Projekt 3: Prosty model kinetyki nawęglania stali

Transkrypt

1 Projek 3: Prosy model kneyk nawęglana sal Wsęp Nawęglane jes jednym z najsarszych procesów przemysłowych sosowanych do powerzchnowego uwardzana sal. Jes o obróbka ceplna polegająca na dyfuzyjnym nasycanu węglem warswy powerzchnowej sal w podwyższonej emperaurze, najczęścej w zakrese C. Na powerzchnę nsko-węglowej sal jes dosarczany węgel na ogół w posac zwązanej kóry po przejścu przez grancę faz dyfunduje w głąb sal. Czas akej obróbk o zazwyczaj od klku do klkunasu godzn, a grubośd uzyskanej nawęglonej warswy o 0,52 mm. Obecne częso sosuje sę nawęglane gazowe z wykorzysanem lenku węgla (CO), meanu (CH 4 ), propanu (C 3 H 8 ), eylenu (C 2 H 4 ), aceylenu lub meszann ych gazów z wodorem. Nawęglane szeroko sosuje sę w produkcj kół zębaych, wałów rozrządu, wałów korbowych, ule p. Podobnym procesem do nawęglana jes azoowane, kóre z kole polega na nasycenu warswy powerzchnowej sal azoem. Azoowane sal węglowych zwększa ch odpornośd na ścerane, korozję, a akże zmnejsza współczynnk arca. Azoowane gazowe odbywa sę najczęścej w zdysocjowanego amonaku (NH 3 N+3H) w emperaurze C. Kneyka całego procesu nawęglana jes określona przez wysępowane dwóch eapów (Rys. 1): () przejśce węgla z oaczającej powerzchnę amosfery gazowej do cała sal przez grancę faz, () szybkośd ransporu dyfuzyjnego węgla w sal. x=0 Rys. 1. Schemayczne przedsawene ransporu węgla w procese nawęglana. Po lewej srone jes gaz o sężenu c L zawerający węgel. Szybkośd przejśca przez grancą jes określona przez sałą kneyczną. Transpor węgla w sal jes zdeermnowany przez współczynnk dyfuzj D. Przyjmujemy, że głównym procesem ransporu węgla w sal jes dyfuzja mędzywęzłowa (Rys. 2). Oznacza o, że w rozworze sałym FeC aomy węgla znajdują sę w położenach mędzywęzłowych sec krysalcznej -Fe lub -Fe. Mogą sę one przemeszczad jedyne z jednego z jednego położena mędzywęzłowego do drugego. Jes o prosy mechanzm mędzywęzłowy, zwany akże x

2 mechanzmem węzłowym bezpośrednm. Naomas na zewnąrz sal amosfera gazowa jes jednorodna o sężenu c L (równeż w poblżu powerzchn sal). Oznacza o, że mamy sałe sężene c L węgla w faze gazowej w na zewnęrznej powerzchn sal co zosane uwzględnone w warunku brzegowym. Rys. 2. Elemenarne przeskok aomów w bezpośrednm mechanzme węzłowym dyfuzj. W modelu oblczenowym założymy geomerę jednowymarową oraz sałośd objęośc molowej sec krysalcznej sal ausenycznej podczas procesu nawęglana (założene o jes poprawne dla dyfuzj mędzywęzłowej). Rozkład sężena w sal ( x 0) w dowolnej chwl 0 oznaczony przez c( x, ). Granca sal/amosfera odpowada współrzędnej x 0. Dyfuzyjny ranspor węgla w sal będze podlegał perwszemu prawu Fcka, zaem wyrażene na srumeo ma posad J c D, (1) x gdze współczynnk dyfuzj, węgla, ale w oblczenach przyjmemy że jes sały. 2 D [m / s] w ogólnym przypadku może zależed od położena sężena Warunek brzegowy zwązany jes z procesem przejśca węgla z fazy gazowej do sal przez grancę faz gaz/sal. Szybkośd ego procesu, czyl srumeo przez brzeg, jes scharakeryzowana kneycznym współczynnkem ransferu masy [m / s] w nasępujący sposób (por. Błąd! Ne można odnaleźd źródła odwołana.): J ( c ). x 0 L c (2) S Fzyczne warunek en oznacza, że srumeo przez brzeg jes proporcjonalny do skoku sężena po obu sronach grancy. W wyrażenu (2) symbol c S oznacza sężene węgla na brzegu, ale od srony sal, j. cs c(0, ), a J x 0 o srumeo na brzegu czyl J(0, ). Możemy węc warunek (2) zapsad ak J(0, ) ( c c(0, )). (3) Srumeo ( J ) ze sężenem () c łączy prawo zachowana, kóre w jednym wymarze ma posad nasępującego równana różnczkowego cząskowego L c J x R, (4)

