HEURYSTYCZNA PROCEDURA SZEREGOWANIA ZADAŃ I ROZDZIAŁU OGRANICZONYCH ZASOBÓW W SYSTEMIE MASZYN RÓWNOLEGŁYCH-OCENA EFEKTYWNOŚCI ALGORYTMU HEURYSTYCZNEGO

Transkrypt

1 EURYSTYCZA PROCEDURA SZEREGOWAIA ZADAŃ I ROZDZIAŁU OGRAICZOYC ZASOBÓW W SYSTEMIE MASZY RÓWOLEGŁYC-OCEA EFEKTYWOŚCI ALGORYTMU EURYSTYCZEGO Zbigniew BUCALSKI Streszczenie: Artył dotyczy zagadnienia czasowo-optyalnego przydział zasob podzielnego w sposób ciągły i n zadań do aszyn równoległych Założono, że zadania są niezależne i niepodzielne Dla zadanej fncji czas realizacji zadań sforłowano odel foralny zagadnienia i zaproponowano pewien algoryt herystyczny wyznaczający czasowo-optyalne szeregowanie zadań i przydział zasobów do aszyn równoległych Przedstawiono wynii badań nerycznych przeprowadzonych na ty algorytie Słowa lczowe: systey aszyn równoległych, szeregowanie zadań, rozdział zasobów, algoryty herystyczne Wstęp Odczwalny od wiel lat gwałtowny rozwój równoległych systeów przetwarzania inforacji pociągnął za sobą potrzebę rozwiązywania probleów czasowo-optyalnego szeregowania zadań i rozdział zasobów [, 2, 3, 4, 5] Znaczenie pratyczne rozwiązywania tych probleów jest bezsporne w wiel dziedzinach życia Probley te ogą być związane przyładowo ze sterowanie procese prodcyjny, wyznaczanie olejnych etapów ontaż rządzeń, haronograowanie zadań transportowych, itp Zadania optyalizacji zarówno dysretnej, ja i ciągłej należą do lasy probleów bardzo trdnych zarówno z teoretycznego, ja i obliczeniowego pnt widzenia i najczęściej należą do lasy probleów P- zpełnych [6, 7, 8] W systeach aszyn równoległych spotyay się z szeregowanie zadań na aszynach oraz przydziałe zasobów do aszyn Przy rozwiązywani tych probleów występją istotne trdności natry obliczeniowej w związ z czy eliinje się z rozważań algoryty doładne, pozostawiając do zastosowania pratycznego jedynie algoryty herystyczne ożliwiające rozwiązanie postawionych probleów w róti czasie z zadowalającą doładnością [9, 0, ] W niniejszy artyle przedstawiono pewien algoryt herystyczny wyznaczający czasowo-optyalne haronograowanie rozdział n zadań niezależnych niepodzielnych i jednoste zasob nieodnawialnego podzielnego w sposób ciągły do aszyn pracjących równolegle Przedstawiono wynii badań nerycznych przeprowadzonych na ty algorytie dla losowo generowanych danych 2 Sforłowanie proble Rozpatrzy dysretny syste prodcyjny zawierający aszyny połączone równolegle przedstawiony na poniższy rysn: 97

2 Maszyna M Zbiór zadań Z {, 2,, n} Maszyna M 2 Maszyna M 2 Zbiór zasobów {, 2,, } Maszyna M Rys Syste aszyn równoległych a syste aszyn równoległych naładay następjące założenia: (i) posiada różnych aszyn M {, 2,,,, }, na tórych należy wyonać n niezależnych zadań Z {, 2,, i,, n}, (ii) zadanie oże być wyonywane na dowolnej aszynie i w tracie jego wyonywania nie oże być przerywane, (iii) liczba zadań do wyonania jest więsza od liczby aszyn n >, (iv) realizacja ażdego z zadań na aszynach si następować niezwłocznie po zaończeni wyonywania poprzedniego zadania lb nastąpić w chwili zerowej, gdy zadanie realizowane jest jao pierwsze na jednej z aszyn iech oznacza globalną ilość zasobów nieodnawialnych, a przez oznaczy tą część zasobów, tóre zostaną przydzielone -tej aszynie w tracie wyonywania zadań szeregowanych na tej aszynie Ograniczenie dotyczące zasobów jest następjące:, 0, Czas wyonywania i-tego zadania na -tej aszynie oreślony jest przez następjącą fncję T i (, ): T i b i () i (, ) a +, {,2,, },, i n Paraetry a i > 0 i b i > 0 charateryzją i-te zadanie i -tą aszynę 98

