Rozdział 2: Drgania układu liniowego o jednym stopniu swobody. Część 3 Drgania przy wymuszeniu nieharmonicznym i zagadnienia uzupełniające

Transkrypt

1 WYKŁAD 4 Rozdzał : Drgana układu lnowego o jednym stopnu swobody Część 3 Drgana przy wymuszenu neharmoncznym zagadnena uzupełnające.11. Zasada superpozycj drgana przy wymuszenu polharmoncznym W układach lnowych, ne tylko drgających, ale wszystkch, w których zależność mędzy przyczyną a skutkem ma charakter równana lnowego, obowązuje bardzo użyteczna zasada, zwana zasadą superpozycj. Jeśl układ jest pod wpływem sumy pewnych oddzaływań, to skutek sumaryczny jest sumą skutków wszystkch tych oddzaływań traktowanych osobno. Przykładów zastosowana zasady superpozycj jest wele w mechance wytrzymałośc materałów, poneważ bardzo wele obowązujących tam relacj przyczynowo-skutkowych ma charakter lnowy. Na przykład ugęce sprężyny lnowej będze dwa razy wększe, jeśl słę zwększymy dwukrotne, a naprężene skręcające w wale zmen sę tak, jak zmen sę moment obcążający ten wał. W tym podrozdzale skupmy sę na zastosowanu zasady superpozycj w analze drgań oscylatora o jednym stopnu swobody, którego równane jest lnowe, a wymuszene jest sumą pewnej lczby oddzaływań składowych: N cx kx F (. (.94) Zgodne z zasadą superpozycj, rozwązane równana (.94) jest sumą: mx x 1 ( x (, (.95) N 1 przy czym x ( jest rozwązanem równana: Przypadek wymuszena polharmoncznego m x cx kx F (, ( 1,..., N). (.96) Załóżmy, że sła F ( jest sumą N sł harmoncznych o różnych ampltudach, częstoścach fazach początkowych: N F( F sn( t, (.97) 1 ) 55

2 gdze F,, są lczbam zadanym. Skupmy sę tylko na drganach wymuszonych, pomjając towarzyszące m drgana swobodne. Rozwązane ustalone każdego z równań (.96) ma postać: gdze Uwag A x A sn( ), (.98) ( F / m t, 4h h tg. (.99) 1. Drgana sumaryczne (.98) ne muszą być okresowe, poneważ częstośc newspółmerne. mogą być. Poszczególne harmonk wymuszena w różny sposób rezonują z układem drgającym. Rezonans tej harmonk ma mejsce wówczas gdy: r h układ drgający dzała jak fltr wzmacnając pewną harmonkę, a osłabając nne. Przypadek wymuszena okresowego neharmoncznego. W ten sposób Z analzy harmoncznej w ramach wadomośc wstępnych wadomo, że wymuszene okresowe neharmonczne o okrese T można przedstawć w postac neskończonej sumy harmonk o częstoścach będących welokrotnoścą częstośc podstawowej / T : gdze welkośc F( F, an, bn, F n an cosn ) n1 n1 n t bn sn nt F n sn( nt n, (.1) F, oblczamy na podstawe wzorów podanych w Wykładze 1. Drgana wymuszone słą okresową o nezerowej średnej F można węc przedstawć w następującej postac: gdze A F / m x( x An sn( n t n n) n1 n n, n ( n ) 4h ( n ) ( n ), (.11) hn tg, F k. (.1) x.1. Drgana oscylatora lnowego przy wymuszenu dowolnym Mmo, że wele praktycznych problemów drganowych można rozwązać przy pomocy wyżej zaprezentowanych metod zwązanych z wymuszenem harmoncznym, celowe 56

