Przegląd wybranych testów

Transkrypt

1 Statystya Wyład 7 Adam Ćmel A3-A4 3a cmel@agh.edu.pl Przegląd wybraych testów Testy dotyczące wartośc oczewae w rozładze ormalym problem testowaa rówośc średch w dwóch zależych populacach o rozładze ormalym. Model. Nech X(X,...,X ) będze próbą prostą z rozładu N(m,σ ) przy czym σ est zae. Testuemy hpotezę. H a : m m wobec alteratywy H a : m<m. H b : m m wobec alteratywy H b : m>m 3. H c : mm wobec alteratywy H c : m m Statystyą testową est X m T( X ), σ m m σ tóra przy ustaloym m ma rozład N(,). Zbór rytyczy (odrzucea H ) C a pozome α ostruuemy astępuąco:. C X : T( X ) u } dla alteratywy H a : m<m { α. C X : T( X ) u } dla alteratywy H b : m>m { α 3. C { X : T ( X ) u } dla alteratywy H c : m m α gdze u α est watylem rzędu α rozładu N(,) Uwaga. W przypadu test est edostae amoceszy. W przypadu 3 test est edostae amoceszy w lase testów eobcążoych. Test edostae amoceszy w tym przypadu e stee. Model. Nech X(X,...,X ) będze próbą prostą z rozładu N(m,σ ) przy czym σ est ezae. Testuemy hpotezę. H a : m m wobec alteratywy H a : m<m. H b : m m wobec alteratywy H b : m>m 3. H c : mm wobec alteratywy H c : m m Statystyą testową est

2 Statystya Wyład 7 Adam Ćmel A3-A4 3a cmel@agh.edu.pl X m T ( X ) S, (gdze X X, S ( X X ), tóra przy prawdzwośc H ma ecetraly rozład t-studeta o - stopach swobody parametrze ecetralośc m m σ (czyl t λ ). Zbór λ, rytyczy (odrzucea H ) C a pozome α ostruuemy astępuąco:. C X : T( X ) u } dla alteratywy H a : m<m { α. C X : T( X ) u } dla alteratywy H b : m>m { α 3. C { X : T ( X ) u } dla alteratywy H c : m m α gdze u α est watylem rzędu α rozładu cetralego t Studeta t -. Uwaga. W przypadu test est edostae amoceszy. W przypadu 3 test est edostae amoceszy w lase testów eobcążoych. Test edostae amoceszy w tym przypadu e stee. la >3 rozład t-studeta aprosymuemy rozładem ormalym N(,). Powyższe testy mogą być użyte do porówywaa wartośc oczewaych w dwóch próbach zależych o rozładze ormalym. Nech (X,Y ),...,(X,Y ) będze próbą prostą z dwuwymarowego rozładu ormalego m x Vx C xy N (, ). Chcemy testować hpotezę m y C yx V y H : m x m y przecwo alteratywe H : m x m y Z powyższym problemem mamy do czyea, gdy dla tego samego paceta reestruemy dwa pomary pewe welośc przed po zażycu leu. efuąc zmeą ZY-X, tórą możemy terpretować ao poprawę spowodowaą zażycem leu dostaemy próbę prostą (Z,...,Z ) z rozładu N(m z,σ ), gdze V C x xy m z m y - m x [ ] σ yx C V y problem sprowadza sę do testowaa hpotezy H : m z wobec alteratywy H : m z (lub m z >

