ZASTOSOWANIE METODY ELEMENTÓW BRZEGOWYCH DO ROZWIĄZYWANIA PROBLEMÓW PROSTYCH W OBSZARACH STREFOWO NIEJEDNORODNYCH WZGLĘDEM PRZEWODNICTWA WŁAŚCIWEGO
|
|
- Krystian Orłowski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 4 IAPGOŚ 3/05 p-iss e-iss DOI: / ZASTOSOWAIE METODY ELEMETÓW BRZEGOWYCH DO ROZWIĄZYWAIA PROBLEMÓW PROSTYCH W OBSZARACH STREFOWO IEJEDORODYCH WZGLĘDEM PRZEWODICTWA WŁAŚCIWEGO Paweł Tchórzewsk et-art Dzał R&D ul. Zwązkowa Lubln Streszczene. Przedstawam rozwązane problemu prostego dla pola elektrycznego otrzymane z wykorzystanem metody elementów brzegowych. Funkca opsuąca rozkład przewodnctwa właścwego na rozważanym obszarze przymue dwe różne nezerowe wartośc. Proponowane podeśce może zostać wykorzystane przy wyznaczanu rozwązana zagadnena odwrotnego w systeme przeznaczonym do montorowana stanu wałów przecwpowodzowych. Dzałane tego systemu opera sę na mpedancyne tomograf komputerowe. Słowa kluczowe: symulaca numeryczna metoda elementów brzegowych zagadnene proste SOLUTIOS OF FORWARD PROBLEMS OBTAIED VIA BOUDARY ELEMET METHOD FOR OHOMOGEEOUS DOMAIS I REGARD TO ELECTRICAL CODUCTIVITY Abstract. I present soluton of the forward problem for electrc feld obtaned through the boundary element method. The functon whch descrbes electrcal conductvty dstrbuton on the doman possesses two dfferent nonzero values. Proposed approach can be utlsed n order to obtan soluton of the nverse problem n the flood embankment control system. Such system reles on the electrcal mpedance tomography. Keywords: numercal smulaton boundary element method forward problem Wstęp umeryczne metody rozwązywana równań różnczkowych ch układów stanową bardzo stotny obszar współczesne nauk. Pozwalaą one na uzyskane rozwązana maącego charakter przyblżony w przypadku gdy ścsłe rozwązane ne est możlwe do otrzymana za pośrednctwem metod analtycznych. Brak możlwośc otrzymana ścsłego rozwązana est bardzo częstym przypadkem dla model opsuących zawska fzyczne w sposób realstyczny. Take modele są neednokrotne dość złożone pod względem matematycznym są przeważne reprezentowane poprzez układy równań różnczkowych. Dokładne rozwązane otrzymuemy zwykle edyne dla problemów akademckch gdze mamy do czynena z odpowedno uproszczonym podeścam do opsu złożonych zawsk. Otrzymane numerycznego rozwązana równana różnczkowego albo układu takch równań est neednokrotne zadanem wymagaącym wele wysłku uż na etape proektowana odpowednego algorytmu. Wybór konkretne metody rozwązana zależy od typu równana a nawet od postac warunków brzegowych. Czasam pomocna stae sę możlwość wykorzystana odpowednego paketu numerycznego który z reguły dedykowany est dla wąske grupy problemów z określone dzedzny badawcze. W przypadku pewnych zadań szczególnym wyzwanem est opracowane algorytmów charakteryzuących sę stablnoścą numeryczną. Brak stablnośc numeryczne powodue znaczące znekształcene końcowego wynku oblczeń. Zdarzaą sę też zagadnena źle uwarunkowane. Wówczas małe zmany w danych początkowych w zasadnczy sposób zmenaą końcowe rozwązane. Z taką sytuacą mamy do czynena mędzy nnym przy zagadnenu (probleme) odwrotnym w mpedancyne tomograf komputerowe (ITK). Celem pracy badawcze est rozwązane zagadnena prostego dla pola elektrycznego w ITK. Można przyąć że tak postawone zadane sprowadza sę do problemu brzegowego dla równana różnczkowego cząstkowego które opsue staconarny przepływ prądu elektrycznego w ośrodku strefowo neednorodnym względem przewodnctwa właścwego. Przyęto że ośrodek ten posada dwa wymary przestrzenne. Z punktu wdzena specyfk problemu odwrotnego kluczowe znaczene posadaą welkośc fzyczne określone na brzegu badanego obszaru to est potencał pola elektrycznego oraz ego pochodna w kerunku normalnym do wspomnanego brzegu. Z tego względu zasadne wydae sę skorzystane z metody elementów brzegowych. Opsany sposób podeśca do rozwązana problemu prostego est użyteczny ze względu na swoe potencalne zastosowana praktyczne. Przykładowo wymenć można tuta system przeznaczony do kontrol stanu wałów przecwpowodzowych. Koncepca dzałana systemu opera sę na wykorzystanu ITK [7]. W procese automatycznego przetwarzana zebranych danych pomarowych ważną rolę odgrywa wybór odpowednego modelu geometrycznego który będze reprezentował fragment wału przecwpowodzowego. Istotny est także właścwy wybór warunków brzegowych. W nnesze pracy została przedstawona propozyca rozwązana wymenonych powyże problemów. Kolena część artykułu zawera zwęzłe omówene zastosowanego formalzmu. W ostatne częśc zaprezentowane zostały wybrane rozwązana zagadnena prostego.. Metoda elementów brzegowych Pomysł na rozwązane opsanego we wstępe problemu prostego w ITK opera sę na odpowednm wykorzystanu metody elementów brzegowych (MEB). Technka ta pozwala na otrzymane przyblżonego rozwązana w przypadku takch równań różnczkowych cząstkowych które są możlwe do przedstawena w postac całkowe. Aby można było używać MEB dla wybranego równana w sposób efektywny koneczne stae sę ścsłe wyznaczene funkc Greena. Tak węc w przypadku MEB oblczena do określonego etapu wykonywane są w sposób analtyczny. Ponadto należy zauważyć że ne przeprowadzamy dyskretyzac całego obszaru a edyne brzegu. Prawdłowość ta ułatwa sporządzene modelu badanego obektu. Pewne trudnośc mogą poawć sę podczas prób oblczena charakterystycznych dla MEB całek z funkc osoblwych. Jednak w rozważanym przypadku sytuaca taka ne będze mała mesca ze względu na wykorzystane tak zwanych elementów stałych. Punktem wyśca do analzy loścowe est uogólnone prawo Ampère a: D H. () t Wektor H oznacza natężene pola magnetycznego D est wektorem ndukc elektryczne natomast oznacza gęstość prądu. Poneważ rozważamy zawsko kwazstaconarne (wolnozmenne) węc gęstość prądu przesunęca z dobrym przyblżenem wynos zero. artykuł recenzowany/revsed paper IAPGOS 3/05 4-8
2 p-iss e-iss IAPGOŚ 3/05 5 Dlatego po oblczenu dywergenc lewe prawe strony równana () otrzymuemy: 0. () W ośrodku zotropowym oraz strefowo neednorodnym względem przewodnctwa właścwego mamy: u (3) gdze konduktywność σ est wyrażona poprzez funkcę skalarną. Potencał pola elektrycznego został oznaczony symbolem u. Problem prosty w ITK opsany est równanem różnczkowym cząstkowym: u 0. (4) a równane (4) nakładane są odpowedne warunk brzegowe... Ośrodk ednorodne W ośrodku zotropowym oraz ednorodnym względem przewodnctwa właścwego (σ est stałe) równane (4) sprowadza sę do równana Laplace a: x y) x y) 0 (5) x y gdze (x y) Ω. W prosty sposób można wykazać że postać całkowa równana różnczkowego (5) est następuąca: u g dxdy q g d u hd 0. (6) Krzywa Γ stanow brzeg obszaru Ω. Symbol dγ oznacza nfntezymalny element długośc krzywe. Pochodna potencału elektrycznego w kerunku prostopadłym do krzywe Γ została oznaczona poprzez q. W MEB za g oberamy funkcę Greena która spełna równane różnczkowe [4]: g ( r r ) 0. (7) (r ) oznacza tuta deltę Draca. a funkcę g ne nakładamy warunków brzegowych. Dla dwuwymarowe przestrzen mamy: A r ) ln π (8) r r gdze A est dodatną lczbą rzeczywstą. Funkca h est określona na krzywe Γ oznacza pochodną