3 jest równeż przedstawene metody analzy drgań oscylatora lnowego przy wymuszenu dowolnym, nawet neoscylacyjnym. Prowadz nas to na grunt matematyczny transformacj Laplace a [4, 6], która jest podstawą analzy układów automatyk. W teor drgań pozwol nam to pokazać analogę modelu matematycznego układu drgającego układu automatyk nercyjnego II rzędu. Rozważmy oscylator lnowy o jednym stopnu swobody z wymuszenem słowym, będącym dowolną funkcją czasu. Ze względu na zastosowane metody transformacj Laplace a założymy, że poszukujemy rozwązana równana ruchu: m x cx kx F(, (.13) spełnającego zerowe warunku początkowe: x( ), x (). Przypomnjmy, że transformacja Laplace a jest przekształcenem całkowym funkcj czasu f ( w funkcję f (s), zwaną transformatą Laplace a funkcj f ( [4, 6]: f ( st f ( s) L f ( e dt. (.14) Istneje wzajemne jednoznaczna zależność mędzy funkcjam f ( f ( s), co oznacza, że mając transformatę f (s), można jednoznaczne określć orygnał, czyl funkcję f (. Kluczową rolę w zastosowanu do rozwązywana równań różnczkowych ma następująca właścwość transformacj Laplace a: df L dt sf (s), jeśl tylko f ( ), (.15) jak równeż zasada superpozycj, która w odnesenu do transformacj Laplace a ma postać: L f f ( Lf ( Lf ( ) 1( 1 t. (.16) Dokonamy transformacj Laplace a równana ruchu (.13), wykorzystując właścwość (.15) oraz zerowe warunk początkowe: ( ms cs k) x( s) F( s). (.17) Transformatę Laplace a x (s) poszukwanego rozwązana x ( można przedstawć w postac loczynu dwu funkcj w dzedzne transformat: 1 x( s) F ( s) G ( s) F ( s), (.18) ms cs k gdze G (s) jest funkcją w dzedzne transformat, zależną tylko od parametrów oscylatora nazywaną transmtancją układu drgającego (termn transmtancja używany jest w układach automatyk). Rozwązane w dzedzne czasu otrzymujemy jako transformatę odwrotną 57

4 loczynu funkcj G( s) F( s). W teor przekształcena Laplace a [4,6] taka transformata odwrotna jest następującą całką, znaną jako całka Duchamela: gdze F( 1 jest zadanym wymuszenem, a G ( s) F ( s) G( t t x( L ) F( ) d, (.19) G( oznacza funkcję czasu będącą transformatą odwrotną transmtancj układu: 1 ( L G ( s) L. (.11) ms cs k 1 1 G Funkcję G (s) można odwrócć korzystając z właścwośc transformacj Laplace a lub z tablc tego przekształcena. Pokażemy jednak nną metodę, opartą na nterpretacj fzycznej funkcj G(. Z teor przekształcena Laplace a wadomo, że transformatą funkcj -Draca (przypomnjmy, że jest to model matematyczny sły mpulsowej - zderzenowej) jest lczba stała równa 1 [4]: ( 1 L. (.111) Jeśl zatem na oscylator zadzała sła F( (, czyl sła zderzenowa o mpulse równym 1 (jedynka jest tu manowana ma jednostkę [Ns]), to rozwązane (drgana oscylatora) ma postać: x( L 1 1 G ( s) F( s) L G ( s) 1 G(. (.11) Funkcja G ( nazywa sę mpulsową funkcją przejśca układu drgającego. Ma ona nterpretację fzyczną, jako odpowedź układu na mpuls jednostkowy, czyl na uderzene o mpulse równym 1[Ns]. Otwera to możlwość wyznaczena funkcj G( jako drgań swobodnych oscylatora w wynku zadana warunków początkowych, jake wywołuje uderzene oscylatora mpulsem jednostkowym. Z prawa zmennośc pędu oscylatora (mechanka ogólna [1]) wemy, że neskończene krótkotrwale uderzene powoduje nadane cału prędkośc początkowej przy nezmenonym jego położenu. Warunk początkowe dla drgań swobodnych po uderzenu są węc następujące: x( ) x, x ( v. (.113) ) Prawo zmennośc pędu pozwala wyznaczyć prędkość początkową: J 1 m( v ) J, (.114) m m gdze jedynka w lcznku jest lczbą manowaną o jednostce [Ns]. Rozwązane ogólne drgań swobodnych oscylatora przy tłumenu podkrytycznym ma postać: 58

5 ht ( 1 t x e ( C cost C sn ). (.115) v 1 Wykorzystane warunków początkowych (.113) prowadz do stałych C1, C. m Zatem mpulsowa funkcja przejśca oscylatora lnowego o słabym tłumenu ma następującą postać: 1 ht G( x( e sn t, (.116) m gdze dla przypomnena: h, k / m, h c/ m. Rozwązane w forme całk Duchamela (.19) równana oscylatora lnowego słabo tłumonego z wymuszenem dowolnym przyjmuje teraz postać: t 1 h( t ) x( G( e sn ( t ) F( ) d. (.117) m Uwag 1. Transformacja Laplace a była nam potrzebna do zbudowana rozwązana w postac całk Duchamela (.117) oraz określena mpulsowej funkcj przejśca. Samo korzystane z tej całk ne wymaga znajomośc przekształcena Laplace a.. Jest oczywste, że rozwązane określone wzorem (.117) spełna zerowy warunek początkowy x ( ), co oznacza, że rozwązane to mus zawerać drgana swobodne obok drgań wymuszonych. 3. Rozwązane w postac całk Duchamela obowązuje dla wymuszena dowolnego, a węc też dla harmoncznego. 4. Oblczene całk (.117) może być czasem trudne, ale pomocne są wtedy pakety oprogramowana, umożlwające symbolczne wyznaczene całk na lczbach ogólnych lub jej oblczene numeryczne dla konkretnych danych lczbowych. W tym ostatnm przypadku numeryczne całkowane równana różnczkowego ruchu jest zastąpone numerycznym oblczanem całk oznaczonej..13. Zastosowane lczb zespolonych do badana drgań z wymuszenem harmoncznym Pokażemy teraz, uzupełnając rozważana Wykładu 3, alternatywną metodę wyznaczana ampltudy A drgań wymuszonych oraz przesunęca fazowego mędzy drganam wymuszenem, przy zastosowanu lczb funkcj zespolonych [, 4]. Metoda ta będze mała duże znaczene w zagadnenu drgań układów lnowych o welu stopnach swobody przy wymuszenach harmoncznych, w obecnośc tłumena. 59

6 Rozpatrzmy oscylator lnowy z słowym wymuszenem harmoncznym o równanu ruchu w postac: x hx x qcost. (.118) Postać kosnusową wymuszena zastosowalśmy tylko po to, aby przedstawała sobą część rzeczywstą funkcj zespolonej [4]: e t cost snt, (.119) gdze 1 jest jednostka urojoną. Razem z równanem (.118) rozpatrzmy równane: y hy y qsnt, (.1) zwane równanem stowarzyszonym z (.118). Mnożąc równane (.1) stronam przez jednostkę urojoną dodając z równanem wyjścowym (.118), otrzymujemy równane w zmennych zespolonych o postac: gdze z x y t z hz z qe, (.11). Poneważ skupamy sę na drganach wymuszonych ustalonych, ne rozpatrujemy warunków początkowych poszukujemy tylko rozwązana, które spełna równane nejednorodne. Rozwązane to ma postać taką samą jak wymuszene: t z( Be, (.1) gdze B jest pewna lczbą zespoloną, którą wyznaczymy podstawając rozwązane (.1) do równana (.11): Lczbę zespoloną B gdze po przekształcenach: Re Lczbę zespoloną B q ( ) h B q B. (.13) h możemy przekształcć do postac: q B Re h B Im B h B q, ImB q, (.14). (.15) ( ) 4h ( ) 4h można też przedstawć za pomocą jej modułu argumentu: arg B. (.16) B B e Poszukwane rozwązane x ( jest częścą rzeczywstą rozwązana zespolonego: x( Re t arg B t ( targ B) z( ReBe ReB e e ReB e B cos( t argb). (.17) 6

7 Oznaczając B A oraz argb, otrzymujemy rozwązane w postac: gdze: A B x ( Acos( t ), (.18) q Im B h Re B Im B, tg ReB ( ) 4h. (.19) Jak wdać, otrzymane wyrażena na ampltudę drgań wymuszonych ustalonych A tangens kata przesunęca fazowego pokrywają sę z odpowednm wyrażenam otrzymanym w nny sposób w Wykładze Przykłady uzupełnające Przykład.5 Amortyzacja drgań pojazdu poruszającego sę po nerównoścach drog Pojazd, którego modelem jest układ o jednym stopnu swobody, porusza sę po drodze, której profl jest snusodalny o ampltudze stała wynos s długośc fal (Rys..17). Prędkość pojazdu jest. Stałe elementu sprężysto-tłumącego zaweszena pojazdu ne są bezpośredno znane, ale wadomo, że jego ugęce statyczne pod cężarem pojazdu wynos x st, a tłumene jest równe połowe tłumena krytycznego. Przy jakej prędkośc jazdy wystąp maksymalna ampltuda drgań ustalonych nadwoza? Przy jakej prędkośc należałoby wyłączyć tłumene, aby zmnmalzować ampltudę drgań wymuszonych? Rys..17. Model pojazdu o jednym stopnu swobody z wymuszenem knematycznym Z ugęca statycznego zaweszena wyznaczamy sztywność sprężyny oraz częstość własną drgań swobodnych netłumonych: x st mg k k mg x st g. (a) x st 61

