Przykład Niech V = R 2, A = ((1, 3), (2, 7)), zaś B = st = ((1, 0), (0, 1)). Wtedy [ ] [ ] M = M(id) B 1 2 A = zaś N = M(id) A B = M = (zobacz poprzedni slajd) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 17

8 Zwiazek wyznacznika z odwracalnościa macierzy Twierdzenie (1) Niech A M n n (R). Wtedy równoważne sa: (i) A jest odwracalna (ii) det A 0 (iii) Wiersze A tworza układ liniowo niezależny (iv) Kolumny A tworza układ liniowo niezależny (v) Nie istnieje niezerowa kolumna K M n 1 (R), taka, że AK = 0, gdzie 0 oznacza kolumnę zerowa (czyli składajac a się z n zer) (vi) Jeśli K 1,..., K n sa kolumnami A, zaś W 1,... W n jej wierszami, to lin(k 1,..., K n ) = M n 1 (R) oraz lin(w 1,..., W n ) = M 1 n (R) (tzn. każda kolumnę n-elementowa można uzyskać jako kombinację liniowa kolumn A, podobnie dla wierszy) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 17

9 Metoda znajdowania macierzy odwrotnej Wprowadzimy oznaczenie: dla macierzy A = [a ij ], B = [b ij ] M n n (R) a a 1n b b 1n A B oznacza macierz M n 2n (R). a n1... a nn b n1... b nn Twierdzenie macierz A M n n (R) jest odwracalna macierz A I można sprowadzić elementarnymi operacjami na wierszach do postaci I B. Wówczas B = A 1 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 17

10 Przykład A = Mamy A I = w 3 w 1 w 1 w 2 zatem A 1 = w 2 w w 3 + w 2 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 17

11 Przypomnienie: Rzad macierzy Definicja Niech A M n n (R) Rzędem macierzy A nazywamy liczbę dimlin(w 1,..., w m ), gdzie w 1,..., w m sa wierszami A. Rzad A oznaczamy r(a). Przykład A = sprowadzamy Ado postaci schodkowej Zatem lin((1, 2, 3, 1), (3, 5, 7, 2), (1, 1, 1, 0)) = lin((1, 2, 3, 1), (0, 1, 2, 1)) Stad dim lin((1, 2, 3, 1), (3, 5, 7, 2), (1, 1, 1, 0)) = 2, r(a) = 2 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 17.

12 Twierdzenie dla każdej macierzy A M m n (R) następujace liczby sa równe: (i) dim lin(w 1,..., w m ), gdzie w 1,..., w m sa wierszami A (ii) dim lin(k 1,..., k n ), gdzie k 1,..., k n sa kolumnami A (iii) rozmiar (liczba wierszy) maksymalnej podmacierzy kwadratowej B macierzy A takiej, że det B 0 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 17

13 Zastosowanie wyznacznika i rzędu macierzy w teorii równań liniowych Niech a 11 x 1 + a 12 x 2 + +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + +a 2n x n = b 2 U : a m1 x 1 + a m2 x 2 + +a mn x n = b m Oznaczmy przez A macierz m n współczynników U, zaś A U macierz m (n + 1) układu U, tzn. a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n A =......, A a 21 a 22 a 2n b 2 U = a m1 a m2 a mn a m1 a m2 a mn b m Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 17

14 Twierdzenie (Kroneckera - Capelliego ) (i) Układ U ma rozwiazanie r(a) = r(a U ) (ii) Jeśli układ U ma rozwiazanie, to rozwiazanie ogólne ma n r(a) parametrów (iii) Jeśli ciag k = (s 1,..., s n ) R n jest pewnym rozwiazaniem układu U oraz W jest przestrzenia rozwiazań układu jednorodnego z macierza współczynników A, to k + W = {k + w w W } jest zbiorem rozwiazań układu U. Twierdzenie (Cramera) Gdy m = n to (i) Układ U ma jednoznaczne rozwiazanie det A 0 (ii) Jeśli (x 1,..., x n ) jest jedynym rozwiazaniem układu U, to (x 1,..., x n ) = ( det D 1 det A, det D 2 det Dn det A,..., det A ), gdzie D j oznacza macierz powstała z A przez zastapienie kolumny o numerze j kolumna, której kolejnymi elementami sa b 1, b 2,..., b m (kolumna wyrazów wolnych równań układu). Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 17

15 Przykład Rozważmy układ { 3x1 + 5x U : 2 = 8 4x 1 + 3x 2 = 1 [ ] 3 5 Ponieważ det A = det = = 11 0 zatem układ 4 3 jest kramerowski i możemy obliczyć jedyne rozwiazanie: det 8 5 x 1 = det D 1 det A = = det 3 8 x 2 = det D 1 det A = = Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 17

16 Wzór na macierz odwrotna Twierdzenie Jeśli macierz kwadratowa A = [a ij ], 1 i, j n jest odwracalna, to macierza odwrotna jest macierz A 1 = [b ij ], 1 i, j n, w której b ij = 1 det A ( 1)i+j det A ji Przykład [ ] a b W szczególności jeśli A = jest odwracalna, tzn. c d [ ] det A = ad bc 0, to A 1 = 1 d b ad bc c a Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 17

17 Algebra macierzy Zachodza następujace wzory: i) Jeśli A, B M n n (R) to (AB) 1 = B 1 A 1 ii) (A 1 ) = (A ) 1 iii) (AB) = B A (również dla macierzy prostokatnych) iv) możemy zdefiniować indukcyjnie potęgi macierzy kwadratowej A: A 1 = A, A n = AA n 1, dla n = 2, 3,.... Ponadto jeśli A jest odwracalna to przyjmujemy A n = (A 1 ) n, dla n = 1, 2,... i A 0 = I. Spełnione sa wtedy A n A m = A n+m oraz (A m ) n = A mn. Uwaga: na ogół (AB) n A n B n (ale równość zachodzi jeśli AB = BA) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad / 17