1 Liczby zespolone. , p, q Z. W zbiorze Q (tzn. liczb postaci p q
|
|
- Kacper Nowak
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 1 Liczby zespoloe 1.1 Dlaczego ie wystarczaj liczby rzeczywiste W dziejach systemów liczbowych, iejedokrotie trzeba byªo rozszerza istiej ce wyikaªo to z aturalych zapotrzebowa«. Liczby aturale N = {1, 2, 3,... } z dziaªaiami dodawaia i mo»eia; s oe zawsze wykoale. Natomiast dziaªaie odwrote do dodawaia, tz. odejmowaie, jest ie zawsze wykoale w zbiorze N, p. rówaie: x + 3 = 1 ie ma rozwi za«w N. Mo»a jedak sprawi, by odejmowaie staªo si wykoale, rozszerzaj c zbiór N o wszystkie rozwi zaia rówa«postaci x + a = 0, a N. W zbiorze Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } jest ju» wykoale odejmowaie, atomiast ie zawsze jest wykoala operacja odwrota do mo»eia, tz. dzieleie; iymi sªowy, rówaie postaci: ax = 1, a 0, ie zawsze ma rozwi zaie w liczbach caªkowitych. I zów mo»a zapewi wykoalo± dzieleia, doª czaj c do Z rozwi zaia rówa«postaci ax = 1, a 0. Wyikiem jest zbiór liczb wymierych Q jako zbioru uªamków ieskracalych p q, p, q Z. W zbiorze Q (tz. liczb postaci p q, gdzie p, q Z) s ju» wykoale dodawaie, odejmowaie, mo»eie i dzieleie. Mo»a jedak wprowadzi jeszcze operacj pot gowaia (wywodz c si z mo»eia): a = a a a ( razy). I zów okazuje si,»e operacja odwrota do pot gowaia, tz. pierwiastkowaie (tz. szukaie, dla daej liczby a Q, takiej liczby x,»e x = a), ie zawsze jest wykoale (p. 2 Q; czy Czytelik pami ta /moze zrekostruowa dowód?) Zbiór liczb wymierych mo»a rozszerza a ró»e sposoby; ajwa»- iejszy z ich to doª czeie do Q wszystkich graic ci gów zbie»ych o wyrazach wymierych; prowadzi to do zbioru liczb rzeczywistych. W zbiorze liczb rzeczywistych wyci gaie pierwiastków jest ju» wykoale (je±li s to pierwiastki parzyste, to mo»a je wyci ga jedyie z liczb ieujemych). Jedak w zbiorze liczb rzeczywistych mamy jeszcze jede problem z pierwiastkami: Pierwiastki (parzystych stopi) z liczb ujemych. Rozpatrzmy podoszeie do kwadratu i wyci gaie pierwiastka drugiego stopia. To pierwsze jest zawsze wykoale i jego wyikiem jest liczba ieujema. Powoduje to,»e wyci gaie pierwiastka jest wykoale tylko dla 1
2 liczby ieujemej. Tak wi c, pozostaj c w obr bie liczb rzeczywistych, ie ma sesu wyra»eie 1, (1) gdy» ie istieje taka liczba rzeczywista, która podiesioa do kwadratu da- ªaby liczb ujem (tu: 1). Tym iemiej, taki bezsesowy czy ieistiej cy obiekt jak 1 pojawiaª si kilkakrotie w dziejach (±rediowieczej i reesasowej) matematyki i ie mo»a go byªo igorowa. Problem abrzmiaª w XV I wieku, kiedy odkryto metod rozwi zywaia rówa«trzeciego stopia: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, gdzie a, b, c, d s liczbami rzeczywistymi. Dla a 0, zawsze istieje przyajmiej jede pierwiastek tego rówaia, b d cy liczb rzeczywist. W XV I w. zalezioo metod zajdowaia rozwi za«(pierwiastków) takich rówa«dla dowolych parametrów a, b, c, d, zwa metod Cardao (chocia» wcze±iej metod rozwi zywaia zale¹li te» Tartaglia i Scipio del Ferro). Cech charakterystycz tej metody byª jedak fakt,»e mimo i» rozwi zaie byªo rzeczywiste aby je otrzyma, trzeba byªo u»y ieistiej cej liczby 1. Iymi sªowy, trzeba byªo przej± przez zakazay obszar, gdzie pojawia si ieistiej cy (urojoy) obiekt 1. Ale skoro taki obiekt, jak 1, okazuje swoj u»yteczo±c, to mo»e ie bro«my si przed im i pozwólmy mu zaistie? Oczywi±cie, ie jest wyj±ciem z sytuacji przyj cie go za liczb rzeczywist. Ale gdyby spróbowa rozszerzy poj cie liczby rzeczywistej, tak by to ogóliejsze poj cie dopuszczaªo te» takie byty jak 1. Czy mo»a tak rozszerzy zbiór liczb rzeczywistych, aby to rozszerzeie zawieraªo te» takie byty jak 1? Odpowied¹ jest pozytywa; zaim jedak o tym powiemy, wyliczmy ajpierw wªaso±ci dodawaia i mo»eia, co doprowadzi do poj cia ciaªa; oraz sprecyzujmy co rozumiemy przez rozszerzeie. 1.2 Ciaªa W zbiorach takich, jak Q oraz R, wykoale s dziaªaia dodawaia i mo»eia oraz ich odwroto±ci. Bardziej precyzyjie mo»a powiedzie,»e Q oraz R s przykªadami ciaª. Deicja. Ciaªem azywamy zbiór K, w którym mo»a wykoywa dzia- ªaia dodawaia: + i mo»eia, takie,»e K jest zamki ty wzgl dem 2
3 tych dziaªa«(tz. ie wyprowadzaj oe poza zbiór K). + i speªiaj waruki: ª czo± : (a + b) + c = a + (b + c), (a b) c = a (b c). przemieo± : a + b = b + a, a b = b a. istieie elemetu eutralego (dla + i ): a + 0 = a, a 1 = a, przy czym 1 0. istieie elemetu przeciwego (odwrotego) do daego: a + ( a) = 0, a a 1 = 1 (dla a 0). rozdzielo± mo»eia wzgl dem dodawaia: a (b + c) = a b + a c. Deicja. Rozszerzeiem ciaªa K 0 przez ciaªo K azywamy takie ciaªo K,»e K 0 K oraz dziaªaia w K stosowae do elemetów K 0 pokrywaj si z dziaªaiami w K 0. Mówimy te» wtedy,»e ciaªo K 0 jest podciaªem ciaªa K. Dwa przykªady ciaª, które ju» zamy, to liczby wymiere Q i rzeczywiste R. Tutaj R jest rozszerzeiem Q. Dwa przykªady zbiorów, które ie s ciaªami, to N oraz Z z powodów, które widzieli±my. Ie przykªady: 1. Ciaªo Z 2, tz. zbiór {0, 1} z dziaªaiami: = 0, = = 1, = 0, 0 0 = 0, 0 1 = 1 0 = 0, 1 1 = 1, jest ciaªem (prosz sprawdzi!). Elemetami eutralymi s : 0 dla dodawaia oraz 1 dla mo»eia. Ciaªo Z 2 jest podzbiorem R, atomiast ie jest podciaªem R. 2. Zbiór liczb postaci: a + b 2, gdzie a, b s liczbami wymierymi, jest cia- ªem liczbowym. Ozaczamy je Q( 2); jest oo rozszerzeiem ciaªa liczb wymierych. (Prosz sprawdzi te stwierdzeia!) 