MODELOWANIE SPRZĘŻENIA POMIĘDZY ROZWOJEM USZKODZEŃ I PRZEMIANĄ FAZOWĄ W STALI AUSTENITYCZNEJ W WARUNKACH TEMPERATUR KRIOGENICZNYCH

Transkrypt

1 HALINA EGNER *, MACIEJ RYŚ ** MODELOWANIE SPRZĘŻENIA POMIĘDZY ROZWOJEM USZKODZEŃ I PRZEMIANĄ FAZOWĄ W STALI AUSTENITYCZNEJ W WARUNKACH TEMPERATUR KRIOGENICZNYCH MODELING OF COUPLING BETWEEN DAMAGE AND PHASE TRANSFORMATION IN AUSTENITIC STAINLESS STEEL AT CRYOGENIC TEMPERATURES Streszczenie Abstract Stale austenityczne w ekstremalnie niskich temeraturach odlegają trzem zjawiskom dyssyatywnym: lastycznemu łynięciu, rzemianie fazowej γ α oraz rozwojowi uszkodzeń. Przerowadzone ekserymenty dowodzą, że ojawiające się inkluzje martenzytu owodują sowolnienie rozwoju uszkodzeń lastycznych w matrycy austenitycznej. W racy rzedstawiony został ois konstytutywny zachowania się stali austenitycznej, oddanej obciążeniu w temeraturze bliskiej zeru absolutnemu z uwzględnieniem srzężenia omiędzy zjawiskami dyssyatywnymi. Został także rzedstawiony algorytm numeryczny, oracowany w celu wykonania symulacji jednoosiowego rozciągania. Słowa kluczowe: rzemiana fazowa, ois konstytutywny, temeratury kriogeniczne FCC metals and alloys undergo at low temeratures three distinct henomena: dynamic strain ageing, lastic strain induced transformation from the arent hase (γ) to the secondary hase ( α ) and evolution of micro-damage. Exerimental results indicate the correlation between decreasing damage rate and increasing martensite content. In the resent aer the constitutive model of the behaviour of stainless steel alied at cryogenic temerature was described, where the three dissiative henomena coexist. Also the numerical algorithm was worked out, and numerical simulation of uniaxial tension was erformed. Keywords: constitutive modeling, ductile damage, hase transformation, cryogenic temerature * Dr inż. Halina Egner, Instytut Mechaniki Stosowanej, Wydział Mechaniczny, Politechnika Krakowska. ** Mgr inż. Maciej Ryś, studia doktoranckie, Wydział Mechaniczny, Politechnika Krakowska.

2 28 1. Wstę Kriogenika jest dziedziną fizyki i techniki zajmującą się badaniem i wykorzystaniem właściwości ciał w niskich temeraturach, w których gazy takie jak hel czy azot wystęują w stanie ciekłym. Najbardziej ersektywiczną dziedziną wykorzystania materiałów w temeraturach kriogenicznych wydaje się być rzemysł energetyczny i elektroniczny. Przede wszystkim chodzi tu o możliwość stosowania elementów nadrzewodnikowych w urządzeniach energetycznych. Tylko materiały, które ozostają ciągliwe o wrowadzeniu w środowisko temeratur kriogenicznych, mogą zostać wykorzystane do rzenoszenia obciążeń. Cechą charakterystyczną materiałów metalicznych sełniających ten warunek jest regularna, ściennie centrowana struktura krystalograficzna (face-centred-cubic, fcc) oraz niska energia błędu ułożenia (low-fault energy). Stale tego tyu zostały rzydzielone do gruy stali AISI 300, do której należą także stale nierdzewne, takie jak 304L czy 316L, które są obecnie owszechnie używane w środowiskach kriogenicznych. W orównaniu z tyowymi stalami węglowymi materiały te charakteryzuje niska granica lastyczności, duża ciągliwość oraz wysoka granica wytrzymałości na rozciąganie. Wysoka zawartość składników stoowych zaewnia orawę własności lastycznych w niskich temeraturach oraz tłumi rzemianę austenitu w erlit odczas chłodzenia. Rys. 1. Granica lastyczności (R 02 ) w funkcji temeratury (T) dla materiałów o niskiej energii błędu ułożenia odkształcanych w niskich temeraturach [2] Fig. 1. Yield oint (R 02 ) against temerature (T) for LSFE materials deformed at low temerature [2] Rozwój techniki rodzi otrzebę rojektowania nowych materiałów, które można wykorzystywać do budowy nowych konstrukcji oddawanych złożonym obciążeniom zarówno mechanicznym, jak i termicznym. Istnieje zatem otrzeba udoskonalania oisów konstytutywnych dla otrzeb innowacyjnych materiałów w celu rawidłowego określenia ich zachowania od wływem rzyłożonych obciążeń oraz rzewidywania ewnych stanów krytycznych. Stale austenityczne w warunkach temeratur kriogenicznych odlegają trzem odstawowym zjawiskom: nieciągłemu łynięciu lastycznemu [1], rzemianie fazowej austenitu (γ) w martenzyt ( α ) wywołanej odkształceniami lastycznymi [2, 3], oraz ewolucji mikrouszkodzeń [4].

