Wykład III STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

Transkrypt

1 IV. Wprowadzene. Wykład III STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA Modelowane przepływu ceczy przez ośrodek porowaty pozwala na sformułowane równań opsuących proces fltrac wody lub nne ceczy przez ośrodek gruntowy lub skalny est domeną klku dzałów nauk, w tym hydrogeolog nżynerske, mechank gruntów skał, hydraulk. Generalne można podzelć rodzae model opsuących procesy zwązane z przepływem ceczy lub gazu przez ośrodek porowaty zakładaące, ze rozważany przez nas ośrodek est ednorodny, na trzy podstawowe grupy: modele opsuące przepływ ceczy przez ośrodek porowaty zakładaące ścślwość fazy cekłe stałe ośrodka porowatego, ale neuwzględnaące odkształceń postacowych fazy. Do grupy te zalcza sę równeż model, w którym zakłada sę brak akchkolwek odkształceń ceczy szkeletu ośrodka. Równana opsuące take zawsko określać będzemy nazwą model hydrodynamk wód podzemnych, modele zakładaące, że cało porowate, przez które odbywa sę przepływ ceczy est całem Hoocke a lub całem lepko-sprężystym opsanym równanem Boltzmana podlega zarówno odkształcenom obętoścowym, ak postacowym. W lteraturze określa sę tego typu równana procesu modelam konsoldac ośrodka porowatego, grupę model zakładaącą możlwość utraty statecznośc ośrodka porowatego w przypadku, gdy przez ego pory odbywa sę przepływ fltracyny. Rozróżna sę dwa rodzae odmennego traktowana tego problemu. W perwszym rozważa sę stan granczny ośrodka porowatego, przez który odbywa sę przepływ wód podzemnych, w drugm defnue sę krytera upłynnena ośrodka porowatego utratę statecznośc fltracyne. Ta grupę model będzemy określać manem model stanu grancznego ośrodka porowatego. Do grupy tezalczać będzemy równeż modele określaące znszczene materału skalnego na skutek dzalana cśnena przepływaącego przez materał skalny płynu. Rozważane modele obarczone są często weloma założenam upraszczaącym. Rozważany proces est traktowany często ako zotermczny; pomamy wpływy takch zawsk, ak sorpca lub desorpca płynu przez fazę stałą ośrodka czy też wpływ dzałana pola elektrycznego magnetycznego. Wszystke stosowane modele stosuą podstawowe poęca z zakresu mechank ośrodków odkształcalnych. Dlatego dla asnośc wywodu koneczne est przypomnene znanych poęć oznaczeń z mechank ośrodków cągłych, a w szczególnośc dotyczących stanu naprężana, przemeszczena, prędkośc przyspeszena, odkształcena prędkośc odkształcena. Zakładamy ednakże, że czytelnk zna wele poęć elementarnych z mechank cała stałego płynów ak sła, pęd cała, popęd, energa, praca, choć znaczene tych poęć w fzyce est do dzsa tematem rozpraw naukowych, choćby w zakrese zrozumena, czym tak naprawdę est masa cała, która wydae sę czymś nabardze dotykalnym postrzegalnym w otaczaącym nas śwece (patrz [Feynman, 974]). IV... Stan naprężena. Stan naprężena w dowolnym punkce rozpatrywane obętośc ośrodka może być określony przez dzewęć składowych stanu naprężena, co według zapsu wskaźnkowego można wyrazć w postac tensora stanu naprężena: σ σ σ σ σ σ σ σ σ, (4.)

