Budownictwo, II rok sem IV METODY OBLICZENIOWE. dr inŝ. Piotr Srokosz IP Temat 8

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Budownictwo, II rok sem IV METODY OBLICZENIOWE. dr inŝ. Piotr Srokosz IP Temat 8"

Kamila Murawska
4 lat temu
Przeglądów:

1 Bdownctwo, II rok sem IV MEODY OBLICZEIOWE dr nŝ. Potr Srokosz IP- emat 8

2 emat 8 Równana róŝnczkowe cząstkowe Metoda Elementów Skończonch (MES) Zagadnene brzegowe Sformłowane zagadnena fzcznego Równana równowag σ τ F τ σ F Zwązk geometrczne γ

3 8: Równana róŝnczkowe cząstkowe - MES Zwązk fzczne σ E Płask Stan Odkształcena (PSO): σ σ τ τ E ( )( E ( )( ) ) E ( ) ( ) ) ( ( ) ) γ

4 Uogólnon zwązek fzczn prawo konstttwne σ D σ σ σ σ σ τ γ

5 E D Płask Stan apręŝena (PS): ) )( ( E D Płask Stan Odkształcena (PSO): D macerz stczna

6 Zapszem równana równowag w postac macerzowe, przerzcaąc sł masowe na prawą stronę: τ σ σ F F [A] {σ} -{f} lb w skróce: F τ σ F σ τ F τ σ F σ τ

7 γ { } [A]{} Zapszem zwązk geometrczne: γ γ w postac macerzowe: lb w skróce:

8 Zapszem zwązk fzczne (PSO): w postac macerzowe: σ σ τ τ E ( )( ) E ( )( ) E γ ( ) ( ) ) ( ( ) ) σ σ τ E ( )( ) γ lb w skróce: {σ} [D]{ }

9 γ τ σ σ E Zapszem zwązk fzczne (PS): {σ} [D]{ } w skróce:

10 Wkonąc podstawena: {σ} [D]{ } [A] {σ} -{f} Formła przemeszczenowa MES [A] [D]{ } -{f} [A] [D][A]{} -{f} { } [A]{}

11 F F E Po rozwnęc macerz w postać awną (PS): [A] [D][A]{} -{f} Otrzmalśm kład dwóch równań róŝnczkowch cząstkowch, które rozwąŝem MESem. Zakładaąc, Ŝe znam wartośc F F, wlczm neznane.

12 b a b a b a b a 4 3 a b 3 4 Interpolem szkane (D) za pomocą fnkc kształt Równana róŝnczkowe rozwąze sę przez całkowane -> dzelm nasz obszar na element. W kaŝdm elemence zakładam pewen przebeg szkane wartośc. Element Q4

13 Interpolem szkane pomędz węzłam element [ ] w []{ } Element Q4 3 [ ] w []{ }

14 } []{ w Interpolaca na podstawe znanch wartośc w węzłach

15 a w w,,3,4, b } {f } dd{ E } []{ w F F E Po zastąpen cągłego wartoścam nterpolowanm z dskretnch w w węzłach: scałkowan: Skoro pracem tlko w węzłach, to sł teŝ rozpatrem tlko w węzłach

16 [k m ]{}{f} a,,3,4, b dd E Po zapsan w postac skrócone: gdze [k m ] est macerzą sztwnośc element Q4:

17 Znaąc wartośc, moŝem wznaczć odkształcena : podstawaąc: {} []{ w } { } [A]{} [B] [A] [] { } [A][]{ w } {} [B] { w }

18 [B] [A][] [B] macerz pochodnch cząstkowch fnkc nterpolacnch (kształt) dla element Q4:

19 Stosąc zasadę zachowana energ, zakłada sę, Ŝe całkowta energa potencalna P analzowanego kład est wpadkową energ skmlowane w odkształcenach U prac wkonane przez obcąŝena L: P U L Wmóg mnmalzac zman stan energ potencalne kład znadącego sę w równowadze: gdze: δp δu δl δu δl δu { σ} δ{ }dd δ{ } { σ}dd { } { σ} dd δl δ{} {F}dd {} {F} dd

20 {σ} [D]{ } Wkonem podstawena: { } { σ}dd {} {F} dd {} [B] { w } {} []{ w } { } [D]{ }dd {} {F} dd w w w { } [B] [D][B]{ }dd { } [] {F} dd

21 {} []{ w } analogczne {f} [] {F w } zatem dla poednczego element: w w [B] [D][B]{ }dd [] {F } dd A dla całego kład elementów: n w ( [B] [D][B]dd δ { } n ) ( w [] ddδ {F } ) lb: n [ ] w k { } [ f ] m n

22 [k m ] [B] [D][B] dd Całkowane metodą Gassa: [B] [D][B] dd g ( c ) [B] [D][B] G G ± ; ± 3 3 G 4 G 3

23 kład lokaln kład globaln

24 kład os transformąc dowoln czworokąt do kwadrat

25 ransformem współrzędne (D) za pomocą fnkc kształt Wznaczam współrzędne w kładze lokalnm określam : ¼ ( - ξ) ( - η) ¼ ( - ξ) ( η) 3 ¼ ( ξ) ( η) 4 ¼ ( ξ) ( - η) Wlczam współrzędne w kładze globalnm, względnaąc węzł: []{} []{}

26 ξ ξ dd [D][B] [B] ( ) g ] [D][B [B] c η η ξ ξ η ξ [J] η η ξ ξ [J]

27 ξ η ξ η det[j] [J] det[j] η ξ η ξ η ξ [J] ξ ξ

28 Wznaczane macerz sztwnośc z względnenem współrzędnch lokalnch pnktów całkowana Gassa: [B] [D][B] dd g ( ) c J [B] [D][B] K O I E C

Podobne dokumenty

Metody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skoczonych. Wyznaczanie macierzy sztywnoci dla elementu czterowzłowego Q4

Metody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skoczonych. Wyznaczanie macierzy sztywnoci dla elementu czterowzłowego Q4 Metod kompteroe oblczenoe Metoda lementó Skoczonch Wznaczane macerz sztnoc dla element czterozłoego Q lement czterozło Q sł do realzac oblcze szczególnch przpadkach trómaroego stan naprena odkształcena