3 gdze R jes członem opsującym reakcję w kórej berze udzał składnk (uaj węgel). W naszym modelu rozparujemy ylko ranspor dyfuzyjny bez reakcj w sal, zaem R 0. Mamy węc nasępujący układ równao: c J 0, x(0, ), 0, x J x0 ( cl c(0, )), 0, (5) gdze srumeo wewnąrz sal ( x 0) dany jes równanem (2). Podsumowując, dwa główne paramery, kóre opsują szybkośd nawęglana w ym modelu o: () współczynnk szybkośc ransferu masy przez grancę, ; () współczynnk dyfuzj węgla w sal, D( x, c ). Dalej założymy, że oba e paramery są sałe ne zależą od położena sężena składnków. Wedy zaem układ (5) można przepsad nasępująco 2 c c D, x [0, ), 0, 2 x c ( cl c(0, )) D (0, ), 0, x (6) w kórym perwsze równane znane jes jako II prawo Fcka. Model mus byd uzupełnony o warunek począkowy podający sężene węgla w sal przed rozpoczęcem procesu nawęglana, a akże oraz warunek brzegowy w głęb mealu gdyż ne możemy symulowad obszaru od x 0 do. Przyjmujemy, że rozkład węgla w sal nenawęglonej powerzchnowo jes jednorodny w całej objęośc, zaem sężene począkowe, c pocz, jes sałe w całej próbce c( x,0) c, x 0. (7) pocz Formalne, problem (6) jes określony na neskooczonym odcnku, dla x[0, ). Oczywśce w oblczenach musmy ogranczyd sę do pewnego skooczonego obszaru o grubośc L 0. Zaem x [0, L]. Grubośd L wyberamy na yle dużą, aby w przewdywanym czase symulacj dyfuzja ne doarła do drugego kooca ( L D ). Na prawym brzegu zakładamy zerowy srumeo (układ zamknęy), J x L 0, lub warunek, że sężene jes równe sężenu począkowemu, c( L, ) c pocz. W prakyce oba warunk prowadzą do podobnych wynków, jeżel ylko dyfuzja ne dorze do drugego brzegu. Podsumowując będzemy szukad rozwązana nasępującego problemu c c J J D, 0, x (0, L), 0, x x I prawo Fcka blans masy (prawo zacho- -wana); brak źródeł (reakcj) J x0 ( cl c(0, )), c( L, ) cpocz, 0, (8)

4 z warunkem począkowym c( x,0) c dla 0 x L, lub waran ze srumenem zerowanym na prawym brzegu pocz c J c 0, J D, x (0, L), 0, x x J x0 ( cl c(0, )), J xl 0, 0, c( x,0) cpocz, x (0, L), (9) Meoda Numeryczna Wprowadzamy jednorodną sakę punków { x0, x1,, x n } odległych o x (Błąd! Ne można odnaleźd źródła odwołana.): oraz nasępujące oznaczena: x0 0, x1 x x ( 0,1,2,, n 1), c : c( x, ) dla 0,1,, n. Jeden ze sposobów zbudowana schemau numerycznego do oblczana sężeo opera sę na dyskreyzacj prawa zachowana masy c J, x (10) w oparcu o dodakowe węzły umeszczone pomędzy węzłam dla sężeo Błąd! Ne można odnaleźd źródła odwołana.. Dla wygody na rysunku pomnęo symbol w oznaczenu c sężena w węzłach oznaczono przez c naomas srumene pomędzy węzłam są oznaczane ( J0, J1,, J 1, J 1, ). Uwaga: Można spokad sę w nekórych opracowanach z konwencją wg kórej srumene mędzy węzłam x, 1 x oraz x, x 1 oznacza sę ndeksam połówkowym: J 1/2 oraz J. 1/2 J 0 = (c L - c 0 ) J 1 J 2 J J +1 J n c 0 c 1 c 2 c -1 c c +1 c n-1 c n =c P x -1/2 x 0 x 1 x 2 x -1 x x +1 x n-1 x n Rys. 3. Schema sak punków oraz oznaczeo dla sężeo srumen do dyskreyzacj równana blansu masy. Używając powyższych oznaczeo przeprowadzamy dyskreyzację nasępująco. Zapsujemy równane (10) dla punków węzłowych x x x +1/2 c J ( x, ) ( x, ), ( 0,, n1), x (11)

