Przekształcenie Fouriera obrazów FFT

Transkrypt

1 Przekształcenie ouriera obrazów T 6 P. Strumiłło, M. Strzelecki

2 Przekształcenie ouriera ourier wymyślił sposób rozkładu szerokiej klasy funkcji (sygnałów) okresowych na składowe harmoniczne; taką reprezentację sygnału można uzyskać z odpowiednio ważonej sumy funkcji harmonicznych o różnych częstotliwościach f + j ω t e dω ( t) ( ω) odwrotna jωt e dt ( ω) f ( t) prosta transformata ouriera Joseph ourier (768-83)

3 Przekształcenie ouriera - przykład T π ω X(ω) / t czas ω ω częstotliwość ω X + jωt ( ω) cos( ω t) e dt ( δ ( ω ω ) + δ ( ω + ω )) 3

4 4 Przekształcenie ouriera - przykład ( ) > < T t, T t, t f T ( ) T j T t j e T sin A dt e A ω ω ω ω ω - π/t π/t T A AT t (ω)? ω

5 Przekształcenie ouriera - przykład x(t) T x(ω) π/t -T -T T T -4π/T -π/ T π/ T 4π/T t Szereg impulsów Diraca ω δ T + ( t) δ ( t kt ) ω s δ ( ω kω ) + ω s π T 5

6 Transformacja ouriera obrazów obraz monochromatyczny widmo ouriera obrazu 6

7 W jakim celu stosuje się transformacje obrazów?. Uzyskanie bardziej zwartego (oszczędnego) sposobu kodowania obrazów (ich kompresji, np. standard kompresji obrazów JPEG). Uwidocznienie cech obrazu niezauważalnych w dziedzinie przestrzennej, np. zakłóceń okresowych 3. Projektowanie filtrów obrazów w dziedzinie częstotliwości oraz realizacja szybkich metod filtracji obrazów 7

8 Transformacja ouriera obrazu. Detekcja cech obrazu w dziedzinie widma, np. zakłóceń okresowych 8

9 Transformacja ouriera obrazu ( u,v) f ( x, y) e j π ( ux+ vy ) dxdy prosta f ( x, y) ( u,v) e + j π ( ux+ vy ) dudv odwrotna 9

10 Widmo amplitudowe i fazowe transformaty obrazu [ ] ( ) ( ) ( ) u,v u,v e j arg u,v ( ) [ ( )] u,v Re u,v + Im[ ( u,v) ] arg [ ( u,v) ] arctan Im Re [ ( u,v) ] [ ( u,v) ]

11 Dyskretna transformacja ouriera obrazu ( u,v) f ( x, y) x y e j π ( ux+ vy )/ dla u,v,,..., f ( x, y) ( u,v) u v dla x, y,,..., e + jπ ( ux+ vy )/ Liczba działań, np. dla obrazu 5x5?

12 Przykład obliczeniowy dla funkcji jenowymiarowej f ( x) [ 3 4 4] 3 ( u) f ( x) x e jπux / θ e j cosθ + j sinθ jπ x / ( ) f ( x) e [ f ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( 3) ] 4 x 3 [ ] 3 4 ( )... ( 3+ j) ( )... ( ) ( 3)... ( 3 + j) 4 4 4

13 Przykład widma amplitudowego obrazu MIT

14 Przykłady widm obrazów T T 4

15 Detekcja zakłóceń harmonicznych 56 punktów MIT 64 okresy sinusoidy

16 Widmo fazowe obrazu arg [ ( u,v) ] MIT ( u,v) I { ( u,v) } 6

17 f(x,y) (64x64) (u,v) log(+ (u,v) ) 7

18 Podstawowe własności przekształcenia ouriera Rozłączność transformacji dwuwymiarowej: (,) (-) (,) (-) (,) (-) f(x,y) tr. wierszy (x,v) tr. kolumn (u,v) (-) (-) (-) Dwuwymiarową transformację ouriera można wyznaczyć obliczając transformacje jednowymiarowe, tj. przez wykonanie transformacji wierszy a następnie kolumn obrazu. 8

19 9 Rozłączność dwuwymiarowego przekształcenia ouriera ( ) / / /, ), ( ), ( ), ( x ux j vy j x y ux j e v x v u e y x f e v u π π π (x,v) vy ux j x y e y x f v u ) / ( ), ( ), ( + π

20 Przykład Obrazy T Widma amplitudowe

21 Przesunięcie w dziedzinie przestrzennej Obrazy T Widma amplitudowe ( x x, y y ) ( u,v) ( ux vy ) jπ + exp f

22 Transformata iloczynu i splotu I{f(x,y) g(x,y)} (u,v) G(u,v) I{f(x,y) g(x,y)} (u,v) G(u,v) Druga własność jest szczególnie przydatna w filtracji obrazów, jest ona również wykorzystywana w projektowaniu filtrów obrazu w dziedzinie widma.