3. Niech kadydatem a ciaªo b dzie zbiór wielomiaów jedej zmieej rzeczywistej, dowolego stopia o wspóªczyikach rzeczywistych. (Zbiór taki ozaczamy przez R[ ]). Dziaªaia dodawaia i mo»eia s okre±loe w aturaly sposób. Elemet eutraly dla dodawaia to wielomia to»samo- ±ciowo rówy zeru, a elemet eutraly dla mo»eia wielomia staªy to»samo±ciowo rówy 1. Czy R[ ] jest ciaªem? Sporo aksjomatów ciaªa jest speªioych: Suma dwu wielomiaów jest wielomiaem, podobie iloczy. Speªioa jest ª czo± dziaªa«, przemieo±, rozdzielo±. Speªioe jest te» istieie wielomiau przeciwego wzgl dem dodawaia. Nie jest jedak 3
4 speªioe istieie elemetu przeciwego wzgl dem mo»eia. Tak p. elemetem przeciwym do wielomiau w(x) = x musiaªaby by fukcja 1 x, a oa ie jest wielomiaem.. Natomiast zbiór fukcji wymierych z aturalymi dziaªaiami oraz elemetami eutralymi (zdeiowaymi jak przy wielomiaach) jest ju» ciaªem. Nasz problem rozszerzeia ciaªa R mo»emy wi c doprecyzowa tak: Zale¹ rozszerzeie ciaªa R zawieraj ce elemet, którego kwadrat jest rówy 1. Stwierdzeie. Je±li K jest takim rozszerzeiem, za± i jest elemetem takim,»e i 2 = 1, to podzbiór C K Ĉ := {a + bi : a, b R} (2) jest zamki ty ze wzgl du a dodawaie, mo»eie i braie elemetu odwrotego, wi c jest podciaªem K, w szczególo±ci jest te» ciaªem. Dowód: Operacje dodawaia, mo»eia i braia elemetu odwrotego, stosowae do elemetów Ĉ, ie wyprowadzaj poza te podzbiór (wªaso± zamki to±ci). Wyika to z wzorów: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i; (3) (a + bi) (c + di) = a c b d + (ad + bc)i; () (a + bi) = ( a) + ( b)i; (5) (a + bi) 1 = a a 2 + b 2 + b a 2 + b2i (6) Operacje te okre±laj w podzbiorze Ĉ struktur podciaªa. Poadto wida,»e wszystkie dziaªaia a elemetach postaci a + bi ie zale» od rozszerzeia; s oe dae wzorami (3(6), które ie odwoªuj si w»ade sposób do rozszerzeia. 1.3 Kostrukcja ciaªa liczb zespoloych Wprowad¹my w zbiorze R 2 = R R par liczb rzeczywistych dziaªaie dodawaia i mo»eia w ast puj cy sposób: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (7) (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc). (8)
5 Mo»a sprawdzi bezpo±redimi rachukami,»e tak okre±loa struktura jest ciaªem. Zerem jest tu para (0, 0); jedyk : (1, 0); elemetem przeciwym do a b (a, b) jest ( a, b), za± elemet odwroty do (a, b) to ( a 2 +b, 2 a 2 +b ). 2 Tak zdefiiowae ciaªo azywamy ciaªem liczb zespoloych i ozaczamy jako C. Daje oo rozwi zaie aszego problemu (tz. rozszerzeia ciaªa liczb rzeczywistych). Zawieraie si ciaªa liczb rzeczywistych w C jako podciaªa dae jest przez uto»samieie a R z liczb zespolo (a, 0) C, atomiast elemetem takim,»e i 2 = 1, mo»a wzi i := (0, 1). Maj c to uto»samieie, dostajemy prostsz do rachuków posta liczby zespoloej: (a, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + bi. (9) (W te sposób dokoali±my uto»samieia C z Ĉ). Posta liczby zespoloej jako pary jest miej wygoda do rachuków, ale prowadzi do wygodej iterpretacji liczby zespoloej jako puktu a pªaszczy»ie. Bowiem a iloczy kartezja«ski R R mo»a patrze jako a pªaszczyz wªasie; w te sposób liczba zespoloa (a, b) b dzie wektorem o skªadowej x-owej rówej a oraz skªadowej y rówej b. Taki sposób patrzeia a liczby zespoloe podaª Gauss a przeªomie XVIII i XIX w. 1. Sprz»eie zespoloe Wa» operacj w ciele liczb zespoloych jest sprz»eie zespoloe, okre±lae jako: z = a + bi z := a bi. (10) Šatwo sprawdzi (bezpo±redim rachukiem) ast puj ce wªaso±ci operacji sprz»eia zespoloego: z 1 + z 2 = z 1 + z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2 ; Niech z = a + bi. Wprowad¹my ozaczeia: ( ) z1 z 2 = z 1 z 2 ; z = z. Rz := a, Iz := b; (11) azywamy je odpowiedio: cz ±ci rzeczywist i urojo liczby z. Mamy: Rz = z + z 2, Iz = z z. 2i 5
6 1.5 Posta trygoometrycza Liczb zespolo a + bi mo»a przedstawi jako pukt a pªaszczy¹ie R 2 o wspóªrz dych kartezja«skich (a, b) lub jako wektor o tych skªadowych. Dodawaie liczb zespoloych odpowiada dodawaiu wektorów. Pukty a pªaszczy¹ie mo»emy te» opisywa iymi wspóªrz dymi- bieguowymi: (r, φ). Przej±cie od wspóªrz dych kartezja«skich do bieguowych dae jest przez wyra»eia: r = a 2 + b 2 ; cos φ = Deicja. Je±li z 0, to φ R takie,»e cos φ = a a2 + b 2; si φ = b a2 + b 2 a a2 + b 2; si φ = b a2 + b 2 azywamy argumetem liczby z i ozaczamy przez arg z. Zauwa»my,»e argumet liczby zespoloej wyzaczoy jest z dokªado±ci do wielokroto±ci 2π. Argumet φ liczby z speªiaj cy ierówo± 0 φ < 2π azywamy argumetem gªówym i ozaczamy Arg z. Przej±cie od wspóªrz dych bieguowych do kartezja«skich dae jest wyra»eiami: a = r cos φ; b = r si φ Liczb zespolo z = a + bi mo»a wi c rówowa»ie przedstawi w postaci z = r(cos φ + i si φ), azywaej reprezetacj trygoometrycz liczby zespoloej z. 2 i) = 2(cos π + Przykªad. Niech z 1 = 1 + i; mamy: z 1 = 2( i si π ); promie«dla liczby z 1 jest rówy 2, za± argumet Argz 1 = π. 1.6 Moduª i jego wªaso±ci Deicja. Moduªem z liczby zespoloej z = a + bi azywamy z = a 2 + b 2 (12) Bezpo±redio z deicji i z postaci trygoometryczej liczby zespoloej z = a + bi = r(cos φ + i si φ) wyikaj wªaso±ci z R + {0}, 6
