UOGÓLNIONE PRAWO HOOKE A

Transkrypt

1 UOGÓLNIONE PRAWO HOOKE A

2 Układ liniowosprężysty Clapeyrona Robert Hooke podał następującą, pierwotna postać prawa liniowej sprężystości: ut tensio sic vis, czyli takie wydłużenie jaka siła W klasycznej teorii sprężystości nadano temu prawu bardziej precyzyjną, dwojaką formę, określającą w ciele sprężystym liniowe związki między przemieszczeniami, a siłami bądź odkształceniami, a naprężeniami, nazwano prawem Hooke a. 2/62

3 Dowolne przemieszczenie uogólnione u i (i= 1,2,...,n) spowodowane jednoczesnym działaniem wszystkich sił uogólnionych (P 1... P j... P n ) jest równe sumie przemieszczeń częściowych wywołanych działaniem poszczególnych, pojedyńczych sił i nie zależy od kolejności ich przyłożenia u = f P + f P + K+ f P + K+ f P f P i i11 i2 2 j in n += j n j= 1 7/62

4 Dowolną siłę uogólnioną P i (i=1,2,..., n) można przedstawić jako liniową funkcję uogólnionych przemieszczeń u 1, u 2,..., u j,..., u n P i = k 1u1 + k 2u2 + K+ k u + K+ k i i j in u n = n j= 1 k u j Liczba wpływowa k jest częścią siły P i, spowodowaną przemieszczeniem u j =1. Liczby wpływowe k nie zależą od wartości przemieszczeń u j. 9/62

5 39/62 Uogólnione prawo Hooke a dla ciała anizotropowego

6 Właściwa energia potencjalna odkształceń sprężystych Φ (potencjał sprężysty) Φ = ε 0 dε = ε ε = 0 Całka nie zależy od drogi całkowania (potencjał sprężysty), dlatego funkcja podcałkowa jest różniczką zupełną d ε dφ = dε = dε + dε + dε + 2( dε + dε + dε ) /62

7 Stąd widać, że = Φ ε Z drugiej strony wprowadzimy wyrażenie * dφ = εd = ε11d11 + ε22d22+ ε33d33 + ε12d12 + ε23d23 + ε31d31 2( ) Wtedy suma * d Φ + dφ jest różniczką zupełną d( ε ) tzn. dφ + dφ * = ( ε ) 41/62

8 dlatego Φ * ε = Φ * Φ właściwa energia dopełniająca * = εd 0 42/62

9 * Φ + Φ = ε dla ciała liniowo-sprężystego Φ = Φ * = 1 ε 2 W przypadku jednoosiowego rozciągania (ściskania) prawo Hooke a = E ε E- moduł sprężystości podłużnej Younga 43/62

10 Dla dowolnego stanu naprężenia i odkształcenia prawo to można uogólnić = E ε kl kl tensor stanu naprężenia lub odwrotnie ε = D kl kl ε tensor stanu odkształcenia E kl D kl - tensor IV rzędu modułów sprężystości, - tensor sprężystych podatności W przypadku ogólnym = ε ) -zależność nieliniowa ( 44/62

11 W zapisie macierzowym: gdzie { } = [ E]{ ε} { } [,,,,,,,, ] T = 19 = {} ε [ ε, ε, ε, ε, ε, ε, ε, ε, ε ] T Macierz [E] zawiera 81 stałych! [ E ] [ E ] kl = /62

12 Ponieważ tensory i ε są symetryczne, więc ε = = ε ji ji { } [,,,,, ] T = {} ε [ ε, ε, ε, ε, ε, ε ] T = [ E] [ E kl ] 6 6 = gdzie Ekl = Ejikl = Elk = Ejilk [E] ma 36 stałych [ E] 6 6 E E E E E E E E E E E E E E E E E E = E E E E E E E E E E E E E E E E E E /62

13 Dalsze zmniejszenie liczby niezależnych składowych tensora [E] można otrzymać z rozważań termodynamicznych, jeśli założyć istnienie właściwej energii potencjalnej Różniczka dφ jest równa Stąd dφ = dε = E ε dε = Φ dε Φ ε kl kl ε Φ = Ek lε kl / ( ) = E ε ε ε kl kl kl 47/62

14 Zmieniając kolejność różniczkowania mamy Φ ( ) = Ekli ε ε kl j Stąd Φ 2 = E = ikl j εε kl E kl Liczba niezależnych modułów redukuje się do 21. Jest to przypadek najbardziej ogólny anizotropia materiału sprężystego Wiele materiałów cechuje się: - jednorodnością (własności mechaniczne jednakowe we wszystkich punktach) - izotropowością (własności mechaniczne jednakowe we wszystkich kierunkach) 48/62

15 E kl W przypadku izotropii tensor jest tzw. tensorem izotropowym IV rzędu, tzn. w każdym układzie współrzędnych prostokątnych ma jednakowe elementy składowe Izotropowym tensorem II rzędu jest tensor Kroneckera 1 i = j δ = 0 i j δ δ δikδjl + δilδjk Tensorami IV rzędu są oraz i są one także kl tensorami izotropowymi 49/62

