GLOBALNE OBLICZANIE CAŁEK PO OBSZARZE W PURC DLA DWUWYMIAROWYCH ZAGADNIEŃ BRZEGOWYCH MODELOWANYCH RÓWNANIEM NAVIERA-LAMEGO I POISSONA

Transkrypt

1 MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN X 33, s.8-86, Gliwice 007 GLOBALNE OBLICZANIE CAŁEK PO OBSZARZE W PURC DLA DWUWYMIAROWYCH ZAGADNIEŃ BRZEGOWYCH MODELOWANYCH RÓWNANIEM NAVIERA-LAMEGO I POISSONA EUGENIUSZ ZIENIUK, KRZYSZTOF SZERSZEŃ, AGNIESZKA BOŁTUĆ Instytut Informatyki, Uniwersytet w Białymstoku Sosnowa 64, Białystok {ezieniuk, aboltuc, kszerszen}@ii.uwb.edu.l Streszczenie. W racy rzedstawiono globalny sosób numerycznego obliczania całek owierzchniowych w dwuwymiarowych zagadnieniach brzegowych. Prezentowana technika oiera się na matematycznym zdefiniowaniu obszarów za omocą arametrycznych łatów owierzchniowych oraz wykorzystaniu kwadratur całkowania numerycznego wyższych rzędów. Praktyczną realizację roonowanej rocedury rzedstawiono dla zagadnień brzegowych definiowanych równaniem Poissona.. WSTĘP Do modelowania szerokiej klasy zagadnień z mechaniki ciała stałego jest stosowane między innymi tradycyjne równanie rzemieszczeniowe Naviera-Lamego. Równanie to służy do modelowania liniowych zagadnień mechaniki i charakteryzuje się obecnością w nim sił masowych. Jest ono najczęściej rozwiązywane metodami numerycznymi, takimi jak metoda elementów skończonych (MES) oraz metoda elementów brzegowych (MEB). Siły masowe dosyć często w raktycznych obliczeniach są jednak omijane, szczególnie jest to zauważalne rzy zastosowaniu MEB []. Jest to odyktowane tym, że w MEB nie stosuje się dyskretyzacji obszaru, a jedynie dyskretyzację jego brzegu. Uwzględnienie jednak sił masowych w MEB ociąga za sobą konieczność obliczania całek o obszarze. Praktycznie ich obliczenie tradycyjnymi metodami numerycznymi srowadza się do odzielenia tego obszaru na tzw. komórki. Podzielenie obszaru na komórki z technicznego unktu widzenia jest bardzo zbliżone do odzielenia go na tzw. elementy skończone stosowane w MES. Różnica srowadza się tylko do innego ich rzeznaczenia. W MES elementy służą do ułatwienia aroksymacji rozwiązań w węzłach należących do elementów skończonych, modelujących w sosób dyskretny rozatrywany obszar. Komórki natomiast w MEB służą tylko do ułatwienia numerycznego obliczania całek o obszarze. Całki te są obliczane na odstawie zsumowania całek z oszczególnych komórek, na które został odzielony rozatrywany obszar. We własnych racach do rozwiązywania zagadnień brzegowych otrzymano arametryczny układ równań całkowych (PURC) [5]. Główną cechą PURC jest fakt, iż geometria brzegu jest uwzględniona w jego formalizmie matematycznym. Dlatego też w celu raktycznego