3 Stale te wykazują niestateczność zarówno rzy lastycznym łynięciu, jak i rzy rzemianie fazowej γ α'. Dla najczęściej stosowanej stali nierdzewnej 316LN można wyróżnić trzy obszary odowiedzi (rys. 1) (or. [5]). Obszar I odowiada zakresowi temeratury oniżej T 1, w którym obserwuje się niestateczność lastycznego łynięcia, zwaną nieciągłym łynięciem lastycznym (serrated yielding). Obszar II rozciąga się omiędzy temeraturą T 1 a M d, czyli temeraturą owyżej której nie zachodzi już rzemiana fazowa tyu γ α'. Wewnątrz tego obszaru lastyczne łynięcie jest ciągłe i towarzyszy mu rzemiana ierwotnej fazy austenitycznej γ we wtórną fazę martenzytyczną α. Przemiana ta skutkuje wyraźnym odniesieniem granicy lastyczności. Wreszcie obszar III, owyżej temeratury M d, charakteryzuje się ciągłym łynięciem lastycznym i stabilnym zachowaniem jeśli chodzi o rzemianę fazową. We wszystkich trzech obszarach dochodzi do rozwoju uszkodzeń ciągliwych, sterowanych (ciągłym bądź nie) łynięciem lastycznym. Wszystkie trzy zjawiska: lastyczne łynięcie, rzemiana fazowa i rozwój uszkodzeń wywołują nieodwracalną zmianę struktury sieci krystalicznej i mogą rzysieszać roces zniszczenia elementu konstrukcyjnego, zatem w celu rzewidywania stanów krytycznych konieczne jest zbudowanie modelu konstytutywnego ujmującego wszystkie te, srzężone ze sobą, zjawiska nieodwracalne Ois konstytutywny materiału srężysto-lastycznego z uszkodzeniami oraz rzemianą fazową Przedstawiony oniżej ois konstytutywny stali austenitycznej jest oisem wieloskalowym. Z jednej strony zawiera on elementy oisu zjawisk na oziomie mikrostruktury, takich jak ruch dyslokacji oraz interakcje dyslokacji z inkluzjami martenzytu. Z drugiej strony model jest zdefiniowany na oziomie mezoskoowym rzy użyciu koncecji rerezentatywnego elementu objętościowego (RVE), w którym niejednorodności mikrostruktury ulegają rozmyciu, a ich wzajemne interakcje są omane. Model został zbudowany na odstawie nastęujących założeń [4]: materiał dwufazowy składa się z matrycy austenitycznej oraz losowo rozmieszczonych wtrąceń martenzytu o kształcie elisoidalnych cząstek Eshelby ego, matryca austenityczna odlega odkształceniom srężysto-lastycznym oraz rozwojowi uszkodzeń, odczas gdy inkluzje martenzytu zachowują się w sosób kruchy, bieżący stan uszkodzenia zarówno w austenicie, jak i w martenzycie oisany jest tensorem drugiego rzędu, do oszacowania średniego stanu uszkodzenia w RVE rzyjęto liniową regułę mieszania, założono, że wływ rędkości uszkodzenia ε może być omalny w zakresie temeratur 2 77 K, założono małe odkształcenia: kumulowane odkształcenie lastyczne nie rzekracza 0,2, rzyjęto wzmocnienie mieszane z uwzględnieniem wływu inkluzji martenzytycznych, materiał dwufazowy odlega stowarzyszonemu rawu łynięcia. Oierając się na teorii małych odkształceń, możemy dokonać dekomozycji odkształcenia całkowitego ε e na część srężystą µ, lastyczną µ i część odkształcenia sowodowaną rzemianą fazową (ξ oznacza ilość martenzytu, ε bs = 1 3 υi oznacza deformację zwaną bain strain, wyrażoną rzez zmianę objętości Δυ):

