Michał Gruca ZASADY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Michał Gruca ZASADY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW"

Transkrypt

1 Michał Gruca ZASADY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW 1. Wstęp Pomiarem jest procesem pozawczm, któr umożliwia odwzorowaie właściwości fizczch obiektów w dziedziie liczb. Sam proces pomiarow jest ciągiem czości podjętch w celu doświadczalego wzaczeia wartości wielkości fizczej daego obiektu. Proces pomiarow powiie obejmować astępujące czości: - teoretcze i praktcze przgotowaie pomiaru, - techiczą realizację pomiaru, - opracowaie i iterpretację wików. Wkoaie pomiaru wmaga użcia arzędzi pomiarowch, które mogą tworzć układ pomiarow lub sstem pomiarow. Często przez pomiar rozumie się tlko jego techiczą realizację. Obecie pojęcie pomiaru rozszerza się a doświadczeie mające a celu wzaczeie przebiegu czasowego i rozkładu przestrzeego pewch wielkości, a także reprezetacji przebiegów czasowch wielkości i związków fukcjoalch międz imi. Jako pomiar traktuje się rówież operacje kotroli mieszczeia się wartości wielkości w określom przedziale. Do wkowaia pomiarów stosuje się róże metod w zależości od żądaej dokładości, waruków, w którch pomiar jest wkowa, przezaczeia wików pomiaru, charakteru wielkości mierzoej. Spośród wielu różch klasfikacji metod pomiarowch ajważiejsz jest ich podział ze względu a sposób uzskiwaia wiku pomiaru. Według tego podziału metod możem zaliczć do jedej z dwóch kategorii: metod bezpośredich i metod pośredich. Metoda jest bezpośredia jeśli wik pomiaru przedstawia wartość wielkości mierzoej. Przkład metod bezpośredich to pomiar długości liijką, mas a wadze z podziałką lub apięcia woltomierzem. Metoda jest pośredia jeżeli wielkość mierzoa jest wzaczaa jako fukcja ich wielkości mierzoch bezpośredio, p.: pomiar gęstości ciała a podstawie pomiarów jego mas i objętości, pomiar rezstacji a podstawie pomiarów apięcia i atężeia prądu. Nieraz te same wielkości moża zmierzć rówież bezpośredio, p. gęstość moża zmierzć areometrem a opór 1

2 omomierzem. Rozróżieie metod bezpośredich i pośredich jest szczególie waże ze względu a stosowae sposob szacowaia dokładości wików pomiarów.. Dokładość pomiaru Jak wkazuje praktka, żade pomiar, iezależie od staraości jego wkoaia ie daje całkowicie dokładego wiku. Z pomiarem ierozerwalie związaa jest iepewość uzskaego wiku azwaa błędem pomiaru. Błęd pomiaru ie ozaczają pomłek, ie sposób ich uikąć zachowując większą staraość, moża je jedie próbować zmiejszć. Aaliza dowolego pomiaru pozwala zrozumieć ieuchroość wstępowaia iepewości w wkowaiu pomiarów. Przkładowo moża do pomiaru długości stołu użć taśm miericzej z działkami rozmieszczomi co 0,5 cm i w wiku pomiaru stwierdzić, że stół ma długość 116,7 cm z zastrzeżeiem, że rzeczwista długość zajduje się pomiędz 116,6 cm a 116,8 cm poieważ krawędź stołu zalazła się pomiędz ozaczeiami a taśmie i koiecze bło przbliżoe określeie jej położeia. Stosują lepszą taśmę z działkami co 1 mm moża zmiejszć tę iepewość, ale ie da się jej całkowicie welimiować awet wted gd krawędź stołu pokrje się z odpowiedią działką a taśmie (116,7 cm), poieważ ie jesteśm w staie powiedzieć a podstawie tego pomiaru cz długość stołu wosi dokładie 116,700 cm cz może 116,701 cm. Stosując awet do pomiaru długości stołu iterferometr laserow pozwalając a osiągięcie ajwiększej możliwej techiczie dokładości i tak dokładość pomiaru zostaie ograiczoa do odległości porówwalch z długością fali świetlej. Ozacza to, że długości stołu ie moża zmierzć z absolutą dokładością, podobie jak ma to miejsce w przpadku wszstkich pomiarów. Na ograiczeie dokładości pomiaru wpłw mają: iedoskoałość metod i arzędzi pomiarowch, waruki wkowaia pomiaru oraz ieumiejętości obserwatora. Stosując lepsze metod, istrumet pomiarowe i zwiększając akład prac moża zmiejszć istiejące iepewości ale ie moża ich całkowicie usuąć. Błąd o zach graicach jest ieodłączą częścią wiku pomiaru. Wik pomiaru, którego błęd ie są zae jest wikiem ic ie mówiącm. Wik pomiaru powiie wskazwać przedział, wewątrz którego zajduje się wartość wielkości mierzoej. Im dokład-

3 iejsz jest pomiar tm miejsz jest te przedział. Oczwiście wkoując pomiar powio się dążć do osiągięcia jedie takiej dokładości jaka jest iezbęda z puktu widzeia celu, do którego wik pomiaru jest potrzeb. Bardzo często mam do czieia z stuacją gd obiekt i arzędzie pomiarowe są dobrze zae a wmagaia co do dokładości ie są ostre wówczas opracowaie wików i ocea dokładości ie są potrzebe, poieważ mierząc i bez tego wie jaka jest dokładość uzskach wików. Właściwm sposobem prezetacji wików pomiarów jest podaie ajlepszego przbliżeia wiku oraz zakresu, w którm mierzoa wielkość leż, czli w postaci: m gdzie : m ajlepsze przbliżeie wartości mierzoej, g - błąd pomiaru wielkości. Poieważ g jest szacukową iepewością pomiaru ie powio się jej podawać z dokładością większą iż do dwóch cfr zaczącch. Zwkle podaje się tlko jeda cfrę zaczącą, a tlko prz pomiarach bardzo dokładch lub gd wik będzie wkorzstwa do dalszch obliczeń dwie cfr. Przbliżeie wiku podaje się z dokładością do tej cfr zaczącej, która wstępuje w zaokrągloej wartości graic błędu g. Graice błędu z reguł zaokrąglam w górę, chba że mam powod ab podać graice błędu dokładiej iż z jedą cfrą zacząca. Należ rówież pamiętać, że ie zaokrągla się liczb, które są stosowae do obliczeń lecz włączie wiki końcowe. ± g 3. Rodzaje błędów Surowe wiki pomiaru, otrzmae w wiku obserwacji wskazań przrządów, ie mogą bć traktowae jako ostatecz opis właściwości badaego obiektu. Do oszacowaia jakości pomiaru użwa się pojęcia idealego jakim jest wartość wielkości prawdziwa (rzeczwista), która ie może bć dokładie zaa. Prz praktczm wzaczaiu błędu pomiaru zastępuje się iezaą wartość prawdziwą jej zam przbliżeiem azwam wartością poprawą. 3

4 Błędem pomiaru (iepewością pomiarową, uchbem pomiaru) azwa się rozbieżość międz wikiem pomiaru, a wartością prawdziwą lub poprawą. Błąd jest miarą jakości pomiaru - im miejsz jest błąd, tm wik pomiaru jest dokładiejsz. Podstawową miarą jest błąd bezwzględ określo zależością (1): gdzie: - wik pomiaru, ν - wartość prawdziwa. - ν (1) Poieważ ie ma możliwości pozaia wartości rzeczwistej, w praktce wartości ν zastępuje się możliwie ajdokładiejszm przbliżeiem czli wartością poprawą. Za wartość poprawą wielkości mierzoej przjmuje się wartość liczbową w takim stopiu przbliżoą do wartości rzeczwistej, że z puktu widzeia celu, do którego wartość jest potrzeba, różica międz imi może bć pomiięta. Różicę określoą zależością (): p - - ν () p azwa się błędem bezwzględm poprawm. Błąd bezwzględ popraw wzięt ze zakiem przeciwm azwa się poprawką: p p p - Dodając poprawkę do wiku pomiaru otrzmujem wartość poprawą. Prz porówwaiu dokładości pomiaru różch wielkości bardziej użtecz od błędu bezwzględego jest błąd względ określo zależością (3): - ν δ (3) ν ν p Ze względu a zmieość błędu w kolejch, surowch wikach powtarzaego doświadczeia pomiarowego błęd zalicza się do trzech różch kategorii: sstematczch, przpadkowch, admierch (grubch). 4