16 Tensor E kl da się przedstawić jako liniowa ich kombinacja E kl = aδ δ + bδ δ + kl ik jl cδ il δ jk gdzie a,b,c to stałe Prawo Hooke a w wyniku symetrii ma postać: = aδε + bε + cε lub kk = aδε + ( b+ c) ε kk λ 2μ 50/62

17 Mamy zatem tylko dwie stałe a i (b+c). Stałe te nazywane są stałymi Lamego λ=a i 2μ=b+c (mają wymiar naprężeń) = λδ ε + 2με kk Gdzie stałe Lamego wyrażąją się wzorami: : μ = G 2vG λ = 1 2v gdzie G moduł sprężystości poprzecznej Kirchhoffa, ν - liczba Poissona. 2vG = 2Gε + εkkδ 1 2v 51/62

18 Uwzględniając, że zależność między G i E G = E 2(1 + v) stałe Lamego wyrażąją się następująco: μ = E ν E λ = + (1 2 ν )(1 + ν ) 2(1 ν ) E ν E = ε + εkkδ 1 + ν (1 2 ν)(1 + ν) 27/62

19 i,j,k=1,2,3 E ν E = ε + εkkδ 1 + ν (1 2 ν)(1 + ν) E v 11 = [ ε11 + ( ε11 + ε 22 + ε 1+ v 1 2v E v 22 = [ ε 22 + ( ε11 + ε 22 + ε 1+ v 1 2v E v 33 = [ ε 33 + ( ε11 + ε 22 + ε 1+ v 1 2v 33 )] )] )] ε 1+ v v = kk E E δ ε 1+ v v 11 = 11 [ ] E E + + ε 1+ v = E E E E = ε = ε = ε31 ν 1 + ν 1 +ν /62

20 = 2Gε + 2vG ε 1 2v kk δ (i,j,k=1,2,3) 2vG 11 = 2 Gε11 + ( ε11 + ε22 + ε33) 1 2v 2vG 22 = 2 Gε22 + ( ε11 + ε22 + ε33) 1 2v 2vG 33 = 2 G ε 33 + ( ) 1 2v ε + ε + ε = 2Gε Gε = 2Gε = 31 26/62

21 Dla ciała izotropowego tensor E kl przyjmuje postać: Ekl = λδ δ + μ + kl ( δ ikδ jl δ ilδ jk ) TYLKO DWIE STAŁE! lub w zapisie macierzowym: [ E] kl kl 6 6 = E ε i, j, k, l = 1,2,3 λ + 2μ λ λ λ λ 2μ λ λ λ λ + 2μ = μ μ μ { } = [ E] { ε} /62

22 53/62 Energia sprężysta właściwa

23 Obliczamy porcję energii sprężyste zmagazynowaną w infinitezymalnym prostopadłościanie, traktując go jako układ liniowosprężysty Siły powierzchniowe proporcjonalne do składowych stanu naprężenia wykonują pracę na odpowiadających im przemieszczeniach, proporcjonalnych do składowych stanu odkształcenia Porcja energii sprężystej dv=dl zmagazynowana w elementarnym prostopadłościanie objętości wynosi zatem 1 dv = dl= [( 11dx2dx3 )( ε11dx1 ) + ( 22dx3dx1 )( ε22dx2 ) + ( 33dx1 dx2 )( ε33dx3 ) ( dx dx )(2ε dx ) + ( dx dx )( dx dx ) + (2ε dx ) + ( dx dx )(2ε dx )] /62

24 11dx dx 2ε 21dx2 Sposób obliczania pracy wykonanej przez siłę na przemieszczeniu ε dx 2 3 oraz siłę na przemieszczeniu dx3dx1 jest zilustrowany na rysunku ROZCIĄGANIE (ŚCISKANIE) ŚCINANIE 55/62

25 Po podzieleniu dv=dl przez objętość prostopadłościanu otrzymamy energie sprężystą przypadającą na jednostkę objętości, zwaną właściwą energią sprężystą w analizowanym punkcie ciała Φ = 1 2 ( 11ε ε ε ε ε ε 31 ) 56/62

26 Po wstawieniu zamiast składowych stanu odkształcenia lub naprężenia otrzymuje się: Φ= ( ) (1 33 v )( ) E v G ( ) ( ) 1 2v ε ε ε ε ε ε ε ε ε Φ= Energia sprężysta właściwa jest jednokrotną kwadratową funkcją składowych stanu naprężenia lub odkształcenia. 57/62

27 Właściwą energię można traktować jako sumę energii zmiany objętości Φ V i zmiany postaci ciała Φ f Φ = ΦV + Φ f Φ V = 1 2v 6E ( ) 1+ v Φ f = ( ) ( 22 33) ( 33 11) 6( ) 6E /62

28 Φ Energia sprężysta wyrażona przez składowe stanu naprężenia bądź odkształcenia nosi nazwę potencjału sprężystego, ponieważ spełnia warunki, jakie musi spełnić funkcja, aby być potencjałem Φ = ε Φ = ε Φ = ε Φ = 2ε Φ 23 = 2ε 23 Φ = 2ε /62

29 albo Φ ε 11 = 11 Φ ε 22 = 22 Φ ε 33 = 33 Φ ( 2 = ε 12 ) 12 Φ (2ε 23 ) = 23 Φ ( 2 = ε 31 ) 31 61/62

30 62/62 KONIEC