Inżynieria Systemów Dynamicznych (5)

Transkrypt

1 Inżynieria Systemów Dynamicznych (5) Dokładność Piotr Jacek Suchomski Katedra Systemów Automatyki WETI, Politechnika Gdańska 2 grudnia 2010

2 O czym będziemy mówili? 1 DOKŁAD 2

3 Uchyb Podstawowy strukturalny schemat układu : G p (s) model obiektu G c (s) model sterownika (regulatora) r(t) wielkość zadana (referencyjna) c(t) wielkość sterowana Uchyb (uchyb systemowy): e(t) := r(t) c(t)

4 Uchybowe funkcje przenoszenia E(s) = R(s) C(s) U(s) = G c (s)e(s) C(s) = G p (s)u(s). C(s) = G p (s)g c (s)e(s) C(s) = E(s) = = G c (s)g p (s)(r(s) C(s)). G c(s)g p (s) 1 + G c (s)g p (s) R(s) G c (s)g p (s) R(s).

5 Uchybowe funkcje przenoszenia Sygnałowa funkcja przenoszenia G cr (s) := C(s) R(s) = Uchybowa funkcja przenoszenia G c(s)g p (s) 1 + G c (s)g p (s) G er (s) := E(s) R(s) = G c (s)g p (s). G rc (s) + G re (s) = 1

6 Uchybowe funkcje przenoszenia Schemat układu : d(t) zakłócenie na wyjściu obiektu q(t) zakłócenie na wejściu obiektu n(t) zakłócenie pomiarowe e r (t) sygnał różnicowy e(t) e r (t)

7 Uchybowe funkcje przenoszenia G cq (s) := C(s) Q(s) = G eq (s) := E(s) Q(s) = G p (s) 1 + G c (s)g p (s) G p (s) 1 + G c (s)g p (s) G cd (s) := C(s) D(s) = G c (s)g p (s) G ed (s) := E(s) D(s) = G cn (s) := C(s) N(s) = G en (s) := E(s) N(s) = G c (s)g p (s) G c(s)g p (s) 1 + G c (s)g p (s) G c(s)g p (s) 1 + G c (s)g p (s).

8 Uchybowe funkcje przenoszenia G eq (s), G ed (s) oraz G en (s) to zakłóceniowe uchybowe fp. We wszystkich fp w mianowniku występuje wyrażenie 1 + G c (s)g p (s). Zamknięty układ jest stabilny w sensie BIBO, gdy wszystkie pierwiastki jego równania charakterystycznego 1 + G c (s)g p (s) = 0 leża w lewej otwartej półpłaszczyźnie zespolonej C

9 Ustalony uchyb sygnałowy i zakłóceniowy Transformata uchybu sygnałowego E(s) = G er (s)r(s). Ustalona wartość uchybu sygnałowego (o ile istnieje!) e( ) = lim t e(t) = lim se(s) = lim sg er (s)r(s). Transformata (przykładowego) uchybu zakłóceniowego E(s) = G ed (s)d(s). Ustalona wartość uchybu zakłóceniowego (ile istnieje!) e( ) = lim t e(t) = lim se(s) = lim sg ed (s)d(s).

10 Uchyby położeniowe, prędkościowe i przyspieszeniowe Duże praktyczne znaczenie oszacowań ustalonych uchybów (błędów) dla specyficznych prototypowych jednostkowych sygnałów zadajacych: położeniowego r(t) = 1(t) prędkościowego (rampowego) r(t) = t 1(t) przyspieszeniowego (parabolicznego) r(t) = t 2 /2 1(t) Odpowiednio mamy uchyby: położeniowe, prędkościowe i przyspieszeniowe

11 Uchyby położeniowe (układy statyczne) Jednostkowe pobudzenie skokowe: r(t) = 1(t), R(s) = 1 s. Ustalony uchyb położeniowy: e( ) = lim (sg er (s)r(s)) = lim G er (s) Statyczne wzmocnienie układu otwartego G 0 (s): k p := lim G 0 (s) G 0 (s) := G c (s)g p (s)

12 Uchyby położeniowe (układy statyczne) Ustalony uchyb położeniowy: e( ) = 1 = G 0 (s) 1 + k p skończony i niezerowy, gdy k p skończony i zerowy, gdy k p = Układ stabilny o skończonym (niezerowym) k p (k p 0) (k p ) to układ statyczny (o zerowym astatyzmie, typu 0) k p G 0 (s) nie ma biegunów w zerze: G 0 (0)

13 Uchyby prędkościowe (układy astatyczne - typ 1) Jednostkowe pobudzenie rampowe: r(t) = t 1(t), R(s) = 1 s 2. Ustalony uchyb prędkościowy: e( ) = lim (sg er (s)r(s)) ( ) Ger (s) = lim s Wzmocnienie prędkościowe układu otwartego G 0 (s): k v := lim (sg 0 (s))

14 Uchyby prędkościowe (układy astatyczne - typ 1) Ustalony uchyb prędkościowy: ( ) 1 e( ) = lim sg 0 (s) = 1 k v. nieskończony e( ) =, gdy k v = 0 skończony i niezerowy, gdy (k v 0) (k v ) skończony i zerowy, gdy k v = Układ stabilny o skończonym i niezerowym k v (k v 0) (k v ) to układ o astatyzmie stopnia pierwszego (typu 1)

15 Uchyby prędkościowe (układy astatyczne - typ 1) Układ typu 1 G 0 (s) ma pojedynczy biegun w zerze Układ typu 0 k v = 0.

16 Uchyby przyspieszeniowe (układy astatyczne - typ 2) Jednostkowe pobudzenie paraboliczne: r(t) = t2 2 1(t), R(s) = 1 s 3. Ustalony uchyb przyspieszeniowy: e( ) = lim (sg re (s)r(s)) ( ) Gre (s) = lim Wzmocnienie przyspieszeniowe układu otwartego : s 2 k a := lim (s 2 G 0 (s))

17 Uchyby przyspieszeniowe (układy astatyczne - typ 2) Ustalony uchyb przyspieszeniowy: ( ) 1 e( ) = lim s 2 = 1. G c (s)g p (s) k a nieskończony e( ) =, gdy k a = 0 skończony i niezerowy, gdy (k a 0) (k a ) skończony i zerowy, gdy k a = Układ stabilny o skończonym i niezerowym k a (k a 0) (k a ) to układ o astatyzmie stopnia drugiego (typu 2)

18 Uchyby przyspieszeniowe (układy astatyczne - typ 2) Układ typu 2 G 0 (s) ma podwójny biegun w zerze Układ typu 0 lub 1 k a = 0 PODSUMOWANIE Układ typu k p G 0 (s) k v 0 sg 0 (s) k a 0 0 s 2 G 0 (s) Uchyb dla skoku 1/(1 + k p ) 0 0 Uchyb dla rampy 1/k v 0 Uchyb dla paraboli 1/k a

19 Dokładność statyczna uogólnienie Model wejściowo-wyjściowy układu zamkniętego Nie zakłada się jednostkowego sprzężenia zwrotnego G(s) = l 0 + l 1 s + l 2 s l n s n m 0 + m 1 s + m 2 s + + m n s n

20 Dokładność statyczna uogólnienie Wielomianowy sygnał odniesienia: Uchyb : r(t) = tk 1 1(t) R(s) = k! s k+1. e(t) := r(t) c(t) stad E(s) = R(s) C(s) = R(s) G(s)R(s) = (1 G(s))R(s) = m 0 l 0 + (m 1 l 1 )s + + (m n l n )s n s k+1 (m 0 + m 1 s + + m n s n )

21 Dokładność statyczna uogólnienie Załóżmy, że istnieje ustalony uchyb lim e( ) = [ m0 l 0 + (m 1 l 1 )s + + (m n l n )s n s k (m 0 + m 1 s + + m n s n ) ]. Mamy pod warunkiem, że e( ) = m k l k m 0 m i = l i dla i {0,..., k 1}

22 Dla Dokładność statyczna uogólnienie m i = l i, i {0,..., k} uchyb ustalony zeruje się: e( ) = 0. O stabilnym układzie G(s) mówimy, że posiada gdy astatyzm k-tego stopnia e( ) = 0 dla r(t) = tk 1 (k 1)! 1(t).