2 przy czym przymemy znaną w mechance umowę, że rozcąganem, uemne ze ścskanem rys.4.. σ est dodatne, eżel mamy do czynena z Rys. 4.. Składowe stanu naprężena na ścanach elementarnego granastosłupa. W szczególnych przypadkach będzemy stosować zaps klasyczny dla tensora naprężena, którym naprężena normalne będzemy wyrażać przy pomocy oznaczena σ, a naprężena styczne przy pomocy oznaczena τ, według zasady: σ = σ, σ = σ, σ = σ x y x (4.) σ = τ, σ = τ, σ = τ, σ = τ, σ = τ, σ = τ. xy xz yx yz zx zy W każdym punkce ośrodka możemy znaleźć trzy płaszczyzny ośrodka, na których dzałaą tylko narężena normalne do tych płaszczyzn, poneważ naprężena styczne przymuą na nch wartośc zerowe. Płaszczyzny te nazywamy płaszczyznam głównym, a dzałaące na nch naprężena oznaczane σ, σ, σ naprężenam głównym. W celu znalezena naprężeń głównych rozpatrzmy równowagę elementarnego czworoścanu pokazanego na rys.4., którego trzy ścany tworzą płaszczyzny zaweraące ose współrzędnych, a czwarta płaszczyzna A nachylona est do układu współrzędnych, a e nachylene określa kerunek wersor n do ne prostopadłego. Rys. 4.. Naprężena na ścance A elementarnego czworoścanu.

3 Oznaczmy przez a cosnusy kerunkowe normalne do powerzchn A. Jeżel przez p oznaczymy wypadkowe naprężene dzałaące na ścanę A, można rozłożyć go na trzy składowe p z warunków równowag czworoścanu: p = σ a. (4.) Naprężene p można rozłożyć na składową normalną p n styczną do powerzchn A p : p = p a (4.4) n p = p p. (4.5) t n Na płaszczyźne, na które dzała naprężene główne σ, wypadkowe naprężene p mus być skerowane wzdłuż normalne n do te powerzchn, poneważ wówczas naprężene styczne równa sę zeru. Dae to zwązk na składowe naprężena p: p = a σ, (4.6) po podstawenu tych zwązków do równań (4.) utrzymuemy układ trzech równań lnowych, gdze newadomym są kosnusy kerunkowe a : σ a σ a =. (4.7) Układ ten będze mał nezerowe rozwązane, gdy wyznacznk utworzony ze współczynnków przy newadomych cosnusach kerunkowych kątów nachylena do os, wersora n równa sę zeru: σ σ σ σ σ σ σ σ = σ σ σ σ. (4.8) Wyznacznk ten sprowadza sę do równana trzecego stopna względem poszukwanego naprężena głównego: σ σ + σ + =, (4.9) I I I gdze współczynnk I, I, I są nezmennkam tensora naprężena, gdyż ne zależą od obrotu układu odnesena równaą sę: I = σ + σ + σ, (4.) I = σ σ + σ σ + σ σ σ σ σ, (4.) I σ σ σ σ σ σ =. (4.) σ σ σ

4 Jeżel przymemy, że ose współrzędnych pokrywaą sę z kerunkam głównym w σ, σ, σ : rozpatrywanym punkce to nezmennk można wyrazć za pomocą naprężeń głównych I = σ + σ + σ, (4.) I = σσ + σ σ + σ σ σ, (4.4) I = σ σ σ. (4.5) Welkość równą I / nazywać będzemy naprężenem średnm σ m, węc: Tensor kulsty dewator stanu naprężena. σ ( ) m = σ + σ + σ = σ kk. (4.6) W nektórych zagadnenach stotne est rozłożene tensora naprężena σ na dwa tensory: tensor kulsty stanu naprężena określaący stan wszechstronnego ścskana lub rozcągana naprężenem σ : m σ m σ m σ m (4.7) oraz dewator stanu naprężena: σ σ σ σ m σ σ σ σ m σ σ σ σ m, (4.8) albo nacze wyrażony przy pomocy składowych dewatora s : s s s s s s s =. (4.9) s s s W zapse wskaźnkowym dewator stanu naprężena s wyraża sę poprzez tensor naprężana σ : s = σ σ mδ. (4.) Kerunk główne dewatora pokrywaą sę z kerunkam głównym tensora naprężena. Dewator est tensorem, a ego nezmennk zapsane w naprężenach głównych wyrażaą sę wzoram:

