Łagodne wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych

Transkrypt

1 Łagodne wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych dr inż. Grzegorz DZIERŻANOWSKI dr hab. inż. Wojciech GILEWSKI Katedra Mechaniki Budowli i Zastosowań Informatyki 10 XII część I 17 XII część II

2 Program wykładu Część I wybrane podstawy matematyczne klasycznej MES, przykładowe elementy skończone, algorytm i uogólnienia klasycznej MES, implementacja algorytmu w programie MAPLE. Część II zbieżność rozwiązań MES, generowanie siatek węzłów - techniki adaptacyjne, przykłady realizacji obliczeń. Wybrane pozycje literatury przedmiotu (indywidualnie). Propozycje tematów do samodzielnego opracowania (zaliczenie przedmiotu).

3 Czym jest Metoda Elementów Skończonych? Zanim odpowiemy na to pytanie, przypomnijmy sobie kilka równań liniowej mechaniki poznanych na przedmiotach Wytrzymałość Materiałów i Mechanika Konstrukcji: równanie równowagi pręta ściskanego: (EA u ) = p, równanie równowagi pręta zginanego: (EJ w ) = q, równanie równowagi tarczy PSN (i, j, k, l = 1, 2): (C ijkl ε kl ),j + F i = 0, ε kl = 1 2 (u k,l + u l,k ), równanie równowagi płyty cienkiej: (D ijkl w,kl ),ij = q, i zastanówmy się, czy umiemy je rozwiązać w sposób ścisły (przy zadanych warunkach brzegowych)?

4 Czym jest Metoda Elementów Skończonych? Odpowiedź: Metoda Elementów Skończonych jest to matematyczny formalizm, będący podstawą numerycznego algorytmu rozwiązywania układów równań różniczkowych cząstkowych w sposób przybliżony. Uwagi: zbieżność ciągu rozwiązań MES do rozwiązania ścisłego uzyskuje się dzięki odpowiedniemu doborowi przestrzeni funkcji aproksymujących, analiza zbieżności tego ciągu może być przeprowadzona bez znajomości rozwiązania ścisłego, MES można w prosty sposób zaimplementować w postaci kodu komputerowego.

5 Wybrane podstawy matematyczne MES Silna (klasyczna, różniczkowa) postać równania równowagi Niech Ω R 2 będzie obszarem tarczy PSN, z brzegiem Γ, na którym zadane są warunki brzegowe na poszukiwane funkcje C ijkl ε kl n j (s) T i (s) = 0, u i (s) û i (s) = 0, s Γ τ s Γ u W dalszych rozważaniach przyjmiemy dla uproszczenia: F i = 0, i = 1, 2, tj. pominiemy siły masowe, û i = 0, i = 1, 2, tj. założymy, że Γ u nie przemieszcza się.

6 Wybrane podstawy matematyczne MES Silna (klasyczna, różniczkowa) postać równania równowagi W teorii PSN, klasycznym rozwiązaniem zagadnienia brzegowego są funkcje u i C 2 (Ω) C 1 (Ω Γ τ ) C(Ω Γ u ), i = 1, 2 spełniające, dla każdego (x 1, x 2 ) Ω, równanie równowagi ( ( 1 uk C ijkl + u ) ) l + F i = 0, 2 x j x l x k u k = u k (x 1, x 2 ), oraz warunki brzegowe na Γ. Do opisu tych funkcji wprowadźmy oznaczenie (u 1, u 2 ) ozn. = u V 0.

7 Wybrane podstawy matematyczne MES Słaba (wariacyjna, całkowa) postać równania równowagi Znalezienie u V 0 (klasycznego rozwiązania równania równowagi) jest możliwe jedynie w szczególnych sytuacjach, konieczne jest więc sformułowanie ogólnego algorytmu analizy zagadnień brzegowych, zapewniającego istnienie i jednoznaczność rozwiązań. W tym celu wprowadza się dość silne założenia dotyczące przestrzeni, w której poszukuje się funkcji rozwiązujących. W szczególności: przestrzeń V 0 należy uzupełnić do przestrzeni Hilberta (oznaczmy ją symbolem V), zagadnienie brzegowe musi być przepisane w słabej (wariacyjnej, całkowej) postaci. Dzięki temu, na mocy twierdzenia Laxa-Milgrama, rozwiązanie zagadnienia brzegowego istnieje i jest jednoznaczne.

8 Wybrane podstawy matematyczne MES Słaba (wariacyjna, całkowa) postać równania równowagi V 0 nie jest przestrzenią Hilberta. Ciąg funkcji ciągłych nie jest jednostajnie zbieżny do funkcji ciągłej.