2 8 E. ZIENIUK, K. SZERSZEŃ, A. BOŁTUĆ zdefiniowania obszarów zadawane są tylko: unkty narożne w rzyadku segmentów liniowych oraz unkty brzegowe do wykreowania segmentów krzywoliniowych. Liczba tych unktów jest znacząco mniejsza niż liczba węzłów w rzyadku MEB, onadto zamodelowany w ten sosób brzeg jest brzegiem ciągłym. Zastosowana metoda do rozwiązania PURC ozwala na otrzymanie rozwiązań w dowolnym unkcie na brzegu z wysoką dokładnością. Dotychczas otrzymane PURC dotyczyły równania Lalace a i Helmholtza, czyli równań, w których nie zachodziła otrzeba całkowania o obszarze. Ostatnio rozwijany PURC dotyczył równania rzemieszczeniowego Naviera-Lamego [5], ale w celu ozbycia się całkowania o obszarze ominięte zostały siły masowe. Celem niniejszej racy jest zaroonowanie i rzetestowanie techniki obliczania całek owierzchniowych (wystęujących w PURC), olegającej na obliczaniu tych całek w sosób globalny, czyli bez dzielenia obszaru na komórki. Technika ta jest testowana głównie na zagadnieniach modelowanych równaniem Poissona, mających rozwiązania dokładne. Zaroonowana technika, w odróżnieniu od techniki stosowanej w tradycyjnej MEB, charakteryzuje się tym, że nie wymaga dzielenia obszaru na komórki. W zaroonowanym sosobie obszar jest traktowany globalnie jako makroelement (czyli jedna komórka). Tylko w rzyadkach bardzo skomlikowanych obszarów douszczalne jest jego odzielenie na niewielką liczbę odobszarów. Sosób ten dla rozatrywanych rzykładów okazał się bardzo efektywny, onadto zamieszczone rzykłady numeryczne otwierdzają wysoką dokładność zaroonowanej metody w orównaniu z rozwiązaniami analitycznymi.. GLOBALNE OBLICZANIE CAŁEK PO OBSZARZE W PURC Dwuwymiarowe zagadnienie brzegowe modelowane równaniem Naviera-Lamego, w obszarach wielokątnych może być rozwiązywane za omocą PURC, rzedstawionym w [5], natomiast w obszarach krzywoliniowych za omocą równania rzedstawionego w [6]. W obu tych rzyadkach w celu uroszczeń w trakcie otrzymywania PURC zostały ominięte siły masowe. Stosując sosób rzedstawiony w tych racach do modyfikacji BRC z uwzględnieniem sił masowych, otrzymano PURC w nastęującej ostaci n sr * { U ( s, s) ( s) P ( s, s) u ( s) } J ( s) ds + U ( s, y)( b y) dω( y), 0.5u ( s) = () Funkcje odcałkowe r= sr r U r oraz rzedstawione w [5,6], natomiast funkcja gdzie U * (3 4 ) ln( ) ν (, ) s y = 8π ( ν ) µ 0.5 ] r r r r P r (w ierwszej całce) w jawnej ostaci zostały * U dla całki o obszarze Ω ma nastęującą ostać Ω (3 4ν ) ln( ) () () = [ +, = y Γ ) oraz = y Γ ). ( s, ( s =,,... n () W formule () obok całek rzedziałowych zdefiniowanych na linii rostej w arametrycznym układzie odniesienia dodatkowo ojawia się druga całka o obszarze Ω. Całka ta też ojawiała się i w tradycyjnej MEB. Była ona obliczana na dwa różne sosoby, w niektórych szczególnych rzyadkach w zależności od ostaci funkcji odcałkowej można było ją srowadzić do całki o brzegu [].

