ZASTOSOWANIE METODY ELEMENTÓW BRZEGOWYCH W TOMOGRAFII IMPEDANCYJNEJ
|
|
- Jarosław Wójtowicz
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Krzysztof KRÓL Danel AWICKI an IKORA ZATOOWANIE METODY ELEMENTÓW BRZEGOWYCH W TOMOGRAFII IMPEDANCYNE TREZCZENIE Nnesza praca ma na celu przedstawene metod rozwązywana zagadnena odwrotnego tomograf mpedancyne za pomocą metody elementów brzegowych. łowa kluczowe: metoda elementów brzegowych, tomografa mpedancyna. WTĘP Metoda elementów brzegowych (MEB) sprowadza sę do równań algebracznych, których rozwązane określa wszystke poszukwane funkce na brzegu, co pozwala na oblczene funkc wewnątrz rozpatrywanego obszaru. mgr nŝ.,krzysztof KRÓL e-mal: k.krol@pollub.pl Poltechnka Lubelska, Katedra Elektronk mgr nŝ. Danel AWICKI e-mal: saw@poltechnka.lubln.pl Poltechnka Lubelska, Katedra Elektronk prof. dr hab. nŝ. an IKORA e-mal:.skora@pollub.pl Zakład Metrolog Badań Nenszczących Instytut Elektrotechnk, Poltechnka Lubelska, Katedra Elektronk PRACE INTYTUTU ELEKTROTECHNIKI, zeszyt 239, 2008
2 30 K. Król, D. awck,. kora Ta metoda ak kaŝda posada pewne wady zalety. e Zaletą est to, Ŝe wymaga aproksymac tylko na brzegu obszaru tylko do tego ograncza sę generaca satk węzłów elementów. Konsekwencą tego est redukca wymaru zagadnena o eden, a dodatkowo otrzymue sę dokładne wartośc poszukwanego rozwązana wewnątrz obszaru bez lokalnego zagęszczena satk na brzegu. Wadą est koneczność stnena znaomość rozwązana fundamentalnego równana róŝnczkowego [4]. Metoda elementów brzegowych est dobrą metodą do rozwązywana zagadnene prostego odwrotnego w tomograf mpedancyne, ze względu na małe trudnośc w generac satk, zwłaszcza w przestrzen 3D, gdze przewaŝne potrzebne est generowane modelu numerycznego do konkretnego rozwązana. Metoda elementów brzegowych est formułowana w odnesenu do obszarów ednorodnych. Przy obszarach neednorodnych moŝna podzelć e na dwa rodzae. Perwszy, eśl obszar dae sę modelować podobszaram ednorodnym materałowo wtedy zadane rozwązywane est przez powązane układów równań MEB warunkem cągłośc pola na brzegu tych podobszarów. Drug, dotyczy neednorodnośc cągłe (zadane funkcą analtyczną), kedy ne moŝna wydzelć stref ednorodnych materałowo. W takm obszarze rozwązana ednoznaczne uzyskue sę edyne dla pewnych szczególnych funkc neednorodnośc [0]. Tomografa mpedancyna est technką obrazowana, w które wykorzystue sę właścwośc elektryczne materałów, w tym równeŝ tkanek bologcznych. W metodze te badany obekt pobudzany est ze źródła prądowego lub napęcowego a następne obserwue sę powstały na ego brzegu rozkład napęć. Zebrane nformace przetwarzane są za pomocą algorytmu, który konstruue obraz badanego obektu [5]. 2. TOMOGRAFIA IMPEDANCYNA Metoda mpedancyne tomograf komputerowe ma za zadane zbudowane obrazu daącego nformace o wnętrzu badanego obektu, gdze obraz est rozkładem gęstośc welkośc, reprezentuące rozpatrywaną właścwość fzyczną obektu. W opsywanym przypadku nośnkem nformac o badanym obekce są prądy elektryczne, węc gęstoścą est konduktywność, przenkalność elektryczna lub przenkalność magnetyczna badanego obektu. Za początek tomograf mpedancyne moŝna przyąć zaproponowaną w 979 roku przez L.R. Prce nową metodę konstrukc obrazu w tomograf komputerowe [8], w które nośnkem nformac mał być prąd elektryczny. Impedancyna Tomografa Komputerowa est technką cągle rozwaną,
3 Zastosowane metody elementów brzegowych w tomograf mpedancyne 3 znaduąca zastosowane w welu dzedznach nauk. lne rozwnęła sę w rzech kerunkach (bomedycyna, przemysł rafneryny defektoskopa wroprądowa), co stało sę podstawą do dokonana podzału technk na podgrupy []: tomografa mpedancyna TI (ang. Electrcal Impedance Tomography EIT) nośnkem nformac est rozkład potencału (w szczególnośc na brzegu obszaru) wymuszony przepływem prądu elektrycznego o zęstotlwośc mnesze nŝ 200 khz ( marą gęstośc est konduktywność γ [/m]); TI znadue zastosowane w bomedycyne przemyśle elektroncznym; tomografa poemnoścowa TP (ang. Capactance Tomography CT) nośnkem nformac są poemnośc mędzyelektrodowe (marą gęstośc est przenkalność elektryczna ε [F/m]); TP znadue zastosowane w rzemyśle rafnerynym energetycznym; tomografa prądów wrowych TPW (ang. Eddy Current Tomography ECT) nośnkem nformac est zmana mpedanc cewek wzbudzaących przepływ prądów wrowych (marą gęstośc est przenkalność magnetyczna µ [H/m] lub konduktywność γ [/m]); TPW znadue zastosowane do nenszczącego badana materałów do rutynowego sprawdzana stanu rur chłodzących reaktor w elektrownach ądrowych. Praktyczne aplkace w bomedycyne rozpoczęły sę po roku 983, kedy grupa fzyków medycznych (Barber Brown) ze szptala w heffeld w Angl, zaproektowała prototyp urządzena [6], odpowedn do wykonana pomarów na cele człoweka. Obecne prowadzone są badana na welu takch urządzenach. Układ pomarowy z heffeld [6, 9] korzysta z 6 elektrod, które są rozmeszczone równomerne dookoła brzegu obektu. Dane pomarowe gromadzone są przez pomar róŝncy potencałów mędzy kaŝdą parą elektrod, oprócz elektrod prądowych (para elektrod sąsednch do których przykłada sę prąd natęŝenu 5 ma lub mneszym, o częstotlwośc 50 Hz). Przy ednym ułoŝenu elektrod dokonue sę 3 pomarów, a zmenaąc sekwencyne połoŝene elektrod zaslaących, powtarza sę pomar. W ten sposób otrzymue sę 208 danych pomarowych z których tylko 04 są lnowo nezaleŝne. Oznacza to Ŝ moŝna uzyskać tylko 04 nezaleŝne elementy obrazu. Zaletą te metody est prosta konstrukca łatwy sposób akwzyc danych, wadą natomast est to Ŝ ne moŝna odwzorować bezwzględnych wartośc parametrów elektrycznych, a edyne zmany tych parametrów. Zespół nŝynerów z Rensselaner Polytechnc Insttute opracował układ 32 lub 64 elektrodowy, w których kaŝdy ma swó własny programowany generator. Mmo wększego stopna skomplkowana w stosunku do perwszego rozwązana, uzyskano