funkc Greena w kerunku normalnym do te krzywe: n( ( r r ) h( r ) n( r r ). (9) π r r Wspomnany kerunek normalny est zdefnowany poprzez unormowany wektor n (r ). Wektor ten est skerowany na zewnątrz obszaru Ω. Po wykorzystanu właścwośc funkc Greena delty Draca równane całkowe (6) przymue postać: c( r ) r ) h( r ) d q( r ) d. (0) Tak ak to uż zostało wspomnane krzywą Γ aproksymuemy korzystaąc z elementów stałych. Oznacza to że w ramach przyętego przyblżena welkośc u oraz q są stałe wzdłuż dowolnego elementu brzegowego. Ponadto każdy element brzegowy est odcnkem proste. Równane wektorowe -tego elementu brzegowego (Γ ) posada następuącą postać: r ( ) r( m) r( l) r( f ) () gdze ξ < + >. Wektory wodzące oraz r ( f ) r ( l ) r ( m ) reprezentuą odpowedno: perwszy werzchołek ostatn werzchołek oraz węzeł elementu brzegowego (rys. ). Poneważ węzeł może znadować sę tylko w środku danego elementu brzegowego dlatego funkca c obecna w równanu (0) przymue tuta tylko trzy wartośc. Jeżel dany punkt znadue sę na krzywe Γ to wartość funkc c wynos 05. Gdy dany punkt leży wewnątrz obszaru Ω to wartość funkc c wynos natomast w pozostałych przypadkach funkca c przymue wartość równą 0. ależy zauważyć że w formule (0) krzywa Γ została podzelona na elementów. Infntezymalny element długośc dany est ogólnym wzorem: dr ( ) dr ( ) d d. () d d Korzystaąc z równana () w naszym przypadku dostaemy: d L d (3) gdze L oznacza długość -tego elementu brzegowego: L r r. (4) ( l) ( f ) Aby podczas oblczeń numerycznych zastnała możlwość wykorzystana wzoru (0) należy wprowadzć eszcze pewne modyfkace zgodne z założenam właścwym dla stałych elementów brzegowych. ech punkt określony wektorem wodzącym r będze położony na krzywe Γ. Po przeprowadzenu odpowednch przyblżeń otrzymuemy: r ) r ) ( ) ( ) ( ). h r r d q r g r r d (5) W równanu (5) za r możemy przyąć wektor wodzący dowolnego węzła. Wprowadzamy następuące oznaczena: H G r ) d h( r ) d. (6) Symbol oznacza deltę Kroneckera. Dagonalne elementy macerzy H oraz G są wyrażone poprzez ścsłe wzory: L A G ln L (7) H. W przypadku elementów brzegowych wyższych rzędów wyznaczane elementów dagonalnych wymusza koneczność numerycznego oblczena całek z funkc osoblwych [8]. Rys.. Struktura geometryczna stałego elementu brzegowego Korzystaąc z wprowadzonych powyże oznaczeń równane (5) możemy zapsać ako: H r ) G q( r ). (8) W ten sposób otrzymuemy układ składaący sę z lnowych równań algebracznych na neznane (ne określone poprzez warunk brzegowe) wartośc potencału u oraz ego pochodne q na węzłach elementów brzegowych. Układ ten mus zostać przekształcony w sposób tożsamoścowy do postac macerzowe A x = b gdze x est newadomą natomast A oraz b są znane. Dopero po otrzymanu rozwązana lnowego układu równań możemy przystąpć do oblczena potencału oraz ego gradentu w punktach położonych wewnątrz rozpatrywanego obszaru: q( r ) d r ) h( d. (9)
3 6 IAPGOŚ 3/05 p-iss e-iss Ośrodk strefowo neednorodne W ośrodku zotropowym oraz strefowo neednorodnym względem przewodnctwa właścwego potencał pola elektrycznego est opsany równanem (4). Przymmy teraz że domenę Ω można podzelć na dwa podobszary na których konduktywność σ est stała. Wówczas na każdym z tych podobszarów potencał spełna równane Laplace a. Zatem dla każdego z nch można zastosować opsany w poprzednm podrozdzale pracy formalzm obecny w MEB. Rys.. Granca mędzy ośrodkam o różnych przewodnctwach właścwych. Punkt W oznacza węzeł elementu brzegowego. Wektor normalny est skerowany na zewnątrz odpowadaącego mu ośrodka Osobne analzy wymaga natomast zwązek mędzy welkoścam fzycznym na grancy ośrodków o różnych przewodnctwach właścwych. ależy zauważyć że na każdym z węzłów leżących na wspomnane grancy ne są znane wartośc lczbowe dla u oraz dla q. Możlwa est ednak elmnaca nadmerne lczby newadomych. ech u () oraz q () oznaczaą welkośc fzyczne w -tym ośrodku przypsane do ednego węzła wybranego elementu brzegowego położonego na grancy (rys. ). Poneważ potencał pola elektrycznego oraz wektor gęstośc prądu są reprezentowane poprzez funkce cągłe dlatego zachodzą następuące relace: () () u u (0) () () q q 0 gdze σ est przewodnctwem właścwym -tego podobszaru.. Oblczena numeryczne Wszystke welkośc fzyczne obecne na poszczególnych wykresach znaduących sę w tym rozdzale pracy wyrażone są w ednostkach układu SI. Ponadto zakładamy że dodatna stała obecna we wzorze (8) przymue wartość: A = m. Aby przeprowadzć oblczena numeryczne w oparcu o założena sformułowane w poprzednm rozdzale pracy został napsany odpowedn program komputerowy. Implementaca MEB w warance dla ośrodka strefowo neednorodnego została wykonana w środowsku Matlab R0a. Wybór ten podyktowany był względam praktycznym. W środowsku Matlab wspomnaną mplementacę MEB można wykonać w stosunkowo krótkm czase. Utworzony program pozwala na wykonane oblczeń dla ośrodków strefowo neednorodnych z dwoma nezerowym różnym od sebe współczynnkam konduktywnośc. Dopuszczalny est także przypadek gdze eden podobszar est zawarty wewnątrz drugego. e zostały uwzględnone tak zwane elementy neskończone. Z tego względu każda krzywa opsuąca dowolny podobszar mus być krzywą zamknętą. Omawany program dzała w sposób sekwencyny. Porządek kluczowych etapów oblczeń został przedstawony na rys. 3. Elementy macerzowe (6) zaweraące całk krzywolnowe nezorentowane z funkc Greena oraz z e pochodne oblczono za pomocą kwadratury Gaussa-Legendre a. Wykorzystano pęć par składaących sę z węzła nterpolac oraz odpowadaące mu wag. Dla przypadku = (elementy dagonalne) wyprowadzono wzory analtyczne (7). Rys. 3. Schemat blokowy wykonane mplementac MEB.. Rozwązane zagadnena testowego W celu sprawdzena poprawnośc dzałana rozważanego programu za ego pomocą został rozwązany pewen problem testowy. Przyęto że współczynnk przewodnctwa właścwego przymuą wartośc: σ = Sm - oraz σ = 4 Sm -. Dla prostokątne domeny (rys. 4) warunk brzegowe zostały zdefnowane w następuący sposób: 6V dla { ( x y ) : x 0 0 y m} V dla { ( x y ) : x m 0 y m} () q( 0 dla { ( x y ) : 0 x m y 0 y m}. Po prostych oblczenach otrzymuemy ścsły rezultat: x 6 4 V dla{ ( x y ) : 0 x m 0 y m } ( ) m u a r. () x 3 V dla { ( x y ) : m x m 0 y m } m Wzór () wykorzystano podczas wyznaczana błędu procentowego dla rozwązana otrzymanego za pomocą MEB. Błąd ten został oblczony zgodne z formułą: us ua u % 00% (3) u gdze u s reprezentue wynk symulac komputerowe natomast u a oznacza wartość ścsłą. a