8 Profl drog opsany jest funkcją s s(z), gdze z jest współrzędną wzdłuż proflu drog. Jeśl przyjmemy t w punkce z, to z t oraz: s ( z) s sn sn sn, gdze z s t s t. (b) Na podstawe (.87) częstość rezonansowa odpowadająca jej prędkość pojazdu wynoszą: r r. (c) 4 Zwększane prędkośc jazdy powoduje zwększane częstośc wymuszena. Po przekroczenu wartośc, aby zmnmalzować ampltudę drgań wymuszonych pojazdu, należy wyłączyć tłumene. Częstośc odpowada prędkość. Przykład.6. Stanowsko do badań dośwadczalnych drgań wymuszonych Cało o mase m 1 z newyrównoważonym wrnkem o mase m może poruszać sę w kerunku ponowym w polu grawtacyjnym o przyspeszenu g, połączone z neruchomą ścaną za pomocą dwu jednakowych neważkch belek o długośc l przekroju prostokątnym, obustronne utwerdzonych (Rys.. 18.). Środek masy wrnka leży w odległośc e od jego os obrotu. Współczynnk tłumena drgań ne jest zadany bezpośredno, ale wadomo, że okres drgań swobodnych tego układu wynos wymuszonych spowodowanych przez obracający sę wrnk? T. Jaka jest maksymalna ampltuda drgań Rys..18. Układ drgający z Przykładu.6. Rozpatrywany układ drgający podlega wymuszenu bezwładnoścowemu. Przyjmując współrzędną z jako odchylene cała od jego położena równowag pod cężarem przy neruchomym wrnku, równane drgań możemy zapsać w postac (.73): m m z cz kz m e snt (a) 1 6

9 gdze jest prędkoścą kątową wrnka, a k,c współczynnkam, które należy wyznaczyć na podstawe danych przykładu. Belk są elementam sprężystym połączonym równolegle, zatem k k b, gdze k b jest sztywnoścą pojedyńczej belk z obcążenem zamocowanem pokazanym na Rys..19. k b F F (b) f y(l) Rys..19. Zamocowane obcążene belk z Przykładu.6. do oblczeń sztywnośc Belka jest jednokrotne statyczne newyznaczalna, dlatego moment utwerdzający M RB chwlowo potraktujemy jako znany, a wyznaczymy go narzucając zerowy kąt ugęca belk na prawym końcu. Reakcje w punkce utwerdzena wynoszą: R F, M Fl (b) RA M RB Aby wyznaczyć ugęce końca belk pod dzałanem próbnej sły F, wykorzystamy wadomośc z wytrzymałośc materałów. Równane różnczkowe ln ugęca ma postać [7]: EIy ( x) M ( x) (c) g gdze M g jest momentem gnącym, E modułem Younga materału belk, a I oznacza geometryczny moment bezwładnośc przekroju wzglądem os obojętnej naprężeń (pozomej, przechodzącej przez środek masy). Moment gnący jest następującą funkcją współrzędnej M ( x) Fx Fl (d) g M RB Całkując równane (c) z uwzględnenem (d), otrzymujemy funkcję kata ugęca: 1 EIy( x) Fx Flx M RBx C (e) gdze stała całkowana C, wynka z warunku brzegowego y ( ) wynos C. Neznany dotąd moment reakcyjny M wyznaczymy z warunku y ( l) : M RB Fl /. RB Całkowane kąta ugęca (e) prowadz do krzywej ugęca w postac: EIy( x) Fx Flx Flx D (f) 6 4 x : 63

10 gdze stała D wynka z warunku brzegowego y( ) wynos D. Ugęce końca belk określa wzór wynkający z równana (f): Sztywność k b pojedyńczej belk wynos zatem: 3 Fl f y( l) (g) 1EI Mając sztywność k b 1EI k b 3 l, możemy wyznaczyć częstość drgań swobodnych netłumonych układu: (h) k b () m m Wykorzystując teraz okres drgań swobodnych z tłumenem, znajdujemy współczynnk tłumena h, potrzebny do wyznaczena krzywej rezonansowej oraz ampltudy maksymalnej: 1 4 T h (j) h T Zgodne z wzoram (.77) (.78), prędkość kątowa, przy której występuje rezonans oraz maksymalna ampltuda wynoszą: m1, A max e h m1 m h h r. (k) Przykład.7. Sejsmczny rejestrator drgań Sejsmczny rejestrator drgań składa sę z cała sejsmcznego o mase m, zaweszonego na elemence sprężysto-tłumącym o sztywnośc k współczynnku tłumena c, w obudowe, która zawera jeszcze urządzene zapsujące drgana cała sejsmcznego względem obudowy. Rejestrator postawony na płaszczyźne pozomej wykonującej drgana ponowe drgana zwązane z trzęsenem zem), rejestruje ruch względny y ( cała sejsmcznego w obudowe (Rys..). Powstaje pytane, w jak sposób na podstawe przebegu drgań zarejestrowanych można wnoskować o rzeczywstych drganach podłoża. To problem charakterystyk dynamcznej czujnka sejsmcznego wpływu tłumena na tę charakterystykę. s( (np. 64