5 co po dyskreyzacj (zn. zasąpenu pochodnych odpowednm lorazam różncowym) daje c( x, ) c( x, ) J( x x / 2, ) J( x x / 2, ). x (12) Zauważmy, że w dyskreyzacj powyższej pochodna względem czasu zosała zasąpona lorazem różncowym w przód, a pochodna przesrzenna lorazem różncowym cenralnym. Używając skróowych oznaczeo mamy c c J 1 J x c c ( J 1 J ) dla 0,1,, n 1. x (13) Musmy jeszcze dokonad dyskreyzacj srumen J oraz J, 1 kórych konkrena posad zależy od przyjęego prawa konsyuywnego dla opsywanego procesu. W naszym przypadku jes o I prawo Fcka, J Dc / x, ze sałym współczynnkem dyfuzj, D, zaem czyl c c( x, ) c( x, ) J J x D x D x x 1 ( 1/2, ) ( 1/2, ), c c J 1 D, dla 1,, n. x Naomas na lewym ( 0) brzegu srumena ne dyskreyzujemy, bo jes on dany bezpośredno przez warunek brzegowy (3) 0 L 0 (14) (15) J ( c c ) dla 0. (16) Możemy zaem podsumowad numeryczny model. W chwl zerowej ( 0) rozkład jes sały c c dla 0,1,, n. (17) 0 pocz Nasępne powarzamy (erujemy) oblczene sężeo w krokach czasowych : c c poprzez sosowane wzorów (13), (15), (16) oraz pamęając, że na prawym brzegu zawsze c c. Zaem podsawowy krok czasowy ma posad: c c ( J 1 J ) dla 0,1,, n 1, x c gdze c P 0 L 0, J ( c c ) dla 0 c c 1 J D dla 1,, n. x n P (18)

6 Ieracje (18) wykonujemy aż do uzyskana żądanego czasu końec. Zadane1. Oblczane rozkładów sężeo węgla w procese nawęglana. CEL ZADANIA. Implemenacja w środowsku Ms Excel VBA jednowymarowego modelu nawęglana sal oraz wykonane symulacj rozkładów sężeo węgla dla różnych warośc paramerów, D, kon. Aby wykonad zadane rzeba napsad program w języku VBA w arkuszy Excel. W ym celu po uruchomena Excela w menu Deweloper wyberamy Vsual Basc (w grupe Kod). Gdy menu Deweloper ne jes akywne (sandardowa nsalacja pakey Ms Offce), o należy je włączyd poprzez Opcje Dososowane Wsążk lub podobne (o może zależed od wersj). Można eż uruchomd środowsko VBA bez kary Deweloper wysarczy użyd skróu klawszowego Al+F11. Dane do programu należy wprowadzad poprzez komórk arkusza, a po klknęcu przycsku Wykonaj oblczena pownen sę uruchomd program napsany w VBA, kóry oblczy sężene w wybranych węzłach wpsze je do arkusza (Rys. 3). Jak wdad w arkuszu wprowadzamy paramery fzyczne modelu L, c L, c P, D (jako wspd) oraz czas rwana procesu, _kon. Sężene począkowe c pocz jes równe c P (w przedsawonym przykładze c P =c pocz =0). Naomas dwa paramery numeryczne, x, są defnowane bezpośredno w kodze programu VBA, przy czym krok przesrzenny jes oblczany w oparcu o zadawaną lczbę węzłów n: x=l/n. (W przykładowej symulacj użyo n=100). Zauważmy eż, że na grancy faz gaz/sal jes wyraźny skok sężena: w gaze sężene c L =3,40, a w sal (dla x = 0) wynos 2,79. Jes o zwązane ze sosunkowo nedużą waroścą współczynnka (=0,055). Dla dużo wększej warośc należy spodzewad sę mnejszej warośc skoku sężena: c(0, ) c gdy. kon L Rys. 4. Przykładowa organzacja danych w arkuszu kalkulacyjnym do oblczena sężena węgla w procese nawęglana. Dane do oblczeo są w kolumne arkusza B (fragmen na żółym le). Wynk oblczeo są wpsywane do arkusza do abel w kolumne z nagłówkem c dośw. (x,_kon). Na rysunku pokazany jes ylko fragmen rezulau oblczeo. W ym przykładze warośc lczbowe są w umownych jednoskach. Wzory (17) (18) zawerają maemayczny ops schemau oblczenowego, w oparcu o różnce skooczone (ang. FDM, fne dfference mehod, meoda różnc skooczonych). Algorym en zosane

7 zamplemenowany w języku VBA (ang. Vsual Basc for Applcaons) w środowsku arkusza kalkulacyjnego Ms Excel. Podsawową rolę w programe będą odgrywały dwe ablce do przechowywane sężeo { c, c } oraz jedna ablce do przechowywane srumen { J }. Ponado wygodne jes wprowadzd ablcę do przechowywana węzłów { x }. Chocaż węzły ne wysępują bezpośredno w oblczenach (18), o użyjemy ej ablcy dla wększej przejrzysośc programu, a ponado aka wersja jes bardzej elasyczna gdybyśmy chcel zmodyfkowad oblczena w oparcu o sakę nerównomerną. Deklaracje ablc pownna poprzedzad defncja sałej n, kóra będze m.n. wykorzysana do określena rozmaru ablc. Kod procedury rozpoczynamy polecenem Sub po kórym jes nazwa worzonej procedury: Sub Naweglane_Sezene Cons n = 100 Dm cl, cp, _kon,, dx, d, wspd, bea As Double Dm x(0 To n) As Double Dm c(0 To n) As Double Dm c_d(0 To n) As Double Dm J(0 To n) As Double Przypsane warośc paramerów z arkusza do zmennych w programe wykonujemy nsrukcją Cells. Paramery nsrukcj Cells muszą odpowadad organzacj danych w arkuszu. Na przykład paramer L jes w komórce B1 arkusza (Rys. 4), zaem L = Cells(1, 2): L = Cells(1, 2) cl = Cells(2, 2) cp = Cells(3, 2) bea = Cells(4, 2) wspd = Cells(5, 2) _kon = Cells(6, 2) Przejśce od sężeo w chwl do kolejnej chwl polega na oblczenu srumen wg wzorów (14) (16), a nasępne na wykorzysanu ch w formule (13). Całośd jes objęa pęlą whle : Whle < _kon c(n) = cp J(0) = bea * (cl - c(0)) For = 1 To n J() = -wspd * (c() - c( - 1)) / dx Nex For = 0 To n - 1 c_d() = c() - (d / dx) * (J( + 1) - J()) Nex c_d(n) = cp For = 0 To n c() = c_d() Nex = + d Wend

8 Po wykonanu oblczeo kolejny fragmen programu może wypsad warośc węzłów sężeo dla chwl =_kon w komórkach arkusza (w ym przykładze począwszy od wersza o numerze 5): For = 0 To n Cells(9 +, 1) = x() Cells(9 +, 2) = c() Nex Aby w arkuszu umeścd przycsk należy w menu Deweloper wybrad w grupe Formany (w nekórych wersjach mogą o byd Konrolk) opcje Wsaw z podmenu Formany formularza wybrad Przycsk. Po narysowanu przycsku w arkuszu przypnamy ( Przypsz makro ) do nego napsaną wg wskazówek powyżej procedurę VBA (Rys. 5). Rys. 5. Przypsywane akcj (uruchomene procedury) do przycsku W ym przykładze procedura ( makro ) ma nazwę Naweglane_Sezene znajduje sę w module VBA skojarzonym z arkuszem Arkusz3. Po napsanu przeesowanu programy oblczającego profle sężeo należy wykonad dwa zadana: () Oblczyd profle sężeo dla danych podanych w abelce (Tabela 1). W każdym przypadku wykonad symulacje dla rzech czasów kon : 50, Tabela 1. Dane do Zadana 1. Nr L cl cp D Tes 1 5 4,0 0,0 0,015 0,011 Tes 2 9 2,2 1,0 0,030 0,031 Tes ,5 3,5 0,500 0,047 Tes ,7 2,1 0,080 0,050 () Wykonad szereg symulacj, kórych celem będze pokazane jak skok sężena na brzegu zależy od współczynnka (przy nnych paramerach nezmennych). W ym celu przyjąd dane z układu esowego Tes 1 (Tabela 1) wykonad co najmnej 20 symulacj dla warośc mn max z odpowedno dobranym waroścam mn max. Warośc granczne dla należy ak dobrad, aby uzyskad skok sężena prakyczne zerowy przy = max. Wynku przesawd w abel na wykrese w forme zależnośc ( 0 c)(), gdze 0 c = cl c(0, kon ) dla klku czasów rwana procesu: 0 c kon =20 kon =60 kon =100 kon =150 mn