3 ależy znaleźć taie szeregowanie zadań na aszynach i tai przydział ograniczonych zasobów do aszyn równoległych, aby inializować czas zaończenia wyonania całego zbior zadań T za 3 Model foralny proble Jeżeli oznaczyy przez Z Z zbiór zadań szeregowanych na -tej aszynie, to T za znajdziey rozwiązjąc następjący proble inializacyjny: T za in ax Ti, Z, Z 2,, Z,,, 2 ( ) (2) Ograniczenia nałożone na rozwiązanie tego proble są następjące: Z r Z s φ ; r, s,2,,, r s, Z Z,,, 2,, - całowite dodatnie Dla proszczenia proble przyjiey najpierw, że zasoby nieodnawialne, 2,, są typ ciągłego Przy ty założeni wyznaczyy rozwiązanie optyalne, a następnie zaorągliy otrzyane wartości zasobów do najbliższych liczb natralnych Czas T za znajdziey rozwiązjąc następjący proble inializacji dysretno-ciągłej: U T za in ax Ti ', Z, Z2,, Z,,, 2 ( ) (3) przy następjących ograniczeniach: (i) Z r Z s φ ; r, s,2,,, r s, Z Z, (ii) ; + gdzie: T [ ] { } R i : 0,,2,, + T i {,2,, } {,2,, } R 0,,2,,, U ' jest rozszerzenie następjącej fncji : i oreślone jest przez fncję: 99

4 T ' i b i (4) i (, ) a +, [ 0, ],, i n Do rozwiązania postawionego proble poocny będzie następjący leat: LEMAT Jeżeli, Z,,2,, są rozwiązaniai zadania (3), to: (i) ; > 0, : Z φ,,2,, ; (ii) ' i T (, ) const; 0, : Z φ,,2,, ; : Z φ,,2,, Warne (i) w LEMACIE oznacza, że w przydziale czasowo-optyalny zasobów i zadań do aszyn wyorzystje się wszystie jednosti zasobów, a warne (ii), że czasy pracy tych aszyn, na tórych wyonywane są jaieś zadania, są identyczne Zdefinijy fncję F(Z, Z 2,, Z ) oreśloną dla zbiorów Z, Z 2,, Z, dla tórych zachodzi ograniczenie (i) dla wzor (3) Wartość tej fncji jest rozwiązanie następjącego ład równań: a i + ; b i F ( Z > 0,, Z, 2 : Z, Z, ); : Z,, 2,,, 2,, (5) Wyorzystjąc LEMAT oraz (5) zadanie inializacji (3) ożna przedstawić w następjącej postaci: T za in F 2 Z, Z2,, Z ( Z, Z,, Z ), (6) przy następjących ograniczeniach: (i) Z r Z s φ, r, s,2,,, r s, U (ii) Z Z 200

5 Jeżeli, Z2,, Z Z jest rozwiązanie zadania (6), to, Z,,2,,, gdzie bi ( Z, Z,, Z ) F 2 a 0 i ; ; : Z : Z φ, φ,, (7) jest rozwiązanie zadania (3) 4 Algoryt herystyczny Maszyny wchodzące w sład syste aszyn równoległych różnią się pod względe szybości wyonywanych zadań a szybość tą wpływ a ilość zasobów przydzielonych poszczególny aszyno I więcej zasobów zostanie przydzielonych -tej aszynie, ty będzie ona szybsza Zasoby przydzielone zostają do aszyn w następjący sposób: iarą szybości realizacji i-tego zadania przez -tą aszynę jest tzw współczynni podział zasobów ; >, załaday, że aszyną najszybszą jest aszyna pierwsza, a aszyną najwolniejszą jest aszyna -ta, aszynie -tej przydzielay zasobów wg następjącej zależności: + [( ) β ] (8) pozostały aszyno przydzielay zasoby wg następjącej zależności: ( ) β ;, 2,, (9) Przedstawiony powyżej sposób przydział zasobów do aszyn wyorzystany zostanie w zaproponowany herystyczny algorytie szeregowania zadań na równoległych aszynach Algoryt ten sonstrowany został w tai sposób, że najpierw szeregje on zadania na jednaowych aszynach, tj taich, do tórych przydzielona została jednaowa liczba dostępnych zasobów, czyli,, 2,, Po ty szeregowani następje zróżnicowanie aszyn pod względe liczby przydzielanych i zasobów i sprawdzenie czy srócony został czas zaończenia wyonywania wszystich zadań T za Kolejne roi algoryt herystycznego są następjące: 20

6 Kro Oblicz czasy wyonywania zadań na poszczególnych aszynach b T + i i (, ) ai, i, 2,, n,, 2,, dla zadanej wartości i losowo generowanych paraetrów a i, b i Kro 2 Uszeregj alejąco czasy wyonywania poszczególnych zadań i twórz listę L tych zadań Kro 3 Oblicz średni czas T śr wyonywania zadań przez ażdą z aszyn wg wzor: n T (, ) i i Tśr ; i Z, M, Kro 4 Przydzielaj olejno najdłższe i najrótsze zadania z listy L do pierwszej wolnej aszyny aż do oent, gdy sa czasów wyonywania zadań przydzielonych tej aszynie nie przeroczy czas T śr Przydzielone zadania sń z listy L Kro 5 Jeżeli są jeszcze aszyny na tórych nie szeregowano żadnych zadań to wróć do Kro 4 W przeciwny wypad przejdź do Kro 6 Kro 6 Przydzielaj olejno najrótsze zadania z listy L do olejnych aszyn od pierwszej poczynając aż do oent, gdy sa czasów realizacji zadań przez olejne aszyny nie przeroczy czas T śr Przydzielone zadania sń z listy L Kro 7 Jeżeli lista L nie została jeszcze wyczerpana to wróć do Kro 6 W przeciwny wypad przejdź do Kro 8 Kro 8 Oblicz czas zaończenia wyonywania wszystich zadań T za dla szeregowania zadań na aszynach tworzonego w Kroach 4 7 i dla Kro 9 Dla zadanego współczynnia przydziel zasoby,, 2,, poszczególny aszyno wyliczone z zależności (8) i (9) Kro 0 Dla szeregowania zadań na aszynach tworzonego w Kroach 4 7 i dla licz-by zasobów przydzielonych aszyno w Kro 9 oblicz czas zaończenia wyonywania wszystich zadań T za Kro Powtórz Kro 9 i Kro 0 dla następnych dziewięci zwięszających się olej-no wartości współczynnia Po zaończeni tych prób przejdź do Kro 2 Kro 2 Porównaj wartości czasów zaończenia wyonywania zadań T za z olejnych prób i wybierz najrótszy z tych czasów Kro 3 Wyznacz dysretne ilości zasobów ˆ,, 2,, wedłg zależności: ˆ α ( ) α () α ( ) + ; ;, 2,,, +, + 2,,, 202

7 gdzie j j oraz jest pertacją eleentów zbior M{,2,, } taą, że α ( ) α() α (2) α(2) α ( ) α( ) K Jeżeli istnieją taie aszyny, tóry przydzielono zerowe ilości zasobów, to przydziel ażdej z tych aszyn po jednej jednostce zasob pobierając je z olejnych aszyn poczynając od aszyny, tórej przydzielono najwięszą ilość zasobów 5 Wynii badań nerycznych Przeprowadzono badania neryczne na bazie przedstawionego algoryt dla dziesięci zwięszających się olejno wartości współczynnia podział zasobów z przedział [2, 4,, 20] Paraetry charateryzjące i-te zadanie i -tą aszynę a i, b i wylosowane zostały ze zbior {40, 80,, 800} przez generator o jednostajny rozładzie prawdopo-dobieństwa Dla ażdej obinacji n i wygenerowano 25 instancji Rezltaty analizy porównawczej algoryt herystycznego sonstrowanego dla potrzeb niniejszej pracy i znanego z literatry algoryt przedstawione zostały w Tab Tab Wynii analizy porównawczej algoryt herystycznego i algoryt n/ T < T za Liczba instancji, dla tórych: za za T T za za za S S T > T % se se 30/3 3 2,5 2,4,9 30/ ,7 2,7 2,4 30/ ,4 3,9 3,4 30/ ,6 4,6 4, 30/ ,9 5,8 5,5 60/3 3,9 2,7 2,3 60/ ,7 3,8 3,2 60/ ,6 4,9 3,9 60/ ,8 6,5 5,2 60/ , 7,8 5,9 90/ ,8 3,9 3,2 90/6 3 2,9 6,3 5,9 90/ ,7 7,3 6,2 90/ ,8 8,6 7,4 90/5 3 5,2 9,7 8,6 20/ ,9 5,9 5,2 20/ ,0 6,7 6,2 20/ ,5 8,7 7,8 20/ ,9 9,9 8,6 20/ ,8 2, 0,4 203

8 W Tab występją następjące wielości: n liczba zadań, liczba aszyn, T za czas zaończenia wyonywania wszystich zadań ze zbior Z przy wyorzystani algoryt herystycznego, T za czas zaończenia wyonywania wszystich zadań ze zbior Z przy wyorzystani algoryt, średnia procentowa poprawa czas T za w stosn do T za : T za Tza T za 00%, S średni czas obliczeń dla algoryt herystycznego, S LP T średni czas obliczeń dla algoryt 6 Uwagi ońcowe Przedstawione w poprzedni rozdziale esperyenty obliczeniowe wyazały, że ja-ość szeregowania zadań na równoległych aszynach na bazie zaproponowanego w pracy algoryt herystycznego legła poprawie w stosn do szeregowania za poocą znane-go z literatry algoryt Kilprocentowa poprawa czas T za w stosn do T za oże być zachętą do dalszych prac nad efetywnyi algorytai herystycznyi Zastosowanie podanego w pracy algoryt herystycznego jest wsazane przede wszysti dla systeów prodcyjnych o dżej liczbie zadań, gdyż wówczas średnia procentowa poprawa jest najwięsza Zaproponowany algoryt oże słżyć zarówno do rozdział operacji na stanowisa prodcyjne wyposażone w odpowiednie aszyny w dysretnych systeach prodcyjnych, ja i do szeregowania prograów w wieloprocesorowych systeach opterowych Literatra Błażewicz J, Dell Olo P, Drozdowsi M, Speranza M G : Schedling ltiprocessor tass on three dedicated processors Inforation Processing Letters 4, 992, pp Jania A: Single achine schedling proble with a coon deadline and resorce dependent release dates Eropean Jornal of Operational Research, Vol 53, 99, pp Jania A, Kovalyov M: Single achine schedling sbject to deadlines and resorces dependent processing ties Eropean Jornal of Operational Research, 996, Vol 94, pp owici E, Stnici C: The flow shop with parallel achines A Tab search approach Eropean Jornal of Operational Research 06, 998, pp Bchalsi Z: A Progra Schedling eristic Algorith in Mltiprocessing Copter Syste with Liited Meory Pages Polish Jornal of Environental Stdies, Vol 5, o 4C, 2006, pp

9 6 Józefowsa J, Węglarz J: On a ethodology for discrete-continos schedling Eropean Jornal of Operational Research, Vol 07, 998, pp Józefowsa J, Mia M, Różyci R, Waligóra G, Węglarz J: Rozwiązywanie dysretno-ciągłych probleów rozdział zasobów przez dysretyzację zasob ciągłego Zeszyty aowe Politechnii Śląsiej r 474, seria Atoatya, Gliwice, 2000, z 29, s Kbale M, Giaro K: Złożoność zwartego szeregowania zadań jednostowych w systeie otwarty, przepływowy i ieszany Uczelniane Wydawnictwo aowo- Dydatyczne AG, seria-atoatya, półroczni, to 5, zeszyt ½, Kraów, 200, s Boctor F F: A new and efficient heristic for schedling projects with resorces restrictions and ltiple exection odels Eropean Jornal of Operational Research, Vol 90, 996, pp Bchalsi Z: An heristic soltion procedre to iniize the total processing tie of progras in ltiprocessing copter syste Inforation Systes Architectre and Technology ISAT 2005, Oficyna Wydawnicza Politechnii Wrocławsiej, Wrocław, 2005, pp Bchalsi Z: An eristic Algorith for Solving the Schedling Proble in Mltiprocessing Copter Syste Polish Jornal of Environental Stdies, Vol 6, o 4A, 2007, pp Dr inż Zbigniew BUCALSKI Instytt Inforatyi, Atoatyi i Robotyi Politechnia Wrocławsa Wrocław, Janiszewsiego /7 tel: (0 7) e-ail: zbigniewbchalsi@pwrwrocpl 205