Matematyczne Metody Fizyki I Dr hab. inż. Mariusz Przybycień
|
|
|
- Weronika Wójtowicz
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1
2 Matematyczne Metody Fizyki I Dr hab. inż. Mariusz Przybycień Matematyka dla przyrodników i inżynierów, D.A. McQuarrie, PWN, Warszawa 005. Wybrane rozdziały matematycznych metod fizyki, A. Lenda, B. Spisak, Wydawnictwo AGH, Kraków 006. Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej, F.W. Byron, R.W. Fuller, PWN, Warszawa 974. ematical Methods for Physics and Engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge Univ. Press, 006. Algebra liniowa, T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, GiS, Wrocław 00. Matematyka dla studiów inżynierskich, S. Białas, A. Ćmiel, A. Fitzke, Wydawnictwo AGH, Kraków 973. Algebra i geometria analityczna w zadaniach, H. Arodź, K. Rościszewski, ZNAK, Kraków 005. Zbiór zadań z algebry, L. Jeśmianowicz, J. Łoś, PWN,Warszawa 975. Algebra i wielowymiarowa geometria analityczna w zadaniach, S. Przybyło, A. Szlachtowski, WNT, Warszawa M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład -
3 Wiadomości wstępne Funkcje trygonometryczne: wybrane wartości funkcji trygonometrycznych: θ (stopnie θ (radiany tożsamości trygonometryczne dla pojedynczego kąta: sin α tan α sin α + cos α tan α sin α cos α cot α cos α + tan α + tan α M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład -3
4 Tożsamości trygonometryczne Tożsamości trygonometryczne dla dwóch kątów: Wyprowadzenie wzorów na sinus i cosinus sumy kątów: współrzędne punktu P: w Oy: (cos(α+β, sin(α+β oraz w O y : (cosβ, sinβ współrzędne punktu R: w Oy: (0, sin(α+β cos β TN+NP MR+NP OR sinα + RP cosα sin(α+β sin α + cos(α+β cos α sin β y OM-TM OM-NR OR cosα + RP sinα sin(α+β cos α - cos(α+β sin α mnożąc pierwsze z powyższych równań przez sinα a drugie przez cosα otrzymujemy: - M T y R N P β α o sin(α+β sinα cosβ + cosα sinβ podobnie znajdujemy: cos(α+β cosα cosβ sinα sinβ M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład -4
5 Tożsamości trygonometryczne Podstawiając β zamiast β w powyższych wzorach, znajdujemy wyrażenia na sinus i cosinus różnicy kątów. W rezultacie mamy: ( ( sin α ± β sin α cos β ± cos α sin β tan α ± tan β tan ( α ± β cos α ± β cos α cos β sin α sin β tan α tan β Ważne przypadki szczególne: tan α sin α sin α cos α tan α tan α sin( α ± β cos α cos α sin α tan α ± tan β cos α cos β Dodając stronami wzory na sin(α±β a następnie stosując podstawienia α+β γ oraz α β δ znajdujemy wyrażenie na sinγ + sinδ. Postępując analogicznie można znaleźć pozostałe z poniższych wzorów: γ + δ γ δ γ + δ γ δ sin γ + sin δ sin cos cos γ + cos δ cos cos γ + δ γ δ γ + δ γ δ sin γ sin δ cos sin cos γ cos δ sin sin M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład -5
6 Funkcje hiperboliczne Odwrotne funkcje trygonometryczne (funkcje arcus: Definicja: Funkcje hiperboliczne zdefiniowane są w następujący sposób: sinh ( e e cosh ( e + e Własności: sinh ( sinh cosh ( cosh cosh sinh sinh sinh sinh cosh cosh + sinh cosh tanh cosh ( ( sinh ± y sinh cosh y ± cosh sinh y tanh tanh tanh ( y ± ± y cosh α ± β cosh cosh y ± sinh sinh y ± tanh tanh y M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład -6
7 Wykresy funkcji hiperbolicznych Funkcje hiperboliczne: Odwrotne funkcje hiperboliczne (funkcje arcus: M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład -7