4 p-iss e-iss IAPGOŚ 3/05 7 Dyskretyzaca obszaru Ω została pokazana na rys. 4. a brzegu każdego z podobszarów zaznaczono wszystke węzły elementów brzegowych a także wektory normalne (w wybranych punktach). Dany wektor normalny est zawsze skerowany na zewnątrz podobszaru z którym est powązany. Rozwązane otrzymane numeryczne przedstawa rys. 5 natomast błąd procentowy został pokazany na rys. 6. Brzeg każdego z podobszarów został podzelony na 00 elementów. Wdzmy że przy tak wybrane dyskretyzac potencał pola elektrycznego został wyznaczony w dość dokładny sposób. Wspomnany błąd est newelk ne przekracza 05 %. Przestrzenny rozkład błędu est w przyblżenu ednorodny poza dwoma newelkm obszaram zlokalzowanym w otoczenu punktów gdze spotykaą sę trzy elementy brzegowe. Podczas przeprowadzana badań nad zagadnenem prostym dla pola elektrycznego w perwsze kolenośc należy wprowadzć odpowedn model geometryczny. Jest on zależny przede wszystkm od sposobu rozmeszczena elektrod wchodzących w skład systemu opartego na EIT. Wyróżnamy elektrody prądowe (polaryzuą badany obsza oraz elektrody napęcowe (zapewnaą możlwość pomarów napęca mędzy określonym punktam). Elektrody mogą być położone w edne płaszczyźne prostopadłe do koryta rzek [7]. Do takego przypadku odnos sę dwuwymarowy model uszkodzonego wału przecwpowodzowego zaprezentowany na rys. 7. Zaznaczono tuta przekró poprzeczny wału. Ponadto na rys. 8 mamy pokazaną dyskretyzacę badanego obszaru. a brzegu każdego z podobszarów domeny Ω zaznaczono węzły wszystkch elementów brzegowych oraz wektory normalne (w wybranych punktach). Podobszar () reprezentue wspomnane uszkodzene. Wybór kształtu domeny ne est ednak sprawą ednoznaczną. W ogólnośc dopuszczalna est także taka możlwość że brzeg modelowanego obszaru będze opsany krzywą otwartą. Wymusza to ednak zastosowane neskończonych elementów brzegowych. Koleną kwestą wymagaącą rozstrzygnęca est wybór wartośc przewodnctwa właścwego dla każdego z podobszarów. Konduktywność gleby zależy mędzy nnym od e rodzau oraz struktury [6]. Ponadto czynnkem maącym stotny wpływ na przewodnctwo właścwe gleby est także e wlgotność. Wynk badań zameszczone w publkac [6] pokazuą że przewodnctwo właścwe gleby est rosnącą funkcą e wlgotnośc obętoścowe. W przyętym modelu wału przecwpowodzowego podobszar () charakteryzue sę znaczne wększą wlgotnoścą w porównanu do podobszaru (). a potrzeby nneszego artykułu można przyąć że uśrednone konduktywnośc wynoszą [6]: σ = 0 ms m - oraz σ = 5 ms m -. Rys. 4. Model testowy utworzony w celu weryfkac poprawnośc dzałana programu Rys. 7. Przekró poprzeczny koryta rzek oraz wału przecwpowodzowego Rys. 5. Przestrzenny rozkład potencału pola elektrycznego dla modelu testowego otrzymany za pomocą MEB Rys. 6. Przestrzenny rozkład błędu procentowego otrzymany dla numerycznego rozwązana zagadnena testowego.. Rozwązane problemu prostego Rys. 8. Model częścowo uszkodzonego wału przecwpowodzowego Pozostae eszcze określene warunków brzegowych. Zgodne z rys. 7 krzywą brzegową dla domeny Ω est trapez. a dłuższe podstawe trapezu kładzemy u = 0 (ednorodny warunek Drchleta). Identyczny warunek wyberamy na dolne połowe lewego ramena trapezu z tego względu że na tym odcnku wał przecwpowodzowy posada kontakt z rzeką. Poza dwoma wybranym
5 8 IAPGOŚ 3/05 p-iss e-iss węzłam które wyznaczaą położene elektrod prądowych na pozostałe częśc krzywe Γ przymuemy ednorodny warunek eumanna (q = 0). Pomędzy elektrodam prądowym przyłożone est napęce wynoszące 0 V. a potrzeby oblczeń numerycznych dokonano dyskretyzac brzegu podobszaru () na 6 elementy natomast brzegu podobszaru () na 5 elementów (rys. 8). Wynk oblczeń numerycznych dla dwóch przykładowych położeń par elektrod prądowych zostały pokazane na rys. 9. Poneważ potencał pola elektrycznego dla tych elektrod wynos ±5 V węc na te podstawe można łatwo ustalć ch lokalzacę na omawanym rysunku. Podczas wykonywana badana tomografcznego obekt est polaryzowany na klka lub klkanaśce różnych sposobów. Ma to na celu zwększene dokładnośc zobrazowana ego struktury wewnętrzne []. Rys. 9 przedstawa rozkłady potencału pola elektrycznego na całym obszarze. Jednak podczas rozwązywana problemu odwrotnego wystarczy oblczyć welkośc charakteryzuące pole elektryczne tylko na brzegach obu podobszarów. 3. Podsumowane Implementaca MEB która została wykorzystana do rozwązana problemu prostego est częścą systemu przeznaczonego do badana stanu wałów przecwpowodzowych za pomocą ITK. Zarys koncepc dzałana tego systemu został opsany w pracy [5]. Przedstawone w nneszym artykule wynk pokazuą że zagadnene proste dla pola elektrycznego w ośrodku strefowo neednorodnym może zostać skuteczne rozwązane za pomocą odpowedne mplementac MEB. Stwarza to możlwość zastosowana opracowane mplementac przy rozwązywanu problemu odwrotnego w ITK. W tym podeścu oprócz wspomnane uż MEB wykorzystywana est także metoda zborów pozomcowych oraz metoda gradentowa [ 7]. Aby zastnała możlwość rozwązana zagadnena odwrotnego planowane est odpowedne uogólnene programu. Uogólnene to będze przeprowadzone w tak sposób aby w równanu (4) możlwe było uwzględnene członu źródłowego. Potrzeba wprowadzena take modyfkac wynka stąd że metoda gradentowa w każdym kroku teracynym zakłada rozwązane dodatkowego równana (zwanego równanem sprzężonym) które zawera tego typu wyraz []. Lteratura [] Beer G.: Programmng the Boundary Element Method. An Introducton for Engneers. John Wley & Sons Eastbourne 00. [] Flpowcz S.F. Rymarczyk T.: Tomografa Impedancyna - pomary konstrukce metody tworzena obrazu. BEL Studo Warszawa 003. [3] Grffths D.J.: Podstawy elektrodynamk. Wydawnctwo aukowe PW Warszawa 006. [4] Kythe P.K.: An ntroducton to Boundary Element Methods. CRC Press USA 995. [5] Olchowy D.: System mpedancyne tomograf komputerowe bazuący na procesorze sygnałowym o nskm poborze mocy. Informatyka Automatyka Pomary w Gospodarce Ochrone Środowska 3/ [6] Rutkowsk K. n.: Ocena zmennośc przestrzenne wlgotnośc gleby na podstawe map konduktywnośc elektryczne. Część II. Inżynera Rolncza 8/ [7] Rymarczyk T. Rymarczyk P.: ondestructve Method for Montorng Flood Embankment System. IIPHDW 03 Brno Czech Republc September 03. [8] Skora J.: umeryczne metody rozwązywana zagadneń brzegowych. Poltechnka Lubelska Lubln 0. [9] Weleba P.: Otwarta obektowa bbloteka metody elementów brzegowych do rozwązywana zagadneń tomograf dyfuzyne - Rozprawa doktorska. Instytut Elektrotechnk Warszawa 00. Mgr Paweł Tchórzewsk e-mal: pawel.tchorzewsk87@gmal.com Rys. 9. Przestrzenne rozkłady potencału pola elektrycznego stanowące przykładowe rozwązana problemu prostego w ITK dla struktury pokazane na rys. 7 (wał przecwpowodzowy). Wynk otrzymano dla dwóch różnych położeń par elektrod prądowych Absolwent Unwersytetu Mar Cure-Skłodowske w Lublne na kerunku fzyka (specalność: fzyka teoretyczna). Aktualne podczas pracy zawodowe realzue zadana o proflu rozwoowo-badawczym w dzedzne numerycznych metod rozwązywana równań różnczkowych cząstkowych. otrzymano/receved: przyęto do druku/accepted:
u u u( x) u, x METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH, METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH i METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH
METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH, METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH Szkc rozwązana równana Possona w przestrzen dwuwymarowe. Równane Possona to równae różnczkowe cząstkowe opsuące wele
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,
Bardziej szczegółowoWykład 1 Zagadnienie brzegowe liniowej teorii sprężystości. Metody rozwiązywania, metody wytrzymałości materiałów. Zestawienie wzorów i określeń.
