WYKŁAD 14 PROSTOPADŁA FALA UDERZENIOWA

Transkrypt

1 WYKŁAD 4 PROSTOPADŁA FALA UDERZENIOWA

2 PROSTOPADŁA FALA UDERZENIOWA. ADIABATA HUGONIOTA. S 0 normal shock wave S Gazodynamika doszcza istnienie silnych nieciągłości w rzeływach gaz. Najrostszym rzyadkiem takiej nieciągłości w rzeływie jest rostoadła fala derzeniowa (PFU). S Rozważmy obszar kontrolny Ω ograniczony owierzchnią brzegową S0 S S Równania zachowania dla rzeływ stalonego rzez PFU: () masa ds 0 n () ęd ( nυ n) ds 0 (3) energia D D ( ) ( )

3 Plan działania:. Oisać roces termodynamiczny zachodzący odczas rzeływ rzez PFU.. Znaleźć związki omiędzy arametrami gazodynamicznymi rzed i za PFU. Zaczynamy Podzielmy () rzez () (4) Przeiszmy równanie (3) w ostaci ( )( ) (5) Stosjąc (4) równanie (5) może być zaisane nastęjąco ( ) (6)

4 Lewa strona równania (6) może być rzekształcona nastęjąco (korzystamy w równania zachowania masy () ) LHS ( 6 ) Równanie (6) rzyjmje ostać (7) Mnożymy równanie (7) rzez i otrzymjemy związek omiędzy wielkościami. i Otrzymaliśmy formłę oisjącą roces termodynamiczny, którem odlega gaz rzeływający rzez PFU! Formła ta nosi nazwę adiabaty Hgoniota. (8)

5 Otrzymana formła różni się od formły roces izentroowego (zwanego adiabatą Poissona). Przyjrzyjmy się tem bliżej Zaważmy, że dla fnkcja (8) ma asymtotę ionową. Wynika z tego, że odczas rzechodzenia rzez PFU gęstość gaz nie może wzrosnąć bardziej niż razy. Dla 4. (gaz dwatomowy) maksymalna wartość stosnk to 6. Oznaczmy y Formła (8) rzyjmje ostać Obliczmy ierwszą ochodną, x, x yx ( ) x ( )( ) y( x) yhgoniot ( ) ( x) Dla rzeływ izentroowego mamy y( x) x, zatem y( x) x y () Poisson

6 Ponadto ( )( ) y Hgoniot ( x) y Hgoniot ( ) ( ) 3 ( x) y ( x) ( ) x y ( ) ( ) isentroic isentroic Widzimy, że linie oisjące adiabaty Hgoniota (dla PFU) i Poissona (roces izentroowy) są w nkcie x ściśle styczne. Z fizycznego nkt widzenia oznacza to, że słabe fale derzeniowe są rawie izentroowe. Istotnie, z własności ścisłej styczności adiabat wynika, że 3 C [( ) ] Hgoniot isentroic gdzie C jest ewną stałą. W szczególności, dla Poissona są niemal nierozróżnialne (vide obrazek). 3 adiabaty Hgoniota i

7 30 5 Rankin-Hgoniot and Poisson adiabats ( =.4) Normal shock wave (Rankin-Hgoniot) 0. / Isentroic flow (Poisson)

8 ENTROPIA I ZWIĄZKI GAZODYNAMICZNE DLA PFU Z -szej Zasady Termodynamiki mamy dq d dt d dt d ds ( di ) c c R T T T T T Z równania stan (Claeyrona) RT wynika, że d d dt dt d d ln ln lnt const T T i różniczka entroii właściwej może być zaisana w ostaci Po scałkowani otrzymjemy d d d d d ds c R cv c s c ln c ln const c ln( ) const v v cv