4 32 K. Król, D. awck,. kora lepszy stosunek sygnału nosącego nformace do szumu oraz zmneszene wraŝlwośc na nedokładność połoŝena elektrod pomarowych wokół badanego obektu. Dzęk temu moŝlwe stały sę badana tułowa oraz obserwace zman nowotworowych w badanach mamografcznych [4]. Wartośc potencałów elektrod zaleŝą od rozpływu prądu wewnątrz obszaru, a tym samym równeŝ od rozkładu konduktywnośc. Algorytm rekonstrukc obrazu poszukue teracyne takego rozkładu konduktywnośc, dla którego oblczone wartośc napęć mędzyelektrodowych są moŝlwe nablŝsze odpowednm wartoścom pomarowym. Wartośc początkowe konduktywnośc w punkce wyścowym procesu teracynego są doberane dośwadczalne, aby otrzymać moŝlwe nalepszy wynk. Zwykle przymue sę rozkład ednorodny tych współczynnków. W tomograf mpedancyne rozwązane zagadnena prostego polega na wyznaczenu rozkładu potencału wewnątrz obektu, przy zadanych warunkach brzegowych danych dotyczących rozpatrywanego obektu. Z matematycznego punktu wdzena mpedancyna tomografa komputerowa naleŝy takŝe do zagadneń odwrotnych pola elektromagnetycznego. Zagadnenem odwrotnym pola elektromagnetycznego nazywamy proces dentyfkac, optymalzac, bądź syntezy, w którym zmerza sę do wyznaczena parametrów opsuących dane pole, na podstawe posadana nektórych nformac charakterystycznych dla tego pola. Zagadnena odwrotne są trudne do analzy. Z reguły ne maą ednoznacznych rozwązań są źle uwarunkowane. Przyczyną tego est często zbyt mała lub zbyt duŝa lczba nformac, które czasem są ze sobą sprzeczne bądź lnowo zaleŝne [4]. 2.. Podstawy matematyczne Fundamentem wększośc obecne stosowanych algorytmów rekonstrukc obrazu w ITK est równane: dv= 0 () przy załoŝonych warunkach brzegowych Drchleta (2) oraz Neumana (3): ϕ = ϕ b (2) d φ = 0 (3) dn
5 Zastosowane metody elementów brzegowych w tomograf mpedancyne 33 Podstawaąc do wzoru () zaleŝność = γe (4) oraz E = grad φ (5) otrzymue sę zaleŝność mędzy rozkładem potencału φ, a rozkładem konduktywnośc γ w badanym obszarze: dv( γgrad φ ) = 0 (6) Równane (6) wraz z warunkam brzegowym (2) oraz (3) nazywa sę zagadnenem prostym pola. Rozwązane tego równana prowadz do wyznaczena rozkładu funkc stanu w rozpatrywanym obszarze. ZałóŜmy, Ŝe wektor v est wektorem potencałów zmerzonych na brzegu obszaru, natomast γ wektorem reprezentuącym rozkład elektrycznych parametrów materałowych wewnątrz obszaru (rozkład konduktywnośc). Wektory te powązane są pewną, nelnową transformacą T. Macerz te transformac określa rozwązane równana Laplace a: v =T( γ ) (7) Przy powyŝszych załoŝenach, zadanem ITK est wyznaczene transformac odwrotne do transformac T, która odwzorowałaby wektor v na wektor γ: v γ =T (8) Równane (8) nos równeŝ nazwę zagadnena odwrotnego pola. Na ogół wymar wektora v est co namne równy wymarow wektora γ, stąd teŝ rozwązane tego zagadnena ne est rzeczą łatwą. 3. METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH Metoda elementów brzegowych (MEB, ang. Boundary Element Metod BEM) est numeryczną metodą rozwązywana równań całkowo-brzegowych, t.
6 34 K. Król, D. awck,. kora równań, w których poszukwana funkca znadue sę pod znakem całk oblczane po brzegu pewnego obszaru. MoŜlwe est takŝe rozwązane równań róŝnczkowych, które zastępue sę odpowedno skonstruowanym równanam całkowym [7]. Ideą te metody est przekształcene danego zagadnena brzegowego do równowaŝnego równana całkowego, które est określone na brzegu badanego obszaru. Zagadnene brzegowe opsane est układem równań róŝnczkowych z odpowednm warunkam początkowym brzegowym Zagadnene analzy polowe Równane róŝnczkowe Warunk brzegowe Równane całkowo-brzegowe Dyskretyzaca brzegu Wyznaczene wartośc funkc polowe e pochodne normalne na brzegu obszaru Wyznaczene wartośc funkc polowe wewnątrz obszaru Wyznaczene róŝnych parametrów, np. natęŝena pola, mocy, sły, pracy, energ tp. Rys.. chemat rozwązywana zagadnena za pomocą MEB
7 Zastosowane metody elementów brzegowych w tomograf mpedancyne 35 oraz rozwązanem fundamentalnym. Przenesene oblczeń na brzeg obszaru prowadz do obnŝena przestrzen o edność (brzeg obszarów trówymarowych est powerzchną a brzeg obszarów dwuwymarowych krzywą [, 2, 3]). Wyznaczene wartośc funkc pola za pomocą MEB składa sę z następuących etapów [7]: określena równana całkowego opsuącego rozpatrywany problem, dyskretyzac brzegu obszaru równana całkowego, wyznaczena wartośc funkc pola e pochodne normalne na brzegu, przeprowadzena dodatkowych oblczeń (np. wyznaczene wartośc funkc pola we wnętrzu obszaru, wyznaczene parametrów całkowych). Koleność rozwązana zagadnena za pomocą metody elementów brzegowych przedstawa rysunek. 3.. formułowane równana całkowego Perwszym etapem w MEB est zastąpene równana róŝnczkowego odpowedno skonstruowanym równanem całkowym. Wygodne est rozwaŝyć ogólnesze równane, opsuące pewną klasę problemów, aby ne powtarzać te konstrukc dla kaŝdego zagadnena [7]. W obszarze dzałana pola Ω, ogranczonego brzegem (rys. 2) poszukuemy funkc u(r), która opsue zagadnene polowe. Funkca u(r),est uogólnonym oznaczenem u(x,y,z) dla problemu trówymarowego lub u(x,y) oraz u(x) dla dwu- oraz ednowymarowego. Rys. 2. Określene zagadnena polowego [7] Zakładamy ze funkca u(r) spełna równane róŝnczkowe postac
8 36 K. Król, D. awck,. kora 2 2 u κ u = f (9) gdze: κ - znana lczba, f = f(r) - znana funkca. Wprowadzamy oznaczene ϑ κ 2 2 = (0) Równane (9) przymue postać ϑ ( u) = f () W celu rozwązana równana () koneczna est znaomość warunków brzegowych. Na częśc brzegu określonego ako zadany est warunek Drchleta u = u (2) a na częśc 2 warunek Neumanna u n = q 2 (3) Funkcę u oraz q są znanym funkcam określonym na odpowednch fragmentach brzegu oraz 2. Ne est moŝlwe zadane ednocześne obydwu warunków brzegowych δu na tym samym fragmence brzegu. eŝel ednak u byłyby znane na całym δ n brzegu to moŝna określć wartość funkc pola oraz e pochodnych w dowolnym punkce \wewnątrz obszaru Ω bez rozwązywana równana róŝnczkowego w całym obszarze [7]. W celu rozwązana zagadnena opsanego równanem () oraz warunkam brzegowym (2) (3) naleŝy zapsać e w postac całkowe ( ) u( r) ( ) ( ) d ( ) G r,r ( ) d ( ) ( ) ( ) d ( ) u r = G r,r r u r r + f r G r,r Ω r n n Ω (4)
9 Zastosowane metody elementów brzegowych w tomograf mpedancyne 37 gdze: r - ustalony punkt, w którym wyznaczamy wartość u, G(r,r) - rozwązane podstawowe równana () (funkca Greena w neogranczone przestrzen). Funkca ta est rozwązanem równana ϑ ( G( r,r) ) δ( r r) gdze δ est dystrybucą delta Draca. = (5) Aby równane (4) było prawdzwe dla dowolnego punktu r naleŝy e zapsać w postac G( r,r ) u( r) ( r) ( r) + ( r) d ( r) = ( r,r ) d ( r) + ( r) ( r,r ) dω( r) c u u G f G n n Ω (6) gdze u =u(r ), a wartość c(r ) zaleŝy tylko od połoŝena punktu r : c(r )= dla r na wewnątrz obszaru Ω c(r )=/2 dla r na gładkm brzegu (7) c(r )=0 dla r na zewnątrz obszaru Ω Równane (6) est równanem podstawowym metody elementów brzegowych. est to równane całkowo-brzegowe, w którym wartośc funkc pola są określone za pomocą składnków [7]: - całka brzegowa z wyraŝena u ng, wyraŝaąca zaleŝność funkc pola u wewnątrz obszaru od e wartośc na brzegu - składnk ten nazywa sę potencałem warstwy podwóne, - całka brzegowa z wyraŝena G nu, wyraŝaąca zaleŝność funkc pola u wewnątrz obszaru od wartośc e pochodne normalne na brzegu - składnk ten nos nazwę potencału warstwy poedyncze, - całka obszarowa z wyraŝena fg, uwzględnaąca funkcę wymuszaącą f, zwana potencałem obszarowym.