Wykład Zagadnene brzegowe lnowe teor sprężystośc. Metody rozwązywana, metody wytrzymałośc materałów. Zestawene wzorów określeń. Układ współrzędnych Kartezańsk, prostokątny. Ose x y z oznaczono odpowedno
Bardziej szczegółowoWykład 2: Uczenie nadzorowane sieci neuronowych - I
Wykład 2: Uczene nadzorowane sec neuronowych - I Algorytmy uczena sec neuronowych Na sposób dzałana sec ma wpływ e topologa oraz funkconowane poszczególnych neuronów. Z reguły topologę sec uznae sę za
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB
Rozwązywane zadań optymalzacj w środowsku programu MATLAB Zagadnene optymalzacj polega na znajdowanu najlepszego, względem ustalonego kryterum, rozwązana należącego do zboru rozwązań dopuszczalnych. Standardowe
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 9. jej modyfkacje. Oznaczena Będzemy rozpatrywać zagadnene rozwązana następującego układu n równań lnowych z n newadomym x 1... x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x
Bardziej szczegółowoMetody analizy obwodów
Metody analzy obwodów Metoda praw Krchhoffa, która jest podstawą dla pozostałych metod Metoda transfguracj, oparte na przekształcenach analzowanego obwodu na obwód równoważny Metoda superpozycj Metoda
Bardziej szczegółowoWykład 2: Uczenie nadzorowane sieci neuronowych - I
Wykład 2: Uczene nadzorowane sec neuronowych - I Algorytmy uczena sec neuronowych Na sposób dzałana sec ma wpływ e topologa oraz funkconowane poszczególnych neuronów. Z reguły topologę sec uznae sę za
Bardziej szczegółowoProjekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Inormatyka Podstawy Programowana 06/07 Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE 6. Równana algebraczne. Poszukujemy rozwązana, czyl chcemy określć perwastk rzeczywste równana:
Bardziej szczegółowoMETODA ELEMENTU SKOŃCZONEGO. Termokinetyka
METODA ELEMENTU SKOŃCZONEGO Termoknetyka Matematyczny ops ruchu cepła (1) Zasada zachowana energ W a Cepło akumulowane, [J] P we Moc wejścowa, [W] P wy Moc wyjścowa, [W] t przedzał czasu, [s] V q S(V)
Bardziej szczegółowoPrzykład 5.1. Kratownica dwukrotnie statycznie niewyznaczalna
rzykład.. Kratownca dwukrotne statyczne newyznaczana oecene: korzystaąc z metody sł wyznaczyć sły w prętach ponższe kratowncy. const Rozwązane zadana rozpoczynamy od obczena stopna statyczne newyznaczanośc
Bardziej szczegółowoXXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadanie doświadczalne
XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadane dośwadczalne ZADANIE D Nazwa zadana: Maszyna analogowa. Dane są:. doda półprzewodnkowa (krzemowa) 2. opornk dekadowy (- 5 Ω ), 3. woltomerz cyfrowy, 4. źródło napęca
Bardziej szczegółowoProgramowanie Równoległe i Rozproszone
Programowane Równoległe Rozproszone Wykład Programowane Równoległe Rozproszone Lucjan Stapp Wydzał Matematyk Nauk Informacyjnych Poltechnka Warszawska (l.stapp@mn.pw.edu.pl) /38 PRR Wykład Chcemy rozwązać
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A II. Strona 1 z 5
MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Krytera ocenana odpowedz Arkusz A II Strona 1 z 5 Odpowedz Pytane 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Odpowedź D C C A B 153 135 232 333 Zad. 10. (0-3) Dana jest funkcja postac. Korzystając
Bardziej szczegółowoSZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW
SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI ul. Pożaryskego 8, 04-703 Warszawa tel.
Bardziej szczegółowoProblem plecakowy (KNAPSACK PROBLEM).
Problem plecakowy (KNAPSACK PROBLEM). Zagadnene optymalzac zwane problemem plecakowym swą nazwę wzęło z analog do sytuac praktyczne podobne do problemu pakowana plecaka. Chodz o to, by zapakować maksymalne
Bardziej szczegółowoInstrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy rozkroju materiałowego, zagadnienia dualne
Instrukca do ćwczeń laboratorynych z przedmotu: Badana operacyne Temat ćwczena: Problemy rozkrou materałowego, zagadnena dualne Zachodnopomorsk Unwersytet Technologczny Wydzał Inżyner Mechanczne Mechatronk
Bardziej szczegółowoKRZYWA BÉZIERA TWORZENIE I WIZUALIZACJA KRZYWYCH PARAMETRYCZNYCH NA PRZYKŁADZIE KRZYWEJ BÉZIERA
KRZYWA BÉZIERA TWORZENIE I WIZUALIZACJA KRZYWYCH PARAMETRYCZNYCH NA PRZYKŁADZIE KRZYWEJ BÉZIERA Krzysztof Serżęga Wyższa Szkoła Informatyk Zarządzana w Rzeszowe Streszczene Artykuł porusza temat zwązany
Bardziej szczegółowoAnaliza rodzajów skutków i krytyczności uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 1629A
Analza rodzajów skutków krytycznośc uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 629A Celem analzy krytycznośc jest szeregowane potencjalnych rodzajów uszkodzeń zdentyfkowanych zgodne z zasadam FMEA na podstawe
Bardziej szczegółowo1. Wstęp. 2. Macierz admitancyjna.