5 Błęd sstematcze to błęd, które prz wielu pomiarach tej samej wartości daej wielkości, wkowach w tch samch warukach, pozostają stałe co do zaku i modułu, lub zmieiają się według określoego prawa wraz ze zmiaą waruków odiesieia. Źródła błędów sstematczch mogą bć zae lub iezae. Cechą błędów sstematczch jest możliwość ich częściowej lub całkowitej elimiacji za pomocą poprawek, które moża obliczć teoretczie lub wzaczć doświadczalie. Doświadczalie moża stwierdzić istieie błędów sstematczch zmieiając metodę pomiaru lub przrząd a ieraz rówież powtarzając wkoaie pomiarów przez róże osob. Błęd sstematcze są więc błędami, które moża przewidzieć a podstawie zajomości daego procesu pomiarowego. Błęd sstematcze mogą rówież mieć iezae źródło, ale jeśli zmieiają się wg określoego prawa moża je welimiować poprzez kalibrację układu pomiarowego. Błęd sstematcze pochodzące z wielu różch źródeł sumuje się algebraiczie. Błędami przpadkowmi azwa się błęd zmieiające się w sposób ieprzewidzia, zarówo co do zaku jak i modułu prz wkowaiu pomiarów tej samej wielkości w warukach pozorie iezmiech. W chwili pomiaru wartość błędów przpadkowch ie jest zaa mierzącemu. Moża jedie wzaczć ich parametr statstcze a podstawie wielu wików pomiarów. Poieważ błąd przpadkow traktuje się jako zbiór wielkości będącch zmieą losową, więc pod pojęciem wartości błędu rozumie się jego wartość graiczą.. Wartości błędów przpadkowch sumuje się geometrczie. Błęd przpadkowe i sstematcze w doświadczeiu pomiarowm wstępują łączie i akładają się. Błąd wpadkow pomiaru jest sumą wartości bezwzględch błędów sstematczch i wartości graiczch błędów przpadkowch. Każd przpadek gd wik pomiaru tej samej wielkości zaczie różi się od pozostałch wików, wmaga dokładego sprawdzeia. Wiki takie pozostawia się do wjaśieia przcz, jako obarczoe błędem admierm. Główe przcz ich powstawaia to ieprawidłowe wkoaie pomiaru, pomłka w odczcie wiku lub iezae wcześiej rzadkie zjawiska. Ustaleie, że przczą błędu admierego bło błęde wkoaie pomiaru upoważia do odrzuceia wiku obarczoego takim błędem. 5

6 4. Powstawaie błędów δ δ δ m i o ν obiekt pomiaru u przrząd pomiarow w obserwator Rs.1. Tor przetwarzaia iformacji prz pomiarze bezpośredim, ν wielkość mierzoa, u wielkość mierzoa przez przrząd pomiarow, w wskazaie przrządu, wartość wzaczoa przez obserwatora. Jak ilustruje to rs.1, w trakcie doświadczeia pomiarowego powstają pierwotie ie istiejące oddziałwaia a obiekt, czli zmieiają się waruki wzaczające miarę wielkości mierzoej. Najważiejszą przczą powstaia błędu metod δ m (ze względu a zmiaę waruków ie mierzm tej miar wielkości, którą zamierzaliśm zmierzć) jest oddziałwaie przrządu a obiekt powodujące zmiaę rówowagi eergetczej obiektu. Błąd metod może bć rówież spowodowa iedoskoałością sprzężeia iformacjego międz obiektem a arzędziem. Istieie błędu metod ie jest spowodowae iewłaściwm postępowaiem i iewłaściwie dobrami arzędziami, ale wika z przcz obiektwch, iezależch od mierzącego. Błąd metod ma szczególe zaczeie prz pomiarach pośredich. Błąd metod prawdziw jest ieza ekspermetatorowi prz opracowwaiu wików określa się błąd metod graicz a podstawie dach o obiekcie, arzędziach i warukach pomiaru. Błąd metod może mieć charakter błędu sstematczego i przpadkowego. Często moża wzaczć poprawkę zmiejszającą błąd metod sstematcz. Przkład błędu sstematczego metod: Jedm ze techiczch sposobów pomiaru rezstacji jest metoda poprawego pomiaru prądu. Polega oa a zastosowaiu amperomierza połączoego szeregowo z rezstacją badaą R X do wzaczeia wartości atężeia prądu i woltomierza 6

7 włączoego rówolegle z amperomierzem i rezstacją R X do wzaczeia spadku apięcia (rs.). U A A I X V U U X R X Rs.. Schemat układu do pośrediego pomiaru rezstacji metodą poprawego pomiaru prądu Wartość poprawa rezstacji R X : U X R X, I X różi się od wartości obliczoej R a podstawie wskazań woltomierza U i amperomierza I: U R, (A) I poieważ spadek apięcia wskazwa przez woltomierz jest sumą spadków apięcia a amperomierzu i oporze R X : U U A + U X. Wobec tego: U U X + U A R I I X poieważ prąd płąc przez amperomierz jest rów prądowi płącemu przez mierzoą rezstację R X : I I X Ozacza to, że rezstacja obliczoa według uproszczoego wzoru (A) jest zawżoa w stosuku do wartości prawdziwej: R > R X. Poprawka popełiaego błędu sstematczego wosi: U X U X + U A U A R R X R R A I X I X I X Sstematcz błąd względ tej metod: 7

8 R A δ R R, R X R X pozwala oceić, że omawia sposób wzaczaia rezstacji wg przbliżoej zależości (A) może bć stosowa do pomiarów miej dokładch jeśli rezstacja mierzoa jest dużo większa od rezstacji amperomierza. Błąd istrumetal δ i wwoła jest iedokładością zastosowach arzędzi pomiarowch. Błąd istrumetal prawdziw jest ieza mierzącemu dlatego prz opracowwaiu wików pomiaru określa się graicz błąd istrumetal a podstawie dach o błędach stosowach arzędzi pomiarowch. Na skutek uproszczeń modelu przjętch podczas kostrukcji przrządu i iedoskoałości jego wkoaia powstają błęd sstematcze podstawowe arzędzi pomiarowch. Są to składowe sstematcze błędu podstawowego, a ich wartość zawiera się w graicach iedokładości podaej dla przrządu.. Wskutek ie zachowaia waruków zamioowch dla daego przrządu pojawiają się jego błęd dodatkowe. Suma błędów podstawowch i dodatkowch może przekraczać graice dopuszczale dla daego przrządu. Błęd sstematcze powi bć usuwae w takim stopiu, ab ich reszt ( lub oe same) bł pomijale w stosuku do błędów przpadkowch gd pomiar są dokłade. Nie usuwa się błędów sstematczch pomiarów przeciętej dokładości szacuje się jedie ich graice i uwzględia w oceie iedokładości wiku. Źródłem błędu odcztu δ o są obserwacje wskazaia przrządu pomiarowego. Błąd odcztu wskazań cfrowch jest zwkle rów zeru. Na błąd odcztu wskazań aalogowch składają się błąd ieczułości spowodowa ograiczom postrzegaiem zmsłów ludzkich oraz błąd iterpolacj i błąd paralaktcz. Podczas wielokrotch pomiarów tej samej wartości, w praktczie tch samch warukach, wkowach arzędziami i metodami bardzo dokładmi, uwdatia się rozproszeie wików objawiające się w wikach jako błęd przpadkowe. Do zjawisk fizczch powodującch rozproszeie wików pomiarowch ależą międz imi szum termicz w przrządach elektroiczch, histereza wskazań spowodowaa tarciem, histerezą spręż, histerezą magetczą, iestałość wielkości mierzoej i błęd odcztu wskazań. Poieważ błąd przpadkow jest zdarzeiem losowm - ie zaa jest jego wartość w kolejch wikach 8