7 z = r. Stwierdzeie. Zachodz zwi zki: 1. z 2 = z z, 2. z 1 z 2 = z 1 z 2, 3. z = z,. Rez z, Imz z ; tym bardziej: Rez z, Imz z. 5. z 1 z 2 = z 1 z, 2 6. arg(z 1 z 2 ) = arg z 1 + arg z 2, 7. arg z = arg z. Dowód: 1. Niech z = a + ib, gdzie a, b R. Z bezpo±rediego rachuku mamy: z z = (a + ib)(a ib) = a 2 + b 2 = z Udowodioa wªa±ie rówo± mówi»e z z = z 2 ; zastosujmy j do z = z 1 z 2 : z 1 z 2 2 = z 1 z 2 z 1 z 2 = z 1 z 1 z 2 z 2 = z 1 2 z Oczywiste.. Niech z = a + bi. Mamy: Rez = a a 2 + b 2 = z. Drug ierówo± pokazujemy aalogiczie. 5. Mamy 1 = z 1 z. Bior c moduªy obu stro i korzystaj c z 2) mamy: 1 1 = z z. Zatem 1 z = 1. St d i z 2) wyika 5). z 6. Niech z i = r i (cos φ i + i si φ i ), i = 1, 2. Mamy: z 1 z 2 = r 1 (cos φ 1 + i si φ 1 ) r 2 (cos φ 2 + i si φ 2 ) = r 1 r 2 [(cos φ 1 cos φ 2 si φ 1 si φ 2 ) + i(cos φ 1 si φ 2 + cos φ 2 si φ 1 )] = r 1 r 2 [cos(φ 1 + φ 2 ) + i si(φ 1 + φ 2 )] sk d wyika 6). Powy»sz rówo± mo»a te» wypowiedzie sªowami: Przy mo»eiu liczb zespoloych promieie si mo» a argumety dodaj. 7
8 7. W reprezetacji bieguowej: z = r(cos φ i si φ) = r(cos( φ) + i si( φ)) Wiosek (wzór de Moivre'a). Je»eli z = r(cos φ+i si φ), to dla N z = r [cos(φ) + i si(φ)]. Uwaga. Wygode jest zastosowaie ast puj cego skrótowego zapisu liczby postaci (cos φ + i si φ): Mamy: cosφ + i si φ = e iφ. e i(φ+ψ) = e iφ e iψ, e iφ = e iφ. W chwili obecej, symbol e iφ jest jedyie wygodym ozaczeiem i ie ma o»adego zwi zku z liczb e i fukcj wykªadicz. Zwi zek te pojawi si dopiero a aalizie, staj c si twierdzeiem. Stwierdzeie. Dla dowolych z 1, z 2 R zachodz ierówo±ci: 1. z 1 + z 2 z 1 + z 2, 1'. z 1 + z z z 1 + z z 2. z 1 z 2 z 1 z 2. Dowód: 1. We¹my kwadrat lewej stroy ierówo±ci: z 1 + z 2 2 = (z 1 + z 2 ) (z 1 + z 2 ) = z 1 z 1 + z 1 z 2 + z 1 z 2 + z 2 z 2 = z z 1 z 2 + z 1 z 2 + z 2 2 = z z 1 z 2 + z 1 z 2 + z 2 2 = z Re(z 1 z 2 ) + z 2 2 z Re(z 1 z 2 ) + z 2 2 z (z 1 z 2 ) + z 2 2 = z z 1 z 2 + z 2 2 = ( z 1 + z 2 ) 2 (wykorzystali±my tu p. ) poprzediego stwierdzeia). 1'. Dowód idukcyjy, którego pierwszy krok staowi powy»sza ierówo±. 2. Z udowodioej wªa±ie ierówo±ci 1. wyika z 1 = z 1 z 2 + z 2 z 1 z 2 + z 2, sk d i teza. z 2 = z 2 z 1 + z 1 z 2 z 1 + z 1, z 1 z 2 z 1 z 2, z 2 z 1 z 1 z 2, 8
9 1.7 Pierwiastkowaie liczb zespoloych Deicja. Niech w C. Pierwiastkiem stopia z liczby w azywamy tak liczb zespolo z,»e z = w. Stwierdzeie. Niech N. Ka»da iezerowa liczba zespoloa w C posiada dokªadie ró»ych pierwiastków -tego stopia. Je±li w = r(cos φ+ i si φ), to s oe dae wzorami z k = r ( cos φ + 2kπ + i si φ + 2kπ ) = re i φ+2kπ, k = 0, 1,..., 1 (13) gdzie r pierwiastek arytmetyczy. Dowód: Liczba z = z (cos α + i si α) jest takim pierwiastkiem z = r oraz α = φ + 2kπ dla pewego k Z z = r oraz α = φ+2kπ dla pewego k Z. Dwie liczby caªkowite k i k daj rówowa»e argumety α = φ+2kπ α = φ+2k π φ+2kπ φ+2k π jest wielokroto±ci 2π k k jest wielokroto±ci. St d wyika,»e wszystkie ró»e pierwiastki otrzymamy dlak = 0, 1,..., 1. cbdo. Kometarz. Wida tutaj ró»ic pomi dzy ciaªami liczb rzeczywistych a zespoloych. W przypadku zespoloym, zawsze mamy dokªadie pierwiastków z liczby iezerowej. W przypadku rzeczywistym, sytuacja jest bardziej skomplikowaa: 1. gdy pierwiastek jest ieparzystego stopia, to jest o wyzaczoy jedozaczie (p. 3 8 = 2, 3 8 = 2); 2. gdy pierwiastek jest parzystego stopia, to: (a) pierwiastek z liczby ujemej ie istieje, (b) pierwiastek z liczby dodatiej ma dwie warto±ci, ró»i ce si zakiem (p. 16 = ±2). Tak wi c sytuacja w przypadku rzeczywistym mo»e by bardziej skomplikowaa i» w przypadku zespoloym. Przykªad. We¹my w = i obliczmy. Mamy: w = ( 2) ( 1 + i 9
10 0i) = ( 2) (cos π + i si π). Istiej cztery pierwiastki: k = 0 : z 0 = ( [ ( ) ( )] π + 0 2π π + 0 2π 2) cos + i si = 1 + i k = 1 : z 1 = ( [ ( ) ( )] π + 1 2π π + 1 2π 2) cos + i si = 1 + i k = 2 : z 2 = ( [ ( ) ( )] π + 2 2π π + 2 2π 2) cos + i si = 1 i k = 3 : z 3 = ( [ ( ) ( )] π + 3 2π π + 3 2π 2) cos + i si = 1 i Przykªad. Obliczmy pierwiastki -tego stopia z 1. Promie«liczby 1 jest rówy 1, a argumet Arg=0. Mamy wi c pierwiastków, daych wyra»eiami: [ ( ) ( )] 2kπ 2kπ ɛ k = cos + i si, k = 0, 1,..., 1. Wszystkie te pierwiastki le» a okr gu jedostkowym o ±rodku w pukcie (0, 0) ukªadu wspóªrz dych, w wierzchoªkach -k ta foremego. Uwaga. Mamy: ɛ k = (ɛ 1 ) k. Uwaga. Je±li z jest którymkolwiek pierwiastkiem z liczby zespoloej w 0, to wszystkie pierwiastki tego stopia mo»a otrzyma z z mo» c j przez wszystkie ɛ k. Mamy wi c wszystkie te pierwiastki dae wzorem rówowa»ym z (13) z, zɛ 1, zɛ 2,..., zɛ Zasadicze twierdzeie algebry Twierdzeie b dzie wykorzystae przy liczeiu caªek z f. wymierych przy rozkªadaiu wyra»eia podcaªkowego a uªamki proste; oraz przy problemie warto±ci wªasych macierzy, gdzie b dzie si badaªo wielomia charakterystyczy i jego pierwiastki. Twierdzeie. Ka»de rówaie -tego stopia q(z) = z + c 1 z c 1 z + c 0 = 0 (1) gdzie N, c j C (j = 0,..., 1) ma rozwi zaie w C. Dygresja. Ide dowodu zilustrujemy ajpierw w prostszym przypadku wersji rzeczywistej powy»- szego twierdzeia: Ka»de rówaie ieparzystego stopia = 2k + 1 p(x) = x + a 1 x a 1 x + a 0 = 0 gdzie k 0, a j R (j = 0,..., 1) ma rozwi zaie w R. 10
