Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami"

Transkrypt

1 Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna Geometria analityczna w R Liczby zespolone Wielomiany i funkcje wymierne Macierze i wyznaczniki Układy równań liniowych Geometria analityczna w R 3 i R n Przestrzenie i przekształcenia liniowe Powtórzenie

2 Warto także korzystać ze zbioru zadań, ułożonego przez pp dra M Gewerta i doc Z Skoczylasa Na stronach Instytutu Matematyki i Informatyki znajdują się wskazówki do korzystania z pożytecznych narzędzi do obliczeń matematycznych, aby np weryfikować wyniki 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 1 Uprościć wyrażenie a b a b a a 2 2ab+b 2 b 1, b a b + a 2 b 2 a 1, c a4 +a 3 b+a 2 b 2 a 3 b 3 b 2 a W rozwinięciu dwumianowym wyrażenia fx wyznaczyć współczynnik przy x m, jeśli a fx = x x 10, m = 39, b fx = x 4 1 x 2 9, m = 24 3 Zapisać w prostszej postaci liczbę n a 3 k, b n k k=0 n n k k=0 2 k 4 Za pomocą indukcji matematycznej udowodnić, że dla wszystkich liczb naturalnych dodatnich n N + : a n 2 = nn+12n+1 6, b 4 n 1 n 2, c liczba 7 n 4 n jest podzielna przez 3 1 a 1 b, b 1 a, c a b 2 a a 2 = 10 2 = 45, b a 2 = 9 2 = 36 3 a 4 n, b 1 n 4 Najpierw należy przez podstawienie sprawdzić, że teza zachodzi dla n = 1 Prawdziwe zatem jest twierdzenie T 1 Następnie z prawdziwości twierdzeń T 1, T 2,, T n może wystarczyć użycie tylko T n należy wywnioskować prawdziwość twierdzenia T n+1, gdzie n N + 2

3 1 Geometria analityczna w R 2 1 Wyznaczyć w mierze łukowej kąt pomiędzy wektorami u, v, jeśli a u = 1, 3, v = 1, 3, b u = 3, 1, v = 1, 3, c u = 2, 2, v = 1, 3, d u = 2, 2, v = 3, 1 Wskazówka: dla dwóch ostatnich przykładów wyniki można otrzymać jako sumy lub różnice odpowiednich kątów 2 Wyznaczyć kąt przy wierzchołku C w trójkącie o wierzchołkach A = 1, 1, B = 3, 2 + 3, C = 1 + 3, 2 3 Obliczyć długość wysokości opuszczonej z wierzchołka B w trójkącie o wierzchołkach A = 3, 5, B = 0, 6 oraz C = 2, 2 4 Wyznaczyć punkt { przecięcia oraz kąt, pod { jakim przecinają się proste, określone przez x = t, x = s, układy równań oraz y = 5 + t y = 1 gdzie t, s R 3 s, 5 Wyznaczyć równanie okręgu przechodzącego przez punkty 4, 6, 5, 5 i 2, 2 6 Nazwać i opisać równaniem zbiór tych punktów z płaszczyzny, których odległość od punktu A = 1, 2 jest dwa razy większa od odległości od punktu B = 4, 5 7 Wyznaczyć równanie takiego okręgu o środku w punkcie S, którego jedną ze stycznych jest prosta przechodząca przez punkty A, B, jeśli a S = 1, 3, A = 1, 2, B = 2, 4, b S = 2, 1, A = 1, 2, B = 4, 1 8 Napisać równania tych stycznych do okręgu o równaniu x 2 +2x+y 2 3 = 0, które przecinają się z prostą 3 x y + 1 = 0 pod kątem π 3 1 a π 3, 2 π 2 b π 6, c 5 12 π, d 7 12 π Proste przecinają się pod kątem π 6 w punkcie 3, 4 5 x y 2 2 = 25 6 okrąg zwany okręgiem Apoloniusza, o równaniu x y 5 2 = 2 3