5 I I I =, = =. ( σ σ ) ( σ σ ) ( σ σ ) ( σ σ )( σ σ )( σ σ ) m m m, (4.) Rozpatrzmy czworoścan, którego trzy ścany tworzą płaszczyzny główne z dzałaącym na nch naprężenamσ, σ, σ, a czwartą stanow dowolne nachylona płaszczyzna o normalne n co przedstawa rys 4.. Rys. 4.. Naprężena na dowolne pochylone ścance względem kerunków głównych,,. Je orentacę w przestrzen określaą cosnusy kerunkowe normalne do te powerzchn. Oznaczaąc przez p, p, p składowe naprężena wypadkowego dzałaące na tę powerzchnę, dostaemy: p = a σ, p = a σ, p = a σ. (4.) Rzutuąc te składowe na kerunek normalny do płaszczyzny n, dostanemy welkość naprężena prostopadłego do te powerzchn p : n n p = σ a + σ a + σ a. (4.) Składową styczną do powerzchn oblczamy wzorem: p = p p. (4.4) t n Stan naprężena na dowolne nachylonych względem os głównych w płaszczyznach może być znalezony za pomocą wykreślnego odwzorowana Mohra- rys Wykorzystuąc konstrukce koła Mohra, można bez trudu znaleźć naprężena na płaszczyznach równoległych do ednego z kerunków głównych, a dowolne zorentowanych względem dwóch pozostałych. Rozpatrzmy dla przykładu stan naprężena na płaszczyźne równoległe do os nachylone pod kątem α do os główne.

6 Rys Sposób określana naprężeń normalnych stycznych na wybrane powerzchn przy wykorzystanu konstrukc koła Mohra. Na podstawe wzoru (4.)dostanemy: p n σ + σ σ σ = + cos α (4.5) oraz p t σ σ = sn α. (4.6) W przypadku, gdy pory ośrodka gruntowego wypełna cecz, tensor naprężena zawera zarówno efekty dzałana szkeletu ak ceczy. Możemy, węc zapsać wzór na naprężena w postac: p = p + p (4.7) s l przy czym p est składową wektora naprężena przenoszoną przez szkelet, a s l p składową przenoszoną przez cecz lub gaz. W przypadku, gdy zakładamy, że cecz est ceczą dealną, kerunk dzałana pokrywaą sę z kerunkem normalnym do powerzchn n. Przymuąc powyższe złożena możemy zapsać: σ = σ + σ δ (4.8) s l s Składowe tensora naprężena σ są współrzędnym stanu naprężena przenoszonym przez szkelet, ale odnesonym do ednostk powerzchn całkowte. Dlatego określa sę e manem naprężena rozmytego, o czym szczegółowo będze mowa w rozdzale VI.. Naprężena te nazywane są równeż w teor stanów grancznych naprężenam efektywnym oznaczane są w lteraturze (patrz[ksel nn, 98]) oznaczenem σ. Składowe ef σ l δ są współrzędnym stanu naprężena przenoszonym przez cecz są normalne do każde powerzchn. Naprężene l σ est oblczane równeż na ednostkę powerzchn

