Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4"

Transkrypt

1 Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez 2 kwadrat dowolnej liczby jest większy lub równy 0. dla każdej liczby istnieje od niej większa x jest liczbą pierwszą Zadanie 2 Zaznacz na płaszczyźnie zbiory: A = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 4 y 2x} B = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 4 y 2x} Zadanie 3 Niech A = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1}, B = {(x, y) R 2 : y x}. Zaznacz na płaszczyźnie zbiory: A B, A B, A \ B, B \ A, A c, B c. Zadanie 4 Za pomocą liczb, podstawowych działań arytmetycznych i potęgowania zapisz następujące wyrażenia: Σ 10 k=1 k, Σ 6 n=2n 2, Σ k n=1n, Π 10 k=1 k, Π 10 k=1 k3, Π n k=1 k2. Zadanie 5 Oblicz: Σ 10 k=1 k, Σ 6 n=2n 2, Π 4 k=1 k, Π 5 k=3 k2. Zadanie 6 Zapisz następujące wyrażenia używając symboli Σ, Π zamiast wielokropków: n, 1

2 n 3, k, (x + 1)(x + 2)...(x + n). Zadanie 7 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {0}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?, wyznacz te elementy w powyższych grupach. Zadanie 8 Przypomnij czym jest grupa permutacji S n podaj przykład mnożenia w grupie S 4, czy działanie w tej grupie jest przemienne? podaj element neutralny w grupie S n zaproponuj metodę wyznaczania elementu przeciwnego. Zadanie 9 Które z podanych struktur są ciałami: (N, +,, 0, 1), (Z, +,, 0, 1), (Q, +,, 0, 1), (R, +,, 0, 1) czy dodawanie i mnożenie w ciele muszą być przemienne? Zadanie 10 Przypomij podany na wykładzie przykład ciała skończonego Z p. Zadanie 11 W ciele Z 7 wyznacz elementy przeciwne i odwrotne do elementów 1, 3, 5. Lizcby zespolone. Zadanie 12 Wykonaj działania na liczbach zespolonych. 1. (3 + 4i) + (7 5i), (2 + i) (3 + 2i) 2. (1 + i) (1 i), (a + bi) (c + di) i 3+4i, 2+i, 3+8i 2 i 2i, a+bi c+di Zadanie 13 Oblicz i 2, i 3, i 4 podaj szybki sposób wyliczania wartości funkcji f(n) = i n : N C znajdź liczbę zespoloną z taką, że z 2 = i (wsk. zapisz z = a + bi). Zadanie 14 Rozwiąż równanie (2 3i)x + (1 i) = ix + 4 rozwiąż układ równań { x + iy = 1 ix + y = 1 Zadanie 15 Rozwiąż równania 1. x 2 + 2x + 3 = 0 2. x 2 + ix + 1 = 0 2

3 Zadanie 16 Dla wybranej liczby zespolonej z wyznacz i przedstaw na płaszczyźnie zespolonej: z, z, Re(z), Im(z), arg(z). Zadanie 17 Zaznacz na płaszczyźnie zbiory 1. {z : Re(z) 4} 2. {z : z 3} 3. {z : 2 z 3} 4. {z : ( z 3)( z 3 3) = 0} Zadanie 18 Zaznacz na płaszczyźnie zbiory 1. {z : π arg(z) 3 2 π} 2. {z : 0 arg(z) π 2 z 3} 3. {z : arg(z) = z } 1 4. {z : arg(z) = z } 10 Zadanie 19 Porównaj moduły i zrgumenty liczb zespolonych z, z, z, z Zadanie 20 Udowodnij że, dla dowolnych liczb zespolonych z, z prawdziwe są równości 1. z = z 2. z = z 3. zz = z z 4. Re(z) = 1 (z + z) 2 Zadanie 21 Przedstaw w postaci trygonometryczne liczby zespolone 4, 2i, i + 1, i 1, 2 2 3i, 3 3 3i. Zadanie 22 Przypomnij czym są funkcje arcsin(x), arccos(x), podaj ich dziedzinę i przeciwdziedzinę. Zadanie 23 Posługując się funkcjami arcsin(x), arccos(x) przedstaw w postaci trygonometrycznej liczby zespolone: 3 + 4i, 3 + 5i, 2 3i. Zadanie 24 Oblicz (1 + i) 40, (1 3i) 30 Zadanie 25 Wyznacz wszystkie liczby zespolone z takie, że z 6 = 1, przedstaw rozwiązanie na płaszczyźnie zespolonej. Zadanie 26 Wyznacz wszystkie liczby zespolone z takie, że z 5 = 2 2 3i Zadanie 27 Zaproponuj geometryczny sposób potęgowania i wyciągania pierwiastków z liczb zespolonych. Zadanie 28 Przypomni wzór e ix =... 3