11 Tu idea dowodu jest ast puj ca: Dla x +, rówie» p(x) +, tak wi c istieje x + takie,»e dla dowolego x > x +, p(x) > 0. Aalogiczie, dla x zachodzi: p(x), tak wi c istieje x takie,»e dla dowolego x < x, p(x) < 0. Poiewa» fukcja p(x) jest ci gªa, to a odciku [x, x + ] fukcja p(x) przyjmuje wszystkie warto±ci po±redie, a w szczególo±ci istieje takie x 0,»e f(x 0 ) = 0. W przypadku rówaia (1) zarówo argumet jak i warto± fukcji s liczbami zespoloymi, wi c ie mo»a u»y powy»szego rozumowaia bezpo±redio; jedak uogólieie jest aturale i wtedy dowód idzie. Idea dowodu. (Nie b dzie to dowód jako taki, gdy» argumetacja odwoªuje si do kilku faktów z aalizy, prawdopodobie ie zay w tej chwili Czytelikowi. W tej chwili zajomo± tych faktów musi zast pi Jego/Jej ituicja.) 1) Rozpatrzmy ajsampierw odwzorowaie C C : z z. We¹my w przestrzei argumetów okr g γ 1 = C0 R (okr g o ±rodku w pukcie 0 i promieiu R); jego obrazem jest rówie» okr g C0 R. Obiegijmy aokoªo okr g γ 1. Zmiaa argumetu w przeciwobrazie wyosi 2π, za± w obrazie wyosi 2π (tz. okr g w obrazie jest obiegay razy). 2) Poka»emy,»e podoba sytuacja ma miejsce, gdy rozpatrujemy dowole odwzorowaie C C : z q(z) dla dostateczie du»ego R. Rozpatrzmy zów obraz okr gu γ 1 = C0 R : γ 2 = q(γ 1 ). Obraz te jest pew zamki t krzyw ci gª. Obiegijmy zów aokoªo okr g γ 1. Ile b dzie wyosiª przyrost argumetu w obrazie? Obliczmy argumet q(z): arg (q(z)) = arg (z + c 1 z c 1 z + c 0 ) = arg (z ) + arg (1 + c c 1 z z + c 0 1 z ) Przyrost argumetu (q(z)), gdy z obiega okr g γ 1, wyosi: (q(z)) = 2π + arg(1 + c 1 z Mamy oszacowaie (pami tajmy»e z = Re iφ ): 1 + c 1 z + + c 1 z 1 + c 0 z ) + + c 1 z 1 + c 0 z 1 + c 1 z + + c 1 z 1 + c 0 z = 1 + c 1 R + + c 1 R + c 0 1 R Bior c teraz R dostateczie du»e, otrzymujemy,»e dla dowolego z = Re iφ liczby: (1 + c 1 z + + c 1 z + c 1 0 z ) le» wew trz okr gu o ±rodku w pukcie 1 i promieiu 1 2. Tak wi c zmiaa argumetu tej liczby wyosi zero, gdy obiegamy okr g γ 1 w przeciwobrazie. 11
12 Sytuacj mo»emy podsumowa mówi c,»e: Przyrost argumetu q(z), gdy z obiega okr g γ 1, wyosi 2π aalogiczie jak w przypadku odwzorowaia z z. 3) Z drugiej stroy, mamy: q(0) = c 0, zakªadamy za±,»e c 0 0, gdy» w iym przypadku dowód jest sko«czoy. ) We¹my teraz rodzi okr gów o promieiu malej cym od R do zera i rozpatrujmy obrazy tych okr gów. Zmiaa obrazu okr gu o promieiu r jest ci gªa, gdy zmieiamy promie«. Z 2) i 3) wioskujemy,»e gdzie± po drodze, gdy deformujemy okr gi, przechodz c od promieia R do zera, obraz pewego okr gu zahaczy o zero. Uwaga. Pokazali±my,»e dowole rówaie algebraicze -tego stopia posiada przyajmiej jede pierwiastek. St d ªatwo wyika,»e rówaie tego stopia posiada dokªadie pierwiastków (liczoych z kroto±ciami) wystarczy zastosowa tw. Bézout: Niech z 1 b dzie pierwiastkiem rówaia q(z) = 0. Mo»emy zapisa : q(z) = (z z 1 ) q(z), gdzie q(z) jest wielomiaem 1-wszego stopia. Argumetuj c jak wy»ej, q(z) zów ma pierwiastek; azwijmy go z 2. Zatem q = (z z 2 ) q(z), tz. q(z) = (z z 1 )(z z 2 ) q(z), czyli q(z) ma dwa pierwiastki z 1, z 2 ; itd., a» dojdziemy do rówaia stopia 1. Zadajmy jeszcze pytaie dodatkowe: co z mo»liwo±ci efektywego obliczeia pierwiastków? Iymi sªowy, czy dla dowolego rówaia algebraiczego da si apisa wzory a jego pierwiastki, aalogicze do wzorów a pierwiastki rówaia kwadratowego? Okazuje si,»e odpowied¹ jest egatywa. Wzory a pierwiastki daje si jeszcze apisa dla rówaia. stopia (zalazª je L. Ferrari w XVI w.) Rozwi za«dla rówa«wy»szych stopi bezskuteczie poszukiwao przez ast pe dwa wieki, a» a pocz tku XIX w. iezale»ie N. Abel oraz E. Galois odkryli,»e dla rówa«stopia wy»szego i» czwarty, w ogólym przypadku pierwiastki ie wyra»aj si za pomoc sko«czoej kombiacji dziaªa«arytmetyczych i operacji wyci gaia pierwiastka. 1 (Dowody mo»a zale¹ w wielu podr czikach algebry; przyst py wykªad teorii Galois staowi ksi -»eczka M. Bry«skiego w serii "Biblioteka Delty".) Pó¹iej okazaªo si,»e mo»a apisa wyra»eia a pierwiastki rówaia dowolego stopia, je±li rozszerzy si asortymet fukcji, które dopuszczamy w wyra»eiach a pierwiastki. Pierwiastki dowolego rówaia mo»- a wyrazi przez tzw. fukcje modulare (do ich zdeiowaia i zbadaia 1 Ich prace byªy poprzedzoe iezale»ym i jak si pó¹iej okazaªo iekompletym dowodem Ruf- iego. 12