10 38 K. Król, D. awck,. kora 3.2. Dyskretyzaca brzegu równana Podzelmy brzeg obszaru Ω na fragmenty zwane elementam brzegowym. Brzeg na elementów brzeg 2 na 2 elementów (rys. 3). uma tych elementów wynese = + 2. Rys. 3. Podzał brzegu na elementy brzegowe [7] Korzystaąc z własnośc ze całkę moŝna rozłoŝyć na sumę podobszarów otrzymamy G( r,r) G( r,r ) u( r) d( r) = u( r) d( r) (8) n = u( r) u( r) G( r,r ) d ( r) = G( r,r ) d( r) (9) n Równane (6) przyme postać = n G( r,r ) ( r) ( r) + ( r) d ( r) = ( r) ( r,r ) d ( r) + ( r) ( r,r ) dω( r) c u u q G f G n gdze n Ω (20) czyl ( r) u q( r) = (2) n Drugą całkę z prawe strony równana (20) moŝna oznaczyć ako F(r ),
11 Zastosowane metody elementów brzegowych w tomograf mpedancyne 39 ( r) ( r,r) dω ( r) = ( r) f G F (22) Ω gdyŝ wyraŝene podcałkowe fg oraz kształt obszaru Ω są znane. Rozwązanem e est lczba zaleŝna od ustalonego punktu r. ZałóŜmy, Ŝe elementy są na tyle małe, Ŝ moŝna przyąć Ŝe zarówno u(r) ak q(r) są stałe w obrębe kaŝdego elementu. ą to elementy stałe lub zerowego stopna. W kaŝdym takm elemence umeszcza sę eden centralny węzeł. Wartość funkc q oraz u est stała w kaŝdym z elementów równa wartośc w węźle centralnym. NaleŜy oblczyć wartośc u oraz q w tych węzłach przez wyznaczene brakuących wartośc u oraz q na brzegu. Wartość u w -tym elemence naleŝy oznaczyć ako u, a wartość q przez q [7]. Wtedy równane (20) przyme postać: G( r,r) d ( r) ( r,r) d ( r) (23) c u + u = q G + F = n = gdze: c =c(r ), u =u(r ), F =F(r ). W wynku przekształceń u oraz q moŝna wycągnąć przed znak całk (są stałe w obrębe elementu ), oraz wprowadzena oznaczeń: równane moŝna zapsać w postac ( ) ( ) d ( ) ˆ G r,r r,r r, d ( r) (24) G = G H = n c u + u Hˆ = q G + F = = (25) Otrzymane zostało równane algebraczne (25) wąŝące wartośc brzegowe u q z wartoścą u w punkce r [7]. Po zdyskretyzowanu równana całkowego moŝna przystąpć do wyznaczena brakuących wartośc brzegowych. Umeszczaąc -ty punkt na brzegu, w ednym z węzłów dokonuąc prostych przekształceń matematycznych moŝna otrzymać Hˆ u ( Hˆ + c ) uhˆ ) = = ( u q G + F (26)
12 40 K. Król, D. awck,. kora Oznaczaąc H H dla = H + c dla = (27) równane (26) przyme postać H = = = u q G + F (28) W równanu tym znane est wartośc u, 2 wartośc q, współczynnk H oraz G, a takŝe F. MoŜna e zapsać w postac q G... q = u H G + u... u + H H, + + q u + G, + H = q G + F (29) Po lewe strone znadue sę newadomych q oraz 2 newadomych u. Razem est newadomych. Umeszczaąc punkt w kolenych węzłach brzegowych, moŝemy ułoŝyć tyle równań (29) le est węzłów na brzegu czyl. Otrzymany w ten sposób układ równań lnowych moŝna zapsać w postac Q [ G H ] = [ H G ] 2 U 2 2 U Q 2 (30) lub ako AX= B (3) Macerz A est macerzą kwadratową x, natomast X B są wektoram kolumnowym o wymarze [7]. W celu wyznaczena wartośc wewnętrznych naleŝy umeścć punkt r wewnątrz obszaru Ω. Wychodząc z równana (25) borąc pod uwagę współczynnk c = moŝna otrzymać = = u ( q G u Hˆ ) + F (32)
13 Zastosowane metody elementów brzegowych w tomograf mpedancyne 4 Wszystke wartośc u oraz q w równanu (32) są znane, węc oblczane wartośc u wewnątrz obszaru est proste. Z równana (32) moŝna oblczyć takŝe pochodne u w punkce r. Wzór ten przyme postać: u x = = q G x u Hˆ x F + x (33) 4. PODUMOWANIE Zastosowane Metody Elementów Brzegowych wymaga aproksymac tylko na brzegu obszaru tylko do tego ograncza sę generaca satk węzłów elementów. Następstwem tego est redukca wymaru zagadnena o eden, a dodatkowo, uzyskane dokładnych wartośc poszukwanego rozwązana wewnątrz obszaru ne wymaga lokalnego zagęszczena satk na brzegu. LITERATURA. Alabad M. H.: The Boundary Element Method: Vol. 2 Applcatons n olds and tructures, WleyBlackwell, Brebba C.A.: Boundary element method n engneerng, Pentech Press, London-Plymuth Brebba C.A., Walker.: Boundary element technques n engneerng, London-Boston, Newnes-Butterworth Flpowcz t. F., Rymarczyk T.: Tomografa mpedancyna pomary, konstrukce metody tworzena obrazu. BEL tudo, Warszawa, Flpowcz t. F.: Dagnostyka neednorodnych obektów przestrzennych metodam tomograf mpedancyne elektroencefalograf. Ofcyna Wydawncza Poltechnk Warszawske, Warszawa, HolderD.: Clncal and Physologcal Applcatons of Electrcal Impedance Tomography,UCL Press, abłońsk P.: Metoda elementów brzegowych w analze pola elektromagnetycznego. Wydawnctwo Poltechnk Częstochowske, Prce L.R.: ElectrcalImpedance Computed Tomography (ICT), A new magng Technque, IEEE Trans. On Nuclear cence, Vol. N-26, Aprl, str , eagar A.D., Barber D.C., Brown B.H.: Electrcal Impedance Imagng, IEEE Proceedngs, Vol. 34, Pt. A, No 2 February, str , kora.: Boundary Element Method for Impedance and Optcal Tomography. Wydawnctwa Poltechnk Warszawske 2007.
14 42 K. Król, D. awck,. kora. kora.: Algorytmy numeryczne w tomograf mpedancyne wroprądowe. Ofcyna Wydawncza Poltechnk Warszawske, Waszawa Rękops dostarczono dna r. Opnował: prof. dr hab. nŝ. Zygmunt PIĄTEK APPLICATION BOUNDARY ELEMENT METHOD FOR IMPEDANCE TOMOGRAPHY Krzysztof KRÓL, Danel AWICKI, an IKORA ABTRACT: The am of ths paper s presentng the soluton of nverse problem for mpedance tomography wth boundary element method.
u u u( x) u, x METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH, METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH i METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH
METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH, METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH Szkc rozwązana równana Possona w przestrzen dwuwymarowe. Równane Possona to równae różnczkowe cząstkowe opsuące wele
Bardziej szczegółowoProjekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Inormatyka Podstawy Programowana 06/07 Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE 6. Równana algebraczne. Poszukujemy rozwązana, czyl chcemy określć perwastk rzeczywste równana:
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 9. jej modyfkacje. Oznaczena Będzemy rozpatrywać zagadnene rozwązana następującego układu n równań lnowych z n newadomym x 1... x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x
Bardziej szczegółowoSZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW
SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI ul. Pożaryskego 8, 04-703 Warszawa tel.
