SKRYPT Z MATEMATYKI. Wstęp do matematyki. Rafał Filipów Piotr Szuca

Transkrypt

1 Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego SKRYPT Z MATEMATYKI Wstęp do matematki Rafał Filipów Piotr Szuca

2 Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego SKRYPT Z MATEMATYKI Rafał Filipów Piotr Szuca Wstęp do matematki Gdańsk 200 Uniwerstet Gdański

3 Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Copright b Rafał Filipów, Piotr Szuca Skład komputerow (LaTeX): Rafał Filipów, Piotr Szuca All rights reserved Uniwerstet Gdański Wdział Matematki, Fizki i Informatki Insttut Matematki Gdańsk, ul. Wita Stwosza 57

4 Spis treści Logika 2. Rachunek zdań Prawa rachunku zdań Rachunek kwantfikatorów Zadania dodatkowe Zbior Element zbioru, podzbiór i równość zbiorów Działania na zbiorach Prawa rachunku zbiorów Zbiór potęgow Sprawdzian 48 3 Indukcja matematczna 50 4 Funkcje Funkcje różnowartościowe i na Obraz i przeciwobraz Sprawdzian 6 5 Działania nieskończone na zbiorach Sum nieskończone Przekroje nieskończone Prawa rachunku zbiorów Moce zbiorów Równoliczność zbiorów Zbior przeliczalne Zbior moc continuum Sprawdzian 8 7 Relacje Iloczn kartezjański zbiorów Własności relacji Relacje porządkujące Relacje równoważności. Zasada abstrakcji Sprawdzian 00 8 Kolokwium 0 Literatura 03

5 LOGIKA Logika. Rachunek zdań Za zdanie uważam dowolne stwierdzenie, o którm możem powiedzieć, że jest prawdziwe lub fałszwe. Prawdę lub fałsz nazwam wartościami logicznmi zdania. Ptanie jaka jest wartość logiczna zdania możem więc traktować jako ptanie o to, cz zdanie jest prawdziwe, cz fałszwe. W trakcie ćwiczeń najbardziej bedziem zainteresowani zdaniami, które będą mówił o obiektach matematcznch. Na przkład zdanie sin 0 = 0 jest zdaniem prawdziwm, a zdanie 2 3 (2 jest dzielnikiem liczb 3) jest zdaniem fałszwm. Mając jakieś zdania możem utworzć z nich zdania bardziej skomplikowane poprzez połączenie ich spójnikami logicznmi. Zadanie. Jaka jest wartość logiczna zdania ( log 2 3 = ) 3 = (sin π 3 < 0 ). Rozwiązanie. Zdanie to zostało utworzone z dwóch zdań prz pomoc spójnika implikacji = ( jeżeli... to... ). Tabela wartości logicznch = wgląda następująco: p q p = q Sprawdzam, że zdanie p (log 2 3 = 3 ) jest fałszwe, zdanie q (sin π 3 < 0) jest fałszwe, więc zdanie p = q jest prawdziwe. Zadanie 2. Jaka jest wartość logiczna zdania (2 3) ( cos π 2 = ) 2. Rozwiązanie. Zdanie to zostało utworzone z dwóch zdań prz pomoc spójnika alternatw ( lub ). Tabela wartości logicznch wgląda następująco: p q p q Sprawdzam, że zdanie p (2 3) jest prawdziwe, zdanie q (cos π 2 = 2) jest fałszwe, więc zdanie p q jest prawdziwe. Uwaga. Zauważm, że w zadaniach i 2 nie musieliśm wcale sprawdzać wartości logicznej zdania q (dlaczego?) Zadanie 3. Jaka jest wartość logiczna zdania (tg π 6 = 3). Rozwiązanie. Zdanie to zostało utworzone ze zdania tg π 6 = 3 prz pomoc spójnika negacji ( nie ). Tabela wartości logicznch wgląda następująco: p p 0 0 Ponieważ zdanie p (tg π 6 = 3) jest fałszwe, więc zdanie p jest prawdziwe. 2

6 . Rachunek zdań LOGIKA Zadanie 4. Cz prawdziwe jest zdanie ( 0 = 3 jest pierwiastkiem równania = 0 ) (3 jest liczbą pierwszą). Rozwiązanie. Zdanie to zostało utworzone z dwóch zdań prz pomoc spójnika koniunkcji ( i ). Tabela wartości logicznch wgląda następująco: p q p q Sprawdzam, że zdanie p ( 0 = 3 jest pierwiastkiem równania = 0 ) jest prawdziwe, zdanie q (3 jest liczbą pierwszą) jest również prawdziwe, więc zdanie p q jest prawdziwe. Zadanie 5. Cz prawdziwe jest zdanie (2 jest dzielnikiem liczb 5) (5 jest liczbą pierwszą). Rozwiązanie. Zdanie to zostało utworzone z dwóch zdań prz pomoc spójnika równoważności ( wted i tlko wted, gd ). Tabela wartości logicznch wgląda następująco: p q p q Sprawdzam, że zdanie p (2 jest dzielnikiem liczb 5) jest fałszwe, zdanie q (5 jest liczbą pierwszą) jest również fałszwe, więc zdanie p q jest prawdziwe. Zadanie 6. Jaka jest wartość logiczna zdania [( ] = 7) (π = 2) ( 2 7 > 0 3). Rozwiązanie. Zdanie to zostało utworzone z trzech zdań prz pomoc spójników i. Ponieważ zdanie π = 2 jest fałszwe, więc koniunkcja ( = 7 ) (π = 2) jest również fałszwa. Czli cała implikacja [( = 7 ) (π = 2) ] ( 2 7 > 0 3) jest prawdziwa. Zadanie 7. Zanotować za pomocą smboli rachunku zdań wrażenie Jeśli a = 0 lub b = 0, to ab = 0, w którm liter a, b, c oznaczają dowolne liczb całkowite. Rozwiązanie. [(a = 0) (b = 0)] (ab = 0). Zadanie 8. Zanotuj wrażenie (ab > 0) = (((a > 0) (b > 0)) ((a < 0) (b < 0))), nie posługując się smbolami rachunku zdań. Rozwiązanie. Jeśli iloczn dwóch liczb jest dodatni, to obie te liczb są dodatnie lub obie są ujemne. Zadanie 9. Za pomocą smboli artmetcznch i smboli rachunku zdań zapisać następujące twierdzenie artmetki liczb rzeczwistch: Różnica dwóch liczb rzeczwistch jest równa zeru wted i tlko wted, gd liczb te są równe. Rozwiązanie. a b = 0 a = b. Zadanie 0. Dla jakich wartości logicznch zdań p i q prawdziwe jest zdanie (p = q) (( p) q). 3

7 . Rachunek zdań LOGIKA Rozwiązanie. To zadanie możem rozwiązać sprawdzając wszstkie możliwe wartości logiczne zdań p i q: p q p = q ( p) q (p = q) (( p) q) Z powższej tabelki wnika, że zdanie jest prawdziwe dla dowolnch wartości p i q (jest to tzw. tautologia). Zadanie. Dla jakich wartości logicznch zdań p i q prawdziwe jest zdanie (p (q = r)) = (p ( r = q)). Rozwiązanie. To zadanie możem rozwiązać sprawdzając wszstkie możliwe wartości logiczne zdań p, q i r: p q r q = r p (q = r) r = q p ( r = q) (p (q = r)) = (p ( r = q)) Z powższej tabelki wnika, że zdanie jest prawdziwe dla wszstkich wartości p, q i r poza przpadkiem, gd p =,q = 0 i r = 0. Zadanie domowe Zadanie. Jaka jest wartość logiczna zdania. (cos π 3 = ) = (cos π 6 = 2 ). 2. (cos π 3 = 2 ) = (cos π 6 = 3 2 ). 3. ( 4 > 7 8 ) (cos π > 0). 4. ( 4 > 7 8 ) (cos 0 < π). 5. (2 = 3). 6. (sin(2) < 3). 7. (2 jest dzielnikiem liczb 5) (5 jest liczbą pierwszą). 8. (równanie = 0 ma dokładnie jeden pierwiastek) (równanie = 0 nie ma pierwiastka). 9. ( 0 = 3 jest pierwiastkiem równania = 0 ) (3 jest liczbą pierwszą). 0. (równanie = 0 ma dokładnie jeden pierwiastek) (równanie = 0 nie ma pierwiastka). Zadanie 2. Cz prawdziwe jest zdanie.. (cos π 3 = 3 2 ) = (cos π 6 = 3 2 ). 2. ( sin(cos(24 )) < 2 ) ( 2 2 ) jest liczbą wmierną. 4

8 . Rachunek zdań LOGIKA 3. ( ( tg π 6 = tg 7π 6 )). 4. ((2n ) 2 jest liczbą nieparzstą dla każdej liczb naturalnej n) (istnieje liczba naturalna n, dla której (2n ) 2 jest liczbą pierwszą). 5. ((2n ) 2 jest liczbą nieparzstą dla każdej liczb naturalnej n) (istnieje liczba naturalna n, dla której (2n ) 2 jest liczbą pierwszą). Zadanie 3. Jaka jest wartość logiczna zdania. ((log 2 < 0) (sin π = 0)) = (cos π = 0). 2. ((2 3) (2 jest liczbą pierwszą) (2 3). 3. (trójkąt o bokach długości 3, 4, 5 jest prostokątn) ((2 + > 0) = sin cos 2009 < ). Zadanie 4. Zanotować za pomocą smboli rachunku zdań następujące wrażenia, w którch liter a, b, c oznaczają dowolne liczb całkowite.. Jeśli a b i a c, to a (b + c). 2. Jeśli a b i nieprawda, że a c, to nieprawda, że a (b + c). 3. (a > 0 i b > 0) wted i tlko wted, gd (ab > 0 i a + b > 0). 4. (a < 0 i b < 0) wted i tlko wted, gd (ab > 0 i a + b < 0). 5. Jeśli nieprawda, że a < b, to (a = b lub a > b). Zadanie 5. Zanotuj następujące wrażenia nie posługując się smbolami rachunku zdań.. ((a b) (b c)) = (a c), 2. ( (a < b) (b < a)) = (a = b), 3. (a + b = a) (b = 0). Zadanie 6. Za pomocą smboli artmetcznch i smboli rachunku zdań zapisać następujące twierdzenia artmetki liczb rzeczwistch.. Jeśli liczba jest różna od zera, to (jest ujemna lub jest dodatnia). 2. Jeśli iloczn dwóch liczb jest różn od zera, to obie te liczb są różne od zera. Zadanie 7. Dla jakich wartości logicznch zdań p i q prawdziwe jest zdanie. (p q) ((p q) (( p) ( q))). 2. (p q) (p q). 3. (p = q) (q = p). 4. (p = ( q)) = (( q) = p). 5

9 . Rachunek zdań LOGIKA Odpowiedzi do zadań domowch Odp... fałsz 2. prawda 3. fałsz 4. prawda 5. prawda 6. fałsz 7. fałsz 8. fałsz 9. prawda 0. fałsz Odp. 2.. tak 2. tak 3. tak 4. nie 5. nie Odp. 3.. fałsz 2. fałsz 3. prawda Odp. 4.. (a b a c) = a (b + c) 2. (a b a c) = a (b + c) 3. a > 0 b > 0) (ab > 0 a + b > 0) 4. (a < 0 b < 0) (ab > 0 a + b < 0) 5. ( a < b) = (a = b a > b) Odp. 5.. jeśli a b i b c, to a c 2. jeśli (nieprawda że a < b oraz nieprawda że b < a), to a = b 3. a + b = a wted i tlko wted, gd b = 0 (lub np. do tego ab a + b = a potrzeba i wstarcza, że b = 0) Odp. 6.. a = 0 = (a < 0 a > 0) 6

10 .2 Prawa rachunku zdań LOGIKA 2. ab 0 = (a > 0 b > 0) Odp. 7.. dla wszstkich par p, q 2. dla p = 0, q = 0, dla p =, q = 3. dla p = 0, q = 0, dla p =, q = 4. dla p = 0, q =, dla p =, q = 0.2 Prawa rachunku zdań Zdania prawdziwe prz każdm wartościowaniu zmiennch w nich wstępującch nazwam prawami rachunku zdań lub tautologiami. Niektóre tautologie mają swoje nazw. Zadanie 8. Sprawdzić metodą zerojednkową prawo rachunku zdań p = p. Rozwiązanie. Metoda zerojednkowa polega na wpisaniu w tabelce wszstkich możliwch wartości zmiennch wstępującch w zdaniu, i sprawdzeniu dla każdej kombinacji wartości, że zdanie rzeczwiście jest prawdziwe. Dla ułatwienia (i uniknięcia pomłek) w tabeli takiej wpisujem także pośrednie obliczenia w poniższm przkładzie kolumna 2 stanowi obliczenia pośrednie. p p p = p 0 0 Ponieważ w prawej kolumnie tabeli są same jednki, więc zdanie p = p jest tautologią. Zadanie 9. Sprawdzić metodą zerojednkową prawo rachunku zdań Rozwiązanie. (p q) ( p q) (prawo de Morgana, prawo negowania koniunkcji). p q (p q) p q (p q) ( p q) Zadanie 0. Sprawdzić metodą zerojednkową prawo rachunku zdań Rozwiązanie. (p = q) = ((q = r) = (p = r)). p q r p = q q = r p = r (q = r) = (p = r) (p = q) = ((q = r) = (p = r))

11 .2 Prawa rachunku zdań LOGIKA Zadanie. Korzstając z prawa negowania alternatw podaj zaprzeczenie zdania proste l i l 2 są równolegle lub skośne. Rozwiązanie. Oznaczm przez p zdanie proste l, l 2 są równoległe, a przez q zdanie proste l, l 2 są skośne. Wted zaprzeczenie zdania p q, to zgodnie z prawem de Morgana zdanie p q. Czli zaprzeczeniem zdania proste l i l 2 są równoległe lub proste l i l 2 są skośne jest zdanie proste l i l 2 nie są równoległe i proste l i l 2 nie są skośne. Zadanie 2. Wkaż, że następujące wrażenie nie jest prawem rachunku zdań. (p = q) = (q = p). Rozwiązanie. Ab pokazać, że dane zdanie jest tautologią należ sprawdzić wszstkie możliwe podstawienia zmiennch wstępującch w zdaniu. Ab pokazać, że zdanie nie jest tautologią, wstarcz znaleźć taki przkład wartościowania zmiennch, że zdanie staje się fałszwe. W przpadku zdania (p = q) = (q = p) wiem, że ab bło ono fałszwe musi bć prawdziwe zdanie p = q i fałszwe zdanie q = p. Drugie z tch zdań jest łatwiejsze do analiz, ponieważ implikacja q = p jest fałszwa tlko w jednm przpadku: gd q = i p = 0. Sprawdzam, że istotnie prz takim wartościowaniu zdanie (p = q) = (q = p) jest fałszwe. W przpadku, gd rozwiązaniem zadania jest przkład wartościowania, wartości p i q można zgadnąć (jest to poprawne rozwiązanie zadania). Czasami zamiast sprawdzania wszstkich możliwch wartości zmiennch użtch w zdaniu wgodniej jest spróbować znaleźć takie wartościowanie zmiennch, dla którego formuła staje się fałszwa. Jeżeli takie wartościowanie znajdziem, to formuła nie jest tautologią, a jeżeli próba znalezienia takiego wartościowania doprowadzi nas do sprzeczności, to formuła jest tautologią. Taką metodę dowodzenia tautologii nazwam metodą skróconą. Zadanie 3. Zbadaj metodą skróconą, cz następujące wrażenie jest prawem rachunku zdań (p = q) = (p = q). Rozwiązanie. Żeb implikacja bła fałszwa, musi bć prawdziwe zdanie (p = q) (czli fałszwe zdanie p = q) i jednocześnie fałszwe zdanie p = q. Jeżeli dobierzem p = a q = 0, to spełnione są oba te warunki. Podane zdanie nie jest więc tautologią. Zadanie 4. Zbadaj metodą skróconą, cz następujące wrażenie jest prawem rachunku zdań p = ( p = q). Rozwiązanie. Ab zdanie bło fałszwe, musi bć prawdziwe zdanie p i fałszwe zdanie p = q. Ale jeżeli zdanie p jest prawdziwe, to zdanie p = q też musi bć prawdziwe (jako implikacja o fałszwm poprzedniku). Zdanie to nie może bć jednocześnie prawdziwe i fałszwe prz tm samm wartościowaniu zmiennch więc założenie o istnieniu takiego wartościowania, dla którego wjściowe zdanie jest fałszwe doprowadziło nas do sprzeczności. Czli takie wartościowanie nie istnieje. Podane zdanie jest więc tautologią. Zadanie 5. Zbadaj metodą skróconą, cz następujące wrażenie jest prawem rachunku zdań ((p = q) (r = q)) = ((p r) = q). Rozwiązanie. Ab zdanie bło fałszwe, musi bć prawdziwe zdanie (p = q) (r = q) i fałszwe zdanie (p r) = q. Zdanie (p r) = q jest fałszwe, gd zdanie (p r) jest prawdziwe, a zdanie q jest fałszwe. Zdanie p r jest prawdziwe, gd zdania p i r są prawdziwe. Wówczas zdanie p = q i r = q są fałszwe, czli alternatwa (p = q) (r = q) też jest fałszwa, co jest sprzeczne z naszm założeniem, że ta alternatwa jest prawdziwa. Więc założenie o istnieniu takiego wartościowania, dla którego wjściowe zdanie jest fałszwe doprowadziło nas do sprzeczności. Czli takie wartościowanie nie istnieje. Podane zdanie jest więc tautologią. 8

12 .2 Prawa rachunku zdań LOGIKA Zadanie 6. Podać prawo, które wskazuje, że implikacja może bć zdefiniowana za pomocą koniunkcji i negacji. Rozwiązanie. Wiem, że (p = q) ( p q). Z kolei zdanie z prawej stron równoważności możem zapisać w postaci prawa de Morgana ( p q) (p q) (bo q q). Zdanie po prawej stronie równoważności pozwala zapisać funktor (spójnik logiczn) implikacji prz użciu jednie negacji i koniunkcji. Powższe rozumowanie możem zapisać skrótowo: p = q ( p q) (p q). Zadanie 7. Znaleźć formułę możliwie najkrótszej długości równoważną formule (p q s) (p q r) (p q s) (p r = q). Rozwiązanie. Korzstając z faktu, że alternatwa nie zmienia wartości logicznej po zmianie kolejności wrazów, powższe wrażenie jest równoważne wrażeniu (zamieniam 2 i 3 składnik alternatw) (p q s) (p q s) (p q r) (p r = q). Dalej, wkorzstując tautologię (( ) ( z)) ( ( z)) (podstawiając za zdanie p q, za zdanie s, za z zdanie s), otrzmujem, że wjściowe zdanie jest równoważne zdaniu (p q (s s)) (p q r) (p r = q). Ponieważ s s jest tautologią, więc powższe zdanie jest równoważne ze zdaniem (p q) (p q r) (p r = q). Zdanie p q r jest prawdziwe tlko dla p =, q = 0 i r = 0, zdanie (p r = q) jest prawdziwe tlko dla p =, q = 0 i r =. Czli (p q r) (p r = q) jest prawdziwe, gd p = oraz q = 0, czli wted, gd prawdziwe jest zdanie p q. Stąd wjściowe zdanie jest równoważne zdaniu (p q) (p q). Ponownie wkorzstując tautologię rozdzielność alternatw względem koniunkcji otrzmujem, że powższe zdanie jest równoważne p. Najkrótszm zdaniem równoważnm zdaniu z zadania jest p. W skrócie taki ciąg rozumowania można zapisać: (p q s) (p q r) (p q s) (p r = q) (p q s) (p q s) (p q r) (p r = q) (p q (s s)) (p q r) (p r = q) (p q) (p q r) (p r = q) (p q) (p q) p. Dla danego twierdzenia p = q, które możem nazwać prostm, twierdzenia: q = p, q = p i p = q nazwać będziem, odpowiednio, odwrotnm, przeciwstawnm i przeciwnm. Zadanie 8. Utworzć twierdzenie odwrotne, przeciwstawne i przeciwne do twierdzenia. (2 n 3 n) = 6 n. Rozwiązanie. Jeżeli oznaczm przez p zdanie 2 n 3 n, przez q zdanie 6 n, to zdaniem odwrotnm do p = q jest 6 n = (2 n 3 n), zdaniem przeciwstawnm jest 6 n = (2 n 3 n) (lub, upraszczając na podstawie prawa de Morgana, 6 n = (2 n 3 n)), zdaniem przeciwnm jest (2 n 3 n) = 6 n ((2 n 3 n) = 6 n). Zadanie 9. Wpowiedzieć w formie implikacji równoważnej stwierdzenie jeżeli funkcja = f() ma pochodną w punkcie 0, to jest ciągła w punkcie 0. 9

13 .2 Prawa rachunku zdań LOGIKA Rozwiązanie. Zgodnie z tautologią (p = q) ( q = p) implikacja równoważna jest to implikacja przeciwstawna. Oznaczm przez p zdanie = f() ma pochodną w punkcie 0, przez q zdanie f jest ciągła w punkcie 0. Implikacją przeciwstawną do p = q jest q = p. Rozwiązaniem zadania jest więc zdanie jeżeli funkcja = f() nie jest ciągła w punkcie 0, to f nie ma pochodnej w punkcie 0. Zadanie 20. Użwając sformułowania warunek wstarczając i warunek konieczn wpowiedzieć twierdzenie: liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W () wted i tlko wted, gd wielomian W () jest podzieln przez dwumian ( a). Rozwiązanie. Warunkiem koniecznm i wstarczającm do tego, ab liczba a bła pierwiastkiem wielomianu W () jest to, że wielomian W () jest podzieln przez dwumian ( a) (do tego ab liczba a bła pierwiastkiem wielomianu W () potrzeba i wstarcza, ab wielomian W () bł podzieln przez dwumian ( a)). Zadanie 2. Cz prawdziwe jest zdanie: jeżeli z faktu, że wszstkie boki trójkąta ABC są równe wnika, że wszstkie kąt trójkąta ABC są równe, i trójkąt ABC ma nierówne kąt, to ma on również nierówne boki. Rozwiązanie. Oznaczm przez p zdanie wszstkie boki trójkąta ABC są równe, przez q zdanie wszstkie kąt trójkąta ABC są równe. Wted powższe zdanie można zapisać jako ((p = q) q) = p, co jest tautologią (sprawdzić!) Zadanie domowe Zadanie. Sprawdzić metodą zerojednkową prawa rachunku zdań.. p p, 2. (p q) ( p q) (prawo de Morgana, prawo negowania alternatw), 3. (p = q) (p q) (prawo negowania implikacji), 4. (p = q) = ((q = r) = (p = r)), 5. ((p q) (q r)) = (p r) Zadanie 2. Korzstając z praw negowania alternatw, koniunkcji i implikacji podaj zaprzeczenia zdań.. Prosta l ma jeden punkt wspóln z danm okręgiem, lub prosta l nie ma żadnego punktu wspólnego z danm okręgiem. 2. Liczba a jest podzielna przez liczb b i c. 3. Para liczb a, b spełnia układ równań { 2 3 = = 4. Jeśli liczba a jest podzielna przez 2, to jest podzielna przez 4. Zadanie 3. Wkaż, że następujące wrażenia nie są prawami rachunku zdań.. (p = q) = (q = p), 2. (p q) = ( p q), 3. (p q) = ( p q), 4. ((p = q) p) = q, 0

14 .2 Prawa rachunku zdań LOGIKA 5. (p q) = p. Zadanie 4. Zbadaj metodą skróconą, które z następującch wrażeń są prawami rachunku zdań.. ((p = q) (q = p)), 2. ((p = q) (r = q)) = ((p r) = q), 3. (p q) p, 4. (p p) p, 5. (p = q) = (q = p), 6. (p q) = ( p q), 7. ((p q) = r) = ((p r) = q), 8. (p (q = r)) = ((p ( r = q)), 9. (p (q r)) = ((p q) (p r)), 0. (p (q r)) = ((p q) (p r)). Zadanie 5. Sprawdzić, cz następujące wrażenie jest tautologią.. p = (q = (p q)). 2. (p = p) = ( p). 3. ((p q) r) (q (p r)). 4. ((p q) = r) = (p (q = r)). 5. (p = q) (p q). 6. (p q) (p q). Zadanie 6. Wkazać, że następujące wrażenie jest tautologią.. p p. 2. (p p). 3. ( p) = (p = q). 4. ( p) = (p q). 5. p = (q = (p = q)). 6. (p q) ((p = q) (q = p)). 7. (p = q) ( q = p). 8. (p = q) = ((t p) = (t q)). Zadanie 7. Podać prawa, które wskazują, że. alternatwa może bć zdefiniowana za pomocą koniunkcji i negacji, 2. alternatwa może bć zdefiniowana za pomocą implikacji i negacji, 3. równoważność może bć zdefiniowana za pomocą implikacji i koniunkcji. Zadanie 8. Znaleźć formułę możliwie najkrótszej długości równoważną formule:

15 .2 Prawa rachunku zdań LOGIKA. p = q 2. (p q) ( p = q) 3. (q r s q) (p q p) (r s) Zadanie 9. Utworzć twierdzenie odwrotne, przeciwstawne i przeciwne do twierdzenia.. ( > 0 = ) = 2 >. 2. Jeżeli dwa boki przeciwległe czworokąta są równe i równoległe, to czworokąt jest równoległobokiem. Zadanie 0. Wpowiedzieć w formie implikacji równoważnej stwierdzenie.. Jeżeli f () < 0 na przedziale (a, b), to funkcja = f() jest malejąca na tm przedziale. 2. Jeżeli dwie izometrie są zgodne w trzech niewspółliniowch punktach, to są identczne. Zadanie. Użwając sformułowania warunek wstarczając i warunek konieczn wpowiedzieć twierdzenie.. Czworokąt ma środek smetrii wted i tlko wted, gd jest równoległobokiem. 2. Liczba całkowita jest podzielna przez 3 wted i tlko wted, gd suma cfr tej liczb jest podzielna przez Różnica dwóch liczba rzeczwistch jest równa zeru wted i tlko wted, gd liczb te są równe. 4. Iloczn dwóch liczb jest różn od zera wted i tlko wted, gd obie liczb są niezerowe. Zadanie 2. Cz prawdziwe są zdania:. jeżeli figura A jest czworokątem i A ma wszstkie boki równe, to z faktu że A jest czworokątem wnika, że A ma równe boki. 2. jeżeli liczba a dzieli się przez 3 i dzieli się przez 5, to z faktu, że a nie dzieli się przez 3, wnika, że a nie dzieli się przez jeżeli Jan nie zna Logiki, to jeśli Jan zna Logikę, to Jan urodził się w IV wieku pne. Odpowiedzi do zadań domowch Odp. 2.. Prosta l ma 2 punkt wspólne z okręgiem. 2. Liczba a nie jest podzielna przez b lub liczba a nie jest podzielna przez c. 3. 2a 3b 5 lub a + 2b. 4. Liczba a jest podzielna przez 2 i nie jest podzielna przez 4. Odp. 3. Dla podanch wartości p i q odpowiednie zdania są fałszwe.. p = 0, q =. 2. p =, q = p = q = p = 0, q =. 5. p = 0, q =. Odp. 4. 2

16 .2 Prawa rachunku zdań LOGIKA. Nie jest. 2. Jest. 3. Nie jest. 4. Jest. 5. Nie jest. 6. Jest. 7. Jest. 8. Jest. 9. Jest. 0. Jest. Odp. 5.. Jest. 2. Jest. 3. Nie jest. 4. Nie jest. 5. Nie jest. 6. Nie jest. Odp. 7.. p q = ( p q). 2. p q = p q. 3. p q = (p q) (q p). Odp. 8.. p q. 2. p q. 3. r s. Odp > = ( > 0 = ). 2 = ( 0 ). ( 0 ) = Jeżeli czworokąt jest równoległobokiem, to dwa boki przeciwległe tego czworokąta są równe i równoległe. Jeżeli czworokąt nie jest równoległobokiem, to dwa boki przeciwległe tego czworokąta są różnej długości lub nie są równoległe. Jeżeli dwa boki przeciwległe czworokąta są różnej długości lub nie są równoległe, to czworokąt nie jest równoległobokiem. 3

17 .3 Rachunek kwantfikatorów LOGIKA Odp. 0.. Jeżeli funkcja = f() jest niemalejąca na przedziale (a, b), to f () 0 dla (a, b), 2. Jeżeli dwie izometrie nie są identczne, to nie są zgodne w trzech niewspółliniowch punktach. Odp... Warunkiem koniecznm i wstarczającm do tego, ab czworokąt miał środek smetrii jest to, ab bł równoległobokiem. 2. Warunkiem koniecznm i wstarczającm do tego, ab liczba całkowita bła podzielna przez 3 jest to, ab suma cfr tej liczb bła podzielna przez Warunkiem koniecznm i wstarczającm do tego, ab różnica dwóch liczb rzeczwistch bła równa zeru jest to, ab liczb te bł równe. 4. Warunkiem koniecznm i wstarczającm do tego, ab iloczn dwóch liczb bł różn od zera jest to, ab obie liczb bł niezerowe. Odp. 2.. Tak. 2. Nie. 3. Tak..3 Rachunek kwantfikatorów Wrażenie p(), które po podstawieniu za jakiegokolwiek elementu ze zbioru X staje się zdaniem nazwać będziem funkcją zdaniową zmiennej (lub, wmiennie, formą zdaniową zmiennej ). Zbiór X nazwać będziem dalej zakresem zmienności p(). Jeżeli funkcja zdaniowa jest prawdziwa po podstawieniu pewnego elementu X, to mówim, że spełnia funkcję zdaniową, Jeżeli funkcja zdaniowa jest fałszwa po podstawieniu pewnego elementu 2 X, to mówim, że 2 nie spełnia funkcji zdaniowej. Funkcję zdaniową p() nazwam prawdziwą na danm niepustm zbiorze X, jeżeli dla każdego elementu ze zbioru X zdanie p() jest prawdziwe. Funkcję zdaniową p() nazwam fałszwą na danm niepustm zbiorze X, jeżeli dla każdego elementu ze zbioru X zdanie p() jest fałszwe. Jeżeli istnieje element ze zbioru X taki, że zdanie p( ) jest prawdziwe oraz istnieje element 2 ze zbioru X taki, że zdanie p( 2 ) jest fałszwe, to funkcja zdaniowa nie jest ani prawdziwa ani fałszwa. Zadanie 3. Rozważm funkcję zdaniową > 0, R. Podać po jednm przkładzie elementu R spełniającego i nie spełniającego funkcję zdaniową. Rozwiązanie. Jeżeli za podstawim np., to zdanie > 0 jest prawdziwe. Czli spełnia funkcję zdaniową. Jeżeli za podstawim np. π, to zdanie π > 0 jest fałszwe. Czli π nie spełnia funkcji zdaniowej. Zadanie 4. Zaznacz (na płaszczźnie lub na prostej) zbiór elementów spełniającch formę zdaniową > 0 + < 0. Rozwiązanie. Podana forma zdaniowa jest koniunkcją dwóch prostszch form: > 0 oraz + < 0. Na rsunku nanosim najpierw zbiór tch par,, że > 0 (czli cała płaszczzna poza punktem (0, 0)), następnie zbiór tch punktów (, ), że + < 0 (czli <, czli zbiór punktów znajdującch się pod prostą = ). Rozwiązaniem jest część wspólna obu zbiorów. Zadanie 5. Cz prawdziwa (lub fałszwa) jest funkcja zdaniowa ( oznacza liczbę rzeczwistą) > 0? 4

18 .3 Rachunek kwantfikatorów LOGIKA Rozwiązanie. Zauważm, że równanie = 0 ma dwa różne rozwiązania, więc istnieją takie liczb 0, R (np. 0 = 3, = 2 ), że > 0 oraz Czli podana forma zdaniowa nie jest ani prawdziwa (ponieważ po podstawieniu = otrzmujem fałsz), ani nie jest fałszwa (ponieważ po podstawieniu = 0 otrzmujem prawdę). Zadanie 6. Cz prawdziwa (lub fałszwa) jest funkcja zdaniowa ( oznacza liczbę rzeczwistą) < 0? Rozwiązanie. Ponieważ = 0 nie ma rozwiązań, więc dla każdego wiadomo, że > 0. Czli nie istnieje spełniając podaną formę zdaniową, czli jest ona fałszwa. Jeśli funkcja zdaniowa p() jest prawdziwa dla każdego, to piszem p() (cztam: dla każdego zachodzi p()). Jeśli istnieje prznajmniej jeden element spełniając p(), to piszem Smbole i nazwam kwantfikatorami. p() (cztam: istnieje taki, że p()). Zadanie 7. Podaną formę zdaniową poprzedź kwantfikatorami tak, ab otrzmać zdanie prawdziwe (odpowiednio, zdanie fałszwe). 2 = 2. Rozwiązanie. Ponieważ dla = 2, 2 = 2, więc przkład zdania prawdziwego, to 2 = 2. Z kolei, ponieważ istnieje taki, że 2 2 (np. = ), więc przkład zdania fałszwego, to 2 = 2. Zadanie 8. Podaną formę zdaniową poprzedź kwantfikatorami tak, ab otrzmać zdanie prawdziwe (odpowiednio, zdanie fałszwe). > 0 > Rozwiązanie. Ponieważ dla dowolnego potrafim znaleźć taki, że > (np. = + ), więc prawdziwe jest na przkład zdanie ( > 0 > ). (innm przkładem zdania prawdziwego jest ( > 0 > )). Ponieważ dla = 0 i = zdanie > 0 > jest fałszwe, więc przkład zdania fałszwego, to ( > 0 > ). Zadanie 9. Oceń wartość logiczną zdania, a następnie utwórz jego zaprzeczenie. ( < 0) 5

19 .3 Rachunek kwantfikatorów LOGIKA Rozwiązanie. Ponieważ dla = 0 nie jest prawdą, że < 0, więc podane zdanie jest fałszwe. Ab zaprzeczć zdaniu, korzstam z prawa de Morgana dla kwantfikatorów: p() p(). W przkładzie podanm w zadaniu, po zastosowaniu prawa de Morgana otrzmam: co możem zapisać także jako ( < 0), ( ), Zadanie 20. Oceń wartość logiczną zdania, a następnie utwórz jego zaprzeczenie. ( 2 2 > 0 = > 0) Rozwiązanie. Jeżeli ustalim dowoln = 0, to biorąc = otrzmam zdanie > 0 = > 0. Zdanie to składa się z implikacji o fałszwm poprzedniku, czli jest to zdanie prawdziwe. W takim razie, dla dowolnego = 0 udało się tak dobrać = 0, ab forma zdaniowa 2 2 > 0 = > 0 po podstawieniu i bła prawdziwa. Czli zdanie ( 2 2 > 0 = > 0) jest prawdziwe. Ab zaprzeczć zdaniu, korzstam najpierw z prawa de Morgana dla kwantfikatora ogólnego ( ): p() p(). Otrzmujem wówczas zdanie: ( 2 2 > 0 = > 0). Ponownie korzstam z prawa de Morgana, tm razem dla kwantfikatora szczególnego ( ): p() p(). Otrzmujem wówczas zdanie: ( 2 2 > 0 = > 0). Korzstając z tautologii o zaprzeczaniu implikacji i prawa de Morgana otrzmujem: ( 2 2 > 0 > 0), co możem zapisać jako ( 2 2 > 0 0). Zadanie 2. Korzstając ze spójników logicznch i kwantfikatorów, zapisać zdanie równanie 2 2 = 0 ma dodatni pierwiastek. Rozwiązanie. Równanie ma pierwiastek wted i tlko wted, gd istnieje, po podstawieniu którego do form zdaniowej 2 2 = 0 otrzmam zdanie prawdziwe. Jeżeli pierwiastek ma bć dodatni, to formę zdaniową możem rozszerzć o warunek > 0. W takim razie podane zdanie można zapisać ( 2 2 = 0 > 0). 6

20 .3 Rachunek kwantfikatorów LOGIKA Zadanie 22. Korzstając ze spójników logicznch i kwantfikatorów, zapisać zdanie istnieje liczba m, od której nie jest mniejsz kwadrat dowolnej liczb. Rozwiązanie. Fakt, że od m nie jest mniejsz kwadrat dowolnej liczb jest równoważn temu, że jakąkolwiek bśm nie wzięli liczbę, to jej kwadrat nie będzie mniejsz od m. Podane zdanie możem więc zapisać m 2 < m, lub, w sposób równoważn, m 2 m. Zadanie 23. Wskaż, które zmienne w wrażeniu są związane przez które kwantfikator. ( > 3) = ( > ) Rozwiązanie. Kwantfikator wiąże zmienną tlko w wrażeniu znajdującm się najbliżej kwantfikatora. W powższm wrażeniu kwantfikator wiąże więc tlko zmienną w formie > 3. W formie > zmienna nie jest związana przez kwantfikator (jest to tzw. zmienna wolna). Zadanie 24. Wskaż, które zmienne w wrażeniu są związane przez które kwantfikator. (( > 3) = ( > )) Rozwiązanie. Kwantfikator wiąże zmienną w wrażeniu znajdującm się najbliżej kwantfikatora. Ze względu na nawias, najbliżej kwantfikatora znajduje się forma zdaniowa ( > 3) = ( > ). W powższm wrażeniu kwantfikator wiąże więc zmienną w formie > 3 oraz w formie >. W powższm wrażeniu nie ma zmiennch wolnch. Zadanie domowe Zadanie. Podać po jednm przkładzie elementu spełniającego i nie spełniającego funkcję zdaniową.. 2 0, R = 0, R. 3. >, N = 2, R. Zadanie 2. Zaznacz (na płaszczźnie lub na prostej) zbiór elementów spełniającch formę zdaniową , < 0 = >, > 0 3 < < 3. Zadanie 3. Cz prawdziwa (lub fałszwa) jest funkcja zdaniowa ( oznacza liczbę rzeczwistą) < 0, > 0, 3. cos 2 2 sin2 2 = cos, < 0, 7

21 .3 Rachunek kwantfikatorów LOGIKA = 0, = 0. Zadanie 4. Podaną formę zdaniową poprzedź kwantfikatorami tak, ab otrzmać zdanie prawdziwe (odpowiednio, zdanie fałszwe) = 9 3. jest liczbą pierwszą > 0 Zadanie 5. Oceń wartość logiczną zdań, a następnie utwórz ich zaprzeczenia.. ( < 0 = 0 > 0) 2. ( 2 + < 0 = = 2009) 3. ( 2 = ) 4. ( ) Zadanie 6. Korzstając ze spójników logicznch i kwantfikatorów, zapisać zdanie. Dla dowolnego m równanie 2 + m 2m 2 = 0 ma rozwiązanie. 2. Nie dla każdej liczb jej kwadrat jest większ od tej liczb. 3. Dla dowolnej liczb jej wartość bezwzględna jest nieujemna. 4. Każda liczba jest równa sobie samej. 5. Żadna liczba nie jest mniejsza od siebie samej. 6. Dla każdej liczb istnieje liczba od niej większa i jednocześnie mniejsza od Dla każdch dwóch liczb istnieje ich średnia artmetczna. 8. Istnieje liczba będąca wspólnm pierwiastkiem równań = 0 i = 0. Zadanie 7. Wskaż, które zmienne następującch wrażeń są związane przez które kwantfikator.. (2 + = 0) ( + 2 = 5) 2. ((2 + = 0) ( + 2 = 5)) 3. (2 + = 0) ( + 2 = 5) 4. ( > 0) ( 0) 5. (( > 0) ( 0)) 6. ( 0) ( > 0) 7. (( > 0) = ( > 0)) 8. (( > 0) ( 0)). 8

22 .3 Rachunek kwantfikatorów LOGIKA Odpowiedzi do zadań domowch Odp... = 3 spełnia; nie ma elementu któr nie spełnia tej funkcji zdaniowej. 2. = 0 spełnia; = 2 nie spełnia. 3. = 4 spełnia; = nie spełnia. 4. = 2 spełnia; = nie spełnia. Odp. 2.. Ponieważ jest równoważne nierówności ( + 2) 2 + ( 3) 2, więc formę zdaniową spełniają wszstkie punkt koła o środku w punkcie ( 2, 3) i prominiu (razem z brzegiem). Ponieważ 5 0 jest równoważne nierówności + 5, więc formę zdaniową 5 0 spełniają wszstkie punkt, które są nad prostą = + 5. Czli rozwiązaniem jest suma obu zbiorów. 2. Ponieważ równanie = 0 ma dwa pierwiastki = 3 i 2 = więc formę zdaniową < 0 spełniają tlko liczb z przedziału ( 3, ). Formę zdaniową > spełniają tlko liczb z przedziału (, + ). Wówczas liczb ze zbioru (, 3] [, + ) spełniają formę = 0 >, bo dla tch liczb poprzednik tej implikacji jest fałszw, czli cała implikacja jest prawdziwa. Również liczb z przedziału (, ) spełniają formę = 0 >, bo dla tch liczb zarówno poprzednik jak i następnik jest prawdziw. Pozostałe liczb (tzn. liczb z przedziału ( 3, ]) nie spełniają form = 0 >, bo dla tch liczb poprzednik jest prawdziw a następnik jest fałszw, czli cała implikacja jest fałszwa. Ostatecznie, tlko liczb ze zbioru (, 3] (, + ) spełniają formę zdaniową = 0 >. 3. Forma jest spełniona tlko przez liczb ze zbioru [ 4, 3] (2, 3). Odp. 3.. Ani prawdziwa, ani fałszwa. 2. Prawdziwa. 3. Prawdziwa. 4. Fałszwa. 5. Fałszwa. 6. Ani prawdziwa, ani fałszwa. Odp prawdziwe fałszwe = 9 - prawdziwe; = 9 - fałszwe. 3. ( jest liczbą pierwszą) - prawdziwe; ( jest liczbą pierwszą) - fałszwe > 0 - prawdziwe; > 0 - fałszwe. 9

23 .4 Zadania dodatkowe LOGIKA Odp. 5.. ( < 0 = 0 > 0) - zdanie prawdziwe. ( ( < 0 = 0 > 0)) = (( 0 0 0)) 2. ( 2 + < 0 = = 2009) - zdanie prawdziwe. ( ( 2 + < 0 = = 2009)) = ( 2 + < ) 3. ( 2 = ) - zdanie fałszwe. ( ( 2 = )) = ( 2 ) 4. ( ) - zdanie prawdziwe. ( ( )) = ( < ) Odp. 6.. m 2 + m 2m 2 = ( 2 > ) =. 5. ( < ). 6. < < s s = (( = 0) ( = 0)). Odp. 7.. Wszstkie zmienne są związane. 2. Wszstkie zmienne są związane. 3. Zmienna w formie 2 + = 0 jest związana, ale zmienna w formie + 2 = 5 jest wolna. 4. Wszstkie zmienne są związane. 5. Wszstkie zmienne są związane. 6. Zmienna w formie > 0 jest wolna, ale zmienna w formie 0 jest związana. 7. Wszstkie zmienne są związane. 8. Wszstkie zmienne są związane..4 Zadania dodatkowe Zadanie 8. Wrażenie logiczne f zależ od n zmiennch. Ile wartościowań należ rozpatrzć prz badaniu, że wrażenie logiczne f jest tautologią? Zadanie 9. Rozważm wrażenie postaci:. (... ((p = p) = p) = p)...) = p (n raz). 2. (... ((p = (p = (p = p))...) (n raz). Dla jakich n wrażenie to jest tautologią? 20

24 .4 Zadania dodatkowe LOGIKA Zadanie 0. Sprawdzić, że każda formuła logiczna jest równoważna formule, w której wstępują jednie spójniki:.,, ; 2., = ; 3., ; 4., ; 5. N AN D (funktor Sheffera, dzjunkcja); 6. N OR (funktor jednoczesnego zaprzeczenia). Zadanie. Uzasadnić, że nie istnieje formuła równoważna p q zapisana z użciem jednie p, q, =. Wskazówka. Jeżeli φ zawiera jednie p, q, =, to zawsze istnieją co najmniej dwa wartościowania p, q takie, że φ jest prawdziwa. Zadanie 2. Uzasadnić, że za pomocą, nie można zdefiniować =. Wskazówka. Za pomocą, można jednie zdefiniować p, q, p q, p q. Zadanie 3. Cz za pomocą alternatw i koniunkcji można zdefiniować:. implikację, 2. dzjunkcję? Zadanie 4. Cz za pomocą równoważności i negacji można zdefiniować:. alternatwę, 2. koniunkcję? 2

25 2 ZBIORY 2 Zbior 2. Element zbioru, podzbiór i równość zbiorów Zadanie. Podać wszstkie element zbioru A dla. A = {0,, 2}; 2. A = {a}; 3. A = {a, b, c, a, b, c, a, b, a}; 4. A = { R : = 0}; 5. A = { R : 2 + = 0}; 6. A = {n N : n 2 < 2}; 7. A = { R : < 0}; 8. A = ; 9. A = { }; 0. A = {a, {a}};. A = {{a}}; 2. A = {,, {}, {}, {, }, {{}, {}}}. Rozwiązanie.. Element zbioru A to: 0, i Jednm elementem zbioru A jest a. 3. Zbiór A ma trz element: a, b, c. 4. Zbiór A ma jeden element:. 5. Zbiór A nie ma elementów. 6. Zbiór A ma 4 element: 0,, 2, Zbiór A składa się ze wszstkich liczb z przedziału (2, 3). 8. Zbiór A nie ma elementów. 9. Jednm elementem zbioru A jest. 0. Zbiór A ma 2 element: a i {a}.. Zbiór A ma element: {a}. 2. Zbiór A ma 6 elementów:,, {}, {}, {, }, {{}, {}}. Zadanie 2. Cz = { }? Rozwiązanie. Zbiór to (zgodnie z definicją) zbiór nie zawierając żadnego elementu. Zbiór po prawej stronie znaku = ma jeden element. Zbior te są więc różne. Zadanie 3. Cz dla dowolnch A, B, C prawdą jest, że. {A, B} {{A, B, C}, {A, C}, A, B}; 22

26 2. Element zbioru, podzbiór i równość zbiorów 2 ZBIORY 2. {A, B} {{A, B, C}, {A, C}, A, B}? Rozwiązanie.. Musim sprawdzić, cz obiekt {A, B} (uwaga: interesuje nas cał obiekt, włącznie z zewnętrznmi nawiasami) znajduje się wśród elementów zbioru po prawej stronie znaku. Element te to: {A, B, C}, {A, C}, A, B. Żaden z nich nie jest równ {A, B}, więc nie jest prawdą, że {A, B} {{A, B, C}, {A, C}, A, B}. 2. Zbiór {A, B} zawiera się w zbiorze {{A, B, C}, {A, C}, A, B} wted i tlko wted, gd dla każdego elementu zbioru {A, B} (element te to: A i B), element ten należ do zbioru {{A, B, C}, {A, C}, A, B}. Sprawdzam, że zarówno A jak i B należą do zbioru po prawej stronie znaku, więc prawdą jest, że {A, B} {{A, B, C}, {A, C}, A, B}. Zadanie 4. Udowodnić, że jeżeli A B i B A, to A = B. Rozwiązanie. Musim pokazać, że z założeń. A B, i 2. B A wnika, że A = B. Ab sprawdzić równość zbiorów wstarcz pokazać, że każd element zbioru po lewej stronie równości jest elementem zbioru po prawej stronie równości (i na odwrót). Weźm więc dowoln element A. Z założenia () wnika, że każd element zbioru A jest także elementem zbioru B, czli z tego, że A wnika, że B. Sprawdzam też na odwrót : jeżeli B, to z założenia (2) wnika, że A. Czli zbior A i B są równe. Zadanie 5. Udowodnić, że istnieje tlko jeden zbiór nie mając żadnch elementów. Rozwiązanie. Wstarcz pokazać, że jeżeli A i B są zbiorami nie mającmi żadnch elementów, to A = B. Niech A i B będą dowolnmi zbiorami nie mającmi żadnch elementów. Wstarcz pokazać, że dla dowolnego,. jeżeli A, to B, oraz 2. jeżeli B, to A. Zdania () i (2) są implikacjami o fałszwm poprzedniku (ponieważ zarówno A jak i B nie mają żadnego elementu), czli są prawdziwe. Czli A = B. Zadanie 6. Podać przkład zbioru dwuelementowego, takiego, że każd jego element jest jego podzbiorem. Rozwiązanie. Uprośćm zadanie i spróbujm skonstruować zbiór -elementow, którego każd element jest też podzbiorem. Zbiór pust jest podzbiorem każdego zbioru, więc zgadujem, że zbiór pust ma bć także elementem naszego zbioru. W istocie, zbiór A = { } ma tę własność, że każd jego element jest też jego podzbiorem. Próbujem rozszerzć zbiór A do zbioru A 2 o dwóch elementach. Wiem, że A jest także podzbiorem A, więc zgadujem, że jeżeli rozszerzm A o element równ zbiorowi A, to otrzman zbiór będzie miał dwa element i będzie spełniał warunki zadania. W istocie, zbiór A 2 = A {A } = {, { }} spełnia żądania podane w treści zadania. Zadanie domowe Zadanie. Podać wszstkie element zbioru A, jeżeli. A = {a, {a, b}}; 2. A = {{a}}; 23

27 2. Element zbioru, podzbiór i równość zbiorów 2 ZBIORY 3. A = {{{a}}}; 4. A = {, { }}; 5. A = { R : 2 = 2}; 6. A = {n N : 2n 5 < n }; 7. A = {w Q : 4w 2 = }; 8. A = { R : 2 < 5}; Zadanie 2. Które z poniższch stwierdzeń są prawdziwe dla dowolnch A, B i C.. Jeżeli A B i B C, to A C. 2. Jeżeli A B i B C, to A C. 3. Jeżeli A B i B C, to A C. Zadanie 3. Udowodnić, że. A A; 2. jeżeli A B i B C, to A C.. Podać przkład zbioru trzelementowego, takiego, że każd jego element jest jego pod- Zadanie 4. zbiorem. 2. Podać przkład zbioru czteroelementowego, takiego, że każd jego element jest jego podzbiorem. Odpowiedzi do zadań domowch Odp... Element zbioru A to: a oraz {a, b}. 2. Jednm elementem zbioru A jest: {a}. 3. Jednm elementem zbioru A jest: {{a}}. 4. Element zbioru A to: i { }. 5. Element zbioru A to: 2 i Element zbioru A to: 0,, 2, Element zbioru A to: 3 2 i Elementami zbioru A są wszstkie liczb rzeczwiste z przedziału ( 3, 7). Odp. 2.. Nieprawdziwe. Wstarcz podać kontrprzkład. Np. weźm A =, B = { } i C = {{ }}. Wted A B i B C, ale A / C. 2. Prawdziwe. Ponieważ B C, więc dowoln element B jest też elementem C. Czli z tego, że A B wnika, że A C. 3. Nieprawdziwe. Wstarcz podać kontrprzkład. Np. weźm A = {}, B = {, 2} i C = {{, 2}}. Wted A B i B C, ale A / C. Odp

28 2.2 Działania na zbiorach 2 ZBIORY. Żeb udowodnić, że A A wstarcz pokazać, że dowoln A (czli należąc do zbioru po lewej stronie znaku ) spełnia warunek A (czli należ do zbioru po prawej stronie znaku. Co jest oczwiste. 2. Wstarcz pokazać, że jeżeli A, to C. Weźm dowoln A. Ponieważ (z pierwszego założenia podanego w zadaniu) A B, więc B. Ponieważ (z drugiego założenia podanego w zadaniu) B C, więc z tego, że B wnika, że C. Udało nam się pokazać, że z tego, że A wnika, że C. Czli A C. Odp. 4.. A 3 = A 2 {A 2 } = {, { }, {, { }}}; 2. A 4 = A 3 {A 3 } = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}}. 2.2 Działania na zbiorach Niech dan będzie ustalon zbiór X (nazwać będziem go dalej przestrzenią). Jeżeli p() jest formułą zdaniową o zakresie zmienności X, to zbiór A złożon z tch będącch elementami zbioru X, dla którch formuła p() jest prawdziwa oznaczm smbolem { X : p()}. Często użwana jest również notacja { : p()}. Graficzna interpretacja zbioru A = { X : p()} jest przedstawiona na rsunku obok. A X X A B Smbolem A B oznaczać będziem sumę zbiorów, czli zbiór tch elementów, które należą do zbioru A lub należą do zbioru B, inaczej pisząc { : A B}. Graficzna interpretacja sum zbiorów A i B jest przedstawiona na rsunku obok. 25

29 2.2 Działania na zbiorach 2 ZBIORY X Smbolem A B oznaczać będziem przekrój zbiorów, czli zbiór tch elementów, które należą do zbioru A i jednocześnie należą do zbioru B, inaczej pisząc { : A B}. Graficzna interpretacja przekroju zbiorów A i B jest przedstawiona na rsunku obok. A B X A B Smbolem A\B oznaczać będziem różnicę zbiorów, czli zbiór tch elementów, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B, inaczej pisząc { : A / B}. Graficzna interpretacja różnic zbiorów A i B jest przedstawiona na rsunku obok. X Smbolem A oznaczać będziem dopełnienie zbioru, czli zbiór tch elementów przestrzeni X, które nie należą do zbioru A, inaczej pisząc X \ A, lub A { : / A}. Graficzna interpretacja dopełnienia zbioru A jest przedstawiona na rsunku obok. Zadanie. Niech A = {, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, B = { 2,, 0,, 2, 3, 4, 5}. Wznaczć zbior A B, A B, A \ B, B \ A. Rozwiązanie. A B = { 2,, 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. A B = {, 2, 3, 4, 5}. A \ B = {6, 7, 8, 9}. 26

30 2.2 Działania na zbiorach 2 ZBIORY B \ A = { 2,,, 0}. Zadanie 2. Niech A = {,, {}}, B = {,, {{}}}. Wznaczć zbior A B, A B, A \ B, B \ A. Rozwiązanie. A B = {,, {}, {{}}}. A B = {}. A \ B = {{}}. B \ A = {{{}}}. Zadanie 3. Wznaczć zbior A B i B \A wiedząc, że A = { R : > 3} i B = { R : }. Rozwiązanie. Na początek wznaczam zbiór A. Ponieważ > 3 < 3 > 3, więc A = (, 3) (3, + ). Teraz wznaczam zbiór B. Ponieważ równanie = 0 ma dwa pierwiastki: = 2 i 2 = 5 więc Czli B = [2, 5]. Teraz możem już wznaczć przekrój i różnicę zbiorów: A B = (3, 5], B \ A = [2, 3]. Graficznie można to przedstawić w następując sposób: A B A B B \ A Zadanie 4. Dane są dwa zbior punktów płaszczzn OXY: A = {(, ) : + 2 2} i B = {(, ) : }. Znaleźć i narsować zbior A B, A B, A \ B i B \ A. Rozwiązanie. 27

31 2.2 Działania na zbiorach 2 ZBIORY Zbiór A, to zbiór punktów płaszczzn (, ), które leżą nad prostą o równaniu = 2, łącznie z tą prostą. Rsunek obok przedstawia ten zbiór A narsowan w układzie współrzędnch (zakreskowan liniami pionowmi). 2 = Zbiór B, to zbiór punktów płaszczzn (, ), które leżą pod parabolą o równaniu = 4 2 +, łącznie z tą parabolą. Rsunek obok przedstawia ten zbiór B narsowan w układzie współrzędnch (zakreskowan liniami poziommi). = Zbior A i B w jednm układzie współrzędnch. 28

32 2.2 Działania na zbiorach 2 ZBIORY Zbiór A B jest to zbiór tch punktów (, ), które należą do A lub należą do B. Rsunek obok przedstawia sumę zbiorów A i B narsowaną w układzie współrzędnch (szar obszar wraz z krawędziami). Zbiór A B jest to zbiór tch punktów (, ), które należą jednocześnie do A i B. Rsunek obok przedstawia przekrój zbiorów A i B narsowaną w układzie współrzędnch (szar obszar wraz z krawędziami). Zbiór A \ B jest to zbiór tch punktów (, ), które należą do A, ale nie należą do B. Rsunek obok przedstawia różnicę zbiorów A i B narsowaną w układzie współrzędnch (szar obszar wraz z krawędziami szarmi i bez krawędzi przerwanch). 29

33 2.2 Działania na zbiorach 2 ZBIORY Zbiór B \ A jest to zbiór tch punktów (, ), które należą do B, ale nie należą do A. Rsunek obok przedstawia różnicę zbiorów B i A narsowaną w układzie współrzędnch (szar obszar wraz z krawędziami szarmi i bez krawędzi przerwanch). Zadanie 5. Wznaczć zbior liczb rzeczwistch A = { : < } i B = { : < 2}, następnie znaleźć zbiór C = (A B). Rozwiązanie. Wznaczam zbiór A. Ponieważ 2 + < ( )2 2 więc A = (, 0). Wznaczam zbiór B. Ponieważ więc B = ( 2, 2). Wznaczam zbiór C. < < 0 < 0 ( ) 2 < 0 < 0, < 2 2 < < 2, C = (A B) = R \ (A B) = R \ ( 2, 0) = (, 2] [0, + ). Graficznie można to przedstawić w następując sposób: A B A B (A B) Zadanie 6. Dane są zbior punktów płaszczzn A = {(, ) : i 2 + 8}, L m = {(, ) : + = m}, gdzie m jest dowolną liczbą rzeczwistą. Dla jakich m spełnion jest warunek A L m =? Rozwiązanie. Zauważm, że A L m = wted i tlko wted, gd układ równań i nierówności: = m 30

34 2.2 Działania na zbiorach 2 ZBIORY nie ma rozwiazań. Wgodniej jest sprawdzać zaprzeczenie tego warunku, czli kied układ równań ma rozwiązanie. Z ostatniej równości mam, że = m, skąd po podstawieniu do pierwszch dwóch nierówności otrzmujem układ { m m czli { m m czli { m m + 8 czli { 3m + 2 m + 8 czli 4m 20 skąd m 5. Po odwróceniu warunku otrzmujem rozwiązanie zadania: m > 5. Interpretacja graficzna rozwiązania jest następująca. Wznaczam przekrój zbiorów A = {(, ) : } (poziome kreski) i A 2 = {(, ) : 2 + 8} (pionowe kreski). Po rozwiązaniu układu równań { = = otrzmujem współrzędne punktu przecięcia się prostch ograniczającch obszar A i A 2 : (3, 2). Następnie szukam takiego m, że prosta + = m przechodzi przez punkt (3, 2). (Po podstawieniu za = 3 i = 2 otrzmujem m = 5). Prosta o wzorze + = m nie ma punktów wspólnch z obszarem A dla m > 5. = = 5 8 = Zadanie domowe Zadanie. Dane są zbior. A = {a, b, {c}, {c, d}} i B = {a, {a}, c, {c}}. 2. A = { Z : 2 < 5} i B = {n N : n jest liczbą parzstą}. Znaleźć zbior A B, A B, A \ B i B \ A. 3

35 2.2 Działania na zbiorach 2 ZBIORY Zadanie 2. Dane są zbior liczb rzeczwistch A = { : > 0} i B = { : < 0}. Znaleźć zbior A B i A B. Zadanie 3. Znaleźć zbior A B i B \ A wiedząc, że A i B są następującmi zbiorami liczb rzeczwistch A = { : + > 5}, B = { : 2 7 0}. Zadanie 4. Dane są dwa zbior punktów płaszczzn A = {(, ) : 2 2} i B = {(, ) : }. Znaleźć zbior A B, A B, A \ B i B \ A. Zadanie 5. Dane są dwa zbior punktów płaszczzn A = {(, ) : } i B = {(, ) : 2}. Narsować zbiór A B. Zadanie 6. Dane są dwa zbior punktów płaszczzn A = {(, ) : 2} i B = {(, ) : 2 }. Wznaczć zbior C = A B i D = (A B). Zadanie 7. Dane są trz zbior punktów płaszczzn A = {(, ) : 2 C = {(, ) : < }. Wznaczć zbiór A B C }, B = {(, ) : + }, Zadanie 8. Wznaczć zbior liczb rzeczwistch A = { : znaleźć zbiór C = (A B). < } i B = { : < 2}, następnie Zadanie 9. Dane są zbior punktów płaszczzn A = {(, ) : < 0}, L m = {(, ) : 2 = m}, gdzie m jest dowolną liczbą rzeczwistą. Dla jakich m spełnion jest warunek A L m =? Zadanie 0. Dane są zbior punktów płaszczzn A = {(, ) : }, L m = {(, ) : 2 = m}, gdzie m jest dowolną liczbą rzeczwistą. Dla jakich m spełnion jest warunek A L m =? Odpowiedzi do zadań domowch Odp... A B = {a, b, c, {a}, {c}, {c, d}}, A B = {a, {c}}, A \ B = {b, {c, d}}, B \ A = {{a}, c}. 2. A B = { 2,, 0,, 2, 4, 6, 8, 0,..., 2n,... }, A B = {0, 2}, A \ B = {4, 6,..., 2n,... }, B \ A = { 2,, }. Odp. 2. A = ( 3, 2) (3, + ); B = ( 4, ); A B = ( 3, 2); A B = ( 4, ) (3, + ). Odp. 3. A = (, 2) (3, ); B = (0, 7); A B = (3, 7); B \ A = (0, 3]. Odp

36 2.2 Działania na zbiorach 2 ZBIORY = Zbiór A, to zbiór punktów płaszczzn (, ), które leżą nad parabolą o równaniu = 2 2, łącznie z tą parabolą. Rsunek obok przedstawia ten zbiór A narsowan w układzie współrzędnch (zakreskowan liniami poziommi) Zbiór B, to zbiór punktów płaszczzn (, ), które leżą pod parabolą o równaniu = , łącznie z tą parabolą. Rsunek obok przedstawia ten zbiór B narsowan w układzie współrzędnch (zakreskowan liniami pionowmi). = Następn rsunek przedstawia oba zbior w jednm układzie współrzędnch

37 2.2 Działania na zbiorach 2 ZBIORY Rsunek obok przedstawia sumę zbiorów A i B narsowaną w układzie współrzędnch (szar obszar). 2 Rsunek obok przedstawia część wspólną zbiorów A i B narsowaną w układzie współrzędnch (szar obszar) Rsunek obok przedstawia różnicę zbiorów A i B narsowaną w układzie współrzędnch (szar obszar). 34

38 2.2 Działania na zbiorach 2 ZBIORY 2 Rsunek obok przedstawia różnicę zbiorów B i A narsowaną w układzie współrzędnch (szar obszar) Odp = Rsunek obok przedstawia zbiór A narsowan w układzie współrzędnch (zakreskowan liniami poziommi). Rsunek obok przedstawia zbiór B narsowan w układzie współrzędnch (zakreskowan liniami pionowmi) Na poniższm rsunku mam oba zbior w jednm układzie współrzędnch. 35

39 2.2 Działania na zbiorach 2 ZBIORY Rsunek obok przedstawia przekrój zbiorów A i B narsowan w układzie współrzędnch (szar obszar). Odp = 2 Rsunek obok przedstawia zbiór A narsowan w układzie współrzędnch (zakreskowan liniami poziommi). 36

40 2.2 Działania na zbiorach 2 ZBIORY = 2 Rsunek obok przedstawia zbiór B narsowan w układzie współrzędnch (zakreskowan liniami pionowmi) Zbior A i B w układzie współrzędnch. Część wspólna zbiorów A i B w układzie współrzędnch. 2 37

41 2.2 Działania na zbiorach 2 ZBIORY 2 Dopełnienie sum zbiorów A i B w układzie współrzędnch. Odp. 7. Rsunek obok przedstawia zbiór A narsowan w układzie współrzędnch (zakreskowan liniami poziommi) = 3 Rsunek obok przedstawia zbiór B narsowan w układzie współrzędnch (zakreskowan liniami pionowmi). = + 38

42 2.2 Działania na zbiorach 2 ZBIORY Rsunek obok przedstawia zbiór C narsowan w układzie współrzędnch (obszar zakropkowan). 5 5 = Rsunek obok przedstawia wszstkie trz zbior A, B i C w jednm układzie współrzędnch. Rsunek obok przedstawia przekrój zbiorów A, B i C (obszar szar). Odp. 8. A = (, 0), B = ( 2, 2), (A B) = (, 2] [0, + ). ( ] Odp. 9. m, Odp. 0. m (, 4). [ , + ). 39