1. Wstęp. Znaomość stanu pracy SEE est podstawowym zagadnenem w sterowanu pracą systemu na wszystkch etapach: proektowana, rozwou, planowana stanów pracy oraz w czase beżące eksploatac. Kontrola rozpływów
Bardziej szczegółowoZa: Stanisław Latoś, Niwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwiczenia z geodezji II [red.] J. Beluch
Za: Stansław Latoś, Nwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwczena z geodezj II [red.] J. eluch 6.1. Ogólne zasady nwelacj trygonometrycznej. Wprowadzene Nwelacja trygonometryczna, zwana równeż trygonometrycznym
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Faktoryzacja SVD Metody iteracyjne. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja SVD Metody teracyjne P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2013 Sngular Value Decomposton Twerdzene 1. Dla każdej macerzy A R M N, M N, stneje rozkład
Bardziej szczegółowoSprawozdanie powinno zawierać:
Sprawozdane pownno zawerać: 1. wypełnoną stronę tytułową (gotowa do ćw. nr 0 na strone drugej, do pozostałych ćwczeń zameszczona na strone 3), 2. krótk ops celu dośwadczena, 3. krótk ops metody pomaru,
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE METODY ELEMENTÓW BRZEGOWYCH W TOMOGRAFII IMPEDANCYJNEJ
Krzysztof KRÓL Danel AWICKI an IKORA ZATOOWANIE METODY ELEMENTÓW BRZEGOWYCH W TOMOGRAFII IMPEDANCYNE TREZCZENIE Nnesza praca ma na celu przedstawene metod rozwązywana zagadnena odwrotnego tomograf mpedancyne
Bardziej szczegółowoELEKTROCHEMIA. ( i = i ) Wykład II b. Nadnapięcie Równanie Buttlera-Volmera Równania Tafela. Wykład II. Równowaga dynamiczna i prąd wymiany
Wykład II ELEKTROCHEMIA Wykład II b Nadnapęce Równane Buttlera-Volmera Równana Tafela Równowaga dynamczna prąd wymany Jeśl układ jest rozwarty przez elektrolzer ne płyne prąd, to ne oznacza wcale, że na
Bardziej szczegółowo7.8. RUCH ZMIENNY USTALONY W KORYTACH PRYZMATYCZNYCH
WYKŁAD 7 7.8. RUCH ZMIENNY USTALONY W KORYTACH PRYZMATYCZNYCH 7.8.. Ogólne równane rucu Rucem zmennym w korytac otwartyc nazywamy tak przepływ, w którym parametry rucu take jak prędkość średna w przekroju
Bardziej szczegółowoOptymalizacja belki wspornikowej
Leszek MIKULSKI Katedra Podstaw Mechank Ośrodków Cągłych, Instytut Mechank Budowl, Poltechnka Krakowska e mal: ps@pk.edu.pl Optymalzacja belk wspornkowej 1. Wprowadzene RozwaŜamy zadane optymalnego kształtowana
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni.
Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe podprzestrzene. Lnowa nezależność. Sumy sumy proste podprzestrzen. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar :
Bardziej szczegółowoPlan wykładu: Typowe dane. Jednoczynnikowa Analiza wariancji. Zasada: porównać zmienność pomiędzy i wewnątrz grup
Jednoczynnkowa Analza Waranc (ANOVA) Wykład 11 Przypomnene: wykłady zadana kursu były zaczerpnęte z podręcznków: Statystyka dla studentów kerunków techncznych przyrodnczych, J. Koronack, J. Melnczuk, WNT
Bardziej szczegółowoI. Elementy analizy matematycznej
WSTAWKA MATEMATYCZNA I. Elementy analzy matematycznej Pochodna funkcj f(x) Pochodna funkcj podaje nam prędkość zman funkcj: df f (x + x) f (x) f '(x) = = lm x 0 (1) dx x Pochodna funkcj podaje nam zarazem
Bardziej szczegółowoWikiWS For Business Sharks
WkWS For Busness Sharks Ops zadana konkursowego Zadane Opracowane algorytmu automatyczne przetwarzającego zdjęce odręczne narysowanego dagramu na tablcy lub kartce do postac wektorowej zapsanej w formace
Bardziej szczegółowoLaboratorium ochrony danych
Laboratorum ochrony danych Ćwczene nr Temat ćwczena: Cała skończone rozszerzone Cel dydaktyczny: Opanowane programowej metody konstruowana cał skończonych rozszerzonych GF(pm), poznane ch własnośc oraz
Bardziej szczegółowoTRANZYSTOR BIPOLARNY CHARAKTERYSTYKI STATYCZNE
POLITHNIKA RZSZOWSKA Katedra Podstaw lektronk Instrkcja Nr4 F 00/003 sem. letn TRANZYSTOR IPOLARNY HARAKTRYSTYKI STATYZN elem ćwczena jest pomar charakterystyk statycznych tranzystora bpolarnego npn lb
Bardziej szczegółowoPodstawy teorii falek (Wavelets)
Podstawy teor falek (Wavelets) Ψ(). Transformaca Haara (97).. Przykład pewne metody zapsu obrazu Transformaca Haara Przykład zapsu obrazu -D Podstawy matematyczne transformac Algorytmy rozkładana funkc
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM PODSTAW ELEKTROTECHNIKI Badanie obwodów prądu sinusoidalnie zmiennego
Ćwczene 1 Wydzał Geonżyner, Górnctwa Geolog ABORATORUM PODSTAW EEKTROTECHNK Badane obwodów prądu snusodalne zmennego Opracował: Grzegorz Wśnewsk Zagadnena do przygotowana Ops elementów RC zaslanych prądem
Bardziej szczegółowo7. Wykład VII: Warunki Kuhna-Tuckera
Wocech Grega, Metody Optymalzac 7 Wykład VII: Warunk Kuhna-Tuckera 7 Warunk koneczne stnena ekstremum Rozważane est zadane z ogranczenam nerównoścowym w postac: mn F( x ) x X X o F( x ), o { R x : h n
Bardziej szczegółowoXLI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadanie teoretyczne
XLI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadane teoretyczne Rozwąż dowolne rzez sebe wybrane dwa sośród odanych nże zadań: ZADANIE T Nazwa zadana: Protony antyrotony A. Cząstk o mase równe mase rotonu, ale
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne w logistyce i zarządzaniu produkcją
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Nowym Sączu Badana operacyne w logstyce zarządzanu produkcą cz. I Andrze Woźnak Nowy Sącz Komtet Redakcyny doc. dr Zdzsława Zacłona przewodncząca, prof. dr hab. nż. Jarosław
Bardziej szczegółowoANALIZA PREFERENCJI SŁUCHACZY UNIWERSYTETU TRZECIEGO WIEKU Z WYKORZYSTANIEM WYBRANYCH METOD NIESYMETRYCZNEGO SKALOWANIA WIELOWYMIAROWEGO
Artur Zaborsk Unwersytet Ekonomczny we Wrocławu ANALIZA PREFERENCJI SŁUCHACZY UNIWERSYTETU TRZECIEGO WIEKU Z WYKORZYSTANIEM WYBRANYCH METOD NIESYMETRYCZNEGO SKALOWANIA WIELOWYMIAROWEGO Wprowadzene Od ukazana
Bardziej szczegółowoKwantowa natura promieniowania elektromagnetycznego
Efekt Comptona. Kwantowa natura promenowana elektromagnetycznego Zadane 1. Foton jest rozpraszany na swobodnym elektrone. Wyznaczyć zmanę długośc fal fotonu w wynku rozproszena. Poneważ układ foton swobodny
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzeną lnową nad całem lczb zespolonych
Bardziej szczegółowoModelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Optymalizacja
Modelowane oblczena technczne Metody numeryczne w modelowanu: Optymalzacja Zadane optymalzacj Optymalzacja to ulepszane lub poprawa jakośc danego rozwązana, projektu, opracowana. Celem optymalzacj jest
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. dr Adam Sojda
BADANIA OPERACYJNE Podejmowane decyzj w warunkach nepewnośc dr Adam Sojda Teora podejmowana decyzj gry z naturą Wynk dzałana zależy ne tylko od tego, jaką podejmujemy decyzję, ale równeż od tego, jak wystąp
Bardziej szczegółowoWykład 5. Skręcanie nieskrępowane prętów o przekroju prostokątnym.
