Wykład 5. Skręcanie nieskrępowane prętów o przekroju prostokątnym.

Transkrypt

1 Adresy internetowe, pod którymi można znaleźć wykłady z Wytrzymałości Materiałów: Politechnika Krakowska Politechnika Łódzka Wykład 5. Skręcanie nieskrępowane prętów o przekrou prostokątnym. Hipoteza kinematyczna przyęta ak poprzednio, rozważamy teorię skręcania prętów przedstawioną w wykładzie nr i kolenych. Rozwiążmy zadanie skręcania pręta o dowolnym przekrou znaduąc funkcę Prandtla bezpośrednio, metodą numeryczną. Spełnia ona, ak wiadomo, nieednorodne równanie harmoniczne w obszarze S: + = G ' (),, Θ i est równa zeru na brzegu obszaru S. Rozpatrzmy przekró prostokątny (oczywiście, analityczne wyrażenie dla funkci Prandtla est możliwe, ednak w miarę komplikowania sie kształtu konturu ego postać est coraz bardzie skomplikowana i podeście analityczne wymaga złożonych przekształceń symbolicznych, podczas gdy algorytm rozwiązania numerycznego est zawsze taki sam, powtarzalny) Prostokąt o bokach a i b pokryemy siatką punktów, w których obliczymy wartości funkci Prandtla. Na boku a umieścimy M punktów odległych od siebie o, na boku b umieścimy N punktów odległych o dy. Przymiemy, że GΘ=. Uprościmy zapis następuąco: i i ( x, x ) = () ponieważ wszystkie wartości funkci Prandtla w punktach x i, x utworzą wektor niewiadomych, potrzebna est eszcze inna numeraca: numeruąc niewiadome rzędami otrzymamy dla danego i, niewiadomą nr k, oznaczoną f(k), według wzoru: f ( k ) i = gdzie k=(i-)m+ (3) Jak wiadomo, drugą pochodną ze względu na x (i podobnie dla x ) można w przybliżeniu zapisać następuąco: i+, i i ( x,x ) = + i, i, + i i ( x,x ) = i, + (4) Równanie różniczkowe () można więc zastąpić układem równań z niewiadomymi f(k), zastępuąc pochodne ich przybliżonymi wartościami różnicowymi, dla każdego punktu w obszarze S. (Na brzegu S wartości f są dane i równe zeru). Przymimy, że GΘ =. Nie zmniesza to ogólności rozważań, zawsze możemy wynik pomnożyć przez właściwe GΘ. Dla punktu o współrzędne i, otrzymamy równanie (5):

2 i+, i i +, + i, + i + i, = (4) i+, i, i i, + i, = (5) Mamy tyle równań ile niewiadomych (punkty wewnętrzne w S). Schemat budowy układu równań na siatce punktów przedstawia rysunek. Pokazano tu schemat równania napisanego dla niewiadome o numerze 55 czyli dla i=6 i =5. a b dy Rozwiązuąc taki układ równań, otrzymue się wartości funkci Prandtla nad przekroem S. Ich wykres przedstawia rysunek. Naprężenia otrzymue sie zastępuąc wzory na pochodne - odpowiednimi ilorazami różnicowymi. Warto przyąć dla punktów wewnętrznych ilorazy dokładniesze, daące następuące wzory na naprężenia (6) i (7). τ τ 3 3 = ( x,x ) i, ( + i, ) x,x i+, i, ( ) ( ) = Prawdziwą wartość naprężeń otrzyma się mnożąc powyższe wzory przez GΘ. Na rysunku 3 przedstawiono wykresy naprężeń dla prostokąta. Pozostae problem obliczenia sztywności (potrzebne do znalezienia Θ). Łatwo się przekonać, że wzór na sztywność est następuący: N,M (8) i M s = JGΘ i ednocześnie M GΘ s i=, = N,M i (9) stąd: J i=, = W ten sposób mamy wszystkie elementy niezbędne do zaproektowania dowolnego przekrou skręcanego. Rysunki poniższe przedstawiaą wyniki obliczeń dla prostokąta o stosunku (6) (7)

3 bokow 3:.Kolene rysunki przedstawiaą rozwiązanie tego samego zadanie dla przekrou prostokątnego z wycięciem kwadratowym i prostokątnego - smukłego. Funkca Prandtla dla prostokąta o stosunku boków 3:. Widok w skali skażone (a) i plan warstwicowy (b) (:) a. b. τ 3 τ 3 τ plan warstwicowy, proporce przekrou : τ 3

4 Funkca Prandtla dla przekrou z wycięciem - (a) widok i (b) plan warstwicowy. Wykres c) - długość wektora naprężenia stycznego oraz (d) skladowa τ 3. 4

5 Przekró smukły. Stosunek boków :5. Na rysunkach powyższych proporce skażone. Funkca Prandtla (a), składowa naprężenia τ 3 (b), długość wektora naprężenia stycznego oraz składowa naprężenia τ 3 (d). 5.. Tablice do wymiarowania na skręcanie prętów o przekrou prostokątnym Wobec tego, że wykonywanie obliczeń na skręcanie dla prętów prostokątnych wymaga rozwiązania równania różniczkowego o pochodnych cząstkowych, co może być czasochłonne - większość tablic inżynierskich oraz podręczniki do Wytrzymałości Materiałów (w tym podręcznik A. Jakubowicza i Z. Orłosia) publikuą tabele do wymiarowania takich przekroów. Tabele takie zawieraą współczynniki do obliczania sztywności skrętne, wskaźnika wytrzymałości na skręcanie oraz maksymalnego naprężenia stycznego, obliczone na podstawie rozwiązania problemu skręcania dla prostokąta o zadanym stosunku długości boków. Korzystaąc z takich tablic można obliczyć sztywność skrętną, wskaźnik wytrzymałości na skręcanie oraz maksymalne naprężenie styczne znaąc długość ednego boku i interpoluąc liniowo wartości współczynników pomiędzy dwoma nabliższymi proporcami boków prostokąta, zapisanymi w tabeli. 5