7 całkowte. Jest, węc równeż naprężenem rozmytym. Poneważ, cecz zamue tylko część l powerzchn przekrou, naprężene σ est mnesze od cśnena w ceczy p wąże sę z nm wzorem: pf l σ =, (4.9) gdze oznacza porowatość (choć faktyczne pownna być przez nas wprowadzona tuta porowatość powerzchnowa). Uproszczene powyższe wprowadza sę ze względu na stotną trudność wyznaczana porowatośc powerzchnowe ośrodka porowatego oraz z faktu, że średna wartość porowatośc powerzchnowe powerzchn ogranczaące obętość Ω est równa porowatośc obętoścowe. Znak mnus został przyęty dlatego, żeby uzyskać zgodność znaków ze znakam l naprężena w szkelece. Naprężene σ nazywane est w mechance gruntów skał cśnenem porowym lub manem naprężena neutralnego. IV... Przemeszczena, stan odkształcena prędkośc odkształcena. W mechance posługuemy sę często uproszczonym modelem cała nazywanego kontnuum materalnego. W strukturze take pomamy budowę cząsteczkową cała, z aką mamy do czynena w każdym znanym nam materale opsywanym przy pomocy modelu dyskretnego. Z uproszczenem tym spotykamy sę w mechance ośrodków cągłych, choć wprowadzone defnce przemeszczena, odkształcena prędkośc można w pewnym zakrese przyąć w modelach mechank gruntów, gdze zdecydowane ne mamy do czynena z ośrodkem cągłym. Będzemy zamować sę odkształcalnym ośrodkem cągłym określanym poęcem cała odkształcalnego. Konfguracą kontnuum materalnego nazywamy regularne wzaemne ednoznaczne odwzorowane cząstek materalnych w punkty P pewnego obszaru C trówymarowe przestrzen eukldesowe wg [Dersk, 975]. Punkt P przestrzen eukldesowe est mescem, w którym znadue sę cząstka w chwl czasu t. Wprowadźmy poęce konfgurac początkowe rozpatrywanego kontnuum materalnego. Otóż przez taka konfguracę uważamy położene punktów P obszaru C trówymarowe przestrzen eukldesowe w chwl t=t. Do opsu ruchu względem konfgurac początkowe wprowadzamy współrzędne kartezańske względem ustalonego układu współrzędnych (rys.4.5) Rys. 4.5.Ruch punktu kontnuum materalnego względem konfgurac początkowe. Oznaczmy współrzędne kartezańske punktów x, x x. Współrzędne kartezańske punktów C ( ),, ξ P konfgurac początkowe C P w dowolne chwl t oznaczmy natomast przez ( ξ ξ, ). Ops ruchu względem konfgurac początkowe można wówczas zapsać w sposób następuący: (,,, ), ( ξ, ξ, ξ, ) ξ = f x x x t x = f t (4.)

8 Wzaemne zwązk odwrotne pomędzy współrzędnym wymagaą odpowedne regularnośc funkc. Funkce te musza być funkcam cągłym wraz z perwszym pochodnym, tzn. muszą być klasy C, a powyższe przekształcena są neosoblwe. Aby postulat ten był spełnony, Jakoban przekształcena pownen być różny od zera, węc: ξ D = x. (4.) Wprowadzaąc wektor wodzący r punktu P (rys. 4.5) można zapsać: r = ξ e, ξ = f x, x, x, t, x = f x, x, x, t ( ) ( ), (4.) gdze e są wersoram kartezańskego układu współrzędnych na rys 4.5 Rozpatrzmy kontnuum materalne w chwl t= zamuące obszar poszczególnych punktów tego kontnuum określa wektor wodzący r r( ) x Ω. Położene = w kartezańskm układze współrzędnych x. Wskutek dzałań zewnętrznych (np. przyłożone do cała obcążene, parce ceczy, przyłożony gradent temperatury) nastąp odkształcene cała nasze kontnuum w chwl czasu t zame nowe położene Ω. Punkt P obszaru Ω na skutek ruchu przemeśc sę do punktu P obszaru Ω. Położene punktu r = r ξ. Wektor przemeszczena u u( ) P w tym samym układze współrzędnych opsue wektor wodzący ( ) = u który można zapsać: u = r r = PP. (4.) Korzystaąc ze współrzędnych wektora przemeszczena zwązek wektorowy przymue skalarną: postać u = ξ x. (4.4) Z powyższych zwązków (4.) (4.) dostaemy: (, ) ξ = x + u x t. (4.5) Powyższy zaps wprowadzł Lagrange wg. [Dersk, 975]. W opse tym posługuemy sę współrzędnym x ako zmennym nezależnym. Obok opsu Lagrange a stnee druga możlwość, kedy ako zmenne nezależne traktue sę współrzędne zwązkam: (, ) ξ. Jest to ops Eulera wyrażaący sę x = ξ u x t. (4.6) W wynku przyęca ednego z wyże wymenonych opsów uzyskuemy różne równana opsuących ruch, poneważ nacze będzemy określać pochodną funkc F po czase. W przypadku, gdy mamy do czynena z opsem Lagrange a funkca F = F( x, t). Współrzędne x są welkoścam stałym względem położena początkowego, węc pochodna po czase funkc F wynos: df F =. (4.7) dt t