4 30 e bs ε = ε + ε + ξε (1) Odkształcenia srężyste są odkształceniami odwracalnymi, zanikającymi rzy odciążaniu, natomiast zarówno odkształcenia lastyczne, jak i bain strain są odkształceniami trwałymi. Proces rozwoju uszkodzeń dotyczy wszystkich materiałów. Wiąże się on z wystęowaniem i rozrzestrzenianiem się defektów w materiale. Zgodnie z drugą zasadą termodynamiki rozwój uszkodzeń rowadzi do wzrostu nieuorządkowania w strukturze materiału, czyli wzrostu entroii. Proces ten jest rocesem nieuniknionym i nieodwracalnym (towarzyszy mu dyssyacja energii), a jego zewnętrznym objawem jest degradacja własności mechanicznych materiału (wytrzymałości i sztywności), własności termicznych (wsółczynnika rozszerzalności termicznej, wsółczynnika rzewodnictwa) i innych własności fizycznych. Sosób oisu rozwoju uszkodzeń zależy od skali analizy. Zwykle oeruje się ojęciami skali atomowej (dynamika molekularna), skali mikro (mikromechanika) lub skali makro (mechanika kontynualna). W skali atomowej struktura materiału jest nieciągła, a stan uszkodzenia jest zdefiniowany rzez aktualną konfigurację więzi atomowych, natomiast zrywanie więzi i tworzenie się nowych rerezentuje ewolucję uszkodzeń. W skali mikro lub nano struktura materiału jest odcinkowo ciągła i niejednorodna, a uszkodzenia rerezentowane są rzez liczbę, wielkość i konfigurację dyslokacji, mikroustek i mikroszczelin. Są to defekty sieci krystalicznej wystęujące na granicach lub wewnątrz ziaren i odlegające ciągłej ewolucji. Natomiast jeśli chodzi o skalę makro, wrowadza się ojęcie ośrodka seudo-nieuszkodzonego ( seudo-ciągłego ), stanowiącego aroksymację rzeczywistego, nieciągłego materiału, w którym istnieje ewien stan uszkodzenia. Do rawidłowego rzeniesienia własności materiału rzeczywistego na ośrodek seudo-ciągły konieczne jest istnienie takiego elementu objętości materiału rzeczywistego, który może być odwzorowany w unkt materialny seudo-kontinuum. Wymiar takiego elementu, zwanego rerezentatywnym elementem objętościowym (ang. reresentative volume element, RVE), musi być dostatecznie duży, aby liczba zawartych w nim mikrodefektów ozwalała na ich homogenizację. Z drugiej strony element musi być dostatecznie mały, aby stan narężenia i odkształcenia mógł być w nim uznany za jednorodny. Istnienie takiego elementu jest warunkiem koniecznym do odejścia lokalnego, w którym zakłada się brak wływu rzestrzennej konfiguracji i wzajemnego oddziaływania mikrodefektów na efektywne własności ośrodka seudo-ciągłego. Rozatrywanie materiału seudo-nieuszkodzonego wymaga wrowadzenia ojęcia tzw. zmiennych efektywnych zależnych od stanu uszkodzenia, oisywanego ewną miarą uszkodzeń D, na rzykład narężenia efektywnego σ ( D) czy odkształcenia efektywnego ε ( D). Definicja zmiennych efektywnych może wynikać z rzyjęcia jednej z zasad równoważności, wśród których najbardziej znane są: zasada równoważności odkształceń [6], zasada równoważności narężeń [7], zasada równoważności energii komlementarnej [8, 9] i zasada równoważności energii całkowitej [10]. W myśl tych zasad efektywne zmienne stanu są tak zdefiniowane, że odkształcenia, narężenia, energia komlementarna lub energia całkowita dla obu ośrodków rzeczywistego i seudo-nieuszkodzonego są takie same. Uszkodzenia w skali mikro i nano są zjawiskiem dyskretnym, obserwowalnym na oziomie mikrostruktury. Wyróżnia się dwa odstawowe mechanizmy rozwoju uszkodzeń w olikryształach w złożonych warunkach odkształceń srężysto-leko-lastycznych: uszkodzenia kruche oraz uszkodzenia ciągliwe. Uszkodzenia ciągliwe są to uszkodzenia obserwowane

5 wewnątrz ziaren, wzdłuż łaszczyzn oślizgów lastycznych. Ten ty uszkodzeń wystęuje w temeraturach, w których materiały wykazują cechy lastyczne. Należy tu nadmienić, że roces rozwoju uszkodzeń lastycznych jest ściśle związany (srzężony) z mechanizmem lastycznego łynięcia. Uszkodzenie lastyczne srzężone z lastycznym łynięciem jest zdominowane rzez orientację asm, a nie rzez kierunek narężeń głównych, dlatego uszkodzenie to można traktować jako izotroowe i do jego oisu może być wystarczające użycie zmiennej uszkodzenia tyu skalarnego D. Uszkodzenia kruche natomiast definiowane są jako mikroustki wystęujące wzdłuż granic ziarna. Rozwój tych uszkodzeń jest silnie zależny od kierunku maksymalnego narężenia głównego. Zależność od kierunku narężenia głównego owoduje, że uszkodzenia kruche wykazują kierunkowość, nie są zatem uszkodzeniami izotroowymi, lecz anizotroowymi, co wymaga stosowania do ich oisu tensora uszkodzeń drugiego lub wyższego rzędu. Uszkodzenia te nie są związane z lastycznym łynięciem i mogą wystęować już w zakresie srężystym. Stosując geometryczną miarę uszkodzeń, do trzech wzajemnie rostoadłych łaszczyzn 1, 2, 3, których kierunki normalne okrywają się z kierunkami narężeń głównych, stan uszkodzenia oisują trzy wielkości D 1, D 2, D 3, określające redukcję nośnych owierzchni w tych łaszczyznach. Przedstawiając wielkości te jako główne składowe tensora, dochodzimy do definicji [11] tensora uszkodzeń drugiego rzędu. 3 D= Dknk nk = Dn n + D n n + D n n k = (2) Wykorzystując tak zdefiniowany tensor uszkodzeń, można uogólnić definicję narężenia efektywnego wykorzystywaną do tej ory, σ = σ /( 1 ), na ostać anizotroową: D σ ~ = M : σ (3) Definicja tensora wływu uszkodzenia M nie jest jednoznaczna (or. [12]). Ogólne rawo konstytutywne dla materiału z rzemianą fazową i rozwojem uszkodzeń możemy zaisać w ostaci (or. wzór (1)): ( kl kl kl ) σ = E ( ) ε ε ξε bs kl D (4) Do wyrowadzenia równań konstytutywnych seudo-nieuszkodzonego kontinuum zastosowano zasadę równoważności odkształceń w ostaci: ε (σ ~,0) = ε (σ,d) (5) Aktualny tensor srężystości zależny od stanu uszkodzenia, E kl (D) może zostać rzedstawiony za omocą tensora srężystości materiału nieuszkodzonego E 0 oraz tensora wływu uszkodzenia M(D): E = M E 1 0 kl minj mnkl (6) Tensor wływu uszkodzenia jest tensorem symetrycznym, zależnym od aktualnego stanu uszkodzenia w materiale:

6 32 M = M = M kl jikl kl (7) W niniejszej racy został wykorzystany tensor wływu uszkodzenia zaroonowany rzez Cordebois i Sidoroff [8]: M ( ) ( ) + 1 ( D)= 2 δ D δ δ δ D (8) ikjl ik ik jl ik jl jl Przedstawiony model materiału srężysto-lastycznego z uszkodzeniami i rzemianą fazową jest oarty na odstawach termodynamiki rocesów nieodwracalnych z wewnętrznymi zmiennymi stanu, gdzie zakłada się istnienie otencjału stanu Ψ, którym zazwyczaj jest swobodna energia Helmholtza. Dla materiału niesrężystego otencjał stanu zależy od srężystej części odkształcenia oraz zmiennych stanu N k (k = 1, 2...), określających aktualny stan owierzchni dyssyacji (n. rozmiar owierzchni, rzesunięcie jej środka): e Ψ = Ψ(, N ) (9) W celu zbudowania modelu matematycznego, oisującego zachowanie materiału srężysto-lastycznego z ewolucją uszkodzeń oraz rzemianą fazową, założono nastęujący zbiór wewnętrznych zmiennych stanu: ε k N = N ( ε,, D, ξ ) (10) k k gdzie odkształcenie lastyczne ε jest zmienną związaną z kinematycznym wzmocnieniem (ruchem owierzchni lastyczności), akumulowane odkształcenie lastyczne jest zmienną związaną z izotroowym wzmocnieniem (rozmiarem owierzchni lastyczności), D jest zmienną określającą anizotroowy stan uszkodzenia w materiale oraz ξ określa aktualny stan rzemiany fazowej. Akumulowane odkształcenie lastyczne wyrażone jest nastęująco: t 2 = dε dε d t (11) 0 3 Stosując nierówność Clausiusa-Duhema dla warunków izotermicznych, otrzymujemy: gdzie ρ oznacza gęstość, a Φ jest dyssyacją mechaniczną. Różniczkując o czasie równanie (9), otrzymujemy: Φ= σε ρψ 0 (12) Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ = ε ε e ε ε ξ ξ e D D (13) Nastęnie odstawiamy owyższe równanie do nierówności Clausiusa Duhema: e σ ρ Ψ ε σ ε σ ε ρ ε ρ ε e + + bs Ψ Ψ Ψ Ψ µ ρ D D ρ ξ 0 (14) ξ

7 Z równania (14) wynikają wzory na siły termodynamiczne srzężone z odowiednimi zmiennymi stanu: 33 σ = ρ Ψ ε e (15) X = Ψ ρ ε (16) R = ρ Ψ (17) Y = ρ Ψ (18) D Z = Ψ ρ ξ gdzie X, R, Y i Z są siłami termodynamicznymi srzężonymi z wewnętrznymi zmiennymi stanu, odowiednio ε, D oraz ξ. Ostateczna ostać równań sił termodynamicznych zależy od rzyjętej formy otencjału stanu. W tym rzyadku otencjał stanu jest wyrażony rzez energię swobodną Helmholtza w ostaci [4]: 1 Ψ = Ψ 1 e e ε : M: E : ε + (20) ρ 2 gdzie Ψ jest lastyczną częścią otencjału stanu, która nie zależy od tensora uszkodzeń D. Równania ewolucji odkształceń lastycznych oraz uszkodzeń wyrowadzono w oarciu o zasadę maksimum dyssyacji (aktualny stan sił termodynamicznych jest to ten, który maksymalizuje funkcję dyssyacji). Równania te wynikają z rozwiązania zagadnienia Lagrange a minimalizacji funkcjonału: (19) Ω= Φ+ λf (21) gdzie funkcja łynięcia f (σ, D) jest założona jako wyukła funkcja w rzestrzeni swoich argumentów. W rzyadku rzyjęcia modelu, który nie zależy od rędkości odkształcenia (rate- -indeendent), owierzchnia lastyczności tyu Hubera Misesa rzybiera nastęującą formę: gdzie f ( σ ~, X ~, R )= J ( ) R 2 σ ~ ~ X σ y = 0 (22) ( ) = X = M X ; R = R/ 1 D ; D D D (23) ikjl kl eq eq

8 34 są wartościami efektywnymi sił termodynamicznych związanych odowiednio ze wzmocnieniem kinematycznym i izotroowym (or. [13]). Warunki konieczne ekstremum rzyjmują ostać: Ω = 0, σ Ω = 0 (24) Y Z owyższych równań otrzymujemy: ε λ f = σ, D f = λ (25) Y Parametr λ 0 wynika z warunku zgodności (consistency condition): f df d dx d d d fr R fd D f = ( σ ) ξ = 0 (26) σ ξ Warunki obciążania/odciążania (warunki Kuhn-Tuckera) rzyjmują ostać: < 0 λ = 0 roces lastycznie bierny f 0 i f = 0 λ = 0 roces lastycznie neutralny (27) = 0 λ > 0 roces lastycznie czynn y Ostatecznie dla matrycy austenitycznej odlegającej rozwojowi uszkodzeń ciągliwych otrzymano uogólnione rawo ewolucji uszkodzeń anizotroowych (na skutek istnienia tekstury) [4]: T D = CYC H (28) oraz w notacji wskaźnikowej ( ) D ( ) D = C Y C H (29) ik kl lj D Należy tu zaznaczyć, iż rzedstawiony ois ewolucji uszkodzeń lastycznych dla materiałów charakteryzujących się teksturą został wyrowadzony na bazie klasycznego modelu Lemaitre a [14] i Chaboche a [15]. Siłą naędową rozwoju uszkodzeń jest kumulowane odkształcenie lastyczne. Tensor C definiuje właściwości materiału w kierunkach głównych ortotroii wywołanej teksturą. Ponadto rzyjęto rogową wartość odkształcenia kumulowanego D jako granicę, o rzekroczeniu której nastąi rozwój uszkodzeń. Wtrącenia martenzytyczne odlegają rozwojowi uszkodzeń kruchych. Zgodnie z ublikacją Litewki i Dębińskiego [16] osłabienie struktury materiału kruchego rzez rzyłożone obciążenie może być oisane tensorową funkcją w ostaci: D ( α ) = f δ + f σ 1 2 (30)