3 GLOBALNE OBLICZANIE CAŁEK PO OBSZARZE W PURC W większości rzyadków jednak bardziej ogólnym sosobem jest bezośrednie całkowanie o obszarze Ω. W celu rzerowadzenia tego całkowania obszar ten był dzielony na komórki. Taki odział wizualnie jest bardzo odobny do odziału obszaru na elementy skończone stosowane w tradycyjnej MES, niezależnie jednak od tego odobieństwa merytorycznie odział ten ma zuełnie inne rzeznaczenie. Obliczenie całki o obszarze raktycznie srowadza się do obliczenia całek na oszczególnych komórkach, a nastęnie na zsumowaniu otrzymanych wartości. Całki na oszczególnych komórkach obliczane są na odstawie numerycznych kwadratur niższego rzędu, z niewielką liczbą wsółczynników. W tym celu wykorzystywany jest nastęujący wzór [] E N B = F( y) dω( y) wnf( y n ), (3) Ω e= n= e rzy czym w jest wagą, natomiast F ( y ) n n całkowaną funkcją obliczaną dla n -tego wsółczynnika zastosowanej kwadratury, E - liczbą komórek, na które odzielono obszar. Celem niniejszej racy jest rzedstawienie nowej techniki obliczania niektórych całek o obszarze Ω, oartej na globalnym traktowaniu obszaru, czyli bez konieczności dzielenia jego na komórki. Realizacja tego celu stała się możliwa dzięki: - zastosowaniu kwadratur wysokiego rzędu do całkowania numerycznego [4], - wykorzystaniu łatów owierzchniowych (stosowanych w grafice komuterowej) do modelowania obszaru Ω []. W takim rzyadku formuła (3) całkowania numerycznego może być zredukowania do nastęującego wyrażenia B = Ω M F( y) dω( y) w F( ), (4) m= m y m rzy czym w jest wartością wagową, zaś F ( y ) m m wartością całkowanej funkcji określoną dla m -tego wsółczynnika kwadratury całkowania numerycznego wyższego rzędu M. Kolejnym roblemem rzy obliczaniu całki o obszarze ozostaje raktyczne uwzględnianie tego obszaru w całce. Na odstawie drugiej całki we wzorze () możemy stwierdzić, że obszar Ω, o którym obliczamy całkę w sosób bezośredni, nie jest uwzględniony w formalizmie matematycznym tej całki. Na odstawie tej całki możemy tylko stwierdzić, że y Ω, ale rozatrywany obszar musi być dodatkowo zdefiniowany, aby można było o nim obliczyć całkę. Dlatego też modelowanie obszarów za omocą komórek należy traktować jako ośredni sosób uwzględnia obszarów w całkach o obszarze. Do bezośredniego uwzględniania obszaru Ω w całkach zaroonowano trójwymiarowe łaty owierzchniowe (Coonsa, Beziera) stosowane w grafice komuterowej []. Płaty te są bardzo efektywne, onieważ za omocą niewielkiej ilości unktów kontrolnych możemy kreować ich kształt w rzestrzeni trójwymiarowej. W związku z tym, że w całkach obszary są łaskie, łaty owierzchniowe (Coonsa, Beziera) zostały srowadzone do łaszczyzny rzez wyzerowanie jednej wsółrzędnej. Dlatego też w łatach owierzchniowych Coonsa lub Beziera stosowanych do modelowania obszarów w całkach o obszarze należy rzyjąć, że y = 0, natomiast za 3 y oraz y należy odstawić wzory wynikające z łatów owierzchniowych Coonsa lub Beziera rzedstawianych w ostaci arametrycznej. Przykładowo dla łatów Coonsa w () należy odstawiać nastęujące wyrażenia [] v, w gdzie y ) ( v)( w) P ( y ) + ( v) wp ( y ) + vwp ( y ) + v( w) j j 3 j [ 0, ], j =, y = P ( y ), j 4 j (5) P, ( i =,,3,4 ) są odowiednio kolejnymi wsółrzędnymi unktów kontrolnych. ( i j