9 F F t Inacze ma sę sprawa w przypadku opsu Eulera. Wówczas funkca = ( ξ, ) zgodne ze wzoram (4.4) ξ zależy od współrzędnych F est pochodną materalną równą:. Poneważ x czasu t, węc pochodna po czase t funkc df F F ξ = + dt t ξ t. (4.8) F Pochodną cząstkową F / t nazywamy pochodną lokalną, natomast drug człon pochodne / ξ * ξ / nazywać będzemy pochodną konwekcyną funkc F. materalne ( ) ( ) Wprowadzaąc oznaczena: ξ F = ɺ ξ = v, = F, (4.9) t, ξ pochodną materalną funkc F można zapsać w postac: df F = + v F,. (4.4) dt t Gdy współrzędne punktu ośrodka w chwl t wyrażone są przy pomocy ego położena w chwl = x, t to ego prędkość wyraża sę wzorem: początkowe (ops Lagrange a) tzn. ξ ( ) ξ a przyspeszene v t =, (4.4) a v t =. (4.4) W przypadku opsu Eulera wykorzystuąc zwązek (4.4)prędkość punktu wyraża sę wzorem: du v = = + v u, (4.4) dt t przyspeszene: v a = + v v,. (4.44) t Tensor odkształcena. W przypadku gdy mamy do czynena z ośrodkem odkształcalnym, wzaemne odległośc pomędzy punktam ulegaą zmane w czase przestrzen. Rozważmy dwa punkty znaduące sę w neskończene małe odległośc względem sebe. W chwl początkowe t punkty te mały współrzędne ξ x x + dx. Po upływe czasu t współrzędne tych punktów będą wynosć odpowedno: ξ + dξ. Oblczmy kwadrat odległośc pomędzy tym punktam w chwl początkowe ds = dx dx. (4.45) Kwadrat odległośc punktów po upływe czasu t wynos natomast: ds dξd = ξ. (4.46) t :

10 ds = ds Gdy cało est neodkształcalne. W przecwnym przypadku odległośc pomędzy punktam, a węc ch kwadraty są różne chwl t t określa zgodne ze wzorem(4.4) relaca: u ds ds. Wzaemną relacę pomędzy współrzędnym w = ξ x. (4.47) Wyznaczmy różncę kwadratów ds ds : ξ ξ δ p p ds ds = dx dx x x. (4.48) Podstawaąc zwązek (4.47), do powyższe zależnośc dostaemy: ds ds = ( xp + u p ) ( xp + u p ) δ dx dx, (4.49) x x gdze δ oznacza deltę Kroneckera. Po przekształcenach uzyskuemy: p p ds ds = + + dxdx x x x x. (4.5) Green Sant Vennant wprowadzl poęce tensora odkształcena ε stosuąc zaps: ds ds = ε dx dx, (4.5) gdze tensor ε nos często w lteraturze nazwę tensora odkształcena Greena wyraża sę zgodne z zależnoścą (4.5) wzorem: ε = + + x x x x p p. (4.5) Tensor odkształcena Greena ε w przypadku, gdy przemeszczena ch przyrosty przemeszczeń są bardzo małe można uproścć do postac lnowe: ε + x x (4.5) gdyż loczyny pochodnych przemeszczena są znaczne mneszego rzędu nż ch wartośc. Poneważ tensor ε został określony w układze odnesena Lagrange a, węc ego pochodna po czase est równa pochodne cząstkowe: dε dt ε = (4.54) t