3 Statystya Wyład 7 Adam Ćmel A3-A4 3a cmel@agh.edu.pl Testowae rówośc średch rozładze ormalym. w dwóch ezależych populacach o Nech X(X,...,X ) Y(Y,...,Y m ) będą ezależym próbam prostym z rozładów N(m y,σ ) odpowedo. Nezaa waraca σ est taa sama w obu rozładach. Testuemy hpotezę N(m x,σ ) H : m x m y wobec ede z alteratyw H a : m x <m y, H b : m x >m y,, H c : m x m y Statystyą testową est m( m ) X Y T( X, Y), m ( Y Y) m ( X X ) tóra przy prawdzwośc H ma rozład t-studeta o m- stopach swobody (czyl t m- ). Zbór rytyczy (odrzucea H ) C a pozome α ostruuemy astępuąco:. C X : T( X ) u } dla alteratywy H a : m x <m y { α. C X : T( X ) u } dla alteratywy H b : m x >m y { α 3. C { X : T ( X ) u } dla alteratywy H c : m x m y α gdze u α est watylem rzędu α rozładu t m-. Uwaga. W przypadu test est edostae amoceszy. W przypadu 3 test est edostae amoceszy w lase testów eobcążoych. Test edostae amoceszy w tym przypadu e stee. la >3 rozład t-studeta aprosymuemy rozładem ormalym N(,). Neparametrycze odpowed powyższych model testowaa hpotez -testy Wlcoxoa Maa-Whteya. Rozważmy eszcze raz problem porówywaa dwóch prób zależych. Nech (X,Y ),..., (X,Y ) będze próbą prostą z pewego dwuwymarowego rozładu cągłego. Sytuaca taa odpowada p. pomarow pewe zmee dla tych samych edoste esperymetalych przed po zastosowau terap. efuąc zmeą ZY-X, tórą możemy terpretować ao poprawę spowodowaą terapą, dostaemy próbę prostą (Z,...,Z ) z pewego rozładu cągłego. Jeśl terapa est esutecza, czyl zmee X Y maą ta sam rozład, to zmea Z ma rozład symetryczy woół. Ozacza to że zmee Z (poprawa) Z (pogorszee) maą ta sam rozład. Ozaczaąc przez F Z (t) dystrybuatę zmee Z wdać, że F -Z (t)p(-z t)-p(-z>t)-p(z<-t)-f Z (-t). Warue symetryczośc (woół ) rozładu zmee Z przybera postać F Z (t)f Z (-t) dla ażdego t R. Jeżel sutem terap est przesuęce rozładu, to zmea Z ma dystrybuatę F(t-θ) gdze F est ezaą dystrybuata rozładu symetryczego względem a θ ezaym parametrem przesuęca. Testowae suteczośc terap sprowadza sę do testowaa hpotezy o parametrze przesuęca θ. 3

4 Statystya Wyład 7 Adam Ćmel A3-A4 3a cmel@agh.edu.pl Nech Z,...,Z będze próbą prostą z pewego rozładu F(z-θ) gdze F est cągłą dystrybuatą rozładu symetryczego. Jest o oczywśce eparametrycza rodza rozładów. Parametrem est para (F, θ) sym R ( sym est zborem symetryczych absolute cągłych dystrybuat a R. Testuemy hpotezę H : θ (terapa est esutecza) wobec ede z alteratyw H a : θ< albo H b : θ> albo H c : θ. ystrybuata F est w tym przypadu parametrem załócaącym. Problem testowaa est ' ezmeczy względem grupy wszystch trasformac z f ( ),,..., tach, że f est cągła, z eparzysta ścśle rosąca. Trasformace powyższe zachowuą za obserwac porząde bezwzględych wartośc obserwac. Ozaczmy przez R raga Z wśród Z,..., Z Moża poazać (Lehma), że masymalym ezmeem est zbór rag R,..., R. Reduca przez statysty dostatecze zastosowaa do masymalego ezmea prowadz do rag R,..., R, odpowadaących dodatm obserwacom Z,...,Z ( tórych est ). Statystya oparta a tym ezmeu ma rozład ezależy od dystrybuaty F sym. Statystyą testową est statystya Wlcoxoa W R Przy prawdzwośc H ( ( W ) R 4 ) ( )( ) E ( W ) 4 V. W zależośc od hpotezy alteratywe obszar rytyczy ostruuemy lewostroy prawostroy, obustroy. Rozład statysty W est stablcoway (Zelńs R, Zelńs W., Tablce statystycze) la >6 stosuemy aprosymacę gaussowsą Statystya W ( ) 4 ( )( ) 4 ma dla >6 w przyblżeu rozład N(,). Test Maa-Whteya-Wlcoxoa est eparametryczym odpowedem testu t Studeta dla grup ezależych Nech X,...,X m oraz Y,...,Y będą dwema ezależym próbam prostym z rozładów o dystrybuatach F(x- m x ) F(y- m y ) gdze F est pewą ezaą dystrybuatą ze zboru acg absolute 4