4 7 a x y = , b x y = y = 2, y = 2, y = 3 x , y = 3 x Liczby zespolone 1 Zapisać w postaci algebraicznej liczbę zespoloną a z = 1+i 2 i, b z = 2+3i 4+5i 2 Opisać oraz zaznaczyć na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek a Re 2iz + 4 0, b Imz i = Im2 iz + i, c Re z 2 = [Imiz] 2 4, d iz + 2 = iz 2i, e 2z = 4z 4 3 Zapisać w postaci algebraicznej liczbę zespoloną a z = 1 + 3i 20 1 i 40, b z = c z = 1 + i40 3 i 20, 3 i i 14 1 i 20 4 Opisać oraz zaznaczyć na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek a 0 arg1 + iz π/2, b Im z 4 < 0 5 Zapisać w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z liczby z = 2 + 2i 6 W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równanie z 4 = 1 + 2z 4 7 Wyznaczyć pole figury F = {z C : Im z Imz < 0} 1 a z = i, b z = i 2 a półpłaszczyzna y 2, b prosta y = 1 3 x 2 3, c proste y = 2, y = 2, d prosta y = x, 4

5 e okrąg o środku w punkcie 4 3, 0 i promieniu a i, b i, c i 4 a Zbiór A składa się z liczb zespolonych z, określonych przez warunki Rez 0 Imz 1 z i przesunięta o wektor 0, 1 czwarta ćwiartka układu współrzędnych, z brzegiem i bez punktu 0, 1, b argz π 4, π 2 wnętrz czterech kątów 3π 4, π 5π 4, 3π 2 5 w 0 = 1 + i, w 1 = z { 1, i, 1 3, i} Wielomiany i funkcje wymierne 7π 4, 2π, co na płaszczyźnie przedstawia sumę i, w 2 = i 2 1 Wyznaczyć iloraz i resztę z dzielenia wielomianu P x przez Qx, jeśli a P x = x 5 x 4 + 3x 3 + x + 7, Qx = x 3 + x + 1, b P x = x 4 + 2x 3 + x 2 + x + 1, Qx = x 2 + x Rozłożyć na nierozkładalne czynniki rzeczywiste wielomian W x = x 4 +x 3 3x 2 4x 4 3 Nie wykonując dzielenia, wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu W x = x 4 +x 3 +x 2 +x+1 przez x Rozłożyć na czynniki liniowe wielomian zespolony W z = z 3 2z 2 + 4z 8 5 Rozłożyć na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną właściwą a fx = b fx = x x 3 + 2x 2 + 5x + 4, x 2 x 3 + 3x 2 + 4x + 4, c fx = 2x3 + 4x 2 + 5x + 5 x 4 + 3x 3 + 3x 2 + 3x Rozłożyć na sumę wielomianu i rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną fx = x4 5x 3 + 5x 2 19x 1 x 3 5x 2 + 4x 20 5

6 1 a Ix = x 2 x + 2, Rx = 5, b Ix = x 2 + x 3, Rx = x W x = x + 2x 2 x 2 + x Rx = 2x W z = z 2z + 2iz 2i 5 a fx = 1 + 1, x 2 +x+4 x+1 b fx = 1 + 1, x 2 +x+2 x+2 c fx = x+1 x+2 x fx = x + 1 x x Macierze i wyznaczniki 1 Wyznaczyć macierz A wymiaru 3 3, której wyrazy określone są za pomocą wzoru a ij = i 2j 2 Podać przykład dwóch macierzy wymiaru 2 2 dowodzący, że mnożenie macierzy nie jest przemienne Rozwiązać równanie macierzowe A T = Wyznaczyć iloczyn A = x y 1 a h g h b f g f c x y 1, a następnie z jego pomocą, w notacji macierzowej zapisać równanie okręgu x 2 + y 2 + 4x + 6y 12 = 0 Zaznaczyć ten okrąg na płaszczyżnie 5 Rozłożyć na iloczyn cykli rozłącznych, a następnie transpozycji permutację a σ =, b σ = Określić parzystość i znak permutacji σ W rozkładach stosować zapis cykliczny 6 Za pomocą permutacyjnej definicji wyznacznika wyprowadzić wzory na wyznaczniki macierzy stopnia 2 i 3 wzór Sarrusa 7 Dwoma sposobami, za pomocą rozwinięcia Laplace a oraz przez sprowadzenie do wyznacznika macierzy trójkątnej, a dodatkowo w podpunkcie a ze wzoru, w podpunkcie b ze wzoru Sarrusa, obliczyć wyznacznik a , 6

7 b c , Dla jakich wartości parametru a R macierz a a a A =, 2 a a 1 1 b A = 1 1 a, 1 a 1 c B = jest nieosobliwa? a a a 1 1 a 1 9 Dwoma sposobami, za pomocą dopełnień algebraicznych oraz przez przekształcanie razem z macierzą jednostkową, wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy 1 1 a A =, b B = 1 1 1, c C = A = np = A = = A = ax 2 + 2hxy + by 2 + 2gx + 2fy + c, x y równanie przedstawia okrąg o środku w punkcie 2, 3 i promieniu 5 x y 1 = 0 ; 5 a Przykładowy zapis: σ = = , permutacja nieparzysta, znak sgnσ = 1, 7

8 b przykładowy zapis: σ = = , permutacja parzysta, znak sgnσ = 1 6 Dla n = 2 są dwie permutacje, zatem dwa składniki w sumie Permutacji zbioru trzyelementowego jest 6 7 a 1, b 2, c 1 8 a a R \ {0, 2}, b a R \ { 2, 1}, c a R \ { 3, 1} 4 9 a A 1 = , b B = , c C 1 = Układy równań liniowych 1 Trzema sposobam, metodą eliminacji Gaussa, za pomocą wzorów Cramera oraz metodą macierzy odwrotnej rozwiązać układ równań { x + y = 3 a x 3y = 8, x + y + z = 0 b x y + z = 0 x + y z = 2, c a x + y + z t = 4 x + y z + t = 4 x y + z + t = 2 x + y + z + t = 2 2 Rozwiązać układ równań b x y + z + t = 4 x y z + t = 0 x y z t = 8 x + y + z = 1 2x + y + 2z = 1 3x + 2y + 3z = 3 3 Dla jakich wartości parametru a R układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań? x + y + az = 1 x + ay + z = a ax + y + z = a 1 8

9 1 dla x, 0 4 Niech sgna = 0 dla x = 0 oznacza znak liczby a R Wyznaczyć te wartości a, dla których układ równań 1 dla x 0, x + 2y + z = 2 x + y + 2z = sgna 1 2x + y + z = 2 2y + 2z = 0 nie ma rozwiązań 1 a x = 1, y = 2, b x = 1, y = 0, z = 1, c x = 1, y = 1, z = 2, t = 2 2 a y = 4, t = 2, z = x + 2, z dowolne, b układ sprzeczny brak rozwiązań 3 a = 2 4 a, 0] 6 Geometria analityczna w R 3 i R n 1 Dla jakich wartości parametru a R równoległościan o trzech kolejnych wierzchołkach podstawy A = 5, 2, 1, B = 2, 1, 2, C = 3, a 2, 3 i wierzchołku E = a 5, 4, 18 nad A, jest prostopadłościanem? 2 Dla jakich wartości parametru a R kąt pomiędzy wektorami u = a, 16, 4 oraz v = 2a, 1, 4 jest prosty? 3 Za pomoca iloczynu wektorowego wyznczyć te wartości parametru a R, dla których wektory u = 1, a 2, 1, v = 3, 12, 3 są równoległe 4 Podać przykład równania ogólnego płaszczyzny a przechodzącej przez punkty A = 1, 1, 1, B = 0, 1, 2, C = 3, 0, 5, x = 1 + t + s b o równaniu parametrycznym y = 2 + t s gdzie t, s R z = 1 + t + s, 5 Podać przykład równania parametrycznego płaszczyzny o równaniu ogólnym x + y + 2z + 1 = 0 6 Podać przykład równania parametrycznego prostej o równaniu krawędziowym { x + y + z 1 = 0 x + 2y + 3z 2 = 0 7 Podać przykład równania krawędziowego prostej o równaniu parametrycznym x = 1 + t y = 2 t gdzie t R z = 4 + t, 9