8 Symbole sumy (Σ i iloczynu (Π sumę oraz iloczyn wyrazów ciągu liczb a p, a p+, a p+,, a n-, a n, gdzie p<n zapisujemy w sposób skrócony w następujący sposób: n a a + a a a a a... a i p p+ n i p p+ n i p i p Przykład: Suma wyrazów ciągu arytmetycznego a 0, a 0 +d, a 0 +d, a 0 +nd dana jest wzorem: n 0 0 k 0 M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład -8 n ( a + kd ( n + ( a + nd Przykład: Suma wyrazów ciągu geometrycznego a 0, a 0 q, a 0 q, a 0 q n, gdzie q, dana jest wzorem: n k 0 a q a k 0 0 n+ q q sumy mogą przebiegać po dowolnej liczbie wskaźników, np: n m m n a a + a a + a a a +... a a ij pr p + r nr p r + n r + pm nm ij i p j r j r i p jeżeli zakres zmienności indeksów jest taki sam stosuje się zapis: n n n a ij i j i, j a ij
9 Metody dowodzenia twierdzeń Zasada indukcji matematycznej: Jeżeli twierdzenie w którym jest mowa o liczbach naturalnych ( jest prawdziwe dla określonej liczby naturalnej n 0, i ( jeśli z prawdziwości tego twierdzenia dla liczby naturalnej n wynika jego prawdziwość dla liczby następnej n+, to twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnej liczby naturalnej n r n 0. Przykład: Pokaż, że Q(n n 4 +n 3 +n +n jest podzielne przez 6 dla wszystkich n>0. ( sprawdzamy prawdziwość twierdzenia dla n 0 : Q(/6 6/6 ( Q(n+ (n+ 4 + (n+ 3 + (n+ + (n+ (n 4 + 4n 3 + 6n + 4n + + (n 3 + 3n + 3n + + (n + n + + (n+ (n 4 + n 3 + n +n + (4n 3 + n + 4n +6 Musimy teraz sprawdzić czy 4n 3 +4n jest podzielne przez 6, czyli czy R(n n 3 +7n jest podzielne przez 3, przeprowadzając dodatkowy dowód przez indukcję: ( dla n 0 : R(/3 9/3 3 ( R(n+ (n (n+ (n 3 +3n +3n+ + 7(n+ (n 3 +7n + 3(n +n+3 R(n jest więc podzielne przez 3, co oznacza, że ostatecznie Q(n jest podzielne przez 6. M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład -9
10 Metody dowodzenia twierdzeń Dowód przez zaprzeczenie: zakładamy prawdziwość hipotezy oraz logicznego zaprzeczenia rezultatu który chcemy udowodnić (tzn. jeśli dowodzimy jeśli P to Q to zakładamy prawdziwość P i nie Q, stosując znane twierdzenia i własności dochodzimy do sprzeczności (tzn. konkluzji sprzecznej z naszymi założeniami lub jakiegoś w oczywisty sposób nieprawdziwego twierdzenia, np. 0 Przykład: Udowodnić, że nie jest liczbą wymierną. załóżmy, że jest liczbą wymierną, tzn. że daje się zapisać w postaci gdzie a i b nie mają wspólnych dzielników. a a b b co oznacza, że a jest liczbą parzystą, a w konsekwencji samo a jest parzyste, ponieważ iloczyn liczb nieparzystych jest liczbą nieparzystą. a więc można napisać a c fi c b fi b jest parzyste. oznacza to że a i b oba są parzyste, a więc mają wspólny dzielnik sprzeczność! Przykład: Tw: Jest nieskończenie wiele liczb pierwszych. (dowód q p p p 3 p n + M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład -0 a b
11 Dwumian Newtona Symbol Newtona: ( n n! ( n k n k k n k dla 0 k!( n k! oraz k 0 dla < 0 > n n n n n n k s n k k n k k k + k k k + Własności: ( ( ( ( ( ( ( Przykład: Dowód metodą indukcji matematycznej trzeciej z powyższych własności: k k + L P k k + n k + s k + s k + n n + k n + k n + k + k + + s k k k + k k + ( sprawdzamy prawdziwość twierdzenia dla n 0 : ( n s 0 0 Dwumian Newtona (rozwinięcie dwumianowe: ( ( n + Przykład: Wychodząc z (+y p (+y q ª (+y p+q oraz porównując wsp. przy p+q-r y r mamy: p q p q p + q y y s t r s + t r t t r p q r s p s t q t s 0 t 0 t 0 M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład - s 0 n n k n k y y k k 0
12 Pierwiastki równania kwadratowego a + b + c 0 b ± b 4ac, a y 3,, ( ± 4 + ± 4 3 y +,,, ( ± 4 4 ± 0 y + 3 ( M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład -,, ± 4 ± 8 ±? ± Jednostka urojona: i, ± i
13 Liczby zespolone Liczby zespolone ( to liczby zawierające jednostkę urojoną i (L.Euler. Postać algebraiczna liczb zespolonych to z a+bi, gdzie a, b œ. a Re(z część rzeczywista liczby z, b Im(z część urojona liczby z Jeśli b 0 oraz a 0, mamy a+0i lub a. Jeśli b 0 oraz a 0, mamy 0+bi lub ib liczba rzeczywista. liczba (czysto urojona. Fundamentalne twierdzenie algebry stwierdza, że jeśli f(z jest dowolnym wielomianem stopnia n, to równanie f(z 0 ma dokładnie n rozwiązań (w. Liczby zespolone Liczby urojone bi πi i z a + bi 00 ( / 5 i Liczby rzeczywiste a (wymierne i niewymierne 6.4e M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład -3
14 Własności liczb zespolonych Dwie liczby zespolone są sobie równe wtedy i tylko wtedy gdy ich części rzeczywiste i urojone są niezależnie sobie równe: z z Re{z }Re{z } i Im{z }Im{z } W zbiorze liczb zespolonych nie jest określona relacja uporządkowania (tzn., że nie ma sensu wyrażenie np. 9+6i > 3+i Liczbą sprzężoną do liczby z a + bi nazywamy wielkość z* a bi Liczba zespolona jest czysto rzeczywista wtedy i tylko wtedy gdy z z* Liczba zespolona jest czysto urojona wtedy i tylko wtedy gdy z -z* Re Re ( z z* z + z* Im z Im z* ( z z* i Modułem liczby z a+bi nazywamy wielkość: z zz * a + b Uwaga: zachodzą następujące relacje z z* oraz z + z b z +z Przykład: Znajdź liczbę sprzężoną i moduł liczby zespolonej z a + i - 3bi z a + ( 3b i z* a ( 3b i z zz * a + ( 3b M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład -4
15 Im(z b Płaszczyzna zespolona i argument Każdą liczbę zespoloną z a+ib można przedstawić jako punkt o współrzędnych kartezjańskich (a, b na tzw. płaszczyźnie zespolonej: wektor wodzący tego punktu ma początek w punkcie (0,0 i koniec w (a,b jego długość jest równa modułowi liczby zespolonej kąt zawarty między osią Re(z i wektorem wodzącym punktu (a,b nazywamy fazą lub argumentem liczby zespolonej i oznaczamy ϕ arg(z. Liczba z 0 może mieć dowolną fazę. W pozostałych przypadkach faza dana jest przez: a b cos ϕ sin ϕ z a+ib a + b a + b z ϕ a Re(z Diagram Arganda Danej liczbie zespolonej można przyporządkować nieskończenie wiele faz: ϕ + kπ, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą. Argumentem głównym (ozn. Arg(z nazywamy fazę z przedziału -πbϕ<π. Im(z z +iy M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład -5 z z Re(z z* iy
16 Dodawanie liczb zespolonych Dodawanie (odejmowanie liczb zespolonych (z a +ib oraz z a +ib : ( ( a a i ( b b z ± z a + ib ± a + ib ± + ± Dodawanie l.z. jest przemienne i łączne: z + z z + z z + z + z z + z + z ( ( 3 Sprzężenie zespolone sumy (różnicy l.z. ( z ± z * z * ± z * Przykład: Wykonaj działanie z +z -z 3 gdzie z +i, z 3-4i, z 3 -+i z + z z3 ( + i + ( 3 4i ( + i ( + 3 ( + i ( 4 6 3i ( ( Re z ± z Re z ± Re z Im z ± z Im z ± Im z M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład -6 Im(z b +b b b z a a z z + z z a +a Re(z (, (, ( +, + z + z a b + a b a + a b + b
17 Mnożenie i dzielenie liczb zespolonych Mnożenie i dzielenie liczb zespolonych (z a +ib oraz z a +ib : ( + ( + zz zz i oraz ( ( zz z3 z ( zz3 + + aa + bb + i ( ba ab + + ( z z a ib a ib a a b b + i a b + b a z a ib a ib a ib z a ib a ib a ib a ib aa + b b b a ab + i z 0 z a + b a + b z Przykład: Wykonaj działania z z oraz z /z gdzie z 3+i, z --4i. z ( ( z 3 + i 4i 3 i i 8i 5 4i z ( 3 + i ( + 4i + 0i 0 + i z ( 4i ( + 4i ( Własności sprzężenia zespolonego i modułu: z z z z * zz * z * z * zz z z z z * z z M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład -7 * z* z
18 Zbiór liczb zespolonych Przykład: Sprawdź czy w zbiorze liczb zespolonych zachodzi rozdzielność mnożenia względem dodawania. ( (, (, (, (, (, ( a ( a a b ( b b, a ( b b b ( a a (( aa bb ( aa bb,( ab ba ( ab ba ( aa bb, ab ba ( aa bb, ab ba ( a, b( a, b ( a, b( a, b zz zz z z + z a b a b + a b a b a + a b + b Przykład: Znajdź fazę i moduł liczby zespolonej z -3i z Uwaga: przy wyborze kąta zawsze trzeba zwrócić uwagę w której ćwiartce znajduje się badana liczba zespolona. zz * + ( 3 3 ( y ( 3 z arg arctan arctan rad M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład -8
19 Postać trygonometryczna liczb zespolonych Każdą liczbę zespolona za+bi można przedstawić w postaci trygonometrycznej: a b z a bi z i + + z ϕ + i ϕ z z ( cos sin Mnożenie i dzielenie l.z. w postaci trygonometycznej: Im(z ( cos sin ( cos sin ϕ cos cos sin sin ( sin cos sin cos ( cos ( sin ( ( cos ϕ + i sin ϕ z ( cos ( i sin ( ( cos ϕ + i sin ϕ z z z z ϕ + i ϕ ϕ + i ϕ z z ϕ ϕ ϕ ϕ + i ϕ ϕ + ϕ ϕ z z ϕ + ϕ + i ϕ + ϕ z z ϕ ϕ + ϕ ϕ z z z Wnioski: można tak dobrać wartości argumentów, aby były spełnione relacje: arg(z z arg(z + arg(z oraz arg(z /z arg(z - arg(z Twierdzenie de Moivre a: (cosϕ+isinϕ n cos(nϕ + isin(nϕ z a+ib M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład -9 b z a Re(z
20 Zastosowanie twierdzenia de Moivre a Przykład: Wyraź cos3θ i sin3θ poprzez kombinacje potęg cosθ i sinθ. Stosujemy twierdzenie de Moivre a: M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład -0 3 ( 3 ( 3 cos3 θ + i sin3 θ cos θ + i sin θ cos θ 3 cos θ sin θ + i 3 sin θ cos θ sin θ Porównując, oddzielnie, części rzeczywiste i urojone, dostajemy: 3 3 cos3 θ cos θ 3 cos θ sin θ 4 cos θ 3 cos θ 3 3 sin3 θ 3 sin θ cos θ sin θ 3 sin θ 4 sin θ Przykład: Wyraź cos 4 θ poprzez kombinacje cosinusów wielokrotności kąta. n n n n z + z ( cos θ + i sin θ + ( cos θ + i sin θ cos n θ + i sin n θ + cos ( n θ + i sin ( n θ cos ( n θ cos z z z θ z z z 4 z z cos4 θ + cos θ z 4 z Podobnie znajdujemy, że: z z + cos θ n n z z i sin ( n θ z z i sin θ
21 Postać biegunowa liczb zespolonych Z analizy matematycznej wiemy, że: k y y 0 d z z z z e e e + e e α α e α e z... d k! 6 d dϕ ponieważ ( cos ϕ + i sin ϕ sin ϕ + i cos ϕ i ( cos ϕ + i sin ϕ więc można napisać inaczej cos ϕ + i sin ϕ M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład - e iϕ k 0 ( ϕ ( ϕ ( ϕ ( ϕ iϕ iϕ iϕ iϕ iϕ e + i ϕ ! 3! 4! 5! ϕ ϕ ϕ ϕ i ϕ +... cos ϕ + i sin ϕ! 4! 3! 5! Każdą liczbę zespoloną za+bi można przedstawić w postaci biegunowej: ( cos sin ep ( z a + bi z ϕ + i ϕ z i ϕ Mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci biegunowej: iϕ i ϕ i i z z e z ϕ zz z e z e z z e e iϕ z z e z ( ϕ + ϕ i( ϕ ϕ
Matematyczne Metody Fizyki I
Matematyczne Metody Fizyki I Dr hab. inż.. Mariusz Przybycień Matematyka dla przyrodników i inżynierów, D.A. McQuarrie, PWN, Warszawa 005. Wybrane rozdziały matematycznych metod fizyki, A. Lenda, B. Spisak,
Matematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Liczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Rozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział
Kolorowa płaszczyzna zespolona
Kolorowa płaszczyzna zespolona Marta Szumańska MIMUW/IX LO w Warszawie Sielpia, 27 października 2018 p. 1 of 64 Liczby zespolone Przez i oznaczamy jednostkę urojoną. Jest to obiekt spełniający warunek
Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski
Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +
LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1
LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać
http://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/matwyz.html 1 Opis przedmiotu Celem przedmiotu jest wykształcenie u studentów podstaw języka matematycznego i opanowanie przez nich podstawowych pojęć dotyczących
1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012
1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać
Rozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1,y 1 +x,y := x 1 +x,y 1 +y, 1 x 1,y 1 x,y := x 1 x y 1 y,x 1 y +x y 1 jest ciałem zob przykład 16, str 7; jest to tzw
GAL 80 zadań z liczb zespolonych
GAL 80 zadań z liczb zespolonych Postać algebraiczna liczby zespolonej 1 Sprowadź wyrażenia do postaci algebraicznej: (a) ( + i)(3 i) + ( + 31)(3 + 41), (b) (4 + 3i)(5 i) ( 6i), (5 + i)(7 6i) (c), 3 +
Liczby zespolone. P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) 27 lutego 2007
Liczby zespolone P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 27 lutego 2007 Definicja C zbiór par liczb rzeczywistych w którym określono następujace działania:
Funkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)
Funkcje analityczne Wykład 2. Płaszczyzna zespolona Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać będziemy różne reprezentacje płaszczyzny zespolonej
dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE
dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Wykłady z matematyki Liczby zespolone
Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5
Przekształcenia całkowe. Wykład 1
Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie
Matematyczne Metody Fizyki II
Matematyczne Metody Fizyki II Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 1 M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 1 1 / 16 Literatura
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Spis treści Wstęp Liczby zespolone Funkcje elementarne zmiennej zespolonej Wielomiany Macierze i wyznaczniki
Spis treści Wstęp ii 1 Liczby zespolone 1 1.1 Definicja i działania, liczby sprzężone......................... 1 1.2 Moduł, argument, postać trygonometryczna..................... 2 1.3 Działania na liczbach
1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a
Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI
Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski
1. Równania i nierówności liniowe
Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x
Matematyka w Instytucie Akustyki. Maciej Radziejewski
Matematyka w Instytucie Akustyki Maciej Radziejewski Prowadzący: Dr Maciej Radziejewski Zakład Algebry i Teorii Liczb, Wydział Matematyki i Informatyki UAM p. B2-10 (ew. B2-46). WWW: http://matematykaaku.weebly.com
Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460
WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,
Dr Maciej Grzesiak, Instytut Matematyki
liczbowe Dr Maciej Grzesiak, Instytut Matematyki liczbowe Dr Maciej Grzesiak, pok.724 E e-mail: maciej.grzesiak@put.poznan.pl http://www.maciej.grzesiak.pracownik.put.poznan.pl podręcznik: i algebra liniowa
Zadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Funkcje trygonometryczne
Funkcje trygonometryczne Sinus kąta ostrego α stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do długości przeciwprostokątnej: sin α = a : c = a/c Cosinus kąta ostrego α stosunek długości przyprostokątnej
Rok akademicki: 2013/2014 Kod: JFT s Punkty ECTS: 5. Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: -
Nazwa modułu: Matematyczne metody fizyki 1 Rok akademicki: 2013/2014 Kod: JFT-1-103-s Punkty ECTS: 5 Wydział: Fizyki i Informatyki Stosowanej Kierunek: Fizyka Techniczna Specjalność: - Poziom studiów:
Matematyka kompendium 2
Matematyka kompendium 2 Spis treści Trygonometria Funkcje trygonometryczne Kąt skierowany Kąt skierowany umieszczony w układzie współrzędnych Wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30 o, 45 o, 60 o
Algebra liniowa i geometria analityczna. Autorzy: Agnieszka Kowalik Michał Góra
Algebra liniowa i geometria analityczna Autorzy: Agnieszka Kowalik Michał Góra 9 Spis treści Liczby zespolone Postać algebraiczna liczby zespolonej Moduł i argument liczby zespolonej Postać trygonometryczna
Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych
Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych wykład 1 Gniewomir Sarbicki 15 lutego 2011 Struktura ciała Zbiór par liczb rzeczywistych wyposażamy w działania: { + : (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez
Lista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
TRYGONOMETRIA. 1. Definicje i własności funkcji trygonometrycznych
TRYGONOMETRIA. Definicje i własności funkcji trygonometrycznych Funkcje trygonometryczne kąta ostrego można zdefiniować przy użyciu trójkąta prostokątnego: c a α b DEFINICJA. Sinusem kąta ostrego α w trójkącie
Przykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Praca domowa - seria 2
Praca domowa - seria 0 listopada 01 Zadanie 1. Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej zbiór liczb spełniających nierówność: A = {z C : i z < Im(z)}. Rozwiązanie 1 Niech z = a + ib, gdzie a, b R. Wtedy z =
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres
Przestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
1 Logika. 1. Udowodnij prawa logiczne: 3. (p q) (p q) 2. (p q) ( q p) 2. Sprawdź, czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią.
Logika. Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( q p) 3. (p q) (p q). Sprawdź czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią. 3. Zad 3. Sprawdź czy zdanie: Jeżeli liczba a dzieli się przez i
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA STOSOWANA - KLASA II I. POWTÓRZENIE I UTRWALENIE WIADOMOŚCI Z ZAKRESU KLASY PIERWSZEJ
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA STOSOWANA - KLASA II I. POWTÓRZENIE I UTRWALENIE WIADOMOŚCI Z ZAKRESU KLASY PIERWSZEJ zna i potrafi stosować przekształcenia wykresów funkcji zna i
1 Funkcje elementarne
1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N
1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę
Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę 1. Omówienie programu. Zaznajomienie uczniów ze źródłami finansowania
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry B Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność
Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ LISTA ZADAŃ 1 1 Napisać w formie rozwiniętej następujące wyrażenia: 4 (a 2 + b +1 =0 5 a i b j =1 n a i b j =1 n =0 (a nb 4 3 (! + ib i=3 =1 2 Wyorzystując twierdzenie o
1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)
LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x
V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE
V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny
Indukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Algebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1,
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Układy równań. Zadanie 1 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 2 Rozwiąż układ równań metodą eliminacji
2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24
SPIS TREŚCI WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ALGEBRAICZNE 7 Wyrażenia algebraiczne 0 Równania i nierówności algebraiczne LICZBY RZECZYWISTE 4 Własności liczb całkowitych 8 Liczby rzeczywiste
Algebra liniowa z geometria
Algebra liniowa z geometria Materiały do ćwiczeń Zespół matematyków przy WEEiA Spis treści 1 Macierze i wyznaczniki 5 11 Macierze i ich rodzaje 5 12 Operacje na macierzach 6 13 Wyznacznik macierzy 8 14
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY matematyka stosowana kl.2 rok szkolny 2018-19 Zbiór liczb rzeczywistych. Wyrażenia algebraiczne. potrafi sprawnie działać na wyrażeniach zawierających potęgi
Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH
R O Z W I A Z A N I A 1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH 1. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi równość (A B) (B C) (C A) = (A B C) (A B C), A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). 2. Wyrażenie
1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3.
Logika (3h). Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( p q) 3. (p q) ( q p) 4. (p q) ( p q) 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 7. (p q) r (p r) (q r) 8. (p q) (q r) (p r). Sprawdź, czy wyrażenia:.
Funkcje analityczne. Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017)
Funkcje analityczne Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) Paweł Mleczko Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu 1. Sprawy organizacyjne
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
III. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Dydaktyka matematyki, IV etap edukacyjny (ćwiczenia) Ćwiczenia nr 7 Semestr zimowy 2018/2019
Dydaktyka matematyki, IV etap edukacyjny (ćwiczenia) Ćwiczenia nr 7 Semestr zimowy 2018/2019 Zadanie z wykładu i ćwiczeń Dany jest ciąg rekurencyjny: x 1 = 1, x n+1 = x n 2 + 1 x n dla n 1. Ograniczoność.
Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Roger Bacon Def. Def. Def Funktory zdaniotwórcze
Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej nauce, ponieważ ten, kto nie zna matematyki, nie może poznad innych nauk ścisłych i nie może poznad świata." Roger Bacon Def. Zdaniem logicznym
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Nazwa Algebra liniowa z geometrią Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot Kod Studia Kierunek
1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)
. Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny
Zadania o liczbach zespolonych
Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i
PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ
PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą
Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,
Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,
LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2018 poziom podstawowy
LUELSK PRÓ PRZED MTURĄ 08 poziom podstawowy Schemat oceniania Zadania zamknięte (Podajemy kartotekę zadań, która ułatwi Państwu przeprowadzenie jakościowej analizy wyników). Zadanie. (0 ). Liczby rzeczywiste.
Funkcje. Część pierwsza. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii
Funkcje Część pierwsza Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 Co to są funkcje? y(x) x Co to są funkcje? y(x) x Co to są funkcje? Funkcja dla każdego argumentu ma określoną dokładnie jedną
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Część całkowita i ułamkowa, funkcje trygonometryczne, podstawowe własności funkcji
Sprawdzian nr 2: 25..204, godz. 8:5-8:40 (materiał zad. -48) Sprawdzian nr 3: 9.2.204, godz. 8:5-8:40 (materiał zad. -88) Część całkowita i ułamkowa, funkcje trygonometryczne, podstawowe własności funkcji
Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność
Funkcje hiperboliczne
Funkcje hiperboliczne Mateusz Goślinowski grudnia 06 Geometria hiperboli Zastanówmy się nad następującym faktem. Zauważmy, jak podobne są równania okręgu jednostkowego i hiperboli jednostkowej: x + y x
Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.
1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory
Matematyka A kolokwium 26 kwietnia 2017 r., godz. 18:05 20:00. i = = i. +i sin ) = 1024(cos 5π+i sin 5π) =
Matematyka A kolokwium 6 kwietnia 7 r., godz. 8:5 : Starałem się nie popełniać błędów, ale jeśli są, będę wdzięczny za wieści o nich Mam też nadzieję, że niektórzy studenci zechcą zrozumieć poniższy tekst,
Funkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A
Funkcje analityczne Wykład 3. Funkcje holomorficzne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Niech A C. Funkcja
1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura
Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania
Liczby zespolone. Katarzyna Grabowska. Uniwersytet Warszawski, Wydział Fizyki, Katedra Metod Matematycznych Fizyki. Letnia Szkoła Fizyki, Płock 2008
Liczby zespolone Katarzyna Grabowska Uniwersytet Warszawski, Wydział Fizyki, Katedra Metod Matematycznych Fizyki Letnia Szkoła Fizyki, Płock 2008 Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF2008 1 /
W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów:
dr Urszula Konieczna-Spychała Instytut Matematyki i Fizyki UTP imif.utp.edu.pl Literatura: M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. M. Gewert, Z.
1 Działania na zbiorach
Algebra liniowa z geometrią /4 Działania na zbiorach Zadanie Czy działanie : R R R określone wzorem (x x ) (y y ) := (x y x y x y + x y ) jest przemienne? Zadanie W dowolnym zbiorze X określamy działanie
1 Podstawowe oznaczenia
Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.
0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.
Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między
MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony
MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład
Funkcje trygonometryczne. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14
XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14 Miara kąta Miara kąta kąt mierzymy od ramienia początkowego do końcowego w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (α > 0) kąt zgodny
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
Dodatek Matematyczny LICZBY ZESPOLONE
24.09.2017 Dodatek Matematyczny D LICZBY ZESPOLONE 1. Wprowadzenie Liczby zespolone straszą swoją egzotyką. I choć działać mogą odstraszająco, to ich pojawienie się wprowadziło do matematyki wiele ładu.