OKREŚLANIE PARZYSTOŚCI LICZB W RESZTOWYM SYSTEMIE LICZBOWYM Z WYKORZYSTANIEM KONWERSJI DO SYSTEMU Z MIESZANYMI PODSTAWAMI

Transkrypt

1 POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 76 Electrcal Engneerng 2013 Mrosław PLEBANEK* OKREŚLANIE PARZYSTOŚCI LICZB W RESZTOWYM SYSTEMIE LICZBOWYM Z WYKORZYSTANIEM KONWERSJI DO SYSTEMU Z MIESZANYMI PODSTAWAMI W artykule przedstawono etodę konwersj lczb z systeu resztowego do systeu z eszany podstawa. Następne zaprezentowano dwe etody konwersj lczb z systeu z eszany podstawa do systeu dzesętnego, oraz etodę określana parzystośc porównywana lczb zapsanych w systee z eszany podstawa. 1. WSTĘP Resztowy syste lczbowy (ang. the Resdue Nuber Syste, RNS) został stworzony w celu przyspeszena oblczeń arytetycznych w układach elektronk. Jego zaletą jest ożlwość wykonywana dodawana, nożena dzelena z ponęce przeneseń. Z kole operacje take jak dzelene lub porównywane lczb są znaczne trudnejsze do realzacj nż w systeach wagowych. Przykładowo porównane dwóch lczb w systee wagowy polega na sprawdzenu wartośc cyfr dla najbardzej znaczących wag, w RNS ne da sę w prosty sposób porównać lczb na podstawe ch reprezentacj. Najłatwejszy sposobe porównana dwóch lczb w RNS jest ch konwersja do systeu wagowego np.: przy poocy chńskego twerdzena o resztach (ang. Chnese Render Theore, CRT) porównane wyznaczonych lczb. Ze względu na czasochłonność konwersj rozpoczęto badana nad nny etoda porównywana lczb w RNS. Jedną z etod jest etoda wykorzystująca funkcję rdzena [2]. Z kole w artykule [3] opsana jest etoda porównywana lczb oparta o wykorzystane tablc parzystośc. O le etoda jest szybka prosta tablce parzystośc ogą osągać znaczne rozary co oże prowadzć do znacznych opóźneń oraz wzrostu nakładów sprzętowych. W artykule przedstawono etodę określana parzystośc porównywana dwóch lczb wykorzystującą konwersję lczb z RNS do MRS. * Poltechnka Gdańska.

2 128 Mrosław Plebanek 2. RESZTOWY SYSTEM LICZBOWY - RNS Nech B = { 1, 2,..., n } będze zbore para względne perwszych odułów, zwany bazą, oraz nech n M =. W systee resztowy, = 1 określony przez bazę B, każda lczba X z zakresu [0, M) jest jednoznaczne x = X dla reprezentowana przez wektor (x 1, x 2,..., x n ), gdze każdego1< n jest najnejszą neujeną resztą z dzelena lczby X przez oduł. 3. SYSTEM RESZTOWY Z MIESZANYMI PODSTAWAMI - MRS MRS jest systee wagowy, który został przedstawony w [1]. Lczba X z zakresu określonego przez bazę RNS, a reprezentację w MRS w postac: n 1 X= a n +...+a a 2 1 +a 1 = a n P n +...+a 3 P 3 +a 2 P 2 +a 1 P 1 = 1 (1) gdze: a 1,..., a n - są cyfra MRS, przy czy 0 a <, P 1,..., P n - są kolejny waga MRS, zdefnowany jako P 1 = 1 oraz n 1. Reprezentacja lczby w MRS określona jest jako (a n, a n 1,..., a 1 ) gdze a n jest cyfrą MRS stojącą przy najbardzej znaczącej wadze. Każda lczba z zakresu określonego przez RNS a dokładne jedną reprezentację w MRS. Syste dzesętny jest szczególny przypadke MRS, w który wszystke = 10. Zaleta MRS są: ożlwość porównywana lczb przy poocy prostych technk (porównywane wartośc odpowadających sobe lczb MRS), konwersja z RNS do MRS jest operacją szybszą prostszą w pleentacj nż CRT (brak konecznośc oblczana X od M ). P n = = 1 4. KONWERSJA Z RNS DO MRS Wektor (x 1, x 2,..., x n ) jest reprezentacją lczby X w RNS o baze B = { 1, 2,..., n }. Konwersję lczby X, do MRS przeprowadza sę w następujący sposób a 1 = X = x jest resztą dla 1. zaczynając od wyznaczena a 1. 1