9 Z otrzymanej formły wynika wzór oisjący zmianę entroii omiędzy dwoma stanami termodynamicznymi gaz, a mianowicie s s s ln ln ln ln c c v v Zaważmy, że dla adiabaty Hgoniota ma miejsce nierówność Hgoniot s 0 Wynika stąd, że fala derzeniowa, która rowadziłaby do sadk gęstości i ciśnienia (fala rozrzedzeniowa) rzeczy -giej Zasadzie Termodynamiki. Wnioskjemy, że w rzyrodzie istnieją wyłącznie zgęszczeniowe (i srężające gaz) fale derzeniowe. Hgoniot s 0

10 Zobaczmy co z tego dalej wynika Zaważmy, że skoro PFU Z równania energii wynika dalej, że to z równania zachowania masy mamy T T ( ) / c 0 T T czyli gaz o rzekroczeni fali derzeniowej ogrzewa się. Pokażemy, że rzeływ rzed falą derzeniową jest (w kładzie odniesienia związanym z falą) zawsze naddźwiękowy, a za PFU oddźwiękowy. W tym cel zaiszmy równanie energii w nastęjącej ostaci a ( ) ( ) ( ) M

11 Pisząc to równanie w nktach odowiednio rzed i za PFU otrzymjemy równości a ( ) ( ) a ( ) ( ) Nastęnie odejmjemy je stronami. a a ( Równ. 4 ) Po rostych rzekształceniach otrzymjemy związek Prandtla dla PFU który imlikje, że a and a, a a

12 Co z liczbami Macha? Równanie energii a a ( ) dzielimy rzez kwadrat rędkości gaz i otrzymjemy równość Po rostych rzekształceniach mamy W owyższej równości wynika, że a M a M a M, a M

13 Zatem, rzeływ rzed PFU jest naddźwiękowy, a za PFU oddźwiękowy. Wielkość a zwana jest wsółczynnikiem rędkości. W rzeciwieństwie do liczby Macha, wsółczynnik rędkości rzyjmje wartości z rzedział ograniczonego, a mianowicie M lim, lim M Liczba Macha M (za PFU) może być wyrażona jako fnkcja liczby Macha M (rzed PFU). Wykorzystjąc związek Prandtla, możemy naisać a a M M skąd wynika, że ( ) M M M

14 Podobnie, można wyrazić jako fnkcje liczby Macha rzez PFU inne stosnki wielkości gazodynamicznych. N. stosnek gęstości wynika z równania zachowania masy M a M a a ( M ) ( M ) ( M ) ( M ) [ M ( M )] M ( M) a M ( M) a0 a iz. 0 iz. W cel obliczenia stosnk ciśnień (jako fnkcji M ) rzekształcimy równanie ęd w nastęjący sosób ( M ) const a Stosjąc otrzymaną równość w nktach rzed i za PFU otrzymjemy związek M ( M) M ( M )

15 Przeływ rzez falę derzeniową jest (z założenia) adiabatyczny, zatem temeratra całkowita T 0 nie lega zmianie (formalnie T0 T0 T0 ). Mamy zatem gdzie stosnek 0 3) T T T0 ( M ) ( M ) T T T [ M ( M )] 0 T / T wyraża wzór wyrowadzony z równania energii (vide Wykład nr T ( M ) M T Otrzymane zależności rzedstawiają oniższe wykresy 0

16 M NORMAL SHOCK WAVE ( M / Na koniec rozważmy zmiany ciśnienia całkowitego (siętrzenia) wywołane obecnością PFU. Rozważmy roces oisany schematem 0 izentroowe PFU rozędzanie NORMAL SHOCK WAVE ( M izentroowe sowolnienie M Pokażemy, że o rzejści gaz rzez falę derzeniową ciśnienie całkowite maleje NORMAL SHOCK WAVE ( / T /T

17 Uzasadnienie tego stwierdzenia rzebiega nastęjąco. Wiemy, że entroia gaz na fali derzeniowej wzrasta. Wyrowadzona wcześniej formła dla zmian entroii może być zaisana dla arametrów siętrzenia, a mianowicie s s 0 ln c v ln Ponieważ temeratra siętrzenia (całkowita) nie lega zmianie, to Zatem T T T równanie Claeyrona 0 0 s 0 ( )ln c v 0 / NORMAL SHOCK WAVE ( M