5 Statystya Wyład 7 Adam Ćmel A3-A4 3a cmel@agh.edu.pl cągłych dystrybuat a R. Mamy tu do czyea z rodzą rozładów parametryzowaą parametrem (F,m x,m y ) czyl z eparametrycza rodzą rozładów. Testuemy hpotezę H : m x m y wobec ede z alteratyw H a : m x <m y albo H b : m x >m y albo H c : m x m y ' x ' y Powyższy problem est ezmeczy względem grupy trasformac x f ( ), y f ( ) ( (,...,m,,...,) gdze f est cągłą ścśle rosącą becą zboru R a sebe. Nech R,...,R m oraz S,...,S będą ragam (oleym umeram) odpowedo obserwac X,...,X m oraz Y,...,Y w te połączoe próbe. Masymalym ezmeem est zbór rag R,...,R m, S,...,S. Reduca przed statysty dostatecze masymalego ezmea prowadz do rag S,...,S (czyl do rag Y-ów) Statystyą testową est statystya Maa-Whteya-Wlcoxoa (MWW), tóra dla testowaa H : m x m y przecwo H a : m x <m y albo H b : m x >m y ma postać W S ((czyl suma rag Y-ów) uże wartośc W śwadczą przecwo H a rzecz H a : m x <m y a małe a rzecz H b : m x >m y. Z ole duże wartośc statysty S R śwadczą przecwo H a orzyść H c : m x m y. m Zae są rozłady statysty testowych dla małych m (tóre e zależą od F).(zobacz ZelńsR. Sedem wyładów...)) aprosymaca (twerdzee Hoeffdga) ormala dla dużych m. W Statystya ( m ) m( m ) ma rozład zbeży do rozładu N(,), gdy m(m,). Aprosymaca ta est wystarczaąco dołada dla m(m,) 4 m (Plucńsa) Test zgodośc Kołmogorowa Nech X(X,...,X ) będze próbą prostą z rozładu o cągłe dystrybuace F F c. Nech F F c będze ustaloą cągłą dystrybuatą. Testuemy hpotezę H : FF (hpoteza prosta) wobec ede z alteratyw H a : F<F albo H b : F>F albo H c : F F. Ozaczmy przez Fˆ dystrybuatę empryczą rozważmy astępuące statysty Kołmogorowa: sup( F ˆ ( x ) F ( x )), x sup ( F ( ) ˆ x F ( x)), x 5

6 Statystya Wyład 7 Adam Ćmel A3-A4 3a cmel@agh.edu.pl sup F ˆ ( x ) F ( x ). x Nech X, K, X ) będze wetorem statysty pozycyych (próbą uporządowaą). ( ( ) ( ) owodz sę, że max ( F ( X ( ) )), max ( F ( X ) ), max{, }. Przy ( ) prawdzwośc H rozłady statysty Kołmogorowa e zależą od F są zae. Zae są róweż rozłady gracze wyże wymeoych statysty. uże wartośc statysty śwadczą a orzyść H a (przecwo H ). Podobe duże statysty duże statysty śwadczą a orzyść H c (przecwo H ). śwadczą a orzyść H b (przecwo H ) a Jeżel F est dystrybuatą rozładu N(m,σ ), tórego parametry m σ e są zae lub dystrybuatą rozładu wyładczego E(λ) z ezaym parametrem λ, to dołady rozład statysty został wyzaczoy przez Llleforsa. Test Kolmogorowa Llleforsa może być węc użyty do testowaa hpotezy o ormalośc rozładu. Test zgodośc ch- wadrat Rozważmy esperymet, tóry może sę zaończyć edym z różych wyów A,...,A przy czym p P(A ) ; <p <,,..., ; p. Powtarzaąc esperymet w ezmeych waruach razy reestruemy lczośc poszczególych zdarzeń. Nech X ozacza lczbę zaobserwowaych zdarzeń A. Oczywśce! P ( X,..., X ) p... p ; p,!...!. Powyższy rozład welomaowy est uogóleem rozładu dwumaowego. Chcemy testować hpotezę przecwo H : ( p,..., p ) ( p,..., p ) (hpoteza prosta) H : ( p,..., p ) ( p,..., p ) (hpoteza złożoa) Pearso udowodł, że statystya ( p p ) ma graczy ( ) rozład χ Poeważ statystya Pearsoa est pewą marą odstępstw lczośc obserwowaych od oczewaych przy prawdzwośc H, "duże" wartośc statysty Pearsoa śwadczą przecwo hpoteze H. Wobec 6

7 Statystya Wyład 7 Adam Ćmel A3-A4 3a cmel@agh.edu.pl ( p ) tego H ależy odrzucć a pozome α, eżel p > χ ( α), gdze χ ( α) ozacza watyl rzędu -α rozładu χ. Testowae złożoe hpotezy zgodośc H : p,..., p ) ( p ( θ ),..., p ( )), gdze θ R s ; s<- przecwo H : H. ( θ Nech θˆ będze estymatorem awęsze warygodośc parametru θ. Ozaczmy p ˆ ( ˆ θ ) ;,...,. ( pˆ ) Wówczas statystya pˆ ma graczy rozład χ. s p alsza procedura est opą powyższe z edyą modyfacą dotyczącą lośc stop swobody graczego rozładu χ. s Test W Shapro-Wla Jest to powszeche uważay za "alepszy" uwersaly test ormalośc. Nech X(X,...,X ) będze próbą prostą z rozładu o cągłe dystrybuace F F c. Testuemy hpotezę H : F F, gdze F est dystrybuatą rozładu N(m,σ ), tórego parametry m σ e są zae, wobec alteratywy H : F F Ops ostruc testu omańs C., Statystycze testy eparametrycze, PWE W [ ] a ( X ( ) ( X X X ) ) ( ) Współczy a są tablcowae dla 5. la > 5 są dostępe programy omputerowe wylczaące te współczy 7