13 koiecza jest do± zaawasowaa aaliza zespoloa. Kto chce szczegóªów, iech si gie po p. ksi»k D. Mumforda, `Lectures o theta fuctios'). Pokazao to pod koiec XIX wieku (Ch. Hermite, F. Klei, F.Lidema, C. Jorda). 13
14 2 Rówaia trzeciego stopia wzory Cardao Uwaga. Ta cz ± staowi materiaª ieobowi zkowy! 2.1 Rozwi zywaie rówaia trzeciego stopia Ogóle rówaie trzeciego stopia ma posta a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 Zakªadamy,»e a 3 0, gdy» iaczej mamy rówaie stopia drugiego. Dziel c powy»sze rówaie przez a 3 otrzymujemy: x 3 + A 2 x 2 + A 1 x + A 0 = 0 (gdziea 2 = a 2 a 3 itd.) W powy»szym rówaiu zawsze mo»emy si pozby wyrazu drugiego stopia przez podstawieie z = x + A 2 /3; dostajemy wtedy z 3 + pz + q = 0. (15) (prosz podstawi i sprawdzi,»e wyrazy drugiego stopia si kasuj!) Wykoajmy teraz ast puj ce podstawieie: z = u + v, gdzie u, v - liczby zespoloe. Na pierwszy rzut oka wydaje si,»e te rodzaj podstawieia to zamiaa w rodzaju "zamieiª stryjek siekierk a kijek", bo zamiast jedej zmieej, mamy ich dwie! Okazuje si jedak,»e to podstawieie prowadzi do uproszczeia problemu. Mamy: z 3 + pz + q = (u + v) 3 + p(u + v) + q = u 3 + v 3 + 3u 2 v + 3uv 2 + p(u + v) + q = u 3 + v 3 + (u + v)(3uv + p) + q = 0 Wida,»e je»eli zajdziemy tak par {u, v},»e u 3 + v 3 + q = 0 (16) 3uv + p = 0 (17) Rozwi»my ukªad (17). Mamy: v = p 3u, i wstawiaj c to do pierwszego rówaia dostajemy: u 3 p3 27u +q = 0, a jest to 3 rówaie kwadratowe w zmieej U = u 3 : U 2 + qu p3 27 = 0 (18) 1
15 którego rozwi zaia s : U ± = q ±, gdzie = q 2 + p (19) We¹my dowoly z tych pierwiastków, p. U + i wyci gijmy pierwiastek trzeciego stopia. Dostajemy trzy warto±ci u: u 0, u 1 = u 0 ɛ, u 2 = u 0 ɛ gdzie u 0 którykolwiek z pierwiastków trzeciego stopia z U, za± ɛ jest pierwszym pierwiastkiem trzeciego stopia z jedyki: ɛ = e 2iπ/3 = 1 2 ( 1 + 3i). St d dostajemy v 0 = p 3u 0, v 1 = p 3u 0 ɛ, v 2 = p 3u 0 ɛ i ostateczie mamy pierwiastki rówaia (15) z 0 = u 0 + v 0, (20) z 1 = u 1 + v 1 = u 0 ɛ + v 0 ɛ, (21) z 2 = u 2 + v 2 = u 0 ɛ + v 0 ɛ (22) Uwaga 1. Przy rozwi zywaiu rówaia kwadratowego (18) wystarczy wzi tylko jede z pierwiastków (19). Mamy bowiem: V + = p3 27U + = U (prosz sprawdzi!) oraz aalogiczie V = U +, co implikuje»e para {U +, V + } ró»i si od pary {U, V } tylko kolejo±ci czyików tak wi c zamiaa U + a U ie prowadzi do owego pierwiastka. 2.2 Dyskusja rówaia 3. stopia dla wspóªczyików rzeczywistych Zaªó»my,»e wspóªczyiki p, q w rówaiu (15) s rzeczywiste. Mamy wówczas ast puj ce mo»liwo±ci, je±li chodzi o zak wyró»ika, daego w (19): > 0, = 0, < 0. Przypadek 1. > 0. Wtedy jako pierwiastek u 0 wybieramy rzeczywisty pierwiastek trzeciego stopia z liczby rzeczywistej: u 0 = q 2 +, 15
16 gdzie pierwiastek kwadratowy ustalamy a przykªad jako ieujemy. Wtedy v 0 = p 3u 0 jest rzeczywistym pierwiastkiem trzeciego stopia z q 2 Rówaie (20) daje z 0 rzeczywiste, za± rówaia (21, 22) daj z 1, z 2 zespoloe sprz»oe, przy czym cz ±ci urojoe z 1, z 2 s iezerowe (gdyby byªo iaczej to mieliby±my Im(z 1 z 2 ) = 1 2i (z 1 z 1 ) = u 0 ɛ+v 0 ɛ u 0 ɛ v 0 ɛ = (u 0 v 0 )(ɛ ɛ) = 0, co jest iemo»liwe, gdy» u 3 0 v 3 0 ). Przypadek 2. = 0. Mamy tutaj: u 0 = 3 q/2 (jako u0 zowu wybieramy rzeczywisty pierwiastek 3-go stopia), oraz: v 0 = u 0. St d mamy: z 0 = 2u 0, z 1 = u 0 (ɛ + ɛ) = u 0 = z 2. Tak wi c mamy tutaj dwa pierwiastki rzeczywiste: jede pojedyczy i jede podwójy. Przypadek 3. < 0. W takiej sytuacji, u 0 jest pierwiastkiem trzeciego stopia z liczby zespoloej z iezerow cz ±ci urojo : q 2 + i (23) Niech r(cos φ + i si φ) b dzie przedstawieiem trygoometryczym powy»szej liczby. Wybierzmy u 0 w postaci: ( u 0 = 3 r cos φ 3 + i si φ ) 3 Wówczas v 0 jest pierwiastkiem trzeciego stopia z q 2 + i, wi c Ostateczie mamy ( v 0 = 3 r cos φ 3 i si φ ) = u 0 3 z 0 = u 0 + v 0 = 2Reu 0 = 2 3 r cos φ 3, φ + 2π z 1 = u 0 ɛ + ū 0 ɛ = 2Re(u 0 ɛ) = 2 3 r cos, 3 φ + π z 2 = u 0 ɛ + u 0 ɛ = 2Re(u 0 ɛ) = 2 3 r cos. 3 16
17 S to trzy ró»e pierwiastki rzeczywiste. To,»e s oe ró»e wyika z faktu, i» s oe cz ±ciami rzeczywistymi (rzutami a o± rzeczywist ) liczb: u 0, u 0 ɛ, u 0 ɛ. Gdyby które± z tych rzutów si pokryªy, zaczyªoby to,»e jede z boków trójk ta rówoboczego o wierzchoªkach w puktach u 0, u 0 ɛ, u 0 ɛ jest rówolegªy do osi urojoej (pioowy), a wtedy jeda z tych liczb musiaªaby by rzeczywista. Jest to iemo»liwe, gdy» trzecia pot ga tej liczby jest ie-rzeczywista. Uwaga.. Ta wªa±ie sytuacja wywoªywaªa w XVII w. spory o istieie liczb urojoych. Mimo»e wszystkie pierwiastki rówaia 3. stopia s w przypadku < 0 rzeczywiste, to aby je otrzyma, trzeba wyci ga pierwiastki kwadratowe z liczb ujemych (p. wyra»eie (23) powy»ej). 17
Funkcje tworz ce skrypt do zada«
Fukcje tworz ce skrypt do zada«mateusz Rapicki, Piotr Suwara 20 maja 2012 1 Kombiatoryka Deicja 1 (dwumia Newtoa) dla liczb caªkowitych ieujemych, k to liczba k sposobów wybraia k elemetów z -elemetowego
Bardziej szczegółowoWykªad 05 (granice c.d., przykªady) Rozpoczniemy od podania kilku przykªadów obliczania granic ci gów. n an = + dla a > 1. (5.1) lim.
Wykªad 05 graice cd, przykªady Rozpocziemy od podaia kilku przykªadów obliczaia graic ci gów Niech a > Ozaczmy a = c > 0 Mamy Poiewa» c = +, wi c tak»e a = + c + c c a = + dla a > 5 Poadto, zauwa»amy,»e
Bardziej szczegółowoFunkcje tworz ce - du»y skrypt
Fukcje tworz ce - du»y skrypt Mateusz Rapicki, Piotr Suwara 9 sierpia 202 Kombiatoryka ( ) Deicja (dwumia Newtoa). k dla liczb caªkowitych ieujemych, k to liczba sposobów wybraia k elemetów z -elemetowego
Bardziej szczegółowo7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,
7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba
Bardziej szczegółowoc 2 + d2 c 2 + d i, 2
3. Wykład 3: Ciało liczb zespoloych. Twierdzeie 3.1. Niech C R. W zbiorze C określamy dodawaie: oraz możeie: a, b) + c, d) a + c, b + d) a, b) c, d) ac bd, ad + bc). Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym
Bardziej szczegółowox 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Bardziej szczegółowo"Liczby rządzą światem." Pitagoras
"Liczby rządzą światem." Pitagoras Def. Liczbą zespoloą azywamy liczbę postaci z= x +yi, gdzie x, y є oraz i = -1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez ={ x + yi: x, y є } Ozaczeia x= Re z częśd rzeczywista
Bardziej szczegółowoTw. 1. Je»eli ci g {a n } ma granic a i ci g {b n } ma granic b, to ci g {a n b n } ma granic a b. Tw. 2. b n. Tw. 3. Tw. 4.
Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic a i ci g {b } ma graic b, to ci g {a + b } ma graic a+b. Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic a i ci g {b } ma graic b, to ci g {a b } ma graic a-b. Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I.1
Aaliza Matematycza I Seria, P Nayar, 0/ Zadaie Niech a k >, (k =,, ) b d liczbami rzeczywistymi o tym samym zaku Udowodij,»e prawdziwa jest ierówo± ( + a )( + a ) ( + a ) + a + a + + a Czy zaªo»eie,»e
Bardziej szczegółowoWyk lad 2 W lasności cia la liczb zespolonych
Wyk lad W lasości cia la liczb zespoloych 1 Modu l, sprz eżeie, cz eść rzeczywista i cz eść urojoa Niech a, b bed a liczbami rzeczywistymi i iech z = a bi. (1) Przypomijmy, że liczba sprzeżo a do z jest
Bardziej szczegółowowi c warunek konieczny zbie»no±ci szeregu jest speªniony. 12 = 9 12 = 3 4 k(k+1) k=1 ( k+1 k(k+1) n+1 = 1 1 n+1 = 1 0 = 1 36 = =
32 (+) Jest to szereg o wyrazach dodatich Poadto wyraz ogóly tego szeregu jest zbie»y do 0, wi c waruek koieczy zbie»o±ci szeregu jest speªioy s (+) 2 s 2 s + 2 (2+) 2 + 2 3 2 + 6 3 6 + 6 4 6 2 3 s 3 s
Bardziej szczegółowo> 1), wi c na mocy kryterium porównawczego szereg sin(n n)
.65. si() W szeregu tym wyst puj wyrazy dodatie i ujeme, ale ie a przemia. Zbadajmy wi c szereg: si() zªo»oy z warto±ci bezwzgl dych wyrazów szeregu daego w zadaiu. Poiewa» si(), wi c si() = Po prawej
Bardziej szczegółowoWykªad 2. Szeregi liczbowe.
Wykªad jest prowadzoy w oparciu o podr czik Aaliza matematycza 2. Deicje, twierdzeia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 2. Szeregi liczbowe. Deicje i podstawowe twierdzeia Deicja Szeregiem liczbowym
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone
Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Liczby zespolone
Maciej Grzesiak Istytut Matematyki Politechiki Pozańskiej Liczby zespoloe 1. Określeie liczb zespoloych Rówaie kwadratowe ie ma pierwiastków rzeczywistych gdy < 0, bo wzory ogóle wymagają wtedy obliczeia
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I.1
Aaliza Matematycza I Seria, P Nayar, 0/3 Zadaie Niech a k >, (k =,, b d liczbami rzeczywistymi o tym samym zaku Udowodij,»e prawdziwa jest ierówo± ( + a ( + a ( + a + a + a + + a Czy zaªo»eie,»e liczby
Bardziej szczegółowoFAQ ANALIZA R c ZADANIA
FAQ ANALIZA R c ZADANIA Caªki wersja wst pa uwaga a bª dy!!! Fukcje pierwote Zadaie. Rozgrzewka. Obliczy caªki ieozaczoe, tz zale¹ fukcje pierwote. W awiasach wymieioe s arz dzia jakie mog by potrzebe
Bardziej szczegółowolim a n Cigi liczbowe i ich granice
Cigi liczbowe i ich graice Cigiem ieskoczoym azywamy dowol fukcj rzeczywist okrelo a zbiorze liczb aturalych. Dla wygody zapisu, zamiast a() bdziemy pisa a. Elemet a azywamy -tym wyrazem cigu. Cig (a )
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoa 2 + b, b ) ( ) Wówczas (a, b) =, =(1, 0). 2 a 2 + b 2 a 2 + b2 a 2 + b 2
Ciało liczb zespoloych Twierdzeie Niech C = R W zbiorze C określamy dodawaie: a, b)+c, d) =a + c, b + d) oraz możeie: a, b) c, d) =ac bd, ad + bc) Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym elemetem eutralym
Bardziej szczegółowoZbiory. Zadanie 5. Wykaza to»samo±ci (a) A (B \ C) = [(A B) \ C] (A C), (b) A \ [B \ (C \ D)] = (A \ B) [(A C) \ D],
x FAQ ANALIZA R c ZADANIA Zbiory Zadaie 1. Opisa zbiory A B, A B, A \ B, B \ A je±li A = {x R : x 3x < 0, }; B = {x R : x 3x + 4 0} Zadaie. Niech A, B, C, D b d podzbiorami przestrzei X. Udowodi,»e A \
Bardziej szczegółowoszereg jest szeregiem o wyrazach nieujemnych. Ponadto dla α (0; π ) zachodzi nierówno± sinα < α,
.. si Poiewa» si < 1; 1 >, wi c zbadajmy szereg zªo»oy z warto±ci bezwzgl dych wyrazów szeregu daego w zadaiu: () si = si, ale si < 0; 1 > Zatem si 1 () Po prawej stroie powy»szej ierówo±ci mamy szereg
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Liczby zespolone
Maciej Grzesiak Istytut Matematyki Politechiki Pozańskiej Liczby zespoloe 1. Określeie liczb zespoloych W starożytości okazało się, że zbiór liczb wymierych jest iewystarczający, bo ie ma takiej liczby
Bardziej szczegółowoRównoliczno zbiorów. Definicja 3.1 Powiemy, e niepuste zbiory A i B s równoliczne jeeli istnieje. Piszemy wówczas A~B. Przyjmujemy dodatkowo, e ~.
16 Rówoliczo zbiorów Defiicja 3.1 Powiemy, e iepuste zbiory A i B s rówolicze jeeli istieje f : A B. Piszemy wówczas A~B. Przyjmujemy dodatkowo, e ~. Twierdzeie 3.1 (podstawowa właso rówoliczoci zbiorów)
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia
Wy lad 8 Zasadicze twierdzeie algebry. Poj ecie pierścieia 1 Zasadicze twierdzeie algebry i jego dowód Defiicja 8.1. f: C C postaci Wielomiaem o wspó lczyiach zespoloych azywamy fucj e f(x) = a x + a 1
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowoMarek Be±ka, Statystyka matematyczna, wykªad Wykªadnicze rodziny rozkªadów prawdopodobie«stwa
Mare Be±a, Statystya matematycza, wyªad 3 38 3 Statystyi zupeªe 3. Wyªadicze rodziy rozªadów prawdopodobie«stwa Zacziemy od deicji Deicja 3. Rodzi rozªadów {µ θ } θ Θ azywamy wyªadicz rodzi rozªadów -
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±nicki. 7 Sumy i iloczyny uogólnione
Aaliza matematycza Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±icki 7 Sumy i iloczyy uogólioe Dla dowolych liczb a k, a k+, a k+,..., a l okre±lamy sum uogólio i iloczy uogólioy: a k + a k+ + a k+ +... + a l, l a k
Bardziej szczegółowoKonkurs Uczniowskich Prac z Matematyki. Urok zbioru µ. Michaª Mi±kiewicz. Opiekun pracy: dr Jerzy Bednarczuk
Kokurs Ucziowskich Prac z Matematyki Urok zbioru µ Michaª Mi±kiewicz Opieku pracy: dr Jerzy Bedarczuk Warszawa 010 Streszczeie Tematem mojej pracy s pukty takie,»e suma kwadratów odlegªo±ci puktów z wcze±iej
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowoKLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY
KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Nr zadaia Odpowiedzi Pukty Badae umiejtoci Obszar stadardu 1. B 0 1 plauje i wykouje obliczeia a liczbach
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoEkstremalna teoria grafów Filip Lurka V Liceum ogólnoksztaªc ce w Krakowie
Ekstremala teoria grafów Filip Lurka V Liceum ogóloksztaªc ce w Krakowie 1 Ekstremala Teoria Grafów 1 Ekstremala Teoria Grafów Filip Lurka 1.1 Teoria Deicja 1.1 Klik azywamy graf peªy; ka»de dwa wierzchoªki
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA I UŠAMKI PIOTR NIADY
GEOMETRIA I UŠAMKI PIOTR NIADY Alicja raz czy dwa zajrzaªa do ksi»ki czytaej przez siostr, ale ie byªo tam ai ilustracji, ai kowersacji. A jaki mo»e by po»ytek z ksi»kipomy±laªa Alicjaw której ie ma ai
Bardziej szczegółowoA = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Bardziej szczegółowof '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n
Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Podstawowe struktury algebraicze Defiicja 1. Działaiem dwuargumetowym(biarym) określoym a iepustym zbiorze X azywamy fukcję f, która każdej parze uporządkowaej(a, b) elemetów zbioru X przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoCiaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x
Iformatyka 05/06 Kazimierz Jezuita ZADANIA - Seria. Relacja rekurecyja kowecja sumacyja suma ciągu geometryczego. Zaleźć wzór a ogóly wyraz ciągu opisaego relacją rekurecyją: x sprowadzając problem do
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I.1
Aalza Matematycza I. Sera, Potr Nayar Zadae. Nech a k >, k =,..., b d lczbam rzeczywstym o tym samym zaku. Udowodj,»e prawdzwa jest erówo± + a + a... + a + a + a +... + a. Czy zaªo»ee,»e lczby a k maj
Bardziej szczegółowoRAP pa¹dziernika S n = S 0 + i=1. p r q l = p r q l r. N n(a,b)
RAP 4 5 pa¹dzierika 008 Wykªad : PSL metoda zliczaia ±cie»ek Wykªadowca: Adrzej Ruci«ski Pisarz:Bartosz Naskr cki i Marek Kaluba Wst p B dziemy dalej studiowa zachowaia osobika, którego gr zajmowali±my
Bardziej szczegółowoRepetytorium z Matematyki Elementarnej Wersja Olimpijska
Repetytorium z Matematyi Elemetarej Wersja Olimpijsa Podae tutaj zadaia rozwiązywae były w jedej z grup ćwiczeiowych Są w więszości ieco trudiejsze od pozostałych zadań przygotowaych w ramach przedmiotu
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoElementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Bardziej szczegółowo1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Bardziej szczegółowoMatematyczne Metody Fizyki I
Matematycze Metody Fizyki I Dr hab. iż.. Mariusz Przybycień Matematyka dla przyrodików i iżyierów, D.A. McQuarrie, PWN, Warszawa 005. Wybrae rozdziały matematyczych metod fizyki, A. Leda, B. Spisak, Wydawictwo
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji
http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Bardziej szczegółowo3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.
3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski
Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±nicki
Aaliza matematycza 1 Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±icki 1 Idukcja matematycza Przykªad 1. Pewego popoªudia Kubu± Puchatek kupiª pust beczk, która mie±ci 20 sªoików miodu, i wlaª do iej wszystkie swoje
Bardziej szczegółowoPrace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011. Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska
Prace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011 Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska 5 pa¹dzierika 2010 Rozdziaª 0 Uwagi Prace domowe ie s obowi zkowe aczkolwiek zach cam gor co do ich robieia i oddawaia mi a kartkach.
Bardziej szczegółowoMatematyczne podstawy kognitywistyki
Matematycze podstawy kogitywistyki Jerzy Pogoowski Zakªad Logiki i Kogitywistyki UAM pogo@amu.edu.pl Struktury ró»iczkowe Jerzy Pogoowski (MEG) Matematycze podstawy kogitywistyki Struktury ró»iczkowe 1
Bardziej szczegółowoZbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Bardziej szczegółowo3 Metody zliczania obiektów
3 Metody zliczaia obiektów Metoda bijektywa 3.1 Metoda bijektywa zliczaia obiektów kombiatoryczych polega a wskazaiu bijekcji pomi dzy badaym obiektem, a obiektem, którego ilo± elemetów jest am ju» zaa.