10 8 Podać przykład równania parametrycznego prostej prostopadłej do prostych o równaniach x = t x = s y = 1 y = 2 + s gdzie t, s R w punkcie ich przecięcia z = 1 + t, z = 1 s, 9 Wyznaczyć kąt pomiędzy płaszczyznami π 1, π 2, jeśli π 1 jest określona równaniem parametrycznym y = t s gdzie t, s R, a π 2 równaniem ogólnym y z 1 = 0 x = 1 + t + s z = t + s, 10 Wyznaczyć kąt pomiędzy prostą l : { x + y + z + 2 = 0 x y + z + 3 = 0 i płaszczyzną π : x + y + 5 = 0 11 Wyznaczyć pole a równoległoboku o kolejnych wierzchołkach A = 2, 2, 4, B = 0, 2, 2, C = 2, 1, 2, b równoległoboku o środku w punkcie O = 2, 1, 2 i końcach jednego z boków A = 2, 2, 4, B = 0, 2, 2, c trójkąta o wierzchołkach A = 2, 2, 4, B = 0, 2, 2, C = 2, 1, 2 12 Wyznaczyć objętość a czworościanu o wierzchołkach A = 1, 1, 1, B = 2, 2, 2, C = 1, 2, 2 i D = 1, 1, 1, b równoległościanu rozpietego na wektorach u = 1, 1, 1, v = 1, 1, 2 oraz w = 1, 1, 3 1, 2, 3 13 Wyznaczyć odległość pomiędzy punktami P, Q R n, jeśli a n = 4, P = 1, 2, 3, 2, Q = 2, 1, 4, 3, b n = 8, P = 5, 3, 2, 7, 9, 11, 1, 2, Q = 3, 4, 3, 5, 9, 9, 2, 1 14 Wyznaczyć kosinus kąta pomiędzy wektorami u, v R n, jeśli a n = 5, u = 1, 0, 2, 2, 0, v = 1, 1, 1, 1, 0, b n = 7, u = 1, 2, 0, 3, 1, 0, 1, v = 2 1, 1, 1, 1, 1, 2 3, 5 1, 1, 0, 0, 0, 3 3, 10 1 a = 3 2 a = 4 lub a = 4 3 a = 2 lub a = 2 4 a x z + 2 = 0, 5 6 b x z = 0 x = 1 + t + 2s y = t z = s x = 1 + t y = 1 2t z = 1 + t 10

11 { x + y 4 = 0 7 y + z 6 = 0 x = 1 + t 8 y = 1 z = 2 t 9 π 3 10 π 6 11 a 2 6, b 4 5, c 6 12 a 1, b a 2, b 4 14 a 1 6, b Przestrzenie i przekształcenia liniowe 1 Zbadać liniową niezależność układu złożonego z wektorów a 1, 2, 3, 4 R 2, b 1, 2, 3, 3, 4, 5 R 3, c 1, 2, 3, 3, 4, 5, 4, 6, 8 R 3, d 1, 0, 2, 2, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 2, 0, 5, 7 R 5, e 1, 2, 0, 3, 1, 0, 1, 3, 1, 2, 2, 2, 3, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2 3, 5, 1, 1, 0, 0, 0, 3 3, 10 R 7 2 Zbadać, czy układy niezależne w poprzednim zadaniu tworzą bazy danej przestrzeni, a jeśli nie, to uzupełnić do bazy 3 Załóżmy, że przekształcenie liniowe f : R n R m jest określone wzorem a fx, y, z, t = x y, x + y + z + 2t, b fx, y, z = x y, x + y + z, x + y, x z, gdzie x, y, z, t R Wyznaczyć n, m N +, a następnie zapisać w standardowych bazach macierz A f przekształcenia f 4 Wyznaczyć jądro, obraz i rząd przekształceń f z poprzedniego zadania 5 Załóżmy, że macierz A f przekształcenia liniowego f : R n R m ma postać a A f =,

