WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY

Transkrypt

1 WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW SZKOŁY PODSTAWOWEJ W ROKU SZKOLNYM 08/09 Schemt punktowni zdni zmknięte Z kżdą poprwną odpowiedź uczeń otrzymuje punkt Numer zdni Poprwn odpowiedź A B A C A D D A A C C D D D B C A C B C A D i schemt punktowni zdni otwrte Z kżde poprwne i pełne rozwiąznie zdni nieuwzględnione w schemcie punktowni przyznjemy mksymlną liczbę punktów nleżnych z to zdnie Zdnie C A K y h z B długość boku trójkąt równobocznego ABC h wysokość trójkąt równobocznego ABC, y, z długości odcinków prostopdłych do boków trójkąt ABC Nleży wykzć, że + y + z h Odcinki, y, z są odpowiednio wysokościmi trójkątów: ACK, ABK i BCK, sum pól tych trójkątów jest równ polu trójkąt ABC ACK ABK y BCK z ABC P h P + ACK + ABK BCK P ABC

2 + y + z ( + y + z) h h Dzielę obie strony równni przez + y + z h cnd i otrzymuję: Schemt ocenini punkty wykznie, że sum odcinków, y, z jest równ wysokości trójkąt ABC punkty zpisnie, że sum pól trójkątów ACK, ABK i BCK jest równ polu trójkąt ABC punkty poprwn metod zpisni sumy pól trójkątów ACK, ABK i BCK punkt zpisnie podziłu lub podzielenie n rysunku trójkąt ABC n trzy trójkąty: ACK, ABK i BCK 0 punktów rozwiąznie błędne lub brk rozwiązni Zdnie Przykłdowe rozwiązni I sposób rozwiązni Niech ozncz długość obwodu kwdrtu lub trójkąt równobocznego Bok kwdrtu: Pole kwdrtu: 6 Bok trójkąt równobocznego m długość:, jego wysokość 6 Pole trójkąt równobocznego: 6 6 < więc < Wobec tego 6 < 6 < 6 II sposób rozwiązni długość boku kwdrtu b długość boku trójkąt b b 9 pole kwdrtu b 6 b pole trójkąt z 6

3 < więc b b 8b 9b < < Pole kwdrtu jest większe od pol trójkąt Schemt ocenini 5 punktów poprwne uzsdnienie, że pole kwdrtu jest większe od pol trójkąt punkty poprwn metod porównni pol kwdrtu z polem trójkąt punkty zpisnie wyrżeni lgebricznego opisującego pole trójkąt punkty zpisnie wyrżeni lgebricznego opisującego pole kwdrtu punkt poprwne zpisnie wyrżeni lgebricznego opisującego bok kwdrtu i bok trójkąt 0 punktów rozwiąznie błędne lub brk rozwiązni Zdnie 5 wiek Ksi obecnie 6 wiek cioci obecnie wiek Ksi, gdy był dw rzy młodsz niż jest terz wiek cioci, gdy Ksi był dw rzy młodsz niż jest terz Ksi był młodsz od cioci rzy Schemt ocenini punkty obliczenie, ile rzy Ksi był młodsz od cioci punkty zpisnie (poprwnego wyrżeni lgebricznego) wieku cioci, gdy Ksi był dw rzy młodsz niż jest terz punkt zpisnie (poprwnego wyrżeni lgebricznego) wieku Ksi, gdy był dw rzy młodsz niż jest terz 0 punktów rozwiąznie błędne lub brk rozwiązni Zdnie 6 0 A O B D C 0 z 6

4 Trójkąt AOC jest równormienny, bo OA OC W związku z tym OAC OCA 0 Promień OC okręgu jest prostopdły do stycznej zwierjącej odcinek CD W trójkącie ADC ACD ADC 80 (0 + 0 ) 0 Dw kąty trójkąt ADC mją równe miry (0 ), więc jest on równormienny cnd Schemt ocenini punkty wyciągniecie wniosku, że trójkąt ADC jest równormienny punkty poprwne obliczenie miry kąt CDA punkty podnie miry kąt ACD (0 ) punkt podnie miry jednego z kątów: ACO i OCD 0 punktów rozwiąznie błędne lub brk rozwiązni Zdnie 7 b b I II ( b) ObI + ObII + b ObI b + ObII + b ObI ( b) ObII ( + b) b 7 + b b 0 5b b b b PI P II PI PII Stosunek pol większego prostokąt do pol mniejszego prostokąt jest równy z 6

5 Schemt ocenini punkty obliczeni stosunku pol większego prostokąt do pol mniejszego prostokąt () punkty poprwny sposób obliczeni stosunku pol większego prostokąt do pol mniejszego prostokąt punkty poprwny sposób wyznczeni zleżności między bokmi jednego z prostokątów (porównnie ilorzu obwodów z 5 7 ) punkt zpisnie wyrżeń lgebricznych odpowidjących długościom krótszych boków prostokątów 0 punktów rozwiąznie błędne lub brk rozwiązni Zdnie 8 długość krwędzi podstwy grnistosłup wysokość grnistosłup Pole powierzchni cłkowitej sześcinu o krwędzi długości 5 cm cm Pole powierzchni cłkowitej P c grnistosłup P c + P c 0 Obliczenie długości krwędzi Wysokość grnistosłup h 5 Objętość grnistosłup V P h p V 5 5 V 0 5 Objętość tego grnistosłup jest równ 0 5cm Schemt ocenini punkty poprwne obliczenie objętości grnistosłup punkty poprwne obliczenie długości krwędzi podstwy i wysokości grnistosłup punkty poprwny sposób obliczeni pol powierzchni grnistosłup z uwzględnieniem, że h punkt poprwne obliczenie pol powierzchni sześcinu o krwędzi długości 5 cm 0 punktów rozwiąznie błędne lub brk rozwiązni Zdnie 9 Przykłdowe rozwiązni zwrtość procentow żelz w rudzie (kg) ms rudy po usunięciu 600 kg znieczyszczeń % 500 kg ms żelz w nieoczyszczonej rudzie 5 z 6

6 ( + 0)% 900 kg ms żelz w rudzie oczyszczonej,5% 600 kg ms żelz w znieczyszczenich ( + 0) % 900 +,5% 600 % , ,5(%) zwrtość procentow żelz w rudzie,5% + 0% 6,5% 6,5% 900 kg 56,5 kg W pozostłej rudzie było 56,5 kg żelz Schemt ocenini punkty poprwne obliczenie msy żelz w pozostłej rudzie punkty poprwne obliczenie procentowej zwrtości żelz w rudzie punkty poprwny sposób obliczeni procentowej zwrtości żelz w rudzie (ułożenie równni) punkty poprwne obliczenie msy rudy po usunięciu znieczyszczeń 0 punktów rozwiąznie błędne lub brk rozwiązni 6 z 6