11 W układze odnesena Eulera tensor odkształcena został wprowadzony przez Almansego, zdefnowany w sposób następuący: ds ds = η dx dx, (4.55) przy czym,tensor odkształcena Almansego wyraża sę wzorem: p p η = +. (4.56) ξ ξ ξ ξ Dla małych pochodnych przemeszczena tensor odkształcena został przez Cauchy ego przedstawony w postac: η +. (4.57) ξ ξ Lnowa postać tensora odkształcena η nos nazwę tensora odkształcena Cauchy ego. Pochodna po czase tensora odkształcena w układze odnesena Eulera est pochodną masową wyraża sę wzorem: dη dt η = + t η v, k k. (4.58) Często kedy dze sę eszcze dale z uproszczenam, dla bardzo małych przemeszczeń zapsue sę zwązek: ε η (4.59) w przypadku pochodne po czase tensora Cauchy ego poma sę człon konwekcyny zapsuę sę: dη dt η. (4.6) t W klasyczne teor sprężystośc cała stałego stosue sę praktyczne tylko ops Lagrenge a w teor małych odkształceń. Tensor obrotów. Obok tensora odkształcena stotnym est tensor obrotów zdefnowany dla małych przemeszczeń wzorem: ω = ( u, u, ). (4.6) Wdzmy węc, że tensor obrotów tensor odkształcena stanową dekompozycę tensora na część skośne symetryczną część symetryczną: ( ), u, u = ε + ω. (4.6) Aby wyaśnć sens geometryczny tych welkośc wyberzmy w rozważanym ośrodku dwa bardzo blsko położone punkty P P. Połączmy te dwa punkty wektorem S, którego początkem est punkt P,

12 a końcem punkt P (rys. 4.6). Po odkształcenu cała punkt P przechodz w położene P, a punkt w położene punkt P. Łącząc odpowedno punkty P P P dostaemy wektor S, którego początkem est P. Z rys.4.6 wdać, że wystąpł po odkształcenu przyrost wektora S równy przyrostu wektora można wyrazć wzorem: ( ) ( ). Współrzędne = u x + S u x. (4.6) Rys Schemat obrazuący odkształcene cała. Dokonuąc rozwnęca współrzędnych przyrostu wektora w szereg Taylora w otoczenu punktu P przy założenu, że otoczene to est wystarczaąco małe, co umożlwa pomnęce wyższych potęg rozwnęca Taylora, możemy z dokładnoścą do perwszych pochodnych współrzędnych przemeszczena u napsać: u S. (4.64), Uwzględnaąc wzór (4.6) możemy powyższy zwązek zapsać w forme: Określmy wydłużene (lub skrócene) odcnka ( ε ω ) = + S. (4.65) PP lczone na ednostkę na ednostkę ego długośc: ε =. (4.66) S Oblczmy loczyn skalarny wektorów S : S = S cosα = S. (4.67) ogranczaąc nasze rozważana do małych odkształceń cał można przyąć, że kąt α est bardzo mały. Korzystaąc z równana (4.65) (4.67)można zapsać: cosα S = S = + S S. (4.68) ( ε ω )

13 S S ω, a węc: Można ednakże wykazać że: SS ε = = ε. (4.69) S S Wprowadzaąc cosnusy katów, ake tworzy wektor S z osam współrzędnych x : n S =, (4.7) S wydłużene względne można zapsać w postac: ε = ε n n. (4.7) z czego wynka, ze wydłużene lub skrócene względne w dowolnym kerunku est w każdym punkce ośrodka określone przez 6 składowych tensora stanu odkształcena. Odkształcene kerunk główne tensora odkształcena. Korzystaąc z własnośc symetrycznego tensora odkształcena, można przewdzeć, że w każdym punkce obszaru posada on wartośc główne towarzyszące m kerunk główne odkształcena. Rozpatrzmy dwa punkty ośrodka położone względem sebe bardzo blsko, ale wybrane w tak sposób, że łączący e wektor S ne zmenł w trakce odkształcena cała swoego kerunku. Wówczas wektor S ego przyrost będą posadały ten sam kerunek, a ch współrzędne będą wzaemne proporconalne, co można wyrazć wzorem na współrzędne wektorów S : = ε S. (4.7) Jak wadomo, ε est marą wydłużena każde współrzędne wektora S, a wobec tego est marą równeż wydłużena (lub skrócena) całego wektora S, co możemy zapsać zwązkem: ε =. (4.7) S Tak zwązek może występować tylko w przypadku, gdy wektor S S ne doznae obrotu w ω =. Na podstawe tych stwerdzeń możemy zapsać: trakce odkształcena, węc = ε S = ε S. (4.74) Powyższy zwązek prowadz do równana: ( ε εδ ) A =. (4.75) Jeżel podzelmy obe strony równana (4.75)przez długość wektora S, to w mesce współrzędnych wektora możemy wprowadzć wersor n o współrzędnych n :