12 b A f = Wyznaczyć n, m N +, a następnie zapisać przekształcenie f za pomocą wzoru 6 Wyznaczyć, o ile istnieją, macierze złożeń f g oraz f g w bazach standardowych, jeżeli f : R 3 R 5 oraz g : R 4 R 3 są przekształceniami linowymi, danymi wzorami: fx, y, z = x, x + y, x + y + z, x + z, y + z, gs, t, u, v = u + v, t + u + v, s + t + u + v 7 Wyznaczyć wartości własne i odpowiadające im wektory własne przekształcenia liniowego f : R 2 R 2, jeśli a fx, y = y, 6x 5y, b fx, y = x + y, 2x 1 a liniowo niezależny, b liniowo niezależny, c liniowo zależny, d liniowo niezależny, e liniowo zależny 2 Bazą jest tylko układ z pierwszego podpunktu a n = 4, m = 2, A f =, b n = 3, m = 4, A f = a Kerf = {x, x, 2t 2x, t : x, t R} = {x1, 1, 2, 0 + t0, 0, 2, 1 : x, t R} jedna z możliwości zapisu, Imf = R 2, Rzf = 2, b Kerf = {0, 0, 0}, Imf = {x1, 1, 1, 1 + y 1, 1, 1, 0 + z0, 1, 0, 1 : x, y, z R}, Rzf = 3 5 a n = 5, m = 2, fx, y, z, t, u = 5x y z, 8x 4y + z + t + u, b n = 3, m = 4, fx, y, z = x y, x + 3y + 2z, x + 4y + 6z, x + 5y + 7z 6 Złożenie g f nie istnieje Macierz złożenia f g ma postać M f g = M f M g = = a Wartości własnej a 1 = 2 odpowiadają wektory własne postaci v 1 = α1, 2, wartości własnej a 2 = 3 odpowiadają wektory własne postaci v 2 = α1, 3, gdzie α R \ {0}, b wartości własnej a 1 = 1 odpowiadają wektory własne postaci v 1 = α1, 2, wartości własnej a 2 = 2 odpowiadają wektory własne postaci v 2 = α1, 1 dla α R \ {0} 12

13 8 Powtórzenie 1 Obliczyć długość wysokości opuszczonej z wierzchołka A w trójkącie o wierzchołkach A = 1, 5, B = 2, 4 oraz C = 1, 1 2 Wyznaczyć w mierze łukowej kąt przy wierzchołku C w trójkącie o wierzchołkach A = 2, 1, B = 3, 2 oraz C = 2 3, Wyznaczyć punkt przecięcia oraz kąt, pod { jakim przecinają { się proste na płaszczyźnie, x = 3 t, x = 3, określone równaniami parametrycznymi oraz gdzie t, s R y = t y = 1 + s, Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy A = Zbadać, dla jakich rzeczywistych parametrów a R istniejemacierz odwrotna A 1 do macierzy A, a następnie wyznaczyć A 1, jeśli A = a 6 Dla jakich wartości parametru a R układ równań 2x ay az = 1 + a x + ay + z = a ma nieskończenie wiele rozwiązań? ax + y + z = a 1 7 W zależności od rzeczywistego parametru a R, rozwiazać układ równań 2x + 3y z = 1 x ay + 2z = 3 2x ay + 3z = 5 8 Wyznaczyć równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym x = 1 + t + s y = t + s gdzie t, s R z = 1 t + 2s, x = 1 + t x = 3 s 9 Wyznaczyć punkt przecięcia prostych y = 1 oraz y = s z = 1 + t z = 5 s, a następnie napisać równanie ogólne płaszczyzny zawierającej te proste 10 Wyznaczyć odległość punktu P = 1, 2, 1 od płaszczyzny π, zadanej w postaci parametrycznej y = 2 + s x = 1 + s + t z = 1 + s t 11 Opisać oraz zaznaczyć na płaszczyżnie zbiór liczb zespolonych z spełniających warunek a 0 arg2 iz π 2, b Im z 4 > 0 12 Zapisać w postaci algebraicznej liczbę zespoloną a z = 3 + i 12 1 i 24, 13