9 Ekserymenty rzerowadzone rzez Bogucką i innych [17] okazują, że roces rozwoju uszkodzeń rozoczyna się od momentu rzyłożenia obciążenia, zatem można rzyjąć, że tensor uszkodzeń zależy bezośrednio od rzyłożonego narężenia. Równanie (30) zawiera dwa mnożniki, f 1 i f 2, które są funkcjami skalarnymi stanu narężenia. Do sformułowania ostatecznych ostaci funkcji f 1 i f 2 wykonano wiele testów jedno- i dwuosiowego ściskania kilku rodzajów betonu. Ostatecznie skalarne funkcje wystęujące w równaniu (30) rzedstawiono w ostaci: ( ) F 35 f = B1 skl skl 1+ P det σ (31) 1 ( ) F f = B σ σ + P det σ (32) 2 2 kl kl 1 gdzie s kl jest dewiatorem narężenia oraz B 1, B 2, P i F są stałymi materiałowymi, które należy zidentyfikować ekserymentalnie. Podstawiając do wzoru (30) wyrażenia (31) i (32), otrzymujemy zależność oisującą rozwój uszkodzeń kruchych w formie: F ( ) + + ( ) D( α ') = Bs 1 klskl 1+ Pdetσ δ B2 σklσkl 1 P det σ σ (33) Pierwsza cześć równania (33) rzedstawia rozwój uszkodzenia izotroowego, natomiast druga określa rozwój uszkodzeń kierunkowych związanych z tensorem narężeń. Średnia miara stanu uszkodzenia w materiale została wyrażona rzez liniową regułę mieszania: D = ( 1 ξ) D( γ) + ξd( α ) (34) Dwufazowe kontinuum odlega stowarzyszonemu rawu łynięcia: dε f = ( ) σ ~, X ~, R dλ (35) σ Łącząc wzór (35) ze wzorami (22) i (23), otrzymano oniższą relację: f R σ skl X' kl kl dε = 3 (,, ) ( σ ~ X ~ ) dλ = dλ 2 M σ kl σ 3 ( s q X ' q )( s q X ' q ) 2 Jeśli kierunki główne narężenia, odkształcenia oraz uszkodzenia okrywają się, otrzymujemy nastęującą relację w ostaci macierzowej: s X 11 ' σ ~ X ~ D dλ dε = 2 s 22 X ' (37) 3 ( s q X ' q )( s q X 1 D22 ' q ) 2 s X 33 ' D33 F kilj (36)

10 36 tak więc stan odkształcenia lastycznego w obecności uszkodzeń traci nieściśliwość. Prędkość kumulowanego odkształcenia lastycznego rzybiera nastęującą ostać: 2 d = dε dε = dλ 3 2 f 3 σ kl M kilj f σ q M iqj = dλ 2 f 3 σ kl f σ q M kilj M iqj (38) Ewolucję sił termodynamicznych wzmocnienia rerezentują równania: dx = 2 g d 3 ( ξ) ε (39) gdzie funkcje g(ξ) oraz f(ξ) zostały wyrowadzone w racy Sitko i Skoczenia [3] w nastęującej formie: ( ξ)= 2 β ( µ µ ) (41) g MT ta oraz µ ta E t ( )= ( )( ) (42) f ξ 21 β µ MT µ ta = 21+ ( ν) ; E EC t = E+ C ; C = C 0( h ξ + 1) (43) * µ ta ( 9kta + 8µ ta ) µ =, 6( k + 2µ ) ta ta k ta Et = 31 ( 2ν), µ m E = 21+ ( ν) (44) * 1 ξ ξ 2µ MT + 2µ = + * * 2( µ ta + µ ) 2( µ m + µ ) 1 (45) Klasyczny model rzemiany fazowej γ α' wywołanej odkształceniem lastycznym (obszar II, rys. 1) w temeraturach kriogenicznych, został zaroonowany rzez Olsona i Cohena [18]. Autorzy zaroonowali trójarametrowy model, oisujący sigmoidalną krzywą doświadczalną, rerezentującą zależność udziału objętościowego martenzytu w funkcji odkształcenia lastycznego: n ξα' = 1 ex{ β[ 1 ex( αε )] } (46) gdzie A(..) jest funkcją temeratury, stanu narężenia oraz rędkości odkształceń, ξ oznacza rogową wartość kumulowanego odkształcenia lastycznego, natomiast ξ L oznacza graniczną wartość wysycenia martenzytem, wreszcie H jest funkcją Heaviside a. Siłą nośną rzebu- Krzywa sigmoidalna ma zastosowanie w szerokim zakresie temeratur, w tym w temeraturze okojowej. W niskich temeraturach rędkość rzemiany fazowej rzestaje być zależna od temeratury i może być rzybliżona modelem liniowym, zaroonowanym rzez Gariona i Skoczenia [2]: ξ = AT (, σ, ε. ) H (( )( ξ ξ)) (47) ξ L

11 dowy struktury z komórki (fcc) na (bcc) jest kumulowane odkształcenie lastyczne wywołane monotonicznym lub cyklicznym obciążeniem w niskich temeraturach. Dla rocesów izotermicznych oraz małych zmian narężeń otrzymano roste rawo ewolucji w formie: 37 dξ=a, d ξ, ξ ξ L (48) 3. Imlementacja numeryczna Oisany w racy model konstytutywny został zaimlementowany numerycznie rzy użyciu metody Newtona Rahsona oraz schematu całkowania nie wrost (Euler backward). Algorytm numeryczny składa się z trzech kroków: srężystego redyktora, korektora lastyczno-fazowego oraz uaktualnienia stanu uszkodzenia. Krok 1. Srężysty redyktor Algorytm startuje od rzyrostu n, w którym wszystkie zmienne stanu są znane. Zakłada się, że zmiana odkształcenia w nastęnym rzyroście, n + 1, jest w całości srężysta, otrzymując w ten sosób narężenie róbne (trial stress): σ trial = σ old + E old ε = σ old + E old ε new ε old ) (49) kl kl kl kl kl gdzie Δε kl jest całkowitym, znanym rzyrostem odkształcenia w danym inkremencie. Nastęnie srawdzane jest kryterium lastyczności, równanie (22). Jeśli,trial trial old old old old f ( σ, X, R, D, ξ ) 0, to założenie srężystego rzyrostu jest sełnione, new a narężenie róbne jest narężeniem na końcu kroku n + 1, σ σ trial,new =, ε = ε,old, bs,new bs ε ε,old new =, D( ) D old γ = ( γ). Obliczany jest rzyrost uszkodzeń kruchych z równania D new ( ') f f trial, α = 1δ + 2σ a na końcu zostaje uaktualniony tensor efektu uszkodzeń oraz tensor,trial trial old old old old sztywności srężystej. Jeśli natomiast f ( σ, X, R, D, ξ ) > 0, to nastęuje lastyczno-fazowy korektor. Krok 2. Plastyczno-fazowy korektor Procedura korektora rzerowadzana jest rzy założeniu, że stan uszkodzenia jest zamrożony.,trial trial old old old old Sełnienie nierówności: f ( σ, X, R, D, ξ ) >0 oznacza, że trial stress leży oza owierzchnią lastyczności. Zatem rzyłożone odkształcenie ε kl rzynajmniej w części jest lastyczne. Narężenie owrotu σ r (return stress) srowadza stan narężenia na bieżącą owierzchnię lastyczności: r I σ = E old ε = E old ( ε + ε bs ) (50) kl kl kl W celu określenia narężenia owrotu całkowane jest rawo łynięcia lastycznego (35): kl ( kl ε = ( 2) λ ( 1) λ f σ dλ (51)

12 38 ( gdzie λ 2 ) () = λ 1 + λ i () λ 1 ( c = λ ), a c oznacza unkt kontaktu ( rzebicia owierzchni lastyczności rzez wektor narężenia róbnego, atrz rys. 2). Wartość f n, / σ znana jest tylko w unkcie kontaktu ze starą owierzchnią lastyczności, więc roblem rozwiązywany jest w rzybliżeniu: ( 2) λ ( 2) f f ε = dλ λ (52) σ σ oraz c λ new new 2 new new ξ = A H( ξ)( ξl ξ ) = A ε ε H( ξ)( ξl ξ ) (53) 3 Korzystamy więc ze schematu nie wrost fully imlicit (backward Euler), który jest zawsze stabilny i nie zależy od unktu kontaktu, nie musimy zatem wiedzieć, jaka cześć odkształcenia jest srężysta, a jaka lastyczna. Rys. 2. Ilustracja metody return Fig. 2. The sketch of return method Wartości sił termodynamicznych na końcu kroku określone są nastęująco: σ = σ E new trial old kl f σ 2 X X g 3 kl = + ( ξ ) new old new new λ ξεkl ( + bs ) (54) f σ Nowy stan w rzyroście n + 1 musi sełnić warunki: f new λ (55) new old new R = R + f( ξ ) (56) ( σ, X, R, D, ξ ) = 0 (57) new new new old new Nastęnie definiujemy wektor residuów R = [ Rσ, R X, RR, R f ] z nastęującymi składowymi: new trial old f R( σ) = σ σ + Ekl λ ξεkl σkl + bs (58)

13 39 old 2 R( X) X X g 3 new = ( ξ ) f σ new λ (59) old new R = R R f( ξ ) (60) ( R) R f = f (61) T oraz wektor niewiadomych, U = [ σ, X, R, λ ]. Sełnienie warunku R(U) = 0 określa rozwiązanie. Jeśli rozwiniemy ten warunek w szereg Taylora, otrzymamy nastęujące rozwiązanie dla wektora U: n 1 n+ n 1 n U = U R U (62) Procedura kolejnych rzybliżeń rozwiązania jest zatrzymana w momencie osiągnięcia dokładności określonej rzez użytkownika. Po każdej iteracji wszystkie zmienne stanu oraz siły termodynamiczne są uaktualniane zgodnie z algorytmem rzedstawionym w tabeli 1. Macierz Jacobianu rzyjmuje ostać: Ã X = Ã X U R Ã X Ã X λ λ λ λ σ σ σ σ X X X X R R R f f f f (63) a składowe wektora niewiadomych na końcu kroku liczone są nastęująco: ε f R ξ = ( σ new, X new, new, D old, new ) λ σ new (64),new,old ε = ε + ε (65) = 2 3 ε ε (66) new old = + (67) new new 2 new new ξ= A H( ξ)( ξl ξ ) = A ε ε H( ξ)( ξl ξ ) 3 (68)

14 40 new old ξ = ξ + ξ (69) Algorytm korektora Tabela 1 1. Inicjowanie zmiennych U ( 0) = n+ 1 U n new( U 0 ) = U 2. Iteracje DO UNTIL k k +1 old ( RU ( k ) ) < TOL 2.1. Iterowanie U ( k +1) U ( k ) k R = U U ( k+ 1) ( ) 1 ( k ) RU ( ) 2.2. Uaktualnieniewektora zmiennych U U = U new ( k + 1) n+ 1 Krok 3. Uaktualnienie stanu uszkodzenia Uaktualnienie stanu uszkodzenia odbywa się zgodnie z rzedstawioną oniżej rocedurą:,new old,new new D( γ) = Cik ( ε ) Ykl Clj ( ε ) H ( D ) (70) new old D = D + D (71) ( γ) ( γ) ( γ) new new new new F new new new F new D( α ') = Bs 1 kl skl ( 1 + Pdet σ ) δ + B2 σkl σkl ( 1+ P det σ ) σ (72) new new new new new D = ( 1 ξ ) D( γ) + ξ D( α ') (73) 4. Wyniki numeryczne Dane materiałowe otrzebne do rozwiązania roblemu oraz krzywa σ ε zostały zaczernięte z dostęnych rac: Egner i Skoczeń [4] oraz Sitko [19]. Szczegółowy ois sosobu identyfikacji arametrów modelu został zawarty w racy Egner i Skoczeń [4]. Z owodu braku danych koniecznych do wyliczenia mnożników f 1 oraz f 2 (atrz wzory 31 i 32) stałe B 1 oraz B 2 zostały dobrane tak, aby symulacja numeryczna jak najleiej odzwierciedlała wyniki badań ekserymentalnych. Wszystkie dane zostały rzedstawione w tabeli 2.

15 41 Tabela 2 Dane materiałowe dla stali 316L w temeraturze 4,2 K Początkowy moduł Younga [GPa] 247,266 Wsółczynnik Poissona 0,3 Granica lastyczności [MPa] 808 β 0,9 h 100 V 0,05 d 0,056 ξ 0,0886 ξ L 0,9 A 5,2872 B 1 [Pa] 1,0e 20 B 2 [Pa] 1,0e 20 C 0 [Pa] 1,2452e 3 C 1 [Pa] 0, Moduł lastyczny [GPa] 1,2 Oierając się na dostęnym oisie konstytutywnym oraz rzyjętych danych materiałowych, otrzymano satysfakcjonujące wyniki w formie wykresu narężenie-odkształcenie (rys. 3). Z wykresów widać, że model zawiera srzężenie miedzy trzema zjawiskami dyssyatywnymi: lastycznym łynięciem, rzemianą fazową oraz ewolucją uszkodzeń. Do momentu osiągnięcia rogowej wartości kumulowanego odkształcenia D obserwujemy materiał srężysto-lastyczny ze wzmocnieniem liniowym. Nastęnie ojawiające się uszkodzenia ciągliwe austenitu osłabiają materiał. Zamodelowana interakcja omiędzy rozwojem uszkodzeń ciągliwych a rzemianą fazową owoduje, że w momencie ojawienia się inkluzji martenzytu (rzekroczenia rogowej wartości kumulowanego odkształcenia ξ ) nastęuje osłabienie rędkości rozwoju uszkodzeń oraz nieliniowe wzmocnienie materiału. Oddziaływanie między uszkodzeniami a zawartością fazy martenzytycznej możemy dokładniej zaobserwować na rys. 4. Bieżący stan uszkodzenia obliczany jest z relacji D = 1 E/E 0, gdzie E jest aktualnym modułem odciążania, zmierzonym ekserymentalnie, natomiast E 0 jest modułem oczątkowym (or. Egner i Skoczeń [4]). Należy zaznaczyć, że efekt sowolnienia rozwoju uszkodzeń w materiale sowodowany jest głównie tym, że w modelu założono, że ojawiająca się krucha faza martenzytu nie dziedziczy uszkodzeń ciągliwych z ierwotnej fazy austenitycznej, a stan uszkodzenia w fazie kruchej zależy tylko od bieżącego stanu narężenia. Takie odejście nie jest wystarczające do dokładnego oisu rozwoju uszkodzeń w materiale, stąd istnieje rozbieżność miedzy wykresem ekserymentalnym rozwoju uszkodzeń a otrzymanym z obliczeń numerycznych (rys. 4).

16 42 Rys. 3. Krzywa σ ε dla jednoosiowego rozciągania stali 316L w temeraturze 4,2 K Fig. 3. Stress-strain curve for uniaxial tension of stainless steel 316L at 4.2 K Rys. 4. Ewolucja uszkodzeń: orównanie wyników ekserymentu i symulacji numerycznej dla stali 316L w temeraturze 4,2 K Fig. 4. Damage evolution: comarison between exerimental and numerical results obtained for steel 316L at 4.2 K Rys. 5. Sadek modułu Younga sowodowany rozwojem uszkodzeń (stal 316L oddana rozciąganiu w temeraturze 4,2 K) Fig. 5. Decrease of Young modulus caused by damage evolution (stainless steel 316L subjected to tension at 4.2 K)

17 Mierzalną miarą mięknięcia materiału jest sadek modułu Younga. Z uwagi na uroszczony model uszkodzeń w materiale otrzymany z numerycznej symulacji wykres sadku modułu Younga także nieco odbiega od wyników doświadczalnych (rys. 5). Rozbieżności omiędzy wynikami numerycznymi i doświadczalnymi mogą zostać zlikwidowane rzez wzbogacenie oisu rozwoju uszkodzeń. Jednak bardziej złożony model wymaga dodatkowych arametrów, których identyfikacja doświadczalna na obecnym etaie rozwoju technik ekserymentalnych jest bardzo trudna i kosztowna Uwagi końcowe Zarezentowany ois konstytutywny dotyczy materiału odlegającego trzem zjawiskom dyssyatywnym: lastycznemu łynięciu, rzemianie fazowej austenitu w martenzyt, której siłą naędową jest odkształcenie lastyczne, oraz ewolucji uszkodzeń, czego wynikiem jest sadek modułu Younga. Taki model materiału jest właściwy w rzyadku stali austenitycznych racujących od obciążeniem w temeraturach kriogenicznych. Klasyczny izotroowy model rozwoju uszkodzeń ciągliwych (model Chaboche Lemaitre) został uogólniony do ostaci anizotroowej, wynikającej z istnienia tekstury w materiale, nastęnie rozbudowany o model ewolucji uszkodzeń kruchych w martenzycie i srzężenie rozwoju uszkodzeń z rzemianą fazową, a w końcu zarogramowany numerycznie i wykorzystany do symulacji róby jednoosiowego rozciągania. Otrzymane wyniki numeryczne są zgodne z wynikami rób ekserymentalnych. Pełna weryfikacja orawności modelu wymaga rzerowadzenia testów ekserymentalnych stali oddanej obciążeniom złożonym w temeraturze kriogenicznej. W chwili obecnej wyniki takich testów nie zostały oublikowane. W racy zamodelowano sadek rędkości uszkodzeń z owodu ojawiającego się martenzytu. Na obecnym etaie brak jest mechanizmów wzmocnienia owierzchni uszkodzeń. Jednak z drugiej strony, rzyjęty ois jest wygodny z uwagi na małą liczbę i łatwość identyfikacji stałych materiałowych otrzebnych do obliczeń modelu. Otrzymane wyniki obliczeń numerycznych są zadowalające, a zbudowany algorytm w łatwy sosób może zostać zaimlementowany w dowolnym rogramie MES. Praca została wykonana w ramach grantu PB N N finansowanego rzez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego. Literatura [1] Skoczeń B., Bielski J., Sgobba S., Marcinek D., Constitutive model of discontinuous lastic flow at cryogenic temeratures, International Journal of Plasticity, 26, 2010, [2] Garion C., Skoczeń B., Modeling of lastic strain induced martensitic transformation for cryogenic alications, Journ. of Alied Mechanics 69, 6, 2002,

18 44 [3] Sitko M., Skoczeń B., Effect of γ α' hase transformation on lastic adatation to cyclic loads at cryogenic temeratures, International Journal of Solids and Structures, 49, 2012, [4] Egner H., Skoczeń B., Ductile damage develoment in two-hase metallic materials alied at cryogenic temeratures, International Journal of Plasticity, 26, 4, 2010, [5] Obst, B., Nyilas, A., Exerimental evidence on the dislocation mechanism of serrated yielding in f.c.c. metals and alloys at low temeratures, Materials Science and Engineering, A137, 1991, [6] Lemaitre J., Evaluation of dissiation and damage in metals, Proc. I.C.M. Kyoto, Vol. 1, [7] S i m o J.C., J u J.W., Strain- and stress-based continuum damage models; I-Formulation, II-Comutational asects, International Journal of Solids and Structures, 23, 1987, [8] Cordebois J.P., Sidoroff F., Damage induced elastic anisotroy, Coll. Euromech 115, Villard de Lans także w: Mechanical Behavior of Anisotroic Solids, ed. Boehler J.P., Martinus Nhoff, Boston, 1983, 1979, [9] Sidoroff F. Descrition of anisotroic damage alication to elasticity, [w:] IUTAM Coll. on Physical Nonlinearities in Structural Analysis, Sringer, Berlin 1981, [10] C h o w CL., L u T.J., An analytical and exerimental study of mixed-mode ductile fracture under nonroortional loading, Int. J. Damage Mech., 1, 1992, [11] Murakami S., Ohno N., A continuum theory of cree and cree damage, in: Ponter, A.R.S., Hayhurst D.R. (Eds), Cree in Structures, 3 rd IUTAM Symosium on Cree in Structures, Sringer, Berlin 1980, [12] Skrzyek J., Podstawy Mechaniki Uszkodzeń, Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków [13] Abu Al-Rub R.K., Voyiadjis G.Z., On the couling of anisotroic damage and lasticity models for ductile materials, International Journal of Solids and Structures, 40, 2003, [14] Lemaitre J., A Course on Damage Mechanics, Sringer-Verlag, Berlin [15] C h a b o c h e J.L., Continuum Damage Mechanics: Part II Damage Growth, Crack Initiation and Crack Growth, Jour. Alied Mechanics, 55, 1988, [16] Litewka A., Dębiński J., Load-induced oriented damage and anisotroy of rock-like materials, International Journal of Plasticity 19, 2003, [17] Bogucka J., Dębiński J., Litewka A., Mesquita A.B., Exerimental verification of mathematical model for oriented damage of concrete, Mechanica Exerimental, 3, 1998, [18] Olson G.B., Cohen M., Kinetics of strain-induced martensitic nucleation, Metallurgical Transactions, 6A, 1975, [19] Sitko M., Constitutive Modelling of Functionally Graded Materials for Low Temerature Structural Alications, raca doktorska, 2011.