9 pomiaru. Powtarzając pomiar w tch samch warukach możem wkorzstując metod statstki matematczej określić ajlepsze przbliżeie poszukiwaego wiku i oszacować graice iepewości tego przbliżeia. 5. Model matematcz błędów przpadkowch Zakładam, że wiki pomiaru obciążoe są tlko błędami przpadkowmi, a zbiór wików ma astępujące potwierdzoe doświadczalie własości: rozproszeie ( rozrzut) wików spowodowa jest tlko błędami przpadkowmi, środkiem rozproszeia jest rzeczwista wartość wielkości mierzoej, błęd małe wstępują częściej iż duże, błęd dodatie i ujeme o takiej samej wartości bezwzględej wstępują jedakowo często. Z założeń tch wika, że dla ieskończoego zbioru wików zachodzi rówość (4): lim i k k i 1 0 (4) a zbiór wików może bć modelowa rozkładem liczb losowch. Częstość wstępowaia wików osiąga ajwższą wartość w otoczeiu wartości rzeczwistej. Jeżeli liczba wików k, to częstość () wstępowaia określoch wików staje się fukcją ciągłą i spełia zależość (5): + - () d 1 (5) Rzęde fukcji () azwa się gęstością rozkładu prawdopodobieństwa wstąpieia wiku o wartości. Jeżeli spełioe są wmieiowe wcześiej właściwości to zachodzi rówość (6): 1 () e π σ -(-σ ) (6) 9

10 Fukcję tę azwa się rozkładem ormalm ( rs. ), a wielkości σ i ν są tzw. parametrami tego rozkładu. () ν -σ ν -σ ν ν +σ ν+σ azwaą odchleiem średim kwadratowm lub stadardowm, a w metrologii błędem średiokwadratowm lub stadardowm (kwadrat azwa się wariacją). Im miejsze jest σ, tm miejsze jest rozproszeie, czli tm miejsze są błęd przpadkowe. Obliczeie prawdopodobieństwa, że wik pomiaru wstąpi w przedziale ( 1, ) jest rówozacze z wza Rs. 3. Ilustracja fukcji rozkładu ormalego Rozkład ormal jest ajlepszm modelem rozkładu zbioru wików pomiaru w większości doświadczeń fizczch. Oś smetrii rozkładu gęstości pokrwa się z rzeczwistą wartością poszukiwaego wiku, któr w matematce azwa jest wartością oczekiwaą (7): + - () d ν E() (7) Zgodie z przjętm założeiem różica - ν jest błędem przpadkowm bezwzględm. Za miarę rozproszeia wików przjmuje się wielkość σ zdefiiowaą wzorem (8): + - ( ν) () d σ D () (8) 10

11 czeiem odpowiediej powierzchi pod krzwą rozkładu. Wartości prawdopodobieństwa dla pewch przedziałów charakterstczch woszą (9): P( ν - σ < < ν+ σ ) 0, 68 P( ν - σ < < ν+ σ ) 0, 95 P( ν - 3σ < < ν+3σ ) 0, 9973 (9) Prawdopodobieństwo 0,9973 dla przedziału (ν-3σ; ν+3σ) ozacza, że tlko 0,7% wszstkich wików obarczoch błędami przpadkowmi wstąpi poza tm przedziałem. Tak więc wstąpieie błędu przpadkowego o module większm iż 3σ jest praktczie iemożliwe. Przedział taki, zawierając praktczie wszstkie możliwe wartości błędu przpadkowego azwa się graiczą iepewością wiku pomiaru. Średia artmetcza serii pomiarów (10): i1 jest rówież zmiea losową, gdż powtarzając kilkakrotie taką serię otrzmuje się za każdm razem ią średią. Moża więc mówić o wartości oczekiwaej średiej i odchleiu średim kwadratowm średiej. Jeśli zastosujem zależość (7) do wzaczeia wartości oczekiwaej dla średiej artmetczej to otrzmam astępując wik (11): ν i1 E i 1 E i1 i 1 ν ν Ozacza to, że średia artmetcza z serii wików ma taką samą wartość oczekiwaą. Wartość oczekiwaa zbioru wików, w którm ie wstępują błęd sstematcze, pokrwa się z wartością rzeczwistą wielkości mierzoej. Obliczeie z kolei według wzoru (8) odchleia stadardowego dla średiej artmetczej z wików daje astępując rezultat (1): (10) (11) 11

12 σ D i1 i 1 D i1 i 1 D () σ σ σ (1) Ozacza to, że błąd stadardow średiej z wików jest raz miejsz od błędu wików dla którch obliczoo średią. Teoretczie moża więc osiągąć dowolą dokładość ze względu a błęd przpadkowe, poieważ wraz ze wzrostem liczb pomiarów maleje odchleie stadardowe średiej. Jedak możliwości ta ma praktczie miejsze zaczeie z uwagi a trudości utrzmaia przez dłuższ czas stałch waruków pomiaru, iską efektwość tej metod poprawiaia dokładości a przede wszstkim ze względu a to, że całkowita dokładość pomiaru ie ulegie istotej poprawie z uwagi a to, że błęd sstematcze ie zmiejszą wartości prz dużej liczbie pomiarów. 6. Praktcza ocea błędów przpadkowch W praktce doświadczeie pomiarowe możem powtórzć raz i otrzmać 1,..., wików obarczoch błędami przpadkowmi. Naszm zadaiem jest oszacować iezae ν i σ. Przjmiem, że oszacowaiem wartości rzeczwistej będzie średia artmetcza określoa zależością (13): i i1 ν (13) Dla liczb pomiarów > 30 oszacowaiem odchleia stadardowego jest rówość (14): s i1 ( i ) (14) Uwzględiając zależość (1), błąd stadardow średiej artmetczej jest astępując (15): 1

13 s i1 ( i - ) ( - 1) (15) Odchleie stadardowe średiej artmetczej s charakterzuje dokładość daej serii pomiarowej i pozwala określić prawdopodobieństwo z jakim wartość rzeczwista wielkości mierzoej jest zawarta w przedziale ( t s, + t s ). Przedział te osi azwę przedziału ufości. Prawdopodobieństwo γ (16) odpowiadające temu przedziałowi osi azwę poziomu ufości: P( t s ν < + t s γ a prawdopodobieństwo α 1 - γ poziomu istotości. < ) W przpadku miej liczch pomiarów <30 pewiejszm sposobem oszacowaia iepewości graiczej jest oparcie się a modelu rozkładu t-studeta. Jest o dokład dla zmieej uormowaej t i opisaej rówaiem (17) (16) t - ν s, (17) w której wstępują zmiee losowe zae jako przbliżeia. Z tablic t-studeta odcztujem wartości współczika t qk określoego dla liczb stopi swobod k -1 i obraego prawdopodobieństwa q, taką, że spełioa jest rówość (18): gdzie: k - liczba stopi swobod, - liczba wików, - iepewość graicza. Wik pomiaru zapiszem w postaci (19): ± tqk s ± (18) p ν ± tqk s ± (19) 13

14 Błęd przpadkowe wartości średiej większe od ± mogą wstąpić a przjętm poziomie istotości q. W techice stosujem ajczęściej 95% poziom ufości. Przjmując poziom 99% możem pomlić się raz a 100 raz. Ab mieć pewość moglibśm rozszerzć przedział ufości do 99,9% (raz a 1000). Jest to jedak tlko zamiaa jedej iepewości a ią, poieważ zskujem większa pewość, że mierzoa wartość zajduje się w szerszm zakresie iepewości. 7. Opracowaie wików prz pomiarach bezpośredich Ostatecz wik pomiaru bezpośrediego przedstawiam w astępującej postaci: gdzie : m wartości przbliżoa, ± (0) m g - błąd graicz pomiaru. Jeżeli wiki kolejch pomiarów powtarzae w tch samch warukach są jedakowe, to wik pomiaru traktuje się jako realizację zmieej zdetermiowaej obarczoej błędem sstematczm. Jako wartość przbliżoą przjmuje się skorgowa wik pomiaru: gdzie : p p I + p M m + g p 0 (1) poprawka zmiejszająca sstematcz błąd istrumetal i metod. Gd ie uwzględia się poprawki, za błąd pomiaru g I M m przjmuje się po prostu surow wik pomiaru o. Graicz c + c jest sumą graiczch błędów sstematczch istrumetu i metod. Poprawkę i graicz błąd istrumetal wzacza się w a podstawie dach o stosowach przrządach i iformacji o wielkościach wpłwającch, a poprawkę i graicz błąd metod w oparciu o aalizę układu: obiekt przrząd pomiarow. Jeżeli atomiast wiki kolejch pomiarów ( i 1,, K, ) powtarzae w tch samch warukach różią się międz sobą, to traktuje się je jako realizacje zmieej losowej obciążoe błędem sstematczm i przpadkowm. Na błąd sstematcz składa się i 14