14 Powyższy układ równań wraz ze zwązkem: ( ε εδ ) n =. (4.76) n n = (4.77) określa ednoznaczne wersor n odpowadaące ego kerunkow odkształcene ε. Układ równań(4.76) est układem trzech równań algebracznych ednorodnych perwszego stopna. Układ ten ma rozwązana nezerowe wtedy tylko wtedy, gdy ego wyznacznk charakterystyczny równa sę zeru: ε εδ =. (4.78) Oblczaąc wyznacznk (4.78), uzyskuemy równane trzecego stopna względem ε : ( ) ( ) ε J ( ε ) ε + J ε ε J ε = (4.79) gdze J, J, J są parametram równana (4.79) ne zależą od układu odnesena. Są, węc nezmennkam stanu odkształcena wyrażonym zwązkam: ε J = J = J = ε,, ε kk ε. (4.8) Równane(4.79)posada zawsze trzy perwastk rzeczywste nazywane wartoścam głównym tensora odkształcena ε. Zazwycza porządkuemy e według maleących wartośc: ε ε ε. Aby określć kerunk odkształceń głównych wystarczy rozwązać układ równań (4.76).Kerunk te uzyskamy za pomocą wersora n. Można wykazać, że są one wzaemne prostopadłe. Jeżel w badanym punkce przymemy układ odnesena, którego współrzędne pokrywaą sę z kerunkam głównym stanu odkształcena, to stan odkształcena w tym punkce opsuą trzy odkształcena główne ε, ε, ε. Nezmennk stanu odkształcena wyrażą sę wówczas tylko przy pomocy odkształceń głównych maą postać: J = ε + ε + ε, J = ε ε + ε ε + ε ε, (4.8) J = ε ε ε. Tensor odkształcena podobne ak tensor naprężena można rozłożyć na dwe częśc; część kulstą stanu odkształcena dewatorową. Tensor kulsty stanu odkształcena wyraża sę wzorem: k ε = ε kkδ = εśrδ = Jδ. (4.8) Tensor kulsty odpowada równomernemu rozszerzenu lub ścśnęcu ośrodka w otoczenu określonego punktu ośrodka. Pozostała część tensora stanu odkształcena określana est różncą: ε = ε ε, (4.8) d k

15 co prowadz do następuące defnc dewatora stanu odkształcena: e = ε = ε ε δ. (4.84) d śr Zachodz pytane, czy składowe stanu odkształcena mogą być funkcam przymowanym całkowce dowolne. Wystarczy wyobrazć sobe podzał obszaru w stane naturalnym (przed odkształcenem) na prostopadłoścany wzaemne do sebe przylegaące. Gdyby ne było dodatkowych warunków każdy z tych prostopadłoścanów uległby odkształcenu według przyętych funkc składowych odkształcena to ponowne złożene odkształconych elementów mogłoby okazać sę nemożlwe. Wynka z tego wnosek, ze odkształcena muszą spełnać określone warunk, które noszą nazwę warunków cągłośc odkształceń. Jeżel ośrodek zamue obszar ednospóny chcemy wyznaczyć składowe stanu przemeszczena u, gdy dane są składowe stanu odkształcena ε, to zadane to est rozwązalne ednoznaczne wtedy tylko wtedy, gdy składowe stanu odkształcena spełnaą zwązk: ek elmnε m, nk =. (4.85) które nazywamy warunkam nerozdzelnośc odkształceń. Przez e k oznaczamy symbol Levego- Cvty. W forme przedstawonerównanam (4.85) wyprowadzł e Somglana. Wcześne uzyskał e Sant-Venant w 86 r.. Warunk nerozdzelnośc można przedstawć w postac rozwnęte: ε + ε = ε,,,, ε + ε = ε,,,, ε + ε = ε,,,, ( ) ( ) ( ) ε + ε ε = ε,,,,, ε + ε ε = ε,,,,, ε + ε ε = ε,,,,,,,. (4.86) Powyższe równana zwązk będą przez nas często wykorzystywane do tworzena model ośrodka porowatego traktowanego ako ośrodek ednorodny.