4 oblicz e iπ, 4e i π 2, e 3+iπ, e 2+3i znajdź x, y takie, że: ye ix = 1 + i, ye ix = i Zadanie 29 Oblicz 1. Przypomnij czym jest funkcja ln(x) i uzasadnij wzór a b = e bln(a) 2. przyjmując, że powyższy wzór prawdziwy jest dla liczb zespolonych oblicz: i i, (i + 1) i 1 Zadanie 30 Wyprowadź wzory 1. sin(4x) 2. cos(nx) Zadanie 31 Niech n N. Pokaż, że zbiór {z C : z n = 1}, wraz z mnożeniem liczb zespolonych stanowi grupę. Wielomiany. Zadanie Wykonaj dzielenie wielomianu x 3 + 4x 2 + 6x + 1 przez wielomian 2x Bez wykonywania dzielenia sprawdź, że welomian x 5 x 4 + x 3 x 2 + x 1 jest podzielny przez x 1 Zadanie 33 Reszta z dzielenia wielomianu f(x) przez x 1 jest równa 3, a reszta z dzielenia f(x) przez x 4 jest równa 5. wyznacz resztę z dzielenia wielomianu f(x) przez (x 1)(x 4). Zadanie 34 Wyznacz krotność pierwiastka x 0 wielomianu f(x): 1. f(x) = (x 1)(x 2)(x 1)(x 2 1), x 0 = 1 2. f(x) = 3x 5 + 2x 4 + x 3 10x 8, x 0 = 1 Zadanie 35 Wyznacz wymierne pierwiastki wielomianu 15x 4 11x x 2 11x + 2 Zadanie 36 Wyznacz całkowite pierwiastki wielomianu 2x 4 + 4x 3 8x 2 20x 10 Zadanie Jaki jest najniższy stopień wielomianu o współczynnkiach zespolonych mającego podwójny pierwiastek 1 + i, oraz dwa pojedyncze pierwiastki i i 1? Podaj przykład takiego wielomianu. 2. Jaki jest najniższy stopień wielomianu o współczynnkiach rzeczywiswtych mającego podwójny pierwiastek 1 + i, oraz dwa pojedyncze pierwiastki i i 1? Podaj przykład takiego wielomianu. Zadanie 38 Wyprowadź wzory Viete a dla wielomianów stopni 3 i 4. Zadanie 39 Udowodnij, że suma pierwastków n-tego stopnia z 1 wynosi zero. 4

5 Zadanie 40 Udowodnij, że każda liczba zespolona jest pierwiastkiem niezerowego wielomianu o współczynnikach rzeczywistych. Zadanie 41 Znajdź niezerowy wielomian o współczynnikach całkowitych którego pierwiastkiem jest liczba Zadanie 42 Wyznacz wielomian f(x) taki, że f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 4. Zadanie 43 Przedstaw wielomian x jako iloczyn wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia nie większego niż dwa. Zadanie 44 Przedstaw wielomian x jako iloczyn wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia nie większego niż dwa. Zadanie 45 Udowodnij, że dla dowolnych liczb zespolonych z 1, z 2 zachodzi z 1 + z 2 z 1 + z 2. Zadanie 46 Udowodnij, że dla dowolnych liczb zespolonych z 1, z 2 zachodzi arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 ). Zadanie 47 Niech f(x) N[x]. Pokaż, że dla dowolnej liczby zespolonej z zachodzi f(z) f( z ). Zadanie 48 Niech {z n } n N ciąg liczb zespolonych taki, że lim n z n = 0. Pokaż, że lim n arg(1 + z n ) = 0. Zadanie 49 Przypomnij definicję funkcji wymiernej, podaj przykłady, przedstaw funkcję f(x) = x5 +3x 3 +2x 2 +1 jako sumę wielomianu i funkcji wymiernej, której licznik x 2 +x+2 ma stopień mniejszy niż stopień mianownika. Przypomnij które funkcje wymierne nazywamy ułamkami prostymi, podaj przykła- Zadanie 50 dy, przedstaw funkcję f(x) = 2 x 2 4 jako sumę ułamków prostych. Zadanie 51 Przedstaw jako sumę ułamków prostych następujące funkcje wymierne:. x + 1 x 2 3x + 2, x x 2 + 2x + 1, 1 x 3 x 2 + x 1, 2 x 4 + 2x Geometria. Zadanie 52 Przypomnij czym jest sferyczny układ współrzędnych. podaj metodę konwersji z układu sferycznego na współrzędne kartezjańskie podaj metodę konwersji z układu kartezjańskiego na współrzędne sferyczne Zadanie 53 Opisz podzbiory przestrzeni, których punkty we współrzędnych sferycznych są postaci: {(r, π, Θ) : r [0, ), Θ [ π, π]} {(10, α, Θ) : α [0, 2π], Θ [ π, π]} 2 2 5