9 Wybrane podstawy matematyczne MES Słaba (wariacyjna, całkowa) postać równania równowagi Sformułujmy zagadnienie brzegowe w słabej postaci: Znaleźć takie u V, że dla każdego v V spełnione jest C ijkl ε ij (u)ε kl (v)dx = T i v i ds. Ω Γ τ Uwagi: Widzimy, że V jest przestrzenią funkcji, wobec których nie wymaga się różniczkowalności w klasycznym sensie, Przestrzeń V jest zupełna, a więc wszystkie ciągi {u n } V są zbieżne do pewnego u V, dzięki czemu można wprowadzić pojęcie zbieżności ciągu rozwiązań MES i, co najistotniejsze, oszacować błąd aproksymacji.

10 Wybrane podstawy matematyczne MES Dyskretna postać wariacyjnego równania równowagi. Aproksymacja rozwiązania. Przestrzeń V jest -wymiarowa, co praktycznie uniemożliwia rozwiązanie zadania. W związku z tym, ograniczamy poszukiwania funkcji rozwiązującej zagadnienie wariacyjne do dowolnej podprzestrzeni V h V o skończonym wymiarze, formułując tym samym zadanie dyskretne: Znaleźć takie u h V h, że dla każdego v h V h spełnione jest C ijkl ε ij (u h )ε kl (v h )dx = T i vi h ds. Ω Γ τ Uwagi: Zadanie dyskretne ma jednoznaczne rozwiązanie, ponieważ V h V, Przestrzenie V h nazywa się przestrzeniami elementów skończonych.

11 Wybrane podstawy matematyczne MES Dyskretna postać wariacyjnego równania równowagi. Pojęcie elementu skończonego 1. aksjomat MES Podzielmy Ω na skończoną liczbę podzbiorów Ω e, e = 1,..., l e (elementów skończonych), takich że Ω = Ω e, e=1,...,l e Ω i Ω j =, i j, każdy bok dowolnego elementu jest częścią brzegu Γ lub bokiem innego elementu.

12 Wybrane podstawy matematyczne MES Dyskretna postać wariacyjnego równania równowagi. Pojęcie elementu skończonego 2. aksjomat MES } Przyjmijmy P e = {u h Ωe : u h V h, e = 1,..., l e i załóżmy, że funkcje ze zbiorów P e są wielomianami stopnia p e. Uwagi: Dodatkowo można przyjąć, że funkcje u h są klasy C k (Ω) (elementy dostosowane), Klasa ciągłości jest zależna od rozpatrywanego zagadnienia brzegowego (PSN: k = 0, teoria płyt cienkich: k = 1), Założenie ciągłości jest automatycznie spełnione wewnątrz elementu skończonego, więc w praktyce dotyczy ono ciągłości u h na granicach elementów i na brzegu Γ u.

13 Wybrane podstawy matematyczne MES Dyskretna postać wariacyjnego równania równowagi. Pojęcie elementu skończonego 3. aksjomat MES Zakładamy, że w przestrzeni V h można zdefiniować co najmniej jedną bazę skończeniewymiarową, czyli zbiór funkcji v s, takich że u h = q s v s. s=1,...,l s Uwagi: Widać, że funkcje v s są kawałkami (na każdym elemencie skończonym) wielomianowe, Obcięcie N e = (v s Ωe ) określa tzw. wektor funkcji kształtu na elemencie Ω e, Wektor q = (q s ) określa reprezentację u h w bazie {v s }. Wyznaczenie składowych wektora q jest głównym zadaniem Metody Elementów Skończonych.

14 Wybrane podstawy matematyczne MES Dyskretna postać wariacyjnego równania równowagi. Pojęcie elementu skończonego Co to jest element skończony? Element skończony jest to dowolny podobszar Ω e obszaru Ω z przypisanym do niego wektorem funkcji kształtu N e = (v s Ωe ), oraz wektorem stopni swobody q e = (q s Ωe ). Macierzowa postać zadania dyskretnego: Zastąpmy u h, v h w wariacyjnym równaniu równowagi ich skończeniewymiarowymi reprezentacjami. Wykorzystując własność liniowości operacji całkowania otrzymamy C ijkl ε ij (q s v s )ε kl (v s )dx =. Ω } {{ } K q T i (v s ) i ds Γ } τ {{} Q gdzie: K = (K IJ ) s s, q = (q J ) s 1, Q = (Q I ) s 1

15 Wybrane podstawy matematyczne MES Dyskretna postać wariacyjnego równania równowagi. Zbieżność MES Załóżmy, że siatka elementów jest: afiniczna (elementy są afinicznymi odwzorowaniami elementu wzorcowego) regularna (określa się pewną stałą C, taką że e = 1,..., n e : he r e < C, tj. elementy nie są zbyt wydłużone w jednym kierunku) Wprowadźmy oznaczenia: h e - najdłuższy bok Ω e, h = max h e, e=1,...,n e p - rząd wielomianu aproksymującego w definicji v h.