3 Określane parzystośc lczb w resztowy systee lczbowy a 2 x2 a1 = 1 1 (lcznk nożony przez nwersję ultplkatywną anownka). Poneważ a 1 = X, stąd X a 1 = 0 wyznaczene wynku X a 1. Co za ty dze, ożlwe jest 1 1 bezpośredno w RNS. 1 Oblczena są kontynuowane dla kolejnych a = wyznaczena wszystkch cyfr MRS. Ponższy przykład lustruje opsane powyżej zależnośc. X Tabela 4.1. Konwersja lczby z systeu RNS do MRS 1 aż do

4 130 Mrosław Plebanek Konwersja lczby z systeu MRS do dzesętnego Do przeprowadzena konwersj koneczne jest wykonane n 1 operacj dodawana tyle sao operacj nożena, gdze n to lość cyfr MRS w reprezentacj lczby X. Zaletą zaprezentowanej etody są nsk stopeń skoplkowana, krótk czas oblczeń brak konecznośc wykonywana czasochłonnych operacj odulo Alternatywna etoda konwersj z MRS do systeu dzesętnego Znając oduły RNS, które zostały użyte do określena wag MRS podczas MRC, konwersję lczby z MRS do systeu dzesętnego ożna przeprowadzć w oparcu o wyrażene ((((((((a 5 ) 4 ) + a 4 ) 3 ) + a 3 ) 2 ) + a 2 ) 1 ) + a 1 = X. Przykład Znana jest reprezentacja lczby X w MRS X MRS (0, 0, 4, 14, 1). Wadoo, że RNS, z którego wykonano MRC posada bazę B = 1, 2, 3, 4, 5 } = {17, 19, 23, 29, 31} Wyznacz wartość X w systee dzesętny. Tabela 4.2. Wyznaczane wartośc dzesętnej lczby na podstawe jej reprezentacj w MRS

5 Określane parzystośc lczb w resztowy systee lczbowy Ilość operacj konecznych do wykonana jest taka saa jak w etodze zaprezentowanej w [1]. Zaleta zaprezentowanej etody są nske nakłady sprzętowe oraz brak konecznośc przechowywana w ROM wag MRS, wystarczy znajoość odułów bazy RNS użytych podczas MRC. Wadą jest brak ożlwośc wykonana wszystkch operacj nożena nezależne od sebe, a następne dodana otrzyanych loczynów jak a to ejsce w [1]. 5. OKREŚLANIE PARZYSTOŚCI W SYSTEMIE LICZBOWYM Z MIESZANYMI PODSTAWAMI Wedząc, że na podstawe (1) wartość lczby X w MRS określona jest jako n X = a P =1 zate jej parzystość ożna określć na podstawe wyrażena n X 2 = a P 2 =1 2 Przyjując, że X 2 = 0 oznacza lczbę parzystą oraz X 2 = 1 neparzystą. Wyrażene to ożna zrealzować przy poocy układu kobnacyjnego przedstawonego na rysunku 5.1. Rys Układ do wyznaczana parzystośc lczb zapsanych w MRS Przedstawona etoda pozwala na szybke oblczene parzystośc lczby, jeżel znana jest jej reprezentacja w MRS. Zaletą etody jest brak konecznośc wykonywana operacj odulo M, jak a to ejsce w CRT, lub w funkcj rdzena [4].

6 132 Mrosław Plebanek 6. PORÓWNYWANIE LICZB W RNS Z WYKORZYSTANIEM KONWERSJI DO MRS Zaprezentowane w artykule etody konwersj lczb z RNS do MRS określana ch parzystośc ogą zostać wykorzystane do porównywana lczb określonych przy poocy ch reprezentacj w RNS. W artykule [5] przedstawono dwe etody porównywana lczb w RNS wykorzystujące funkcję rdzena do określana parzystośc lczb na podstawe ch reprezentacj w RNS. Jedna z zaprezentowanych etod pozwala na porównywana lczb, gdy baza RNS składa sę z odułów neparzystych Metoda porównywana lczb w RNS z bazą złożoną z odułów neparzystych Zaprezentowany algoryt oparto o dwa twerdzena [1] o parzystośc, w przypadku, gdy oduły RNS są para względne perwsze. Twerdzene 1: Nech X Y są tej saej parzystośc Z = X Y. X Y <=>Z jest lczbą parzystą, X < Y <=> Z jest neparzystą lczbą. Twerdzene 2: Nech X Y są różnej parzystośc Z = X Y. X Y <=>Z jest lczbą neparzystą, X < Y <=> Z jest parzystą lczbą. Wynk algorytu jest poprawny tylko, gdy lczby X Y są tego saego znaku, stąd koneczność sprawdzena ch znaku przed rozpoczęce oblczeń. 1. Oblczyć Z = X Y. 2. Wyznaczyć X 2, Y 2, 2 Z. X 2 = Y. Jeżel obe lczby są tej saej parzystośc, wynk porównana przyjuje wartość 1, w przecwny wypadku wynk porównana przyjuje wartość 0. Z z wynke porównana X 2 Y 2 wyznaczony w punkce 3. Jeżel obe wartośc są sobe równe, wynk porównana a wartość 0, co oznacza, że X Y, w przecwny przypadku wynk porównana przyjuje wartość 1, co oznacza, że X < Y. 3. Sprawdzć, czy 2 4. Porównać 2 Algoryt zaprezentowany w [5] ożna przedstawć w postac scheatu blokowego:

7 Określane parzystośc lczb w resztowy systee lczbowy Rys Scheat układu porównywana lczb w RNS o baze z oduła neparzysty W [5] zaproponowano aby wartość parzystośc była wyznaczana przy poocy funkcj rdzena, aczkolwek dużo efektywnejszą etodą jest wykorzystane konwersj lczb do MRS wyznaczene ch parzystośc przy poocy zaprezentowanej wcześnej etody. Tego typu rozwązane jest znaczne bardzej proste w realzacj ze względu na brak konecznośc wykonywana operacj odulo M, która występuje podczas wyznaczana wartośc funkcj rdzena oraz, co za ty dze, znaczne nejszy pozo skoplkowana układu realzującego algoryt porównywana lczb Metoda porównywana lczb na podstawe reprezentacj RNS Porównane dwóch lczb o reprezentacj w MRS ożna przeprowadzć porównując edzy sobą cyfry MRS obu lczb określone dla tej saej wag zaczynając od cyfry stojącej przy najwększej wadze. Operacja porównana wyaga użyca n+1 koparatorów, gdze n jest loścą cyfr MRS w reprezentacj. Przyjując (x 1, x 2,..., x n ) oraz (y 1, y 2,..., y n ) jako reprezentacje odpowedno X Y w RNS oraz P1, P2,..., Pn jako kolejne wag MRS. Gdze Pn >... > P2 > P1. Algoryt porównywana lczb w systeach resztowych z użyce konwersj do MRS a postać: 1. Przeprowadzć konwersję RNS MRS dla obu lczb X Y. 2. Sprawdzć czy x n > y n. Jeżel tak, to X > Y. W przecwny przypadku przejść do kolejnego punktu 3,. 3. Sprawdzć czy x n 1 > y n 1. Jeżel tak, to X > Y. W przecwny przypadku przejść do kolejnego punktu.

8 134 Mrosław Plebanek 4. Operacja 3. jest powtarzana dla kolejnych wag aż do ostatnej wag P 1 o najnejszej wartośc. 5. Sprawdzć czy x 1 > y 1. Jeżel tak, to X > Y. W przecwny wypadku X Y. Zaleta etody są, nsk pozo skoplkowana, brak konecznośc wykonywana operacj odulo oraz sprawdzana parzystośc lczb. Z kole wadą jest koneczność wykonywana konwersj do MRS. 7. PODSUMOWANIE. W artykule zaprezentowano etodę konwersj z RNS do MRS oraz dwe etody wyznaczana wartośc lczb w systee dzesętny na podstawe ch reprezentacj w MRS. Przedstawono etodę określana parzystośc lczb na podstawe ch reprezentacj w MRS oraz przedstawono dwe etody porównywana lczb. LITERATURA [1] N. S. Szabo, R. I. Tanaka. Resdue Arthetc and ts Applcatons to Coputer Technology. NY McGraw-Hll, [2] D. Mller, R. Altschul, J. Kng, J. Polky. Analyss of the Resdue Class Core Functon of Akushsk, Brucev and Pak. Resdue Nuber Syste Arthetc: Modern Applcatons n Dgtal Sgnal Processng, IEEE Press, pp , [3] J. Chang, M. Lu. A General Dvson Algorth for Resdue Nuber Systes. Proceedngs of the 10th IEEE Syposu Coputer Arthetc on June 1991, s [4] D. Mller, J. Polky, J. Kng. A Survey of Recent Sovet Developents n Resdue Nuber Systes. 26th Mdwest Sypodu on Crcuts and Systes, 1983, s , Perodcals. [5] M. Plebanek, Z. Ulan, M. Ożarowsk. Porównywane lczb w resztowy systee lczbowy z wykorzystane parzystośc, Metody Inforatyk Stosowanej, PAN , s PARITY DETECTION IN RESIDUE NUMBER SYSTEM, WITH USE OF MIXED RADIX SYSTEM CONVERSION Converson ethod between RNS and MRS nuerc systes was presented n artcle. Also two ethods of converson fro MRS to decal syste and algorths of party detecton n MRS are shown. At last two ethods of coparson of nubers n MRS are presented.