14 b z = 1 i i Zapisać w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z liczby z = Rozłożyć na nierozkładalne czynniki rzeczywiste wielomian W x = x 4 + 2x 3 x 2 15 Rozłożyć na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną fx = 3x2 + 5x + 1 x 3 + 3x 2 + 3x Wyznaczyć jądro, obraz i rząd przekształcenia f : R 4 R 2, określonego wzorem fx, y, z, t = z y, x + y + z + 2t, gdzie x, y, z, t R 17 Wyznaczyć, o ile istnieją, macierze złożeń f g oraz g f w bazach standardowych, jezeli f : R 3 R 2 oraz g : R 2 R 5 są przekształceniami linowymi, danymi wzorami: fx, y, z = x 2y, x + y + 3z, gu, v = u + v, v, u 2v, 3u, u π 6 3 P 0 = 2 3, 1, ϕ = 3 π A 1 = Macierz odwrotna istnieje dla a R \ {1} i wtedy A 1 = 6 a = 2 2a 1 a a a a 1 7 Dla a R \ {1} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie x = 1, y = 0, z = 1, a dla a = 1 x = 2 z, nieskończenie wiele rozwiązań postaci y = 1 + z, z R 8 x + 3y 2z + 1 = 0 9 Punktem wspólnym prostych jest P = 2, 1, 4 dla t = 3 i s = 1, a płaszczyzna ma równanie x + z 2 = Równaniem ogólnym płaszczyzny jest x + 2y z 4 = 0, a odległość dp, π = 3 11 a Jest to zbiór {z C : Rez 0 Imz 2 z 2i}, b argz 0, π π 4 2, 3π π, 5π 3π 4 4 4, 7π, co na płaszczyźnie jest sumą 4 wnętrz czterech kątów 12 a z = 1, b z = i 14

15 i 2, 2, 2 i 2 14 W x = x 1x + 2x 2 + x fx = 2x x 2 + x x Kerf = {z, z, 2t 2z, t : z, t R} = {z1, 1, 2, 0 + t0, 0, 2, 1 : z, t R} jedna z możliwości zapisu, Imf = R 2, Rzf = 2 17 Złożenie f g nie istnieje Macierz złożenia g f ma postać M g f = M g M f = =

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Przy

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone

Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone 1. Oblicz a) (1 + i)(2 i); b) (3 + 2i) 2 ; c) (2 + i)(2 i); d) (3 i)/(1 + i); e) (1 + i 3)/(2 + i 3); f) (2 + i) 3 ; g) ( 3 i) 3 ; h) ( 2 + i 3) 2 2. Korzystając

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone i

1. Liczby zespolone i Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j), ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA

ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Opracowanie Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie piętnaste zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2014 Marian

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011 1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1 Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry B Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność

Bardziej szczegółowo

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3 ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +

Bardziej szczegółowo

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B 1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ LISTA ZADAŃ 1 1 Napisać w formie rozwiniętej następujące wyrażenia: 4 (a 2 + b +1 =0 5 a i b j =1 n a i b j =1 n =0 (a nb 4 3 (! + ib i=3 =1 2 Wyorzystując twierdzenie o

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna - przykłady

Geometria analityczna - przykłady Geometria analityczna - przykłady 1. Znaleźć równanie ogólne i równania parametryczne prostej w R 2, któr przechodzi przez punkt ( 4, ) oraz (a) jest równoległa do prostej x + 5y 2 = 0. (b) jest prostopadła

Bardziej szczegółowo

1. Równania i nierówności liniowe

1. Równania i nierówności liniowe Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

1 Działania na macierzach

1 Działania na macierzach 1 Działania na macierzach Dodawanie macierzy Dodawać można tylko macierze o tych samych wymiarach i robi to się następująco: [ 1 3 4 5 6 ] + [ 0 3 1 3 7 8 ] = [1 + 0 + 3 3 + 1 4 3 5 + 7 6 + 8 ] = [1 5

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI. Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu i prostopadłej do prostej 3x-y+=0.. Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układy i prostą x+y-6=0. 3. Odcinek o