16 Wybrane podstawy matematyczne MES Dyskretna postać wariacyjnego równania równowagi. Zbieżność MES Na mocy lematu Céa, i w odniesieniu do zagadnień, których rozwiązania nie zawierają osobliwości, można dowieść, że: Rozwiązanie u h V h jest najlepszym przybliżeniem słabego rozwiązania u V, Dla dwu dowolnych h 1, h 2 zachodzi u u h2 ( h2 h 1 ) p u u h1, gdzie ( v = Ω ) 1/2 C ijkl ε ij (v)ε kl (v)dx

17 Przykłady elementów skończonych Konstrukcję przestrzeni V h zaczynamy od końca, tzn. od zdefiniowania: wektora funkcji kształtu N e = (v s Ωe ), wektora stopni swobody q e = (q s Ωe ), dla pojedynczego elementu Ω e. Pamiętamy przy tym, że: funkcje kształtu są obciętymi do jednego elementu funkcjami bazowymi w V h, rodzina elementów jest afiniczna.

18 Przykłady elementów skończonych Trójkątny element tarczy PSN Wprowadźmy współrzędne punktu P (L 1, L 2, L 3 ), takie że L 1 = F ( P 23) F ( 123 ), L 2 = F ( P 13) F ( 123 ), L 3 = F ( P 12) F ( 123 ), L i = a i+b i x+c i y 2 F ( 123 ), gdzie ( ) 1 F ( 123 ) = 1 2 det x1 y 1 1 x 2 y 2, 1 x 3 y 3 a 1 =x 2 y 3 x 3 y 2, b 1 =y 2 y 3, c 1 =x 3 x 2, a 2 =x 3 y 1 x 1 y 3, b 2 =y 3 y 1, c 2 =x 1 x 3, Element trójkątny. nu nv u= N i u i ; v= N i v i i=1 i=1 a 3 =x 1 y 2 x 2 y 1, b 3 =y 1 y 2, c 3 =x 2 x 1.

19 Przykłady elementów skończonych Trójkątny element tarczy PSN Element trójkątny rzędu 1. Element trójkątny rzędu 2. Funkcja kształtu N 1 = L 1. Funkcja kształtu N 1 = (2 L 1 1) L 1.

20 Przykłady elementów skończonych Trójkąt Pascala Funkcje kształtu stowarzyszone z rozmaitymi elementami skończonymi konstruuje się w oparciu o trójkąt Pascala: 1 rząd 0 x y rząd 1 x 2 xy y 2 rząd 2 x 3 x 2 y xy 2 y 3 rząd 3 x 4 x 3 y x 2 y 2 xy 3 y 4 rząd i.t.d

21 Przykłady elementów skończonych Inne typy elementów tarczowych Element trójkątny rzędu 3. Element prostokątny rzędu 2. (typ Lagrange a) Element prostokątny rzędu 1. Element prostokątny rzędu 2. (typ serendipowski - ang. serendipity)

22 Algorytm MES 1. Podziel obszar Ω na elementy skończone Ω e, e = 1,..., n e, przyjmij wektory funkcji kształtu N e i stopni swobody q e, 2. Oblicz macierze sztywności K e i wektory obciążeń węzłowych Q e każdego elementu, 3. Znajdź macierz sztywności K i wektor obciążeń Q całej konstrukcji, 4. Zdefiniuj wektor niewiadomych q, 5. Uwzględnij warunki brzegowe, 6. Rozwiąż równanie K q = Q, 7. Oblicz odkształcenia i naprężenia w każdym elemencie.

23 Uogólnienia klasycznej MES Przykłady możliwych uogólnień klasycznej wersji MES: bardziej skomplikowane zadania wariacyjne, zagadnienia nieliniowe (np. C ijkl = C ijkl (q s )), zadania z Γ krzywoliniowym, wykorzystanie elementów niedostosowanych, wykorzystanie rodzin elementów nieafinicznych, przybliżone obliczanie całek K = Ω C ijklε ij (v s )ε kl (v s ) dx, Q = Γ τ T i (v s ) i ds (np. w zadaniach teorii powłok lub przez wykorzystanie tzw. całkowania numerycznego).

24 Przykłady zadań z zakresu części 1. do samodzielnego rozwiązania (zaliczenie przedmiotu) 1. Omówić rodzinę elementów trójkątnych z zadanymi stopniami swobody, 2. Omówić rodzinę elementów czworokątnych typu Lagrange a, 3. Omówić rodzinę elementów czworokątnych typu serendipowskiego, 4. Omówić własności wybranego elementu skończonego (na podstawie literatury), 5. Porównać rozwiązania wybranego zadania PSN z użyciem różnych elementów skończonych. Ponadto istnieje możliwość wykonania łączonych prac dyplomowych inżynierskich i magisterskich (KBI) oraz samodzielnych prac dyplomowych magisterskich (TKAK).