NAUKA. 2. Nie jest równoodległościowa:

Transkrypt

1 rtkuł recezowa: O badaiu ziekształceń modeli trasormacji map a podstawie elips Tissota Długości, pola kąt Streszczeie: O badaiu ziekształceń modeli trasormacji map a podstawie elips Tissota. W artkule przedstawioo opis deormacji map w liiowch i ieliiowch trasormacjach współrzędch opart a teorii odwzorowań powierzchi Tissota. odstawowe właściwości modeli trasormacji: rówokątość, rówoodległościowość i rówopolowość są badae a podstawie tesora metrczego trasormacji. Geometrczm obrazem deormacji jest elipsa Tissota. bstract: The stud o maps trasormatio model distortios o the basis o the Tissot ellipse. The maps deormatio descriptio or liear ad oliear coordiates trasormatios based o the Tissot surace mappig theor is preseted. The basic properties o trasormatio models such as coormal, equidistat ad equal-aera are eamied o the basis o trasormatio metric tesor. The Tissot ellipse is the deormatio geometric presetatio. EDWRD OSD, KTERYN SERGIEIEV Map crowe przekształcae są prz przejściu do owego układu współrzędch z wkorzstaiem trasormacji liiowch (p. izometrcza, przez podobieństwo, przez powiowactwo i aiicza ) i ieliiowch (p. wielomiaowe, sklejae, krigig i euroowe). Trasormacje te są rówież stosowae do kalibracji obrazów crowch, takich jak ska map papierowch oraz zdjęcia satelitare i loticze. W artkule opisao metodę badaia ziekształceń modeli trasormacji map opartą a teorii odwzorowań powierzchi według Tissota alcerzak i aasiuk, 005; ieracki, 97; asławski, 006; Trajdos, 974]. TRNSFORMCJ RZEZ ODOIEŃSTWO Dopasowaie puktów map,,,... dach w układzie współrzędch, (rs. ) do odpowiadającch puktów dach w owm układzie współrzędch X, Y odbwa się przez (rs. ): przesuięcie t X,, obrót φ oraz rozciągięcie map w kierukach osi i określoe współczikiem skalującm m. Z geometrii przekształceia przez podobieństwo (rs. i ) wikają właściwości tej trasormacji:. Jest rówokąta (koorema): prostokąta siatka współrzędch jest przekształcoa a prostokątą siatkę prostoliiową, każd prostokąt elemet siatki współrzędch (d, d) jest przekształco a przeskalowa prostokąt elemet od- 46 MGZYN geoiormacyjny r (76) stczeń 00 wzorowaej siatki (md, md), skąd wika, że dowole proste przekształcae są a proste, a kąt międz imi zostają zachowae.. Nie jest rówoodległościowa: skala długości w dowolm kieruku jako stosuek długości po trasormacji (m) +(m) ] / do długości wjściowej ( + ) / jest stała i wosi m.. Nie jest rówopolowa: obiekt map zachowują kształt, są jedak powiększoe w skali m, skąd wika, że skala pola jako stosuek pola powierzchi po trasormacji m m do pola wjściowego jest stała i wosi m. ukt map (, ) przeoszoe są do owego układu współrzędch X, Y według zależości wikającej z geometrii trasormacji (rs. ): X = t + mcosφ - msiφ Y = t + msiφ + mcosφ X = t X + a b, Y = + b + a, a = mcosφ, b = msiφ. X = t + mcos msi t ORÓT m t X = t + RZESUNIĘCIE d i d Rs.. Mapa dopasowaa do puktów w owm układzie X, Y przez podobieństwo: przesuięcie, obrót i rozciągięcie i a i md md ROZCIĄGNIĘCIE X m Rs.. Mapa w układzie, p i = ] 0 i = 0 ] i = cosa ] sia = t + msi + mcos

2 W zapisie macierzowm (rs. ): X = t + X ] = t X cosφ -siφ ] + m ] ] = t X ] + a -b Y t ] ] Y siφ cosφ b a, t wektor przesuięcia (traslacji), macierz trasormacji reprezetująca obrót i odkształceie. = RS rozkład bieguow macierz trasormacji: a -b ]= cosφ -siφ ]m 0 ] b a siφ cosφ 0 m, gdzie R = cosφ -siφ ] macierz obrotu, siφ cosφ S = m 0 ] = m 0 ] = mi macierz rozciągięcia. 0 m 0 arametr trasormacji t X,, a, b są wzaczae w wiku miimalizacji sum kwadratów odległości puktów dopasowwach od dach: Σ (v i + v i ) = mi, v i = t + a i - b i - X i, v i = t + b i + a i - Y i są odchłkami współrzędch trasormowach od dach w puktach dopasowaia map,,, (rs. i ). łąd trasormacji może bć określo p. jako średia wartość odległości puktów dopasowaia po trasormacji od puktów dach: Σ v i + v i m 0 =. Skala i kąt obrotu obliczae są według zależości: m = a + b b, tg = a. Ze względu a stałą skalę, iezależą od położeia puktu i kieruku, trasormacja przez podobieństwo jest stosowaa do dopasowwaia map a iewielkim obszarze. Ze wzrostem obszaru astępuje wzrost błędu trasormacji. TRNSFORMCJ IZOMETRYCZN Jest przpadkiem trasormacji przez podobieństwo bez rozciągięcia (m = ): X = t + cos - si, Y = t + si + cos. rak rozciągięcia powoduje, że trasormacja ta jest rówoodległościowa (jest rówież rówokąta), jedak miej elastczie dopasowuje mapę iż ogóla trasormacja przez podobieństwo, moża więc spodziewać się większego błędu trasormacji. TRNSFORMCJ FINICZN Dopasowaie puktów map,,,... dach w układzie współrzędch, (rs. ) do odpowiadającch puktów dach w owm układzie współrzędch X, Y odbwa się przez (rs. ): przesuięcie t X,, obrót φ oraz rozciągięcie i ścięcie map w kierukach osi i, określoe odpowiedio współczikami skalującmi s, s i s = s. Z geometrii przekształceia aiiczego (rs. i ) wikają właściwości trasormacji aiiczej:. Nie jest rówokąta (koorema): prostokąta siatka współrzędch jest przekształcoa a siatkę prostoliiową ukośokątą, czli każd prostokąt elemet siatki współrzędch X = t + (s +s )cos (s +s )si ORÓT s +s i g X t m i a t X = t + RZESUNIĘCIE Y = t + (s +s )si + (s +s )cos Rs.. Mapa dopasowaa aiiczie do puktów w owm układzie X, Y przez przesuięcie, obrót, rozciągięcie i ścięcie s s m b m d m d ROZCIĄGNIĘCIE (d, d) jest przekształco a przeskalowa rówoległobocz elemet odwzorowaej siatki (m d, m d), skąd wika, że dowole proste przekształcae są a proste, zachowaa jest rówoległość prostch, kąt międz prostmi ierówoległmi ulegają zmiaie.. Nie jest rówoodległościowa: ze względu a róże wartości rozciągięcia s, s w kierukach osi i skale długości w tch kierukach m, m, jak rówież w ich kierukach są róże. ukt map (, ) przeoszoe są do owego układu X, Y według zależości wikającej z geometrii trasormacji (rs. ): X = t + (s + s )cosφ (s +s )siφ Y = t + (s + s )siφ + (s +s )cosφ X = t +a + b, Y = t +c + d, a = s cosφ s siφ, b = s cosφ s siφ c = s siφ + s cosφ, d = s siφ + s cosφ. W zapisie macierzowm (rs. ): X = t + X ] = t ] + a b ] ] = t ] + cosφ siφ ]s s ] Y t ], c d t siφ cosφ s s t wektor przesuięcia (traslacji), macierz trasormacji reprezetująca obrót i odkształceie. = RS rozkład bieguow macierz trasormacji: a b ]= cosφ siφ ]s s c d siφ cosφ s ], s R = cosφ siφ ] macierz obrotu, siφ cosφ S = s s tga ]= s s ] macierz rozciągięcia i ścięcia. s tgb s s s Z uwagi a iejedakowe rozciągięcie map w kierukach osi i oraz dodatkowe ścięcie trasormacja aiicza bardziej elastczie dopasowuje mapę metodą ajmiejszch kwadratów iż trasormacja przez podobieństwo, moża więc spodziewać się miejszego błędu trasormacji. o dopasowaiu parametr rozciągięcia i ścięcia s, s, s oraz kąt obrotu φ moża otrzmać w wiku rozwiązaia układu rówań ieliiowch = RS: założeie: s tgb = s tga s = s s = s tgb s ŚCIĘCIE s s = s tga s +s 47 MGZYN geoiormacyjny r (76) stczeń 00

3 a = s cosφ s siφ, b = s cosφ s siφ c = s siφ + s cosφ, d = s siφ + s cosφ. Kąt ścięcia a, b spełiające waruek a + b + g = p/ dae są wzorami (rs. ): tga = s, tgb = s s s. Ze względu a skalę iezależą od położeia puktu, jedak zmieiającą się z kierukiem, trasormacja aiicza jest stosowaa szczególie w przpadku zmiech skal dopasowwach układów w kierukach osi współrzędch, a przkład opartch a odwzorowaiu Gaussa-Krügera. TRNSFORMCJ RZEZ OWINOWCTWO Jest szczególm przpadkiem trasormacji aiiczej, bez ścięcia (s = 0): X = t X + s cosφ s siφ, Y = + s siφ + s cosφ. rak ścięcia powoduje, że trasormacja ta jest rówokąta (prostokąta siatka współrzędch map jest przekształcaa a siatkę prostokątą), jedak miej elastczie dopasowuje mapę względem ogólej trasormacji aiiczej, moża więc spodziewać się większego błędu trasormacji. CHRKTERYSTYK OGÓLN TRNSFORMCJI LINIOWYCH Opisae trasormacje liiowe: przez podobieństwo, izometrcza, aiicza i przez powiowactwo dopasowują mapę w ogólości przez przesuięcie, obrót oraz rozciągięcie i ścięcie całości map. rostokąta siatka współrzędch jest wted przekształcaa a siatkę prostoliiową prostokątą (izometria, podobieństwo, powiowactwo) prostoliiową ukośokątą (trasormacja aiicza). Każd prostokąt elemet siatki współrzędch (d, d) jest przekształco a prostokąt (izometria, podobieństwo, powiowactwo) ukośokąt (trasormacja aiicza) elemet odwzorowaej siatki. Dowole proste przekształcae są a proste, proste rówoległe zachowują rówoległość. W trasormacjach przez powiowactwo i aiiczej kąt międz prostmi ierówoległmi ulegają zmiaie, atomiast w trasormacjach izometrczej i przez podobieństwo zostają zachowae. CHRKTERYSTYK OGÓLN TRNSFORMCJI NIELINIOWYCH Trasormacje ieliiowe (p. wielomiaowe, sklejae, krigig, euroowe) dopasowują mapę zaczie dokładiej 48 MGZYN geoiormacyjny r (76) stczeń 00 (rs. 4 i 5) przez: przesuięcie i obrót całości map oraz przesuięcie, obrót, rozciągięcie i ścięcie każdego małego elemetu map (d, d). W trasormacjach tch prostokąta siatka współrzędch map jest przekształcaa a ogół a ieortogoalą siatkę krzwoliiową. rostokątemu elemetowi siatki (d, d) o wektorze przekątm d = d, d] T odpowiada krzwoliiow ieortogoal w przbliżeiu rówoległobocz ( X d, X d) elemet siatki odwzorowaej o wektorze przekątm = X d + X d = X, X ]d = grad (X)d d, gdzie X, X są wektorami stczmi do liii odwzorowaej siatki współrzędch, pochodmi wektora położeia X = X() = t + X() odwzorowaego puktu w kierukach osi,. Deormację map w pukcie moża więc opisać za pomocą aiiczego przekształceia prostokątego elemetu siatki (d, d) reprezetowaego wektorem przekątm d a rówoległobok (X d, X d) reprezetowa wektorem przekątm = d (rs. 4 i 5), gdzie = RS jest rozkładem bieguowm gradietu trasormacji = grad(x) = X, X ] a ilocz macierz obrotu R oraz rozciągięcia i ścięcia S (rs. ) elemetu map (d, d). d a d i d Rs. 4. Mapa w układzie, d = d i i = cosa ] sia i = ] 0 i = 0 ] rzkładami trasormacji wielomiaowch są:. Trasormacja dwuliiowa, wzaczala prz miimalej liczbie puktów dopasowaia 4: X = t X + a +b + c, Y = + d + e +.. Trasormacja dwukwadratowa, wzaczala prz miimalej liczbie puktów dopasowaia 6: X = t X + a +b + c + d + e Y = + + g + h + i + j.. Trasormacja dwusześciea, wzaczala prz miimalej liczbie puktów dopasowaia 0: X = t X + a +b + c + d + e + + g + h + i Y = + j + k + l + m + + o + p + q + r. 4. Trasormacja rówokąta wbraego stopia: zestawiaa a podstawie wielomiaów zespoloch (p. Kadaj, 00): X + iy = (a 0 + ib 0 ) + (a + ib )( + i) + (a + ib ) ( + i) (a + ib )( + i) po rozdzieleiu a część rzeczwistą (X) i urojoą (Y); szczególm przpadkiem jest trasormacja przez podobieństwo. Trasormacje wielomiaowe są rozszerzeiem trasormacji aiiczej, która jest trasormacją wielomiaową pierwszego stopia. Im wższ stopień wielomiau, tm trasormacja bardziej elastczie dopasowuje mapę, moża więc spodziewać się malejącego błędu trasormacji względem wjściowej trasormacji aiiczej. Trasormacje sklejae mają róże postacie. rzkładem może bć trasormacja oparta a zaej powierzchiowej ukcji iterpolacjej Wasileki F = F(, ), miimalizującej kwadrat orm euklidesowej Hesjau azwaej ukcją o miimalej krzwiźie, daa wzorami Osada, 995]: X = t + a + b + Σ c i(x i ) + (Y i ) ]l(x i ) + (Y i ) ] Rs. 5. Mapa dopasowaa metodą trasormacji ieliiowej do puktów w owm układzie X, Y: przesuięcie i obrót całości map oraz przesuięcie, obrót, rozciągięcie i ścięcie każdego małego elemetu map (d, d) cosγ = X X X X Liie X = d X = d X d X X = t + p γ X DX(, ) DX(,,) DX X d t X t X = t + DX() DY(,,) Y = t + DY(, ) Liie = X d + X d = X d X ] d ] d = RSd

4 Y = t + a + b + Σ c i(x i ) + (Y i ) ]l(x i ) + (Y i ) ]. Trasormacja ta zapewia zerowe wartości odchłek w puktach dopasowaia map oraz w przbliżeiu liiowe zmia wartości międz puktami dopasowaia, co wika z miimalizacji kwadratu orm euklidesowej Hesjau. Zerowe wartości odchłek w puktach dopasowaia map zapewia rówież trasormacja metodą iterpolacją krigigu. Rówaia trasormacji mogą mieć różą postać, w ajprostszm przpadku prz zastosowaiu aiiczego tredu i losowej reszt modelowaej za pomocą izotropowej ukcji kowariacji Gaussa Osada 008]: (X i ) + (Y i ) X = t + a + b + σ Σ c r i e, (X i ) + (Y i ) Y = t + a + b + σ Σ c r i e, gdzie parametr tredu aiiczego t, a, b oraz t, a, b są wzaczae metodą ajmiejszch kwadratów, atomiast parametr losowej reszt, odchleia stadardowe σ, σ, promieie korelacji r, r oraz współcziki c, c wzaczae są a podstawie empirczch ukcji kowariacji otrzmach odchłek v, v w puktach dopasowaia. Zae jest rówież podejście do jedoczesego wzaczaia parametrów tego tpu rówań Walter ad rozato, 987]. odobie kostruowae są rówaia trasormacji map prz zastosowaiu metod iterpolacjch sieci euroowch Gil, 006]. Trasormacje ieliiowe, ze względu a dużą elastczość dopasowaia w porówaiu z trasormacjami liiowmi, stosowae są do kalibracji i trasormacji zaczie zdeormowach map skaowach, obrazów satelitarch i loticzch, jak rówież trasormacji map crowch wektorowch i rastrowch. IERWSZE TWIERDZENIE TISSOT Skala długości m jako stosuek długości po trasormacji = d do długości wjściowej d jest zależa od kieruku α wektora d = d i, gdzie i jest jedostkowm wektorem kierukowm (rs. 4 i 5): m = d = i T T i = i T S i = Ecos a + Fsia + Gsi a d gdzie T = S jest tesorem metrczm trasormacji o postaci: ]= T = X X X X g X X X X ] ]= S = s + s (s + s )s g (s + s )s s ] + s Ze zmiaą kieruku a w zakresie kąta pełego skala m = Ecos a + Fsia + Gsi a zakreśla krzwą skali (rs. 6) o wartościach ekstremalch = m(a ), = m(a ) obliczoch w dwóch prostopadłch kierukach a, a wikającch z waruku koieczego miimum: dm F = mi tga = a = atg F, a = a + p da E G E G. Kieruki te, azwae kierukami główmi trasormacji, o skalach ekstremalch, w każdm pukcie map wzaczają ortogoalą krzwoliiową siatkę Tissota ( T, T ) rs. 6. Tesor metrcz moża alteratwie zapisać za pomocą wartości ekstremalch i ich kieruków (rozkład spektral): ]= cosa ] cosa ] cosa ] cosa T g sia sia, sia sia gdzie ] T Krzwa skali jest macierzą wartości własch, m Siatka Tissota a m(a) tesora metrczego, atomiast a d a a cosa cosa a m sia sia ] m= d jest ortogoalą macierzą wektorów m włas ch (kolum) tesora metrczego a, a wskazującch kieruki warto- ortogoala siatka Tissota wkreśloe Rs. 6. Krzwa skali i krzwoliiowa ści własch,. w pukcie map w układzie W dowolej trasormacji skala długoś- współrzędch, ci m(a) jest a ogół róża w każdm pukcie (iejedoroda) i zmiea z kierukiem (aizotropowa); w kierukach osi współrzędch, wosi (rs. 6): m = E, m = G. zmut a wektora d liczo od kieruku liii współrzędej jest przekształca a kąt kierukow wektora liczo od wektora X stczego do obrazu Liii w układzie owm (rs. 4 i 5). rzekształceie a : = actg Ectga + F EG F moża otrzmać a podstawie ilorazu X / X iloczu skalarego X : X = X cos Ed + Fd = (Ecosa + Fsia)ds = (Ectga + F)ds sia i modułu iloczu wektorowego X : X = X si X = (X )(X ) = (X X )() (X ) = EG F d = EG F ds sia. zmut prostopadłch liii siatki Tissota a, a (rs. 6) przekształcae są więc a kieruki liczoe względem odwzorowaej Liii (rs. 7) a = actg Ectga a + F, = actg Ectga + F, EG F EG F które są rówież prostopadłe: prz założeiu a = a +90 : ctga = tga ( iaczej ctga ctga = ), skąd, po podstawieiu wrażeń dla ctg i ctg, otrzmuje się F EG = (Ectga +F)(Ectga +F) = (Ectga +F) ( Etga +F), a astępie zależość tga = F/(E G), którą spełia kieruek ekstremal a. Jest to zgode z pierwszm twierdzeiem Tissota Trajdos, 974], według którego w dowolm regularm odwzorowaiu jedej regularej powierzchi a drugą istieje zawsze przajmiej jeda, a jeśli odwzorowaie ie jest rówokąte, to tlko jeda siatka ortogoala a powierzchi orgiału T, T wskazująca kieruki główe odwzorowaia o skalach ekstremalch,, azwaa siatką Tissota, której obraz a drugiej powierzchi jest rówież siatką ortogoalą X T, Y T wskazującą kieruki główe odwzorowaia o skalach ekstremalch,, azwaą także siatką Tissota. T 49 MGZYN geoiormacyjny r (76) stczeń 00

5 Siatka Tissota m T m= Rs. 7. Elipsa Tissota i krzwoliiowa ortogoala siatka Tissota wkreśloe w pukcie odwzorowaej map w układzie współrzędch X, Y DRUGIE TWIERDZENIE TISSOT Według drugiego twierdzeia Tissota Trajdos, 974] obrazem graiczm skali długości m we wszstkich kierukach wchodzącch z puktu a odwzorowaej mapie jest elipsa (azwaa elipsą Tissota), której półosie są rówe ekstremalm skalom długości, w kierukach główch X T, Y T (rs. 7). Rówaie bieguowe elips Tissota (m, φ) wrażające zmieość promieia wodzącego elips m = m(φ) w ukcji kąta kierukowego φ ma postać: m = cos φ + si φ. Odwracając to rówaie, otrzmuje się kąt kierukow jako ukcję azmutu φ = φ(a): tgφ = m(a) m(a). Elipsa Tissota może więc bć wkreślaa poprzez odłożeie promieia wodzącego m = m(a) a odwzorowaej mapie w kieruku (rs. 7): = (a) względem Liii, φ = φ(a) względem kieruku główego X T k +(a) względem osi X, gdzie k = actg( dy / ) d d jest azmutem odwzorowaej Liii rówm kątowi kierukowemu k wektora stczego X. DNIE WŁŚCIWOŚCI MODELI TRNSFORMCJI M Na podstawie tesora metrczego trasormacji T badae są podstawowe właściwości modeli trasormacji.. Rówoodległościowość: skala długości jest rówa jedości m(α) = dla trasormacji o jedostkowej postaci tesora metrczego: ] = ]=R RT ] g. W tm przpadku elipsa ziekształceń Tissota jest okręgiem jedostkowm o promieiu m = = = (rs. 7); waruek te spełia p. trasormacja izometrcza.. Rówokątość: kąt międz dowolą parą wektorów po trasormacji, a przkład X = i i X = i, jest rów kątowi międz odpowiadającmi wektorami a mapie i, i (rs. 4, 5): k m Liia (a) m(a) m Elipsa Tissota Y T Y Liia X X i T T i = i i X X i T T i it T i i i dla trasormacji o skalowaej diagoalej postaci tesora metrczego T = m I: ] ]=R RT = m ] g. W tm przpadku elipsa Tissota jest okręgiem o promieiu m = = ; waruek te spełiają trasormacje p. przez podobieństwo i izometrcza.. Rówopolowość: skala pola jako stosuek pola przekształcoego rówoległoboku do pola wjściowego elemetu prostokątego map jest rówa jedości: m d. m d. sig = EG F d. d dla trasormacji o tesorze metrczm, którego wzaczik jest rów jedości: ] ]= = EG F =. g W tm przpadku: półoś elips Tissota jest odwrotością półosi : = /, skala pola jako stosuek pola elips p do pola okręgu jedostkowego pr (r = ) jest rówa = ; waruek te spełia p. trasormacja izometrcza. WNIOSKI Dowola trasormacja ie zachowuje wszstkich geometrczch właściwości map: długości, pola i kątów. Właściwości te są badae a podstawie aaliz tesora metrczego trasormacji. Graiczm obrazem ziekształceń jest elipsa Tissota. romień wodząc elips jest skalą długości m, półosie i są skalami ekstremalmi. Trasormacja jest: rówoodległościowa jeżeli elipsa jest okręgiem jedostkowm m = = =, rówokąta jeżeli elipsa jest okręgiem m = = (im większe ziekształceia kątowe, tm większe odstępstwo elips od okręgu), rówopolowa jeżeli =. Na tej podstawie spośród liiowch i ieliiowch modeli trasormacji spełiającch zadae krterium błędu trasormacji (m 0 ) moża wbrać model zachowując pożądae właściwości geometrcze map: długości, pola kąt. Literatura ROF. DR H. INŻ. EDWRD OSD Dolośląska Szkoła Wższa MGR INŻ. KTERYN SERGIEIEV Dolośląska Szkoła Wższa, Narodow Uiwerstet Góricz, Diepropietrowsk, Ukraia RECENZENT DR H. INŻ. WOJCIECH NIGCZ proesor olitechiki Opolskiej alcerzak J., aasiuk J., 005: Wprowadzeie do kartograii matematczej, Oica Wd. olit. Warsz., Warszawa; ieracki F., 97: odstaw teorii odwzorowań kartograiczch, WN, Warszawa; Gil J., 006: rzkład zastosowań sieci euroowch w geodezji, Oica Wd. Uiw. Zieloogórskiego, Zieloa Góra; Kadaj R., 00: Wtcze techicze G-.0. Formuł odwzorowawcze i parametr układów współrzędch, Głów Geodeta Kraju, GUGIK, Warszawa; Osada E., 995: Splie-Trasormatio o coordiates i GIS. Geo-Iormatios-Ssteme, Het 4, Wichma, Karlsruhe; Osada E., 008: Opracowaie techologii trasormacji poziomej i wsokościowej map zasadiczej miasta Wrocławia do układów 000 i Krosztad 986, olitechika Wrocławska, Raport I-/S-056/008; asławski J. red. auk., 006: Wprowadzeie do kartograii i topograii, Wd. Nowa Era, Wrocław; Trajdos T., 974: Matematka dla iżierów, Wd., WNT, Warszawa; Walter E., rozato L., 997: Idetiicatio o arametric Models rom Eperimetal Data, Spriger. 50 MGZYN geoiormacyjny r (76) stczeń 00