Bardziej szczegółowoWykład 1 Zagadnienie brzegowe liniowej teorii sprężystości. Metody rozwiązywania, metody wytrzymałości materiałów. Zestawienie wzorów i określeń.
Wykład Zagadnene brzegowe lnowe teor sprężystośc. Metody rozwązywana, metody wytrzymałośc materałów. Zestawene wzorów określeń. Układ współrzędnych Kartezańsk, prostokątny. Ose x y z oznaczono odpowedno
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,
Bardziej szczegółowo1. Wstęp. 2. Macierz admitancyjna.
1. Wstęp. Znaomość stanu pracy SEE est podstawowym zagadnenem w sterowanu pracą systemu na wszystkch etapach: proektowana, rozwou, planowana stanów pracy oraz w czase beżące eksploatac. Kontrola rozpływów
Bardziej szczegółowoMetody gradientowe poszukiwania ekstremum. , U Ŝądana wartość napięcia,
Metody gradentowe... Metody gradentowe poszukwana ekstremum Korzystają z nformacj o wartośc funkcj oraz jej gradentu. Wykazując ch zbeŝność zakłada sę, Ŝe funkcja celu jest ogranczona od dołu funkcją wypukłą
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE METODY ELEMENTÓW BRZEGOWYCH DO ROZWIĄZYWANIA PROBLEMÓW PROSTYCH W OBSZARACH STREFOWO NIEJEDNORODNYCH WZGLĘDEM PRZEWODNICTWA WŁAŚCIWEGO
4 IAPGOŚ 3/05 p-iss 083-057 e-iss 39-676 DOI: 0.5604/083057.66546 ZASTOSOWAIE METODY ELEMETÓW BRZEGOWYCH DO ROZWIĄZYWAIA PROBLEMÓW PROSTYCH W OBSZARACH STREFOWO IEJEDORODYCH WZGLĘDEM PRZEWODICTWA WŁAŚCIWEGO
Bardziej szczegółowoWykład 2: Uczenie nadzorowane sieci neuronowych - I
Wykład 2: Uczene nadzorowane sec neuronowych - I Algorytmy uczena sec neuronowych Na sposób dzałana sec ma wpływ e topologa oraz funkconowane poszczególnych neuronów. Z reguły topologę sec uznae sę za
Bardziej szczegółowoWykład 2: Uczenie nadzorowane sieci neuronowych - I
Wykład 2: Uczene nadzorowane sec neuronowych - I Algorytmy uczena sec neuronowych Na sposób dzałana sec ma wpływ e topologa oraz funkconowane poszczególnych neuronów. Z reguły topologę sec uznae sę za
Bardziej szczegółowoZastosowanie technik sztucznej inteligencji w analizie odwrotnej
Zastosowane technk sztucznej ntelgencj w analze odwrotnej Ł. Sztangret, D. Szelga, J. Kusak, M. Petrzyk Katedra Informatyk Stosowanej Modelowana Akadema Górnczo-Hutncza, Kraków Motywacja Dokładność symulacj
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A II. Strona 1 z 5
MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Krytera ocenana odpowedz Arkusz A II Strona 1 z 5 Odpowedz Pytane 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Odpowedź D C C A B 153 135 232 333 Zad. 10. (0-3) Dana jest funkcja postac. Korzystając
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB
Rozwązywane zadań optymalzacj w środowsku programu MATLAB Zagadnene optymalzacj polega na znajdowanu najlepszego, względem ustalonego kryterum, rozwązana należącego do zboru rozwązań dopuszczalnych. Standardowe
Bardziej szczegółowoTRANZYSTOR BIPOLARNY CHARAKTERYSTYKI STATYCZNE
POLITHNIKA RZSZOWSKA Katedra Podstaw lektronk Instrkcja Nr4 F 00/003 sem. letn TRANZYSTOR IPOLARNY HARAKTRYSTYKI STATYZN elem ćwczena jest pomar charakterystyk statycznych tranzystora bpolarnego npn lb
Bardziej szczegółowoOptymalizacja belki wspornikowej
Leszek MIKULSKI Katedra Podstaw Mechank Ośrodków Cągłych, Instytut Mechank Budowl, Poltechnka Krakowska e mal: ps@pk.edu.pl Optymalzacja belk wspornkowej 1. Wprowadzene RozwaŜamy zadane optymalnego kształtowana
Bardziej szczegółowoPodstawy teorii falek (Wavelets)
Podstawy teor falek (Wavelets) Ψ(). Transformaca Haara (97).. Przykład pewne metody zapsu obrazu Transformaca Haara Przykład zapsu obrazu -D Podstawy matematyczne transformac Algorytmy rozkładana funkc
Bardziej szczegółowoPROBLEM ODWROTNY DLA RÓWNANIA PARABOLICZNEGO W PRZESTRZENI NIESKOŃCZENIE WYMIAROWEJ THE INVERSE PARABOLIC PROBLEM IN THE INFINITE DIMENSIONAL SPACE
JAN KOOŃSKI POBLEM ODWOTNY DLA ÓWNANIA PAABOLICZNEGO W PZESTZENI NIESKOŃCZENIE WYMIAOWEJ THE INVESE PAABOLIC POBLEM IN THE INFINITE DIMENSIONAL SPACE S r e s z c z e n e A b s r a c W arykule skonsruowano
Bardziej szczegółowoPomiar mocy i energii
Zakład Napędów Weloźródłowych Instytut Maszyn Roboczych CęŜkch PW Laboratorum Elektrotechnk Elektronk Ćwczene P3 - protokół Pomar mocy energ Data wykonana ćwczena... Zespół wykonujący ćwczene: Nazwsko
Bardziej szczegółowoSprawozdanie powinno zawierać:
Sprawozdane pownno zawerać: 1. wypełnoną stronę tytułową (gotowa do ćw. nr 0 na strone drugej, do pozostałych ćwczeń zameszczona na strone 3), 2. krótk ops celu dośwadczena, 3. krótk ops metody pomaru,
Bardziej szczegółowoMETODA ELEMENTU SKOŃCZONEGO. Termokinetyka
METODA ELEMENTU SKOŃCZONEGO Termoknetyka Matematyczny ops ruchu cepła (1) Zasada zachowana energ W a Cepło akumulowane, [J] P we Moc wejścowa, [W] P wy Moc wyjścowa, [W] t przedzał czasu, [s] V q S(V)
Bardziej szczegółowoWYZNACZENIE CHARAKTERYSTYK DYNAMICZNYCH PRZETWORNIKÓW POMIAROWYCH
Zakład Metrolog Systemów Pomarowych P o l t e c h n k a P o z n ańska ul. Jana Pawła II 6-965 POZNAŃ (budynek Centrum Mechatronk, Bomechank Nanonżyner) www.zmsp.mt.put.poznan.pl tel. +8 6 665 35 7 fa +8
Bardziej szczegółowoBryła fotometryczna i krzywa światłości.