Adresy internetowe, pod którymi można znaleźć wykłady z Wytrzymałości Materiałów: Politechnika Krakowska http://limba.wil.pk.edu.pl/kwm-edu.html Politechnika Łódzka http://kmm.p.lodz.pl/dydaktyka Wykład
Bardziej szczegółowo4. Zjawisko przepływu ciepła
. Zawso przepływu cepła P.Plucńs. Zawso przepływu cepła wymana cepła przez promenowane wymana cepła przez unoszene wymana cepła przez przewodzene + generowane cepła znane wartośc temperatury zolowany brzeg
Bardziej szczegółowoKlasyfkator lnowy Wstęp Klasyfkator lnowy jest najprostszym możlwym klasyfkatorem. Zakłada on lnową separację lnowy podzał dwóch klas mędzy sobą. Przedstawa to ponższy rysunek: 5 4 3 1 0-1 - -3-4 -5-5
Bardziej szczegółowo(M2) Dynamika 1. ŚRODEK MASY. T. Środek ciężkości i środek masy
(MD) MECHANIKA - Dynamka T. Środek cężkośc środek masy (M) Dynamka T: Środek cężkośc środek masy robert.szczotka(at)gmal.com Fzyka astronoma, Lceum 01/014 1 (MD) MECHANIKA - Dynamka T. Środek cężkośc środek
Bardziej szczegółowoRÓWNOWAGA STACKELBERGA W GRACH SEKWENCYJNYCH
Stansław KOWALIK e-mal: skowalk@wsb.edu.pl Wyższa Szkoła Bznesu Dąbrowa Górncza RÓWNOWAGA STACKELBERGA W GRACH SEKWENCYJNYCH Streszczene Praca dotyczy nekooperacynych sekwencynych ger dwuosobowych o sume
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE KLASYCZNEGO ALGORYTMU GENETYCZNEGO DO ROZWIĄZANIA ZBILANSOWANEGO ZAGADNIENIA TRANSPORTOWEGO
Studa Materały. Mscellanea Oeconomcae Rok 6, Nr 2/22 Wydzał Zarządzana Admnstrac Unwersytetu Jana Kochanowskego w Kelcach Z a r z ą d z a n e f n a n s e Rafał Prońko ZASTOSOWANIE KLASYCZNEGO ALGORYTMU
Bardziej szczegółowoAUTOMATYKA I STEROWANIE W CHŁODNICTWIE, KLIMATYZACJI I OGRZEWNICTWIE L3 STEROWANIE INWERTEROWYM URZĄDZENIEM CHŁODNICZYM W TRYBIE PD ORAZ PID
ĆWICZENIE LABORAORYJNE AUOMAYKA I SEROWANIE W CHŁODNICWIE, KLIMAYZACJI I OGRZEWNICWIE L3 SEROWANIE INWEREROWYM URZĄDZENIEM CHŁODNICZYM W RYBIE PD ORAZ PID Wersja: 03-09-30 -- 3.. Cel ćwczena Celem ćwczena
Bardziej szczegółowoZastosowanie symulatora ChemCad do modelowania złożonych układów reakcyjnych procesów petrochemicznych
NAFTA-GAZ styczeń 2011 ROK LXVII Anna Rembesa-Śmszek Instytut Nafty Gazu, Kraków Andrzej Wyczesany Poltechnka Krakowska, Kraków Zastosowane symulatora ChemCad do modelowana złożonych układów reakcyjnych
Bardziej szczegółowoMETODA STRZAŁÓW W ZASTOSOWANIU DO ZAGADNIENIA BRZEGOWEGO Z NADMIAROWĄ LICZBĄ WARUNKÓW BRZEGOWYCH
RAFAŁ PALEJ, RENATA FILIPOWSKA METODA STRZAŁÓW W ZASTOSOWANIU DO ZAGADNIENIA BRZEGOWEGO Z NADMIAROWĄ LICZBĄ WARUNKÓW BRZEGOWYCH APPLICATION OF THE SHOOTING METHOD TO A BOUNDARY VALUE PROBLEM WITH AN EXCESSIVE
Bardziej szczegółowoSztuczne sieci neuronowe
Sztuczne sec neuronowe Jerzy Stefanowsk Plan wykładu 1. Wprowadzene 2. Model sztucznego neuronu. 3. Topologe sec neuronowych 4. Reguły uczena sec neuronowych. 5. Klasyfkaca sec neuronowych. 6. Sec warstwowe
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez dla wielu populacji
Weryfkacja hpotez dla welu populacj Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Intelgencj Metod Matematycznych Wydzał Informatyk Poltechnk Szczecńskej 5. Parametryczne testy stotnośc w
Bardziej szczegółowoNumeryczne modelowanie ustalonego pola temperatury
Zakład Aerodynamiki i ermodynamik Instytut echniki Lotnicze, Wydział Mechatroniki Woskowa Akademia echniczna Numeryczne modelowanie ustalonego pola temperatury Piotr Koniorczyk Mateusz Zieliński Warszawa
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Bezouta i liczby zespolone Javier de Lucas. Rozwi azanie 2. Z twierdzenia dzielenia wielomianów, mamy, że
Twerdzene Bezouta lczby zespolone Javer de Lucas Ćwczene 1 Ustal dla których a, b R można podzelć f 1 X) = X 4 3X 2 + ax b przez f 2 X) = X 2 3X+2 Oblcz a b Z 5 jeżel zak ladamy, że f 1 f 2 s a welomanam
Bardziej szczegółowoIle wynosi suma miar kątów wewnętrznych w pięciokącie?
1 Ile wynos suma mar kątów wewnętrznych w pęcokące? 1 Narysuj pęcokąt foremny 2 Połącz środek okręgu opsanego na tym pęcokące ze wszystkm werzchołkam pęcokąta 3 Oblcz kąty każdego z otrzymanych trójkątów
Bardziej szczegółowoINDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA. - Prąd powstający w wyniku indukcji elektro-magnetycznej.
INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA Indukcja - elektromagnetyczna Powstawane prądu elektrycznego w zamknętym, przewodzącym obwodze na skutek zmany strumena ndukcj magnetycznej przez powerzchnę ogranczoną tym obwodem.
Bardziej szczegółowoRUCH OBROTOWY Można opisać ruch obrotowy ze stałym przyspieszeniem ε poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego.
RUCH OBROTOWY Można opsać ruch obrotowy ze stałym przyspeszenem ε poprzez analogę do ruchu postępowego jednostajne zmennego. Ruch postępowy a const. v v at s s v t at Ruch obrotowy const. t t t Dla ruchu
Bardziej szczegółowoZapis informacji, systemy pozycyjne 1. Literatura Jerzy Grębosz, Symfonia C++ standard. Harvey M. Deitl, Paul J. Deitl, Arkana C++. Programowanie.