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ GIMNAZJUM w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ GIMNAZJUM w roku szkolnym 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ GIMNAZJUM w roku szkolnym 2015/2016 Dział Na ocenę dopuszczającą Na ocenę dostateczną Na ocenę dobrą POTĘGI PIERWIASTKI Uczeń: zna i rozumie pojęcie o

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni

Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 6.1. Obliczyć długości podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos

Bardziej szczegółowo

Spis treści Wstęp Liczby zespolone Funkcje elementarne zmiennej zespolonej Wielomiany Macierze i wyznaczniki

Spis treści Wstęp Liczby zespolone Funkcje elementarne zmiennej zespolonej Wielomiany Macierze i wyznaczniki Spis treści Wstęp ii 1 Liczby zespolone 1 1.1 Definicja i działania, liczby sprzężone......................... 1 1.2 Moduł, argument, postać trygonometryczna..................... 2 1.3 Działania na liczbach

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 25 MARCA 2017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Najmniejsza liczba całkowita

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych

Bardziej szczegółowo

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki (4 godz.)

Elementy logiki (4 godz.) Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII Szkoły Podstawowej nr 100 w Krakowie Na podstawie programu Matematyka z plusem Na ocenę dopuszczającą Uczeń: rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006 FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe ALGEBRA LINIOWA 2 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr letni 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Przestrzenie liniowe Uwaga. W nawiasach kwadratowych podane są numery zadań znajdujących się w podręczniku

Bardziej szczegółowo

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218

Bardziej szczegółowo

Tematy: zadania tematyczne

Tematy: zadania tematyczne Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Bardziej szczegółowo

Blok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x.

Blok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x. Blok III: Funkcje elementarne III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x y = x y = x y = x III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x + y = 4 x III. Znajdź miejsca zerowe funkcji: a) y = 6 x y = x e) y = x f) y

Bardziej szczegółowo

Spis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4.

Spis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4. Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 0 4 Liczby zespolone 6 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ

SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU BUDOWNICTWA WNT UWM W ROKU AKADEMICKIM 2012/2013 Nazwa przedmiotu: Zajęcia wyrównawcze z matematyki Rodzaj studiów:

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony. Wiadomości i umiejętności

WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony. Wiadomości i umiejętności WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna. Stopień Wiadomości i umiejętności -definiować potęgę

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii analitycznej w R 3

Elementy geometrii analitycznej w R 3 Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,

Bardziej szczegółowo

, to liczby γ +δi oraz γ δi opisują pierwiastki z a+bi.

, to liczby γ +δi oraz γ δi opisują pierwiastki z a+bi. Zestaw 1 Liczby zespolone 1 Zadania do przeliczenia Nie będziemy robić na ćwiczeniach S 1 Policz wartość 1 + i + (2 + i)(i 3) 1 i Zadania domowe x y(1 + i) 1 Znajdź liczby rzeczywiste x, y takie, że +

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych. zestaw A klasa I

XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych. zestaw A klasa I XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych zestaw A klasa I 1. Zbiór wszystkich środków okręgów (leżących na jednej płaszczyźnie) przechodzących przez: a)

Bardziej szczegółowo

Wskazówki do zadań testowych. Matura 2016

Wskazówki do zadań testowych. Matura 2016 Wskazówki do zadań testowych. Matura 2016 Zadanie 1 la każdej dodatniej liczby a iloraz jest równy.. C.. Korzystamy ze wzoru Zadanie 2 Liczba jest równa.. 2 C.. 3 Zadanie 3 Liczby a i c są dodatnie. Liczba

Bardziej szczegółowo

K P K P R K P R D K P R D W

K P K P R K P R D K P R D W KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ GIMNAZJUM. rok szkolny 2016/2017

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ GIMNAZJUM. rok szkolny 2016/2017 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MAYKI W KLASIE DRUGIEJ GIMNAZJUM rok szkolny 2016/2017 POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K konieczny - ocena dopuszczająca (2) P podstawowy - ocena dostateczna (3) R rozszerzający -