4 84 E. ZIENIUK, K. SZERSZEŃ, A. BOŁTUĆ.. Modelowanie i modyfikowanie obszarów za omocą łatów W roonowanym sosobie całkowania obszar jest globalnie zdefiniowany w całce w ostaci ojedynczej makrokomórki oisanej sarametryzowanym łatem owierzchni. Na rys. rzedstawiono trzy obszary modelowane łatami owierzchni Beziera i Coonsa. Charakterystyczną cechą rozatrywanych łatów jest możliwość efektywnego modelowania i modyfikowania kształtu obszarów w sosób globalny, za omocą niewielkiego zbioru unktów kontrolnych. Kolejną zaletą wrowadzonych łatów jest też łatwość analitycznego obliczenia jakobianu. Płaty owierzchniowe dają możliwość zamodelowania obszaru w sosób globalny, czyli bez dzielenia na komórki. Całkowanie jednak o tak dużych obszarach wymaga zastosowania kwadratur wyższego rzędu. W dotychczasowej literaturze, między innymi w [,3], można znaleźć głównie wsółczynniki w dla kwadratur niższego rzędu, jakie były stosowane do całkowania o komórkach, na które został odzielony obszar. W racy z 003 roku [4] rzedstawiono zestawione tabelarycznie wsółczynniki i w dla i kwadratur wyższego rzędu. Podano wartości 85, 6 oraz 75 wsółczynników dla kwadratur zdefiniowanych na owierzchni trójkątnej. Dodatkowo na odstawie zawartych w tej racy wzorów możliwe jest bezośrednie wygenerowanie wsółczynników dla kwadratury dowolnego rzędu M. Umożliwia to bezośrednią ich generację w rogramie komuterowym oraz elastyczny dobór liczby niezbędnych wsółczynników. 3. PRZYKŁADY TESTOWE Zaroonowana metoda była testowana na równaniu Poissona zdefiniowanym na różnych obszarach rzedstawionych na rys., modelowanych za omocą różnych łatów owierzchniowych. Zbadano też wływ globalnego modelowania obszarów i obliczania całek o obszarze na wyniki rozwiązań uzyskiwane za omocą PURC w orównaniu z rozwiązaniami dokładnymi. a) b) c) Rys.. Modelowanie obszaru: a) trójkątnym łatem Beziera, b) rostokątnym i trójkątnym łatem Coonsa, c) zmodyfikowanym rostokątnym łatem Beziera Wyniki obliczeń PURC uzyskane w wybranych unktach na brzegu dla każdej z trzech geometrii z rys. zestawiono w rzedstawionych oniżej tabelach. W każdym z rzykładów zadawano warunki brzegowe tyu Dirichleta w ostaci jawnej. Dla obszaru trójkątnego (rys.a) na brzegu zadano warunek w ostaci elementarnej funkcji u ( x, x ) = x + x, 3 3 natomiast w ostaci bardziej złożonej u ( x, x ) = x + x + 3xx + 3x x dla obszarów z rys.b,c. Rozwiązania otrzymane na brzegu za omocą PURC orównywano z warunkami Neumanna (kolumna 3), analitycznie otrzymanymi na odstawie zadanych warunków

5 GLOBALNE OBLICZANIE CAŁEK PO OBSZARZE W PURC Dirichleta. W kolumnach czwartej i iątej rzedstawiono błąd rozwiązań PURC w stosunku do wartości dokładnych z kolumny 3 w zależności od odanej w nawiasie liczby rozwiązywanych równań algebraicznych. Tabela. Wyniki na brzegu dla obszaru trójkątnego z rys.a PURC Punkt obliczeniowy(, x Nr. Błąd rozwiązań [%] ( równań) (.55, 0.45) (., 0.9) (.65,.35) (.,.8) (0.75,.5) (0.3,.7) x ) dokładne Rozwiązanie Błąd rozwiązań [%] (4 równania) Tabela. Wyniki na brzegu dla obszaru modelowanych łatami Coonsa z rys.b Nr. Punkt PURC Rozwiązanie obliczeniowy(, x Błąd rozwiązań [%] Błąd rozwiązań [%] dokładne (6 równań) (4 równania) (.55, 3) (., 3) (.65, 3) (., 3) (0.75, 3) (0.3, 3) Tabela 3. Wyniki na brzegu dla obszaru modelowanych łatem Beziera z rys.c Nr. Punkt PURC Rozwiązanie obliczeniowy(, x Błąd rozwiązań [%] Błąd rozwiązań [%] dokładne (6 równań) (3 równania) (0.6885, ) (.34363,.34363) ( , ) (8.0,.467) (8.0,.4965) (8.0, ) Analiza uzyskanych rozwiązań na brzegu wskazuje na ich dużą zbieżność w stosunku do wartości dokładnych. Zostało to osiągnięte rzy niewielkiej liczbie rozwiązywanych równań algebraicznych (od do 3 równań) oraz zaroonowanym globalnym sosobie całkowania całek o obszarze. 