Zaps nformacj, systemy pozycyjne 1 Lteratura Jerzy Grębosz, Symfona C++ standard. Harvey M. Detl, Paul J. Detl, Arkana C++. Programowane. Zaps nformacj w komputerach Wszystke elementy danych przetwarzane
Bardziej szczegółowoPrąd elektryczny U R I =
Prąd elektryczny porządkowany ruch ładunków elektrycznych (nośnków prądu). Do scharakteryzowana welkośc prądu służy natężene prądu określające welkość ładunku przepływającego przez poprzeczny przekrój
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA ALGORYTMÓW WYZNACZANIA RUCHU CIECZY LEPKIEJ METODĄ SZTUCZNEJ ŚCIŚLIWOŚCI
MODELOWANIE INśYNIERSKIE ISSN 1896-771X 36, s. 187-192, Glwce 2008 OPTYMALIZACJA ALGORYTMÓW WYZNACZANIA RUCHU CIECZY LEPKIEJ METODĄ SZTUCZNEJ ŚCIŚLIWOŚCI ZBIGNIEW KOSMA, BOGDAN NOGA Instytut Mechank Stosowane,
Bardziej szczegółowo2. STOPIEŃ KINEMATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI
Część. STOPIEŃ KINEMATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI.. STOPIEŃ KINEMATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI W metodze sł w celu przyjęca układu podstawowego należało odrzucć węzy nadlczbowe. O lczbe odrzuconych węzów decydował
Bardziej szczegółowoSTATECZNOŚĆ SKARP. α - kąt nachylenia skarpy [ o ], φ - kąt tarcia wewnętrznego gruntu [ o ],
STATECZNOŚĆ SKARP W przypadku obektu wykonanego z gruntów nespostych zaprojektowane bezpecznego nachylena skarp sprowadza sę do przekształcena wzoru na współczynnk statecznośc do postac: tgφ tgα = n gdze:
Bardziej szczegółowoKURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1
KURS STATYSTYKA Lekcja 6 Regresja lne regresj ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 Funkcja regresj I rodzaju cechy Y zależnej
Bardziej szczegółowoStateczność układów ramowych
tateczność układów ramowych PRZYPONIENIE IŁ KRYTYCZN DL POJEDYNCZYCH PRĘTÓW tateczność ustrou tateczność ustrou est to zdoność ustrou do zachowana nezmennego położena (kształtu) ub nacze mówąc układ po
Bardziej szczegółowo5. CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE
5. CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Oprócz transmtancj operatorowej, do opsu członów układów automatyk stosuje sę tzw. transmtancję wdmową. Transmtancję wdmową G(j wyznaczyć moŝna dzęk podstawenu do wzoru
Bardziej szczegółowoWykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 8. CAŁKI NIEOZNACZONE. ( x) 2 cos2x
Wykład z Podsaw maemayk dla sudenów Inżyner Środowska Wykład 8. CŁKI NIEOZNCZONE Defnca (funkca perwona) Nech F es funkcą perwoną funkc f na przedzale I, eżel F '( ) f ( ) dla każdego I. Udowodnć, że funkce
Bardziej szczegółowoWSPOMAGANE KOMPUTEROWO POMIARY CZĘSTOTLIWOŚCI CHWILOWEJ SYGNAŁÓW IMPULSOWYCH
Metrologa Wspomagana Komputerowo - Zegrze, 9-22 05.997 WSPOMAGANE KOMPUTEROWO POMIARY CZĘSTOTLIWOŚCI CHWILOWEJ SYGNAŁÓW IMPULSOWYCH dr nż. Jan Ryszard Jask, dr nż. Elgusz Pawłowsk POLITECHNIKA lubelska
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych
Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2007/08 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x, b R N, A R N N (1) ma jednoznaczne
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWY MASZYN I ZARZĄDZANIA STUDIA MAGISTERSKIE STUDIUM DZIENNE. Michał Kubacha. Praca dyplomowa
POLITECHIKA POZAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWY MASZY I ZARZĄDZAIA STUDIA MAGISTERSKIE STUDIUM DZIEE Mchał Kubacha Symulaca nestaconarnego przepływu cepła bezsatkową metodą Kansa w obszarze o neregularnym brzegu Praca
Bardziej szczegółowoEgzamin poprawkowy z Analizy II 11 września 2013
Egzamn poprawkowy z nalzy II 11 wrześna 13 Uwag organzacyjne: każde zadane rozwązujemy na osobnej kartce Każde zadane należy podpsać menem nazwskem własnym oraz prowadzącego ćwczena Na wszelk wypadek prosmy
Bardziej szczegółowoOKREŚLENIE OPTYMALNEJ ODLEGŁOŚCI KONTURU ZE ŹRÓDŁAMI OD BRZEGU OBSZARU Z ZASTOSOWANIEM METODY ROZWIĄZAŃ PODSTAWOWYCH
Z E S Z Y T Y N A U K O W E P O L I T E C H N I K I P O Z N AŃSKIEJ Nr Budowa Maszyn Zarządzane Produkcją 005 PIOTR GORZELAŃCZYK, JAN ADAM KOŁODZIEJ OKREŚLENIE OPTYMALNEJ ODLEGŁOŚCI KONTURU ZE ŹRÓDŁAMI
Bardziej szczegółowo1. Komfort cieplny pomieszczeń
1. Komfort ceplny pomeszczeń Przy określanu warunków panuących w pomeszczenu używa sę zwykle dwóch poęć: mkroklmat komfort ceplny. Przez poęce mkroklmatu wnętrz rozume sę zespół wszystkch parametrów fzycznych
Bardziej szczegółowoANALIZA DOKŁADNOŚCI WYBRANYCH TECHNIK CAŁKOWO-BRZEGOWYCH W KONTEKŚCIE MODELOWANIA ZAGADNIEŃ EMC NISKIEJ CZĘSTOTLIWOŚCI *)
Wojcech KRAJEWSKI ANALIZA DOKŁADNOŚCI WYBRANYCH TECHNIK CAŁKOWO-BRZEGOWYCH W KONTEKŚCIE MODELOWANIA ZAGADNIEŃ EMC NISKIEJ CZĘSTOTLIWOŚCI *) STRESZCZENIE W artykule przeprowadzono analzę dokładnośc metod:
Bardziej szczegółowoBadanie współzależności dwóch cech ilościowych X i Y. Analiza korelacji prostej
Badane współzależnośc dwóch cech loścowych X Y. Analza korelacj prostej Kody znaków: żółte wyróżnene nowe pojęce czerwony uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnena 1. Zwązek determnstyczny (funkcyjny) a korelacyjny.
