A. Kapanowski, M. Abram, A. Kądzielawa, M. Wysokiński. Fizyka-ćwiczenianr października 2012

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "A. Kapanowski, M. Abram, A. Kądzielawa, M. Wysokiński. Fizyka-ćwiczenianr października 2012"

Karol Czech
6 lat temu
Przeglądów:

1 A. Kapanowski, M. Abram, A. Kądzielawa, M. Wysokiński Fizyka-ćwiczenianr 3-4 października 202 Pocodna funkcji Definicja (F. Leja, Racunek różniczkowy i całkowy, Warszawa 978). Niecfbędziefunkcjąodwzorowującąprzedział(a,b)wzbiór R, 0 i będądwomaróżnymipunktamiprzedziału,a= 0.Wyrażenie f( 0 +) f( 0 ) nazywamyilorazemróżnicowymfunkcjifmiędzypunktamii 0. Przykład. Weźmyfunkcjęliniowąf()=a +a 0.Ilorazróżnicowyprzyjmiepostać: f( 0 +) f( 0 ) = [a ( 0 +)+a 0 ] (a 0 +a 0 ) () = a =a. (2) Dlafunkcjistałej(a =0)ilorazróżnicowywynosizero. Przykład 2. Weźmyfunkcjękwadratowąf()= 2.Obliczamyilorazróżnicowy f( 0 +) f( 0 ) = ( 0+) = = (3) Wgranicy 0otrzymujemy2 0. Definicja 2. Jeżeliilorazróżnicowymagranicędla 0,togranicęoznaczamyf ( 0 )i nazywamypocodnąfunkcjifwpunkcie 0. Przykład 3. Właściwości pocodnyc. f() f () n n n sin cos cos sin e =ep() e ln a a lna 2 (u+v) =u +v, (uv) =u v+v u, ( u v ) = u v v u v 2. Zadanie. Obliczyć pocodne funkcji: a)y= 3 +2, b)y=sin, c)y= 2, d)y=tg= sin cos, e)y=ctg. Definicja 3.

2 Pocodnafunkcjizłożonej.Niecf:X Yig:Y Zbędąfunkcjamina zbioracx,y,z Ribędzieiczłożeniem=g f,także()=g[f()]. Pocodna funkcji dana jest wzorem gdziey=f(). Zadanie 2. Obliczyć pocodne funkcji złożonej: ()=g (y)f (), (4) a)f= ( 2 ) 5, b)f=sin(3+5), c)f= + 2, d)f=ln(sin). Całki Funkcja pierwotna Definicja 4(F. Leja, Racunek różniczkowy i całkowy, Warszawa 978). Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f jeśli: F ()=f(). (5) InaczejmówimyocałcenieoznaczonejF()= f()d.obliczaniefunkcji pierwotnej do f nazywamy całkowaniem funkcji f. Przykład 4(właściwości całek). Funkcja pierwotna wyznaczona jest z dokładnością do stałej: [F()+C] =F ()+0=f(). (6) Stałą C nazywamy stałą całkowania. f() f()d n n+ n+ sin cos cos sin e =ep() e Zadanie 3. Oblicz: ln (f()+g())d= f()d + g()d, Af()d=A f()d. a) 3cosd, b) ( ) d. Związek całki z polem Weźmyf-funkcjęciągłąidodatniąw[a,b]iP=P()poleograniczone krzywą, osią odciętyc i rzędnymi w a i (Rys. ). Podzielmy powierzcnię P nawielecienkicpaskówoszerokości.zakładając,żezarówno,jaki + [a,b],różnicap(+) P()równajestpowierzcnipaskaispełnia nierówności f( min ) P(+) P() f( ma ), (7) gdzief( min )tonajmniejsza,af( ma )największawartośćfunkcjifwprzedziale[, + ]. Dzieląc obustronnie przez otrzymujemy f( min ) P(+) P() f( ma ). (8) Dla 0mamyf( min ) f()if( ma ) f(),ailorazróżnicowy przecodzi w pocodną, dostajemy więc równanie: P ()=f(). (9) 2