STUDIA NIESTACJONARNE ELEKTROTECHNIKA Laboratorum PODSTAW TECHNIKI ŚWIETLNEJ Temat: WYZNACZANIE BRYŁY FOTOMETRYCZNEJ ŚWIATŁOŚCI Opracowane wykonano na podstawe: 1. Laboratorum z technk śwetlnej (praca
Bardziej szczegółowoMateriały do laboratorium Projektowanie w systemach CAD-CAM-CAE. 1. Wprowadzenie do metody elementów skończonych
Materały do laboratorum Projektowane w systemach CAD-CAM-CAE Opracowane: dr nŝ. Jolanta Zmmerman 1. Wprowadzene do metody elementów skończonych Przebeg zjawsk fzycznych, dzałane rzeczywstych obektów, procesów
Bardziej szczegółowoInstrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy rozkroju materiałowego, zagadnienia dualne
Instrukca do ćwczeń laboratorynych z przedmotu: Badana operacyne Temat ćwczena: Problemy rozkrou materałowego, zagadnena dualne Zachodnopomorsk Unwersytet Technologczny Wydzał Inżyner Mechanczne Mechatronk
Bardziej szczegółowoXXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadanie doświadczalne
XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadane dośwadczalne ZADANIE D Nazwa zadana: Maszyna analogowa. Dane są:. doda półprzewodnkowa (krzemowa) 2. opornk dekadowy (- 5 Ω ), 3. woltomerz cyfrowy, 4. źródło napęca
Bardziej szczegółowoProblem plecakowy (KNAPSACK PROBLEM).
Problem plecakowy (KNAPSACK PROBLEM). Zagadnene optymalzac zwane problemem plecakowym swą nazwę wzęło z analog do sytuac praktyczne podobne do problemu pakowana plecaka. Chodz o to, by zapakować maksymalne
Bardziej szczegółowoStateczność układów ramowych
tateczność układów ramowych PRZYPONIENIE IŁ KRYTYCZN DL POJEDYNCZYCH PRĘTÓW tateczność ustrou tateczność ustrou est to zdoność ustrou do zachowana nezmennego położena (kształtu) ub nacze mówąc układ po
Bardziej szczegółowoPrzykład 4.1. Belka dwukrotnie statycznie niewyznaczalna o stałej sztywności zginania
Przykład.. Beka dwukrotne statyczne newyznaczana o stałej sztywnośc zgnana Poecene: korzystając z metody sł sporządzć wykresy sł przekrojowych da ponŝszej bek. Wyznaczyć ugęce oraz wzgędną zmanę kąta w
Bardziej szczegółowo5. Rezonans napięć i prądów
ezonans napęć prądów W-9 el ćwczena: 5 ezonans napęć prądów Dr hab nŝ Dorota Nowak-Woźny Wyznaczene krzywej rezonansowej dla szeregowego równoległego obwodu Zagadnena: Fzyczne podstawy zjawska rezonansu
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWY MASZYN I ZARZĄDZANIA STUDIA MAGISTERSKIE STUDIUM DZIENNE. Michał Kubacha. Praca dyplomowa
POLITECHIKA POZAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWY MASZY I ZARZĄDZAIA STUDIA MAGISTERSKIE STUDIUM DZIEE Mchał Kubacha Symulaca nestaconarnego przepływu cepła bezsatkową metodą Kansa w obszarze o neregularnym brzegu Praca
Bardziej szczegółowoWSPOMAGANE KOMPUTEROWO POMIARY CZĘSTOTLIWOŚCI CHWILOWEJ SYGNAŁÓW IMPULSOWYCH
Metrologa Wspomagana Komputerowo - Zegrze, 9-22 05.997 WSPOMAGANE KOMPUTEROWO POMIARY CZĘSTOTLIWOŚCI CHWILOWEJ SYGNAŁÓW IMPULSOWYCH dr nż. Jan Ryszard Jask, dr nż. Elgusz Pawłowsk POLITECHNIKA lubelska
Bardziej szczegółowoPrzykład 5.1. Kratownica dwukrotnie statycznie niewyznaczalna
rzykład.. Kratownca dwukrotne statyczne newyznaczana oecene: korzystaąc z metody sł wyznaczyć sły w prętach ponższe kratowncy. const Rozwązane zadana rozpoczynamy od obczena stopna statyczne newyznaczanośc
Bardziej szczegółowoModelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Optymalizacja
Modelowane oblczena technczne Metody numeryczne w modelowanu: Optymalzacja Zadane optymalzacj Optymalzacja to ulepszane lub poprawa jakośc danego rozwązana, projektu, opracowana. Celem optymalzacj jest
Bardziej szczegółowoANALIZA DOKŁADNOŚCI WYBRANYCH TECHNIK CAŁKOWO-BRZEGOWYCH W KONTEKŚCIE MODELOWANIA ZAGADNIEŃ EMC NISKIEJ CZĘSTOTLIWOŚCI *)
Wojcech KRAJEWSKI ANALIZA DOKŁADNOŚCI WYBRANYCH TECHNIK CAŁKOWO-BRZEGOWYCH W KONTEKŚCIE MODELOWANIA ZAGADNIEŃ EMC NISKIEJ CZĘSTOTLIWOŚCI *) STRESZCZENIE W artykule przeprowadzono analzę dokładnośc metod:
Bardziej szczegółowoANALIZA PREFERENCJI SŁUCHACZY UNIWERSYTETU TRZECIEGO WIEKU Z WYKORZYSTANIEM WYBRANYCH METOD NIESYMETRYCZNEGO SKALOWANIA WIELOWYMIAROWEGO
Artur Zaborsk Unwersytet Ekonomczny we Wrocławu ANALIZA PREFERENCJI SŁUCHACZY UNIWERSYTETU TRZECIEGO WIEKU Z WYKORZYSTANIEM WYBRANYCH METOD NIESYMETRYCZNEGO SKALOWANIA WIELOWYMIAROWEGO Wprowadzene Od ukazana
Bardziej szczegółowoKwantowa natura promieniowania elektromagnetycznego
Efekt Comptona. Kwantowa natura promenowana elektromagnetycznego Zadane 1. Foton jest rozpraszany na swobodnym elektrone. Wyznaczyć zmanę długośc fal fotonu w wynku rozproszena. Poneważ układ foton swobodny
Bardziej szczegółowo11/22/2014. Jeśli stała c jest równa zero to takie gry nazywamy grami o sumie zerowej.