Bardziej szczegółowo5. OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA
. OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA Defncja grafu Pod pojęcem grafu G rozumemy następującą dwójkę uporządkowaną (defncja grafu Berge a): (.) G W,U gdze: W zbór werzchołków grafu, U zbór łuków grafu, U W W,
Bardziej szczegółowoGrupa: Elektrotechnika, wersja z dn Studia stacjonarne, II stopień, sem.1 Laboratorium Techniki Świetlnej
ul.potrowo 3a http://lumen.ee.put.poznan.pl Grupa: Elektrotechnka, wersja z dn. 29.03.2016 Studa stacjonarne, stopeń, sem.1 Laboratorum Technk Śwetlnej Ćwczene nr 6 Temat: Badane parametrów fotometrycznych
Bardziej szczegółowoMetody gradientowe poszukiwania ekstremum. , U Ŝądana wartość napięcia,
Metody gradentowe... Metody gradentowe poszukwana ekstremum Korzystają z nformacj o wartośc funkcj oraz jej gradentu. Wykazując ch zbeŝność zakłada sę, Ŝe funkcja celu jest ogranczona od dołu funkcją wypukłą
Bardziej szczegółowo-Macierz gęstości: stany czyste i mieszane (przykłady) -równanie ruchu dla macierzy gęstości -granica klasyczna rozkładów kwantowych
WYKŁAD 4 dla zanteresowanych -Macerz gęstośc: stany czyste meszane (przykłady) -równane ruchu dla macerzy gęstośc -granca klasyczna rozkładów kwantowych Macerz gęstośc (przypomnene z poprzednch wykładów)
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2 KINEMATYKA PŁYNÓW CZĘŚĆ 1 1/14
WYKŁAD 2 KINEMATYKA PŁYNÓW CZĘŚĆ 1 1/14 OPISY LAGRANGE A I EULERA. PRĘDKOŚĆ I PRZYSPIESZENIE PŁYNU. Elementem płynu nazywamy indywidualną i x 3, nieskończenie małą porcę płynu. Każdy element płynu ma przypisane
Bardziej szczegółowoWykład 5 12/15/2013. Problemy algebry liniowej w Matlabie
Wykład 5. Problemy algebry lnowej w Matlabe. Analza sygnałów a) w dzedzne częstotlwośc b) w dzedzne czasu c) częstotlwoścowo-czasowa d) nagrywane analza dźwęku e) Sgnal Processng Toolbox Problemy algebry
Bardziej szczegółowoPROGNOZOWANIE KSZTAŁTOWANIA SIĘ MIKROKLIMATU BUDYNKÓW INWENTARSKICH MOśLIWOŚCI I OGRANICZENIA
InŜynera Rolncza 7/2005 Jan Radoń Katedra Budownctwa Weskego Akadema Rolncza w Krakowe PROGNOZOWANIE KSZTAŁTOWANIA SIĘ MIKROKLIMATU BUDYNKÓW INWENTARSKICH MOśLIWOŚCI I OGRANICZENIA Streszczene Opsano nawaŝnesze
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE METOD ANALIZY WRAŻLIWOŚCI DO MODELOWANIA KONSTRUKCJI Z PRZEDZIAŁOWYMI PARAMETRAMI. 1 Wprowadzenie
Andrze POWNUK ZASTOSOWANIE METOD ANALIZY WRAŻLIWOŚCI DO MODELOWANIA KONSTRUKCJI Z PRZEDZIAŁOWYMI PARAMETRAMI Wprowadzene Wartośc wszystkch parametrów układów mechancznych obarczone są pewną nepewnoścą
Bardziej szczegółowomgr inż. Wojciech Artichowicz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁACH OTWARTYCH
Poltechnka Gdańska Wydzał Inżyner Lądowej Środowska Katedra ydrotechnk mgr nż. Wojcech Artchowcz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁAC OTWARTYC PRACA DOKTORSKA Promotor: prof. dr
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy kwadratowej
Dagonalzacja macerzy kwadratowej Dana jest macerz A nân. Jej wartośc własne wektory własne spełnają równane Ax x dla,..., n Każde z równań własnych osobno można zapsać w postac: a a an x x a a an x x an
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 2. Parametry statyczne tranzystorów bipolarnych
Ćwczene arametry statyczne tranzystorów bpolarnych el ćwczena odstawowym celem ćwczena jest poznane statycznych charakterystyk tranzystorów bpolarnych oraz metod dentyfkacj parametrów odpowadających m
Bardziej szczegółowoCAŁKOWANIE NUMERYCZNE całki pojedyncze
CAŁKOWANIE NUMERYCZNE całk pojedyncze Kwadratury nterpolacyjne Kwadratury nterpolacyjne Rozpatrujemy funkcję f() cągłą ogranczoną w przedzale domknętym [a, b]. Przedzał [a, b] dzelmy na skończoną lczbę
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY METODĄ STOKESA
WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY METODĄ STOKESA. Ops teoretyczny do ćwczena zameszczony jest na strone www.wtc.wat.edu.pl w dzale DYDAKTYKA FIZYKA ĆWICZENIA LABORATORYJNE.. Ops układu pomarowego
Bardziej szczegółowoZarządzanie ryzykiem w przedsiębiorstwie i jego wpływ na analizę opłacalności przedsięwzięć inwestycyjnych
dr nż Andrze Chylńsk Katedra Bankowośc Fnansów Wyższa Szkoła Menedżerska w Warszawe Zarządzane ryzykem w rzedsęborstwe ego wływ na analzę ołacalnośc rzedsęwzęć nwestycynych w w w e - f n a n s e c o m
Bardziej szczegółowo5. Pochodna funkcji. lim. x c x c. (x c) = lim. g(c + h) g(c) = lim
5. Pocodna funkcj Defncja 5.1 Nec f: (a, b) R nec c (a, b). Jeśl stneje granca lm x c x c to nazywamy ją pocodną funkcj f w punkce c oznaczamy symbolem f (c) Twerdzene 5.1 Jeśl funkcja f: (a, b) R ma pocodną
Bardziej szczegółowoPIERWIASTKI ROZMYTE RÓWNAŃ PRZEDZIŁOWYCH
Marusz GONERA, Ludmła DYMOWA, Paweł SEWASTJANOW Instytut Informatyk Teoretyczne Stosowane ul. Dąbrowskego, 73, 42-200 Częstochowa PIERWIASTKI ROZMYTE RÓWNAŃ PRZEDZIŁOWYCH 285 słów Znaczna cześć problemów
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2 MOMENT BEZWŁADNOŚCI. Wykład Nr 10. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA Wykład Nr 10 MOMENT BEZWŁADNOŚCI Prowadzący: dr Krzysztof Polko Defncja momentu bezwładnośc Momentem bezwładnośc punktu materalnego względem płaszczyzny, os lub beguna nazywamy loczyn masy punktu
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE PRZEPŁYWU POWIETRZA W KANAŁACH WENTYLACYJNYCH PIECZARKARNI
Inżynera Rolncza 10(108)/2008 MODELOWANIE PRZEPŁYWU POWIETRZA W KANAŁACH WENTYLACYJNYCH PIECZARKARNI Leonard Vorontsov, Ewa Wachowcz Katedra Automatyk, Poltechnka Koszalńska Streszczene: W pracy przedstawono
Bardziej szczegółowoSztuczne sieci neuronowe. Krzysztof A. Cyran POLITECHNIKA ŚLĄSKA Instytut Informatyki, p. 311
Sztuczne sec neuronowe Krzysztof A. Cyran POLITECHNIKA ŚLĄSKA Instytut Informatyk, p. 311 Wykład 6 PLAN: - Repetto (brevs) - Sec neuronowe z radalnym funkcjam bazowym Repetto W aspekce archtektury: zajmowalśmy
Bardziej szczegółowon liczba zmiennych decyzyjnych c współczynniki funkcji celu a współczynniki przy zmienych decyzyjnych w warunkach
Problem decyzyny cel różne sposoby dzałana (decyze) warunk ogranczaące (determnuą zbór decyz dopuszczalnych) kryterum wyboru: umożlwa porównane efektywnośc różnych decyz dopuszczalnych z punktu wdzena
Bardziej szczegółowoWażną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)
Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i
Bardziej szczegółowoStudia stacjonarne, II stopień, sem.1 Laboratorium Techniki Świetlnej
60-965 Poznań ul.potrowo 3a http://lumen.ee.put.poznan.pl Grupa: Elektrotechnka, Studa stacjonarne, II stopeń, sem.1 Laboratorum Technk Śwetlnej wersja z dn. 08.05.017 Ćwczene nr 6 Temat: Porównane parametrów
Bardziej szczegółowoNatalia Nehrebecka. Wykład 2
Natala Nehrebecka Wykład . Model lnowy Postad modelu lnowego Zaps macerzowy modelu lnowego. Estymacja modelu Wartośd teoretyczna (dopasowana) Reszty 3. MNK przypadek jednej zmennej . Model lnowy Postad
Bardziej szczegółowoTemat 13. Rozszerzalność cieplna i przewodnictwo cieplne ciał stałych.
Temat 13. Rozszerzalność ceplna przewodnctwo ceplne cał stałych. W temace 8 wykazalśmy przy wykorzystanu warunków brzegowych orna-karmana, że wyraz lnowy w rozwnęcu energ potencjalnej w szereg potęgowy
Bardziej szczegółowo