Bardziej szczegółowoIII. LICZBY ZESPOLONE
Pojęcie ciała 0 III LICZBY ZESPOLONE Defiicja 3 Niech K będie dowolm biorem Diałaiem wewętrm (krótko będiem mówić - diałaiem) w biore K awam każdą fukcję o : K K K Wartość fukcji o dla elemetów K oacam
Bardziej szczegółowoA.1. Asymptotyka bez notacji asymptotycznej. Przykªad A.1. Zbada zachowanie asymptotyczne liczb Fibonacciego. Pokaza,»e. F n = round ( 1 5 Φ n )
A Notacjaasymptotycza Badaj c du»e obiekty kombiatorycze cz sto ie jest koiecze pozaie dokªadej warto±ci okre±loej wielko±ci (szczególie gdy wzór dokªady jest skomplikoway), a jedyie jej warto± przybli»o,
Bardziej szczegółowoZadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006
Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ Marek Majewski Aktualizacja: 1 pa¹dziernika 006 Spis tre±ci 1 Macierze dziaªania na macierzach. Wyznaczniki 1 Macierz odwrotna. Rz d macierzy
Bardziej szczegółowoI. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0.in». 6 pa¹dziernika Oznaczenia. B dziemy u»ywali nast puj cych oznacze«:
Liczby zespolone Oznaczenia B dziemy u»ywali nast puj cych oznacze«: N = {1, 2, 3,...}- zbiór liczb naturalnych, Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}- zbiór liczb caªkowitych, Q = { a b : a, b Z, b 0}- zbiór
Bardziej szczegółowoSpis treści. I. Wiadomości wstępne... 3
Spis treści I. Wiadomości wstępe... 3 II. Pojęcia ogóle wraz z twierdzeiami... 4 1. Jedostka urojoa... 4. Liczba zespoloa... 4 3. Iterpretacja geometrycza... 7 4. Moduł liczby zespoloej... 8 5. Liczba
Bardziej szczegółowoParametryzacja rozwiązań układu równań
Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie
Bardziej szczegółowoEkstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
Bardziej szczegółowoWektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Bardziej szczegółowoSpis tre±ci 1. Wprowadzenie Sprawy formalne O matematyce O kursie Ci gªo± Pochodna Caªka
Spis tre±ci 1. Wprowadzeie 3 1.1. Sprawy formale 3 1.. O matematyce 3 1.3. O kursie 3 1.4. Ci gªo± 3 1.5. Pochoda 5 1.6. Caªka 6 1.7. Liczby rzeczywiste 6 1.8. Ie iformacje 6. Liczby rzeczywiste 7.1. Formala
Bardziej szczegółowotek zauważmy, że podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy dla funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej pochodne wyższych rze
R o z d z i a l III RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE WYŻSZYCH RZE DÓW 12. Rówaie różiczowe liiowe -tego rze du Na pocza te zauważmy, że podobie ja w dziedziie rzeczywistej wprowadzamy dla fucji zespoloych
Bardziej szczegółowo( ) WŁASNOŚCI MACIERZY
.Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia,
Bardziej szczegółowoElementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego
Elemety rach macierzowego Materiały pomocicze do MES Stroa z 7 Elemety rachuku macierzowego Przedstawioe poiżej iformacje staowią krótkie przypomieie elemetów rachuku macierzowego iezbęde dla zrozumieia
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy
Bardziej szczegółowoMaªgorzata Murat. Modele matematyczne.
WYKŠAD I Modele matematyczne Maªgorzata Murat Wiadomo±ci organizacyjne LITERATURA Lars Gårding "Spotkanie z matematyk " PWN 1993 http://moodle.cs.pollub.pl/ m.murat@pollub.pl Model matematyczny poj cia
Bardziej szczegółowoNieklasyczne modele kolorowania grafów
65 Nieklasycze modele kolorowaia grafów 66 Kolorowaie sprawiedliwe Def. Jeli wierzchołki grafu G moa podzieli a k takich zbiorów iezaleych C,...,C k, e C i C j dla wszystkich i,j,...,k, to mówimy, e G
Bardziej szczegółowox + 1 dla x 2 (d) f(x) = + 2 dla x > 2; (3) Znajd¹ dziedzin oraz funkcj odwrotn (je±li jest to proste) do: 1 log 3 x, (log2 x 2 ) 1 log 2
1. Fukcje elemetare (1) Zajd¹ wykres fukcji arcsi(si(x)). (2) Zajd¹ posªuguj c si wykresami fukcje odwrote do podaych i»ej, a ast pie sprawd¹,»e s to rzeczywi±cie odwrote. (a) f(x) = 2x; (b) f(x) = 3x
Bardziej szczegółowoAnaliza algorytmów to dział informatyki zajmujcy si szukaniem najefektywniejszych, poprawnych algorytmów dla danych problemów komputerowych
Temat: Poprawo całkowita i czciowa algorytmu. Złooo obliczeiowa algorytmu. Złooo czasowa redia i pesymistycza. Rzd fukcji. I. Literatura 1. L. Baachowski, K. Diks, W. Rytter Algorytmy i struktury daych.
Bardziej szczegółowoWykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Cayleya-Hamiltona
Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie (Cayleya-Hamiltoa): Każda macierz kwadratowa spełia swoje włase rówaie charakterystycze. D: Chcemy pokazać, że jeśli wielomiaem charakterystyczym macierzy A jest
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Bardziej szczegółowoSpis tre±ci 1. Wprowadzenie O matematyce O kursie Ci gªo± Pochodna Caªka Liczby rzeczywiste 6 2.
Spis tre±ci. Wprowadzeie 3.. O matematyce 3.. O kursie 3.3. Ci gªo± 3.4. Pochoda 5.5. Caªka 6.6. Liczby rzeczywiste 6. Liczby rzeczywiste 8.. Formala deicja 8.. Liczby aturale i zasada idukcji 9.3. Rozkªad
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji : m f x = Ax RAAx x Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy podprzestrzeń
Bardziej szczegółowor = x x2 2 + x2 3.
Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni
Bardziej szczegółowoLiniowe zadania najmniejszych kwadratów
Rozdziaª 9 Liniowe zadania najmniejszych kwadratów Liniowe zadania najmniejszych kwadratów polega na znalezieniu x R n, który minimalizuje Ax b 2 dla danej macierzy A R m,n i wektora b R m. Zauwa»my,»e
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne - powtórzenie Tożsamości trygonometry czne
Fukcje trygoometrycze Fukcje trygoometry cze - powtórzeie Tożsamości trygoometry cze 3 podstawowe tożsamości trygoometrycze metoda uzasadiaia tożsamości trygoometryczych Fukcje trygoometry cze sumy i różicy
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoRachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoJAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
Bardziej szczegółowoSzereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:
Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego
Bardziej szczegółowoPRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc
PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowo1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: +j +j 3 Re z = Im z = 5 z ( j) = z j z +
Bardziej szczegółowodna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że
KILKA ZADAŃ O SZEREGACH Zbadać zbieżość i zbieżość bezwzgle da = a, jeśli a = a!! ; a + + ; c + ; ć! ; d +/ + 3 ; e! e 3 3+ ; f ; + g 000+ ; h ; + i! ; j k ; l 5 + l + 7 0 +3 6 0 + ; +3 ; ; m 3 + 3 ; +a
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM ROZSZERZONY. S x 3x y. 1.5 Podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to : 2, 6, 5.
Nr zadania Nr czynno ci... ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwi zania zadania Wprowadzenie oznacze : x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania: x y lub: zapisanie
Bardziej szczegółowo