15 sstematcz błąd istrumetal i metod, a a błąd przpadkow przede wszstkim przpadkow błąd metod i rzadziej przpadkow błąd istrumetal. Za wartość przbliżoą przjmuje się skorgowaą średią artmetczą serii pomiarów m + p, gdzie: i1 średia artmetcza surowch wików pomiaru. Graicz błąd pomiaru i () c e jest sumą g + graiczego błędu sstematczego c i graiczego błędu przpadkowego e. Poprawkę p p I + p M c c I + c oraz graicz błąd sstematcz M wzacza się tak, jak dla modelu zdetermiowaego. Graicz błąd przpadkow wzacza się metodami statstczmi aalizując serię wików pomiarów. Zwkle szacuje się go a podstawie rozkładu t-studeta przjmując poziom ufości 1 - q 0,95. Wówczas: gdzie: s błąd średiokwadratow serii pomiarów: e tqk s (3) s i1 ( i ) (4) Prz dużej liczbie pomiarów ( > 30) współcziki rozkładu t-studeta moża zastąpić współczikami rozkładu ormalego. Jeżeli ie ma podstaw do przjęcia założeia o ormalm rozkładzie błędów przpadkowch, to wkouje się więcej pomiarów i jako graicz błąd przpadkow przjmuje się e s 3. Prz pomiarze wielkości zaego obiektu za pomocą przrządu o zaej dokładości ie powtarzam pomiaru lecz otrzmaemu wikowi przpisujem graice dokładości wikające z graic błędu dopuszczalego przrządu. W takim przpadku powtórzeia ie powodują zwiększeia dokładości - błęd sstematcze przrządu ie zmieiają są prz powtarzaiu odcztu i błęd przpadkowe ie mogą się ujawić - wiki są praktczie idetcze. 15

16 Błęd admiere wstępują zwkle sporadczie prz powtarzaiu pomiarów i moża je wkrć a podstawie serii pomiarów powtórzoch w tch samch warukach. Jeżeli prawidłowo wkoae pomiar obarczoe są stałm błędem sstematczm, to w serii pomiarów tlko wiki obarczoe błędem admierm odbiegają od wartości stałej takie wiki ależ odrzucić. Jeżeli prawidłowo wkoae pomiar obarczoe są błędem przpadkowm, to dla serii wików oblicza się średią artmetczą, odchleia pozore i błąd średiokwadratow s. O odchleiach pozorch przekraczającch 3s moża sądzić, że są to błęd admiere. Należ przeaalizować waruki pomiarów podejrzach o obarczeie błędem admierm i odrzucić wiki, jeżeli przpuszczeia zostaą uzae za uzasadioe. Odchleia pozore przekraczające 4s traktuje się jako błęd admiere. Po odrzuceiu wików obarczoch błędem admierm ależ jeszcze raz obliczć średią artmetczą i błąd średiokwadratow zredukowaej serii. 8. Opracowaie wików prz pomiarach pośredich wielkości Wartość wielkości mierzoej pośredio oblicza się jako fukcję (5) wartości ich w,, w 1 K zmierzoch bezpośredio: m f ( w1, K, wm ) (5) Ostatecz wik pomiaru przedstawia się w postaci: ± (6) m g gdzie : m wartości przbliżoa, g - błąd graicz pomiaru. Jeżeli wiki kolejch pomiarów tch samch wielkości mierzoch bezpośredio powtarzae w tch samch warukach są jedakowe, to przjmuje się zdetermiowa model każdego pomiaru bezpośrediego. Wartość przbliżoą f, K, ) oblicza się dla m ( 1p mp 16

17 skorgowach wików pomiarów wielkości mierzoch bezpośredio: + p, jp js j gdzie: js - surow wik pomiaru, p j - poprawka dla wielkości w j. Sposób obliczaia błędu graiczego zależ od przjętej zasad szacowaia błędu graiczego fukcji. Zasada ajiekorzstiejszego przpadku zakłada, że błęd wj wielkości w j przjmują wartości skraje ± gwj maksmalizując błąd fukcji : g δ δw m gwj j1 j (7) Zasada sumowaia kwadratów błędów zakłada, że błęd wj wielkości w j przjmują losowo dowole wartości z przedziałów ± gwj i błąd fukcji jest zmieą losową, dlatego: m g gwj j 1 w δ (8) δ j Jeżeli wiki kolejch pomiarów tch samch wartości wielkości bezpośredio mierzoch powtarzae w tch samch warukach różią się międz sobą, to do opracowaia wiku przjmuje się model probabilistcz. Dla każdej wielkości mierzoej bezpośredio wkouje się serię pomiarów j (1), j (),..., j ( j ). Wartość przbliżoą f, K, ) oblicza się m ( 1p mp dla: j 1 jp j + p j - skorgowach średich artmetczch j j ( i) serii j i1 pomiarów wielkości mierzoch bezpośredio, przez dodaie poprawki p j dla wielkości w j. Błąd graicz g c + e jest sumą graiczego błędu sstematczego c i graiczego błędu przpadkowego e. Graicz błąd sstematcz wzacza się jako: c m j 1 δ δ w j c gwj lub c m cgwj j 1 w δ δ j (9) gdzie: cgwj - sstematcz błąd graicz wielkości w j. 17

18 Jeżeli błęd przpadkowe pomiarów bezpośredich są iezależe i maja rozkład ormale to graicz błąd przpadkow wzacza się z zależości: e m egwj j 1 w δ δ j (30) gdzie: egwj -przpadkow błąd graicz wielkości w j wzaczo a podstawie rozkładu t- Studeta: egwj tqk swj j (31) s wj - błąd średiokwadratow serii pomiarów wielkości w j.: s wj j i1 ( j ( i) - j - 1 j ) (3) Błęd sstematcze o iezam zaku, lecz o zach graicach iterpretuje się jako graicz błąd przpadkow wchodząc z założeia, że są oe kokrete dla daej wielkości, ale dla różch wielkości układają się losowo i iezależie, i dlatego ich składaie może bć prowadzoe jak dla błędów przpadkowch. 9. Doświadczale wzaczaie zależości fukcjej Jeśli a podstawie wików pomiarów wielu wartości dwóch wielkości fizczch i chcem zaleźć matematczą formułę opisującą związek międz tmi wielkościami, ajczęściej próbujem aproksmować te związek jedą ze zach fukcji matematczch. Przede wszstkim ależ sprawdzić jaki jest charakter związku międz wielkościami i ab dobrać ajlepszą fukcję przbliżającą. Najczęściej stosowae do aproksmacji fukcje to: wielomia, fukcje logartmicze, potęgowe i wkładicze. W przpadku aproksmacji wielomiaowej p puktów pomiarowch: { i, i }, ( i 1,,..., p), moża aproksmować wielomiaem stopia { 1,, p 1} K o postaci: 18

19 1 ( ) a + a a1 a0 K + (33) Miimalizując kwadrat różic międz wartościami wielomiau () w puktach i, a wartościami uzskami z pomiaru i : p ( ( i ) i ) i 1 mi (34) wzacza się współcziki wielomiau a, a1,, a 0 K. Decdując się a przbliżeie wielomiaowe ależ pamiętać, że: - jest wiele fukcji, które w ogóle ie adają się do aproksmacji jedm wielomiaem w całm iteresującm as przedziale, - w iektórch przpadkach fukcje przekształcoe p.: (log ), log (), (1/), log (log ) lepiej adają się do aproksmacji wielomiaowej iż sama fukcja (), - dla wielu fukcji odpowiedie jest przbliżeie prz pomoc różch prostch fukcji p. krzwą łamaą lub fukcją sklejaą, - jeśli stopień wielomiau jest wsoki to wielomia może silie reagować a zaburzeia dach wejściowch szczególie w skrajch częściach przedziału, (jeśli wartości fukcji są dae w m+1 puktach rówoodległch to ie ależ stosować stopia wższego iż m 1/ ). Rs.4. Ilustracja aproksmacji zależości () z zazaczomi iepewościami pomiarowmi 19

20 Prz doświadczalm wzaczaiu zależości fukcjej () ależ pamiętać, że wszstkie pukt { i, i } uzskae został w wiku pomiarów i dlatego towarzszą im określoe iepewości. Dlatego wskazae jest ab a wkresie zależości (), prz każdm z puktów { i, i } zazaczć graice błędów jego pomiaru w postaci pioowch i poziomch kresek lub po prostu jako prostokąt, wewątrz którego leż prawdopodoba wartość prawdziwa (rs.4). Dopiero wted moża oceić cz zastosowaa do aproksmacji fukcja ma prawidłow przebieg, poieważ liia aproksmacji ie musi dokładie przebiegać przez pukt { i, i } (liia przerwaa a rs.4), wstarcz żeb przeciała zazaczoe pola iepewości pomiarowch puktów doświadczalch (liia ciągła a rs.4). 10. Sporządzaie wkresów Cztelm i prostm sposobem a prezetację wików pomiarów pewej wielkości fizczej zmieiającej się w wiku zmia iej wielkości (p. charakterstki statczej przetworika pomiarowego) jest sporządzeie wkresu (). W tm celu wiki pomiarów wielkości i ajlepiej umieścić w tabeli. Na początek ależ przjrzeć się wartościom i w tabeli, i oceić cz pokrwają oe w sposób w miarę rówomier zakres zmieości i możem zastosować skalę liiową, cz może zmieiają się w sposób geometrcz (tz. prawie stał jest stosuek ich kolejch wartości) i lepiej zastosować skalę logartmiczą. Zalecae jest stosowaie skali logartmiczej jeżeli zakres zmieości jest większ iż jeda dekada. Należ pamiętać, że skalę logartmiczą moża zastosować tlko wted gd wszstkie wartości i są dodatie. 0

21 Skala liiowa W przpadku skali liiowej ależ zaleźć ajmiejsze i ajwiększe wartości dla ab moża bło ustalić zakres zmieości osi odciętch wkresu. Jeżeli zachodzi potrzeba to dolą graicę d zakresu ależ obiżć do zaokrągloej w dół wartości miimalej mi a górą graicę g podieść do zaokrągloej w górę wartości maksmalej ma. Następie wzaczm skalę wkresu dla zmieej : gdzie: s ( g l d ) mm jed. fiz.wlk. l - przjęta długość osi odciętch wkresu wrażoa w mm. Oczwiście długość osi odciętch l powia zapewić cztelość wkresu, tz. ie powia bć miejsza iż mm. Po arsowaiu osi odciętch ależ oczwiście ją opisać smbolem lub azwą wielkości wraz z ozaczeiem jedostki fizczej, w której bła oa mierzoa. Następie zazaczm a osi przjęte wcześiej graice d i g wraz z ich wartościami. Dodatkowo a osi zazaczam i opisujem od kilku do kilkuastu wartości pośredich. Powi to bć wartości zaokrągloe, zawierające co ajwżej dwie cfr zaczące więcej iż d i g i zarazem rozmieszczoe rówomierie a osi. Przkład 1. mi 0,3m/s - to dola graica zakresu: d 0,m/s, ma 0,47m/s - to góra graica zakresu: g 0,5m/s. Wartości pośredie zazaczoe a osi mogą bć wówczas rówe: 0,5m/s, 0,3m/s, 0,35m/s, 0,4m/s, 0,45m/s. Przkład. mi 140Hz - to dola graica zakresu: d 1000Hz, ma 6300Hz - to góra graica zakresu: g 7000Hz. Wartości pośredie zazaczoe a osi mogą bć wówczas rówe: 000Hz, 3000Hz, 4000Hz, 5000Hz, 6000Hz. 1

22 Same pukt pomiarowe i z tabeli aosim a wkres obliczając ich położeie w względem początku osi z zależości: w p + s ( i d ) [ mm] gdzie: p - położeie wartości d a osi odciętch wrażoe w mm. Skala logartmicza W przpadku skali logartmiczej ależ rówież zaleźć ajmiejsze i ajwiększe wartości dla ab moża bło ustalić zakres zmieości osi odciętch wkresu. W tm przpadku dola graica zakresu d powia bć ajwiększą całkowitą potęgą liczb 10 ie większą od wartości miimalej mi a góra graica zakresu g powia bć ajmiejszą całkowitą potęgą liczb 10 ie miejszą od wartości maksmalej ma. Następie wzaczm skalę wkresu dla zmieej : s (log 10 g l log 10 d ) mm dekada gdzie: l - przjęta długość osi odciętch wkresu wrażoa w mm. Oczwiście długość osi odciętch l powia zapewić cztelość wkresu, tz. ie powia bć miejsza iż mm. Po arsowaiu osi odciętch ależ oczwiście ją opisać smbolem lub azwą wielkości wraz z ozaczeiem jedostki fizczej, w której bła oa mierzoa. Następie zazaczm a osi przjęte wcześiej graice d i g wraz z ich wartościami. Dodatkowo a osi zazaczam i opisujem od kilku do kilkuastu wartości pośredich. W przpadku skali logartmiczej są to przede wszstkim wartości całkowitch potęg liczb 10 mieszczące się międz d i g. Jeśli tch główch zaczików jest iewiele (miej iż 3) wskazae jest arsowaie a osi dodatkowch zaczików, które odpowiadają wartościom i 5 raz większm od tch główch.

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

Bielecki Jakub Kawka Marcin Porczyk Krzysztof Węgrzyn Bartosz. Zbiorcze bazy danych

Bielecki Jakub Kawka Marcin Porczyk Krzysztof Węgrzyn Bartosz. Zbiorcze bazy danych Bielecki Jakub Kawka Marci Porczk Krzsztof Węgrz Bartosz Zbiorcze baz dach Marzec 2006 Spis treści. Opis działalości bizesowej firm... 3 2. Omówieie struktur orgaizacjej... 4 3. Opis obszaru bizesowego...

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu. Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW.

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW. Statytycza ocea wyików pomiaru STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczeia jet: uświadomieie tudetom, że każdy wyik pomiaru obarczoy jet błędem o ie zawze zaej przyczyie i wartości,

Bardziej szczegółowo

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI StatSoft Polska, tel. () 484300, (60) 445, ifo@statsoft.pl, www.statsoft.pl BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI ZA POMOCĄ ANALIZY ROZKŁADÓW Agieszka Pasztyła Akademia Ekoomicza w Krakowie, Katedra Statystyki;

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest

Bardziej szczegółowo

116 MECHANIK NR 3/2015

116 MECHANIK NR 3/2015 6 MECHANIK NR 3/05 Rafał KLUZ Ja JAWORSKI Tomasz TRZEPIECIŃSKI 3 błąd pozcjoowaia robota, motaż, staowisko motażowe, robotzacja robot positioig error, assembl, assembl stad, robotisatio DOKŁADNOŚĆ POZYCJONOWANIA

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1

Laboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1 1. Cel ćwiczeia: Laboratorium Sesorów i Pomiarów Wielkości Nieelektryczych Ćwiczeie r 1 Pomiary ciśieia Celem ćwiczeia jest zapozaie się z kostrukcją i działaiem czujików ciśieia. W trakcie zajęć laboratoryjych

Bardziej szczegółowo

Opracowanie wyników pomiarów

Opracowanie wyników pomiarów Opracowae wków pomarów Praca w laboratorum fzczm polega a wkoau pomarów, ch terpretacj wcagęcem wosków. Ab dojść do właścwch wosków aleŝ szczególą uwagę zwrócć a poprawość wkoaa pomarów mmalzacj błędów

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO Agieszka Jakubowska ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO. Wstęp Skąplikowaie współczesego życia gospodarczego powoduje, iż do sterowaia procesem zarządzaia

Bardziej szczegółowo

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA NR 06-2 POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ

INSTRUKCJA NR 06-2 POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ LABORATORIUM OCHRONY ŚRODOWISKA - SYSTEM ZARZĄDZANIA JAKOŚCIĄ - INSTRUKCJA NR 06- POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ 1. Cel istrukcji Celem istrukcji jest określeie metodyki postępowaia w celu

Bardziej szczegółowo

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń 3 Wkład III: Waruki optmalości dla zadań bez ograiczeń Podae poiże waruki optmalości dla są uogólieiem powszechie zach waruków dla fukci ede zmiee (zerowaie się pierwsze pochode i lokala wpukłość) 3 Twierdzeie

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystyczych WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wioskowaie statystycze, to proces uogóliaia wyików uzyskaych a podstawie próby a całą

Bardziej szczegółowo

INWESTYCJE MATERIALNE

INWESTYCJE MATERIALNE OCENA EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI INWESTCJE: proces wydatkowaia środków a aktywa, z których moża oczekiwać dochodów pieiężych w późiejszym okresie. Każde przedsiębiorstwo posiada pewą liczbę możliwych projektów

Bardziej szczegółowo

POMIARY WARSZTATOWE. D o u ż y t k u w e w n ę t r z n e g o. Katedra Inżynierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego. Ćwiczenia laboratoryjne

POMIARY WARSZTATOWE. D o u ż y t k u w e w n ę t r z n e g o. Katedra Inżynierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego. Ćwiczenia laboratoryjne D o u ż y t k u w e w ę t r z e g o Katedra Iżyierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego POMIARY WARSZTATOWE Ćwiczeia laboratoryje Opracowaie: Urszula Goik, Maciej Kabziński Kraków, 2015 1 SUWMIARKI Suwmiarka

Bardziej szczegółowo

2. ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW

2. ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW . ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW Z powodu iedokładości przyrządów i metod pomiarowych, iedoskoałości zmysłów, iekotrolowaej zmieości waruków otoczeia (wielkości wpływających) i iych przyczy, wyik

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 5 ITERACYJNY ALGORYTM LS. IDENTYFIKACJA OBIEKTÓW NIESTACJONARNYCH ALGORYTM Z WYKŁADNICZYM ZAPOMINANIEM.

Ćwiczenie 5 ITERACYJNY ALGORYTM LS. IDENTYFIKACJA OBIEKTÓW NIESTACJONARNYCH ALGORYTM Z WYKŁADNICZYM ZAPOMINANIEM. Kompterowe Sstem Idetfikacji Laboratorim Ćwiczeie 5 IERACYJY ALGORY LS. IDEYFIKACJA OBIEKÓW IESACJOARYCH ALGORY Z WYKŁADICZY ZAPOIAIE. gr iż. Piotr Bros, bros@agh.ed.pl Kraków 26 Kompterowe Sstem Idetfikacji

Bardziej szczegółowo

OCENA POPYTU POPYT POJĘCIA WSTĘPNE. Definicja: Popyt to ilość dobra, jaką nabywcy gotowi są zakupić przy różnych poziomach ceny.

OCENA POPYTU POPYT POJĘCIA WSTĘPNE. Definicja: Popyt to ilość dobra, jaką nabywcy gotowi są zakupić przy różnych poziomach ceny. OCENA POPYTU POPYT POJĘCIA WSTĘPNE Defiicja: Pop o ilość dobra, jaką abwc goowi są zakupić prz różch poziomach ce. Deermia popu: (a) Cea daego dobra (b) Ilość i ce dóbr subsucjch (zw. kokurecjch) (c) Ilość

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ Opracował: Dr iż. Grzegorz

Bardziej szczegółowo

Niepewności pomiarowe

Niepewności pomiarowe Niepewości pomiarowe Obserwacja, doświadczeie, pomiar Obserwacja zjawisk fizyczych polega a badaiu ych zjawisk w warukach auralych oraz a aalizie czyików i waruków, od kórych zjawiska e zależą. Waruki

Bardziej szczegółowo

METODY KOMPUTEROWE 1

METODY KOMPUTEROWE 1 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA Mcał PŁOTKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Kosultacje aukowe dr z. Wtold Kąkol Pozań 00/00 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN Metod umercze MN pozwalają a ormułowae matematczc

Bardziej szczegółowo

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka Nepewośc pomarowe. Teora praktka. Prowadząc: Dr ż. Adrzej Skoczeń Wższa Szkoła Turstk Ekolog Wdzał Iformatk, rok I Fzka 014 03 30 WSTE Sucha Beskdzka Fzka 1 Iformacje teoretcze zameszczoe a slajdach tej

Bardziej szczegółowo

METODYKA WYKONYWANIA POMIARÓW ORAZ OCENA NIEPEWNOŚCI I BŁĘDÓW POMIARU

METODYKA WYKONYWANIA POMIARÓW ORAZ OCENA NIEPEWNOŚCI I BŁĘDÓW POMIARU METODYKA WYKONYWANIA POMIARÓW ORAZ OCENA NIEPEWNOŚCI I BŁĘDÓW POMIARU Celem każdego ćwiczeia w laboratorium studeckim jest zmierzeie pewych wielkości, a astępie obliczeie a podstawie tych wyików pomiarów

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam

Bardziej szczegółowo

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne?

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne? Jak obliczać podstawowe wskaźiki statystycze? Przeprowadzoe egzamiy zewętrze dostarczają iformacji o tym, jak ucziowie w poszczególych latach opaowali umiejętości i wiadomości określoe w stadardach wymagań

Bardziej szczegółowo

Zeszyty naukowe nr 9

Zeszyty naukowe nr 9 Zeszyty aukowe r 9 Wyższej Szkoły Ekoomiczej w Bochi 2011 Piotr Fijałkowski Model zależości otowań giełdowych a przykładzie otowań ołowiu i spółki Orzeł Biały S.A. Streszczeie Niiejsza praca opisuje próbę

Bardziej szczegółowo

NAUKA. 2. Nie jest równoodległościowa:

NAUKA. 2. Nie jest równoodległościowa: rtkuł recezowa: O badaiu ziekształceń modeli trasormacji map a podstawie elips Tissota Długości, pola kąt Streszczeie: O badaiu ziekształceń modeli trasormacji map a podstawie elips Tissota. W artkule

Bardziej szczegółowo

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty Materiały pomocicze do e-learigu Matematyka Jausz Górczyński Moduł. Graica fukcji, asymptoty Wyższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu Sochaczew Od Autora Treści zawarte w tym materiale były pierwotie opublikowae

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU. Wprowadzenie. = =

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU. Wprowadzenie. = = WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU Wprowadzeie. Przy przejśiu światła z jedego ośrodka do drugiego występuje zjawisko załamaia zgodie z prawem Selliusa siα

Bardziej szczegółowo

V OGÓLNOPOLSKI KONKURS Z FIZYKI Fizyka się liczy I Etap ZADANIA 27 lutego 2013r.

V OGÓLNOPOLSKI KONKURS Z FIZYKI Fizyka się liczy I Etap ZADANIA 27 lutego 2013r. V OGÓLNOPOLSKI KONKURS Z FIZYKI Fizka się licz I Etap ZDNI 7 lutego 3r.. Dwa pociski wstrzeloo jeocześie w tę saą stroę z wóch puktów oległch o o. Pierwsz pocisk wstrzeloo z prękością o po kąte α. Z jaką

Bardziej szczegółowo

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40.

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40. Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki Materał do wkładu 7 ze Statstk Aalza ZALEŻNOŚCI pomędz CECHAMI (Aalza KORELACJI REGRESJI) korelacj wkres rozrzutu (korelogram) rodzaje zależośc (brak, elowa, lowa) pomar sł zależośc lowej (współczk korelacj

Bardziej szczegółowo

14. RACHUNEK BŁĘDÓW *

14. RACHUNEK BŁĘDÓW * 4. RACHUNEK BŁĘDÓW * Błędy, które pojawiają się w czasie doświadczeia mogą mieć włase źródła. Są imi błędy związae z błędą kalibracją torów pomiarowych, szumy, czas reagowaia przyrządu, ograiczeia kostrukcyje,

Bardziej szczegółowo

(1) gdzie I sc jest prądem zwarciowym w warunkach normalnych, a mnożnik 1,25 bierze pod uwagę ryzyko 25% wzrostu promieniowania powyżej 1 kw/m 2.

(1) gdzie I sc jest prądem zwarciowym w warunkach normalnych, a mnożnik 1,25 bierze pod uwagę ryzyko 25% wzrostu promieniowania powyżej 1 kw/m 2. Katarzya JARZYŃSKA ABB Sp. z o.o. PRODUKTY NISKONAPIĘCIOWE W INSTALACJI PV Streszczeie: W ormalych warukach pracy każdy moduł geeruje prąd o wartości zbliżoej do prądu zwarciowego I sc, który powiększa

Bardziej szczegółowo

Wpływ warunków eksploatacji pojazdu na charakterystyki zewnętrzne silnika

Wpływ warunków eksploatacji pojazdu na charakterystyki zewnętrzne silnika POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Budowy i Eksploatacji Maszy Istrukcja do zajęć laboratoryjych z przedmiotu: EKSPLOATACJA MASZYN Wpływ waruków eksploatacji pojazdu a charakterystyki

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 361 Badanie układu dwóch soczewek

Ćwiczenie 361 Badanie układu dwóch soczewek Nazwisko... Data... Wdział... Imię... Dzień tg.... Godzina... Ćwiczenie 36 Badanie układu dwóch soczewek Wznaczenie ogniskowch soczewek metodą Bessela Odległość przedmiotu od ekranu (60 cm 0 cm) l Soczewka

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

DEA podstawowe modele

DEA podstawowe modele Marek Miszczński KBO UŁ 2008 - Aaliza dach graiczch (EA) cz.2 (przkład aaliza damiki rakigi) EA podsawowe modele WPROWAZENIE Efekwość (produkwość) obieku gospodarczego o es defiiowaa ako sosuek sum ważoch

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ INSTYTUT EKSPLOATACJI MASZYN I TRANSPORTU ZAKŁAD STEROWANIA ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA ĆWICZENIE: E20 BADANIE UKŁADU

Bardziej szczegółowo

Fundamentalna tabelka atomu. eureka! to odkryli. p R = nh -

Fundamentalna tabelka atomu. eureka! to odkryli. p R = nh - TEKST TRUDNY Postulat kwatowaia Bohra, czyli założoy ad hoc związek pomiędzy falą de Broglie a a geometryczymi własościami rozważaego problemu, pozwolił bez większych trudości teoretyczie przewidzieć rozmiary

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium Marci Rociek Iformatyka, II rok Metody Obliczeiowe w Nauce i Techice laboratorium zestaw 1: iterpolacja Zadaie 1: Zaleźć wzór iterpolacyjy Lagrage a mając tablicę wartości: 3 5 6 y 1 3 5 6 Do rozwiązaia

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera Istrukcja do ćwiczeń laboratoryjych z przedmiotu: Badaia operacyje Temat ćwiczeia: Problemy trasportowe cd Problem komiwojażera Zachodiopomorski Uiwersytet Techologiczy Wydział Iżyierii Mechaiczej i Mechatroiki

Bardziej szczegółowo

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie. metody elementów skończonych

Wprowadzenie. metody elementów skończonych Metody komputerowe Wprowadzeie Podstawy fizycze i matematycze metody elemetów skończoych Literatura O.C.Ziekiewicz: Metoda elemetów skończoych. Arkady, Warszawa 972. Rakowski G., acprzyk Z.: Metoda elemetów

Bardziej szczegółowo

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych 8. Optymalizacja decyzji iwestycyjych 8. Wprowadzeie W wielu różych sytuacjach, w tym rówież w czasie wyboru iwestycji do realizacji, podejmujemy decyzje. Sytuacje takie azywae są sytuacjami decyzyjymi.

Bardziej szczegółowo

Artykuł techniczny CVM-NET4+ Zgodny z normami dotyczącymi efektywności energetycznej

Artykuł techniczny CVM-NET4+ Zgodny z normami dotyczącymi efektywności energetycznej 1 Artykuł techiczy Joatha Azañó Dział ds. Zarządzaia Eergią i Jakości Sieci CVM-ET4+ Zgody z ormami dotyczącymi efektywości eergetyczej owy wielokaałowy aalizator sieci i poboru eergii Obeca sytuacja Obece

Bardziej szczegółowo

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia

Bardziej szczegółowo

Analiza dokładności pomiaru, względnego rozkładu egzytancji widmowej źródeł światła, dokonanego przy użyciu spektroradiometru kompaktowego

Analiza dokładności pomiaru, względnego rozkładu egzytancji widmowej źródeł światła, dokonanego przy użyciu spektroradiometru kompaktowego doi:1.15199/48.215.4.38 Eugeiusz CZECH 1, Zbigiew JAROZEWCZ 2,3, Przemysław TABAKA 4, rea FRYC 5 Politechika Białostocka, Wydział Elektryczy, Katedra Elektrotechiki Teoretyczej i Metrologii (1), stytut

Bardziej szczegółowo

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym. ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg

Bardziej szczegółowo

Wykład. Inwestycja. Inwestycje. Inwestowanie. Działalność inwestycyjna. Inwestycja

Wykład. Inwestycja. Inwestycje. Inwestowanie. Działalność inwestycyjna. Inwestycja Iwestycja Wykład Celowo wydatkowae środki firmy skierowae a powiększeie jej dochodów w przyszłości. Iwestycje w wyiku użycia środków fiasowych tworzą lub powiększają majątek rzeczowy, majątek fiasowy i

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Antoni Kościelski Funkcje dwóch zmiennch i podstawianie Dla funkcji dwóch zmiennch zachodzi następując wzór na całkowanie przez podstawianie: f(x(a, b), (a,

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Mirosław Wójciak

Ekonometria Mirosław Wójciak Ekoometria Mirosław Wójciak Literatura obowiązkowa Barczak A, ST. Biolik J, Podstawy Ekoometrii, Wydawictwo AE Katowice, Katowice 1998 Dziechciarz J. Ekoometria Metody, przykłady, zadaia (wyd. ) Kukuła

Bardziej szczegółowo

4. PRZEKŁADNIKI PRĄDOWE I NAPIĘCIOWE

4. PRZEKŁADNIKI PRĄDOWE I NAPIĘCIOWE 4. PRZEŁDN PRĄDOWE NPĘOWE 4.. Wstęp 4.. Przekładiki prądowe Przekładikie prądowy prądu zieego azywa się trasforator przezaczoy do zasilaia obwodów prądowych elektryczych przyrządów poiarowych oraz przekaźików.

Bardziej szczegółowo

Pomiar bezpośredni przyrządem wskazówkowym elektromechanicznym

Pomiar bezpośredni przyrządem wskazówkowym elektromechanicznym . Rodzaj poiaru.. Poiar bezpośredni (prost) W przpadku poiaru pojednczej wielkości przrząde wskalowan w jej jednostkach wartość niedokładności ± określa graniczn błąd przrządu analogowego lub cfrowego

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Nr 573 Ekoomia XXXIX 2001 BŁAŻEJ PRUSAK Katedra Ekoomii i Zarządzaia Przedsiębiorstwem METODY OCENY PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH Celem artykułu jest przedstawieie metod

Bardziej szczegółowo

Konspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości)

Konspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości) Kospekt lekcji (Kółko matematycze, kółko przedsiębiorczości) Łukasz Godzia Temat: Paradoks skąpej wdowy. O procecie składaym ogólie. Czas lekcji 45 miut Cele ogóle: Uczeń: Umie obliczyć procet składay

Bardziej szczegółowo

Analiza potencjału energetycznego depozytów mułów węglowych

Analiza potencjału energetycznego depozytów mułów węglowych zaiteresowaia wykorzystaiem tej metody w odiesieiu do iych droboziaristych materiałów odpadowych ze wzbogacaia węgla kamieego ależy poszukiwać owych, skutecziej działających odczyików. Zdecydowaie miej

Bardziej szczegółowo

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia wyrówawcze z fizyki -Zestaw 5 -Teoria Optyka geometrycza i optyka falowa. Prawo odbicia i prawo załamaia światła, Bieg promiei świetlych w pryzmacie, soczewki i zwierciadła. Zjawisko dyfrakcji

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012 Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadaie 3. Cecha X populacji ma rozkład N m,. Z populacji tej pobrao próbę 7 elemetową i otrzymao wyiki x7 = 9, 3, s7 =, 5 a Na poziomie

Bardziej szczegółowo

AUDYT SYSTEMU GRZEWCZEGO

AUDYT SYSTEMU GRZEWCZEGO Wytycze do audytu wykoao w ramach projektu Doskoaleie poziomu edukacji w samorządach terytorialych w zakresie zrówoważoego gospodarowaia eergią i ochroy klimatu Ziemi dzięki wsparciu udzieloemu przez Isladię,

Bardziej szczegółowo

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.

Bardziej szczegółowo

Uwarunkowania rozwojowe województw w Polsce analiza statystyczno-ekonometryczna

Uwarunkowania rozwojowe województw w Polsce analiza statystyczno-ekonometryczna 3 MAŁGORZATA STEC Dr Małgorzata Stec Zakład Statystyki i Ekoometrii Uiwersytet Rzeszowski Uwarukowaia rozwojowe województw w Polsce aaliza statystyczo-ekoometrycza WPROWADZENIE Rozwój społeczo-gospodarczy

Bardziej szczegółowo

SKRYPT Z MATEMATYKI. Wstęp do matematyki. Rafał Filipów Piotr Szuca

SKRYPT Z MATEMATYKI. Wstęp do matematyki. Rafał Filipów Piotr Szuca Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego SKRYPT Z MATEMATYKI Wstęp do matematki Rafał Filipów Piotr Szuca Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską

Bardziej szczegółowo

TRANSFORMACJA DO UKŁADU 2000 A PROBLEM ZGODNOŚCI Z PRG

TRANSFORMACJA DO UKŁADU 2000 A PROBLEM ZGODNOŚCI Z PRG Tomasz ŚWIĘTOŃ 1 TRANSFORMACJA DO UKŁADU 2000 A ROBLEM ZGODNOŚCI Z RG Na mocy rozporządzeia Rady Miistrów w sprawie aństwowego Systemu Odiesień rzestrzeych już 31 grudia 2009 roku upływa termi wykoaia

Bardziej szczegółowo

Materiały dydaktyczne. Matematyka. Semestr II

Materiały dydaktyczne. Matematyka. Semestr II Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego Materiał ddaktcze Matematka Semestr II Ćwiczeia Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej

Bardziej szczegółowo

SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI BITUMICZNYCH W SYSTEMIE OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN

SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI BITUMICZNYCH W SYSTEMIE OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZAŁĄCZNIK B GENERALNA DYREKCJA DRÓG PUBLICZNYCH Biuro Studiów Sieci Drogowej SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN WYTYCZNE STOSOWANIA - ZAŁĄCZNIK B ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM RACHUNEK EKONOMICZNY W ELEKTROENERGETYCE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do laboratorium 1

Wprowadzenie do laboratorium 1 Wprowadzeie do laboratorium 1 Etymacja jedorówaiowego modelu popytu a bilety loticze Etapy budowy modelu ekoometryczego Specyfikacja modelu Zebraie daych tatytyczych Etymacja parametrów modelu Weryfikacja

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r. Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLIII Egzami dla Aktuariuszy z 8 paździerika 2007 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:...

Bardziej szczegółowo

Metody analizy długozasięgowej

Metody analizy długozasięgowej Copyright (c) 999-00 by Hugo Steihaus Ceter Metody aalizy długozasięgowej Adrzej Zacharewicz Warsztat aalizy zależości długotermiowej jest wciąż rozwijay i udoskoalay. Od czasów Hursta (95) i jego aalizy

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6 ozwiązwanie beek prostch i przegubowch wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch 6 Obciążenie beki mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe q rs. 6.. s. 6. rzed przstąpieniem

Bardziej szczegółowo

TRANZYSTORY POLOWE JFET I MOSFET

TRANZYSTORY POLOWE JFET I MOSFET POLTECHNKA RZEZOWKA Kaedra Podsaw Elekroiki srukcja Nr5 F 00/003 sem. lei TRANZYTORY POLOWE JFET MOFET Cel ćwiczeia: Pomiar podsawowych charakerysyk i wyzaczeie paramerów określających właściwości razysora

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI Miejsce a aklejkę z kodem szkoły dysleksja MIN-R_P-072 EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ ROK 2007 POZIOM ROZSZERZONY CZĘŚĆ I Czas pracy 90 miut Istrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzamiacyjy

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE NR 11(83) AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE. Analiza dokładności wskazań obiektów nawodnych. Accuracy Analysis of Sea Objects

ZESZYTY NAUKOWE NR 11(83) AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE. Analiza dokładności wskazań obiektów nawodnych. Accuracy Analysis of Sea Objects ISSN 1733-8670 ZESZYTY NAUKOWE NR 11(83) AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE IV MIĘDZYNARODOWA KONFERENCJA NAUKOWO-TECHNICZNA E X P L O - S H I P 2 0 0 6 Adrzej Burzyński Aaliza dokładości wskazań obiektów

Bardziej szczegółowo

Materiały do wykładu 4 ze Statystyki

Materiały do wykładu 4 ze Statystyki Materiały do wykładu 4 ze Statytyki CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE STRUKTURY ZBIOROWOŚCI (dok.) 1. miary położeia - wykład 2 2. miary zmieości (dyperji, rozprozeia) - wykład 3 3. miary aymetrii (kośości) 4.

Bardziej szczegółowo

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją

Bardziej szczegółowo

Ć wiczenie 17 BADANIE SILNIKA TRÓJFAZOWEGO KLATKOWEGO ZASILANEGO Z PRZEMIENNIKA CZĘSTOTLIWOŚCI

Ć wiczenie 17 BADANIE SILNIKA TRÓJFAZOWEGO KLATKOWEGO ZASILANEGO Z PRZEMIENNIKA CZĘSTOTLIWOŚCI Ć wiczeie 7 BADANIE SILNIKA TRÓJFAZOWEGO KLATKOWEGO ZASILANEGO Z RZEIENNIKA CZĘSTOTLIWOŚCI Wiadomości ogóle Rozwój apędów elektryczych jest ściśle związay z rozwojem eergoelektroiki Współcześie a ogół

Bardziej szczegółowo

Politechnika Poznańska

Politechnika Poznańska Politechika Pozańska Temat: Laboratorium z termodyamiki Aaliza składu spali powstałych przy spalaiu paliw gazowych oraz pomiar ich prędkości przepływu za pomocą Dopplerowskiego Aemometru Laserowego (LDA)

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

Chemia Teoretyczna I (6).

Chemia Teoretyczna I (6). Chemia Teoretycza I (6). NajwaŜiejsze rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu o stałych współczyikach w chemii i fizyce cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Przez

Bardziej szczegółowo

Badanie efektu Halla w półprzewodniku typu n

Badanie efektu Halla w półprzewodniku typu n Badaie efektu alla w ółrzewodiku tyu 35.. Zasada ćwiczeia W ćwiczeiu baday jest oór elektryczy i aięcie alla w rostoadłościeej róbce kryształu germau w fukcji atężeia rądu, ola magetyczego i temeratury.

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

Projekt z dnia 24.05.2012 r. Wersja 0.5 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA GOSPODARKI 1) z dnia..

Projekt z dnia 24.05.2012 r. Wersja 0.5 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA GOSPODARKI 1) z dnia.. Projekt z dia 24.05.2012 r. Wersja 0.5 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA GOSPODARKI 1) z dia.. w sprawie szczegółowego zakresu obowiązku uzyskaia i przedstawieia do umorzeia świadectw efektywości eergetyczej i uiszczaia

Bardziej szczegółowo

Wykład 10. Funkcje wielu zmiennych

Wykład 10. Funkcje wielu zmiennych Wkład 1. Funkcje wielu zmiennch dr Mariusz Grządziel 6 maja 1 (ostatnie poprawki: 1 maja 1) Funkcje wielu zmiennch Przestrzeń dwuwmiarowa, oznaczana w literaturze matematcznej smbolem R, może bć utożsamiona

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 6 TRANZYSTORY POLOWE

WYKŁAD 6 TRANZYSTORY POLOWE WYKŁA 6 RANZYSORY POLOWE RANZYSORY POLOWE ZŁĄCZOWE (Juctio Field Effect rasistors) 55 razystor polowy złączowy zbudoway jest z półprzewodika (w tym przypadku typu p), w który wdyfudowao dwa obszary bramki

Bardziej szczegółowo