9 max Zadane2. [!!Ndokooczone!!] Opymalzacja paramerów w oparcu od dane dośwadczalne. Gdy dokonamy pomaru sężena w wybranych punkach 0 x1 x2 xn L w chwl kon 0, orzymując warośc cdośw.( x1 ),, cdośw.( x n), o możemy szukad paramerów D ak, aby uzyskany profl sężena w modelu opsującym proces był jak najlepej dopasowany do danych dośwadczalnych. Oznacza o mnmalzację odpowednej funkcj celu. W prakyce defnujemy ją nasępująco 1 (19) n 2 GoalFun(, D) ( csymul.( xk, kon;, D) cdośw.( xk )). n k1 Uważamy, że najlepsze przyblżene fzycznych (realnych) warośc paramerów kórych, D o ake, dla GoalFun (, D) mn. (20) Zadane do wykonana w Projekce Osaecznym celem projeku jes dobrane w drodze opymalzacj paramerów procesu nawęglane, j. współczynnka dyfuzj D oraz współczynnka ransferu masy. Dobór en opera sę na zmerzonych (dośwadczalne) waroścach sężena węgla w sal podanych w abel w dwóch kolumnach: [x, c dośw. (x)]. Pozosałe dane porzebne do opymalzacj o: L, cl, cp, c_pocz, _kon. Aby wykonad opymalzację należy dane z abel wprowadzd do arkusza np. od wersza 9-ego, kolumny 1 2, w programe oblczającym funkcję celu wprowadzd podane paramery d, cl, cp, c_pocz, _kon. Nasępne w wybranych komórkach podad począkowe warośc paramerów wspd, a w nnej komórce wsawd funkcję celu GoalFun(wspD; bea), kórej argumenam będą adresy komórek zawerających począkowe warośc wspd. Teraz można uruchomd Solver, żądając mnmalzacj funkcj celu przy zmenanych komórkach wspd. Waro eż dodad ogranczena w Solverze dla wspd. W raporce należy przedsawd króko model, wylczone z opymalzacj współczynnk D oraz wykres sężena dla zopymalzowanych paramerów wraz z punkam dośwadczalnym sężeo.

10 Zadane 1. Wykonad projek 1D w COMSOLu, kóry będze symulował opsany problem nawęglana. Przyjąd nasępujące dane (m/s) D (m 2 /s) cl (mol/m 3 ) c pocz (mol/m 3 ) L (mm) 2, , ,01 8 Przyjąd nasępujące czasy (s): Zadane 2. (Rozwnęce Zadana 1) W prakyce podczas nawęglana sosuje sę proces cyklczny, w kórym np. sężene powerzchnowe gazu nawęglającego zmena sę w czase (najprosszy przypadek o dwueapowe nawęglane). Można akże obnżyd emperaurę co prowadz do obnżena współczynnka dyfuzj D. Celem akego procesu jes uzyskane proflu nasycena węglem, kóry jes bardzej wyrównany w poblżu powerzchn (poprawa o wardośd powerzchnową sal). Zasosowad różne warany cyklcznego procesu nawęglana: (a) Zmenne, np. 1 () 2 dla, br dla, br konec (21) gdze. Dobrad ak paramery 2 1 1, 2, br, aby uzyskad profl węgla z maksmum sężena wewnąrz sal w poblżu powerzchn. (b) Zmenne c L. Podobne jak dla, ale ym razem obnżamy sężene amosfery gazowej, np. cl,1 dla br, cl () cl,2 dla br konec. (22) Poneważ nawe przy zerowym sężenu gazu nawęglającego węgel ne będze opuszczał sal, węc należy przyjąd ogranczene, że srumeo ne może byd skerowany na zewnąrz sal (użyd w ym celu funkcj abs, kóre oblcza warośd bezwzględną z lczby). (c) Wprowadzd zmennośd współczynnka dyfuzj w zależnośc od emperaury wg wzoru D T 6 2 ( ) exp( / ( RT)) [m / s], (23) przeesowad wpływ zmany emperaury w rakce nawęglane na profl sężena węgla w sal.