/22/24 Dwuosobowe gry o sume zero DO NAUCZENIA I ZAPAMIĘTANIA: Defnca zaps ger o sume zero, adaptaca ogólnych defnc. Punkt sodłowy Twerdzena o zwązkach punktu sodłowego z koncepcam rozwązań PRZYPOMNIENIE:
Bardziej szczegółowoBADANIA CHARAKTERYSTYK HYDRAULICZNYCH KSZTAŁTEK WENTYLACYJNYCH
INSTYTUT KLIMATYZACJI I OGRZEWNICTWA ĆWICZENIA LABORATORYJNE Z WENTYLACJI I KLIMATYZACJI: BADANIA CHARAKTERYSTYK HYDRAULICZNYCH KSZTAŁTEK WENTYLACYJNYCH 1. WSTĘP Stanowsko laboratoryjne pośwęcone badanu
Bardziej szczegółowon liczba zmiennych decyzyjnych c współczynniki funkcji celu a współczynniki przy zmienych decyzyjnych w warunkach
Problem decyzyny cel różne sposoby dzałana (decyze) warunk ogranczaące (determnuą zbór decyz dopuszczalnych) kryterum wyboru: umożlwa porównane efektywnośc różnych decyz dopuszczalnych z punktu wdzena
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. dr Adam Sojda
BADANIA OPERACYJNE Podejmowane decyzj w warunkach nepewnośc dr Adam Sojda Teora podejmowana decyzj gry z naturą Wynk dzałana zależy ne tylko od tego, jaką podejmujemy decyzję, ale równeż od tego, jak wystąp
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA ALGORYTMÓW WYZNACZANIA RUCHU CIECZY LEPKIEJ METODĄ SZTUCZNEJ ŚCIŚLIWOŚCI
MODELOWANIE INśYNIERSKIE ISSN 1896-771X 36, s. 187-192, Glwce 2008 OPTYMALIZACJA ALGORYTMÓW WYZNACZANIA RUCHU CIECZY LEPKIEJ METODĄ SZTUCZNEJ ŚCIŚLIWOŚCI ZBIGNIEW KOSMA, BOGDAN NOGA Instytut Mechank Stosowane,
Bardziej szczegółowoWYZNACZENIE DYSYPACJI KINETYCZNEJ ENERGII TURBULENCJI PRZY UŻYCIU PRAWA -5/3. E c = E k + E p + E w
Metrologa... - "W y z n ac z an e d y s y p ac z p raw a -5 / " WYZNACZENIE DYSYPACJI KINETYCZNEJ ENERGII TRBLENCJI PRZY ŻYCI PRAWA -5/. WPROWADZENIE Energa przepływaącego płyn E c dem E p dem E c E k
Bardziej szczegółowoMETODA STRZAŁÓW W ZASTOSOWANIU DO ZAGADNIENIA BRZEGOWEGO Z NADMIAROWĄ LICZBĄ WARUNKÓW BRZEGOWYCH
RAFAŁ PALEJ, RENATA FILIPOWSKA METODA STRZAŁÓW W ZASTOSOWANIU DO ZAGADNIENIA BRZEGOWEGO Z NADMIAROWĄ LICZBĄ WARUNKÓW BRZEGOWYCH APPLICATION OF THE SHOOTING METHOD TO A BOUNDARY VALUE PROBLEM WITH AN EXCESSIVE
Bardziej szczegółowoMIĘDZYNARODOWE UNORMOWANIA WYRAśANIA ANIA NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
MIĘDZYNARODOWE UNORMOWANIA WYRAśANIA ANIA NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH Adam Mchczyńsk W roku 995 grupa nstytucj mędzynarodowych: ISO Internatonal Organzaton for Standardzaton (Mędzynarodowa Organzacja Normalzacyjna),
Bardziej szczegółowo± Δ. Podstawowe pojęcia procesu pomiarowego. x rzeczywiste. Określenie jakości poznania rzeczywistości
Podstawowe pojęca procesu pomarowego kreślene jakośc poznana rzeczywstośc Δ zmerzone rzeczywste 17 9 Zalety stosowana elektrycznych przyrządów 1/ 1. możlwość budowy czujnków zamenających werne każdą welkość
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy kwadratowej
Dagonalzacja macerzy kwadratowej Dana jest macerz A nân. Jej wartośc własne wektory własne spełnają równane Ax x dla,..., n Każde z równań własnych osobno można zapsać w postac: a a an x x a a an x x an
Bardziej szczegółowoLaboratorium ochrony danych
Laboratorum ochrony danych Ćwczene nr Temat ćwczena: Cała skończone rozszerzone Cel dydaktyczny: Opanowane programowej metody konstruowana cał skończonych rozszerzonych GF(pm), poznane ch własnośc oraz
Bardziej szczegółowoMetody analizy obwodów
Metody analzy obwodów Metoda praw Krchhoffa, która jest podstawą dla pozostałych metod Metoda transfguracj, oparte na przekształcenach analzowanego obwodu na obwód równoważny Metoda superpozycj Metoda
Bardziej szczegółowoSYMULACJA KOMPUTEROWA NAPRĘŻEŃ DYNAMICZNYCH WE WRĘGACH MASOWCA NA FALI NIEREGULARNEJ
Jan JANKOWSKI *), Maran BOGDANIUK *),**) SYMULACJA KOMPUTEROWA NAPRĘŻEŃ DYNAMICZNYCH WE WRĘGACH MASOWCA NA FALI NIEREGULARNEJ W referace przedstawono równana ruchu statku w warunkach falowana morza oraz
Bardziej szczegółowoWykład 5 12/15/2013. Problemy algebry liniowej w Matlabie
Wykład 5. Problemy algebry lnowej w Matlabe. Analza sygnałów a) w dzedzne częstotlwośc b) w dzedzne czasu c) częstotlwoścowo-czasowa d) nagrywane analza dźwęku e) Sgnal Processng Toolbox Problemy algebry
Bardziej szczegółowoCAŁKOWANIE NUMERYCZNE całki pojedyncze
CAŁKOWANIE NUMERYCZNE całk pojedyncze Kwadratury nterpolacyjne Kwadratury nterpolacyjne Rozpatrujemy funkcję f() cągłą ogranczoną w przedzale domknętym [a, b]. Przedzał [a, b] dzelmy na skończoną lczbę
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM PODSTAW ELEKTROTECHNIKI Badanie obwodów prądu sinusoidalnie zmiennego
Ćwczene 1 Wydzał Geonżyner, Górnctwa Geolog ABORATORUM PODSTAW EEKTROTECHNK Badane obwodów prądu snusodalne zmennego Opracował: Grzegorz Wśnewsk Zagadnena do przygotowana Ops elementów RC zaslanych prądem
Bardziej szczegółowoZwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH
METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH (2) (3) (10) (11) Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 1 Rozwiązania równań (10-11) mają ogólną postać: (12) (13) Modelowanie i symulacje obiektów w
Bardziej szczegółowo7. Wykład VII: Warunki Kuhna-Tuckera
Wocech Grega, Metody Optymalzac 7 Wykład VII: Warunk Kuhna-Tuckera 7 Warunk koneczne stnena ekstremum Rozważane est zadane z ogranczenam nerównoścowym w postac: mn F( x ) x X X o F( x ), o { R x : h n
Bardziej szczegółowo1. Wstęp. Grupa: Elektrotechnika, wersja z dn Studia stacjonarne, II stopień, sem.1 Laboratorium Techniki Świetlnej
ul.potrowo 3a http://lumen.ee.put.poznan.pl Grupa: Elektrotechnka, wersja z dn..03.013 Studa stacjonarne, stopeń, sem.1 Laboratorum Technk Śwetlnej Ćwczene nr 6 Temat: Porównane parametrów fotometrycznych
Bardziej szczegółowof 4,3 m l 20 m 4 f l x x 2 y x l 2 4 4,3 20 x x ,86 x 0,043 x 2 y x 4 f l 2 x l 2 4 4, x dy dx tg y x ,86 0,086 x
f l Ry. 3. Rozpatrywany łuk parabolczny 4 f l x x 2 y x l 2 f m l 2 m y x 4 2 x x 2 2 2,86 x,43 x 2 tg y x dy 4 f l 2 x l 2 4 2 2 x 2 2,86,86 x Mechanka Budowl Projekty Zgodne ze poobem rozwązywana układów
Bardziej szczegółowoBADANIE DRGAŃ WŁASNYCH NAPĘDU ROBOTA KUCHENNEGO Z SILNIKIEM SRM
Zeszyty Problemowe Maszyny Elektryczne Nr 88/2010 13 Potr Bogusz Marusz Korkosz Jan Prokop POLITECHNIKA RZESZOWSKA Wydzał Elektrotechnk Informatyk BADANIE DRGAŃ WŁASNYCH NAPĘDU ROBOTA KUCHENNEGO Z SILNIKIEM
Bardziej szczegółowo1. Wstęp. Grupa: Elektrotechnika, wersja z dn Studia stacjonarne, II stopień, sem.1 Laboratorium Techniki Świetlnej