3 Rysunek. Pole ograniczone krzywą. Tak zdefiniowane pole jest więc funkcją pierwotną funkcji f. Jak już wiemy, pierwotną zawsze otrzymujemy z dokładnością do stałej, tak więc P()=F()+C. (0) Stałą całkowania otrzymujemy z warunku P(a) = 0(skoro przez P oznaczyliśmy polepomiedzyaa).stądc= F(a).Ostatecznie P()=F() F(a). () PolezaciemnionejaknaRys.przyjmujewięcwartośćF(b) F(a).Alternatywnie zapisujemy to w postaci Zadanie 4. Oblicz: P= b a) π 0 sind, b) 0 2 d. a f()d. (2) Liczby zespolone Definicja 5(F. Leja, Funkcje zespolone, Warszawa 979). Każdaliczbazespolonazmapostaćz=+iy,gdzieiysąliczbami rzeczywistymi, symbol i oznacza jednostkę urojoną. Właściwości Definicja 6. a)zerozespolonetoz=0+i0=0. b)r(z)=re(z)=toczęśćrzeczywistaliczbyzespolonej.jeżeli=0,toz jest liczbą urojoną. c)i(z)=im(z)=ytoczęśćurojonaliczbyzespolonej.jeżeliy=0,tozjest liczbą rzeczywistą. 3

4 d) Liczbie zespolonej z = + iy odpowiada na płaszczyźnie prostokątnego układu współrzędnyc punkt o współrzędnyc(, y). Oś (y) nazywamy osią rzeczywistą(urojoną). e)liczbaprzeciwnadoz=+iyto z= iy. f)liczbasprzężonadoz=+iyto z= iy. Działania na liczbac zespolonyc Definicja 7. a) Dodawanie: b) Odejmowanie: c) Mnożenie: z +z 2 =( + 2 )+i(y +y 2 ). (3) z z 2 =( 2 )+i(y y 2 ). (4) z z 2 =( 2 y y 2 )+i( y 2 +y 2 ). (5) Stądi 2 =,z z= 2 +y 2. d)jeżeliz 0,tojestokreślonaliczbaodwrotnadozpostaci e) Dzielenie: z = z z z = iy y 2 +y 2= 2 +y 2 2 +y2i. (6) Zadanie 5. Dlaz =3 4i,z 2 =3+iobliczyć: z z 2 =z z 2 = z z 2 z 2 z 2. (7) a)z +z 2, b)z z 2, c)z z 2, d)z /z 2. Zadanie 6. Wykazać,żez +z 2 =z +z 2,z z 2 =z z 2,z /z 2 =z /z 2. Moduł i argument liczby Definicja 8. Modułem lub wartością bezwzględną liczby z = + iy nazywamy liczbę z = 2 +y 2.Modułliczbyzrównasięodległościpunktuzodpoczątku układu współrzędnyc. Liczbę φ określoną równaniami cosφ= z,sinφ= y z, (8) nazywamy argumentem liczby z, arg(z) = φ. Postaćbiegunowaliczbyzespolonej:z= z (cosφ+isinφ). Zadanie 7. Pokazać, że z z 2 = z z 2 [cos(φ +φ 2 )+isin(φ +φ 2 )]. (9) z z 2 = z z 2 [cos(φ φ 2 )+isin(φ φ 2 )]. (20) Stądwynika,że z z 2 = z z 2, z /z 2 = z / z 2. Wskazówki: a)sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα, b)cos(α+β)=cosαcosβ sinαsinβ, c)jeżeliz= z (cosφ+isinφ),to z = z (cosφ isinφ). 4

5 Funkcja wykładnicza a) Definicja 9. b) c) d) e) f) e z =ep(z)=+ z! +z (2) 2! e 0 =,ep(z )ep(z 2 )=ep(z +z 2 ). (22) ep(iz)=cosz+isinz. (23) ep( iz)=cosz isinz. (24) e z =e e iy =e (cosy+isiny). (25) z= z (cosφ+isinφ)= z e iφ. (26) Zadanie 8. Udowodnić wzór Moivre a (cosφ+isinφ) n =cos(nφ)+isin(nφ). (27) 5

6 Rysunki 4 Wybrane funkcje elementarne 3 2 y 0 - ep() ln() sqrt() Rysunek 2. Wybrane funkcje elementarne. 3 2 Wybrane funkcje trygonometryczne sin() cos() tg() ctg() y Rysunek 3. Wybrane funkcje trygonometryczne. 6

Podobne dokumenty

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +