Ćwiczenie 5 ITERACYJNY ALGORYTM LS. IDENTYFIKACJA OBIEKTÓW NIESTACJONARNYCH ALGORYTM Z WYKŁADNICZYM ZAPOMINANIEM.

Transkrypt

1 Kompterowe Sstem Idetfikacji Laboratorim Ćwiczeie 5 IERACYJY ALGORY LS. IDEYFIKACJA OBIEKÓW IESACJOARYCH ALGORY Z WYKŁADICZY ZAPOIAIE. gr iż. Piotr Bros, bros@agh.ed.pl Kraków 26

2 Kompterowe Sstem Idetfikacji - Laboratorim. Wstęp W dotchczasowch rozważaiach stwierdziliśm, że do wzaczeia liczbowch wartości współczików model moża posłżć się algortmem LS, któr da jest wzorem: = (U U) - U () Algortm te bazje a zarejestrowach przedio realizacjach zmiech obiekt, formowach w macierz wejść U i wektor wjścia Y. akie przetwarzaie dach pomiarowch, ależ zatem określić miaem off-lie, gdż proces idetfikacja jest dokowa po skończei pomiarów zmiech wejściowch i wjściowch. etod tej ie zawsze da się stosować w praktce z co ajmiej dwóch powodów: - dżej złożoości obliczeiowej, - koieczości przechowwaia dach U i Y i w pamięci komptera. Ab idetfikacja z wkorzstaiem algortm LS dawała jedozacze wiki msim wkoać co ajmiej K pomiarów zmiech obiekt, prz czm K określa liczbę poszkiwach współczików model. W praktce dokojem jedak wielokrotie więcej rejestracji: >>K, w cel miimalizacji wpłw szmów a jakość estmacji. Zwiększając liczbę pomiarów, wzrasta jedocześie wmiar macierz U i wektora Y co pociąga za sobą zwiększoe zapotrzebowaie a pamięć, a rozwiązaie rówaia macierzowego () staje się coraz bardziej czasochłoe (dża liczba możeń i dodawań, odwracaie macierz). Dla współczesch kompterów stacjoarch z odpowiedim oprogramowaiem wkoaie powższego zadaia ie astręcza zbtich trdości. Praktka pomiarowa wskazje jedak, iż w sstemach z ograiczoą pamięcią i kotrolerami o średiej wdajości, implemetacja powższej metod może apotkać a spore trdości. ależ rówież zwrócić wagę a fakt iż większość owoczesch sstemów sterowaia wmaga śledzeia zmia parametrów obiekt w czasie rzeczwistm. Przkładem mogą bć kład adaptacje, mające zdolość samoczego dopasowwaia współczików i charakterstk do zmieiającch się właściwości obiektów i zakłóceń. W takim przpadk idetfikacja powia bć wkowaia o-lie, dzięki czem wzacza a bieżąco model jest za w każdej chwili działaia program reglacji atomatczej. Algortm działające wedłg powższego schemat azwam rekrecjmi, gdż estmacja parametrów astępje w sposób rekrecj w czasie. Obliczeie bieżącej estmat b() odbwa się poprzez dodaie korekt do estmat poprzediej b(-). Korekta jest obliczaa a podstawie pomiar zmiech obiekt () i () w bieżącej chwili. Do wzaczeia b() wstarcza więc zajomość estmat poprzediej b(-) i bieżącch próbek sgałów wejściowch i wjściowch. e schemat postępowaia jest ogólie przjętm stadardem w rekrswej estmacji parametrów: owa estmata = poprzedia estmata + korekta korekta = wzmocieie*(pomiar progoza pomiar)

3 Kompterowe Sstem Idetfikacji - Laboratorim Rekrecje metod idetfikacji wróżia: - małe zapotrzebowaie a pamięć komptera, gdż ie wmagają przechowwaia wszstkich dach pomiarowch, - mała złożoość obliczeiowa, ze względ a proszczeie algortm, - szerokie zastosowaie w kładach adaptacjch (teoria sterowaia, przetwarzaie sgałów) Przkładem tego tp schemat obliczeń może bć rekrswe szacowaie wartości średiej. Załóżm że obliczam wartość średią sgał x a podstawie próbek: µ ˆ = x( ) (2a) = Przekształcając powższ wzór: µ ˆ = x = = = x( ) + x() = µ ˆ = µ ˆ = µ ˆ ˆ + x() = µ + ( ) = x( ) + x() = x( ) = + ( x() µ ˆ ) + x() = x() = otrzmjem rekrecj algortm wartości średiej: porówajm: µ = µ + ( x() µ ) (2b) owa estmata = poprzedia estmata + wzmocieie*(pomiar progoza pomiar), W tm przpadk określeie progoza pomiar ie pasje do wrażeia w awiasie, które jest poprzedią estmatą wartości średiej.

4 Kompterowe Sstem Idetfikacji - Laboratorim 2. Rekrecj algortm ajmiejszej sm kwadratów, (RLS - Recrsive Least Sqares). Rekrecj algortm ajmiejszch kwadratów, zwa rówież iteracjm algortmem LS opisa jest zależościami: gdzie: K P c ( ) = (3a) = P c (3b) P K P ( ) P + = (3c) = (3d) - ideks wskazjąc kolej wik pomiar zmiech obiekt oraz odpowiadające m oce współczików model, - wektor wierszow, zawierając wik -tego pomiar ogólioch wejść obiekt. W odiesiei do algortm klasczego () wektor staowi -t wiersz macierz U, - -t wik pomiar wjść obiekt. W odiesiei do algortm bezpośrediego () staowi -t elemet wektora Y, K +, zawierając współcziki wzmocieia błęd kcji, - macierz kowariacji współczików model. K - wektor kolmow o wmiarze ( ) P Przjrzjm się wrażei = ( ) i spróbjm zastosować do iego za schemat: owa estmata = poprzedia estmata + korekta korekta = wzmocieie*(pomiar progoza pomiar) Bieżąca estmata jest obliczaa poprzez dodaie czika korekcjego K ( ) do estmat wzaczoej w poprzedim krok obliczeiowm. Wrażeie ależ rozmieć jako kcję odpowiedzi obiekt pobdzoego aktalm wmszeiem, a podstawie wzaczoch przedio współczików. Ozaczm tę progozę w astępjąc sposób: = (3.)

5 Kompterowe Sstem Idetfikacji - Laboratorim Z drgiej stro rzeczwista odpowiedź obiekt a wmszeie różica wstępjąca w awiasie: ( ) = ( ) = ε wosi, zatem (3.2) jest miarą błęd kcji popełioego prz obliczai progozowaej odpowiedzi obiekt. Wrażeie K ε staowi korektę woszoą w daej iteracji do wik zskaego w iteracji poprzediej. Jeżeli wik te zaczie odbiega od rzeczwistch wartości parametrów obiekt woszoa korekta jest dża, jeżeli ocea jest dokłada, korekta jest miejsza, gdż ie ma potrzeb dżch zmia wzaczoej estmat. W te sposób otrzmjem ową, lepszą oceę estmowach parametrów: = ε (3.3) co w rozwiiętm zapisie prowadzi as do pierwotej zależości (3a): = ( ) = ( ) Koleje wiki pomiar odpowiedzi obiekt a owe wmszeia wzbogacają dotchczasową wiedzę o obiekcie i pozwalają wzaczć lepszą estmatę. ow wik idetfikacji staje się podstawą kcji w astępm krok obliczeiowm, dla kolejej serii wmszeń i odpowiedzi obiekt. Cał proces przebiega ckliczie aż do wczerpaia założoej liczb ckli, rówej liczbie zaplaowach, różch wmszeń podawach kolejo a wejście obiekt. Schemat blokow tego proces przedstawia rsek: Rs. Schemat metod RLS

6 Kompterowe Sstem Idetfikacji - Laboratorim Uważ cztelik powiie w tm miejsc zwrócić wagę a pewie, przemilcza dotąd problem: jak określić warki początkowe b dla pierwszej iteracji? Jak wzaczć macierz P koieczą do rozpoczęcia obliczeń? Wartości b i P będziem azwać parametrami początkowmi algortm RLS a problem ich wzaczeia problemem dobor warków początkowch. W przpadk badaego algortm powższe parametr moża wzaczć a dwa sposob: ) Poprzez określeie parametrów początkowch iteracjego algortm LS z wkorzstaiem algortm klasczego. W takim przpadk proces idetfikacji dzielim a dwie części. W pierwszej a podstawie iewielkiej liczb zgromadzoch dach pomiarowch wzaczam początkowe wartości parametrów korzstając z klasczego estmatora LS w postaci macierzowej (): - = (U U ) U (4a) - = (U U ) Pˆ (4b) prz czm ideks wskazje a liczbę wstępie dokoach pomiarów. a podstawie tak wzaczoch i Pˆ przechodzim do drgiego, właściwego etap idetfikacji z zastosowaiem algortm rekrecjego. 2) Poprzez arbitrale wzaczeie parametrów początkowch algortm. W takim przpadk zwkło się przjmować: b = (4c) P = I α (4d) 3 6 gdzie α jest dżą liczbą p.:. Dża wartość iezerowch elemetów macierz P wmsza gwałtową korekcję założoch (zapewe iesłszie) wstępch wartości b, dzięki czem jż w pierwszch krokach obliczeiowch algortm szbko dostraja się do rzeczwistch wartości szkach parametrów. Zbt mała wartość α ograicza zbieżość algortm, co może prowadzić do błędch wików idetfikacji. Wbór postaci algortm pomiędz klasczm a rekrecjm ie wpłwa a końcow wik estmacji. Użcie każdego z tch algortmów prowadzi do tego samego rezltat, jeżeli tlko ie została przjęta zbt mała wartość początkowa α.

7 Kompterowe Sstem Idetfikacji - Laboratorim 3. Idetfikacja obiektów iestacjoarch algortm LS z wkładiczm zapomiaiem (WRLS Weighted Recrsive Least Sqares). Dotchczasowe rozważaia dotczł idetfikacji obiektów stacjoarch, czli o parametrach iezmiech w czasie. Założeie to dość zaczie praszczało proces idetfikacji, któr mógł bć przeprowadzo off-lie z wkorzstaiem algortm LS w postaci () lb o-lie w sposób iteracj (3a 3d). Często zachodzi jedak potrzeba idetfikacji obiektów iestacjoarch, którch właściwości zmieiają się w czasie pod wpłwem zmia czików zewętrzch. W takiej stacji pozae dotchczas postacie algortm LS ie dadzą poprawch wików. Iticjie czjem że estmat wzaczoe metodą klascza, która względia całą historię proces obserwacji obiekt będą średimi oceami za czas rejestracji. Podobie algortm iteracj ie będzie adążał za zmiaami parametrów obiekt. Wika to z fakt iż macierz P maleje wraz ze wzrostem liczb iteracji, co prowadzi do zmiejszeia współczików błęd kcji K, a w kosekwecji do coraz miejszch korekt oce parametrów. Pamiętajm rówież że algortm RLS jest jedie szczególm przpadkiem klasczego algortm LS i obdwie metod dają ostateczie takie same wiki. Dostosowaie algortm iteracjego do śledzeia zmiech w czasie parametrów obiekt prowadzi do astępjącch metod: - metod z wkładiczm zapomiaiem, - metod z ograiczoą pamięcią, - metod ze zmieą dłgością pamięci. etoda z wkładiczm zapomiaiem polega a wprowadzei do rówań tak zwaego współczika zapomiaia, któr będzie decdował o dłgości pamięci algortm. Jeżeli chcem śledzić bieżące zmia wartości parametrów, to estmat powi bć wzaczae a podstawie bieżącch ( ajświeższch ) pomiarów zmiech i. o co wdarzło się w przeszłości ( ajstarsze pomiar i ), ie ma zaczącego wpłw a obec sta obiekt i powio zostać zapomiae. etodę opartą a powższej idei azwam rekrecjm algortmem LS z wkładiczm zapomiaiem (WRLS Weighted Recrsive Least Sqares): gdzie: K P c ( ) = (5a) = P c (5b) = [ P K P ] (5c) λ = P + λ (5d) ( ),,, K, P - jak w algortmie RLS λ - współczik zapomiaia, < λ,

8 Kompterowe Sstem Idetfikacji - Laboratorim Bieżąca estmata wzaczoa za pomocą (5a 5d) względia ważo wpłw przeszłch wików pomiarowch. Wagi te maleją ze wzrostem odległości pomiędz pomiarem bieżącm, a poprzedimi etapami obliczeiowmi. Imi słow algortm słabiej pamięta to co wdarzło się dawiej iż to co w ostatich iteracjach. Parametrem regljącm dłgość tej pamięci jest stał współczik zapomiaia λ. Od iego zależą własości damicze algortm, a tm samm zdolość do ciągłego śledzeia zmieiającch się parametrów. W przpadk sstemów istotie iestacjoarch dże zmia parametrów obiekt wmszają koieczość stosowaia algortm (5a) z małą wartością współczika λ, gdż to skraca jego pamięć. Estmat będą wzaczae tlko a podstawie ostatich próbek zmiech obiekt i algortm będzie posiadał zdolość adaptacjego śledzeia damiczch zmia parametrów WRLS będzie posiadał dobrą damikę. Okpioe jest to jedak pogorszeiem jakości estmacji staów statczch, gdż estmata jest wzaczaa a podstawie iewielkiej liczb pomiarów. Rośie wariacja geerowach oce, a algortm zacza adążać także za szmem. Przjęcie wartości współczika λ bliskiej jedości zmiejsz wprawdzie tę losową zmieość, ale spowodje, że właściwości damicze algortm będą bardzo złe w sktek wdłżoej pamięci. Dobór wartości współczika zapomiaia zawsze będzie więc kompromisem pomiędz dobrą damiką algortm (małe λ) a małą losową zmieością geerowach oce (dże λ). Wartość współczika zapomiaia dobiera się w zależości od szbkości zmia parametrów idetfikowaego obiekt oraz od poziom zakłóceń zawartch w wikach pomiarowch. Dla algortm WRLS współczik zapomiaia często przjmje się z zakres [.9 ; ). Przjmjąc λ = otrzmjem algortm rekrecj opisa w poprzedim pkcie.