23 f(α) α g(α) / α Splot funkcji ciągłych - przykład g(-α) g(x-α) f ( x) g( x) f ( α ) g( x α ) dα - / α - x / α f(α)g(x-α) f(α)g(x-α) f(x)*g(x) / x α / x α / 3 3 x

24 Splot dwuwymiarowych funkcji dyskretnych f(i,j), g(i,j) - funkcje dyskretne o okresie należy wydłużyć okres f(i,j) oraz g(i,j) do wartości M- w następujący sposób: f e ( i, j ) f ( i, j ) i, j i, j M g e ( i, j ) g( i, j ) i, j i, j M f M M e ( i, j ) ge( i, j ) fe( m,n )ge( i m, j n ) m n 4

25 f(α) α g(α) / α Korelacja funkcji ciągłych - przykład g(x+α) f(α)g(x+α) f ( x) o g( x) f + ( α ) g( x α ) dα / x α / x α f(α)g(x+α) f(x) g(x) / / x α x 5

26 Korelacja dwuwymiarowych funkcji dyskretnych f(i,j), g(i,j) - funkcje dyskretne o okresie (dokonuje się tu analogicznego wydłużenia okresu jak dla operacji splotu) f M M e ( i, j ) o ge( i, j ) fe( m,n )ge( i + m, j + n ) m n 6

27 Okresowość transformaty oraz symetria widma amplitudowego Dla transformaty (u,v) o wymiarze x są prawdziwe tożsamości: (u,v) (u+,v) (u,v+)(u+,v+) Jeżeli f(x,y) jest funkcją rzeczywistą, to zachodzi: ( u,v) ( u, v) oraz dla widma amplitudowego: ( u,v) ( u, v) 7

28 Okresowość transformaty ouriera f(x,y) f(x,y) f(x,y) f(x,y) f(x,y) f(x,y) Przyjmuje się, że obraz jest funkcją okresową o okresie (, ) f(x,y) f(x,y) f(x,y) 8

29 Przesunięcie dziedzinie widma f ( x, y) ( u x v y) jπ + exp ( u u,v v ) Własność ta jest nazywana również własnością (lub twierdzeniem) o modulacji. 9

30 Przesuniecie w dziedzinie widma (u) jeden okres widma Matlab: fftshift fftshift( (u) ) / / 3

31 Przesunięcie w dziedzinie widma f ( x, y) ( u x v y) jπ + exp ( u u,v v ) dla f ( x, y) f u v ( u x v y) jπ + exp,v ( ) [ ( )] ( )( ) x+ y x, y exp jπ x + y f x, y u 3

32 Przesunięcie w dziedzinie widma (,) (,-) (u,v) (-,) (-, -) (,) fftshift( (u,v) ) 3

33 Własność obrotu transformaty dwuwymiarowej θ θ 45 f(r, θ + θ ) (ω, φ + θ ) 33

34 Liniowość transformacji I{a f(x,y) + b g(x,y)} a (u,v) + b G(u,v) f(x,y) g(x,y) T f(x,y) g(x,y) T T 34

35 Twierdzenie o zmianie skali I{f(ax,by)} ab - (u/a, v/b) a,b R 35

36 Wartość średnia obrazu f f ( x, y) f ( x, y) (, ) f ( x, y) x x y y ( x, y) (, ) (,) 36

37 Rozdzielczość transformacji ouriera f fzeros(3,3); f(5:4,3:7); imshow(f,'notruesize') fft(f); %oblicz transformatę ouriera log(abs()+); %wyznacz widmo amplitudowe imshow(,[ 5],'notruesize'); 37

38 Dyskretna Transformacja ouriera unkcje bazowe 3-punktowej transformacji ouriera (składowa sinusoidalna)

39 Rozdzielczość transformacji ouriera f %zwiększenie rozdzielczości fzeros(3,3); f(5:4,3:7); fft(f,56,56); log(abs()+); imshow(fftshift(),[ 5],'notruesize'); 39

40 4 Szybka transformacja ouriera (ang. ast ourier Transform, T) Jeżeli n to jest liczbą parzystą daną w postaci *M. Można dla takich wykazać, że: M j M u M e nieparzyst parzyste u M e nieparzyst parzyste M x ux M e nieparzyst M x ux M parzyste e W M u W u u M u M u W u u u W x f M u W x f M u /,..., ], ) ( ) ( [ ) (,..., ], ) ( ) ( [ ) ( ) ( ) (, ) ( ) ( π + + +

41 akład obliczeń transformaty ouriera (T) log (T) Zysk /log ~4e

42 Transformacja ouriera obrazów Redukcja zakłóceń obrazu przeprowadzona w dziedzinie częstotliwości T IT 4

43 Transformacja kosinusowa ( u,v) f ( x, y) i πu + cos ( x ) πv( y ) + cos k dla: u,v,, K, Widmo ouriera funkcji rzeczywistej i symetrycznej posiada rzeczywiste współczynniki, tj. tylko współczynniki związane z kosinusowymi wyrazami szeregu ouriera oryginał 43

44 Transformacja kosinusowa unkcje bazowe przekształcenia kosinusowego o wymiarze 8x8 44

45 Transformacja kosinusowa (,) szybkie zanikanie współczynników obraz autumn transformata kosinusowa Standard kompresji obrazów JPEG wykorzystuje transformację kosinusową 45

46 Inne transformacje obrazów transformacja Karhunena-Loevego, zwana też transformacją PCA (ang. Principal Component Analysis) transformacja falkowa obrazu, wykorzystywana w nowym standardzie kompresji JPEG- eigenfaces AT&T Labs 46

47 Inne transformacje obrazów JPEG. bpp 8 bpp Wavelet. bpp Playboy Magazine JPEG- 47