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału nauczania

Rozkład materiału nauczania Dział/l.p. Ilość godz. Typ szkoły: TECHNIKUM Zawód: TECHNIK USŁUG FRYZJERSKICH Rok szkolny 2017/2018 Przedmiot: MATEMATYKA Klasa: III 60 godzin numer programu T5/O/5/12 Rozkład materiału nauczania Temat

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona

Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona Jacek Kredenc Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona Zadanie 1 Zastosujmy trójkąt Paskala 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 Przy iloczynie będzie stał współczynnik 3. Zatem Odpowiedź : C Zadanie

Bardziej szczegółowo

1 Geometria analityczna

1 Geometria analityczna 1 Geometria analityczna 1.1 Wektory na płaszczyźnie Wektor to uporządkowana para punktów, z których pierwszy nazywa się początkiem, a drugi końcem wektora. Jeżeli wprowadzimy prostokątny układ współrzędnych,

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych

Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych ZESPÓŁ SZKÓŁ HANDLOWO-EKONOMICZNYCH IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W BIAŁYMSTOKU Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych Mój przedmiot matematyka spis scenariuszy

Bardziej szczegółowo

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia: Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a

Bardziej szczegółowo

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5 Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych

Bardziej szczegółowo

KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI

KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 1999 r 1. Stop składa się z 40% srebra próby 0,6, 30% srebra próby 0,7 oraz 1 kg srebra próby 0,8. Jaka jest waga i jaka

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. I PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe Funkcja kwadratowa Uczeń: Uczeń: 1 Wykres i własności funkcji y = ax 2. - narysuje

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę):

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę): Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę): 3 3 3 ( ) 1 4 2 5 8 3 100 3 2 4 1 3 4 2 4 9 1 3 3 9 3. 5 2. Rozwiązać równania i nierówności: 4 2x+1 = 8 5x

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA II GIMNAZJUM Małgorzata Janik

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA II GIMNAZJUM Małgorzata Janik WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA II GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY Potęgi i pierwiastki Uczeń: Zna i rozumie pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym Umie

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania dla uczniów z obowiązkiem dostosowania wymagań edukacyjnych z matematyki w kl.ii

Przedmiotowy system oceniania dla uczniów z obowiązkiem dostosowania wymagań edukacyjnych z matematyki w kl.ii Matematyka klasa II kryteria oceniania dla uczniów z obowiązkiem dostosowania wymagań edukacyjnych opracowano na podstawie programu MATEMATYKA Z PLUSEM DZIAŁ 1. POTĘGI zna i rozumie pojęcie potęgi o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM Na ocenę dopuszczającą uczeń umie : WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM stosować cztery podstawowe działania na liczbach wymiernych, zna kolejność wykonywania działań

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" LICZBY I DZIAŁANIA POZIOM KONIECZNY - ocena dopuszczająca porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej,

Bardziej szczegółowo

Zestaw Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach m, n, p jeśli wiadomo, że objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach:

Zestaw Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach m, n, p jeśli wiadomo, że objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach: Zestaw 9. Wykazać, że objętość równoległościanu zbudowanego na przekątnych ścian danego równoległościanu jest dwa razy większa od objętości równoległościanu danego.. Obliczyć objętość równoległościanu

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZBY I DZIAŁANIA Poziom konieczny - ocena dopuszczająca porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej,

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM

KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM POTĘGI I PIERWIASTKI - pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym; - wzór na mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach; - wzór na potęgowanie

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum

Przedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum Przedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum I. POTĘGI I PIERWIASTKI oblicza wartości potęg o wykładnikach całkowitych liczb różnych od zera zapisuje liczbę

Bardziej szczegółowo

Klasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n =

Klasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n = /9 Narysuj wykres ciągu (a n ) o wyrazie ogólnym: I. CIĄGI LICZBOWE. Pojęcie ciągu liczbowego. a) a n =5n dla n

Bardziej szczegółowo

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej 15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga.

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Funkcja liniowa. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: - rozpoznaje funkcję liniową

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo