Języki Modelowania i Symulacji

Transkrypt

1 Języki Modelowania i Symulacji Projektowanie sterowników Marcin Ciołek Katedra Systemów Automatyki WETI, Politechnika Gdańska 4 stycznia 212

2 O czym będziemy mówili? 1 2 3

3 rlocus Wyznaczanie trajektorii linii pierwiastkowych ukladu zamkniętego na podstawie układu otwartego. Jak wpływa zmiana wartości wzmocnienia k (, ) na położenie biegunów w przestrzeni zepolonej s dla układu zamkniętego z ujemnym sprzężeniem zwrotnym?

4 rlocus Root Locus Imaginary Axis Real Axis G = zpk([-1],[ -2],1) Zero/pole/gain: (s+1) s (s+2) rlocus(g)

5 rlocus 15 1 Root Locus 5 Imaginary Axis Real Axis G = zpk([-2],[ -4],1) Zero/pole/gain: (s+2) s^2 (s+4) rlocus(g)

6 rlocus Root Locus.5 Imaginary Axis Real Axis G = zpk([-2],[-1-1],1) Zero/pole/gain: (s+2) (s+1)^2 rlocus(g)

7 rlocus Root Locus Imaginary Axis Real Axis G = zpk([],[ ],1); rlocus(g); k = rlocfind(g) k =

8 lead, lag typu: lead, lag wprowadzaja zmiany w charakterystykach częstotliwościowych układu otwartego. Stosujemy je, aby zwiększyć wydajność systemu (stabilność, szybsza odpowiedź układu, zmniejszenie błędu w stanie usatlonym) P Lead = s + a s + b, P Lag = a b a b ( ) s + b, a b s + a punkt przecięcia się asymptot bieguny zera σ = liczba biegunów liczba zer

9 lead.8 Nieskompensowany 8.74 Kompensacja Lead Imaginary Axis Imaginary Axis System: F Gain: 18.5 Pole: i Damping:.94 Overshoot (%):.132 Frequency (rad/sec): Real Axis Real Axis.1 G1 = zpk([],[-1-1 ],1)%Obiekt G2 = zpk([-2],[-8],1) %Lead F = series(g1,g2)

10 lead G1 = zpk([],[-1-1 ],1) G2 = zpk([-2],[-8],1) %obiekt % Lead Zero/pole/gain: Zero/pole/gain: 1 (s+2) (s+1)^2 (s+8) F = series(g1,g2) Zero/pole/gain: (s+2) (s+8) (s+1)^2 subplot(121) rlocus(g1) subplot(122) rlocus(f) sgrid

11 lead Gm = Inf db (at Inf rad/sec), Pm = -18 deg (at rad/sec) Gm = Inf, Pm = -18 deg (at Inf rad/sec) Magnitude (db) Bode Diagram - Obiekt G 1 (s) Bode Diagram Lead G 2 (s) Bode Diagram F(s) = G 1 (s)g 2 (s) Magnitude (db) Magnitude (db) Gm = Inf db (at Inf rad/sec), Pm = Inf Phase (deg) -9 Phase (deg) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Frequency (rad/sec) Frequency (rad/sec)

12 lag 2 15 Nieskompensowany Kompensacja Lag Imaginary Axis 5-5 System: G1 Gain: 185 Pole: i Damping:.118 Overshoot (%): 96.4 Frequency (rad/sec): 3.73 Imaginary Axis System: F Gain: 41 Pole: i Damping:.368 Overshoot (%): Frequency (rad/sec): Real Axis Real Axis G1 = zpk([],[ i -1-4i],1) G2 = zpk([],[-1],1) F = series(g1,g2)

13 lag G1 = zpk([],[ i -1-4i],1) G2 = zpk([],[-1],1) %obiekt % Lag Zero/pole/gain: Zero/pole/gain: (s+1) (s+5) (s^2 + 2s + 17) (s+1) F = series(g1,g2) Zero/pole/gain: (s+1)^2 (s+5) (s^2 + 2s + 17) subplot(121) rlocus(g1) subplot(122) rlocus(f) sgrid

14 lag Magnitude (db) Phase (deg) Gm = 45.8 db (at 3.74 rad/sec), Pm = Inf Bode Diagram - Obiekt G 1 (s) 1 Frequency (rad/sec) Magnitude (db) Phase (deg) Gm = Inf, Pm = -18 deg (at rad/sec) Bode Diagram - Lag G 2 (s) Frequency (rad/sec) Magnitude (db) Phase (deg) Gm = 52.9 db (at 2.32 rad/sec), Pm = Inf Bode Diagram F(s) = G 1 (s)g 2 (s) 1 Frequency (rad/sec)

15 Przykład 1 Model głowicy odczytu/zapisu dla dysku twardego został opisany transmitancja: H =.5.1s 2 +.4s + 1 Zaprojektuj cyfrowy sterownik do precyzyjnego pozycjonowania głowicy odczytu/zapisu.

16 Przykład 1 Magnitude (db) Bode Diagram H Hd (dyskretyzacja) -2 Phase (deg) Frequency (rad/sec) J =.1; C =.4; K = 1; Ki =.5; num = Ki; den = [J C K]; H = tf(num,den) Ts =.5; Hd = c2d(h,ts,'zoh') bodeplot(h,'-',hd,'r--')

17 Przykład 1 Czy układ zamknięty jest stabilny? Bode Diagram Gm = 3.1 db (at 34.1 rad/sec), Pm = Inf Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec)

18 Przykład 1 Jaki jest współczynnik tłumienia?.1 Step Response.9 Hd (po dyskretyzacji).8.7 Amplitude Time (sec)

19 Przykład 1 Czy można sterować wzmocnieniem ujemnego sprzężenia zwrotnego w celu poprawy stabilności układu? 2.5 Root Locus Imaginary Axis Real Axis

20 Przykład 1 Co się stało z zapasem wzmocnienia i fazy? Bode Diagram - Kompensacja Lead 1 Bode Diagram - Kompensator Lead Magnitude (db) Magnitude (db) Phase (deg) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Frequency (rad/sec)

21 Przykład 1 Co się stało z zapasem wzmocnienia i fazy? Bode Diagram - Kompensacja Lead Gm = 83.9 db (at 297 rad/sec), Pm = Inf Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec)

22 Przykład 1 Czy można sterować wzmocnieniem ujemnego sprzężenia zwrotnego w celu poprawy stabilności układu? 1.6π/T Root Locus.5π/T.4π/T.8.7π/T.1.3π/T.2.6.8π/T.3.4.2π/T Imaginary Axis π/T π/t π/t System: oloop Gain: 4.11e+3 Pole: i Damping:.779 Overshoot (%): 2.2 Frequency (rad/sec): 122.1π/T.9π/T.1π/T π/T.2π/T -.8.7π/T.3π/T.6π/T.4π/T -1.5π/T Real Axis

23 Przykład 1 Ile czasu potrzeba na spozycjonowanie głowicy? x 1-4 Step Response 2 System: cloop Final Value:.184 Amplitude System: cloop Rise Time (sec): Time (sec)

24 Przykład 1 Układ sterowania głowica zapisu/odczytu oloop = Hd * D olk = K * oloop; margin(olk)

25 Przykład 1 Kiedy układ zamknięty przestanie być stabilny? 5 Bode Diagram Gm = 11.6 db (at 297 rad/sec), Pm = 43.2 deg (at 16 rad/sec) Magnitude (db) -5 Phase (deg) Frequency (rad/sec)

26 Design Narzędzie MATLAB-a umożliwiajace łatwe zaprojektowanie kompensatora dla wybranego układu sisotool sisotool(plant) sisotool(plant,comp) sisotool(plant/g,comp/c,sensor/h,prefilt/f) G,C,H,F moga być tworzone za pomoca funkcji: ss,tf,zpk

27 Design

28 Design

29 Design Wyznacz obszar na płaszczyźnie s, w którym powinny znaleźć się bieguny układu II rzędu, aby spełnione były wymagania: maksymalne przeregulowanie M p% 15%, dwuprocentowy czas regulacji t 2% 4 sek, czas narastania t n 3 sek.

30 Ustawianie ograniczeń dla wybranych parametrów. Design

31 Design W efekcie przestrzeń zespolona zostaje ograniczona i można rozmieścić pierwiastki w białym obszarze.

32 Design Klikamy na Analysis Response to Step Command i przechodzimy do okna LTI Viewer. Czy układ II rzędu o zadanym rozmieszczeniu biegunów zespolonych spełnia wymagania projektowe: maksymalne przeregulowanie M p% 15%, dwuprocentowy czas regulacji t 2% 4 sek, czas narastania t n 3 sek.?.7 Step Response.6.5 System: Closed Loop r to u I/O: r to u Peak amplitude:.516 Overshoot (%): 6.27 At time (sec):.392 System: Closed Loop r to u I/O: r to u Settling Time (sec):.56 Amplitude.4.3 System: Closed Loop r to u I/O: r to u Rise Time (sec): Time (sec)

33 k (s+1)(s+3) Design Układ o transmitancji G(s) = objęto jednostkowym sprzężeniem zwrotnym. Dla jakich wartości k biegunami otrzymanego układu będa liczby rzeczywiste? G = zpk([],[-1-3],1); sisotool(g)

34 k (s+1)(s+3) Design Układ o transmitancji G(s) = objęto jednostkowym sprzężeniem zwrotnym. Dla jakich wartości k biegunami otrzymanego układu będa liczby rzeczywiste? G = zpk([],[-1-3],1); sisotool(g)

35 Design k Układ o transmitancji G(s) = objęto jednostkowym s(1s+1)(.1s+3) sprzężeniem zwrotnym. Dla jakich wartości k układ będzie na granicy stabilności? Odczytaj zapas fazy i wzmocnienia? G = zpk([],[ -.1-1],1); sisotool(g)

36 Design k Układ o transmitancji G(s) = objęto jednostkowym s(1s+1)(.1s+1) sprzężeniem zwrotnym. Dla jakich wartości k układ będzie na granicy stabilności? Odczytaj zapas fazy i wzmocnienia?

37 Design Wykreśl charakterystykę Nyquista dla układu o transmitancji G(s) =. Odczytaj zapas fazy i wzmocnienia? k s(1s+1)(.1s+1) Klikamy na Analysis Open-Loop Nyquist i przechodzimy do okna LTI Viewer. Następnie klikamy prawym przyciskiem myszy i ustawiamy: grid, zoom on ( 1, ), Characteristics All Stability Margins

38 Design - Przykład 2 Zaprojektuj sterownik proporcjonalny C(s) = K dla obiketu o transmitancji 1 G p(s) = używaj ac narzędzia : s(s+2)(s+5) znajdź przedział wartości wzmocnienia, dla którego układ zamkniety pozostaje stabilny wskaż wartość wzmocnienia, dla którego dominujace, zespolone bieguny sa tłumienie z wartościa ζ =.6 dla tej wartości wzmocnienia K odczytaj zapas fazy i wzmocnienia wyznacz odpowiedź skokowa układu zamkniętego dla uzyskanego K oraz odczytaj jej charakterystyczne parametry

39 Design - Przykład 2 Gp = zpk([],[ -2-5],1); sisotool(gp)

40 Design - Przykład 2 Układ zamknięty pozostaje stabilny dla wartości wzmocnienie z przedziału K (, 7 >

41 Design - Przykład 2 Ustawiamy wartość wzmocnienie, dla którego dominujace, zespolone bieguny sa tłumienie z wartościa ζ =.6, K = 8.9

42 Design - Przykład 2 Ustawiamy wartość wzmocnienie, dla którego dominujace, zespolone bieguny sa tłumienie z wartościa ζ =.6, K = 8.9. Zapas wzmocnienia g = 17.9dB, zapas fazy p = 58.6deg.

43 Design - Przykład 2 Odpowiedź skokowa i jej charakterystyczne parametry. Step Response System: Closed Loop r to y I/O: r to y Peak amplitude: 1.9 Overshoot (%): 9.17 At time (sec): 3.29 System: Closed Loop r to y I/O: r to y Settling Time (sec): 4.85 Amplitude.8.6 System: Closed Loop r to y I/O: r to y Rise Time (sec): Time (sec)

44 Design - Przykład 3 Zaprojektuj sterownik PD C(s) = K p + K D s dla obiketu o transmitancji 1 G p(s) = używaj ac narzędzia : s(s+2)(s+5) wartość współczynnika tłumienia dla dominujacych, zespolonych biegunów wynosi ζ =.77 czas ustalania dla dominujacych, zespolonych biegunów wynosi t s = 2 sek t s 4τ τ =.5 sec ζω n = 1 τ = 1 = 2 θ = arccos(.77) = 45 deg.5 s 1,2 = ζω n ± jω n 1 ζ2 = 2 ± j2

45 Design - Przykład 3

46 Design - Przykład 3 wartość współczynnika tłumienia dla dominujacych, zespolonych biegunów wynosi ζ =.77 czas ustalania dla dominujacych, zespolonych biegunów wynosi t s = 2 sek

47 Design - Przykład 3 Umieszczamy zero na osi rzeczywistej na lewo od pary biegunów dominujacych.

48 Design - Przykład 3 Zmieniamy wartość wzmocnienia tak, aby bieguny znalazły się w punkcie przecięcia lini ograniczajacych. Następnie klikamy File Export, klikamy na nazwę C i zmieniamy ja na PD. Klikamy Export to Workspace. Wpisujac nazwę zmiennej w WorkSpace otrzymamy zaprojektowany regulator PD C(s) = 1 (s + 2.4)

49 Design - Przykład 3 Odpowiedź skokowa układu zamkniętego i jej charakterystyczne parametry 1.4 Step Response System: Closed Loop r to y I/O: r to y Peak amplitude: 1.7 Overshoot (%): 7.3 At time (sec): 1.4 System: Closed Loop r to y I/O: r to y Settling Time (sec): 2.13 Amplitude.8.6 System: Closed Loop r to y I/O: r to y Rise Time (sec): Time (sec)

50 Design - Przykład 4 Zaprojektuj kompensator typu Lead C(s) = 1 Kc (s+zo) (s+p o) dla obiketu o transmitancji G p(s) = używaj ac narzędzia : s(s+2)(s+5) wartość współczynnika tłumienia dla dominujacych, zespolonych biegunów wynosi ζ =.77 czas ustalania dla dominujacych, zespolonych biegunów wynosi t s = 2 sek t s 4τ τ =.5 sec ζω n = 1 τ = 1 = 2 θ = arccos(.77) = 45 deg.5 s 1,2 = ζω n ± jω n 1 ζ2 = 2 ± j2

51 Design - Przykład 4 Ustawiamy zero pomiędzy dwoma biegunami leżacymi najbliżej osi urojonej z o = Następnie ustawiamy biegun najdalej z pozostałych na osi rzeczywistej p o = 8. Zmieniamy wartość wzmocnienia tak, aby bieguny znalazły się w punkcie przecięcia lini ograniczajacych. C(s) = (s ) s + 8

52 Design - Przykład 4 Odpowiedź skokowa układu zamkniętego i jej charakterystyczne parametry Step Response Amplitude System: Closed Loop r to y I/O: r to y Settling Time (sec): 1.52 System: Closed Loop r to y I/O: r to y Rise Time (sec):.935 System: Closed Loop r to y I/O: r to y Peak amplitude: 1.1 Overshoot (%):.56 At time (sec): Time (sec)

53 Design - Przykład 4 Odpowiedzi skokowe układu zamkniętego i ich charakterystyczne parametry. P PD Lead Czas narastania [sek] Wartość przeregulowania [%] Czas ustalania [sek]

54 Design - Przykład 5 Zaprojektuj sterownik dla obiketu o transmitancji G(s) = 45 używajac s(s+361.2) narzędzia tak, aby po objęciu go jednostkowym sprzężeniem zwrotnym spełnione były wymagania: bład prędkościowy w stanie ustalonym (pobudzenie rampa z jednostkowym wzmocnieniem) e.443 maksymalne przeregulowanie M p% 5% czas narastania t n.2 sec czas ustalania t 5%.5 sec Porównaj zastosowanie steronika proporcjonalnego i kompensatora typu Lead

55 Design - Przykład 5 num=45; den=[ ]; G=tf(num,den); sisotool(g)

56 Design - Przykład 5 View Close-Loop poles...

57 Design - Przykład 5 Odpowiedź skokowa układu zamkniętego dla jednostkowego wzmocnienia, czy warunek dotyczacy czasu narastania jest spełniony? 1 Step Response.9.8 System: Closed Loop r to y I/O: r to y Rise Time (sec): Amplitude Time (sec)

58 Design - Przykład 5 Czy możemy znaleźć tak a wartość sterownika proporcjonalnego, aby wymagania projektowe zostały spełnione?

59 Design - Przykład 5 Można zastosować sterownik PD C(s) = K (1 + st D ) (należy dodać odpowiednia wartość zera )

60 Design - Przykład 5 Można zastosować sterownik PD C(s) = K (1 + st D ) (należy dodać odpowiednia wartość zera ). Dzięki temu pojawił się punkt rozejścia i bieguna moga znaleźć się w dozwolonym obszarze. C(s) = 295(1 +.1s)

61 Design - Przykład 5 Czy wymagania projektowe zostały spełnione? bład prędkościowy w stanie ustalonym (pobudzenie rampa z jednostkowym wzmocnieniem) e.443 maksymalne przeregulowanie M p% 5% czas narastania t n.2 sec czas ustalania t 5%.5 sec 1.4 Step Response System: Closed Loop r to y I/O: r to y Peak amplitude: 1.12 Overshoot (%): 11.9 At time (sec):.223 System: Closed Loop r to y I/O: r to y Settling Time (sec):.368 Amplitude.8.6 System: Closed Loop r to y I/O: r to y Rise Time (sec): Time (sec) x 1-3

62 Czy wymagania projektowe zostały spełnione? Design - Przykład 5 bład prędkościowy w stanie ustalonym (pobudzenie rampa z jednostkowym wzmocnieniem) e.443 maksymalne przeregulowanie M p% 5% czas narastania t n.2 sec czas ustalania t 5%.5 sec 45 k v = lim sg z(s) = lim sc(s)g(s) = lim s 295(1 +.1s) s s s s(s ) k v = e + 3 e v( ) = 1 k v e v( ) =.2729