6 {(r, α, π ) : r [0, ), α [0, 2π]} 4 Zadanie 54 Wyprowadź parametryczne równania następujących krzywych: okręgu elipsy trajektorii rzutu ukośnego (możemy wybrać dogodne położenie krzywej w układzie współrzędnych). Zadanie 55 Wyznacz współrzędne wektora którego początek i koniec leżą w punktach A = (3, 7), B = (1, 4). Podaj przykład innego wektora o tych samych współrzędnych, oblicz jego długość. Wykonaj działanie [1, 2, 7] + 3[3, 4, 1] 2[1, 2, 1]. Wyznacz początek wektora o współrzędnych [3, 7, 1] którego koniec leży w punkcie (1, 3, 2). Oblicz [1, 2, 3] [1, 3, 2], [2, 7] [14, 4] Jaki jest związek iloczynu skalarnego z prostopadłością wektorów. Zadanie 56 Wyznacz zbiór wszystkich wektorów o początku w punkcie (1, 2) prostopadłych do wektora [3, 4]. Zadanie 57 Wyznacz rzut wektora [2, 1, 4] na wektor [1, 1, 1]. Zadanie 58 Podaj wzór łączący kąt między wektorami z iloczynem skalarnym. Podaj kąt między wektorami [2, 3, 4], [2, 1, 1]. Zadanie 59 Niech A = (2, 4), B = (7, 8). Znajdź środek odcinka AB. Znajdź punkt dzielący odcinek AB w stosunku 3 : 4. Zadanie 60 Trzy wierzchołki pewnego równoległoboku leżą w punktach o współrzędnych: (1, 1, 2), (1, 6, 1), (3, 2, 5). Oblicz współrzędne czwartego wierzchołka. Zadanie 61 Wytłumacz czym są postać normalna, parametryczna i kierunkowa prostej. Podaj przykłady. Zadanie 62 Wyznacz postać kierunkową i parametryczną prostej {(2t + 1, 3t + 2) : t R}. Zadanie 63 Wyznacz postać normalną i parametryczną prostej o równaniu y = 3x + 7. Zadanie 64 Znajdź współrzędne wektora prostopadłego do prostej o równaniu y = 2x + 4. Podaj odległość punktu (1, 2) od płaszczyzny o równaniu x + 2y + 2 = 0. Macierze. 6

7 Zadanie 65 Oblicz: , [ ] , 4 1 [ ] [ ] Zadanie 66 Napisz przykład macierzy wymiaru [a ij ] wymiaru 4 5 nad liczbami rzeczywistymi. Podaj następujące jej elementy a 1,2, a 3,3, a 4,5 Niech A R n m, B R k l. Dla jakich m, n, k, l wykonalne są działania A + B, B + A, A B, AB, BA, ra, gdzie ostatnie działanie jest mnożeniem przez skalar? Zadanie 67 Czy dodawanie macierzy jest łączne i przemienne, czy mnożenie macierzy jest łączne i przemienne? Podaj odpowiednie przykłady. Zadanie 68 Udowodnij łączność mnożenia macierzy rozmiary 2 2. Zadanie 69 n. Podaj element neutralny na mnożenie w zbiorze macierzy kwadratowych rozmiaru Zdefiniuj czym jest macierz odwrotna. Wyznacz macierz odwrotną do macierzy [ ] Zadanie 70 Dla jakich rozmiarów macierzy A, B, C możliwe są obliczenia ABA+CAC, AB +BC + CA Zadanie 71 Przypomnij kiedy macierz nazywamy diagonalną, górnotrójkątną, trójkątną Wykonaj obliczenia i sformułuj odpowiednią hipotezę , , Zadanie 72 Oblicz Zadanie 73 Niech A = Przestrzenie liniowe , [ ] [ ] [ ] Oblicz A Zadanie 74 Podaj definicję przestrzeni liniowej. Podaj kilka przykładów przestrzeni liniowych. Niech v, w elementy przestrzeni nad ciałem K, oraz k, l K. Które działania w wyrażeniu (k + kl)(kv + lw) są działaniami ciała. Niech v, w elementy przestrzeni nad ciałem K, oraz k, l K. Pozbądź się nawiasów w wyrażeniu (k + l)(v + w). Czy każdy wektor przestrzeni liniowej ma wektor przeciwny? Oblicz 0v,1v, ( 1)v. 7

8 Czy grupa S 10 może być przestrzenią liniową nad pewnym ciałem? Zadanie 75 Udowodnij, że zbiór macierzy nad ciałem K ustalonego wymiaru ze standardowym dodawaniem, jest przestrzenią liniową nad K. Zadanie 76 Udowodnij, że zbiór wielomianów o wspłóczynnikach z ciałem K z działaniem dodawania wielomianów jest przestrzenią liniową nad K. Zadanie 77 Podaj definicje podprzestrzen liniowej. Opisz geometrycznie podprzestrzenie przestrzeni liniowej R 3. Pokaż, że zbiór {(x, y, 0) : x, y R} jest podprzestrzenią przestrzeni R 3. Pokaż, że zbiór {(x, y, z) : x + y + 2z = 0} jest podprzestrzenią przestrzeni R 3. Czy zbiór {(x, y, z) : x + y + 2z = 1} jest podprzestrzenią przestrzeni R 3. Czy zbiór {(x, y, z) : x, y, z > 0} jest podprzestrzenią przestrzeni R 3. Zadanie 78 Pokaż, że wielomiany o współczynnikach z R stopnia nie więkrzego niż n są podprzestrzenią liniową przestrzeni wielomianów R[X] Zadanie 79 Pokaż, że zbiór {(x, y, z, t) R 4 : x + 2y = 0, z t = 0} jest podprzestrzenią przestrzeni R 4 Zadanie 80 Podaj otoczkę liniową zbioru {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} w przestrzeni R 3. Opisz zbiór wektorów przestrzeni R 4. generowany przez wektory (1, 2, 3, 4), (2, 3, 4, 5). Zadanie 81 Wektory [3, 2, 5], [0, 1, 1] przestrzeni liniowej R 3 wektorów: przedstaw jako kombinacje liniowe 1. [1, 2, 3], [1, 0, 1], [0, 2 1] 2. [1, 2, 3], [1, 0, 1], [ 1, 2, 1] Zadanie 82 Podaj definicje podzbioru liniowo niezależnego. Czy wektory [1, 0, 0], [0, 0, 1] są liniowo niezależne? Uzasadnij, że wektory[1, 0], [01], [3, 4] są liniowo zależne. Kiedy podzbiór liniowo niezależny jest bazą? Zadanie 83 Zbadaj liniową niezależność następujących zbiorów; 1. [1, 2, 3], [1, 0, 1], [0, 2, 1] w R x 3 + x 2 + x + 1, x 3 + x 2 + x 1, x 3 + x 2 x 1, x 3 x 2 x 1 w R[X]. Zadanie 84 Znajdź liniowo niezależny podzbiór zbioru : {[1, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 2], [2, 2, 2, 5], [1, 2, 1, 2]}. Zadanie 85 Pokaż, że wektory [1, 0, 0], [1, 1, 0], [1, 1, 1] stanowi bazę przestrzeni R 3. Zadanie 86 Znajdź bazę i wymiar następującej podprzestrzeni liniowej, {[x, y, z] : 4x y + 2z = 0}. 8

9 Zadanie 87 Znajdź bazę i wymiar następującej podprzestrzeni liniowej, {f R[X] : f = 0}. Zadanie 88 Znajdź bazę i wymiar następującej podprzestrzeni liniowej rozpiętej na wektorach {[1, 0, 1, 0], [2, 1, 2, 1], [ Funkcje liniowe liniowe Zadanie 89 Podaj definicję funkcji liniowej. Podaj kilka przykładów funkcji liniowych. które z podanych funkcji są liniowe: f(x) = 2x, g(x) = 3x + 1, h(x) = x 2 opisz wykresy funkcji Lin(R, R) opisz wykresy funkcji Lin(R 2, R) Zadanie 90 Sprawdź, że podane funkcje są liniowe: 1. f(x, y, z, t) = x Lin(R 4, R) 2. f(x, y, z, t) = (x, y, z) Lin(R 4, R 3 ) 3. f(x, y, z, t) = (x + y + z + t) Lin(R 4, R) 4. f(x, y, z, t) = (2x + 3y + z, 4y + z t) Lin(R 4, R 2 ) Zadanie 91 Wyznacz macierze funkcji liniowych z poprzedniego zadania Zadanie 92 Wyraź wzorem funkcję liniową daną macierzą : Zadanie 93 Dla pewnej funkcji liniowej g Lin(R 2, R) zachodzi g(0, 1) = 3, g(1, 0) = 5 podaj wzór funkcji g Dla pewnej funkcji liniowej f Lin(R 3, R 2 ) zachodzi f(1, 2, 0) = (1, 2), f(2, 3, 0) = (0, 1), f(1, 2, 3) = (2, 1). Podaj macierz funkcji f Zadanie 94 podaj definicję jądra i obrazu funkcji liniowej, wyznacz jądro i obraz funkcji liniowych z zadania 2, podaj zależność między wymiarem jądra i obrazu funkcji liniowej, sprawdź jej poprawność na przykładach z zadania 2. Zadanie 95 Wyznacz jądro i obraz funkcji f Lin(Z n 2, Z 2 ) danej wzorem f(x 1, x 2,..., x n ) = x 1 + x x n. Wyznach ich wymiary i moce. Zadanie 96 Oblicz Lin(Z k 7, Z l 7). Zadanie 97 Wyznacz liczbę izomorfizmów liniowych w zbiorze Lin(Z k 7, Z k 7). Wyznaczniki 9

10 Zadanie 98 Oblicz wyznaczniki macierzy stosując metodę Sarrusa [ ] [ ] ,, 5 5 3, Zadanie 99 Przypomnij na przykładzie metodę Laplace a obliczania wyznacznika. Dla jakiego wymiaru macierzy można ją stosować? Zadanie 100 Oblicz wyznaczniki macierzy stosując metodę Laplace a , Zadanie 101 Oblicz wyznaczniki macierzy , , Zadanie 102 Oblicz wyznaczniki macierzy , Zadanie 103 Niech A = Oblicz det(a A T ) Zadanie 104 Oblicz wyznaczniki macierzy Zadanie 105 Niech A = , [ ] [ ] [ ] Oblicz det(a ) Zadanie 106 Oblicz wyznaczniki , Zadanie 107 Stosując operacje elementarne oblicz wyznaczniki macierzy: , 2 1 2,

11 Zadanie 108 Uzadadnij, że jeśli macierz kwadratowa ma dwie jednakowe kolumny (wiersze), to jej wyznacznik jest równy zero. Odwracanie macierzy, układy równań Zadanie 109 Wyjaśnij czym są operacje elementarne na wierszach macierzy. Podaj przykłady. Zadanie 110 Za pomocą operacji elementarnych na wierszach przekształć macierze do postaci górnotrójkątnej , Zadanie 111 Oblicz macierz odwrotną do macierzy: [ ] [ ] , Zadanie 112 rozwiąż układ równań za pomocą macierzy odwrotnej. { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 113 Wyjaśnij związek między wyznacznikiem macierzy a istnieniem macierzy odwrotnej. Jak nazywamy macierz kwadratową o niezerowym wyznaczniku? Zadanie 114 Wyznacz macierze odwrotne rozwiązując odpowiedni układ równań. [ ] [ ] ,, Zadanie 115 Wyznacz macierze odwrotne stosując metodę operacji elementarnych. [ ] [ ] ,, 5 5 3, Zadanie 116 Wyznacz macierze odwrotne stosując metodę dopełnień algebraicznych , Zadanie 117 Uzasadnij, że dla nieosobliwych macierzy kwadratowych A, B zachodzi (AB) 1 = B 1 A 1 Zadanie 118 Wyznacz macierz odwrotną ,

12 Zadanie 119 Uzadadnij, że jeśli macierz kwadratowa mająca dwie jednakowe kolumny (wiersze) jest nieodwracalna. Układy równań. Zadanie 120 Przypomnij metodę Cramera rozwiązywania układów równań. Podaj warunki na liczbę rozwiązań układu. Zadanie 121 Zbadaj rozwiązania układu równań w zależności od parametru a. ax + 3y + z = 5 x + y + 2z = 9 4x + 5y 3z = 9, 2x + ay 3z = 1 3x + 4y + z = 4 3x + 6y 5z = 0 Zadanie 122 Zapisz za pomocą macierzy rozszerzonej układy równań. 2x + 3y + 4z = 3 4x + 3y + 2z = 9 4x + 2y 7z = 9, x + 4y 3z = 12 3x + 6y + 5z = 11 5x + y 5z = 7 Zadanie 123 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 124 rozwiąż układ równań metodą eliminacji Gaussa. 2x + 3y + z = 5 x + y + 2z = 9 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1 3x + 4y + z = 4 3x + 6y 5z = 0 Zadanie 125 Wyznacz zbiór rozwiązań układu równań { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 Zadanie 126 rozwiąż układ równań. x + 3y + z = 5 4x + y 3z = 3 x + 2y + z = 2, x + 2y + z = 3 2x + 3y 3z = 2 3x + y 4z = 0 Zadanie 127 Zapisz macierzowo układ równań. { 7x + 2y = 15 2x 3y = 11 Zadanie 128 Jakiemu układowi równań odpowiada równanie macierzowe: [ ] [ ] [ ] 1 2 x 7 = 4 5 y 8 Krzysztof Majcher 12

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone i

1. Liczby zespolone i Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B 1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Macierze i Wyznaczniki

Macierze i Wyznaczniki dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz

Bardziej szczegółowo

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3 ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j), ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone

Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone 1. Oblicz a) (1 + i)(2 i); b) (3 + 2i) 2 ; c) (2 + i)(2 i); d) (3 i)/(1 + i); e) (1 + i 3)/(2 + i 3); f) (2 + i) 3 ; g) ( 3 i) 3 ; h) ( 2 + i 3) 2 2. Korzystając

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Przy

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011 1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy

Bardziej szczegółowo

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej 15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

1 Działania na macierzach

1 Działania na macierzach 1 Działania na macierzach Dodawanie macierzy Dodawać można tylko macierze o tych samych wymiarach i robi to się następująco: [ 1 3 4 5 6 ] + [ 0 3 1 3 7 8 ] = [1 + 0 + 3 3 + 1 4 3 5 + 7 6 + 8 ] = [1 5

Bardziej szczegółowo

Spis treści Wstęp Liczby zespolone Funkcje elementarne zmiennej zespolonej Wielomiany Macierze i wyznaczniki

Spis treści Wstęp Liczby zespolone Funkcje elementarne zmiennej zespolonej Wielomiany Macierze i wyznaczniki Spis treści Wstęp ii 1 Liczby zespolone 1 1.1 Definicja i działania, liczby sprzężone......................... 1 1.2 Moduł, argument, postać trygonometryczna..................... 2 1.3 Działania na liczbach

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

, to liczby γ +δi oraz γ δi opisują pierwiastki z a+bi.

, to liczby γ +δi oraz γ δi opisują pierwiastki z a+bi. Zestaw 1 Liczby zespolone 1 Zadania do przeliczenia Nie będziemy robić na ćwiczeniach S 1 Policz wartość 1 + i + (2 + i)(i 3) 1 i Zadania domowe x y(1 + i) 1 Znajdź liczby rzeczywiste x, y takie, że +

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1 Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry B Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe ALGEBRA LINIOWA 2 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr letni 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Przestrzenie liniowe Uwaga. W nawiasach kwadratowych podane są numery zadań znajdujących się w podręczniku

Bardziej szczegółowo

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas

ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas ALGEBRA LINIOWA 2 Lista zadań 23/24 Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie Uzasadnić z definicji że zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy trójkątnych górnych stopnia

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),

Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), Algorytm Euklidesa ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), (d) NWD(120, 168, 280), (e) NWD(30, 42, 70, 105), (f) NWW[120, 195], (g)

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a

Bardziej szczegółowo

1. Równania i nierówności liniowe

1. Równania i nierówności liniowe Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Nazwa Algebra liniowa z geometrią Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot Kod Studia Kierunek

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1,y 1 +x,y := x 1 +x,y 1 +y, 1 x 1,y 1 x,y := x 1 x y 1 y,x 1 y +x y 1 jest ciałem zob przykład 16, str 7; jest to tzw

Bardziej szczegółowo

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych

Bardziej szczegółowo

3. Wykład Układy równań liniowych.

3. Wykład Układy równań liniowych. 31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki Liczby zespolone

Wykłady z matematyki Liczby zespolone Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:

Bardziej szczegółowo

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same 1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,

Bardziej szczegółowo

Kombinacje liniowe wektorów.

Kombinacje liniowe wektorów. Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1 LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013 Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne

Bardziej szczegółowo

(4) W zbiorze R R definiujemy działania i wzorami. (a, b) (c, d) =(a + c, b + d),

(4) W zbiorze R R definiujemy działania i wzorami. (a, b) (c, d) =(a + c, b + d), Zestaw zadań 2: Ciało liczb zespolonych Układy równań liniowych () Ile działań można określić na zbiorze n-elementowym? Ile z nich to działania przemienne? (2) Zbadaj własności działania różnicy symetrycznej

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: 1. JĘZYK MATEMATYKI I FUNKCJE LICZBOWE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą

Bardziej szczegółowo

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia całkowe. Wykład 1

Przekształcenia całkowe. Wykład 1 Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie

Bardziej szczegółowo

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A = Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2

Bardziej szczegółowo

Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY

Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną

Bardziej szczegółowo

Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników

Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników Radosław Marczuk Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników 12 listopada 2005 1. Macierze Macierzą nazywamy układ liczb(rzeczywistych, bądź zespolonych), funkcji, innych macierzy w postaci: A a 11

Bardziej szczegółowo

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3.

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3. Ekoenergetyka Matematyka Wykład 3 MACIERZE Macierzą wymiaru n m, gdzie nm, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z n wierszy i m kolumn: a a2 a j am a2 a22 a2 j a2m [ a ] nm A ai ai 2 a aim - i-ty wiersz

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz

Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz Dr inż. Janusz Dębiński 1 2.1. Przestrzeń i płaszczyzna Podstawowe definicje Punkt - najmniejszy bezwymiarowy

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej Staryszak Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6;

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Elementy algebry liniowej. Macierze i wyznaczniki. Ciągi liczbowe, granica ciągu i granica funkcji, rachunek granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań. Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA

ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Opracowanie Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie piętnaste zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2014 Marian

Bardziej szczegółowo

0.1 Pierścienie wielomianów

0.1 Pierścienie wielomianów 0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. I PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe Funkcja kwadratowa Uczeń: Uczeń: 1 Wykres i własności funkcji y = ax 2. - narysuje

Bardziej szczegółowo

PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ

PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ ALGEBRA Klasa I 3 godziny tygodniowo Klasa II 4 godziny tygodniowo Klasa III 3 godziny tygodniowo A. Liczby (24) 1. Liczby naturalne i całkowite. a. Własności, kolejność

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: ALGEBRA LINIOWA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Kierunek: Inżynieria biomedyczna Linear algebra and analytical geometry forma studiów: studia stacjonarne Kod przedmiotu: IB_mp_ Rodzaj przedmiotu:

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca. Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA Załącznik nr 4 do Uchwały Senatu nr 430/01/2015 SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2015-2018 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu Algebra liniowa z geometrią Kod przedmiotu/

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo