Wykład 2b. Podstawowe zadania identyfikacji. Wybór optymalnego modelu
|
|
|
- Stanisław Sikorski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wkład b. odstawowe zadaia idetfikaci. Wbór optmalego model
2 Wiki: wioski i hipotez metod proektowaia metod zarządzaia algortm sterowaia metod diagostcze odiesieie wików do obiekt Efekt: owa wiedza owe obiekt procedr zarządzaia rządzeia sterące aparatra pomiarowo- -kotrola zawisko proces obiekt ekspermet wiki badacz Cel: pozaie proektowaie zarządzaie sterowaie diagostka itp. model doskoaleie (poprawa) model porówaie
3 3
4 Obiekt Idetfikaci Zaa charakterstka obiekt Obiekt w klasie modeli ie est zaa charakterstka obiekt Wbór Optmalego model omiar bez zakłóceń omiar z zakłóceiami Obiekt determiistcz Obiekt losow Wzaczeie parametrów charakterstki obiekt Estmaca parametrów charakterstki obiekt Wbór optmalego model problem determiistcz Wbór optmalego model problem probabilistcz 4
5 D e t e r m i i s t c z L o s o w Obiekt w klasie modeli U w w Metod: amieszch kwadratów Maksmale wiarogodości Baes a m F F( ) F U df U U F U W Wbór optmalego model f Obiekt idetfikaci f eła iformaca Regresa I rodza Regresa II rodza ( ) iepeła iformaca Estmaca wskaźika akości Estmaca parametrów rozkład Estmaca rozkład 5 mi Model est optmal: dla zadae serii pomiarowe przętego model przętego wskaźika akości idetfikaci f U f U
6 Obiekt idetfikaci Model Wskaźik akości idetfikaci 6
7 Obiekt idetfikaci Model Wskaźik akości idetfikaci 7
8 Sformłowaie problem 8
9 Sformłowaie problem Carakterstka statcza obiekt: F zaa fkca wektor weść wektor wść U R S R L F Fkca aproksmąca (model): ( ) arbitralie zadaa fkca wektor wść model wektor parametrów model U R R R D U podzbiór przestrzei weść przestrzeń weść przestrzeń wść g L - fkca wagi 9
10 Sformłowaie problem Miara różic pomiędz wartością fkci aproksmowae i aproksmące w pkcie : D q qf L q l l L ( l) ( l) gdzie p.: q ( l) ( l) wmiarowe wście L q F q F edowmiarowe wście ( L )
11 Sformłowaie problem Wskaźik akości aproksmaci miara różic pomiędz fkcą Aproksmowaą i aproksmącą ( ) w obszarze F D F D qf g d p. : D F g d D
12 Sformłowaie problem Wskaźik akości aproksmaci miara różic pomiędz fkcą Aproksmowaą i aproksmącą ( ) w obszarze F D F D maxq F g p.: D max F g D
13 Sformłowaie problem Optmal model: ( ) gdzie: optmal wektor parametrów model: mi 3
14 Model: R df gdzie p. : R Wskaźik akości aproksmaci: d g F D d g F D czli: 4 R df
15 Warek koiecz optmalości wektora : grad R d g F D Rozwiązaie powższego rówaia est astępące: d g F d g D D R R 5
16 Zaważm że w rozwiązai wstępe macierz: d g d g d g d g d g d g d g d g d g d g R R R R R R D D D D D D D D D D 6
17 Jeżeli wbierzem fkce i ortoormale czli takie że: D Wówczas macierz : i g d i R for for i i g I d D i algortm aproksmaci praszcza się do postaci: est macierzą edostkową D F g d 7
18 Charakterstka statcza obiekt (fkca aproksmowaa: F Model (fkca aproksmąca): () () odzbiór przestrzei weść (odciek): Fkca wagi: D R : g for for gdzie: () ( ) g d Wskaźik akości aproksmaci: F D 8
19 Wskaźik akości aproksmaci przme postać: () () g d d F D grad Warek koiecz optmalości est astępąc: () () d a rozwiązaie ma postać: d d d d 3 d d 3 4 d d 9
20 () () d d d d d d d d d d d d d d o prostch przekształceiach otrzmem:
21 Model optmal:..3 Iterpretaca graficza:
22 Obiekt idetfikaci
23 Sformłowaie problem Ekspermet: U Fkca aproksmąca (model): ( ) Miara różic pomiędz wartością zmierzoą wścia obiekt i wartością wzaczoą z model dla te same wartości weścia t. dla każdego pomiar: q q 3
24 Sformłowaie problem Wskaźik akości idetfikaci U gdzie: df q q p. : 4
25 Sformłowaie problem Wskaźik akości idetfikaci U gdzie: df max max q q max max p. : 5
26 Sformłowaie problem Model optmal: ( ) Obiekt idetfikaci mi Model est optmal: dla zadae serii pomiarowe przętego model przętego wskaźika akości idetfikaci 6
27 Ekspermet: U () () Model: gdzie () () Wskaźik akości idetfikaci: 7
28 grad Warki koiecze optmalości maą postać Rozwiązaie powższego rówaia przme postać: () () a po przekształceiach: 8
29 Wektor parametrów wzaczam a podstawie pomiarów oawia się ow + pomiar Jak wzaczć (poprawić) parametr korzstaąc z owego pomiar? 9 A ` `
30 rzdate przekształceia algebraicze: CA B CA B D A A C BD A B D C wektor kolmow A A A A A D A A A A A
31 Ozaczm przez: iech: owższe przme postać:
32 gdzie: K K
33 odsmowąc otrzmem astępąc algortm K K A gdzie:
34 34
35 35
36 Σ κ S S S s s s Φ fkca aktwaci 36
37 dla dla erceptro Φ(κ) κ Φ(κ) Adalie Adaptive Liear ero κ e e tah ero sigmoidal e 37
38 38 U ero Adalie (Adaptive Liear ero) κ S s s s Uczeie: S S o ż bło lb rekrecie
39 39 U ero Adalie (Adaptive Liear ero) κ S s s s Uczeie: S S o ż bło lb rekrecie
40 4 K K A
41 4 U odobie ak ero Adalie (Adaptive Liear ero) κ S s s s Uczeie: S S ` o ż bło lb rekrecie - wzaemie edozacza
42 4 K K A
43 43 mercza metoda optmalizaci (to będzie) mi η - współczik czeia ero adalie
44 44 mercza metoda optmalizaci (to będzie) mi η - współczik czeia ϕ fkca aktwaci różiczkowala
45 45
46 46 i s i I s s i i i s i I s s i i i s i I s s i i i s i I s s i i I df I df I i i i i. i i i
47 47 df I I I. df I I I I I I I. J.. 3 J. J J J J df df Φ Φ Φ Φ L J J J J I J J J L J. df J
48 L L l l l Φ Φ Φ s i s ~ s i i i s ~ l s ~ s i i s i l s ~ s i i s df l l l l l Φ l L I J i I J J i df i I ~ p p i p dla dla J J J i d ( i df i ) i i d s ~ i s i I df s i s s. i i ~ s ~ s i s i i s I J i I J J. 48
49 49
50 Obiekt Idetfikaci Zaa charakterstka obiekt Obiekt w klasie modeli ie est zaa charakterstka obiekt Wbór Optmalego model omiar bez zakłóceń omiar z zakłóceiami Obiekt determiistcz Obiekt losow Wzaczeie parametrów charakterstki obiekt Estmaca parametrów charakterstki obiekt Wbór optmalego model problem determiistcz Wbór optmalego model problem probabilistcz 5
51 D e t e r m i i s t c z L o s o w Obiekt w klasie modeli U w w Metod: amieszch kwadratów Maksmale wiarogodości Baes a m F F( ) F U df U U F U W Wbór optmalego model f Obiekt idetfikaci f eła iformaca Regresa I rodza Regresa II rodza ( ) iepeła iformaca Estmaca wskaźika akości Estmaca parametrów rozkład Estmaca rozkład 5 mi Model est optmal: dla zadae serii pomiarowe przętego model przętego wskaźika akości idetfikaci f U f U
52 Są wartościami par zmiech losowch f f 5
53 Obiekt idetfikaci z losowo zmieą wielkością 53
54 Sformłowaie problem Charakterstka statcza obiekt idetfikaci : F f wartość zmiee losowe (losowo zmiea wielkość w obiekcie) - fkca gęstości rozkład prawdopodobieństwa zmiee losowe L R F wartość zmiee losowe przekształceie zmiee losowe fkca wzaemie edozacza względem a zatem istiee fkca odwrota : F 54
55 Warkowa gęstość rozkład prawdopodobieństwa zmiee losowe pod warkiem że zmiea losowa : gdzie f ( ) J F f F F ( ) JF ( ) wartość zmiee losowe o gęstości rozkład prawdopodobieństwa ( ) Weście i wście są wartościami par zmiech losowch f S U R R L 55
56 Są wartościami par zmiech losowch f f 56
57 Dwa możliwe przpadki eła iformaca probabilistcza łącza gęstość rozkład prawdopodobieństwa f par zmiech losowch lb warkowa gęstość rozkład prawdopodobieństwa i brzegowa są zae f f iepeła iformaca probabilistcza łącza gęstość rozkład prawdopodobieństwa par zmiech losowch istiee ale ie est zaa W zamia dspoem pomiarami: które są wartościami par zmiech losowch 57
58 Model: f ( ) f ( ) f - szkam fkci - est zae Wskaźik akości: E q q U Model optmal: mi Obiekt idetfikaci f d d ( ) 58
59 Dla staloego E E q q warkowa wartość oczekiwaa ma postać: ( ) E q U q Optmal model otrzmem: mi Dla : q( ) f d f d f d Wskaźik akości ma postać: E f d 59
60 Regresa I rodza E W wik miimalizaci powższego wskaźika względem otrzmem optmal model: f d ( ) E f d 6
61 rzkład regresa I rodza dla rozkład ormalego Łącza gęstość rozkład par zmiech losowch f LS gdzie : macierz kowariaci m exp m ma postać: m m m m - wartości oczekiwae zmiech losowch odpowiedio : i Warkowa fkca gęstości prawdopodobieństwa ma postać: f L exp m m 6
62 rzkład regresa I rodza dla rozkład ormalego f L exp m m Macierz kowariaci: Wartość oczekiwaa: m m m Optmal model: ( ) E m m m ( ) A b gdzie: A b m m 6
63 Model: ( ) - szkam wektora parametrów zadaa fkca U R S Wskaźik akości: E q wektora parametrów model q R L R mi U R f d d Optimal model: ( ) 63
64 Regresa II rodza Dla: q( ) U f d d mi f f ( ) 64
65 Cz est akaś relaca pomiędz regresą I rodza i II rodza? Wskaźik akości: rzmąc: E ~? ~ U f d d ( ) ( ) oraz f ( ) f ( ) f ( ) U otrzmem: f f d d 65
66 U U U f f U U U f d f f f f d d d d d f d f f d f d d d 66
67 U U U f d f d f f f U U d f d f d d d 67
68 U f d d f U d mi f mi U d Regresa I rodza Fkca wagi Regresa II rodza est alepszm przbliżeiem regresi I rodza z fkcą wagi będącą gęstością rozkład prawdopodobieństwa weścia 68
69 Sformłowaie problem 69
70 Relaca pomiędz regresą I rodza a regresą II rodza o Regresa II rodza est alepszm przbliżeiem regresi I rodza z fkcą wagi będącą gęstością rozkład prawdopodobieństwa weścia f f 7
71 Łącza gęstość rozkład prawdopodobieństwa par zmiech losowch istiee ale ie est zaa W zamia dspoem pomiarami: które są wartościami par zmiech losowch f f 7
72 Estmaca wskaźików akości Estmaca parametrów rozkład prawdopodobieństwa ieparametrcza estmaca gęstości rozkładów prawdopodobieństwa 7
73 Ekspermet: Dla staloego weścia: dokoem wielokrotego pomiar wścia. m W wik otrzmem: 'm' m M m gdzie: M liczba pomiarów wścia dla staloego weścia. liczba różch wartości weść m ' M liczba wszstkich pomiarów 73
74 Oszacowaie wskaźika akości: E q q f d dla M M mi M q M M M m m M M M 74
75 Dla q Wskaźik akości: dla staloego E Estimate of I tpe regressio: M M M m m m f d ( ) E M f d M m m 75
76 Oszacowaie wskaźika akości: lb q M m m q mi d d f E U 76
77 Estmaca parametrów gęstości rozkład prawdopodobieństwa arametr gęstości rozkład prawdopodobieństwa ie są zae f f f - kow fctio - ieza wektor parametrów A Fkca wiarogodości f L U 77
78 Oszacowaie: max L U L U U A d d f f q mi d d f f Regresa I rodza Wskaźik akości: Wskaźik akości: d d f q U mi 78
79 x zmiea losowa fkca gęstości rozkład prawdopodobieństwa istiee lecz ie est zaa. dim x= Obserwace: x x x X Estmator arzea : x f gdzie: przkład f x h x x; X h x h K x x lim h lim h K zaa fkca ądra taka że: x h c c f x x sp K xx x x K xdx K x dx lim K x X x X x x x 79
80 rzkład fkci ądra x dla x dla x K x x x e x K p p x x x K K x 8
81 Estmator arzea fkci gęstości rozkład prawdopodobieństwa par zmiech losowch : Estmator arzea fkci gęstości rozkład prawdopodobieństwa zmiee losowe : h K h K h U f S L ; S h K h U f ; 8
82 Estmator arzea fkci gęstości rozkład warkowego prawdopodobieństwa : f L h K h K h K h U f U f U f ; ; ; 8
83 Kosekwetie: Dla: d U f q U ; ; U U U U mi ; q L h K d h K h K h d U f U ; ; Regresa I rodza 83
84 Dla specale postaci fkci takie że mam: K K K L d h K h Wówczas regresa I rodza przme postać: h K h K U ; 84
85 Optimal model: d d U f q U U ; ; U U U ; mi ; h K h K h U f S L ; 85
86 D e t e r m i i s t c z L o s o w Obiekt w klasie modeli U w w Metod: amieszch kwadratów Maksmale wiarogodości Baes a m F F( ) F U df U U F U W Wbór optmalego model f Obiekt idetfikaci f eła iformaca Regresa I rodza Regresa II rodza ( ) iepeła iformaca Estmaca wskaźika akości Estmaca parametrów rozkład Estmaca rozkład 86 mi Model est optmal: dla zadae serii pomiarowe przętego model przętego wskaźika akości idetfikaci f U f U
87 87
Estymacja przedziałowa
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.
Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,
θx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym,
Zadaie 1. Niech X 1,..., X 8 będzie próbą z rozkładu ormalego z wartością oczekiwaą θ i wariacją 1. Niezay parametr θ jest z kolei zmieą losową o rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją 1.
3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń
3 Wkład III: Waruki optmalości dla zadań bez ograiczeń Podae poiże waruki optmalości dla są uogólieiem powszechie zach waruków dla fukci ede zmiee (zerowaie się pierwsze pochode i lokala wpukłość) 3 Twierdzeie
Ćwiczenie 5 ITERACYJNY ALGORYTM LS. IDENTYFIKACJA OBIEKTÓW NIESTACJONARNYCH ALGORYTM Z WYKŁADNICZYM ZAPOMINANIEM.
Kompterowe Sstem Idetfikacji Laboratorim Ćwiczeie 5 IERACYJY ALGORY LS. IDEYFIKACJA OBIEKÓW IESACJOARYCH ALGORY Z WYKŁADICZY ZAPOIAIE. gr iż. Piotr Bros, bros@agh.ed.pl Kraków 26 Kompterowe Sstem Idetfikacji
będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,
Zadaie iech X, X,, X 6 będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), a Y, Y,, Y6 iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), gdzie, są iezaymi
PRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Niech θ - nieznany parametr rozkładu cechy X. Niech α będzie liczbą z przedziału (0, 1).
TATYTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 3 RZEDZIAŁY UFNOŚCI Niech θ - iezay parametr rozkład cechy. Niech będzie liczbą z przedział 0,. Jeśli istieją statystyki, U i U ; U U ; których rozkład zależy od θ oraz U θ
Niezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne
Wykład 4 Niezależość zmieych, fukcje i charakterystyki wektora losowego, cetrale twierdzeia graicze Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +
Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch
Wykład 4 Testy zgodności. dystrybuanta rozkładu populacji dystrybuanty rozkładów dwóch populacji rodzaj rozkładu wartości parametrów.
Wkład Test zgodności. Test zgodności służą do werikacji hipotez mówiącch, że a dstrbuanta rozkładu populacji ma określoną z gór postać unkcjną b dstrbuant rozkładów dwóch populacji nie różnią się w sposób
1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Prawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie. Wykoujemy rzuty symetryczą kością do gry do chwili uzyskaia drugiej szóstki. Niech Y ozacza zmieą losową rówą liczbie rzutów w których uzyskaliśmy ie wyiki iż szóstka a zmieą losową rówą liczbie
Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
Wynik pomiaru jako zmienna losowa
Wynik pomiaru jako zmienna losowa Wynik pomiaru jako zmienna losowa Zmienne ciągłe i dyskretne Funkcja gęstości i dystrybuanta Wartość oczekiwana Momenty rozkładów Odchylenie standardowe Estymator zmiennej
Estymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Komputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 9 7.04.09 dr inż. Łukasz Graczykowski lukasz.graczykowski@pw.edu.pl Semestr letni 08/09 Metoda największej wiarygodności ierównosć informacyjna Metoda
16 Przedziały ufności
16 Przedziały ufości zapis wyiku pomiaru: sugeruje, że rozkład błędów jest symetryczy; θ ± u(θ) iterpretacja statystycza przedziału [θ u(θ), θ + u(θ)] zależy od rozkładu błędów: P (Θ [θ u(θ), θ + u(θ)])
3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Zmienne losowe typu ciągłego. Parametry zmiennych losowych. Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład III)
Zmienne losowe tpu ciągłego. Parametr zmiennch losowch. Izolda Gorgol wciąg z prezentacji (wkład III) Zmienna losowa tpu ciągłego Zmienna losowa X o ciągłej dstrbuancie F nazwa się zmienną losową tpu ciągłego,
L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 4 ZADANIA - ZESTAW 4
ZADANIA - ZESTAW 4 Zadanie 4. 0-0,4 c 0 0, 0, Wznacz c. Wznacz rozkład brzegowe. Cz, są niezależne? (odp. c = 0,3 Zadanie 4.- 0-0,4 0,3 0 0, 0, Wznaczć macierz kowariancji i korelacji. Cz, są skorelowane?
Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Wykład 2. Metoda systemowa. Procesy i ich znaczenie w systemach. Charakterystyka, modelowanie i identyfikacja procesów.
Wkład. Metoda ssteowa. Proces i ich zaczeie w ssteach. Charakterstka, odelowaie i idetfikacja procesów. Aaliza ssteowa zbiór etod i techik wspoagającch aalizę, projektowaie, zarządzaie i sterowaie w złożoch
Na A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n)
MODELE STATYSTYCZNE Punktem wyjścia w rozumowaniu statystycznym jest zmienna losowa (cecha) X i jej obserwacje opisujące wyniki doświadczeń bądź pomiarów. Zbiór wartości zmiennej losowej X (zbiór wartości
Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 4 - wykład nr 3. Metody obliczeniowe. wykład nr 3. interpolacja i aproksymacja funkcji model regresji
Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Metod obliczeiowe wkład r 3 iterpolacja i aproksmacja fkcji model regresji Jeśli i = f( i )(i=,,) dla pewej fkcji f() to mówim iż fkcja g() iterpolje
Ocena dopasowania modelu do danych empirycznych
Ocea dopasowaia modelu do dach empirczch Po oszacowaiu parametrów modelu ależ zbadać, cz zbudowa model dobrze opisuje badae zależości. Jeśli okaże się, że rozbieżość międz otrzmam modelem a dami empirczmi
Wykład 5. Podstawowe zadania identyfikacji
kład 5. Podstaoe adaia idetikacji Model jest proscoą repreetacją sstem casie i prestrei storoą amiare romieia acoaia sstem recistego Zesta róań opisjącc bada proces o Zależości statce o łasości damice
Wykład 2a. Podstawowe zadania identyfikacji. Obiekt w klasie modeli
kład a. Podstaoe adaia idetikacji. Obiekt klasie modeli Model jest proscoą repreetacją sstem casie i prestrei storoą amiare romieia acoaia sstem recistego Zesta róań opisjącc bada proces o Zależości statce
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Wokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
Komputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 9 27.04.2018 dr inż. Łukasz Graczykowski lukasz.graczykowski@pw.edu.pl Semestr letni 2017/2018 Metoda największej wiarygodności ierównosć informacyjna
1 Zmienne losowe. Własności dystrybuanty F (x) = P (X < x): F1. 0 F (x) 1 dla każdego x R, F2. lim F (x) = 0 oraz lim F (x) = 1,
1 Zmiee loowe Właości dytrybuaty F x = X < x: F1. 0 F x 1 dla każdego x R, F2. lim F x = 0 oraz lim F x = 1, x x + F3. F jet fukcją iemalejącą, F4. lim x x 0 F x = F x 0 dla każdego x R, F5. a X < b =
Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania
Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Antoni Kościelski Funkcje dwóch zmiennch i podstawianie Dla funkcji dwóch zmiennch zachodzi następując wzór na całkowanie przez podstawianie: f(x(a, b), (a,
Estymacja: Punktowa (ocena, błędy szacunku) Przedziałowa (przedział ufności)
IV. Estymacja parametrów Estymacja: Puktowa (ocea, błędy szacuku Przedziałowa (przedział ufości Załóżmy, że rozkład zmieej losowej X w populacji geeralej jest opisay dystrybuatą F(x;α, gdzie α jest iezaym
Statystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematycza Aa Jaicka wykład XIII, 30.05.06 STATYSTYKA BAYESOWSKA Pla a dzisiaj. Statystyka Bayesowska rozkłady a priori i a posteriori estymacja Bayesowska: Bayesowski Estymator Największej
Wykład 2. Metoda systemowa. Procesy i ich znaczenie w systemach. Charakterystyka, modelowanie i identyfikacja procesów.
Wkład. Metoda ssteowa. Proces i ich zaczeie w ssteach. Charakterstka odelowaie i idetfikacja procesów. Aaliza ssteowa zbiór etod i techik wspoagającch aalizę projektowaie zarządzaie i sterowaie w złożoch
Weryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Lista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
![Lista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym](/thumbs/101/149835017.jpg "Lista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym")
Lista 5 Zadaia a zastosowaie ierówosci Markowa i Czebyszewa. Zadaie 1. Niech zmiea losowa X ma rozkład jedostajy a odciku [0, 1]. Korzystając z ierówości Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo, że
Statystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematycza Aa Jaicka wykład XIV, 06.06.06 STATYSTYKA BAYESOWSKA CD. Pla a dzisiaj. Statystyka Bayesowska rozkłady a priori i a posteriori estymacja Bayesowska: Bayesowski Estymator Największej
Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
opisać wielowymiarową funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x 1 , x xn
ROZKŁAD PRAWDOPODBIEŃSTWA WIELU ZMIENNYCH LOSOWYCH W przpadku gd mam do czea z zmem losowm możem prawdopodobeństwo, ż przjmą oe wartośc,,, opsać welowmarową fukcją rozkładu gęstośc prawdopodobeństwa f(,,,.
HISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N =
HISTOGRAM W pewnych przypadkach interesuje nas nie tylko określenie prawdziwej wartości mierzonej wielkości, ale także zbadanie całego rozkład prawdopodobieństwa wyników pomiarów. W takim przypadku wyniki
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
PROGNOZOWANIE. Ćwiczenia 3. tel.: (061)
Ćwiczeia 3 mgr iż.. Mara Krueger mara.krueger@edu.wsl.com.pl mara.krueger@ilim.poza.pl el.: (06 850 49 57 Meod progozowaia krókoermiowego sał poziom red sezoowość Y Y Y Czas Czas Czas Model aiw Modele
Lista 6. Estymacja punktowa
Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?
POLITECHNIKA OPOLSKA
POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia
Rozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormal (Gaussa Wprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowch. Rozważm pomiar wielości, tór jest zaburza przez losowch efetów o wielości ε ażd, zarówo zaiżającch ja i zawżającch
Testowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15
Testowaie hipotez ZałoŜeia będące przedmiotem weryfikacji azywamy hipotezami statystyczymi. KaŜde przypuszczeie ma swoją alteratywę. Jeśli postawimy hipotezę, Ŝe średica pia jedoroczych drzew owej odmiay
Kurs Prawdopodobieństwo Wzory
Kurs Prawdoodobieństwo Wzory Elemety kombiatoryki Klasycza deiicja rawdoodobieństwa gdzie: A - liczba zdarzeń srzyjających A - liczba wszystkich zdarzeń P A Tel. 603 088 74 Prawdoodobieństwo deiicja Kołmogorowa
Rozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormal (Gaussa Wprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowch. Rozważm pomiar wielości, tór jest zaburza przez losowch efetów o wielości ε ażd, zarówo zaiżającch ja i zawżającch
z przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie
Twierdzenia graniczne:
Twierdzeia graicze: Tw. ierówośd Markowa Jeżeli P(X > 0) = 1 oraz EX 0: P X k 1 k EX. Tw. ierówośd Czebyszewa Jeżeli EX = m i 0 < σ = D X 0: P( X m tσ) 1 t. 1. Z partii towaru o wadliwości
#09. Systemy o złożonej strukturze
#09 Systemy o złożonej strukturze system składa się z wielu elementów, obiekty (podsystemy) wchodzące w skład systemu są ze sobą połączone i wzajemnie od siebie zależne mogą wystąpić ograniczenia w dostępności
są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X
Prawdoodobieństwo i statystyka 5..008 r. Zadaie. Załóżmy że 3 są iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie Poissoa z wartością oczekiwaą λ rówą 0. Obliczyć v = var( 3 + + + 3 = 9). (A) v = 0 (B)
Materiały dydaktyczne. Matematyka. Semestr III. Ćwiczenia
Materiał ddaktcze Matematka Semestr III Ćwiczeia Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci CIII RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH RÓWNANIA JEDNORODNE Rówaia różiczkowe o
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK
0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek, 10-11, środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd
STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II
STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II 1. Pla laboratorium II rozkłady prawdopodobieństwa Rozkłady prawdopodobieństwa dwupuktowy, dwumiaowy, jedostajy, ormaly. Związki pomiędzy rozkładami prawdopodobieństw.
ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4
Agata Boratyńska Statystyka aktuariala... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4 1. Wygeeruj szkody dla polis z kolejych lat wg rozkładu P (N = 1) = 0, 1 P (N = 0) = 0, 9, gdzie N jest liczbą szkód z jedej polisy.
Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA
Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz
Prawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)
ANALIZA DANYCH DYSKRETNYCH
ZJAZD ESTYMACJA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oa oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej estymatorem,
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Trzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
SIMR 2017/18, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania
SIMR 7/8, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania. Dana jest gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej X : { a( x) dla x [, ] f(x) = dla pozostałych x Znaleźć: i) Wartość parametru
Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Warunkowa
Ćwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona
Ćwiczeie r 4 Porówaie doświadczalego rozkładu liczby zliczeń w zadaym przedziale czasu z rozkładem Poissoa Studeta obowiązuje zajomość: Podstawowych zagadień z rachuku prawdopodobieństwa, Zajomość rozkładów
χ 2 = + 2π 2 Niech zmienna losowa x ma rozkład normalnyn(x; µ,σ). Znajdziemy rozkład zmiennej: σ
χ Niech ziea losowa a rozkład oralyn(; µ,). Zajdziey rozkład zieej: µ Stadaryzjąc zieą losową µ otrzyjey stadaryzoway rozkład Gassa: ( ;, ) ep N 0 π Rozkład zieej a więc postać: d ( X + ) N N ep d π Rozważy
ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 8. ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE 1 Zbieżość ciągu zmieych losowych z prawdopodobieństwem 1 (prawie apewo) Ciąg zmieych losowych (X ) jest
Dolne oszacowania wartości rekordowych
Dole oszacowaia wartości rekordowych Agieszka Gorocy Uiwersytet Miko laja Koperika, Toruń Tomasz Rychlik Uiwersytet Miko laja Koperika, IM PAN, Toruń XXXV Koferecja Statystyka Matematycza, Wis la. 8 grudia
1 Układy równań liniowych
Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x 2 +... + a x =b, a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2 x =b
Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski
II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU Janusz Adamowski 1 1 Przestrzeń Hilberta Do opisu stanów kwantowych używamy przestrzeni Hilberta. Przestrzenią Hilberta H nazywamy przestrzeń wektorową
Podstawowe rozkłady zmiennych losowych typu dyskretnego
Podstawowe rozkłady zmieych losowych typu dyskretego. Zmiea losowa X ma rozkład jedopuktowy, skocetroway w pukcie x 0 (ozaczay przez δ(x 0 )), jeżeli P (X = x 0 ) =. EX = x 0, V arx = 0. e itx0.. Zmiea
Rozkłady wielu zmiennych
Rozkłady wielu zmiennych Uogólnienie pojęć na rozkład wielu zmiennych Dystrybuanta, gęstość prawdopodobieństwa, rozkład brzegowy, wartości średnie i odchylenia standardowe, momenty Notacja macierzowa Macierz
Wykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek, 10-11; środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd
Rozkład χ 2 = + 2π 2. Niech zmienna losowa x ma rozkład normalnyn(x; µ,σ). Znajdziemy rozkład zmiennej:
Rozkład χ Niech ziea losowa a rozkład oralyn(; µ,). Zajdziey rozkład zieej: µ Stadaryzjąc zieą losową µ otrzyjey stadaryzoway rozkład Gassa: ( ;, ) ep N 0 π Rozkład zieej a więc postać: d ( X + ) N N ep
Statystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa
Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych
Funkcja generująca rozkład (p-two)
Fucja geerująca rozład (p-wo Defiicja: Fucją geerującą rozład (prawdopodobieńswo (FGP dla zmieej losowej przyjmującej warości całowie ieujeme, azywamy: [ ] g E P Twierdzeie: (o jedozaczości Jeśli i są
Statystyka opisowa. (n m n m 1 ) h (n m n m 1 ) + (n m n m+1 ) 2 +1), gdy n jest parzyste
Statystyka opisowa Miary statystycze: 1. miary położeia a) średia z próby x = 1 x = 1 x = 1 x i - szereg wyliczający x i i - szereg rozdzielczy puktowy x i i - szereg rozdzielczy przedziałowy, gdzie x
1 Wykład 3 Generatory liczb losowych o dowolnych rozkładach.
Wykład 3 Generatory liczb losowych o dowolnych rozkładach.. Metoda odwracania Niech X oznacza zmienna losowa o dystrybuancie F. Oznaczmy F (t) = inf (x : t F (x)). Uwaga Zauważmy, że t [0, ] : F ( F (t)
Modele DSGE. Jerzy Mycielski. Maj Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj / 11
Modele DSGE Jerzy Mycielski Maj 2008 Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj 2008 1 / 11 Modele DSGE DSGE - Dynamiczne, stochastyczne modele równowagi ogólnej (Dynamic Stochastic General Equilibrium Model)
Rachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne
Rachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.0 Definicje Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola wstąpili do kasyna. (A) Bolek postawił na czerwone, (B)
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Wykład 5 Przedziały ufności. Przedział ufności, gdy znane jest σ. Opis słowny / 2
Wykład 5 Przedziały ufości Zwykle ie zamy parametrów populacji, p. Chcemy określić a ile dokładie y estymuje Kostruujemy przedział o środku y, i taki, że mamy 95% pewości, że zawiera o Nazywamy go 95%
Testowanie hipotez statystycznych.
Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie
Korelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12
Wykład Korelacja i regresja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Wykład 8. Badaie statystycze ze względu
Fundamentals of Biostatistics. Brooks/Cole CENGAGE Learning,
ernard Rosner Fundamentals of iostatistics rooks/cole CENGGE Learning, 2011 http://www.cengage.com/resource_uploads/downloads/0538733497_267933.pdf ntoni Lemańczyk UM oznań, oznan, 2008 Geoffry R. Norman
Podstawowe oznaczenia i wzory stosowane na wykładzie i laboratorium Część I: estymacja
Podstawowe ozaczeia i wzory stosowae a wykładzie i laboratorium Część I: estymacja 1 Ozaczeia Zmiee losowe (cechy) ozaczamy a wykładzie dużymi literami z końca alfabetu. Próby proste odpowiadającymi im
x x 1. Przedmiot identyfikacji System x (1) x (2) : x (s) a 1 a 2 : a s mierzone, a = zestaw współczynników konkretyzujacych F ()
. Przedmiot identyfikacji System () x (2) x * a z y ( s ) x y = F (x,z)=f(x,z,a ),gdziex = F () znane, a nieznane x () x (2) x (s) mierzone, a = a a 2 a s zestaw współczynników konkretyzujacych F () informacja
Ćwiczenie 2 ESTYMACJA STATYSTYCZNA
Ćwiczeie ETYMACJA TATYTYCZNA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład
oznaczają łączne wartości szkód odpowiednio dla k-tego kontraktu w t-tym roku. O składnikach naszych zmiennych zakładamy, że:
Zadaie. Niech zmiee losowe: X t,k = μ + α k + β t + ε t,k, k =,2,, K oraz t =,2,, T, ozaczają łącze wartości szkód odpowiedio dla k-tego kotraktu w t-tym roku. O składikach aszych zmieych zakładamy, że:
Wykład 8: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne.
Rachuek prawopoobieństwa MA5 Wyział Elektroiki, rok aka 20/2, sem leti Wykłaowca: r hab A Jurlewicz Wykła 8: Zbieżość weług rozkłau Cetrale twierzeie graicze Zbieżości ciągu zmieych losowych weług rozkłau
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD października 2009
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 26 października 2009 Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ (X µ) 2 { (x µ) 2 exp 1 ( ) } x µ 2 dx 2 σ Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ
A.Z. Górski, S. Drożdż, J. Kwapień, P. Oświęcimka. Zakład Teorii Systemów Złożonych, Instytut Fizyki Jądrowej PAN, Kraków
COMPLEXITY CHARACTERISTICS OF CURRENCY NETWORKS A.Z. Górski, S. Drożdż, J. Kwapień, P. Oświęcimka Zakład Teorii Sstemów Złożoch, Isttut Fizki Jądrowej PAN, Kraków Układ o wielkiej złożoości moża przedstawiać
Komputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 3 11.03.2016 dr inż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Wykłady z poprzednich lat (dr inż. H. Zbroszczyk): http://www.if.pw.edu.pl/~gos/student
2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27
SYGNAŁY STOCHASTYCZNE Przestrzeń probabilistyczna i zmienna losowa Definicja Przestrzenią probabilistyczną (doświadczeniem) nazywamy trójkę uporządkowaną (E, B, P ), gdzie: E przestrzeń zdarzeń elementarnych;