Grupa: Elektrotechnka, wersja z dn. 0.03.011 Studa stacjonarne, stopeń, sem.1 Laboratorum Technk Śwetlnej Ćwczene nr 6 Temat: Porównane parametrów fotometrycznych Ŝarówek dod śwecących o ukerunkowanym
Bardziej szczegółowoOKREŚLENIE OPTYMALNEJ ODLEGŁOŚCI KONTURU ZE ŹRÓDŁAMI OD BRZEGU OBSZARU Z ZASTOSOWANIEM METODY ROZWIĄZAŃ PODSTAWOWYCH
Z E S Z Y T Y N A U K O W E P O L I T E C H N I K I P O Z N AŃSKIEJ Nr Budowa Maszyn Zarządzane Produkcją 005 PIOTR GORZELAŃCZYK, JAN ADAM KOŁODZIEJ OKREŚLENIE OPTYMALNEJ ODLEGŁOŚCI KONTURU ZE ŹRÓDŁAMI
Bardziej szczegółowoV. WPROWADZENIE DO PRZESTRZENI FUNKCYJNYCH
Krs na Stdach Doktoranckch Poltechnk Wrocławskej wersja: lty 007 34 V. WPROWADZENIE DO PRZESTRZENI FUNKCYJNYCH. Zbór np. lczb rzeczywstych a, b elementy zbor A a A b A, podzbór B zbor A : B A, sma zborów
Bardziej szczegółowoRÓWNOWAGA STACKELBERGA W GRACH SEKWENCYJNYCH
Stansław KOWALIK e-mal: skowalk@wsb.edu.pl Wyższa Szkoła Bznesu Dąbrowa Górncza RÓWNOWAGA STACKELBERGA W GRACH SEKWENCYJNYCH Streszczene Praca dotyczy nekooperacynych sekwencynych ger dwuosobowych o sume
Bardziej szczegółowoOkreślanie mocy cylindra C w zaleŝności od ostrości wzroku V 0 Ostrość wzroku V 0 7/5 6/5 5/5 4/5 3/5 2/5 Moc cylindra C 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5 > 2
T A R C Z A Z E G A R O W A ASTYGMATYZM 1.Pojęca ogólne a) astygmatyzm prosty (najbardzej zgodny z pozomem) - najbardzej płask połudnk tzn. o najmnejszej mocy jest pozomy b) astygmatyzm odwrotny (najbardzej
Bardziej szczegółowoKatedra Chemii Fizycznej Uniwersytetu Łódzkiego
Katedra Chem Fzycznej Unwersytetu Łódzkego Wyznaczane współczynnka podzału Nernsta w układze: woda-kwas octowychloroform metodą potencjometryczną ćwczene nr 9 Opracowała dr hab. Małgorzata Jóźwak Zakres
Bardziej szczegółowoAnaliza rodzajów skutków i krytyczności uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 1629A
Analza rodzajów skutków krytycznośc uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 629A Celem analzy krytycznośc jest szeregowane potencjalnych rodzajów uszkodzeń zdentyfkowanych zgodne z zasadam FMEA na podstawe
Bardziej szczegółowo4. Zjawisko przepływu ciepła
. Zawso przepływu cepła P.Plucńs. Zawso przepływu cepła wymana cepła przez promenowane wymana cepła przez unoszene wymana cepła przez przewodzene + generowane cepła znane wartośc temperatury zolowany brzeg
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne w logistyce i zarządzaniu produkcją
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Nowym Sączu Badana operacyne w logstyce zarządzanu produkcą cz. I Andrze Woźnak Nowy Sącz Komtet Redakcyny doc. dr Zdzsława Zacłona przewodncząca, prof. dr hab. nż. Jarosław
Bardziej szczegółowoKONSPEKT WYKŁADU. nt. METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH TEORIA I ZASTOSOWANIA. Piotr Konderla
Studa doktorancke Wydzał Budownctwa Lądowego Wodnego Poltechnk Wrocławskej KONSPEKT WYKŁADU nt. METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH TEORIA I ZASTOSOWANIA Potr Konderla maj 2007 Kurs na Studach Doktoranckch Poltechnk
Bardziej szczegółowoKlasyfkator lnowy Wstęp Klasyfkator lnowy jest najprostszym możlwym klasyfkatorem. Zakłada on lnową separację lnowy podzał dwóch klas mędzy sobą. Przedstawa to ponższy rysunek: 5 4 3 1 0-1 - -3-4 -5-5
Bardziej szczegółowoWykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 8. CAŁKI NIEOZNACZONE. ( x) 2 cos2x
Wykład z Podsaw maemayk dla sudenów Inżyner Środowska Wykład 8. CŁKI NIEOZNCZONE Defnca (funkca perwona) Nech F es funkcą perwoną funkc f na przedzale I, eżel F '( ) f ( ) dla każdego I. Udowodnć, że funkce
Bardziej szczegółowomgr inż. Wojciech Artichowicz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁACH OTWARTYCH
Poltechnka Gdańska Wydzał Inżyner Lądowej Środowska Katedra ydrotechnk mgr nż. Wojcech Artchowcz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁAC OTWARTYC PRACA DOKTORSKA Promotor: prof. dr
Bardziej szczegółowoI. Elementy analizy matematycznej
WSTAWKA MATEMATYCZNA I. Elementy analzy matematycznej Pochodna funkcj f(x) Pochodna funkcj podaje nam prędkość zman funkcj: df f (x + x) f (x) f '(x) = = lm x 0 (1) dx x Pochodna funkcj podaje nam zarazem
Bardziej szczegółowoFunkcje i charakterystyki zmiennych losowych
Funkcje charakterystyk zmennych losowych Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Intelgencj Metod Matematycznych Wydzał Informatyk Poltechnk Szczecńskej 5. Funkcje zmennych losowych
Bardziej szczegółowoZa: Stanisław Latoś, Niwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwiczenia z geodezji II [red.] J. Beluch
Za: Stansław Latoś, Nwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwczena z geodezj II [red.] J. eluch 6.1. Ogólne zasady nwelacj trygonometrycznej. Wprowadzene Nwelacja trygonometryczna, zwana równeż trygonometrycznym
Bardziej szczegółowoKatedra Chemii Fizycznej Uniwersytetu Łódzkiego
Katedra Chem Fzycznej Unwersytetu Łódzkego Wyznaczane współczynnka podzału Nernsta w układze: woda aceton chloroform metodą refraktometryczną opracowała dr hab. Małgorzata Jóźwak ćwczene nr 0 Zakres zagadneń
Bardziej szczegółowoAUTOMATYKA I STEROWANIE W CHŁODNICTWIE, KLIMATYZACJI I OGRZEWNICTWIE L3 STEROWANIE INWERTEROWYM URZĄDZENIEM CHŁODNICZYM W TRYBIE PD ORAZ PID
ĆWICZENIE LABORAORYJNE AUOMAYKA I SEROWANIE W CHŁODNICWIE, KLIMAYZACJI I OGRZEWNICWIE L3 SEROWANIE INWEREROWYM URZĄDZENIEM CHŁODNICZYM W RYBIE PD ORAZ PID Wersja: 03-09-30 -- 3.. Cel ćwczena Celem ćwczena
Bardziej szczegółowoWPŁYW PARAMETRÓW DYSKRETYZACJI NA NIEPEWNOŚĆ WYNIKÓW POMIARU OBIEKTÓW OBRAZU CYFROWEGO
Walenty OWIECZKO WPŁYW PARAMETRÓW DYSKRETYZACJI A IEPEWOŚĆ WYIKÓW POMIARU OBIEKTÓW OBRAZU CYFROWEGO STRESZCZEIE W artykule przedstaono ynk analzy nepenośc pomaru ybranych cech obektu obrazu cyfroego. Wyznaczono
Bardziej szczegółowo5. CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE
5. CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Oprócz transmtancj operatorowej, do opsu członów układów automatyk stosuje sę tzw. transmtancję wdmową. Transmtancję wdmową G(j wyznaczyć moŝna dzęk podstawenu do wzoru
Bardziej szczegółowoKOMPUTEROWE OBLICZANIE STRAT I ROZPŁYWÓW MOCY W SIECIACH ELEKTROENERGETYCZNYCH
Zeszyty Naukowe Wydzału Elektrotechnk Automatyk Poltechnk Gdańske Nr XVI Semnarum ZASTOSOWANIE KOMPUTERÓW W NAUCE I TECHNICE 006 Oddzał Gdańsk PTETS Referat nr 6 KOMPUTEROWE OBLICZANIE STRAT I ROZPŁYWÓW
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA RÓŻNICOWEGO