4. WNIOSKI Przedstawione w tabelach wyniki otwierdzają słuszność globalnego obliczania całek o obszarze w PURC modelowanych za omocą łatów owierzchniowych. Takie ich obliczanie nie wymaga jego dzielenia na komórki. Wymaga jednak stosowania do numerycznego całkowania kwadratur wyższego rzędu. Ważną zaletą roonowanej techniki jest też łatwość

6 86 E. ZIENIUK, K. SZERSZEŃ, A. BOŁTUĆ modyfikowania obszarów za omocą unktów kontrolnych. Okazało się na odstawie rzerowadzonych testów, że nieznaczna modyfikacja brzegu globalnego obszaru trójkątnego (rys.a) nie miała wływu na ogorszenie wyników niezależnie od tego, że wsółczynniki do kwadratury były stosowane dla obszaru trójkątnego. W rzyadkach bardziej skomlikowanych obszarów douszczalne jest odzielenie obszaru na niewielką liczbę odobszarów (rys. b). Bardzo interesujący jest rzykład z obszarem okazany na rys.c. Do jego globalnego zamodelowania wstęnie był wykorzystany łat kwadratowy Beziera oraz wsółczynniki kwadratury również dla obszaru kwadratowego. Nastęnie ten łat został za omocą unktów kontrolnych dość znacznie zmodyfikowany do kształtu okazanego na rys.c. Modyfikacja obszaru, jak się okazało na odstawie uzyskanych obliczeń, nie ma negatywnego wływu w tym rzykładzie na dokładność uzyskiwanych rozwiązań. Praca naukowa finansowana ze środków budżetowych na naukę w latach jako rojekt badawczy 3TF058. LITERATURA. Brebbia C. A., Telles J. C. F., Wrobel L. C.: Boundary element techniques, theory and alications in engineering. New York: Sringer, Foley J. D.: Wrowadzenie do grafiki komuterowej. Warszawa: WNT Lyness J., Jesersen D.L.: Moderate degree symmetric quadrature rules for the triangle. Journal of the Institute of Mathematics and its Alications, Volume 5, Number, February 975, s Wandzura S., Xiao H.: Symmetric quadrature rules on a triangle. Comuters and Mathematics with Alications, Volume 45, s , Zieniuk E., Bołtuć A.: Non-element method of solving D boundary roblems defined on olygonal domains modeled by Navier equation. International Journal of Solids and Structures, 006, vol 43, s Zieniuk E., Bołtuć A.: Krzywe Beziera w modelowaniu ciągłej geometrii brzegu w zagadnieniach brzegowych oisywanych równaniem Naviera. Prace Naukowe Transort" Politechniki Radomskiej nr 3(3), Radom 005, s GLOBAL COMPUTATION OF DOMAIN INTEGRALS IN PIES FOR TWO-DIMENSIONAL BOUNDARY PROBLEMS MODELLED BY NAVIER-LAMÉ AND POISSON EQUATIONS Summary. The aer resents a novel technique for global considerations and numerical integration of domains in D boundary roblems. It base on comutation of these integrals in global way, i.e. without division of the domain into cells. In roosed aroach the domain is treated globally as single arametric surface and using numerical quadratures of high orders. Included numerical examles for boundary roblems described by Poisson confirm high accuracy of roosed method comared with analytical results.