11 Rys... Model sejsmcznego rejestratora drgań jako układu o jednym stopnu swobody Badane drgana podłoża są wymuszenem knematycznym dla cała sejsmcznego w obudowe. Aby zbadać podstawowe właścwośc dynamczne rejestratora, założymy, że ruch podłoża jest harmonczny: s s snt (a) ( Jeśl x oznacza przemeszczene bezwzględne cała sejsmcznego odmerzane od jego położena równowag statycznej pod cężarem własnym w uneruchomonej obudowe, to jego równane ruchu podczas drgań podłoża jest następujące: mx k( x s) c( x s ). (b) Wprowadzając zmenną y x s, będącą przemeszczenem cała względem obudowy, rejestrowanym w pewen sposób w obudowe, otrzymujemy równane, które po uporządkowanu podzelenu stronam przez masę cała sejsmcznego ma postać: Borąc pod uwagę postać wymuszena (a), otrzymujemy: y hy y s. (c) y hy y s snt. (d) Zauważmy, że równane (d) jest podobne do równana ruchu oscylatora przy wymuszenu bezwładnoścowym. Ten sam charakter będą mały krzywe rezonansowe. Rozwązane ustalone można wyrazć w postac: y ( Asn( t ), (e) gdze: s A (f) ( ) 4h A Charakterystyką dynamczną sejsmcznego rejestratora drgań jest funkcja f ( ). Idealną s charakterystyką rejestratora byłaby lna pozoma A / s 1. Wszelke odstępstwa oznaczają 65

12 błąd rejestracj. Krzywe charakterystyk dynamcznej rejestratora sejsmcznego dla klku wartośc tłumena pokazano na Rys..1. Rys..1. Charakterystyk dynamczne sejsmcznego rejestratora drgań Na Rys..1 wdać, że stneje jedna częstość wymuszena, przy której rejestracja jest werna, to znaczy mamy A / s 1: 1 1 v ( h ) (1 A s ) (g) gdze h/ jest bezwymarowym współczynnkem tłumena. Warunkem stnena takej częstośc jest podkrytyczne tłumene spełnające nerówność: 1 (h) Rejestracja może być dowolne dokładna w tej strefe częstośc wymuszena, w której wszystke charakterystyk asymptotyczne dążą do 1. Zatem przy zwększającej sę częstośc wymuszena w strefe porezonansowej rejestracja staje sę coraz dokładnejsza, ngdy ne jest jednak zupełne dokładna. Zwróćmy uwagę na to, że można wskazać take tłumene w układze, dla którego odpowedna charakterystyka dynamczna najwcześnej wchodz do pewnej zadanej rurk błędu. Oznacza to że dla rejestratora pracującego w strefe porezonansowej stneje optymalne tłumene drgań, dla którego zakres częstośc wymuszena przy założonym dopuszczalnym błędze rejestracj jest najwększy. Pytana sprawdzające do Wykładu 4 1. Na czym polega zasada superpozycj jake jest jej zastosowane w teor drgań? 66

13 . Jaką postać mają drgana oscylatora lnowego przy wymuszenu polharmoncznym? 3. Jak bada sę drgana układu lnowego przy wymuszenu okresowym neharmoncznym? 4. Jake właścwośc mają drgana oscylatora lnowego wymuszone słą okresową? 5. Jaką metodą bada sę drgana układu lnowego z wymuszenem dowolnym? 6. Co to jest transmtancja układu lnowego o jednym stopnu swobody? 7. Co to jest mpulsowa funkcja przejśca oscylatora lnowego jak jest jej przebeg? 8. Charakterystyka dynamczna sejsmcznego rejestratora drgań. 9. Jaka jest rola tłumena w sejsmcznym rejestratorze drgań? 1. Czy możlwa jest dokładna rejestracja drgań za pomocą rejestratora sejsmcznego? 67