I PRACOWNIA FIZYCZNA, INSYU FIZYKI UMK, ORUŃ Instrukca do ćwczena nr WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA RÓŻNICOWEGO 1. Cel ćwczena Celem ćwczena est poznane ruchu harmonczneo eo praw,
Bardziej szczegółowoSTATECZNOŚĆ SKARP. α - kąt nachylenia skarpy [ o ], φ - kąt tarcia wewnętrznego gruntu [ o ],
STATECZNOŚĆ SKARP W przypadku obektu wykonanego z gruntów nespostych zaprojektowane bezpecznego nachylena skarp sprowadza sę do przekształcena wzoru na współczynnk statecznośc do postac: tgφ tgα = n gdze:
Bardziej szczegółowoKURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1
KURS STATYSTYKA Lekcja 6 Regresja lne regresj ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 Funkcja regresj I rodzaju cechy Y zależnej
Bardziej szczegółowoSztuczne sieci neuronowe
Sztuczne sec neuronowe Jerzy Stefanowsk Plan wykładu 1. Wprowadzene 2. Model sztucznego neuronu. 3. Topologe sec neuronowych 4. Reguły uczena sec neuronowych. 5. Klasyfkaca sec neuronowych. 6. Sec warstwowe
Bardziej szczegółowo(M2) Dynamika 1. ŚRODEK MASY. T. Środek ciężkości i środek masy
(MD) MECHANIKA - Dynamka T. Środek cężkośc środek masy (M) Dynamka T: Środek cężkośc środek masy robert.szczotka(at)gmal.com Fzyka astronoma, Lceum 01/014 1 (MD) MECHANIKA - Dynamka T. Środek cężkośc środek
Bardziej szczegółowoEgzamin poprawkowy z Analizy II 11 września 2013
Egzamn poprawkowy z nalzy II 11 wrześna 13 Uwag organzacyjne: każde zadane rozwązujemy na osobnej kartce Każde zadane należy podpsać menem nazwskem własnym oraz prowadzącego ćwczena Na wszelk wypadek prosmy
Bardziej szczegółowoSZTUCZNA INTELIGENCJA
SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 15. ALGORYTMY GENETYCZNE Częstochowa 014 Dr hab. nż. Grzegorz Dudek Wydzał Elektryczny Poltechnka Częstochowska TERMINOLOGIA allele wartośc, waranty genów, chromosom - (naczej
Bardziej szczegółowoEUROELEKTRA. Ogólnopolska Olimpiada Wiedzy Elektrycznej i Elektronicznej. Rok szkolny 2013/2014
EUROELEKTRA Ogólnopolska Olmpada Wedzy Elektrycznej Elektroncznej Rok szkolny 232 Zadana z elektronk na zawody III stopna (grupa elektronczna) Zadane. Oblczyć wzmocnene napęcowe, rezystancję wejścową rezystancję
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE KLASYCZNEGO ALGORYTMU GENETYCZNEGO DO ROZWIĄZANIA ZBILANSOWANEGO ZAGADNIENIA TRANSPORTOWEGO
Studa Materały. Mscellanea Oeconomcae Rok 6, Nr 2/22 Wydzał Zarządzana Admnstrac Unwersytetu Jana Kochanowskego w Kelcach Z a r z ą d z a n e f n a n s e Rafał Prońko ZASTOSOWANIE KLASYCZNEGO ALGORYTMU
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Bezouta i liczby zespolone Javier de Lucas. Rozwi azanie 2. Z twierdzenia dzielenia wielomianów, mamy, że
Twerdzene Bezouta lczby zespolone Javer de Lucas Ćwczene 1 Ustal dla których a, b R można podzelć f 1 X) = X 4 3X 2 + ax b przez f 2 X) = X 2 3X+2 Oblcz a b Z 5 jeżel zak ladamy, że f 1 f 2 s a welomanam
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE OBROTOWO-SYMETRYCZNEJ BRYŁY FOTOMETRYCZNEJ
Grupa: Elektrotechnka, sem 3., wersja z dn. 14.1.015 Podstawy Technk Śwetlnej Laboratorum Ćwczene nr 5 Temat: WYZNACZANE OBROTOWO-SYMETRYCZNEJ BRYŁY FOTOMETRYCZNEJ Opracowane wykonano na podstawe następującej
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM TECHNIKI CIEPLNEJ INSTYTUTU TECHNIKI CIEPLNEJ WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA I ENERGETYKI POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ
INSTYTUTU TECHNIKI CIEPLNEJ WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA I ENERGETYKI POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ INSTRUKCJA LABORATORYJNA Temat ćwczena: BADANIE POPRAWNOŚCI OPISU STANU TERMICZNEGO POWIETRZA PRZEZ RÓWNANIE
Bardziej szczegółowoSPRAWDZANIE PRAWA MALUSA
INSTYTUT ELEKTRONIKI I SYSTEMÓW STEROWANIA WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA LABORATORIUM FIZYKI ĆWICZENIE NR O- SPRAWDZANIE PRAWA MALUSA I. Zagadnena do przestudowana 1. Fala elektromagnetyczna,
Bardziej szczegółowoKONSPEKT WYKŁADU. nt. MECHANIKA OŚRODKÓW CIĄGŁYCH. Piotr Konderla
Studa doktorancke Wydzał Budownctwa Lądowego Wodnego Poltechnk Wrocławskej KONSPEKT WYKŁADU nt. MECHANIKA OŚRODKÓW CIĄGŁYCH Potr Konderla paźdzernk 2014 2 SPIS TREŚCI Oznaczena stosowane w konspekce...
Bardziej szczegółowoW praktyce często zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako. wyniki pomiarów na tym samym elemencie populacji np.
Wykład 7 Uwaga: W praktyce często zdarza sę, że wynk obu prób możemy traktować jako wynk pomarów na tym samym elemence populacj np. wynk x przed wynk y po operacj dla tego samego osobnka. Należy wówczas
Bardziej szczegółowoZESZYTY NAUKOWE NR x(xx) AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE. Metody wymiarowania obszaru manewrowego statku oparte na badaniach rzeczywistych
ISSN 009-069 ZESZYTY NUKOWE NR () KDEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE IV MIĘDZYNRODOW KONFERENCJ NUKOWO-TECHNICZN E X P L O - S H I P 0 0 6 Paweł Zalewsk, Jakub Montewka Metody wymarowana obszaru manewrowego
Bardziej szczegółowoNumeryczne modelowanie ustalonego pola temperatury
Zakład Aerodynamiki i ermodynamik Instytut echniki Lotnicze, Wydział Mechatroniki Woskowa Akademia echniczna Numeryczne modelowanie ustalonego pola temperatury Piotr Koniorczyk Mateusz Zieliński Warszawa
Bardziej szczegółowoPracownia Automatyki i Elektrotechniki Katedry Tworzyw Drzewnych Ćwiczenie 3. Analiza obwodów RLC przy wymuszeniach sinusoidalnych w stanie ustalonym
ĆWCZENE 3 Analza obwodów C przy wymszenach snsodalnych w stane stalonym 1. CE ĆWCZENA Celem ćwczena jest praktyczno-analtyczna ocena obwodów elektrycznych przy wymszenach snsodalne zmennych.. PODSAWY EOEYCZNE
Bardziej szczegółowoPrąd elektryczny U R I =
Prąd elektryczny porządkowany ruch ładunków elektrycznych (nośnków prądu). Do scharakteryzowana welkośc prądu służy natężene prądu określające welkość ładunku przepływającego przez poprzeczny przekrój
Bardziej szczegółowoDIAGNOSTYKA WYMIENNIKÓW CIEPŁA Z UWIARYGODNIENIEM WYNIKÓW POMIARÓW EKPLOATACYJNYCH
RYNEK CIEŁA 03 DIANOSYKA YMIENNIKÓ CIEŁA Z UIARYODNIENIEM YNIKÓ OMIARÓ EKLOAACYJNYCH Autorzy: rof. dr hab. nż. Henryk Rusnowsk Dr nż. Adam Mlejsk Mgr nż. Marcn ls Nałęczów, 6-8 paźdzernka 03 SĘ Elementam
Bardziej szczegółowoWspółczynnik przenikania ciepła U v. 4.00
Współczynnk przenkana cepła U v. 4.00 1 WYMAGANIA Maksymalne wartośc współczynnków przenkana cepła U dla ścan, stropów, stropodachów, oken drzw balkonowych podano w załącznku do Rozporządzena Mnstra Infrastruktury
Bardziej szczegółowo